3.1 funciones armonicas (apuntes)

8/3/2019 3.1 Funciones Armonicas (Apuntes)

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IILCiiVu",,7U71a;:a-- 08/01/2007Analisis Complejo: 3.1 Funciones Arrnonicas

Objetivoso Eritender el concepto de funcion armonica y conoeer ejernplos . Enterrder el problema de Dirichlet. Resolver el problema de

Dirichlet en el disco unidad: conocer el ruicleo de Poisson y 1 2 1represerrtacion de funciones arrnonicas via el ruicleo dePoisson.o Caracterizar las funciones arrnonicas como las que sonlocalmnt 1 2 1 part real d una funcion holomorfa (0 via 1 2 1propiedad de la media).o Caracterizar los abiertos sirnplernente conexos utilizandopropiedades de las funciones arrnonicas,

Sin c e s un abierto , denotarnos par C2(n) I :spleio de las.funciones r ll s d clase C2 nn y lJ. : C2(n) - - - + C(n) definidopara u E C2(n) par

F INALDefinicionUn l funcion lJ:O - - - + lR de etas! C2, definid l n el lbiertan C C '~s d ice qU es lrmonica cuando flu(x,y) =0 plrl todo (x,y) EO.o Denota mas por A(n) I conjunto de las fu nciones lrmonicas

en n: ss fadl cornprobar que A(n) ss un sp ld a v ec to ria l." Las funciones arrnonicas de dos variables reales aparecen

frecuenternerrte en la Hsica,


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ProposicionSi la fun c ion f' = u+ iv ss holornorfa enr l entonces II =&e f' yv = Im f son fu nciones a rrnon icas en Q,] ) ~ f , t r n . a .. O r l l J , - E 6 SvftC len~ e. h o.cer b.. p r l J e . ~ p c . . r - C t . 1(. S c c . ~ e w l C J & ~ v e .

(, t t C to eJL)) a - C t s ( e.~ f " v ~ t c . t J b . , . . I.le C 2 (JL) I P o y o 0 ~ o I Q ~ ) l Q . sC o ~ d . ( C . L O V \ r e . S r ! e . . C D . U r k t ~ - ~ l " eW \ .C 1 . M ) n o s d . l c e ~ * c ; e ~rt. c Q t { Q . . p u n r o d e . . . f l _ t e r i e M O S\ L x : ~ ~ ~ u . ~ > ( ~ v ~ ) ( ~ ~ ( ~ { t e"~

~ - ~ J ~ ~ ~ - ~ ~ )L a . lda l r k r J . . e l e . . b c l . e n v a d c . s . Q; v i ! c > . d . a . e . V x ~ = V ~ > < r L l , c ~ " - ~ ~ " '"fj u . - = - I.l)(,l( . I e u . . ~ ~ : : : c /'-t U . f : - A l J L ) . ' * "

DefinicionDada una funcion a rrnon ica II EA(n)~ si e xis te otra func ionarmonica IIIE A(n) tal que f '=1 + iv es holornorfa enn se diceque Ill' es una func ien e rm o sic c on jllg .t;J d 1de II en fl,ProposicionSin c C es un abierto conexo Y I l I : L , V2 E A(n) so n fu ncio nesarrnonicas conjugadas , de 1 1 EA(n) en tonces I l I : L - 1 l I 2 e s c on sta nte .D e l l \ o s\ T o . c u f ~ , - '3 i v L ~ v.e A (Jl.) ~ o~ Q .r rJ" i a : . s ~ U b < > t k s d e ~e . . t \ . t o V \ C . e 5 u . . . "c LV J.. ) IA,,, , ~ v2. e - ~lfL) f'..6 t . t . t ~ v - l ~ 1 : ~ v ) E - J . e [ I L ) At1 ' 1 , 1 . . .1 Z\'- Ii . l V J . -v'l.) c - ~fJL) t'"'-t Vi-"'l -:.cre1t~ f A i tw . d . .

