2._vigas_hiperestaticas
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07-04-2011
Vigas Hiperestticas
a
b
vigas hiperestticasESTRUCTURAS 2profesora: Vernica Veas
2ayudante: Preeti Bellani
Concepto de vigas hiperestticas por empotramiento
Ejemplo
Viga bi-empotrada con carga uniformemente repartida
Y mx
empotramiento =0
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07-04-2011
A
B
A = 0qL3 M A L M BL 0= + + 24EI 3EI 6EI2 M A L + M BL qL3 = 6EI 24EI
M A = MB = M E
3M EL qL3 = 6EI 24EIME = qL2 12
Ra = Rb =
qL 2
El momento mximo en una simtrica se encuentra en X=L/2M (L / 2) = qL L q L ME 2 2 222
viga
M(L / 2) =
qL2 qL2 qL2 4 8 12
Mx =
qLx qx 2 ME 2 2
M MAX =
qL2 24
Y L/2 = 5qL4 384EI
Y L/2 = ML 2 16EI
Y L/2 = ML 2 16EI
2
07-04-2011
Y L/2 = ML 2 16EI
Y
L/2
2 2 = qL L 12 16EI
Y
L/2
=
qL4 192EI
YMAX =
5qL4 qL4 qL4 384EI 192EI 192EI
YMAX =
qL4 384EI
Ejemplo
Viga bi-empotrada con carga puntual al centro
Y mx
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07-04-2011
MA = PL 8
MB = PL 8
Ra = Rb =
P qL 2
A = 02 -PL + M A L + M B L 16EI 3EI 6EI 2
M A = MB = M E
0=
3 M EL = 6EI
PL 16EI
2
MA = PL 8
El momento mximo en una simtrica se encuentra en X=L/2M (L / 2) = - PL + P 8 2L 2
viga
RA = P2 ME = PL 8 MMAX = PL 8
2 M A L + M BL PL = 16EI 6EI
Mx = - PL + PX 8 2
Y L/2 = ML 2 16EI
Y
L/2
= PL 8
L2 16EI
Y
L/2
=
PL 3 128EI
Y L/2 = PL3 48EI
Y L/2 = ML 2 16EI
Y L/2 = ML 2 16EI
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07-04-2011
Ejemplo
Viga empotrada-apoyada con carga uniformemente repartida
3 3 Y MAX = PL _ PL _ PL3 48EI 128EI 128EI
YMAX =
PL3 192EI
A = 0- qL3 + MeL 0= 24 EI 3EI
MeL qL3 = 3 EI 24 EI
Me =
qL2 8
5
07-04-2011
Ra=
qL Me qL qL 5qL + = + = 2 L 2 8 8qL Me = 2 L qL qL = 2 8 3qL 8
Mx =
5qLx qx2 Me 8 22 2 2 25 qL 25 qL qL 64 128 8
EI
d2 y dx2
=
5 qLx qL2 qx2 8 8 2
Rb =
MMAX =
EI
dy 5 qLx2 qL2 x qx 3 = + C1 dx 16 8 62 5 qLx3 qL x 2 qx4 + C1x + C2 48 16 24
EI. y =V x= 0
MMAX =5L 8
9 qL
2
128
Condiciones de apoyo Si X=0 Si X=0 X=L C1=0 C2=0
5qL q. x = 0 8
X=
Vigas Hiperestticas
Flecha mx en dy/dx=0
a2 3
5 qLx qL x qx = 0 16 8 6X = 0,58L2 5 qL (0 , 58L )3 qL (0 , 58L )2 q (0 , 58L )4 48 EI 16EI 24 EI
2
Y=
bYMAX qL4 qL4 = = 0 , 005 185 EI EI
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07-04-2011
Concepto de vigas hiperestticas por empotramiento
a
Concepto de vigas hiperestticas por continuidad
b
empotramiento =0
Bizquierdo = - Bderechopor ngulos opuestos por el vrtice
Ejemplo
Viga de dos tramos con carga uniformemente repartida
Bizquierdo = - Bderecho
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07-04-2011
A
RB =B C
M qL 5qL + B = 2 L 8 qL M B 3qL = 2 L 8
RC =
Se igualan los valores de ngulos a ambos lados del apoyo B para determinar el momento de continuidad entre ambos tramos.
B
C
B Izquierdo =3
_ B derecho3
2 2 qL 5qLx qx Mx = 8 2 8
V x= 0
5qL 8 qL 2 8 5L/8
3qL 8
qL + M BL = _ qL + M BL 24EI 3EI 24EI 3EI2 M BL qL3 = 3EI 12EI ... * EI L
5qL q. x = 0 8MMAX =
X=
5L 8
2 2 2 25 qL 25 qL qL 64 128 8
9qL 2 128
MB =
qL2 8EI
MMAX =
9 qL2 128
Teorema de los tres momentos o Clapeyron
D.C.L. Viga
Cortante
3qL 8
5qL 8 5qL 8 qL 2 8 3qL 8
5L/8 Momento
5L/8
9qL 2 128
9qL 2 128
8
07-04-2011
Ma= kgm
Mb= kgm
A
B
A= qL3 24EI
B= qL3 24EI
A=MaL 3EI
B=MaL 6EI
A=MbL 6EI
B=MbL 3EI
Mb= kgm
Mc= kgm
B
C
B izquierdo= -B derecho
B= qL3 24EI
C= qL3 24EI
B=MbL 3EI
C=MbL 6EI
B=McL 6EI
C=McL 3EI
B izquierdo= -B derecho_ qL13 + MaL1 + MbL1 = _ _ qL23 + MbL2 + McL2 24EI 6EI 3EI 24EI 3EI 6EI MaL1 + MbL1 + MbL2 + McL2 = qL13 + qL23 6EI 3EI 3EI 6EI 24EI 24EI Reemplazando L/EI por (mdulo de flexibilidad) Ma1 + Mb1 + Mb2 + Mc2 = qL121 + qL222 6 3 3 6 24 24 Al amplificar la expresin 6 veces se obtiene Ma1 + 2Mb1 + 2Mb2 + Mc2 = 6 qL121+ qL222 24 24 Ma1 + 2Mb (1+2) + Mc2 = 6 qL121+ qL222 24 24 /*6 Reemplazando qL13 por Tc1 24 y qL23 por Tc2 24 Si EI = constante y = L/EI =L
Reemplazando = L en la ecuacin se tiene: MaL1 + 2Mb (L1 + L2)+ McL2 = 6 qL13+ qL23 24 24
MaL1 + 2Mb (L1+L2) + McL2 = 6(Tc1 + Tc2)
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07-04-2011
Ejemplo
Viga de dos tramos con carga uniformemente repartida
Ejemplo
Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro con carga uniformemente repartida
A
B
C
MaL1 + 2Mb (L1+L2)+ McL2 = 6 (Tc1 + Tc2) 0L1 + 2Mb (L1+L2) + 0L2 = 6 qL13 + qL23 24 24 2Mb (L1+L2)= qL13 + qL23 4 4 2Mb 2L = qL3 2 Si L1=L2
Mb
Mt
MaL1 + 2Mb (L1+L2)+ McL2 = 6 (Tc1 + Tc2) 00 + 2Mb (0+L) + 0L = 6 0 + qL3 24 Mb = qL 82
Mb = qL 8
2
2Mb L = qL3 4
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