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3 3

A 13 F

1 o

COntrol 4.1v

6 FEB. 1980

/24( FUNCION DE FRODUCCION

Prof. Hugo Argote Argote

00 455 7 REGISTRO No.

Es preciso subrayar que la función de producción:

*11 /

• >4-/ .

<4, . «sz -

CION

e-)

FUNCION

1

1111 S

Control

8 FEB. tec

- Es una relación estrictamente técnica entre insumos de facto

res y niveles de producción de un bién.

- Describe "leyes de proporción" en que se transforman factores

en productcs, dentro de un período considerado.

- Representa la tecnología de una firma, industria ó economía

en su conjunto; la cuál se presume invariable dentro de cada

función de producción específica. Un cambio en la tecnología

implica progreso técnico y consecuentemente cambio en la fun-

ción de producción.

- Incluye (lleva implicita en sí misma), todos los métodos téc

nican.ente eficientes de producción.

La función de producción de un bien cualquiera se representa por

una ecuación, tabla o gráfico que muestra la mayor cantidad de bién

que se puede obtener en una unidad de tiempo, usando conjuntos alter

nativos de factores y aplicando la mejor técnica de producción dispo

nible.

Lu función de producción podrá referirse a

zada en un período breve (función de producción

'ni un amplio período ( función de producción de

la producción reali-

de corto período) o

largo período) (1) •

La probabilidad de mantener invariables las cantidades usadas de cien

tos factores naturalmente es mayor en el período breve que en el pe-

ríodo largo dond., con mayor probabilidad ocurrirán cambios en la tec-

nología y an la cantidad usada de todos los factores.

Por ejemplo una función de producción agrícola refleja el uso de

cantidades alternativas de mano de obra por unidad de tiempo para el

cultivo de una cantidad fija de tierra. Un fenómeno como éste (don-

de almenas un facCor es fijo) se asocia a una función de corto perla

do.

La empresa puede hacer dos tipos de selecciones: la elección de

período breve que.? implica adaptaciones, modificaciones ó ajustes par

cíales y la eleczión de período largo que implica adaptaciones, modi

fica:dones 5 aju.stes totales.

La eleición hecha al inicio de la vida de la'empresa es una elec

ojón de período largo. Una empresa ya constituida puede de tanto en

tanto hace: elecciones de período largo, es decir cuándo considera

variacionely en las cantidades usadas de todos los bienes que entran

2.-

en la producción, incluyendo bienes de Capital.

Sea la función de Producción.

X = F (Fi, F F. Fn) 1, 2, h , n+1-

donde F1 F2, h

: representan bienes de Capital ,

y dende Fh+1

Fn : representan factores variables

Si todas las anteriores variables independientes, en la función

son variables, es decir cambian, la función de producción es de lar-

go período.

En cambio si en la función de producción:

X = F (F1 F2

Fh,

Fh+1

Fn )

los elementos: F1,

F2 Fh permanecen constantes, se tratará de

una función de breve período.

Cuándo establecíamos la función de producción, no limitábamos

su validez únicamente al marco microeconómico. El análisis tradicio-

nal marginalista sobre la teoría de producción ha sido mudificado y

sustituido por nuevos avances cuyos objetivos se resumen así:

- Mostrar como se puede lOgrar una asociación entre el fenóme-

no de la producción individual y el sistema productivo global.

- Analizar por ésta vía las relaciones entre demanda y oferta

de productos al nivel de la economía global.

EL METODO, PROCESO O ACTIVIDAD DE PRODUCCION

La "combinación de factores insumidos, requeridos para la pro-

ducción de una unidad de un bién" se denomina método, proceso ó acti-

vidad de producción. Aquí usaremos el término "método".

Dicho bión, puede producirse por varios métodos. Por ejemplo la

producción de una tonelada de harina de trigo (la molienda), puede

efectuarse medianty el:

- Método I : utilizando 3 unidades de Mano de Cbra y 2 unida-

des de Capital (esto es 3T + 2C)

- Método II t utilizando 2 unidades de Mano de Obra y 3 unida-

des de Capital gesto es 2T + 3C)

- Método III. utilizando 1 unidad de Mano de Obra y 4 unidades

de Capital (esto es 1T + 4C)

sub.Yri método refltja esencialmente el procedimiento de transforma-

3--

ción física de los bienes.

El método, proceso o actividad suele representarse por un vector

en un sistema gráfico. La representación de los métodos I, II y III

es la siguiente:

donde, OI : representa el método, proceso o actividad I

0II : representa el método, proceso o actividad II

0III : representa el método, proceso o actividad III

La eficiencia del método de Producción

Un 4todo es más eficiente que otro, cuándo produciendo la mis-

ma cantidad de bién, permite hacerlo usando menor cantidad de al me-

nos uno de los factores, y no más, de otro u otros. De los m'étt,doe:

A 3 u:T y 3 uce

P 4 u.T y 40 u.0

roseta ser el método A, el más eficiente.

La tew-ía de producción que presume racionalidad en el proceso

productivo, no utilizará un método intficiente.

Un método no podrá ser técnicamente comparable a otro cuando in-

sume renos de un factor pero insume más del otro, respecto a un segun-

4.-

do método. Be los métodos:

A 2 rea y 4 X.0

6 X.T y 2 X.0

ambos métodos son técnicamente eficientes y están dentro de la función

de producción.

Fl concepto de eficiencia ha sido explicado desde el punto de

vista técnico, es decir dentro del proceso productivo. A nivel de

empresa ó industria ó economía en su conjunto, la adopción de un méto-

do productivo eficiente, o la selección de un proceso entre varias al

ternativas, sin embargo, no se basa únicamente en dicho juicio técni-

co, sinó además en un juicio económico el cuál implica la considera-

ción de los precios de los servicios de factores. (2)

Frecuentemente suele encontrarse discrepancias entre juicio téc-

nico y juicio económico, lo que conduce a que un método técnicamente

eficiente no necesariamente es eficiente desde el punto, de vista eco-

nómico. Naturalmente ésta discrepancia será más profunda si intervie

ne un tercer juicio político, por ejemplo el relativo a la asignación

de factores.

ISOCUANTA

Se llama así a une línea frecuentemente utilizada cuando deseamos

operar con funciones de producción.

Una isocuanta es el lugar geométrico de todos los métodos técni-

camente eficientes con los cuáles se puede producir una cierta canti-

dad de bién. En otros términos una isocuanta representa un conjunto

de combinaciones técnicamente eficientes de factores, pertinentes pa-

ra la producción de una. cierta cantidad de bién.

El grado de sustit2ibilidad de los factores determina la forma de

la isocuanta.

La función de producción describe no solo una isocuanta indivi-

dual sinó el cuerpo to.,a1 de isocuantas, cada una de las cuáles mues-

tra un distinto nivel ce producción, según las cantidades de factores

insumidos.

las ieocuantas suelen representarse por curvas de nivel, las cuá-

les en su parte relevante deben cumplir las siguientes propiedades:

- deben tener peldiente negativa

- sin ser necesariamente paralelas, no deben cortarse

5•-

- deben ser convexas al origen

Estas propiedades están demostradas en muchísimos libros y están

nlícitas en la definición de isocuanta dada antes.

°CUANTA LINEAL

Es una isocuanta caracterizada por la presunción de una perfecta

stituibilidad de factores en la producción de un bién.

Un bién cualquiera puede ser producido por:

- con especialización en el insumo de un factor

- con cualquiera de las infinitas posibles combinaciones de fac

tores.

Gxaficamente una isocuanta lineal se representa:

SOCUANTA INPUT-OUTPUT

Esta isocuanta implica estricta complementariedad de factores

equivalente a sustituibilidad nula) así como un único método de pro-

ucción para producir 1 bien. Su forma es igual a la de un ángulo

ecto. Suele designarse como isocuanta Leontief, después que el mis-

ic

SI

6.-

mo, inventó al análisis Input-output.

Gráficamente:

Esta función implica la existencia de un coeficiente fijo de pro

ducción. El coeficierte de producción es fijo cuándo no cambia la

composición ni la cantidad de factores usados por unidad de bién pro-

ducido. La razón factorial es constante a cualquier nivel producido.

ISOCUANTA QUEBRAD/.

Esta isocuanta se caracteriza por:

- presentar limitada sustituibilidad de factores

- su capacidad de operar con ciertos procesos en urden a produ-

cir un bien cualquiera

- aceptar sustituibilidad de factores solo en los ángulos.

También suele denominarse Isocuanta de Programación lineal por-

que ella es básicamente usada en programación'lineal.

7.-

En la figura siguiente:

3

se han representadc ó combinaciones productivas señaladas por a, b,

c, d, e, f. Cada uno de ellos implica una razón de uso diferente.

Uniendo el origen con cada punto se logra una línea denominada "Pro-

ceso" la cuál en todos sus puntos presenta igual razón de uso.

"Como definimos la característkca de la teoría marginalista es

que no considera un número limitado de procesos productivos y ésto

la diferencia del enfoque actual sin embargo, hay una semejanza entre

ambos tipos de análisis ya que se pueden combinar linealmente dos o

más p"ocesos en sentido que una cierta cantidad de producto en parte

puede ser obtenida con un proceso y en parte con otro. Para ello con

viene unir los puntos a, b, c, d, e, f, anteriores, obteniendo la que-

brada a - b - c - d - e - f, como se observa en el gráfico siguien-

te:

T

Esta quebrada es una Isocuanta con iguales características de la

Isocuanta de la Teoría Marginalista es decir es convexa al origen lo

cuál no permite que vengan combinados procesos productivos no conti-

guos por ejemplo c y e, puesto que se desperdicia el proceso d, que

es más conveniente pues usa menos factores.

También se puede hablar de una familia de Isocuantas. En el grá-

fico, otra Isocuanta es g - h - i - j - k - 1.

ISOCUANTA CONVEXA UNIFORME

Esta función implica:

- continua sustituibilidad de factores dentro de un cierto ran-

go (más allá del cuál no es posible)

• su forma es uniformemente convexa al origen.

Gráficamente: 9.-

En el análisis tradicional se parte de la isocuanta continua y

derivable, la cuál implica infinito número de combinaciones para un

mismo nivel de producto. En la realidad no existen infinitos métodos

de producir, sin& zlgunos, es decir un número limitado de métodos o

procesos.

De aquí surge el valor realístico de la isocuanta quebrada. In-

ge•ieros, empresarios y ejecutivos de producción consideran el proce-

so de prodqccitn como un proceso discreto más que continuo. En el

área industrial manufacturero se habla de un número limitado de pro-

cesos productivos eficientes.

El usar isocuantas continuas implica poder aplicar más fá-

cilmente las reglas de cálculo.

Nosotros consideraremos la Isocuanta Convexa Uniforme como la

apioximación 6 el límite de la Isocuanta quebrada, cuándo el número de

procesos es muy grande. AMOR

slc&;"Cl.S Z

101 I! a!

Una función de producción suele escribirse así: >

•

ESFEC1FICACTON Y CAMBIOS EN LA FUNCION DE PRODUCCION

Y = f iT,C,MP,N,RE,c)

10.—

donde:

Y = Producción

T = Mano de Obra

C = Capital

MP - mo+-rías primas

N = Naturaleza U-iorra) RE = Retornos a EanA14

c Parámetro de eficiencia

Además:

- Todas las variables son flujos, es decir ert;tv, melidns por

unidad de tiempo

- La relación tecnológica pura entre cantidades insumos y can-

tidades de producto está dada por f.

- Los precios de factores están ausentes de la función (Inter-

vienen a nivel de decisiones económicas de la empresa).

Sin embargo, numerosos campos de la producción se ha observado

que existe una relación oonstante entre materias primas y producto a

cualquier nivel de producción, por ejemplo, metros de tela por trajo

confeccionado, cantidad de colorante por litro de pintura etc., inde-

peadientes del número de unidades de bién final producidos. Consecuen

kesonte es posible calcular la diferencia entre el valor de la produc-

ción total (Y) y el valor de las materias primas (tP), determinando

un valor agregado (PT).

Lo anterior si bién conduce a una simplificación de la función de

producción, significa destruir la naturaleza tecnológica de la misma,

pues ha sido necesario introducir los precios del bién final y de las

matcriaJ primas a fin de hacer posible la diferencia.

El valer agregado (PT), resulta así, medido en unidades maneta-

rías,

Por otra parte N es constante para la economía considerada en su

conjunto y por tanto no entra en la función de producción agregada,

pero, no es constante para sectores o empresas individuales, por ésta

razón suele agregarse con la maquinaria y el equipo como si fuera ca-

pital C.

Por éstas razones la función técnica de producción asume en la

teoría económica tradicional la forma

X = f ( T,C,RE,c )

donde X representa la cantidad total de producción medida en unidades

físicas. También es importante aaadir que RE, interviene como varia-

ble en el análisis de largo período, en el cuál se presume habrán cam-

bios en las plantas de las empresas.

Finalmente el parámetro de eficiencia c, mide la capacidad orga-

nirativa y empresarial en la producción. El mismo debe ser capaz de

explicar como dos empresas con la misma dotación de factores (e igua-

les RE), pueden generar diferentes niveles de producto. Su interven-

ción está reservada, corrientemente, al análisis de largo período.

En base a lo dicho anteriormente, una función de producción de

corto periodo puede rerresentarse en un plano; de la. siguiente mane-

ra:

re

T o c

Formalmente,

X- -X1 f (T); caetaris Paribus C,RF y c

cuándo el caetaris paribus resulta alterado, X1 cambia q X1 ó X11

' 1 1

X2 = f (C); caetaris Paribus T, RE y c

.74..7, ..Y.

I

12.-

cuándo el caetaris paribus resulta alterado,

PRODUCTO TOTAL, MEDIO Y MARGINAL DE UN FACTOR

cambia a X21 X11 2

Para representar el producto total (X), el producto medio (I'M)

y producto marginal (Pm) de un factor, aislamos la variabilidad de

loe otros, factores, manteniéndolos constantes a un cierto nivel.

