2.6 pendientes y rectas tangentes
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INTRODUCCIรN
Pendiente en forma polar: Si f es una funciรณn diferenciable (o derivable) de ๐, entonces lapendiente de la recta tangente a la grรกfica de ๐ = ๐ ๐ en el punto ๐, ๐ es:
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐๐ฆ๐๐๐๐ฅ๐๐
=๐ ๐ cos ๐ + ๐ยด ๐ ๐ ๐๐ ๐
โ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ + ๐โฒ ๐ cos ๐
Siempre que๐๐ฅ
๐๐โ 0 en ๐, ๐
Si:
๐๐ฆ
๐๐= 0 ๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ข๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐ก๐ โ๐๐๐๐ง๐๐๐ก๐๐
๐๐ฅ
๐๐= 0 ๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ข๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐
Rectas tangentes en el polo: Si ๐ ๐ผ = 0 y ๐โฒ ๐ผ โ 0, entonces la recta ๐ = ๐ผ es tangente a lagrรกfica de ๐ = ๐ ๐ en el polo.
PRIMER EJEMPLO APLICADO AL HALLAZGO DE RECTAS TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES
EJEMPLO: Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales de la siguiente ecuaciรณn e intervalo:
๐ = ๐ ๐๐ ๐ , 0 โค ๐ โค ๐
SOLUCIรN:
Utilizando la ecuaciรณn siguiente y sustituyendo:
๐ฅ = ๐ cos ๐
๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
Derivรกndolo con respecto a โ๐โ๐๐ฅ
๐๐=
๐
๐๐๐ ๐๐ ๐ cos ๐
๐๐ฅ
๐๐= ๐ ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ + cos ๐ cos ๐
๐๐ฅ
๐๐= โ๐ ๐๐2 ๐ + cos2 ๐
๐๐ฅ
๐๐= cos2 ๐ โ ๐ ๐๐2 ๐
Ahora, haciendo que ๐๐ฅ
๐๐= 0, se despeja el parรกmetro โ๐โ:
๐๐ฅ
๐๐= cos2 ๐ โ ๐ ๐๐2๐
0 = cos2 ๐ โ ๐ ๐๐2๐
0 = cos2 ๐ โ 1 โ cos2 ๐
0 = 2 cos2 ๐ โ 1
0 = 2 cos2 ๐ โ 1
2 cos2 ๐ โ 1 = 0
2 cos2 ๐ = 1
cos ๐ =1
2
๐ = arccos1
2
๐ =1
4๐ ๐ฆ ๐ =
3
4๐
Cuando ๐ =1
4๐ = 45ยฐ:
๐ = ๐ ๐๐ ๐
๐ = ๐ ๐๐๐
4=
1
2
๐ =1
2
Cuando ๐ =3
4๐ = 135ยฐ:
๐ = ๐ ๐๐ ๐
๐ = ๐ ๐๐3
4๐ =
1
2
๐ =1
2
โด Los puntos verticales son: 1
2,
๐
4๐ฆ
1
2,
3
4๐
Ahora:
๐ฆ = ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐ฆ = ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐ฆ = ๐ ๐๐2๐
Derivรกndolo con respecto a โ๐โ๐๐ฆ
๐๐=
๐
๐๐๐ ๐๐2 ๐
๐๐ฆ
๐๐= 2 ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
Ahora, haciendo que ๐๐ฆ
๐๐= 0, se despeja el parรกmetro โ๐โ:
๐๐ฆ
๐๐= 2 ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
0 = 2 ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
0 = 2 ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
0 = ๐ ๐๐ 2๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ 0 = 2๐
2๐ = ๐๐๐๐ ๐๐ 0
Y se obtienen dos soluciones:2๐ = 0 ๐ฆ 2๐ = ๐
Al despejar โ๐โ en ambas:
๐ = 0 ๐ฆ ๐ =๐
2
Cuando ๐ = 0:
๐ = ๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐๐ 0 = 0
๐ = 0
Cuando ๐ =1
2๐:
