Difraccin de rayos X I

Geometra de los cristales ILic. Carlos Quiones Monteverde

CRISTAL: DefinicinUn cristal es la forma polidrica regular limitada por sus caras lisas, que adquiere un compuesto qumico bajo la influencia de sus fuerzas interatmicas, cuando pasa - en condiciones apropiadas - de la fase slida, lquida o gaseosa a la fase slida.

Un cristal puede ser definido como un slido compuesto de tomos arreglados en un modelo peridico en tres dimensiones.

CRISTAL: CaractersticasLos elementos geomtricos de los cristales son las caras planas, las aristas rectas y los vrtices. La relacin entre los elementos geomtricos de los cristales: c+v=a+2 donde:c = nmero de caras; v = nmero vrtices y a = nmero de aristas.Eje de zona

Las caras del cristal se disponen en zonas. Una zona es el conjunto de caras de un cristal cuyas aristas de interseccin son paralelas entre s. Un eje de zona es la lnea que correparalela a las aristas de la zona.Caras de la zona

CRISTAL: CaractersticasNormas con relacin a la posicin de las caras: (a) Los ngulos entre las caras correspondientes de cristales de un mismo compuesto qumico son constantes; (b) Cuando la posicin del cristal en el espacio se relaciona a tres ejes coordenados, la posicin de cualquiera de sus caras (planos) se puede expresar por tres nmeros enteros.III

(hkl)II

I

Los cristales son anisotrpicos: dureza, conductividad calorfica, elasticidad, resistencia, etc. Muchos cristales se comportan de una manera peculiar con respecto a la luz.

REDESLos cristales estn constituidos por una unidad fundamental llamada celda elemental o unitaria, que se repite indefinidamente en las tres direcciones del espacio.III (Z)

La repeticin de la celda elemental da origen a una estructura geomtrica, conocida como red cristalina, que determina gran parte de las caractersticas del cristal.

c b

II (Y)

a

I (X)

Sistemas CristalinosLos cristales se dividen en sistemas segn la forma del paraleleppedo elemental. Un sistema cristalino es un grupo de clases de simetra cristalinas cuyos cristales tienen similar paraleleppedo elemental de la red.

Existen tres categoras: Baja: Triclnico, Monoclnico, y Ortorrmbico. Intermedia: Trigonal, Tetragonal y Hexagonal Superior: cbico.

Redes de BravaisObservar que:Siete redes puntuales se pueden obtener poniendo puntos en las esquinas de las celdas unitarias de los siete sistema.

Sin embargo, existen otros arreglos de puntos que satisfacen los requerimientos de una red puntual: cada punto tiene alrededores idnticos.Existen catorce redes puntuales posibles y no ms: redes de Bravais.

Celdas Primitivas y no primitivasEn cualquier red puntual puede elegirse una celda unitaria en un infinito nmero de formas y puede contener uno o ms puntos de la red por celda. Cualquiera de las 14 redes de Bravais pueden ser referidas a una celda unitaria primitiva. En la figura, la red cbica cara centrada (lneas slidas) puede ser referida a la celda primitiva (lneas punteadas).

Sistemas cristalinosLas celdas primitivas tienen un slo punto de red por celda mientras que las celdas no primitivas ms de uno. Un punto de red en el interior de una celda pertenece a la celda mientras que un punto de red en la cara de la celda es compartida por dos celdas y un punto de red en la esquina es compartido por ochoEl nmero de puntos de red por celda es dado por:

Nf Nc N Ni 2 8Ni: nmero de puntos interiores Nf: nmero de puntos en las caras Nc: nmero de puntos en las esquinas.

Por qu no existe una de red tetragonal C?La figura muestra una posible red tetragonal base centrada (lneas slidas).

Observar que el mismo arreglo de puntos en la red puede ser referida a la celda tetragonal simple (lneas punteadas).

Luego, el arreglo de puntos base centrado no es una nueva red.

Extensin de puntos de la redLos puntos de la red en una celda unitaria no primitiva pueden ser extendidas a travs del espacio por aplicaciones repetidas de los vectores de la celda unitaria a, b, c como ocurre con los puntos de la red de una celda unitaria primitiva.

Simetra: Concepto

La simetra es la particular regularidad observada en la disposicin de los objetos o partes de stos en un plano y en el espacio.La simetra es la caracterstica esencial de los cristales y sirve de base para su clasificacin.

El fundamento de la simetra se basa en que cualquier cuerpo geomtrico, as como cualquier figura plana, puede ser considerada como un sistema de puntos.Dos cuerpos son simtricos entre s, si se les puede hacer coincidir uno con el otro.

Simetra: ElementosSon formas geomtricas que caracterizan una operacin de simetra.Los elementos de simetra son: 1. Plano de simetra 2. Eje de simetra

3. Centro de simetra4. Eje de roto-reflexin 5. Eje de roto-inversin

1. Plano de simetraPlano imaginario que divide a un cristal en dos mitades, cada una de las cuales es la imagen especular de la otra.

A1

A2

La Figura muestra un plano de simetra en la que el punto A2 es la imagen especular de A1.

Cristal mostrando un plano de simetra que relaciona la parte de superior con la inferior.