Gráficamente:

Fa

Cac: tov `dar,,

donde X representa el máximo producto alcanzable técnicamente con el

factor variable dado el factor fijo (sucesivos aumentos del factor va-

riable no implican aumentos en la producción)

En el gráfico, el PM está dado por la relación:

X1 = Producto total del factor variable ;

F1

número de unidades usadas del factor

usando f1

unidades del factor variable

El Pm está dado por la relación

X11 - X1 = cambio en el PT del factor variable

- Fl cambio (muy pequeño) en la cantidad usada de

factor variable

x

X

X,

13.-

cuándo se utiliza una cantidad adicional (F2 - F1), ) de factor varia-

ble. Suele designarse a (F2 - F1) con el nombre de unidad ó cambio

unitario del factor variable, pero la definición de unidad de factor

es un tanto convencional.

Con el fin de comparar PM y Pm, se suele considerar el Pm al lí-

mite, es decir

Pm F1 = t P T Fi

á F. - Tangente geométrica el PT

El comportamiento e.el X, PM y Fm obedece a la eficiencia do la

utilización del factor variable respecto a los otros fijos.

pean las siguientes curvas correspondientes a un factor variable,

por ejemplo mano de obra (T), caetnris paribus los demás factores.

I " PrrliT

donde X : prc.ducto total de la mano de obra (o del capital si nos re-

fer irnos a C en voz de T)

PMT : producto medio de la mano de obra

: producto marginal de la mano de obra

El PMT para cualquier puhto sobre el X está dado por la pendien-

te de la linea trazada desde el origen al punto sobre el X. El PMT

usualmente crece al principio, alcanza un máximo y luego decrece, pe-

ro es positivo mientras X sea positivo.

El PmT entre dos puntos sobre el X es igual a la pendiente ic

la curva del X entre esos dos puntos.

El PmT crece al principio, alcanza un máximo y luego decrece

El PmT se anula cuándo el X es máximo

El PmT es negativo cuándo el X decrece

La parte decreciente del PmT,Cilustra la ley de los rendimientos

decrecientes.

Una empresa racional podrá utilizar la cantidad que desee de fac-

tores dentro de ciertos limites, dentro de los cuáles se exige que

los productos marginales de dichos factres sean positivos y decrecien-

tes. Por ello 1,t teoría de la producción se concentra en niveles de

empleo de factores en los cuáles se cumple:

PmT = IX 'o y además, 1 PmT <o

PmC = ax >o y además, d PmC co

Regresando nuevamente a la consideración de las funciones iso-

cuantas, deberán ser de pendiente negativa y convexas al origen, si se

desea compatibilidad con las anteriores condiciones. Gráficamente:

F

Xs

X2

15.-

La frontera superior implica ?me = o en todos sus puntos

La frontera inferior implica FmT = o en todos sus puntos.

Como se puede apreciar, las partes relevantes de isocuantas es-

tán comprendidas dentro de la frontera superior FS y dentro de la fron

tera inferior FI. Las combinaciones situadas sobre ambas fronteras im-

plican productos marginales iguales a cero. Las combinaciones situa-

das por encima de FS y por debajo de FI implican productos marginales

negativos de al menos un factor productivo. En consecuencia la pro-

ducción técnicamente eficiente deberá corresponder a combinaciones

situadas entre ambas líneas de frontera. Ahí, las isocuantas tienen

pendiente negativa y son convexas al origen. A medida que las Iso-

cuantas se alejan del origen representan niveles mía altos de produc-

to.

RELACIONES ENTRE EL PRODUCTO MEDIO Y EL PRODUCTO MARGINAL DE UN FACTOR

Sea ésta la información pertinente a la productividad de un fac-

tor, por ejemplo mano de obra:

T Pm X PM

1 10.0 10.0 10

2 12.0 22.0 11

3 13.7 35.7 11.9

4 15.1 50.8 12.7

5 16.0 66.8 13.36

6 16.6 83.4 13.90

7 16.8 MAX 100.2 14.31

8 16.6 116.8 14.60

9 16.0 132.8 14.75

10 15.0 147.8 14.78 MAX

11 14.5 162.3 14.75

12 13.7 176.0 14.6

13 12.0 188.0 14.4

Podemos Istablecer:

Primera Relación:

Segunda 'Relación:

Tercera Relación:

Cuarta Relación:

Cuándo el Pm crece, el PM también crece

En su fase creciente el PM aumenta a un ritmo

inferior que el Pm

El PM sigue creciendo un tramo más, después que

el Pm ha dejado de crecer

Cuándo el Pm es mayor que el PM, la PM crece

16.-

quinta Relación: Cuando el Pm es menor que el PM, la PM decrece

Sexta Relación: Si la variable es continua, la PM muestra un máxi-

mo. En ese lugar Pm = PM

Séptima Relación: En la fase donde Pm y PM son decrecientes la tasa

de descenso de la Pm es mayor que la tasa a la

cuál desciende la PM.

Gráficamente:

pT 4

vi q,

o T

ETAPAS EN LA PPODUCC1014

Podemos usar ?_as relacione? entre PMT y PmT para definir tres

etapas en la producción (continuamos refiriéndonos al factor mano de

obra).

Primera etapa.: Dende el origen al punto donde PMT es máximo.

Segunda etapa: Desde el punto donde el PMT es máximo al punto don-

de PMT es igual a cero.

Tercera etapa: Cubre el rango en el cuál el PmT es negativo.

El productor 1L) opera en la tercera etapa, aún en el caso que

el precio de la mano de obra fuese igual a cero (factor libre), ya

que le conviene incrementar la producción total, usando menos traba-

PM l'„e> T

17.-

jo en una extensión de tierra dada.

Análogamente el productor no opera en la primera etapa, porque

como se puede demostrar la primera etapa pertinente a la mano de obra

corresponde a la tercera etapa pertinente a un otro factor por ejemplo

Capital (donde el PmC es negativo).

.;110 conduce a ser la segunda etapa, la única etapa de producción,

pertinente para el productor racional.

c vl"

Tasa Margjma de Sustitución de un factor por otro.- Parn definir es-

te concepto us necesario establecer otro supuesto: Que la cantidad de

PrOducto es constante:

Sea

X0 = f (fi, f2) Función que refleja todas las combi-

naciones de factores que generan una

misma cantidad de Producto Xo

La rep:esentaciót dé la anterior función se llama Isocuanta, la

cuál es descendente (No asume otras posiciones porque ellas implica-

rían procesos ineficientes)

Gráficamente:

donde F1 = cantidad usada de un factor

F2 = cantidad usada de otro factor

Esta Isocuanta nos dice que podríamos mantener constante el ni-

vel de producción disminuyendo la cantidad usada de un factor pero in-

crementando adecuadamente la cantidad usada del otro factor.

En el gráfico, pasar de F a Ftímplica dejar de usar F2 pero usar

más de F1, 6 sea un fenómeno de sustitución

La pendiente de la isocuanta á F2 define el grado de sustituibi-

lidad de factores. Dicha pendiente d disminuye cuándo nos movemos

a lo largo de ella reflejando la dificultad cada vez más grande de

poder sustituir Fl en lugar de F2.

Esta pendiente recibe el nombre de Tasa de Sustitución Técnica ó

Tasa Marginal de sustitución (TICS) y mide precisamente el grado de sus-

tituibilidad de un factor en lugar de otro,

Formalmente si deseamos que la producción permanezca

(trabajamos sane la misma isocuanta), es lógico pensar que:

invariable

de donde

- 4 F2

A Fl

PmF = - = TM S rF ? 1

P.77,

ax

ac

dx

áT

TMSC1T = o = o al---

dT

F2. " F2 = - i1 F1 PmF

1

En lar palabras: La TMS del segundo factor en lugar del primero

es igual a la relación entre la Pm del primer factor y la FM del se-

gundo. El valor de la TMS depende de la amplitud de los incrementos,

por tanto como en el caso de Pm conviene calcula:- la TM3 al límite es

decir cuándo los incrementos tienden a cero.

Otra forma de establecer la TMS es en base al razonamiento siguien

te. La pendiente de una curva en un punto es a la pendiente de la

tangent,, en ese punto de la curva.

La pendiente de la tangente se define como la diferencial total

de la misma. Para la isocuanta la diferencial total, es el cambio to-

tal en X, resultante de un pequeño cambio en ambos factores C y T

Naturalmente; si cambiamos C en áC, el producto cambiará áC veces el

producto marginal C, esto es:

( ac )( á x

'd C ) y análogamentecon la mano de obra

( áT )( á X (dTi

Toda isocuanta implica un nivel constante de producto, por tanto

el cambio total en el producto dX debe ser igual a cero.

Entonces:

a x dX ac + a T

a c a T

despejando .1C , tenemos dX

dC áT PmT

- dT aX - 77(1---

aC

A lo largo de la frontera superior se cumple

la,-

d X = 0

20.-

A lo largo de la frontera inferior se cumple

ax

TMST C = 1T o = o

1

La TMS tiene un serio defecto: depende de las unidades de medi-

da en que estén expresadas las cantidades de factores, limitación que

ha obligado a recurrir a un otro concepto: la Elasticidad de Sustitu-

ción.

Hay dos formas extremas de Isocuantas: Una forma so presenta

cuándo los factores son perfectamente sustitutos y por tanto la TMS

es constante.

Gráficamente:

Cant■dada s tlW factor 2

N

-r, Can d actor 1

Otra forma comporta la utilización de factores en proporciones es-

trictamente fijas.

Aquí es equivalente hablar no de dos, Binó de un solo factor

productivo.

21.1-

Gráficamente-

Fachor 2

Facto), 1

ELASTICIDAD DE SUSTITUCION flCNICA

En el proceso productivo por razones de orden técnico frecuente-mente y necesario sustitutivo un factor por otro.(5 si partimos desde

una posición-de equilibrio del productor y el precio de un factor ba-

ja, la posición de equilibrio será perturbada. En el proceso de res-

tablecer el equilibrio, (hacer mayor las utilidades), el productor

sustituirá éste factor (relativamente barato) en lugar del otro fac-

tor, hasta llegar a un nuevo equilibrio. El grado de sustituibili-

dad de un factor F1

en lugar do otro factor F2 resulta fundamental-

mente del cambio en los precios relativos de los factores ó de la ca-

lidad técnica de los insumos y se denomina Elasticidad de Sustitución

técnica: e.s.t.

En otros términos, la elasticidad de sustitución técnica mide el

cambio porcentual en la razón de uso de los factores, respecto al cam-

bio porcentual en la TAN de un factor en lugar de otro:

d Fl

e.s.t.

F2 I /

a TMS

11XORDe / 1), arrdc>.,S i -,,-.Ar sif • 2 , A \ L=::'''.> 't. 7

- 2

Nr‘-. _ se

T

I representa un proceso más intensivo en capital, que el proceso II,

es decir

C sl C2

T T1 2

Como se vé, la parte superior de la isocuanta incluye técnicas

o e.s.t. =

Fi i a lu 2

a lr TMS

o

e.s.t. es un número puro, independiente de las unidades de medida de

los factores numerador y denominador están medidos en

iguales unidades.

LA INTENSIDAD DE FACTOR

Este concepto es equivalente a la razón de uso y se mide por la

pendiente de la línea que representa .l método o proceso.

En la siguiente figura, considerando dos factores C y T:

más intensivas en capital y la inferior en mano de obra.

DETERMINACION DE LCS ANTERIORES INSTRUMENTOS DERIVADOS DE LA FUNCION

DE PRODUCCION

Efectuaremos éste cálculo en base a una función de producción es-

pecífica denominada Cobb-Douglas, convenientemente usada en investi-

gación aplicada y facilmente manejable matemáticamente.

Si la función Cobb-Douglas de la forma

X = bc. Tb1. Cb2

a) Cálculo de los Pm de cada factor

para T: PmT = X = bl. oo

. T 1-.1 C 2

T

PmT = b1. X

= b1 PMT

PmT = b1. PMT 1

k

para C:

IPone = b2 PMC

b) Cálculo de la TMS

aX X

TMS bl —U7--

T C = b1C 1

(IX b2 X b2T

dc c

TMS b,. C TIC

b2 T

c) Cálculo de la elasticidad de sustitución técnica, A priori

su valor siempre es igual a la unidad en una función Ccbb-

Douglas.

suma de los coeficientes (b1 + b2

)

Suponiendo que T y C son incrementados en K, el nuevo nivel

Veamos:

e.s.t. =

(Tms)

á( C .T

T C

fb,. C ei

b2

T

131'

1 e.s,t. = 1 1

intensiva en C

b2

Un valor bajo de b1 indica una técnica

en la

por bo.

bo

e) Cálculo de la eficiencia de producción. La eficiencia

organización de los factores de producción está medida

De dos empresas con igual Ti Ci b, y b2; será más eficiente

en sentido organizativo empresarial aquella que posea un bo

más alto.

f) Cálculo de los retornos a escala. Este concepto es pertinen-

En una fun-

medidos por la

largo período.

a escala están te al análisis de producción de

ción Cobb-Douglas, los retornos

b2 T

á • C \ . T

) ri ----

e.s.t. = I\TIC

b1 áC L 4

b

b1 b2

el I

d) Cálculo de la intensidad de factor. En una función Cobb-

Douglas la intensidad de factor esta medida por la razón ID" b2

Un valor alto de b1 indica una técnica intensiva en T

á

á

c

j e

25.-

de producto es:

fi = bo (KT)bl (KC)b2

= (b cb2) K(bi+b2)

o Tb

X)k = K(b1+1y2 \ X

Se representará (b1 + b2) por RE, es decir retornos a escala.

LA EXFANSION DE LA PRODUCCION DE LA FIRMA

Una vez instalada una firma, su objetivo de hacer máxima su uti-

lidad, esta precedida de una política económica específica a los cam-

pos en que actúa. Si nos fijamos en el mercado de bienes fiscales,

su política estará orientada a vender más o lo que es igual incremen-

tar la demanda específica a ella y además al máximo precio posible.

