UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

301301A_221

SECCIONES CÓNICAS, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRABAJO COLABORATIVO

MOMENTO No. 6

Esp. OTTO EDGARDO OBANDO Docente

Araujo Rodríguez Edwin Enrique – C.C. 1065578592 Hernández José Manuel – C.C. 77031313

Grupo: 301301_40

Valledupar, Cesar 2015

Introducción

El presente trabajo refleja el Momento 6: Trabajo Colaborativo, el cual nos da a conocer y aprender por medio de unidad No. 3 del curso, los fundamentos, conceptos y propiedades sobre Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias.

A continuación abordaremos una miscelánea de ejercicios correspondientes a cada uno de los temas que contiene la Unidad No. 3 y daremos respuesta a los mismos con el fin de Analizar, identificar y explicar las propiedades y las posibles soluciones de alternativa de Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias

Objetivos.

Identificar y aprender los conceptos y propiedades de Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias.

Abordar una miscelánea de ejercicio con el fin de plantear alternativas de solución utilizando

los fundamentos y propiedades de Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias.

Explicar y analizar los fundamentos Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias y sus propiedades. Vistos en la Unidad No. 3.

Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias Trabajo Colaborativo

Momento No. 6

1. De la siguiente elipse 4X2+ Y2 – 8X + 4Y – 8 = 0. Determine:

A. Centro B. Vértices C. Focos

Como 4 < 16, entonces es una elipse sobre ejes verticales.

A. Centro: – h = – 1 – k = 2 h = 1 k = – 2

C ( 1, – 2 )

4X2 + Y2 – 8X + 4Y – 8 = 0

( 4X2 – 8X ) + ( Y2 + 4Y ) = 8

4 ( X2 – 2X ) + (Y2 + 4Y + 4) = 8 + 4

4 ( X2 – 2X + 1 ) + ( Y2 + 4Y + 4 ) = 8 + 4 + 4

4 (X – 1 )2 + ( Y + 2 )2 = 16

[ 4 (X – 1 )2 / 16 ] + [ ( Y + 2 )2 / 16 ] = 16 / 16

[ (X – 1 )2 / 4 ] + [ ( Y + 2 )2 / 16 ] = 1

(X – 1 )2 ( Y + 2 )2

4 16 + = 1

(X – h )2 ( Y – k )2

b2 a2 + = 1

A continuación se graficará la elipse con sus Vértices, Centro y Focos:

C ( 1, – 2 ) V ( 1, 2 ) V’ ( 1, – 6 ) B ( 3, – 2 ) B’ ( – 1, – 2 ) F ( 1, 1.464 ) F’ ( 1, – 5,464 )

B. Vértices:

a2 – b2 = c2 a2 = 16

a2 = 16 a = 4

b2 = 4

b2 = 4 b = 2

V ( 1, – 2 + 4 ) V ( 1, 2 ) B ( 1 + 2, – 2 )

B ( 3, – 2 )

V’ ( 1, – 2 – 4 ) V’ ( 1, – 6 ) B’ ( 1 – 2, – 2 ) B’ ( – 1, – 2 )

C. Focos:

c2 = a2 – b2 c2 = 42 – 22 c2 = 16 – 4

c = 12

c = 2 3 c ≈ 3,464

F ( 1, – 2 + 12 ) F ( 1, 1.464 )

F’ ( 1, – 2 + 12 ) F’ ( 1, – 5,464 )

2. Deduzca la ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértice en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

Para deducir la ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Primero grafico los Vértices (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6, para hallar el Centro :

Observando la Grafica notamos que:

Centro = C(3,5). Distancia entre Centro y Vértice es: a = 3 Distancia entre Centro y B: b = 4 La elipse esta sobre los ejes de las Y, en Forma Vertical.

Conociendo a = 3 y b = 4: Calculamos a2 y b2

a = 3 a2 = 32 a2 = 9

b = 4 b2 = 42 b2 = 16

Conociendo el Centro = C(3,5), a2 = 9 y b2 = 16: Entonces remplazamos en la Ecuación General.