Q'o'fJt~'ii( ~ ~ 1 \ 1 0 , - r e . w > s e . l \ t - , . L 0 6 e j. , . 1 0 . ~ Sla u " b y t ; , ~CIoW!f, ~ u r . . .

a.(~ Vll~ C D ~ J \ la ~ '


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t . t -0 - I . \ . t"'D A I J w : ' o .x ' { , - - ~ ~ ,S i ~ o V Y e . W r J & ~'::)(."\t'~'C("e\e r : > o , SE[o,2rrJ /"'.D

R e .l 1 " tI ( t O s " e - ' l : ~ 1 ) e J \ n e ) ) - : : . r n C O b n ~ :.ll(rel',,).S i p o V \e W \U & e n : : . a . V l.!. L b V \ . . ) e~ta~e.s. [ ~ . n . )t . . o . . .V l - L \ o , , ) r Y \ e 1ne:::: ( a . n - L ~ M ) e CO&V \e - t ~ f s e f lV l.B : :-

- . : : - ( ~ " c . o ~ t\O + b n ~ V \e l ) f n 1: L [ . ) ~ 1 0.R e l(rt.' ~ Y \ ) : : ; ( c t v \ cos Y \ e o f b n&E~Hd\ .e ) f n J . . o ~E! I ! - = = - F eA ' ? J t I t : . o V V \ 4 Z. " = c ~ -J(z) cktlll! ' U~tl. ~~II h o l o W L o r ~ s , , '

Y I - = - 4 ~ ~ = R " ' ) QIt\< ll~r.JIc;i = - ~ L I Y I ~ J i Q . ; i l o ~ 1 I

c k . + ~ V \ e u~ . f u ~ J , \ 1 t U. .JY Lc 'c C c e r l D (aIR).O ~~rV Q r ~ ' p e c . Y C A u.: JL ----'P J R _ ee

- 6 - , . e . v \ o f.ltfr ~-LJ1 ) ~ V t l E : S l ) d D (ell v) c : : . J 2 . t.~,

V ' '0~l D E:- ~ ( 0 ta'l r) ).t Q . 1 V ' )

0 Las. funcionssarmonicas mas. sencillas son l i a s funciones de la formau(x,y) =.ax+bjr+c, con 3, b,c E ffi;.8 Las. TUnC~On(1lsde la forma ! U ( . r ~ J O ) = r J 1 ' c , o . s l ! 1 l e son armenicas c.8S ~ l/ll~ m su p , ? I r a , ) +On) =R :> O,~ niton ces II serje trigonornetrica

a o +[. (a n cos lQlfjI+Onsin lQlfjI ) p , r " l , ~ [,*-Jn=.l

define una func ion armonica en D (O ,~ R ) . ' La funcion log [z ] es armonica en e l l abierto n= c\ {OJ pero no po seefuncion armonica conjugada en este abierto,

t e V \ e . M ( 1 j ~ve. b . e x \ : h ' e . c i l ~ V I l~JC 9 j ) _ : : : : c \to~


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/ I n , 'l ? C J . r C ). ? V " 0 ~ar l( l 2 - 1 : . ~ ~ t i ? : \ f . I A _ Q ek Q . \ ' M.~t\ lc.GI./ e ; , e r o . . ~ \ r f r c . l e V \ t - ede.w\Q'D t r o t r ~ u . . . e; \ . 0 c . c c . lM t !. v d :e ~ f ' t ( t e r e Q . \ d e . u V lC c . ~ V \ C J . . ~ ' " b~~,4 . ,~ h o '(CL b\' I ! .v\ t 1 c . J o a..f:.J l " \ ' b ,W l C c .r M o S D l l i \ r) c . . J L ~c t\o elM o 'D ~~la \ c i e l t c d . .C l ~ ) Ii! ~-t h e . Y \ e Uri ~ D a C & v i t M o ~e~IMrJ(~ L a . : D lulr) ---. ~:

e . 1 D e l e .C t ( e L Q . l i: R e . (~li!-))~ 2 = r e - = \ ' 2 : - \ A . . . t >~ e D C u . ' f ) ~ e O k c , v )

R e .L Q . l ~ ) : . ~8\t\ ~e-OLQ \r) ~ u . . . e . . t ; , Q . r r v l d n l C c . . . e M . . J L 12 0r o ' h 0 lcuJ.e,) ' \ . C d . . e . . t w u c l o . e t A . . . J 2 . V l o pueie.. t -e .V ler ~r~I\I'cCc

Clll\ j V ~!ldu. e . t t J1.: Itkt,,,~ea~e. e" e . \ " " ' " , t o JL.O : = ~ \ { i' o C ~: I \ e ~ So . ~~ l c i . ' f . V I h ~ C t . .d ~ _ . ~ { \ e . V l e . \ 0 8 C J v i t )V\"h e ~WIo("fo.) * v e . + , l t tMU& C , c )M O e . l l d ( ] C t v \ k of f l n c . \ p a l

L O B ( l - ) = l o ~\~ l t l A Y 8 l a )$ L v . . l ~ ' - : : . . t Q ) ~ l : 2 - t t - u VI'~ C A V ' V V l O ' V I I c,C o ~ja w l o . eJ / I Jl I e . x v D h r ~ C ' A . I v E : A ( J 2 . ) 6 1f \ . e u . . , < . , V E:-~lJl..)fk~ ! . I A . . n . , v M - / A . . . a Ii-) 00" Q.r~ nia.s.