Normalmente el plan de ventas de la empresa mostrará incrementos los

cuáles deberán ser sostenidos con incrementos pertinentes en la pro-

ducción.

La expansión de la producción, es un fenómeno físico y esta go-

bernado por leyes físicas llamadas leyes de producción, las cuáles

describen procedimientos técnicamente posibles para incrementar la

producción. Existen muchísimas leyes especificas y dos leyes gene-

rales de notable significac,on:

la "ley le las proporciones variables" que opera •en el período corto

y la "Ley de los retonnos.a escala" que opera en el período largo (3)

En el período corto se presume la existencia de factores varia-

bles que operan junto a otros fijos. En cambio en el período largo

se presume que todos los factores son variables (adaptación total).

Consecuentemente la expansión de la producción con factores fi-

jos y variables es descrita por la ley de las proporciones variables

o también llamada ley de los rendimientos eventualmente de crecientes

del factor variable () y la expansión de la producción con factores

variables es descrita por la ley de los retornos a escala, (5)

Las leyes de producción se expresan formalmente a través de las

funclones de Producción. Toda func4.ón de producción implica leyes de pro

ducción.

LA LEY DE LOS RETORNOS A ESCALA •

Veamos un caso de retornos a escala, utilizando una función de

26.-

producción homogénea.

Sea la función de producción de largo período.

cuyos factores incrementamos en la misma proporción m (6) , de donde

resulta

X = F (mTme1)

Si no puede factorizarse en la expresión anterior tenemos:

X = mi F (T C ) l' 1

X = mi

PT1

donde el exponente i representará la potencia del impacto generado

sobre la producción, por el cambio en las cantidades usadas de facto-

res.

Una función de producción será homogénea ó lineal homogénea cuan

do, como en el caso anterior, m, puede ser factorizado (7). En caso

contrario es no homogéneas la potencia de m mide el grado de homogenei-

dad o en otros términos los retornos a escala. Los retornos a esca-

la serán crecientes, constantes y decrecientes según i sea mayor, igual

o menor que uno, respectivamente.

LA LINEA DE EXPANSION DEL PRODUCTO. UN CASO PARTICULAR: LA ISOCLINA

La función de prcducción puede representarse como una superficie

en el espacio o en un plano de dos dimensiones donde los niveles de

producción están representados E.or funciones isocuantas.

La expansien de la producción se mide sobre las "líneas de expan-

sión del producto" las cuáles muestran los movimientos físicos de una

isocuanta cuando incrementamos un factor o ambos (8)

Las líneas de expansión del producto describen los caminos (al-

ternativos) técnicamente posibles para expandir la producción (9).

La línea de expansión del producto partirá del origen o será pa-

ralela a uno de los ejes, observando constantes variables razones de

uso; segun las proporciones en que sean combinados los factores, res-

pectivamente.

Un tipo de línea de expansión del producto es la Isoclina, la

cuál representa el lugar de puntos de isocuantas cuyas tasas margina-

les de sustitución de factores son constantes.

X = F ( T1C1)

Una Isoclína puede ser recta o nó. Es recta e implica iguales

razones de uso de factores cuando corresponde a una función de produc

cióa homogénea (lo). Si la función de producción es no homogénea,

(115 las isoclinas no son rectas sino curvilíneas

REPRESENTACION DE LOS RETORNOS A ESCALA SUPONIENDO HOMOGENEIDAD DE

LA FUNCION DE PRODUCCION (12)

Utilizando líneas de expansión del producto (isoclinas), podemos

observar:

a) Retornos constantes a escala

Midiendo sobre la iSoclina la

distancia entre isocunntas mul-

tiplos ( X12)(.13X....) es cons-

tante-.

OM = MS = ST

3 X

2X

1T 3T T

T

28.-

b) Retornos decrecientes a escala

3X . Midiendo sobre la isoclina, la

distancia entre isocuantas mdl-

tipler (X1 2X13X ) aumenta

al aumentar los niveles de pro-

ducción.

OM < MS <ST

1 z'r c) Rendimientos crecientes a escala

Midiendo sobre la isoclina la

distancia entre isocuantas múl-

tiples (X13X19X....) disminuye

al aumentar los niveles de pro-

ducción.

OM > MS >ST

T 2T 3T -r

RETORNOS VARIABLES A ESCALA

Se .ha presumido que los retornos a escala sean los mismos, sobre

toda la superficie de producción o sea a lo largo de todas las líneas

de expansión del producto. Esto equivale a decir que todos los proce-

sos (pertibentes a una función de producción) muestran los mismos re-

tornos a todos los niveles de producción esto es: retornos constantes

en todas partes, crecientes en partes o decrecientes en todas partes.

. Sin embargo, las condiciones técnolóvicas suelen oponerse a ésta

presunción y dar '...ugar a que los retornos a escala varien a diferentes

niveles de producción en una misma función de producción. (13) Elto

origina los llamados retornos variables a escala.

Las funciones de producción con retornos variables a escala son

menos manejables y más complejas como instrumentos prácticos de aná-

lisis, gráficament.?. una función con retornos variables a escala puede

10.10A

4,5 yS

• N: lon 9 c

REGISTRO No. Ú O 4 5 5 7 2><

X

x

29f-

representarse así:

Cuando la tecnología muestra retornos crecientes o decrecientes

a escala, ello puede o no implicar una función homogénea de produc-

ción. La homogeneidad se asume solo para simplificar el trabajo es-

tadístico, aunque suele ser muy restrictiva.

CAUSA DE LOS RETCRNOS CRECIENTES A ESCALA

Su aparición suele atribuirse a dos grandes causas

Las indivisibilidades técnicas

Las indivisibilidades administrativas

Emergentes de haber adaptado plantas físicas y administrativas

mayores a las requeridas en una primera instancia. Esto quiere refle-

jar que la generalidad de los procesos productivos presentan una alta

flexibilidad a la expansión pero una enorme rigidez a la contracción.

Con otras palabras los procesos se pueden duplicar 6 triplicar en su

dimensión pero no subdividirse.

Una de las características de la tecnología industrial avanzada (1$)

es la utilizaciól de métodos dé producción en masa . Orden tecno-

logía es aprcoecnable cuando la producción total es grande. Y algo

e. • ~ 00.42~~~..0,

importante es que un proceso ó método asociado a una gran escala se-

rá más eficiente que el mejor proceso aprovechable asociado a una pe-

queña escala. Por otra parte existen servicios técnicos y máquinas

que son plenamente utilizadas cuando se alcanza y sobrepasa un c4er-

to n4.vel productivo, veamos éste proceso mediante un ejemplo:

Sean los siguientes procesos y escala

Proceso I Proceso II Proceso III

(pequeña escala) (mediana escala) (gran escala)

T 20 1000 2000

C 20 1000 2000

X 20 2000 8000

Supondremos que la razón de cero es constante en cada proceso y

que la dimensión de la unidad técnica, es la misma en cada uno de ellos.

Es más productivo técnicamente el proceso en gran escala que el

proceso en pequeña escala. Si ambos procesos fuesen técnicamente,

igualmente productivos, normalmente las empresas duplicarían o tripli-

carían el proceso pequeño, si su deseo fuera expandirse, puesto que re-

sulta familiar operar con dicho progreso (economías internas técnicas

de la empresa emergentes de conocer las características de un proceso

de producción), sin embargo, aunque cada proceso en si mismo muestra

retornos constantes a escala, las indivisibilidades tenderán a origi-

nar retornos crecientes a escala.

Si se desea un X <1000, se podría usar el proceso I con rendi-

mientos constantes a escala. Fi se desea 1000 C X C72000, el indicado

es el proceso mediano, como se puede observar al pasar del pequeño

al mediano proceso se presenta una discontinuidad Pues 999 T Y 999 C

generan 999 X (con el proceso I) y 1000 T junto a 1000 C generan X=2000

(con el proceso II)

El lector estará de acuerdo que en general cualquier producto con

sentido común preferirá la mediana en lugar de la pequeña escala.

Incluso se llegara al extremo que un proceso sea usado siendo

ineficiente, pues aún así ineficiente, es relativamente más eficiente

respecte a otro proceso que implique menor escala. Por ejemplo si de-

sea satisfacer una demanda de 1600 unidades de X, seria recomendable

usar el Proceso II en nuestro ejemplo, producir 2000, vender 1600 y

deshechar 400 (suponiendo corto de venta y deshecho, nulo).

Este es un fenómeno ar:artiente real, pues la presunción de la teo-

. '414,~~1Becteir-17.,

no

es

o d

SO

Y

cat

ro.

31.-

( en particular los bienes

es demasiado realista.

de capital es que son indi-

e indivisibilidad pues

que presenta producir 1600

en particular en Bolivia

iva sub-utilización de plan-

ría en sentido que los factores producti

de capital sean perfectamente divisibles

Una característica relevante de los bien

visibles. El anterior ejemplo es un C86

pueden no existir máquinas para un proce

unidades de X. En las economías latines

existen estudios que reflejan la signifi

tas, sobre todo en el sector manufacture

Técnicamente, las indivisibilidades

continuidades en la función de producció

de las mismas.

n

VO

de factores conducen a dis-

ue rompe la homogeneidad

CAUSAS DE LOS RETORNOS DECRECIENTES A ESCALA

La causa más común se encuentra en la

to de la dirección de la empresa asociada

tración de un producto total cada vez más 1

la administración ha desarrollado sistemas

ción, las empresas suelen sobre pasar el p

y las deseconomías administrativas, se hay

isminución del rendimien-

on la producción y adminis-

rande aúnque la ciencia de

funcionales de administra-

ano óptimo de rendimiento

en presentes.

Otra causa se asocia con la agotabili

les o no renovabilidad de los mismos. Por

forestal o minera, aumentando el turno de

probablemente la producción no aumentará o

dad de los recursos natura-

ejemplo, en la explotación

trabajo diario ocho veces,

cho veces.

en la calidad, de los fac-

la calidad de los mismos es

lentes. La calidad de los

empresa si no desea hacer

s mismos

Aunque la teoría presume homogeneidad

tores, en la realidad la heterogeneidad en

una causa significativa de retornos decrec

mismos debe controlar escrupulosamente la

frecuentes reparaciones o reposición de le

LEY DE LAS PROPORCIONES VARIABLES

Hemos descrito esta ley como aquel la

de la producción es paralela al eje del fe

tor es fijo) y el producto marginal del fe

tualmente. (16) El período considerado E

Según la teoría tradicional, la prodt

empresa está ubicada en un margen o rango

ginal del factor variable debe ser positil

este rango la producción no es de equilib]

en que la línea de expansión

ctor variable (el otro fac-

ctor variable disminuye even

s breve.

cción de equilibrio de una

en el cuál el producto mar-

o y decreciente. Fuera de

io.

Si la t:mpresa (en el corto periodo) rabaja con una función homo-

32.-

génea que implique retornos constantes o decrecientes a escala sobre

toda la superficie de producción; la productividad marginal del fac-

tor variable inevitablemente bajará.

Pero puede ocurrir que si la empresa (siempre en el corto perío

do) trebeja con una función de producción homogénea que implique re-

tornos crecientes a escala, la disminución de la productividad mar-

ginal del factor variable puede compensarse con dichos retornos cuan-

do aquellos son muy fuertes y consecuentemente el producto marginal

del factor variable es creciente. Sin embargo, no sucede normalmen-

te.

La ley de las proporciones variables puede verse gráficamente.

a) Caso de la función de producción homogénea con retornos cons-

tantes a escala en toda la superficie. Los retornos del fac-

tor variable eventualmente decrecerán (esto se implica por

la pendiente negativa y la convexidad de las isocuantas).

•

Con C y T producimos X

Con 2C y 2T producimos 2X

Con c y 2T producimos X1C2X

. . PmT decrece

2X

.................... )(I

aT

b) Caso de la ::unción de producción homogénea con rendimientos

decrecientes a escala 'en toda la superficie. Los retornos

del factor variable con mayor razón que en el caso anterior

serán decrebientes.

c 33•-

2T

- • Con Z. y T producimos X Con 2C y 2T producimos X

1 donde X1 ¿ 2X

COn -5 y 2T producimos Xilz, X1

PmT es altamente decreciente

c) Caso de la función de producción homogénea con rendimientos

crecientes a escala. Los retornos del factor variable en ge-

neral serán decrecientes (Excepto en caso anormal que consi-

deramos en el inciso d)

C

2C

c

ZT T

34.-

d) Caso especial. El retorno del factor variable es creciente

en razón a que los retornos a escala son tan fuertes como

para compensar la productividad marginal decreciente del fac-

tor variable.

ci

T

Con ti y T producimos X

Con 2C y 2T producimos 8X

Con C y 2T producimos 4X

Como se v&, manteniendo C constante y duplicando T1 hemos cuadru-

plicado el X. Luego el producto marginal del factor variahle es cre-

ciente.

LA PLANTA, EL PROGRESO TECNICO Y LA FUNCION DE PRODUCCION

La planta puede definirse como el complejo de bienes de capital

que dispone y utiliza efectivamente la empresa en la producción. La

planta junto a otros elementos productivos, constituyen la organiza-

ción productiva..

En el corto periodo, la organización productiva se caracteriza

por una planta dada y los otros elementos productivos variables.

En óstas circunstancias, dada la planta (establecida su dimen-

sión) la selección d) la empresa se refiere al procesa de producción

adecuado y disponible, que en no pocos casos se reduce a solo uno.

. 4.~ 0 14.11^Kstlets~aw :

35.-

Los factores que constituyen la planta, en razón a que estable-

cen un límite máximo a la expansión de la producción se llaman "limi-

tacionales" en tanto que los factores que pueden ser según los casos

sustituibles entre si, se llaman "sustitucionales".