C ( 3, 5 )

h = 3 k = 5 – h = – 3 – k = – 5

Por lo tanto la Ecuación Cónica es:

(X – h )2 ( Y – k )2

a2 b2 + = 1

(X – 3 )2 ( Y – 5 )2

9 16 + = 1

3. De la siguiente hipérbola 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0. Determina:

A. Centro B. Vértices C. Focos

Como 9 > 4, entonces la hipérbola esta sobre el eje de las X en Forma Horizontal:

B. Centro: – h = – 2 h = 2

C ( 2, – 1 ) – k = 1

k = – 1

4X2 – 9Y2 – 16X – 18Y – 29 = 0

( 4X2 – 16X ) – ( 9Y2 + 18Y ) = 29

4 ( X2 – 4X ) – 9 (Y2 – 2Y) = 29

4 ( X2 – 4X + 4 ) – 9 ( Y2 – 2Y + 1 ) = 29 + 16 – 9

4 ( X – 2 )2 – 9 ( Y + 1)2 = 29 + 7

4 ( X – 2 )2 – 9 ( Y + 1)2 = 36

[ 4 ( X – 2 )2 / 36 ] – [ 9 ( Y + 1 )2 / 36 ] = 36 / 36

[ ( X – 2 )2 / 9 ] – [ ( Y + 1 )2 / 4 ] = 1

(X – 2 )2 ( Y + 1 )2

9 4 – = 1

(X – h )2 ( Y – k )2

a2 b2 + = 1

A continuación se graficará la elipse con sus Vértices, Centro y Focos:

C ( 2, – 1 ) V ( 5, – 1 ) V’ (–1, – 1 ) B ( 2, 1 ) B’ ( 2, – 3 ) F ( 5.61, – 1 ) F’ (– 1.61, – 1 )

C. Vértices:

a2 + b2 = c2 a2 = 9

a = 9 a = 3

b2 = 4

b = 4 b = 2

V ( 2 + 3, – 1 ) V ( 5, – 1 ) B (2, – 1 + 2 )

B ( 2, 1 )

V’ ( 2 – 3, – 1) V’ (–1, – 1 ) B’ (2, – 2 – 1 ) B’ ( 2, – 3 )

D. Focos:

c2 = a2 + b2 c2 = 32 + 22 c2 = 9 + 4

c = 𝟏𝟑

c = 2 3 c ≈ 3,61

F ( 2 + 13, – 1) F ( 5.61, – 1 )

F’ ( 2 + 13 , – 1) F’ (– 1.61, – 1 )

4. Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16).

A. Vértices:

V1 ( 1, 11 )

V2 ( 1, –15 )

B. Focos:

F1 ( 1,12 )

F2 ( 1, –16 )

C. Centro:

C ( 1, – 2 )

5. Demostrar que la ecuación X2 + Y2 – 8X – 6Y = 0 es una circunferencia. Determinar: A. Centro B. Radio

( X – h )2 + ( Y – k )2 = r2

X2 + Y2 – 8X – 6Y = 0

X2 – 8X + Y2 – 6Y = 0

( X2 – 8X + 16 ) + ( Y2 – 6Y + 9 ) = 16 + 9

( X – 4 )2 + ( Y – 3 )2 = 25 Forma Ordinaria

A. Centro:

– h = – 4 h = 4

C ( 2, – 1 ) – k = – 3

k = 3

B. Radio:

r2 = 25

r = 25

r = 5

6. De la siguiente parábola – Y2 + 12X + 10Y – 61 = 0. Determine:

A. Vértice B. Foco C. Directriz

( Y – k )2 = 4p ( X – h )

– Y2 + 12X + 10Y – 61 = 0

Y2 – 12X – 10Y + 61 = 0

( Y2 – 10Y) = 12X – 61

( Y2 – 10Y + 25) = 12X – 61 + 25

( Y2 – 10Y + 25) = 12X – 36

( Y – 5 )2 = 12 ( X – 3 ) Forma Ordinaria

A. Vértice:

– h = – 3 h = 3 V ( h, k ) – k = – 5 V ( 3, 5 ) k = 5

B. Foco:

4p = 12 F( h + p, k )

p = 12/4 F( 3 + 3, 5 )

p = 3

F( 6, 5 )

C. Directriz:

X = h – p

X = 3 – 3

X = 0

7. Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas: pasa por (1,7); paralela a la recta que pasa por (2,5) y (-2,1).