~,,~ u~ ( A . r A . ( ' ; . c : , k 'tt f L ( " ' . . . . . , . " l~~r ~ t ~ ) t er e f'.t V e . ~o toy\~ e - E - . f l . . o

k ' D tD"~ ' ' u 0 .. tv.. c r . . c l a F U l l \ - " de. b. r " c \ o . . i *- G ! , R e . H ! .= t -d'''''u = -U ydx+ Uxdy

llamada difsreneial eenjugada de u.

P~H'ae$tudiiar II~existeneia de funcion armeniea conj ugada de una funcienarrnonica u EA,(Q) utilizarernos II.aforma diferencial

~ ~ Y W l . c . t . cltlre.\'\tiCt~e~ \W \ p o r + o . V L l ! por~\f. T J I ' u . & A t J ) , 1 ~e.~\6te. V ; ~l.n. .) \ ; 0 . \ ~u . - t \ " = ~ J&~( ,n)


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e Y \ t o l\tec " ee , t L e . V te :

~ J,,) - = - d U . l 2 0 - ) + L c ; I . " l 2 - ) = = d . . I . \ . lt)l v . . . . \i J d " c . + ~4(2-)~.J== c ; l . l A . l ; ! , ) + lt - U . ~ \ ' 1 : ) c l . x . t u . , c l ~ ) ~ ) ~ d . 1 { [ : z . ) + L c l " ' i J . . [r)C o ~ e..tO~ o \ o e e r v t t . Q . ' ~ V ) n e Y V \ . O e . OeW \o~ t-r~ ~~ , u . . & A t J ] . ) ItleVle

ctr W \ d III c o . CO ~V~ c d c . .I~o n tee. d ."ll e . ! > E : J ( ACT A . E\ re d r. en - b . . 1 1 I ~ne . " c . l e r t o t t ~ rCA . c kmoshQ f lo V \ e C f ! \l i t- C l W lO S , U V l p o c o d e . trctlo~'o prev\ 'o.Proposicion

ii ) L a fo rm a d ife renc ia l d'*u =-uydx+ uxdy ss ce rrada enn.Para 1 I ria fu ncion armonica U EA(n) se curnple:i) a u =!lJx - ilJy) ss ho lornorfa enn.

t1Mo~~r C I o . c . l t U l . -~ ) C o V Y \ t ) u . . e C 2 ( J l . ) ~ c d u . ~ J)_ _-e~~ e . c ; , d e cb~ C : ! . . .P e r o - \ ' - o l c d . o C J e . ~t~~ ~\.:

( u . x ) , c t (-'o.a ) ~ lu..xV'~t A l l l ~

t \ ) E . 'e ) t o " ' D e . tIJ e ~ c . ~ C A . c k . \ - b Q E t n . C J . . d e C o . u c,ha- ~ o r ~ Q . - t - Q..~ i t CCLclo Q .\ 0 . . ~ W \ c . \ C I ~2 . G \ A . = u . , c - L \t~ E J e L n ) ~ ~9: =~-l u.~) l~" t ,~) : : ( I L l C i l J < +lt~ Q . ~ )-H ( - ~ d ) ( ~ ) "f o ' M ~ r l . o . t tl'.~ = ~1+; d .> E t. \ li-) I'"".1e x D . . c : b~ d " ' l A It) = ~~ l f f J 1 l 1 l 1 M - d I A . l l l ) Nd\ cerr~


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Para una funcion armonica u EA(n) son equival . " * " . , . , , , . , . 1 F INALi) L a fo rm a d iferenc ia l d*fJ=-uydx+ uxdy es exac ta en fl.ii) EnOex,iste una func ion arm on ica conjugada de u e .d . existe

v E A(n) ta l q lie f =U + I V es holornorfa enQ.Cuando se cumplen estas condiciones, cada primitive 1 1 1 de d*u esuna funcicn arrnonica conjugada de u enn.