El progreso técnico está asociado a cambios en la tecnología,

lor cuáles implican el conocimiento de nuevos y más eficientes,méto-

dos de producción (17), Estos conducen a elevar la eficiencia del

proceso productivo y al desplazamiento de algunas técnicas que se ha-

cen ineficientes y ulteriormente deben salir de la función de produc-

ción.

El progreso técnico puede representarse gráficamente mediante

cambios en la posición y situación de la función de producción, sea

con funciones de producto total de un factor o mediante funciones

ísocuantas.

-40

4O

2.0

FORMAS DE PROGRESO TECNICO

Considerando el efecto que genera el progreso técnico en la tasa

marginal de sustitución de los factores, Hicks establece:

- Progreso técnico intensivo en capital

- Progreso técnico intensivo en mano de obra

36.-

- Progreso técnico neutral

PROOPESO TECNTCO INTENSIVO EN CAPITAL

Si a lo largo de una línea con razón de uso de factores constan-

te, la TMS, 1C = PmT 1 , aumenta,esto implica que el progreso téc-

nico ha aumentado el PmC más rápido que el PmT. Es decir la efi-

ciencia del C ha aumentados

Geométricamente la pendi,ente de las isocuantas desplazadas resul-

tan ser merores a lo largo de cualquier radio dado. Gráficamente:

El progreso técnico ocasiona el desplazamiento de X a X1, X2..etc.

PROGRESO TECNICO INTENSIVO EN MANO DE OBRA

Si a. lo largo de una línea con razón de uso de factores constan-

te, la TNS, = - rail , aumenta en valor absoluto, esto implica

que.el progreso PmC técnico ha aumentado el PmT más rápido que el

Pire. La eficiencia dcl trabajo ha aumentado.

Geométricamente, aumenta la pendiente de las isocuantas desplaza-

37.-

das, a lo largo de cualquier radio dado.

Gráficamente:

C A

T

El progreso técnico implica desplazamientos de X a X1, X2....etc.

PROGRESO TECNICO NEUTRAL

El progreso técnico será neutral, si logra incrementar el produc-

to marginal de ambos factores en el mismo porcentaje de manera que la

TMST1 C = PmT , a lo largo de cualquier línea con razón de uso dc

- -plc- factores contantes (que en éste caso, además es isoclina) permanece

constante. Las isocuartas se desplazan hacia abajo, paralelas a sí

mismas.

Gráficamente:

38.-

T

El progreso técnico ha ocasionado desplazamientos de X a X1, X2'.etc.

EL EQUILIBRIO DE LA EMPRESA •

Económicamente, una empresa está en equilibrio cuándo ha logrado

hacer máxima su utilidad (18), lo que implica que, técnicamente, ha

logrado producir utilizando una combinación óptima de factores. Dicha

combinación óptima de factores ha sido seleccionada en base a la fun-

ción de producción.

Aquí, presentaremos cuatro casos de equilibrio de la empresa:

Caso A) Cuando la empresa maximiza condicionalmente su utilidad

a una capacidad de compra de recursos asignada a la em-

presa en un periodo dado.

Caso B) Cuando la empresa maximiza condicionalmente su utilidad

a una cuota fija de producción, de un bién o servicio,

en un período dado.

Caso C) Cuando la empresa maximiza incondicionalmente su utili-

dad, expandiendo su producción a través del tiempo (to-

dos los factores son considerados variables):

Caso D) Cuando la empresa está inducida a expandir su producción

en el corto período (donde al menos un factor es fijo)

La inducción puede originarse en un exceso de demanda 45,

5t2.5:

\ \

' en alguna otra exigencia del mercado. ‘1- e= .su

En los cuatro casos anteriores presumimos:

- Que toda empresa está capacitada para poder seleccionar su

mejor combinación (óptima) de factores.

- Que en el mercado de factores existe el factor en cantidad

suficiente para satisfacer, la demanda de la empresa por el

factor.

Ninguna empresa es filantrópica. Toda empresa pretende ha-

cer máxima su utilidad definida como la deferencia entre in-

gresos y costos.

El precio del bién o servicio producida por la empresa está

dado, así como los precios de los factores.

En un sistema capitalista, normalmente se afirma, la empresa

pretende hacer máxima su Utilidad. Esta afirmación así aislada pre-

sentada como objetivo, plantea hoy día algunas dudas. Sin embargo,

precisamos que es un objetivo razonable en un sistema capitalista

competitivo. En éste sistema no hay duda que es altamente aceptable,

no solo porque le interesa aprovechar más al empresario produciendo a

los más bajos costos y vendiendo en los mejores mercados, sinó porque

resulta extraordinariamente importante el permanentemente creando efi-

cienCia a fin de no ser expulsado del mercado por otros empresarios

que tuvieron el buen sentido de indagar continuamente buscando nuevas

técnicas y produciendo más eficientemente.

Sin embargo, el criterio de Maximización es enfocado por lasem-

presas en diferentes sentidos respecto al tiempo, pues resulta razona-

ble que algunas empresas quizá no consideren conveniente obtener, hoy,

un alto margen de Utilidades, con tal de lograr mayores utilidades en

el futuro ó al revés es decir en la búsqueda de Utilidades presentes.

Todo deperde del comportamiento del Sistema Económico dentro del cuál

opera la empresa. Un sistema económico altamente inestable inducirá

a la empresa a comportarse de una manera diferente que si el sistema

fuera estable.

Si se supone que el sistema económico se desarrolla a una tasa

constante, puede suponerse que los precios son constantes y la -tasa de

interés, como medida del margen de Utilidad, también. En tal caso la

e:zpansión de la producción se debe al ingreso de nuevas empresas, las

cuales operan simila-mente entre sí y donde cada una maximiza su Uti-

lidad hoy y espera hacerlo en todos los períodos por venir.

4o.-

EL. CASO A

Respecto a éste caso, el equilibrio puede expresarse formalmen-

te:

U max = I A. U

U max = X ekh - er;

donde

U max = máxima utilidad

= ingreso total que recibe la empresa productora.

Se puede escribir I = X-17x

= Disponibilidad monetaria dada que tiene la empre-

sa para comprar factores.

X = Cantidad de producción física de un bién o servi-

cio.

Px = Precio del bién o servicio (considerado dado)

Considerando que Vx y U, están dados (son constantes en la rela-

ción anterior), la maximizad& de U solo puede lograrse maximizando X.

Para explicar la maximización de X es preciso definir dos instru-

mentos.

1.- El mapa de curvas isocuantas

2.- Las funciones isocosto

como vimos antes, el mapa de isocuantas se refiere a la representación

en un plano de la función de producción utilizando 2 factores produc-

tos variables y curvas,de nivel, cada una de las cuáles representa un

cierto nivel de producción. Formalmente las funciones isocuantas se

expresan: Gráficamente

X. = F(C.,T.) 1 3.

donde

X. = representa un nivel

i de producción

C. = cantidad de capital

T. = cantidad i'de traba-).

jo

X,

X,

1

41.-

La pendiente de cada curva iscunnta está dada por:

dX

dT

- dC TMS PmT

T1C

PmC dX dT

dC y su forma es mucho más irregular y hor.ogenica que las que aparecen

diseñadas en el gráfico anterior.

La función isocosto, representa el lugar geométrico de todas las

combinaciones de factores que la 'firma puede comprar, haciendo un desem-

bolso nonetario igual a 5. formalmente

G = iC + T

donde:

i = precio por el servicio del factor capital

s = precio por el servicio del factor trabajo

Gráficamente:

42.-

La pendiente de la línea isocosto está dada por la razón de pre-

cios de factores(19), en este caso

s

En los países con inflación aguda, resulta altamente irrelevan-

te representar de ésta manera una función isocosto, pues la relación

s se altera significativamente.

Es interesante observar que cualquier prelio sobre Co To satis-

face el peder de compra de la empresa dado por

donde el valor para cndá punto de la isocuanta, es• decir cada combi-

nacitn alternativa posible se encuentra solucionando para cualquiera

de la variables.

C = G - s T

T = G - i C s s

donde 04 T4 To

donde O 5 C G Co

Después de definir las anteriores herramientas, iscuantas e iso-

costos, estamos en condiciones de determinar el equilibrio de la em-

presa en el Caso A, el cuál se logra, haciendo máxima la variable X

condicionada a la restricción monetaria -5

Sea la función de producci3n:

X = F (T1 C; c,

la cuál presume dados G, í, s

El valor máximo de X se logrará con una óptima combinación de

factores, capaz 4e ser adquirida por la empresa con su presupuesto

monetario dado. Gráficamente:

CES \ Il

- X 2

X

X o

E.

43.-

X, representa la mama producción alcanzable, utilizando la combina-

ción (Tl' C1 ) y con un presupuesto monetario dado.

Sería deseable lograr X2, pero excede los recursos financieros,

dados por la línea C o To. Tampoco Xo es pertienente pues implica la

su-utilización de la empre!sa de su presupuesto financiero. M y N son

combinaciones irracionales para un producto con criterio económico.

El punto de equilibrio , E0 únicamente, com.° se y& en el gráfi-

co es el que satisface el propósito de lograr un máximo nivel de pro-

ducción ajustado a un presupuesto pre-establecido(20) En ese punto

gemétricamente, las pendientes de ambas funciones (isocuanta e iso-

costo) son iguales, la cuál satisface la primera condición de equi-

librio que formalmente se expresa

dX

s = PmT = aT = TMSTC i PmC dx 1

La segunda condición de equilibrio exige que la isocuantas deben

ser ccnvexas al origen. La concavidad determinaría que el punto P 111,

anterior, no defina una porción permanente de equilibrio pués si los

precios de los factores se mantienen constantes y el productor actúa

inteligentemente, buscará su equilibrio logrando la llamada "solución

de esquina" y consecuentemente utilizando un solo factor productivo(21)

Gráficamente

c

: otk- • - -

44.-

El yEll configuran la "solución de esquina".

Matemáticamente podemos determinar el equilibrio de la firma en

el caso A:

El empresario busca máximitar:

X = F (T1C)

condicionado a t.; = sT + i

C

Este problema de máximo condicionado puede ser resuelto multi-

plicadores de lagrange. Para ello

Reinscribimos la condición, en la forma

- sT - iC = o

multiplicando por el multiplicador de lagrange

},c (U sT - iC) ti o

Los multiplicadores ae lagrange son constantes indefinidos, las

cuáles son.usadas para resolver máximos o mínimos condicionados, su

valor se determina simultáneamente con los valores de otros elemen-

tos desconocidos (C y T en el presente caso) y habrán tantos multipli-

cadores como condiciones en el problema.

Así se logra obtener una función máximizada compuesta.

Xmax = X + A (N sT iC)

donde Xmax equivale a la función maximizada y ésta implica el produc-

to máximo.

P1 proceso de maximización es tradicional, haces la primera deri-

vada igual a cero

á X max = dX + A ( - 8 ) = o dT —77— 1t-----P-A0 mi

41.1̀1 itt cr: A,15° .

d x max = dX + ( - i ) = o e. r,;!fintA .1. —Te de f:

• Ny

e

d 74, 2 B

Solucionando, estas equaciones para 2: y G tenemos.

á x

A = d T = PmT

X

A = A c = PmC

i i

gkiNYOR aF

a x Inax = G - sT - iC = o

7 = ic (21a)

dc.1 ronde

P m T = 5

m C

que refleja la primera condición del equilibfio de la empresa. La se-

gunda condición del mismo exige que las pendientes de las productivi-

dades marginales anteriores, sean negativas es decir:

Pendiente de PmT = d2X 4. o

aT2

Pendiente de PmC = á2x o e2

además a2- x

a2x

¿T2 ) dC2

‘ d2X

2

aTaC )

a fin de establecer convexidad en las isocuantas.

Cumplidas las condiciones se producirá el bién en condiciones,

todas que no existe otra forma más conveniente, económica y eficien-

te de hacerlo.

EL CASO B

Respecto a este caso el equilibrio puede expresarse formalmente:

U m,';x I - G

máx = XPx - G

donde:

UmAx . máxima utilidad

Y = Ingreso total que recibe la empresa productora, por ven-

tas. En este caso el valor de la producción está dado

y por tanto I es constante se puede escribir Y = 7.15x

considerando que X 17x, estan dados en la anterior relación, la maximi-

zación de las utilidades solo puede lograrse, minimizando el costo.

Para lograr el equilibrio de la firma, en este caso, como en el

caso A, utilizaremos funciones isocuantas e isocostos y el óptimo

(míni costo) estará representado por la tngencia entre la más baja

Isocosto y la isocuanta convexa dada. Las presunciones establecidas

en el caso A, también son válidas para el caso B. Conceptualmente el

caso B es diferente al caso A pués debemos operar con una sola iso-

cuanta cuanta y un conjunto de funciones isocosto peralelo entre sí

46.-

(en el caso A se trataba de un conjunto de isocuanta junto a una lí-

nea isocosto dada).

Gráficamente:

Co

To

Son deseables (por su menor costo) combinaciones por debajo de E.,

pero no suficiertes para lograr Xo. Al contrario puntos por encima

de Eq implican costos más altos y niveles más altos de producción que

la deseada. Corsiguientemente E implica una paralínea de óptimo o lo

que es igual de mínimo costo como en el caso A. El significado de

equilibrio es el mismo. En Eql las pendientes de isocuanta e isocos-

to coinciden y las isocuantas son convexas al origen.

A continuación, presentamos formalmente la situación de equili-

brio equivalente a hacer mínima la función:

G = F(X) = sT + i C

condicionado a = F (T1C)

- F (T1C) = o

pre multiplicando la condición por el multiplicador de lagrange

A - F (T1C)) = o

47.-

obtenemos una función máximizada compuesta (...