Entonces: F(x) = X + 3 y G(x) = X + 6

Ecuación de la Recta:

Punto C: ( 1, 7 )

Y – Y1 = m ( X – X1 )

m= 1 C: ( 1, 7 ) Y = X + 3

Y – Y1 = m ( X – X1 )

Y – 7 = 1 ( X – 1 )

Y – 7 = X – 1

Y = X – 1 + 7

Y = X + 6

Recta Paralela:

A: ( 2, 5 ) B: (– 2, 1 ) Hallamos la Ecuación de la Recta Paralela.

Y – Y1 = m ( X – X1 )

m = Y – 5 = 1 ( X – 2 )

m = Y – 5 = X – 2 Y = X – 2 + 5 m = Y = X + 3 m = 1

Y2 – Y1

X2 – X1

1 – 5

– 2 – 2

– 4

– 4

8. Calcular las siguientes sumatorias: A. Sumatoria:

= n ( n + 1 )

= 300 ( 300 + 1 )

= 300 ( 301 )

= 90.300

B. Sumatoria:

= [ 2(1) + 1 ]2 + [ 2(2) + 1 ]2 + [ 2(3) + 1 ]2

= [ 2 + 1 ]2 + [ 4 + 1 ]2 + [ 6 + 1 ]2

= [ 3 ]2 + [ 5 ]2 + [ 7 ]2

= 9 + 25 + 49

= 83

∑𝟐𝒊

𝟑𝟎𝟎

𝒊=𝟏

∑( 𝟐𝒊 + 𝟏)𝟐𝟑

𝒊=𝟏

9. Calcular las siguientes Productorias: A. Productorias:

= [ [ 3 ( –1) + 7 ] [ 3 (0) + 7 ] [ 3(1) + 7 ] [ 3 (2) + 7 ] [ 3 (3) + 7 ] [ 3 (4) + 7 ] ]

= [ [ 4 ] [ 7 ] [ 10] [ 13 ] [ 16 ] [ 19 ] ]

= 1.106.560

B. Productorias:

= [ [ 2 / ( 2 – 1 ) + 3 ] [ 3 / ( 3 – 1 ) + 3 ] [ 4 ( 4 – 1 ) + 3 ] ]

= [ [ 2 + 3 ] [ 3 / 2 + 3 ] [ 4 / 3 +3 ] ]

= [ [ 5 ] [ 9 / 2 ] [ 13 / 3 ] ]

= 585 / 6

= 195 / 2

∏ 𝟑𝒊+ 𝟕

𝟒

𝒊= −𝟏

∏𝒊

(𝒊 − 𝟏 )

𝟒

𝒊=𝟐

+ 𝟑

Conclusión.

Al terminar se concluye que gracias a la profundización y estudio de los temas vistos en la unidad No. 3 y a la realización de la miscelánea de ejercicios propuestos en este Trabajo Colaborativo: Momento 6. Aprendimos, Comprendimos y analizamos las diferentes alternativas de solución a las Ecuaciones Cónicas, Sumatorias y Productorias. Identificamos los fundamentos, conceptos y propiedades sobre Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias. Por último se exalta el apoyo que nos brindó la herramienta interactiva “GeoGebra” la cual es muy dinámica para graficar y poder comprender e identificar de manera más fácil el resultado de las Ecuaciones Cónicas, Sumatorias y Productorias y demostrar la solución de los ejercicios resueltos.

Referencias Bibliográficas.

Andalón, J. (2010). Ecuación general de la recta. Recuperado de: http://www.youtube.com/watch?v=5bC_ZVLSG-Q Andalón, J. (2011). Identificación de cónicas. Recuperado de: http://www.youtube.com/watch?v=NbX2s9yV8jg Real, M. (2010). Secciones Cónicas. Recuperado de: http://www.youtube.com/watch?v=aNVE4kW7GPs Swokowski, E. (2009). Algebra, Trigonometría con Geometría Analítica. México, Edamsa Impresiones, S.A. Páginas 815 – 840. Recuperado de: http://instrumentacionuney.files.wordpress.com/2013/06/algebra-y- trigonometria-con-geometria-analitica-12ed.pdf Duran, C. ( 2013 ). Ecuaciones Cónicas. https://youtu.be/-z4doHs8zNo Rodríguez, F. ( 2014 ). Sumatorias y Productorias. https://youtu.be/-xs8zN4sdrHo