~ O C b t - t e c . C l J \ t I . - d~ dt \ . ) ~ ~ ) S ~ V e..6 Q.Y"W\ IIIt \ ,ca . tcn \j~t l.do . ~ u . . l c ' = - \ILl).~)=l ) ?i e . x . \ s t e . Y .n. I R . . k I ~>e dlilA . " d V )re ~ikclo lo ~ c d . \ C \J \o~~ l e o . ~ p.b \t lJ~ lYlb ior o;,e - h . .~eQ g ( , (l~\ : c : ~ L l t - r ) + - l a ff I L L t: ) ::. du . (:a )t. L c ) . v l~) -:::.

= - d \ u .. , ~ v ) l ~ " ) r'4c l C u . " ' ! L V ) ~ a t \ e Y \ e ~ c J . ~(t r.t, i ; ~ (J\.) 'D \ ~o ( l J . . " , ~ \I ) (~)= . t C 1 u ..lt;)

\ . a . C D \ e \ ; , lk ~ b . r~~. .i. \ 6 ~ o ; , e S 1 ( \ ue. tk b . p T ' P (0. o . e .W I D 'O t r t > r . c i c .~ ~eW l.o@ , ~ e c M de i . ) ~ l \ ) - = I F

E \ ' \ ?Oirltuh r / t tJetV\.cL, ~co ~VMct . 6 d . l f e t e r tc l Q . \e ) , ) r ~ b e N L e . lo. \ l t~\ -o Jl. e g o n . ~o.c,tao ICo.c.lu. ~ ~ 6 1 4 Q .f~ r\ iC Q . .t (e .V le u ro .a V r t \ d n l ' c C A . O ' 3 " j o 8 c d a J r Of e 1 e . Y \ r \ p t a r ; , . ' S 2 . e . c o 'h I 1 \ 1 \ ~ L E M tN T E C O ~ X C ,N '01A ~ S l Jl. e . t ; C l ) V \ . U O d ~"u. ~ ~ C L . C \ - a . e . , , \ t , ~ ( E ! D \l ~G. . f Y l v ~ u 1 r V C L" e A (Jl) l+ v e . &e.~ l c ; , . ~ r W L 6 v d c c ; , . C r J~ v ~ ~ )

S e . 0hh t.Vle~JL v l~)~1 ,P 'IV .

Fr~Q !o It"\ d o lA lie D . e s CUQ \~lev ~IV \O c \Q .c ; , e ci q : ' - f

Co V \ - e . . c T h \ . I ! : " o f\.Noto -2- ,


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CorolarioToda func ion a rrnon ica en un d isco UE A ( D (zo ; r , posee func iona rmon ica conjugada, dada xplfc :itam nte m ed ian te la form ulal L X(x;y) = .l lx(X ,t )d t- ... lJy (s,yo )ds con X o=R ezo, Yo=m. zn ,Y o x@

15,ls) = - ( t o . J ~ o )'6 I t . ) : . l " . ) t)2-

V b c ' ~ ) " O - J c - u.~l~1~)(.+ l I . x l ~ ) d . : f r = -" I . 1 . 1 .v"'{2-

- = - J ! L ' I ( \ t ) J.~ -llll"~') J.~- #-~o ~ oc. : ;JE.M,2\J) : 'D e . t e r M I V \ O r . r t o . . ~rmo'h\Cl.L c . o n j u ~ ~ c k

IA . \) C ., ~ ) - : : . . . ) ( 'l._~ 2 . - l e X ~~q,.- d ~'OePJa.r ~ v e L t& A t l C ! ) t :. r e c 1 \ \ lQ . W I e \ 4 , ~~

l . \ ) ( = - 2 . . 7 < ~ ~ ~ ) ( ' ) ( = 2 . ) = ! > L t x . x . t C A d ? J =-0u.~ - = -2(1 - T ,c : ~ ~ a '=- - 2.B U 5 C .r A . W \O ~ V k \ ~ ~ " \ L V e : - J . , e C a ! ) f',. ~eben 1 " ; , Q . - h " , t c . e . t ' S e . b

ell ~ \ c . \ O ~elQ de GA.u~~ - R l f .MCl tWli EV l ~ ~t~ :l A . ' ) ( . ' " 2"t~ r " -It r1 \IG < . , ~ \ : : . 2 ) ( ~ t~~a ex) ,....