Gmín = G - )1 (X - F (TiC)

• • '. Gmín = (sT + iC) - , 13? - F (T1

C )1

derivados respecto a cada una de las variables e igualando a cero (pri-

mera condición de mínimo)

Gmín = s - a F(Tic) = ax = o

T dT dT

d Gmín F(T -) 1C) áx - o

C dC de

d Gmín

á

- F (T C) 1 = o 1 j

De las anteriores expresiones obteremos

5 "t. aTX

, dx (1. de

= F(T1 C)(23)

de donde dX

s = dT = PmT = TMS -77 - PmC T

1C

-ar como se observa llegamos a la conclusión obtenida en el caso A. La

segunda condición (siguiente) relacionada a la convexidad (24)

de las

isncuantas esta dada por

a2x • 0 á2x , o á2x Vá-, 7 x *1( á-x ,

--71 777 lí . ac2 dT dc fi cacle dT2

Cnn fines ilustrativos veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Si dos factores tienen el mismo costo, la sustitución se rea-

liza comparando sus correspondientes productos marginales. Se usa

más aquel factor cuya Productividad Marginal es mayor.

Si dos factores tienen diferente costo, no basta comparar las pro-

ductividades marginale.s. Veamos un ejemplo:

Se tiene conocimiento de la siguiente información, referente a

dos factores 1 y 2.

Precio del factor 1 igual a 100 lb.

Producto Marginal del factor 1 igual a 15 unidades de un bién.

Precio del factor 2 igual a 200 $b.

Producto Marginal del factor 2 igual a 20 unidades de un bién.

Para decidir como hacer la sustitución de factores *6 hasta que

nivel contratar dichos factores, no basta fijarse solo en el precia

de ellos, ó únicamente en sus productividades marginales, debe consi-

derarse ambos elementos, precios y productividades, en la relación

determinada antes

F2F1 PF1

PF2

y que respecto a los datos numéricos de nuestro ejemplo, resulta

15 = 0,15 ; 20 = 0,10

100 200

La interpretación de éstos resultados es:

0,15 indica la productividad marginal correspondiente a una cierta

cantidad de factor 1 adquirida con lib.

0,10 : indica la productividad marginal correspondiente a una cierta

cantidad de factór 2 adquirida con 1$b.

Como se observa llb. gastado en el factor 1 tiene una mayor pro-

duCtividad que 1 $b. gastado en el factor 2.

La relación PMgFise llama Productividad Marginal Ponderada del

factor i. PFi

La resgunta pertinente ahora es. Hasta qué punto debe sustituir-

se un factor por otro? Es lógico pensar que la sustitución no puede

hacerse indefinidamente, arribando a la especilización en el uso de un

factor. Técnicamente sabemos que superado un cierto nivel de uso de

factor, 53 presentan rendimientow decrecientes. Simultaneamente, el

factor que se va usando menos, irá presentando rendimientos crecien-

tes, de renera que respondiendo a la _pregunta diremos, la sustitución

entre factores ó la contratación de ellos deberá hacerse de modo que

en todo ncmento se cumpla, la siguiente relación

PMgF1 r PMgF2 = TMSF2'

x1

PF

1 2

que tamb:.én puede escribirse:

PMgF1 = FlgF2 = TUS

de factores.

149.-

PMgF2 P2 = TMS

F2'Fl 1 PMgFi

y se habla de una combinación económicamente eficiente de factores

productivos cuándo las productividades marginales ponderadas de am-

bos factores son iguales 6 en otros términos cuando la Tasa Marginal de Sustitución en la producción es igual a la relación de precios en

el mercado de factores. El primer término de la anterior relación (y

por igualdad también el segundo) representan la Tasa Marginal de Sus-

titución TMS.

Nótese que la TMS en la Producción es decreciente, lo cuál es

compatible con una Isocuanta convexa al origen.

CASO C

Aquí, consideramos a todos los factores de la producción varia-

bles, se trata del largo período, y no existe limitación técnica o

financiera a la expansión de la producción.

En estas circunstancias, ].a preocupación de la firma radica en

la busqueda del camino óptimo de expansión de SU producción, el cuál

le permita hacer máxima su utilidad, y si se presumen dados:

- los precios de los factores productivos y

- la función de producción

dicho camino óptimo de expansión estavá definido corno el lugar geomé-

trico de puntos de tangencia de sucesivos isocuantas e isocostos eso-

costos reales y paralelos entre si).

Si la función de producción es homogénea, el camino de expansión

será una línea recta desde el origen (la cuál implica razón de u30 de

factores constante) cuya pendiente depende de la relación de precios

501-

La firma expandirá su producción sobre I, sí la relación de pre-

cios es s y lo hará por II, si la relación es s1

I y II no serán rectas, aun si el preeio_de factores es constan-

te. Gráficamente:

CASO D

Por cualquier circunstancia (25)la firma se puede ver obligada

a expandir su producción en el período corto, lapso en el cuál los

precios de los factores no cambian'y al menos un factor es constante

(normalmente el capital o planta). En estas circunstancias, su ex-

pansión no se realiza por el camino de expansión óptima que estudia-

mos antes, sinó por un nuevo camino diseñado en base a la limitación

del factor constante(26). En el siguiente gráfico el producto debe-

ría expandirse en equilibrio sobre la línea I pero se lo puede hacer

sobre C C en el corto perf3do o o ̂

(o

c Xz

51.-

Las combinaciones situadas sobre Co Co implican desde otro pun-

to de vista, mayores desembolsos para la empresa respecto a un mismo

nivel de producto pues como se ve en el diseño anterior por ejemplo

el punto s refleja un nivel de sembolso (dado por la isocosto) capaz 1

de permitir un nivel de producción X2 si el factor capital no fuese

limitante y la producción se realizara con la combinación óptima

Tanto R). Sin embargo, (hecho para el punto R) con factor capital li-

mitante y con el mismo desembolso solo es posible lograr un nivel de .1

producción equivalente a X1 -- 2 eis.

En otras palabras, si deseamos producir un nivel de producción Xl,

sin limitación del factor capital, nuestro costo ascendera a aquel

dado por la isocosto que para por N. En cambio con limitación del

factor capital, el mismo nivel X1 de producción obtendremos desembol-

sando más, esto es el costo dado por la isocosto que pasa por R.

Hemos supuesto que los precios de los factores no han cambiado.

El lector no deberá olvidar que en los casos A,B y C se ha pre-

sumido variabilidad en los precios de factores y el equilibrio se ha

logrado cuando.

PmT = s

PmC

si los precios de los factores se hizieron constantes, por ejemplo

por la existencia de monoprecio en el mercado de factores, la relación

anterior se transforma en

PmT = costo marginal T

PmC costo marginal C

EL CALCULO DE LAS FUNCIONES DE CUTO EN BASE A FUNCIONES DE PRODUCCICV

Asignando un precio a los factores productivos(2?)correspondien-

tes a una función de producción dada, con rendimientos constantes a es-

cala; la función de costo total está dada por el lugar de puntos de

tangencia de sucesivos isocuantas e isocostos.

Como hemos dicho a una específica función de producción es inhe-

rente también una específica tecnología.

Aprovechando un tecnología disponible, la empresa puede produ-

cir une unidad de bién, por diferentes maneras, métodos o procesos,

los cuáles abaorven diferentes cantidades de factores Por ejemplo,

la producción de un bién x puede realizarse por cualquiera de los si-

guientes procesos:

52•-

PROCESOS HORAS - MANO DE OBRA HORAS-MAQUINARIA

Proceso I 2 6

Proceso II 3 4,5

Proceso III 4 4

Proceso IV 5 3,7

Proceso V 6 3,5

Proceso VI 7 3,3

Proceso VII 8 3,1

Proceso VIII 9 3

A los cuáles corresponden los siguientes costos:

PROCESOS COSTO H-T COSTO C COSTO TOTAL DE CADA PROCESO

Proceso I 40 120 160

Proceso II 60 90 150

Proceso III 80 80 160

Proceso IV 100 74 174

Proceso V 120 70 190

Proceso VI 140 66 206

Proceso VII 160 62 222

Proceso VIII 180 60 240

Como se observa el método ,que cuesta menos es P2. Dados los re-

tornos constantes a escala, éste será el método escogido para todos

los niveles de producción, cuyo costo total es:

NIVELES DE P2ODUCCION Y COSTO TOTAL PARA EL PROCESO II

X (en toneladas)

o

CT (en 4) (en

o

CM. $ por Ton.)

-

5 75o 150

lo 1.500 150

15 2.25o 150

20 3.00o 150

25 3.750 15o

30 4.500 150

35 5.250 15o

40 6.000 150

Dos formas gráficas alternativas de mostrar la anterior infor-

maci5n es:

53.-

57.5

1,001

7 -o

7

..... , .....

5 10 15 20 25 7)• 3S 40

Como se vé el proceso de selección de técnica y del proceso ó

.nétodo es previo a la definición y determinación de las curvas de cos-

to.

Analiticamente también resulta sencillo derivar funciones de cos-

to a partir de funciones de producción. En investigación aplicada, una

función de producción convenientemente utilizada es la función Cobb-

Douglas, la cuál usamos ahora.

Sea la función de producción

X = bo Tb1 Cb2

y la ecuación de costo

G = sT + iC (28)

Nuestro propósito es derivar una función de costo de producción,

G = F (x), para lo cuál abordaremos el problema como si se tratara

de maximizar la producción condicionada a las disponibilidades fi-

nancieras disponibles. Formalmente

Max X = b Tbl C

b2

o condicionada a G = sT + iC

b s b2 \ 2

X = b i b1 + b2

511.-

de donde resulta la función maximizada compuesta

X máx = X + 74, (E - sT - iC)

donde A es el multiplicador de lagrange

Satisfaciendo la primera condición de máximo

a x mit( = b .X - = o

T

a x máx =b2 . 0 á c

X más, . G - sT - iC = o a k

despejando bl' X = s T

b2. X = )14, C

por axioma b C 1 = s b T 2

solucionando para C

C = b2 b1

reemplazando el valor de C en la función de producción

solucionando para T desde.ésta ecuación

1 r 1 1 T = 1 . X 1 bl+ b2

bo s b . 2 b2 i b1

6 en otra forra

(( i b1 )

b2 1

1 i b2 b1 + .52 b b1 4- b2 o

X T =

/

reemplazando ésta ecuación en la ecuación anteriormente solucionada

pan.. C, tenerlos:

= s b2 i b

1

/ x 1 b + b 2 1\5: -b- -

o / b1

+ b2

55.-

Sustituyendo los valores de T Y C en la ecuación de costo, resulta

)b2

G = í 1 I S bl

5---91 1

b1 + b2

o s b2

b1 + b

2

bl 1

s b2 ) 1 i b

l b1+b2

X 57;

ir, en otra forma.

(

/

G •=1 ill [(111)1) olb ‘b

)1311 1;.19 -1Elo s b1 + i

b1+b2

b2 > X 1

l, b1+b2

1 1 1 2

o .- 2 • f, bi + b2

ecuación que representa el costo total de producción en función de una

única variable, X y de los constantes, bo, b1, b2, s, i.

La anterior ecuación de costo total también se puede expresar

G = F (X) caetaris paribus

donde el término caetarís-paribus indica la invariabilidad de la téc-

nologra y de los precios de los factores. Si el caetario-paribus re-

sultara alterado, inevitablemente la curva de costc cambiará hacia

abajo o hacia arriba.

EL EQUILIBRIO DE UNA ENPRESA MULTIPRODUCTORA

Se denomina empresa multiproductora a aquella que no está espe-

cializada en la producción de un solo biln. Produce muchos bienes,

los cuáles en éste estudio, por cuestión de métoda, los considerare-

M0.3 como dos grupos conjuntos de bienes o simplemente como dos bienes.

Diremos pues que la empresa multiproductora produce dos bienes cuyas

cantidades estan representadas por X e Y

La determinación del equilibrio de ésta empresa multiproductora

requiere la determinación previa de dos instrumentos:

Su curva de posibilidades de producción Y su curva de igual in-

greso.

Para explicar la curva de posibilidades de producción de la em-

presa, presumimos que cada bién es producido usando únicamente ,,,NY R

factores T y C y la función de producción de cada bién. o a = e (29) ,

x = F1 (T1C) 7

7,- /1; IBM' T

• r7

y = F2 (T1C) \Zlo • ;,.. .t.i

\:3̀ ;', ' sr:

56.-

Mediante el artificio, denominado "caja de Edge worth" obtener

mos la curva de posibilidades de producción de la empresa. En dicha

caja representada a continuación, catan dibujados dos conjuntos de

isocuantas correspondientes a las anteriores funciones de producción.

La dotación de factores poseídos y utilizados por la empresaestá re-

presentada por OT y OC y constituyen los lados de la caja.

Gráficamente:

T y

O X

Un punto de la caja muestra una combinación específica de x y y

producidos con la dotación de factores dada. Dentro de la caja, la

función de producción de cada bién x e y está representada por iso-

cuantas Ai y Bi respectivamente. Por la convexidad de dichas curvas,

necesariamente existen puntos de tangencia entre isocuantas Ai y Bi,

los cuáles conforman una línea llamada "línea de contrato" y que re-

pregenta el lugar geométrico de combinaciones eficientes de produc-

ción

En el anterior grá ico, M no es una combinación eficiente, pues-

to que si el productor cambia a S o a T, la producción de al menos

uno de los bienes será mayor (usando la misma dotación de factores).

c

Más aún desplazándose a un punto intermedio entre S y T (sobre la lí-

nea de contrato), por ejemplo R, implica incrementar la producción

de ambos bienes x e y, sin insumir mayores cantidades de recursos.

Los desplazamientos que el productor realiza dentro de la caja impli-

ca el conocido fenómeno de "reasignaciór de recursos".

Para la selección de la combinación óptima entre las diferentes

combinaciones de x e y, situadas sobre la línea de contrato, es pre-

ciso considerar los precios de los bienes x e y.

