3 semana 01 antiderivaciã n 14 2

7/21/2019 3 Semana 01 Antiderivaci n 14 2

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Facultad de Ingeniera Semestre 2015-I

CURSO: CLCULO II

Tema :

ANTIDERIVADA

Un ingeniero que puede medir la razn variable a la cual fuga el agua de un tanque

quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un

administrador que conoce el costo marginal de una produccin puede interesarse en

deducir el costo total de la produccin. En cada caso, el problema es hallar una

funcin cuya derivada sea una funcin conocida. Si existe tal funcin F, se le

denomina una ANTIDERIVADA de f.

Definicin:

Una funcin F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si:

'( ) ( )F x f x x I

Ejemplo:

Sea2

( )f xx

. Una antiderivada es ( ) 4F x x porque2

'( ) '( )F x f xx

.

Teorema:

Si F es una antiderivada de fen un intervalo I , entonces la antiderivada ms general

de fen I es:

( ) ;F x C

Dnde: C es una constante arbitraria.

Ejemplos:

1.

La antiderivada ms general de ( ) sin( )f x x es ( ) cos( )F x C x C .

2. La antiderivada ms general de ( ) 2f x x es 2

( ) 23

F x C x x x C .

Definicin:

Al conjunto de todas las antiderivadas de se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se

representa por:

( ) ( )f x dx F x C

Antiderivacin e inte ral indefinida


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Ejemplos:

1. cos( ) sin( )x dx x C

2.1

ln( )dx x C x

FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN

Sean ,f gfunciones derivables, adems ,k Cconstantes, entonces tenemos:

1. ( ) ( )kf u du k f u du

2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du

3. 0du C

4. du u C

5. kdu ku C

6.1

1

nn uu du C

n

7. lndu

u Cu

8.u u

e du e C

9. , 0, 1ln( )

uu a

a du C a aa

10.sin( ) cos( )u du u C

11. cos( ) sin( )u du u C

12.sin( )

cos( ) ku

ku du C k

13.cos( )

sin( ) ku

ku du C k

14.

tan( ) ln cos( )u du u C


3/7


15. c ( ) ln sin( )tg u du u C

16.

sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan 2 4

u

u du u u C C

17. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2

uu du u ctg u C C

18.2

sec ( ) tan( )u du u C

19.2

csc ( ) ( )u du ctg u C

20.

sec( )tan( ) sec( )u u du u C

21. csc( ) ( ) csc( )u ctg u du u C

22.2 2

1arctan

du udu C

u a a a

23.2 2

1ln

2

du u aC

u a a u a

24.2 2

1 ln2

du u a Ca u a u a

25.2 2

arcsindu u

Caa u

26.2 2

2 2ln

duu u a C

u a

27.2 2

2 2ln

duu u a C

u a

28.2

2 2 2 2arcsin

2 2

u a ua u du a u C

a

29.2

2 2 2 2 2 2ln

2 2

u au a du u a u u a C

30.2

2 2 2 2 2 2ln

2 2

u au a du u a u u a C

31.2 2

1arcsin , 0

uduC a

a au u a


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32.2 2

2 2

1 ln( )du a a uC

a uu a u

TCNICAS DE INTEGRACIN

INTEGRACION DIRECTA:

Se trata aqu de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de

derivadas y la aplicacin de la tabla bsica considerando algunos recursos algebraicos y

las propiedades sealadas. Algunas veces, antes de realizar la integral

correspondiente, se procede a simplificar la expresin por si de esa forma se puede

integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se

descomponen en otras ms sencillas, transformndose en una simple suma de

integrales ms elementales.

Ejemplos:

1.6

5 5 66 6 66

xx dx x dx C x C

2. 4 3 2

3 23 5 3 4 3 5 3 4

4 3 2

x x xx x x dx x C

3. 2

3 2 3 3 2 3 3x dx x x dx xdx xdx xdx

23

24 3

32 3

xx x C

4. 3 5

2 22

1 1 15

x x x dx x dx x x C

5.3 2

2

2 7 4x xdx

x

Solucin:

Al descomponer la fraccin en suma de fracciones:3 2 3 2

2

2 2 2 2

2 7 4 2 7 42 7 4

x x x xx x

x x x x

Se tiene que:


5/7


3 2

2

2

2 1

2

2 7 42 7 4

2 7 42 1

47

x xdx x x dx

x

x x

x C

x x Cx

6. Determinar33 5

5 2

2 7 4

3

x x xdx

x

.