๐ = ๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐๐1
2๐ = 1
๐ = 1
โด Puntos horizontales: 0, 0 ๐ฆ 1,๐
2
SEGUNDO EJEMPLO APLICADO AL HALLAZGO DE RECTAS TANGENTES HORIZONTALES Y VERTICALES
EJEMPLO: Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales de la siguiente ecuaciรณn:
๐ = 2 1 โ cos ๐
SOLUCIรN:
๐ฅ = ๐ cos ๐
๐ฅ = 2 1 โ ๐๐๐ ๐ cos ๐
๐ฅ = 2 cos ๐ โ cos2 ๐
Derivรกndolo con respecto a โ๐โ:๐๐ฅ
๐๐=
๐
๐๐2 cos ๐ โ cos2 ๐
๐๐ฅ
๐๐= 2 โ๐ ๐๐ ๐ โ 2 cos ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐๐ฅ
๐๐= 2 โ๐ ๐๐ ๐ + 2 sen ๐ cos ๐
๐๐ฅ
๐๐= โ2 ๐ ๐๐ ๐ + 4 sen ๐ cos ๐
Ahora, haciendo que ๐๐ฅ
๐๐= 0, se despeja el parรกmetro โ๐โ:
๐๐ฅ
๐๐= โ2 ๐ ๐๐ ๐ + 4 sen ๐ cos ๐
0 = โ2 ๐ ๐๐ ๐ + 4 sen ๐ cos ๐
2 ๐ ๐๐ ๐ = 4 ๐ ๐๐๐ cos ๐
2 ๐ ๐๐ ๐
4 ๐ ๐๐ ๐= cos ๐
2
4= cos ๐
cos ๐ =2
4=
1
2
๐ = arccos1
2
Como existen dos valores de โ๐โ:
๐ =๐
3๐ฆ ๐ =
5๐
3
Cuando ๐ =๐
3๐ = 2 1 โ cos ๐
๐ = 2 1 โ cos๐
3
๐ = 2 1 โ1
2= 1
๐ = 1
Cuando ๐ =5๐
3๐ = 2 1 โ cos ๐
๐ = 2 1 โ cos5
3๐
๐ = 2 1 โ1
2= 1
๐ = 1
โด Puntos verticales: 1,๐
3๐ฆ 1,
5
3๐
๐ฆ = ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐ฆ = 2 1 โ cos ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐ฆ = 2 ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
๐ฆ = 2 ๐ ๐๐ ๐ โ 2 ๐ ๐๐ ๐ cos ๐
Derivรกndolo con respecto a โ๐โ: ๐๐ฆ
๐๐=
๐
๐๐2 ๐ ๐๐ ๐ โ 2 ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐
๐๐ฆ
๐๐= 2 cos ๐ โ 2 ๐ ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ โ 2 cos ๐ cos ๐
๐๐ฆ
๐๐= 2 cos ๐ + 2 ๐ ๐๐2๐ โ 2 cos2 ๐
Ahora, haciendo que ๐๐ฆ
๐๐= 0, se despeja el parรกmetro โ๐โ:
๐๐ฆ
๐๐= 2 cos ๐ + 2 ๐ ๐๐2๐ โ 2 cos2 ๐
0 = 2 cos ๐ + 2 ๐ ๐๐2๐ โ 2 cos2 ๐
2 cos ๐ + 2 ๐ ๐๐2๐ โ 2 cos2 ๐ = 0
2 cos ๐ + ๐ ๐๐2๐ โ cos2 ๐ = 0
cos ๐ + ๐ ๐๐2๐ โ cos2 ๐ =0
2
cos ๐ + ๐ ๐๐2๐ โ cos2 ๐ = 0
Recordando que:
๐ ๐๐2๐ = 1 โ cos2 ๐
Entonces, sustituyendo:
cos ๐ โ cos2 ๐ + ๐ ๐๐2๐ = 0
cos ๐ โ cos2 ๐ + 1 โ cos2 ๐ = 0
โ2 cos2 ๐ + cos ๐ + 1 = 0
Para resolverlo, se usa fรณrmula general pero se obtienen primeramente los coeficientes de la ecuaciรณn:
๐ = โ2 , ๐ = 1 , ๐ = 1
cos ๐ =โ 1 ยฑ 1 2 โ 4 โ2 1
2 โ2=
โ1 ยฑ 1 + 8
โ4=
โ1 ยฑ 9
โ4=
โ1 ยฑ 3
โ4
cos ๐1 =โ1 + 3
โ4=
2
โ4= โ
1
2
๐1 = ๐๐๐ cos โ1
2
๐1 =2๐
3๐ฆ ๐1 =
4๐
3
Cuando ๐ =2๐
3:
๐ = 2 1 โ cos ๐
๐ = 2 1 โ cos2๐
3
๐ = 2 1 +1
2
๐ = 23
2๐ = 3
Cuando ๐ =4๐
3:
๐ = 2 1 โ cos ๐
๐ = 2 1 โ cos4๐
3
๐ = 2 1 +1
2
๐ = 23
2๐ = 3
Luego:
cos ๐2 =โ1 โ 3
โ4=
โ4
โ4= 1
๐2 = ๐๐๐ cos 1
๐2 = 0 ๐ฆ ๐2 = 2๐
Cuando ๐ = 0:๐ = 2 1 โ cos ๐๐ = 2 1 โ cos 0
๐ = 2 1 โ 1๐ = 2 0
๐ = 0
Cuando ๐ = 2๐:๐ = 2 1 โ cos ๐
๐ = 2 1 โ cos 2๐๐ = 2 1 โ 1
๐ = 2 0๐ = 0
โด Puntos horizontales: 0, 0 , 4, ๐ , 3,2
3๐ ๐ฆ 3,
4
3๐