Para determinar el nivel óptimo de producción de x e y, es nece-

sario d terminar la "curva de posibilidades de producción" o también

llamada "curva de transformación del producto", la cuál muestra el

lugar de puntos de nivel de x e y que implican un uso pleno de los

recursos. Gráficamente:

o .4 4

La curva de posibilidades de producción ha sido deducida de la

línea de contrato, cuyos puntos definen combinaciones de niveles de

producción de x e y, los cuáles reaparecen sobre la línea de posibi-

lidades de producción. Considerando los dos últimos gráficos T1 es

la imagen de T, S1 de S; R1

de R, y así, para otros puntos.

Una unidad

de x

Una unidad

de y

58.-

COEFICIENTES FIJOS DE PRODUCCION Y FUNCION DE POSIBILIDADES DE PRODUC-

212n

En caso que la producción fuese de muchos bienes ó estuviera rea-

lizada por diferentes empresas las cuales se agrupan en sectores, es

posible agrupar dichos bienes bajo un mismo nombre; por ejemplo, ar«:

tículos alimenticios, eléctricos, etc.

Así cómo se pasó de la isocunnta continua y derivable a la iso-

cuanta en ángulo, una operación semejante puede realizarse respecto a

la curva 6 función de transformación.

Nuevamente debemos plantear la vigencia de los coeficientes fi-

jos de producción. El productor dispone de una dotación de factores

y es libre de decidir respecto a las cantidades de bienes a producir.

Si pensamos en dos bienes: x e. y, el problema es determinar las can-

tidades a producir las cuáles son de equilibrio si implican un ópti-

mo. El productor en este caso no eecogerá entre infinitas técnicas

productivas, sino 'condidionado a la combinación de factores en pro-

pOrciehes lijas.

Veamos el siguiente ejemplo:

El productor dispone:

3.000 horas de trabajo no especializado: Tn

3.000 horas de trabajo especializado: Te

2.400 horas de servicio de máquina:

Una unidad de x necesita 6 horas de trabajo no especializado (Tn), 15 horas de trabajo especializado (Te), y.9 horas de servicio de máquinas (C).

Una unidad de y necesita 15 horas de (Tn), 6 horas de (Te), 9 horas dé (C).

Dados estos datos qué cantidades de x y de y deberá producirse.

Sintetizando en un cuadro, teneMos:

:Cantidades de

Caritida Productos

des de fac

res utilizadas

Factor Tn 6 15

15 6 Factor Te

Factor 9

9

xs*.—,:tmillo~~ntISM*4~~,r1"-~•WOw.,._

59.-

Estos datos constituyen los coeficientes técnicos de producción

de los dos bienes y permanecen invariables.

Las restricciones están dadas por las cantidades limitativas de

factores las cuáles son constantes y se pueden representar así:

6 x + 15 y c 3000

15 x + 6 y ct- 3000

9 x + 9 y 2400

De cada una de las desigualdades anteriores, se pueden explici-

tar cualquiera de las variables, por ejemplo:

x 2122 - 15 y

x / 3000 - 6 y 15 15

x 2400 - y -4- — 9

Gráficamente representadas (al igual que si fueran ecuaciones) dichas

inecuaciones tenemos:

T,

La pendiente de cad- recta está dada por la relación entre los coeficientes técnicos de producción. Las rectas representadas en el

gráfico anterior corresponden a las inecuaciones y dan significación

a todos los puntos contenidos debajo de cada una de ellas hasta los

6o.-

puntos límites ubicados sobre ellas mismas. Por tanto cada recta re-

presenta el lugar de los puntos donde se pueden atener diferentes

combinaciones de los dos bienes utilizando plenamente uno de los tres

factores disponibles.

T indica combinaciones posibles de x e y obtenibles con el em- n

pleo total de las horas de trabajo no especializado. A la izquierda

de ésta recta se sub-utiliza las 3000 horas disponibles. A la dere-

cha se sobrepasa las disponibilidades de recursos.

Como cada bión se produce con el concurso de tres factores, ca-

da rect en particular pierde significado. Por tanto para la recta Tn,

la parte relevante únicamente es AB, para•la recta C, la parte rele-

vante es BC y para la recta Te la parte relevante es CD.

Por tanto las posiciones técnicamente posibles para el productor

son aquellas situadas sobre la función en ángulo ABCD. Esta función

es una Curva de Transformación no continua y no derivable porque es

angulada. La curva de transformación supone sub-utilización de fac-

tores. En AB se subj-utiliza factores Te y C, en BC se sub-utiliza

Te y Tn, en CD se sub-utiliza Tn y C.

Gráficamente la utilización plena de recursos se daría cuándo to-

das las rectas se cruzan como en el gráfico diseñado a continuación:

Te

y

61.-

El equilibrio del productor se obtiene en la forma ya conocida,

es decir trazando una familia de funciones de igual ingreso denomi-

das Iso-ingresos. La inclinación de una Iso-ingreso muestra la rela-

ción de precios de los dos bienes. Gráficamente:

5

a l

x

En B se dá el equilibrio: La producción óptima está representada

cuándo se produce Ox1 del bién x, y Oy del bién y.

Si la Iso-ingreso toca un vértice de la función de transformación,

el equilibrio es determinado, en cambio no es determinado cuándo la

función mencionada es paralela a un segmento de la función de trans-

formación.

Una vez determinada la curva de transformación es preciso deter-

minar (a nivel técnico) la combinación óptima de x e y que conviene

producir y que está representada por un punto de la curva. Veamos

formalmente:

La pendiente de las isocuantas Ai en la caja es:

- a C priT 4 x = THS TxT C d T *

1

que representa la tasa marginal de sustitución técnica de C y T en la

producción de x.

La pendiente de las isocuantas Bi, en la caja, es:

- de. PmT, = TMSTYT C d T Pmel y

1

que representa la tasa marginal de sustitución técnica de C y T en la

producción de x.

En los puntos de tangencia entre isocuantas Al y Bi (esto es so-

bre la línea de contrato) las pendientes son iguales, es decir.

- a C = PmT. x PmT4_y_.

T Pule; x PmC1 y

y, la pendiente de un sector de la línea de contrato, por ejemplo en-

tre T y S, éstá representada por la pendiente de la línea de posibi-

lidades de producción entre T1 y 81.

La pendiente de la curva de Posibilidades de producción es

- á y = TMTPx y

a T esto es, igual a la tasa marginal de transformación de la producción.

Para calcular el valor de la THTPx,y, consideramos un arco de la

curva de transformación, digamos TI S

1. El paso de T1 a S

1 como se

aprecia en el dibujo, implica producir menor cantidad de y y mayor

cantidad de x.

Un decreciente en la producción de yl - .1.bera factores en

dTy . PmTIy + de), . PmC1y

Un incremento en la producción de x, requiere factores adicionales en

aTx . PmT1x + dJx . Pme1

x

Si toda la dotación de factores debe ser utilizada, la cantidad

liberada de factores debe ser igual a las necesidades adicionales de

factores. Esto es:

- áTy = +aTx

- aCy = +aCx

consiguientemente podemos reescribir la pendiente de la línea de 'posibili-

dades de producción.

- dy = TM1Pxly = áTy. PmT1y dCy. PmC1y

dx aTx. PmT1x + oCx. PmC1

x

Por razones de eficiencia en la producción, la empresa debe per-

manecer sobre la curva de transformación, no dentro ni fuera, es de-

cir donde las pendientes de las isocuantas si sean iguales a las de Bi,

63.-

formalmente:

Pendiente Pendiente de la de la isocuanta Ai = PmT1

x PmT1y Isocuanta Di

PcC1x PmC1y

De donde PT y

PmT1x m1 . Fire x

1 1 Pme1y

e igualmente

PmT1y = PmC

1y = rinT1x

PmCix

volviendo a la ecuación anterior, que representa la pendiente de la

línea de posibilidades de producción, dividimos sus términos por dTy

que a su vez equivale a - dTx1 según vimos antes, y tenemos:

.4C7. - -:-IY.- = PmT1

y + PmC1y dTy l

dx PmT1x - PmC

1 x &Cx \

1 •-c" aTx i

keemplazando la penúltima y antepenúltima ecuación en la úl-

tima

( PmT1x + dCy

-2_2_ = PmC1y :ThriClx dTy )

d x Pme1x PmTly dCx

Me1y dTx )

Según las anteriores deducciones lcs términos del pnr;yiís son

iguales y se pueden simplificar, obteniendo:

- dy Pmely

áx- Pte1x

que representa la pendiente de la curva de posibilidades de producción

análogamente podemos derivar

ax PmT1

x

lo que permite escribir que

PsC 1-Y-

PmT1y

dx Potelx

PmTlx

= PmT1y

64.-

Lacombinación óptima de la pareja de producción de x e y es aque-

lla que produce el más alto ingreso, dada la curva de posibilidades de

producción, eso es dada la dotación de factores las cuáles definen és-

ta curva. Para encontrar el equilibrio de la firma multiproductora,

esto es el optimo, técnico y económico, necesitamos definir una otra

herramíenta, denominada linea Iso-ingreso.

La línea Iso-ingreso de la firma multiproductora, representa el

lugar de combinaciones alternativas de x e y cuyas ventas generan el

mismo ingreso a la firma. Gráficamente:

Cada punto sobre MN representa una combinación de bienes x e y,

capaz de generar al productor, al ser vendida, un mismo nivel de in-

greso. Por ello se dice que MN representa un nivel dado de ingreso,

logrando por una empresa y formalmente se expresa:

= x. Px + y Py

La pendiente de la línea iso-ingreso, es equivalente a la rela-

ción de precios de los bienes x e y.

Pendiente línea iso-ingreso = OM = Px

ON Py

lo cuál puede verificare_ facilmente. Suponiendo Y, un nivel dado de ingreso y que la empresa produce y vende un solo bién Y1 en canti-

ch..d CM, su ingreso total es:

OM. Py =I

65.-

6 bién OM = Yy

Análogamente tratándose de otro bión x vendido en cantidad ON

y que genera el mismo nivel de Ingreso T ,

ON = Y Px

reemplazando con valores de OM y ON en la ecuación de la pendiente

OM = Py = Px

ON Y

Py

Px •

lo cuál hablamos postulado antes.

La representación gráfica de la línea Iso-ingreso puede hacerse, •

utilizando lacacuación del ingreso

Y = xPx + yPy

y solucionando para Y ó para x (indistintamente)

Y = Y - xPx Py

Dados, los precios de los bienes y el valor de Y, el valor de Y depende solo de los valores asignados a x. Cambios en los precios

de los bienes y/o en el valor de Y darán lugar a cambios en las lí-neas Iso-ingreso. A medida que la línea iso-ingreso se aleja del

origen, mayor será el ingreso de la empresa.

En síntesis, respecto al equilibrio de la firma multiproductóra

diremos que, siendo su propósito maximizar sus utilidades y dados:

- la dotacitn de. factores (en propiedad de la empresa)

- la curva de transformación ,

- loo precios de los bienes x e y

- los precios de los factores C y T

el equilibrio de la empresa se logra'en el punto donde la curva de

transformación del producto, llega a ser tangente a la más alta

Iso-ingreso (31). Én el punto de tangencia se cumple:

PmT1y PnC

1y - = = = Px da PmT3x Pme X Py

66.-

Gráficamente:

1‘

t2 Je

O

donde (xe , ye) representa la producción de equilibrio de la empresa

multiproductora.

LA PPODUCCION A NIVEL AGREGADO

Hasta aquí el fenómeno productivo se ha efectuado bajo un pian-

te/x.iento microeeorómico. Veamos como pasar al nivel macroeconómico.

Para ésto efectuaremos dos simplificaciones adicionales:

PRIMERA.- No considerar empresas individuales sinó sectores económi-

cos de producción los cuáles combinan factores diferentes a objeto de

obtener sus productos. Esta simplificación más que permitir verifi-

caciones empíricas facilita la aplicación de razones factoriales cons-

tantes y relaciones producto-factor determinadas.

También se excluye el fenómeno de las economías y deseconomías

de diferentes tipos en la actividad empresarial, pues a nivel agrega-

do se compensan.

SEGUNDA.- Suponer que en cada sector económico el método o progreso

productivo sea uno solo (esto es proporciones factoriales constantes)

y que se mantiene constante aún en caso de expansión, lo cuál es ra-

a\ N--.:117:- soy,'

67.-

zonablemente aceptable en un período breve.

Las &implicaciones anteriores determinan la forma de la Isocuan-

ta, la cuál será en ángulo recto. Gráficamente:

Lo dicho es la base de la formulación del fenómeno de interdepen

dencia estructural o sectorial 6 también denominado sistema In put-

Out-put, cuyo desarrollo se debe a su exponente Wassily Leontieff,

quién elaborá una tabla o matriz destinada a explicar el fenómeno pro-

ductivo, agregado, su estructura, la estructura dt, costos y las pro-

yecciones que el sistema económico podía hacer en base a ella. Vea-

mos pues la matriz de interdependencia sectorial.

LA MATRIZ DE INTERDEPENDENCIA SECTORIAL

Aunque no sea realista, solo por simplificación trabajaremos con

dos factores: Servicio del factor trabajo y servicio del Capital fijo,

loa cuáles se emplean en proporción fija.

A estos factores llamaremos factores primarios a diferencia de

los bienes intermedios Te comprende las materias primas, materias

subsidiarias bienes en varias fases de elaboración ó terminados, com-

pradas y vendidas entre sectores.

Los empresarios por los factores primarios pagan una remuneración,

68.-

en cambio por los bienes intermedios pagan un precio.

Sería interesante desagregar al máximo los sectores productivos

pero es más cestoso, por esto se recurre a un alto nivel de agregación.

El grado de agregación depende del objetivo del estudio y de la dis-

ponibilidad de información estadística.