Solucin:

Transformando las races en potencia, descomponiendo en suma de fracciones

y simplificando, tenemos:

5 53 333 5 3 32 2

2 2 2 25 2 5 5 5 5

19 31110 15 5

2 7 4 2 7 4 2 7 4

3 3 3 3 3

2 7 4

3 3 3

x x x x x x x x x

x x x x x

x x x

Por lo que la integral nos queda:

19 31133 5 10 15 5

5 2

19 31110 15 5

34 82110 15 5

2 7 4 2 7 4

3 3 33

2 7 4

3 3 3

20 105 5

63 102 6

x x x x x xdx dx

x

x x xdx dx dx

x x x C

7. Determinar5 2 6

3 2

3 2x x xdx

x

.

Solucin:5 2 6 5 2 6

2 2 23 2 3 3 3

13 1643 3 3

16 7 193 3 3

3 23 2

3 2

9 6 3

16 7 19

x x x x x xdx dx dx dx

x x x x

x dx x dx x dx

x x x C


6/7


8. Determinar5

1dx

x .

Solucin:5 1

5

5 4

1 1

5 1 4

xdx x dx C C

x x

9. Determinar2

2

25

16

xdx

x

.

Solucin:2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 2 2

25 16 9 169

16 16 16 16

16 916

116 16ln 16 9ln 16

2

x x x dxdx dx dx

x x x xdx

x dxx

x x x x x x C

EJERCICIOS PROPUESTOSI.- En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas:

1. dxx

63

2.

dxx

x3

2)43(

3. dxxxx )84( 37

4. dxx

xx

3

652

5.

dxx 7

34

6.

dtte

t

4

753

7. /21 5

3

xe dx

x x

8. dtt

e t

4

)5( 22

9. dxxxsene

x

67)5(

3

10. 0.02 0.13 4t te e dt

11. 2tan 3cosx x dx

12. 2

2sin 2x dxx

13. 1/2 2 2t t t dt

14.

dxx

x 916

2

2

15. 3 2 12 5x x dxx

16.

3 1 22

xx


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II.- Resuelve los siguientes problemas

1) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la produccin de q

unidades de cierto artculo es 2'( ) 4 1.2R q q q dlares por unidad. Si el

ingreso derivado de la produccin de 20 unidades es de $30000, cul ser el

ingreso esperado por la produccin de 40 unidades?

2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL.Un ecologista encuentra que cierto tipo de rbol

crece de tal forma que su altura ( )h t despus de taos cambia a una razn de

2/3'( ) 0.2 pies/aoh t t t

Si cuando se plant el rbol ste tena una altura de 2 pies, cul ser su altura

dentro de 27 aos?

3)

CRECIMIENTO DE LA POBLACIN.Se ha determinado que la poblacin ( )P t de

una cierta colonia de bacterias, thoras despus de iniciar la observacin, tiene

un razn de cambio

0.1 0.03200 150

t tdPe e

dt

Si la poblacin era de 200000 bacterias cuando inici la observacin, cul ser

la poblacin 12 horas despus?

4) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el

tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el nmerode aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se

determina como

2'( ) 0.4 0.005M t t t

a) Cuntos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10

minutos?

b) Cuntos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10

minutos (del tiempo 10t al 20t )?

5)

DESCONGELAMIENTO.Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en

el mostrador para que se descongele. Cuando se sac del congelador, la

temperatura de la carne era de -4C, y thoras ms tarde se incrementaba a

una tasa de0.35 o'( ) 7 C/htT t e

a) Determine una frmula para la temperatura de la carne despus de t

horas.

b) Cul es la temperatura despus?

c) Suponga que la carne est descongelada cuando su temperatura llega a

10C. Cunto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne?

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