I V~ : 2~ -t d t,c:) = - - \J.~ = 20 -I. r-. a 16 () :- ')( cA0 _IJ__3 ( , ( ) " - ' I C . / 2 . Hk r-. v lx,c) = - 1 < / 2 - " ' " ~ * 2 " ' C J-t d e . - '

~ =,(0"( ~ d O. . \ s) W V \c :c .W lC I ~

e " : : . } ( ' ~ i < r0 " ~ COy\ \o e~ l c - . rL~U ra.:

'5 e [ ) ( o , . . c J- t E o t~OI~J


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F INALSea nee. a b ie rt o y u : 0 ----l- m : . Entonce~j u es armonica si y $6110 ~ i I LI e~localmerrte la par'te mall de una funcion holomorfa.

CorolsrioL . . F ,-II .c. " It...11.. funei F F a cemposrcion Ufl) unaruncron no ornerra con una runcron armomcass unafuncion arrnonica: si (h~02 C C sonabiertos, . f E~(n~) con f(n~) C02 Yg EA, (02 ) entonces s=! EA , (Q ! 1 ) .

D e 1 ' f \ o c o h o . c . l o ~ , - t t l V l A .O ~ e . \ o c a \ , t e C t . \ e l Q . p a t t e . r ~ J d ~ ~ w . c + 1 I 1 A C 1 . J "M o lW lk , e o \ . . e > < . e ~ u e . r J k..I I ,J . ~ l o .re a D d . . dlNl...~ ~ ~ ~ b l 'A D r& . r- S . J e M J ! ,. ) :j:-

N o b : E \ u H o \ w 1 0 ~~tet'{o( ? o~ J e . M o s 1 - r o r r , e l l l + e v r a t U l C t w . . t 2 c k .c k \ V I . C ) t b t ~ ~ue,:~ ( ~ a J ) " ~ ~ . \ J 1 j t

i;,te t t l l c . v l c ~ e . I \ e ) o . C o o I o eyxtltl q JQ j ~ h O - = I + = -


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TeorernaPara un abierto conexo nc C, son equivalentes:a)O es simplernerrte conexo.b) Toda furrcion armonica l4 EA(n) posee fu ncionarmonica

conjugada. i.e., exists f E ~(n)t.-al que u=Re f.

F INAL


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A tener en cuenta ...Observess que si u EA(Q), para cada discc D ( a , R) c n setjene que UIO(.J,R)es I I a parte real de una funcion holemerfa en D C a , R).Proposicionl .as fu nc iones a rmon ica 5 t ienen la p rop iedad de la rned ia .

R ')c) t.~.g G ~ ( . S 1 . I ~~

u . . t- A U 1 . ) 0 &o : to (qtl) c . . . D C a . L R )

Principio del maximo para fu nciones armon icasSea UE ..4(0) arrnonica en un abierto conexo D cC.

i) Si u alcanza un maximo .8 bsoluto enn, entonces o esconstants.

ii) Si limsuP.:_,.a u ( z ) < 0 para todo .~E a~ n entonces u(z ) < 0pard todoz En. Adernas, 0 bien u(z) < 0 paratodoz En, 0bien u O.

t : " , \ . . & f t l l \ " ' ? ' ~ ~el ~ 'M D ~ ~1eI1 d e b & c a ~ a w : l . ~~n~ . i p I O~ ~r(). - t W . .q O l l i e : ; 'lIl~ O r rJ V l l C C 8 > ~ l" ~s der.toll~I ~. e te .1O y J a . w . o S Q e o v r h n UQ( . I J~ .


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Principle del maximo para funciones subarrnonicasSea a c ([;un abierto conexo Y u :Q -IR una funcion subarmcnica.

i) S~ u alcanza un rnaximeabseluto en nj~ntonc~$ UfEl$constante,~q S~ II~mupz_~ u(z) - < c , para eada a E doofJ, errtones o bien u(z) < c paracada r E fl 0bien u(z) =c para cada r E fl.