Tomamos la decisión de dividir la ecodomía en cuatro sectores;

A, B,C,D. Cada sector contrata factores primarios y compra bienes in-

termedios a los otros sectores y a sí mismo. Supongamos la siguiente

información:

Compras que el sector A efectúa da los diferentes sectores:

Compras del sector A 90

Compras del sector 3 150

Compras del sector C 200

Compras del sector D 20

Total compras intra e

intersectoriales

Remuneraciones a factores

primarios

460

1040

Total Gastos del sector A 1500

Si consideramos todas las relaciones intra e intersectoriales de

todos y cada uno de los sectores, presentamos el siguiente cuadro:

SECTORES COMPRADORES 1

SEC- TOPES VEN- DEDORES I

A B C ) 1

D

1 A I

90 100 i 1 50 1

i

i 0

P 1

150 60 1 I

0 loo

C 200 20 1

1 8o

I 50

i

1

loo ...

201 D I I

20 6o

Total de Compras Intral

e Intersectoriales I 460 240 18o

t t !

220

f"—^ Remuneraciones a factpl

res primarios 1 2.040 26o 26o

1 i I

I 340 1

TOTAL GASTOS 1.50o 500 44o 56o

.....SrWM~^011,11NroCW74^

69.-

Pero un sector productivo no produce únicamente para satisfacer

necesidades de otros sectores sine también para los consumidores fi-

nales, diferenciándose así los productos en intermedios y finales.

Por tanto, se precisa completar el cuadro anterior añadiendo una

columne de ventas al consumo final por montos que se calculan en ba-

se al siguiente criterio: "todo sector gasta en factores primarios y .

bienes intermedios, y trata de recuperar dicho monto vendiendo el pro-

ducto. .S110 explica que los agregados totales horizontales del cua-

dro coincidan con los verticales.

Veamos 91 nuevo cuadro con la inclusión del producto final:

SECTORES COMPRADORES

SECTWES VENDEDORES

A

I

E C I i D

; TCTAL 1TOTAL VENTASIVENTAS INTER- DE CON MEDIAS pu&

PRODUCTO TOTAL

A 90 i 100 I 50 0 240 I 1.260 , 1.500

1 I B 150 I 601 o 310 1 190 500

1 10 0 1

O 2001 i I 20 1 80 100

I

400 40 440 1

1 D 20 I 6o I 50 20 I 150 i 410 56o 1

r ; 1 TOTAL COMPRAS 460 1 240 i 180 . 220 11.500 I

I

Remuneración a Fac 1 I

tores primarios 6 1.040 ! 260 1 260 340 1 1.900 Valor agregado

TOTAL GASTOS I 1.50o 500 44o 1560 1

3.000

El cuadro anterior es una elemental matriz de interdependencia

sectorial elemental porque aún es muy simplificada, aún no se habló

de bienes finales de Capital (solo de productos de consumo privado),

tampoco se habló de bienesde Consumo Público ni de bienes destinados

al Comercio Exterior.

La matriz anterior refleja la estructura de costos y la estructu-

ra de producción y es un (til instrumento para asociar análisis de ni-

vel microeconómico y macroeconómico.

Pero la matriz solo si:we para analizar la estructura o composi-

ció', de una economía? No, sino además para preveer comportamientos

70.-

futuros probables en variables del sistema, ó en otras palabras con

fines de proyección. Sin embargo, la hipótesis ya planteada antes

y que se encuentra ímplicita en la matriz es la existencia de rendi-

mientos constantes a escala y coeficientes de producción fijos. A

veces surge un legitimo excepticismo respecto al realismo de dicha

hipótesis la cuál resulta ser útil únicamente con fines de simplifi-

cación.

LA MATRIZ COMO INSTRUMENTO DE ANALISIS

Aceptando las hipótesis anteriores es grande la utilidad de la

matriz como instrumento de previsión y programación. El problema

económico implica continuamente, estudiar las variaciones del PNB y del

consumo global. Dicho estudio puede efectuarse en base a instrumentos

como la Elasticidad ingreso, la cuál nos dá ciertas respuestas por

ejemplo, respecto a cuánto cambiará el consumo al cambiar el ingreso

y cuál su posible distribución. Sin embargo, la matriz es capaz de

permitirnos saber, si estimamos ó proyectamos un incremento en la De-

manda de bienes de consumo final de un sector cualquiera; cuáles son

los efectos directos e indirectos que dicho incremento ocasionará en

la actividad económica, pues es lógico pensar que si el sector D, in-

crementa su Demanda en 500 unidades, no solo éste sector debe produ-

cir 500 unidades, sino que moverá a todos los demás sectores a proveer

le materias primas, productos semiacabados, etc., lo cuál a su vez

repercute en toda la economía. La medición de éstos complejos inte-

refectos sobre todo cuándo se proyectan cambios en diferentes secto-

res sería casi imposible medir sin el auxilio del instrumento matemá-

tico. Veamos un ejemplo, simplificando tomado de V. Marrama op.cit.,

el cuál considera 2 sectores productivos, la Demanda Final es exclusi-

vamente de bienes de consumo (lo que significa que no existe deprecia-

ción del Costo Fijo, es el caso de una economía estacionaria).

Sean A'y B'dos sectores productivos:

Xa : representa el valor de la Producción Bruta Total del Sector A'

Xb : representa el valor de la Producción Bruta Total del Sector B'

Tenemos las dos siguientes ecuaciones do balance lineales

Xa

= X aa + Xab + Ca

Xb . X

ba +

bb + C

b

Condensamos los anteriores datos de la matriz anterior en la si-

guiente matriz: (donde A' asocia los sectores A y B, y B1

asocia los

sectores C y D)

71.-

SECTORES

'SECTORES COMPRADORES Al

VENDEDORES

.

B1 CONSUMO

FINAL

PRODUCTO

TOTAL

itü

Al 1 400 150 1.450 2.000

B1 300 250 450 1.000

Remuneración la

:,

I e11=ios.%17 1 1.300

1 agregado = V.A. , 1 600 1.900

1 I GASTO TOTAL 1 2.000 1.000 i 1

3.000

Los coeficientes técnicos de producción: relación entre las com-

pras de bienes intdrmedios de cada sector con el gasto total del sec-

tor, pueden calcularse así:

= X da

= 0.20 = 400

Y. 2000

= Xab = 0.15 = 150 Xb 1000

X a 2000

Xbb 0.25 = 250

X 1000

Podemos calcular también los coeficientes técnicos relativos a

los gastos realizados por cada sector, en factores primarios

V.A. a = 0,65 X a

V.A. b = 0,60

Los coeficientes anteriormente calculados podemos presentarlos

en una matriz de coeficientes técnicos.

daa

á ab

abb

72.-

SECTORES CONPRADCRES

SECTORES VENDEDORES

Al B1

Al 0.20 0.15

31 3 0.15 0.25

F o.65 0.60

La suma vertical de cada columna es igual a 1 6 a 100%, ya que

los ¿astas en bienes intermedios y factores primarios, constituyen

todo el gasto o sea 100%, para producir una unidad de bién final.

Al calcular los coeficientes técnicos habíamos escrito:

aa X aa

de donde aaa Xa = X

reemplazando en nuestro anterior sistema de ecuaciones

Xa

r- daa

Xa

+ dab Xb + Ca

Xb

= dba Xa dbb

X. + Cb

de donde

(1 - daa) X

a - a

ab Xb = C

a

- a Xa + (1 -

bb) X

b = C

b ba

reemplazados los valores de los coeficientes técnicos, tenemos

0;80 Xa - 0.15 Xb = Ca

- 0.15 Xa + 0.75 Xb = Cb

Si damos a Ca

y Cb

los valores de la tabla anterior y resolvemos

el anterior sistema, obtenemos

Xa

2000

Xb

1000

que corresponden a los valores de la última columna y de la última fi-

la de la anterior matriz.

Ahora supongamos que el sector B1

programa para el año t + n,

una duplicación en el consumo, es decir 900 en vez de 450.

Xa

Reemplazando en nuestro anterior sistema de ecuaciones Xb=

1625, lo que muestra que el sector debe incrementar en 625 su produc-

to para satisfacer un aumento de 450 u. en la oferta final de bienes

de Consumo. También se vé que la producción del sector Al debe au-

mentar Je 2000 u. a 2120 u., resultado que confirma el fenómeno de interdependencia intersectorial.

A continuación puede verse el cuadro construido para el año t+n.

En dicho cuadro suponemos constantes los coeficientes técnicos de

produccier. En él se puede apreciar la interdependencia intersecto-

riel y ver cú.mo para satisfacer un incremento de consumo final de 450,

la producción bruta debe expandirse de 3000 a 3745, es decir en 745 u.

Matriz can dos sectores para el año t + n.

SECTORES COMPRADORES

SECTORES VENDEDORES

A1 I

81 I DONSUMO

FINAL

PRODUCTO

TGTAL

Al

425 245 I 1.450 2.120

B1 320 405 I 900 1.625

Remuneración a facto- res primarios: valor 1.375 agregado

975 I 2,350 i

I ' GASTO TOTAL 2.120 1.625 3.745

Se ha podido ver la utilidad de la Matriz como instrumento de

análisis, aunque en una versión muy simplificada de la realidad, pués

ella es más compleja.

RELACICN ENTRE MATRIZ INTERSECTORIAL Y AGREGADOS DEL INGRESO SOCIAL

Para hacer más nítido el puente entre Microeconomía y Macroeco-

nomía, conviene establecer relaciones entre la matriz intersectorial

y los agregados del ingreso. A continuación se presenta un nuevo cua-

. dro en el cuál se incluye la producción de bienes da Capital (públi-

cos y privados). Esto es importante porque algunos sectores muestran

un alto índice de contribución en la producción de bienes de Capital

y a veces enormemente bajo en lo referente a bienes de Capital bajo

la designación de Inversión Bruta dentro de la cuál se incluye ade-

más del valor de los bienes de Capital producidos, públicos y privados,

los correspondientes a las variaciones de Stock ó existencias.

TOTAL VENTAS INTER-SECTO-RIALES

D

C 200 20

D 20 6o

TOTAL COMPRAS 460 240

VALOR AGREGADO REMUNERAC1ON, SECT. PRIMARIOS

1.040 260

GASTO TOTAL 1.500 500

801 100 400

40 440

50 1 20 150 410 560

180 1220 1.100 I.500 400

260 T340 1.900

1

440 1560 3.000

74.-

a

DEMANDA fINAL 1 PRQDUCTd

CONSUMO INVERFINAL SION

TOAL -j.

T

BRUTA!

300 1 1.500

SECTORES COEPRADOR

SECTORES VENDEDORES

A B J C

A 20 960 90 100 0 k

B 150 60 O 100 310 í 90 100 500

R•Isulta pertinente introducir la variable Comercio exterior, y

para ello podemos utilizar la tabla intersectorial Italiana, agregada

en tres sectores: Agricultura, Industria y otras actividades, referen-

tes al año 1969. La tabla real posee de 16 a 77 sectores. En la ta-

bla nó se vé separado el Consumo público del Consumo Privado ya que

por la agregación hecha, en el título "otras actividades" está inclui-

da la páblica administración. Añadiendo el comercio exterior, la ecuación general de balance de

cada sector (fila horizontal de la matriz), suponiendo n sectores an-

tes que tres solamente, es:

X = d x + a X + á X + C + I + E - M a

aa a ab b an n a a a a

La ecuación de gasto de cada sector (columna de la matriz) es

a su vez:

Xa = d X

+ d X +....+ na

X + V.A.a

Las dos ecuaciones anteriores pueden presentarse

X - d - d a X aa a ab xb

d X dan n = Ca

+ la Ea

- Ma

Xa - daa

Xa - d

ba Xa - d

na Xa

= V.A.

ri

4-> O

4-)

C>

ri lli o

O ri

F. O R.

í. O • H /-1 -)

il

<-1 (.)

O

U) O

1.4 trI)

1) O ri

ci

O

c-1 as tn

rl

U O O S-. LL

e (O O O 4- 4a O O 54

1.1-1 54 r4 O

TS • S-I • rt

O • H LO

▪

O -la

PI rl• ni

O F.

1-4

O • 10

0

CO LA CV

O \ 1/40

PRODUCTO

TOTA

L

O -d- tA •

N CO •

tA •

H t'A

CO CV

00 CO 1/40•

tH 1

LA CV .-1

N

1

N \O O •

4-1

1

•

O 00 CO al

1

LA le \ tA

LA \ 0 C--

‘..0

N O co •

-s

CV CV o‘ •

. co

....-.

50

.6

1

4--4

ri H

O

O H

t-

H R

OJ LA H •

H H

tA 0\ __I-

o O -....

L` tr \ •

re \

O tn. C...-

-d" H

-..0- ‘...o K\

ni CV

t•■ ti- \ ,--1

-1-

c.-- oD r4 •

CN

ri rcl O tA

H 1"-, 111 •

c0 .--4

23

.922

28

.431

C3s, O LA •

-I- OTRAS

ACTIVIDADES

...1.- 0 \.0 0". tz \

LA r-4 tA

_I- %,0 c0 N1

c0 r<1 ■0

e -2-

E-- 'o r-}

-.1.

G■ ‘.0 \O cU ,-.1

co ri

CO e

H N

Ul

n;

G‘ N-

O\

N-N

.A r<1

H

C.- C3 \

e -1-

O tA .

\O

1 1

ct ,-....1 1 b 1 E--.1 1 a n

O 1-1 O O C ---."--- I

-1

I

OTRA

S ACTIVID

ADES

TOTAL

VALO

R AGREGADO: (W)

RE

MU

NE

RA

CIO

NES

A

FACTORES PRIMARIOS

75.—

Analogamente se pueden formar ecuaciones para los otros secto

res. Estas ecuaciones nos dicen que deducidos de la Producción Bru-

ta Total, el valor de los bienes intermedios, queda el valor agre-

gado

o sea el Producto Nacional 3ruto de un sistema económico. El

Producto Interno Bruto incluye el saldo neto del Comercio Exterior.

PIB = YNL = C+ I +E- M

No se incluye la variable 3astos del Gobierno explicitamente,

por estar tanto el Consumo como la inversión Públicas incluidos en

las cuentes de Consumo e Inversión. Global.

