TEMA 3 MOVIMIENTO VIBRATORIO

MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se

repiten todas las características del mismo en un tiempo

determinado.

MOVIMIENTO OSCILATORIO: es aquel movimiento

periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a

otro de la posición de equilibrio.

MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio

en el que las oscilaciones son relativamente rápidas.

PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo

completo, es decir, en volver a la situación inicial.

MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO

FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan

en un segundo.

ELONGACIÓN [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la

partícula de la posición de equilibrio en un instante

dado. (x → horizontal; y → vertical).

AMPLITUD (A): es la elongación máxima, es decir, la

máxima distancia que se separa la partícula de la

posición de equilibrio.

MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO

𝜈 =1

𝑇; 𝑠−1 = 𝐻𝑧

MOVIMIENTO

VIBRATORIO

ARMÓNICO SIMPLE

Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios.

Es un movimiento periódico en el que la partícula se

desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se

caracteriza porque es un movimiento con aceleración

variable.

Esta aceleración está producida por una fuerza

recuperadora que es proporcional al desplazamiento,

pero de sentido contrario.

Al móvil que describe este movimiento se le llama

oscilador armónico.

M.V.A.S.

La fuerza va a ser máxima en los extremos

𝑥 = 𝐴 𝑜 𝑥 = −𝐴 . Como esto es así, la aceleración también

será máxima en dichos puntos.

La fuerza en 𝑥 = 0 va a ser 0, entonces, la aceleración

también se anulará en el punto de equilibrio.

Podemos decir que la aceleración es variable en función de

la posición de la partícula.

Si hablamos de la velocidad: 𝑣 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑥 = −𝐴

𝑣 → 𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0

LEY DE HOOK

𝐹 = −𝑘 · 𝑥

M.V.A.S.

Elongación: 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑡 ; 𝑚

Velocidad: 𝑣 = 𝑓 𝑡 ; 𝑚

𝑠

Aceleración: 𝑎 = 𝑓 𝑡 ; 𝑚

𝑠2

ECUACIONES DEL

MOVIMIENTO

Movimiento vertical:

𝐹 = −𝑘 · 𝑦 = 𝑚 · 𝑎 = 𝑚 ·𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

−𝑘 · 𝑦 = 𝑚 ·𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

𝑚 ·𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑘 · 𝑦 = 0

Ecuación diferencial, no sabemos resolver este tipo de

ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo

que vamos a obtener…

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

𝑦 = 𝐴 · sin𝜅

𝑚· 𝑡

Además, 𝜅

𝑚= 𝜔 (velocidad angular)

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

Comprueba que se

cumple la ecuación

¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el

argumento del seno…?

¿Y si en vez del seno usamos un coseno…?

Donde 𝑦 → 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (𝑚)

𝐴 → 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝑚)

𝜔 → 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑑

𝑠

𝜑0 → 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑑 .

𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑡0

𝑦 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0

𝑦 = 𝐴 · cos 𝜔𝑡 + 𝜑0

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝜈 =

𝜅

𝑚

CAMBIO DE UNIDADES:

RADIANES → GRADOS

3′2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ⟶ 3′2 · 1800 = 5760

sin 5760 ≈ −0′9

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

Suponemos que tenemos una

masa colgada de un muelle

como en la figura. Cuando lo

dejamos estar, la masa está

en reposo (izq.). Esa es su

posición de equilibrio.

Contraemos el muelle 2 cm y

soltamos, dejando que la

masa oscile libremente

(despreciamos rozamiento

con el aire).

Queremos calcular la fase

inicial.

EJEMPLO

Como es un movimiento vibratorio armónico simple cumplirá

la Ley de Hook:

𝐹 = −𝑘 · 𝑥

Conocemos la solución que se obtiene para estos casos:

𝑦 = 𝐴 · sin 𝑤𝑡 + 𝜑0

En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongación es

𝑦 0 = −2 𝑐𝑚 y la amplitud 𝐴 = 2 𝑐𝑚 ; sustituimos en la

fórmula y despejamos:

−2 = 2 · sin 𝑤 · 0 + 𝜑0

−2 = 2 · sin 𝜑0

EJEMPLO

Obviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sólo nos falta

un signo menos:

sin 𝜑0 = −1

𝜑0 = sin−1 −1 = −𝜋

2𝑟𝑎𝑑

EJEMPLO

𝜑0 = −𝜋

2𝑟𝑎𝑑

Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)

REPRESENTACIÓN

Si 𝑦 = 𝐴 · sin 𝑤𝑡 + 𝜑0 y además 𝜑0 = 0:

𝑦1 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡1 + 𝜑0

Diferencia de fase:

∆𝜑 = 𝜔𝑡2 + 𝜑0 − 𝜔𝑡1 + 𝜑0

𝑦2 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡2 + 𝜑0 ∆𝜑 = 𝜔𝑡2 − 𝜔𝑡1

REPRESENTACIÓN

∆𝜑 = 𝜔 𝑡2 − 𝑡1

Observamos dos situaciones importantes y significativas en

función del valor que tome esta diferencia de fase

∆𝜑 = 2𝜋 · 𝑛; 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … los puntos están en FASE, es

decir, tienen la misma elongación y tendencia, y su distancia

es el Periodo (o un múltiplo del mismo).