E n I I I r e .o ; ; u l ~ , J p C O f r e r y o . d l e , \ e c t t u ~ C l O o e s a r . . , , 6 n l r f l b 8 v t ( ; ' J S ef . u e . c l . e . '1.U..\iu i1\ M O . l ( \ m ~ 0 . ' - ' S c l t, I v ~ p a r 1 / M~)(.I!II .O t cJ . \ . P Q I ~ e ~ oI \ e e e ' i >iw v . o & d e m o . . . t v C i V e 1 ~ ~ ItlAte I 'O : I J t b c l o .Prop osicionSean u~v EA(fJ) funeienes arrnenieas en un abisrto conexo a c ([;.S~UID(a'~r}= VID(a'~r} para ,a~gundisco D ( a , ~ . r ) C OJ r >Oj~ntoncJ~$ U = v,

~Md~a.Cl~" .- e : ' O 71J+IQe~\e D U b r K q~ '0 \ 1 A . E : A ( . t j J ~ u . \ D o : : : . . f ' l r;I 1 (tlLjt)( A . - : : . . . O

~a.te' t \"~ U V \ YQ. foV l r {w \ IC~~ + l p ' c . c ~'. u t \ l ( a : t t Q . c o ~ e , , - J V I d e Jl:" ' : : . J f E J L : : : 3 V " f : 'o 0 ( 7 : Ire) c . . J Z . c.o~ u . . ( 0 ( = - 0 ~n 1 . !:IY"~)

f l r i P ~ e.~ Q . \ n e t k , c . . k V c t W \ . e J e . A - e.~ c e n a d o e M . Jl. ~ A 9 .0 ..6 .1L . . ToVv \C l . lMObt A . . V lD (((\f) c..JL a t i f A . ~ e q _ N E 0 ( C ! l V " )

j ~- ) . { > ( Q l c : u " ' ) : R ~ J = I . { , ~ 0 ( C t l V ' )3 1) ~Q . N ) R ) c .JL ~ ' 6 ~ l e W ( r . " , ) \ l . )

- h . ~ , a.e~:tJ.'_'o '" tteq \ ~ P . e J Io D(ClN)~) l \D (~If) D ( o . t \ I ) ~ l ~ O ( D l l f )

Q t o . t J 1 \ l . . ) f \ O ~ ~ 1 1 ) " " J - = : o - \ i c h ? eM . D l~lr) r~ u . ~ 0 t.l.l D L O t . I") = I F


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Para la s funciones armonicas noes vall ido un principio ele iderrtidad similar a ll del ias funciones holornorfas, i.e., : la fu nc io n u(z) =log [zjesarmdmcaenn= c\ [OJ se anula sobre .M ' = {z : Izl = l} perc noes id~ntic,am~nt~ nulla.CorolarioSea u EA(Q)arm6nica en un abierto conexo Q cC. Si U alcanza un maximorel,ativoen n, entonees ues corrstante.

En ell resultado anterior se puede cambiar maximo por mfnimo,

cc W I \ n C \rW I.~ )( \ V V \ a &

u . . . E o ~ - u . . . ., .~ V V L \ . V I L V V \ O ' i l .

~ e. v U e l ve O L Q . e r Q .rW l~n l~ .) ~= i t "

CorolarioSea U EA(Q)arm6nica y no eonstante en un abierto conexo Q c C. Entoncesues abierta,


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CorolarioSin c C es un abierto conexo acotado y u :n - - - -7 IR es continua ytiene la propiedad de la media enO (en particular si u E A(f2)

CorolarioSin c C es un abierto conexo acotado y u, v : r f ' o o - - - - 7 IR soncontinuas ytienen la propiedad de la media enn (en particular siU,1!! E A ( Q ) y ula:,.,g=1lI ' la:, .,oentonces u =ll,

( l A -V ) l b ) =0 ' V ~ e - r J r t l J L . P ~ p l O t.\(i;)-\l!a!).frJ V @ e .J t.Mo 1 XI\ \4 .0A r A i c C l . lI I . c l o B\ vv \ l[ SW l ,C ! ) r cr2 0 I I I .Q . W I [~II\ t o a . .(r-J'- \,t) ~ v ttl -lA.tb) ~ 0

' ( ) ~ ~ ~ ( s e _ tt,~ue ~ve: ~ =.V . :if


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Dado un abierto conexo y una funcien continua < p : d'ooQ - - - - + Ii, ~Iproblema de Dirichlet para la r~gi6nn can la condicion de frontera-----00'C P consiste ~n encontrar ~si existe una funcion cant inua u:n - - - - + ] g Ita l que :

. , u l n as arrnonica:" u l a ~ n =p ,

Unicidad de 1 0 3 solucionEI ultimo corolario proporciona la unicidad de la solucion delproblema de Dirichlet,