2. Eje de simetraLnea imaginaria a travs del cristal, alrededor de la cual puede girar el cristal y repetir ste su aspecto dos o ms veces durante una revolucin completa. La Figura muestra tres posibles ejes de simetra:A4 A1 A2 A3

Eje binario que pasa por la arista que une A1 y A4. Eje ternario que pasa por A4. Eje cuaternario perpendicular al plano formado por A1, A2, A3 y A4. Cristal mostrando un eje de rotacin binario que pasa por los centros de las aristas de arriba y abajo.

2. Ejes de simetraSistema Cbico Tetragonal Ortorrmbico Elementos de simetra mnimos 04 ejes de rotacin ternario 01 eje de rotacin cuaternario (o rotacin inversin) 03 ejes de rotacin binarios perpendiculares (o rotacin inversin) 4L3 L4 L i4 3L2 3Li2

Rombohdrico 01 eje de rotacin ternario (o rotacin inversin) Hexagonal MonoclnicoTriclnico

L 3 L i3 L 6 L i6 L 2 L i2

01 eje de rotacin senario (o rotacin inversin) 01 eje de rotacin binario (o rotacin inversin)Ninguno

3. Centro de simetraPunto imaginario por el cual se puede hace pasar una lnea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie encontrndose sobre dicha lnea y a una distancia igual, y ms all del centro, otro punto similar al primero.

A1

A2

La Figura muestra el centro de simetra entre los puntos A1 y A2.

Cristal que muestra un centro de simetra en su punto medio.

4. Eje de roto-reflexin Es la combinacin de un eje de simetra y un plano de simetra.

A1

A1

A2

La Figura muestra el efecto de este elemento de simetra sobre el punto A1 que es llevado al punto A2.

5. Eje de roto-inversinEs la combinacin de un eje de simetra y un centro de simetra.

A1 A2

A1

La Figura muestra el efecto de este elemento de simetra sobre el punto A1 que es llevado al punto A2.

Simetra: OperacionesMovimiento que, realizado sobre un objeto, da lugar a una nueva orientacin de ste, indistinguible de la original y superponible con ella. Las operaciones de simetra fundamentales son: 1. Reflexin 2. Rotacin 4. Roto-reflexin

5. Roto-inversin

3. Inversin

1. Reflexin en el planoOperacin que se lleva a cabo a travs de un plano plano de reflexin - que produce una imagen reflejada coincidente con el objeto original. El elemento de simetra en esta operacin es un plano de simetra designado por la letra P o m.

P

Una figura puede tener uno o ms planos de simetra, su nmero se indica por un coeficiente antes de P. Ejemplo: 3P

a1 a2 a3

b1 b2 b3

El plano de simetra divide una figura en dos partes iguales que no siempre pueden coincidir por superposicin directa.

2. RotacinGiro realizado alrededor de un eje bajo un ngulo 360 /n, que conduce al cristal a una posicin indistinguible de la inicial, o posicin equivalente.

La ejecucin consecutiva de esta operacin en el mismo sentido, debe llevar al cristal de nuevo a la posicin original. El nmero de veces que se repite la operacin para llegar a la posicin original se conoce como el orden del eje, n. Ejemplo:

0

60

120

180

360

240

360 360 60 n 6

300

2. RotacinEl eje de simetra se designa por la letra L o simplemente un nmero. El nmero del orden del eje se ubica arriba o debajo de la letra, normalmente a la derecha de ella. Ejemplo: un eje de simetra con un ngulo elemental de 90 se denota por L4 o simplemente por 4, y se llama un eje de simetra de cuarto orden o eje cuaternario.

Los cristales, debido a su estructura reticular, pueden tener los siguientes ejes: L1, L2, L3, L4 y L6. En las proyecciones estereogrficas los ejes son designados por los siguientes smbolos:L2 L3 L4 L6

3. InversinOperacin que se realiza a travs de un punto llamado centro de simetra o centro de inversin que produce la imagen invertida y equidistante de un objeto.

En la Figura, los vrtices A, B y C del tringulo, producen por la reflexin a travs del punto O un nuevo tringulo de vrtices A, B y C que es simtrico con el primero. En un cristal que tiene centro de simetra, cada cara tiene su parte contraria: una cara paralela e invertida; por consiguiente al centro de simetra tambin se llama centro de inversin.

4. Roto-reflexinResultado de realizar dos operaciones, una a continuacin de la otra; la rotacin alrededor de un eje y enseguida, sobre la posicin resultante, una reflexin a travs de un plano perpendicular al eje sobre el que se realiz la rotacin. El eje de roto-reflexin se denota con la letra L y su orden con dos ndices: el inferior para la rotoreflexin, y el superior para la rotacin simple. Un eje de roto-reflexin cuyo orden es un nmero par es al mismo tiempo un eje de simetra simple cuyo orden es la mitad del nmero.

n L 2n

En la proyeccin estereogrfica los ejes de rotoreflexin se representan as:Cuaternario:

L2 4

Senario:

L3 6

5. Roto-inversinResultado de realizar dos operaciones, una a continuacin de la otra; la rotacin alrededor de un eje y enseguida, sobre la posicin resultante, la reflexin a travs de un centro de inversin.

El elemento de simetra en esta operacin es un eje de roto-inversin designado como Li. El orden del eje se indica con un superndice o un subndice, por ejemplo: L4i

Los siguientes ejes de roto-inversin pueden existir en los cristales:monario: binario:

L =C L =P L3i = combinacin de L3 y C. L4i = valor independiente L6i = valor independiente

1 i 2 i

a1

L2 i L1 i

b1

PC

ternario:cuaternario: senario:

a2

a3