∆𝜑 = (2𝑛 + 1)𝜋; 𝑛 = 0, 1, 2, 3, … los puntos están es

OPOSICIÓN DE FASE, es decir, tiene la misma elongación,

tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un

múltiplo del mismo).

REPRESENTACIÓN

∆𝜑 = 𝜔 𝑡2 − 𝑡1

𝑣 =𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0

𝑑𝑡

𝑣𝑚𝑎𝑥 → cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = ±1

sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 0 ⇒ 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 𝑦 = 0

VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.

𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0

𝑣𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!

𝑣𝑚𝑖𝑛 → cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 0

sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = ±1 ⇒ 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 𝑦 = ±𝐴

VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.

𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!

𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0

VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S.

𝑣 = 𝜔 𝐴2 − 𝑦2

𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 𝐴𝜔𝐴2 − 𝑦2

𝐴2= 𝜔 𝐴2 − 𝑦2

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 1 − sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0

sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 =𝑦

𝐴

cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 1 −𝑦2

𝐴2

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0

𝑑𝑡

𝑎𝑚𝑎𝑥 → sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = ±1 ⇒ 𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴

ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.

𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑎 = −𝜔2𝑦

𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2 ¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!

𝑎𝑚𝑖𝑛 → sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 = 0 ⇒ 𝑦 = 0

ACELERACIÓN DEL M.V.A.S.

𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑎 = −𝜔2𝑦

𝑎𝑚𝑖𝑛 = 0 ¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!

EL PÉNDULO

SIMPLE

Se compone de un cuerpo que

cuelga de un hilo de masa

despreciable y que se desplaza

ligeramente de su posición de

equilibrio.

Este mecanismo describe un

m.v.a.s.

La fuerza a la que se encuentra

sometido el péndulo es la

fuerza de la gravedad.

EL PÉNDULO SIMPLE

1 0 0 4 0 6 5 d e E l b i b l i ó m a t a

Vamos a calcular la fuerza total

a la que se ve sometido el

péndulo para entender así su

movimiento.

𝑃𝑥 = 𝑃 · sin 𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃

𝑃𝑦 = 𝑃 · cos 𝜃 = 𝑚𝑔 cos 𝜃

𝑇 = −𝑃𝑦

𝐹 = 𝑃𝑥 + 𝑃𝑦 + 𝑇 = 𝑃𝑥 + 𝑃𝑦 − 𝑃𝑦

EL PÉNDULO SIMPLE

𝐹 = 𝑃𝑥

Como θ va a ser muy pequeño si

queremos tratar al péndulo como

un m.v.a.s. (si las oscilaciones

son muy grandes no podemos

despreciar el rozamiento y deja

de serlo)

𝜃 ≈ 0 ⇒ sin 𝜃 ≈ 𝜃

𝑃𝑥 = −𝑚𝑔𝜃

𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜=

𝑥

𝐿

EL PÉNDULO SIMPLE

𝐹 =−𝑚𝑔

𝐿𝑥

Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario

Podemos calcular la aceleración

a la que se ve sometido:

𝐹 = 𝑚𝑎

𝑎 =𝐹

𝑚=

−𝑚𝑔𝐿

𝑥

𝑚

EL PÉNDULO SIMPLE

𝑎 =−𝑔

𝐿𝑥

Y podemos calcular la frecuencia

de oscilación del péndulo, ya que

conocemos la aceleración de

cualquier m.v.a.s:

𝑎 = −𝜔2𝑥

𝜔2 =−𝑎

𝑥=

𝑔𝐿

𝑥

𝑥=

𝑔

𝐿

EL PÉNDULO SIMPLE

𝜔 =𝑔

𝐿

Y por último, podemos calcular la

relación más importante que

vamos a ver para un péndulo

simple, su periodo:

𝑇 =2𝜋

𝜔=

2𝜋

𝑔𝐿

EL PÉNDULO SIMPLE

𝑇 = 2𝜋𝐿

𝑔

𝑥 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0

Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0

𝜃0 = 100 𝜃 = 100

𝜃 𝑡 = 𝜃0 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0

100 = 100 · sin 0 + 𝜑0

sin 𝜑0 = 1 𝜑0 = sin−1(1)

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

𝜃 𝑡 = 𝜃0 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑0

𝜑0 =𝜋

2

ENERGÍA DEL

OSCILADOR

ARMÓNICO

En el m.v.a.s. se ponen en juego dos

tipos de energía:

La energía cinética

La energía potencial

ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO

(Modelo de Einstein)

𝐸𝐶 =1

2𝑚𝑣 2 =

1

2𝑚 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0

2 =1

2𝑚𝐴2𝜔2 cos2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =

=1

2𝑚𝐴2

𝑘

𝑚cos2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =

1

2𝑘𝐴2 1 − sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =

=1

2𝑘 𝐴2 − 𝐴2sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0 =

1

2𝑘 𝐴2 − 𝑥2

ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S.