A - ?rA1~tr ~ e. a .~O(Q . V l . O & ocu ?are~ d e \ ~ J o b l e l ' V l . a . d . e l u . e ) C ' l s t e n c . i a . r kS G \ u C . l O I A e . C ; ; 0 . . \ ~~o ~ l e ~ d e O i r i c 1 le t . f u ( ) e Q o e W \ ? e - 2 :c t rt S W J ~ f e r ' -Q . l I ' : t e V \ ~ e r l C A . ? Y c l \ , : h e d c J de t c . . ~EdiQ.. E .n c o l h c v e t c ) ) t a tI lJ C f n 8 C c W \ O & ~ u eIL; O l o l ! ) I l l . e . . . C I l A l , l ' \ u o . ~ ! . L \ O C O I ! ) e :M O C D , l l ) ) e . . .h , ~ t . e : I

U h \ l fC t~&c) ~ ~ I I \ D C o , 1 ) h ' E Y l e \ c ; . . , p v o \ ~le. d . c J . o t el C l W \ e d i c . . . / Sl t o WJClIN\O& 0 , < r c : : : . L ~eVleYYlCJ~

( A l o ) = j_ J ~ ~ r ell) Je [-t]2 C \ 't O M C t V \ J o r _,4 . u " O c t 5u{eJ) \6~ I l e A . c C J l A t r l ' l u \ ' c l C " ( d

u V \ \ ~ v W \ e J o e lA f D(o ,!) n :~ d.l~ ~~ u l f n e lO ] ---7' u . l e iO )U V \ \ ~ ( V M e W \ 6 A o t e e ~ e ~ C o I z . l I ' ' ] . A " ' o rQ. b ~ C o t l . \ d o H I M l h : ~ e A A [i'J s e\ I Z n IOV1tlell\e ~~: l I l o 1 = ~q J l l ( e ' l l ) d e ~JL a ~1 I l ~-el e w . d " a. " "0 Y o t'" ~ t e Y l d . . f t o . . - U r r o . J ( ) .~ J ? o r o . c o . l c J a vr.t~ ) ;\ \ i 1 : 1 'i) e . V \ l \ J a a v d e 4 (0).


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S i u : D ( O , 1)-+ lm . es u na TUncion eenti nuatal queul O{IO~:q es arrneniea, p~r~cada Z E D ( O ~ 1) se vlerH~c,cil:

u(z) = ._ 1 fL W u ( e i t ) . K ( , ~ i : t , z ) d ' t 1 [*l. _ F _ ' _ N . _ ~ _ L _21l: J O I

D e W \ O ' D t r c t c . ld l i l .- \-\().y~O& l~d e V V l o l b t r Q t l b l c 1 e . V \ dos e-b\,~" l~ E J " ~ o A . - t J ~ o V t . e . ~ o ~ ~ u e . e.'(l~~ R"~ ~ ~'-f u . c A l D ( o , I t ) ) . F \ ) b . v n a sJ2. ~GO(o/q ' c 1 -----.s


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u . l e \ ' O ) J~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - ~J * . I ---JJ-u . (~l c, ~ IT ~le 'O) k l e \ 8) - 2 1 C \8 . -er-

L o . t J r . . . .d l r . d e ] , " 'b O " [it] Dsva l e l e c.oI'Il~ ~oo ; , de b u ~ Q f b ~o \ \ lC~( A . \ \ ( \ \ ~ { e ~ C r . d e D ~ f \ ' r k \ e t - C I J ? c u o . J e ~edto t e C D o \ " c : r e 1 r d ~ C = w e c rkO i f( ~ \ e t - n e c e c o \ k ~ a..~~tA ba.\a~o f ~ c v i o ~ ~ roQ.'MOCfJ Q.. r e Q ~ = a c c v .J d r t . e . I C l o ! o . . . . 1 \ r c t 1 1 1 0 & c . t . . e d I I L deo k . Y oi-a.o~ p l l : ' ~ es cr i i tse e ~

C . Q ) ( c l e . ' A a . d 4 s ~ \a ~ tO ~ D l f f J e !


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Corolario-------------------------Si u: D(O,l) - - - -7~ es una funcien continua tall que u l . D { o ~ q es armonica, paracada s : = nlo; E D ( O , 1) se v~nif~c.a:

d JI p. (")' 1,-r21-r2 ( " p . , fll d p. )onne r 1 ( j I " = I ~ ,fiJI I ' ; ' =1 :]' ." 61+ : 2 ' ' nucieo .' orsson -re- I - ,r'C05, ,,' , rEI nucleo de Poissontarnbien viene dado par la s fo rm u la s