Veamos la Matriz Intersectorial Italiana para el año 1969, to-

mada de V. Derrama op. cit.

La tabla anterior puede dividirse tn tres secciones:

1.- Comprende el conjunto de transacciones intra e intersectoria-

les = 18.571

2,- La producción para Demanda Final y el valor agregado será igual

a 50.687.

3.- El producto total y el gasto total que :vide la Producción Bru-

ta, ajustada después de incluir el comercio exterior.

Las telaciones entre matrices y agregados del Ingreso Nacio-

nal puedan ser identificadas así:

la. La primera sección de la matriz comprende bienes intermedios cal-

calados en Contabilidad Nacional como Produccón Bruta menos Pro-

ducto Nacional Bruto la cuál es igual a Producción Intermedia.

2—a. La segunda sección indica el Producto Nacional Eruto (PIB) en

la tabla anterior equivalente a C + I +R- M

31-1* La tercera sección de la matriz no encuentra correspondencia en

el análisis del Ingreso, en cuanto la Producción Brata incluye

los bienes intermedios, los cuáles no entran en el análisis del

Ingreso.

Por tanto no es difícil ver cómo en la matriz intersectorisl que

es un cuadro sintético macroeconómico, detrás de la estructura de

consumo, costos y producción se oculta toda la teoría microeccnómica

del consumo de los costos y de la producción.

76.-

UN CASO PRACTICO DE UTILIZACIC1 DE LA MATRIZ INTERSECTORIAL

Supongamos que una Economía que funciona en base a tres sectores,

desea saber cuál será la Producción Global que el Sistema deberá ze-

nerar para hacer frente a ciertos niveles estimados de Demanda Final,

correspondientes a los tres sectores.

Se estima que para un período futuro, los tres sectores acusarán

montos dg Demanda Final como sigue:

Demanda Final del Sector I . 200

Demanda Final del Sector II. 400 •

Demanda Final del Sector III : 300

También se dispone de la matriz de Coeficientes Técnicos de Pro-

ducción, la cuál se presume permanecerá invariable para el próximo

período. Dicha Matriz es la siguiente:

SECTORES COMPRADORES

SECTORES VENDEDORES

SECTOR I SECTOR II SECTOR III

SECTOR I 0.10 0,30

1

0.10

SECTOR II 0.20 o 0.20

SECTOR III 0.10 0.20 0

Solución.- Solucionaremos el problema calculando la Matriz de Requi-

sitos Directos e Indirectos por unidad producida de Deman-

da Final. En base a dicha Matriz Calcularemos la Producción Global

por sectores..

El primer paso será pues determinar la Matriz de Leontieff, la

cuál representamos por W.-Ella se encuentra restando la matriz de Coe-

ficientes Técnico,: de la Matriz Unidad.

0.90

-0.20

1 -0.10 _

O O 0.10 0.30 0.10 ro 1 o 0.20 0 0.20 =

O 0 1 0.10 0.20 0 ■■• 1

- 0.30

1

- 0.20

- 0.10

- 0.20

1

1

1

W

77.-

A continuación invertimos la Matriz w, a partir del método de

Jordán la cuál está dada por la relación:

w 1 = Matriz Adjunta de W Determinante de W

Según ésta relación es preciso calcular. En primer término de-

bemos calcular la Matriz de Cofactores de la Matriz W, lo cuál con-

siste en encontrar los cofactores de los elementos de W. Así:

I 0.90 - 0.30 0.10

-0.20 1 - 0.20

-0.10 - 0.20 1

1 =

[

0.96 0.22 0.14

0.32 0.89 0.21

0.16 2.20 0.84

Transponemos la Matriz de Cofactores para hallar la Matriz Ad-

junta

«Eme.

0.96 0.22 0.14 1 - 0.96 0.32 0.16

0.32 0.89 0.21

0.16 0.20 0.84 •••••

. 1 0.22 0.89 0.21

1

, 0.14 0.21 0.84 = Matriz Ad-

junta de W

También es preciso calcular el Determinante de W, cuyo resultado

es el siguiente:

r-

0.90 - 0.30 - 0.10

-0.20 1 - 0.20 = 0.90 - 0.004 - 0.006 --

-0.10 - 0.20 1 - (0.01 + 0.036 + 0.06) = . 0.784

Reemplazando los valores encontrados en la relación pertinente al

método de Jordán tenemos:

0.96 0.32 0.16

0.22 0.89 0.21

0.14 0.21 o.84

1.22 0,40 0.20 I

0.28 1.13 0.26

o.18 0.26 1.07 I

0.784

Esta Matriz, W 1, representa la Matriz de Requisitos Directos e

Indirectos por unidad de Demanda Final, la cuál también puede presen-

tarse así:

~N. V«.

( 7VV'ect°1911Uer;>‘..1.1,

'n .■ A . . •-•" Y

•

78.-

SECTORES COMPRADORES

SECTORES VENDEDORES

SECTOR I I 1 SECTOR II

I

SECTOR III

SECTOR I 1.22 1

0.40 0.20

SECTOR II 0.28 I 1.13 0.26

SECTOR III 0.18 I 0.26 1.07

Dado que sé estiman las Demandas Finales de los tres Sectores

.en 200, 400 y 300 respectivaLente, multiplicamos dichos valores por

los valores de la Matriz calculada, en sentido vertical.

SECTORES COMPRADORES

SECTORES VENDEDORES

SECTOR I

200

SECTOR II

400

SECTOR III

300

SECTOR I 1.22 0.40 0.20

SECTOR II 0.28 1.13 0.22

SECTOR III 0.18 0.26 1.07

De la cuál resulta la siguiente Matriz:

SECTORES COMPRADORES

SECTORES VENDEDORES

SECTOR I SECTOR II SECTOR III PRODUCCION TOTAL DE CADA SECTOR

SECTOR I 244 160 60 464

SECTOR II 56 452 78 586 I

SECTOR II:. 36 104 321 461

TOTAL INSUMOS COMPRADDS

336 716 459- 1.511

En base a ésta información calculada, podemos presentar el cua-

dro concluido y sin.plificado de Relaciones Intersectoriales.

SECTORES I 1 COMPRADORES SEUORES

IVENDEDORES I

SECTOR II SECTOR II

I

SECTOR III DI DF 1 VBP I I

SECTOR I 46.4 175.8 46.1 264 i 200 I 464 i

SECTOR II 92.8 0 - 92.2 1 186 1 400 1 586 1

SECTOR III 46.4 117.2 0 161 1 300 1 461

T.I. 185.6 1 293 138.3

v.A. 278.4 296 322.7

VBP 1 464 586 461

En el cuadro anterior, la Matriz de transacciones intersectoria-

les (de Demanda Intermedia), se calculó en base a la siguiente Matriz:

SECTORES COMPRADORES

SECTORES VENDEDORES

SECTOR I

464

SECTOR II.

586

SECTOR II

461

SECTOR I 0.10 0.30 0.101

i

SECTOR II 0.20 0 0.201 1

,SECTOR III 0.10 0.20 O •

Realizando las correspondientes operaciones de producto, en sen-

tido vertical y por los Coeficientes Técnicos de Producción, se ob-

tienen los valores de las transacciones Interscctorialcs. Es conve-

niente observar que el no haber operado con más de dos decimales ha

ocasionado discrepancias en los cálculos finales presentados en la

siguiente Matriz:

80.-

SECTORES COPRADORES

SECTORES VENDEDORES

SECTOR I SECTOR II SECTOR III I DEMANDA

INTERMEDIA

SECTOR I 46.4 175.8 46.1 268.3

SECTOR II 92.8 o 92.2 185

SECmOR III ! 46.4 117.2 O 163.6

TOTAL INSUMOS I 185.6 293 138.3 617.9 4

81.-

NOTAS DE PIE DE PAGINA

1. La brevedad o amplitud de un período no implica necesariamente

el sentido de cronología 6 tiempo y depende de la naturaleza de

un fenómeno. La definición del mismo resulta ser altamente con

vencional.

2. En la realidad la decisión económica está sustancialmente afec-

tada por la naturaleza de la empresa y por sus intereses. Ello

significa no dar importancia únicamente a los precios de facto-

res sin5 a la política de utilización de insumos por la empresa,

su poder de control del mercado de factores, la imperfección

del mercado de factores y en general la política económica y so

sial de la empresa.

3. No debe olvidarse que los retornos a escala constituyen un fe-

nómeno téznico. Las economías a escala comprenden los retor-

nos a escala (fenómeno técnico) y las economías monetarias

(fenómeno económico)

4. Según esta ley el producto marginal del factor variable aumenta

al principio pero eventualmente cae cuando se usa más y más de

él junto a los otros constantes.

'e Los factores variables pueden cambiar en la misma proporción

, originando retornos a escala constantes, crecientes o decre-

cientes, ó en diferentes proporciones. En ésto último caso, el

análisis de la producción debe desagregarse por componentes.

6. Suele llamafse escalar.

7. Es posible hacer un test a la función Cobb-Douglas que a priori

sabemos es homogénea e implica retornos constantes a escala.

Sea la función X1 = 1 T Y3 C2/3. Incrementamos los factores 1 7 en un 20%. La función resulta 51(1.20T)1/3 (1.20C)2/3"1

X2 =

desagregando

X2

- = 1 (1.201/3) (T1/3) (1.202/3) (C2/3)1=

--- 5 .

I (1.20) T1/3 c2/3 = 1.20 1 T1/3 c2/3 5 -3-

finalmente X2

= 1.20 X1

Hemos verificado que la función Cobb-Douplas es homogénea; la ta-

82.-

sa de cambios de factores puede ser factorizada, e implica retor-

nos constantes a escala: un incremento de 20% en el uso de fac-

tores ha ocasionado un incremento igual en el producto.

Esta función por simplicidad considera solo 2 factores C y T.

8. No debe confundirse la línea de expansión del producto con el

camino de expansión. El primero no -ancluye precios de factores.

El segundo sí.

9. La firma escogerá el mejor camino de acuerdo al costo del mis-

mo es decir consultando el precio de los factores.

10 y Naturalmente entre isoclinas las razones de uso y las tasas mar-

11 ginadas de sustitución son diferentes.

12. Con una no homogénea función de producción, los retornos a esca-

la pueden ser constantes crecientes o decrecientes, pero su re-

presentación gráfica no es como en el caso de la función de pro-

ducción'homogénea, rectilínea. La isoclina será curva a lo lar-

go de la función de producción y la razón de uso variable.

13. En la realidad, sea ésta homogénea o no homogénea.

14. Como se verá luego, estas mismas causas se convierten luego en

obstáculos y explican los retornos decrecientes a escala.

15. Por ejemplo, la industria manufacturera, es típica como ejemplo,

en numerosos países.

16. Precisamente el considerar fija la cantidad de algún factor (par-

ticularmente bienes de capital) explica porqué el rendimiento

de los factores considerados variables no es en general constan-

te, sino creciente en una primera fase y después decreciente.

1?. El progreso técnico puede deberse también a la "innovación de

productos". Aquí consideraremos como innovación en los proce-

sos de producción.

18. Esta afirmación es valida en sentido estricto con referencia a

una empresa cuyo comportamiento es estrictamente económico, ade-

más el comportamiento de la empresa esta condicionada al marco

dentro del cuál se desenvuelve la misma.

19. la pendiente esta dada por °Ce ,. pero OCo es igual a C (se com-OTo

pro. únicamente C) y OTo es igual a "e" 1 dividiendo ambas razones, To

20. En Eq puede decirse que la factibilidad técnica (dada por la iso-

. cuanta) coincide con la factibilidad económica (dada por la 11-

*^~".ItrategiM

Logramos S

83.-

nea isocosto).

21. Rechazando la solución de esquina por su ausencia de factibili-

dad técnica, se alcanzaría un equilibrio en la producción, sin

especialización en el uso de insumos, si se hacen variables los

precios de loslhotores productivos a fin de lograr concavidad

en la línea de priori para una tasa nayor de variación que la

TkST C de la isocuanta.

1

21a. Esta expresión quiere significar que el productor gasta, todos

sus recursos financieros en la compra de factores.

22. Paralelos porque el precio de los factores se presume invariable.

23. indica que el nivel dado de producción se realiza con los facto-

res y la función de producción dados.

24. En los casos A y B hemos presumido la existencia de isocuantas

convexas y cortinuas. Si la isocuanta resulta ser quebrada,

(Kinfred) la función isocosto puede ser:

tangente a un ángulo de lasisocuantas

coincidente con uno de los segmentos de la misma

En el primer caso, la empresa opera con el proceso dado por el

punto de tangencia y en el segundo con cualquiera de los proce-

sos correspondientes al segmento.

Una Particularidad interesante de la isocuanta quebrada y que

la hace más operativa es que advierte (en sus ángulos) un cier-

to juego o variación de los precios de factores y por tanto de

la línea isocosto, sin, que ello ocasione cambios en la técnica

utilizada de producción. En cambio con la isocuanta continua,

la más insignificante variación en los precios de factores (lo

cuál es frecuente a veces en el mundo real) obliga a la empresa

cambiar su técnica productiva, lo que a su vez es costoso e im-

prabaLle de prácticar en la realidad.

25. Decisión de la firma de incrementos sus desembolsos, incremento

de la demanda del bién producido por la empresa, decreciente de

la oferta a bienes sustitutos a los que produce la empresa etc.

26. Y naturalmente sí los precios de los factores son constantes,

la firma no maximizará sus unidades en el corto periodo, debido

a la licitación del factor capital.

27. En este caso particular Pm = 20 = Pe

28. El costo representemos con la letra G en vez de C a fin de no

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confundir con C que representa capital.

29. T y C pueden representar a dos grupos de factores.

30. La continuidad de la línea de Contrato depende del grado de di-

visibilidad de los factores.

31. Suponiendo que la dotación de factores y sus precios estan da-

dos para la empresa, la maximizad& de la utilidad, se reali-

za mediante la maximización del ingreso.

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