𝐸𝐶 =1

2𝑘 𝐴2 − 𝑥2 ; 𝐽

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝐶𝑚á𝑥=

1

2𝑘𝐴2

𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝐶𝑚𝑖𝑛= 0

Podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas

elásticas son fuerzas conservativas.

𝑊 = −∆𝐸𝑃

Calculamos primero el trabajo:

𝑊 = 𝐹 · 𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

= −𝑘 · 𝑥 · 𝑑𝑥 = −𝑘 · 𝑥2

2 𝑥2

𝑥1

𝑥2

𝑥1

=1

2𝑘𝑥1

2 −1

2𝑘𝑥2

2

𝑊 = −∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃1− 𝐸𝑃2

=1

2𝑘𝑥1

2 −1

2𝑘𝑥2

2

ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.

𝑊 = −∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃1− 𝐸𝑃2

=1

2𝑘𝑥1

2 −1

2𝑘𝑥2

2

Consideramos EP = 0 cuando x = 0; es decir, en la posición

de equilibrio:

ENERGÍA POTENCIAL DEL M.V.A.S.

𝐸𝑃 =1

2𝑘𝑥2; 𝐽

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝑃𝑚𝑖𝑛 = 0

𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝑃𝑚á𝑥 =1

2𝑘𝐴2

𝐸𝑚 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 =1

2𝑘 𝐴2 − 𝑥2 +

1

2𝑘𝑥2 =

1

2𝑘𝐴2 −

1

2𝑘𝑥2 +

1

2𝑘𝑥2

ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.

𝐸𝑚 =1

2𝑘𝐴2; 𝐽

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝑃𝑚𝑖𝑛 = 0 𝑦 𝐸𝐶𝑚á𝑥=

1

2𝑘𝐴2 ⇒ 𝐸𝑀 =

1

2𝑘𝐴2

𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝑃𝑚á𝑥 =1

2𝑘𝐴2 𝑦 𝐸𝐶𝑚𝑖𝑛

= 0 ⇒ 𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2

ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S.

¡¡¡La Energía Mecánica es Constante!!!

Un objeto de 0 ’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una

amplitud A = 0 ’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y

mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores

en los extremos y en el punto de equilibrio?

EJEMPLO

𝐸𝐶 =1

2𝑘 𝐴2 − 𝑥2

𝐸𝑃 =1

2𝑘𝑥2

𝐸𝑚 =1

2𝑘𝐴2

Vamos a necesitar calcular la constante k,

para eso nos dan T:

𝜔 =2𝜋

𝑇=

𝑘

𝑚

𝑘 = 𝑚4𝜋2

𝑇2

Sustituimos los datos:

𝑘 = 0′5𝑘𝑔 ·4𝜋2

2𝑠 2 = 4′93𝑘𝑔

𝑠2 = 4′93𝑁

𝑚

Un objeto de 0 ’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una

amplitud A = 0 ’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y

mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores

en los extremos y en el punto de equilibrio?

EJEMPLO

Calculamos las energías en x = 0’05m

𝐸𝐶 =1

2· 4′93

𝑁

𝑚· 0′1𝑚 2 − 0′05𝑚 2 = 1′85 · 10−2𝐽

𝐸𝑃 =1

2· 4′ 93

𝑁

𝑚· 0′05𝑚 2 = 6′16 · 10−3𝐽

𝐸𝑚 =1

2· 4′ 93

𝑁

𝑚· 0′1𝑚 2 = 2′47 · 10−2𝐽

Un objeto de 0 ’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una

amplitud A = 0 ’1 m. Calcula la energía potencial, cinética y

mecánica para una elongación de 5 cm. ¿Cuáles son sus valores

en los extremos y en el punto de equilibrio?

EJEMPLO

Calculamos las energías en los extremos (x = ± A):

𝐸𝐶 = 0

𝐸𝑃 = 𝐸𝑚 = 2′47 · 10−2𝐽

Calculamos las energías en el punto de equilibrio (x = 0):

𝐸𝐶 = 𝐸𝑚 = 2′47 · 10−2𝐽

𝐸𝑃 = 0

AMORTIGUAMIENTO

En los movimientos

vibratorios existen fuerzas

no conservativas como la

fuerza de rozamiento que

hacen que la energía

disminuya. Esta pérdida

de energía se traduce en

una disminución de

Amplitud.

𝐸 =1

2𝑘𝐴2

AMORTIGUAMIENTO

Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistema

energía con la misma frecuencia de vibración. A esta frecuencia se

la conoce como frecuencia de RESONANCIA.