00 +001+ 2[ rtl' cos ne =[ rlnl,e;n6~. (2)n=l n=-oo


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P roposicion- ------- -

F INALE l l r n ic l e e de Po isson PI' (19!) t~,(1ineI I~g siguientes prepieelades:i) 0 < Pr(I9!) = Pr(-I~) = Pr(l9! +2H) para todo 19 !E m .; ; ) , J L [2n: P - ( ' t I l ) , ' d'tII - 1" :IiJO I' ,10" r = 10" - ", iii) 0 < Pr(I9!) < P r ( ! ! 5 ) si 0 < 0 < II~I < H.iv ) P~Fa 0 < 0 < H , I l iJmr~i1- Pr(I9!) =0 uniformemente en 0


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Proposic i6nS i 'r p :T - - - - 7 lR s con tinu a sab re la c i rcunferenc iaT =[z : I z l =} ypara cadaz =E D(0,1) s de fine

s ob tien e una fun cion h o lom orfa f E ~ (D(O , 1). S u parte rea lu =lR ::ef que es arm on ica en D(0 ,1 ), v iene dada pa r la in tegral :

O e m O ' b t ~ C l J L t . -eit-tl:


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Teorerna: solucion al Problema de Dirichlet---------------Si . ' ' P :T - - - -7 IR es continua sabre la circunferenciaT =[z : I z l =1},existe una unica funcion continua u : D(O, 1) - - - -7 lR que cumple

f l iT =P ; uID(o,l} esarmonica ( F INAL Jque viene dada media nte la formula integral de Poisson:


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1 @ Tsl ' lUl l \ \CG p o . f D . bo) S 'O ( f O f ' ~ " h n u l l k & U l o l t . d e t )W ~


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Teorerna: solucion al Problema de Dirichlet en D (a , R )

ul{.zEC:lz-d'I=R} = { J J ; .t~ID'(djR)~$arm6nicaque viene dada mediante Ilaf6lrmull.a integral d(ll Poisson: F INALS~ { J J : {z E C : Iz - aI= R} -II t es conti nuaj~xi$.t,~ una unica funcien contin uau : D (a ,~ R ) -I.. que curnple

D e m o " t - r a . ~ l J r J . - E~ ' ; ; \J~~cteu.\-e h r a v e \ C l ' A . Y . L \ o t o ~e ' l D V L a b . Q e .U J = ~ -Q Cd III \ ~ -alb R .~? f ~e( ~ to e J r A . ~ C A t ' r Y ' t \ u l c . c . o ~ t - e ~ ~ d . u .vtL e l D L O I!,

Toda funcion continua u : -IIR con la propiedad de la rrredia es arrnonica.


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Convergencia de sucesiones de f u nciones armon icasTeerernaS~ una sucesion de funciones armonjcas Un EA(Q) convrg uniformernentesobre compactos, 1101uncion 111mte U : Q - . r n : ta rnbienesarrnorrica.

' D e . V V \ . o t D t - r C J . . c t . C J c o , t - L t v \ e : : f : . t tJL) ~ t A . . 1 I I . ~L


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Teorerna- -Para una sucesion ereciente de funeiones armonicas un EA,(Q) en un abiertoconexo Q cC se cumpls una de las dosalternativas siguientes:

~) II~mn c z , \ ~ ( 0 . \ ~ ~ 0 0 ~ ~ l - 2 J -= " c o p ~ r ( l c .~ t6 D ( C c I R . )I'.t ' b \ I A . ( c , . ) C o tO O /'P \.\f) ~ t e oA " " - C l ' ( ( J . . ~ ~VIl. r ~ d c . l(S '4Q r- ~ I , ~ e O(Q, P J .~ ~ lA . u t " f 90~~C o W I p c . c ~ ., .


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s{ ~li-I : : : '" i C ' . O \J~E-SL.JL F i ic ( M 0 6 0.6..n 0 - - t o W l e M o S D t q t e ) c . O t a . , \ 7 . ) c J L

VeteWUl& , . . e l~~..e~~w. 1 1 . . . ~ - \o~ (!,lJVl.r~vW\e e A A . D lC ( c e ) . S ~ ~le~e

R - \ - e - c c . l ~I.\ (Ct' ~ """'(!-) l J e o D (l),1 e)Rt \ ~ " c C t . \~ t \ \ C . u r ~ t . ~c l . e c v e o . t ' ~ te ~ (0 , t ' c u )

. M - \ J (tl'v. ~{t:Vlero d e 2 . 0 0 t -G . s ( C l I ~

3.1 funciones armonicas (apuntes)

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