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7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…

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23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda

1

23051 ANÁLISIS NUMÉRICO

DESARROLLOS DE TAYLOR

GUÍA 1

Teoría – Mg (c) Ingeniero Civil Mecánico – Marcelo Gallardo Maluenda

Desarrollos limitados

Definición 1: : → ℝ posee un desarrollo limitado de orden en torno a ∈ , , si

existen constantes , , … , ∈ ℝ tales que

∑ ( )

= .1 ∧ lim→

( ) 0 .2

o equivalentemente si

ℎ entonces

∑ ℎ

= (ℎ) .3 ∧ lim→

(ℎ)ℎ 0 .4

Así, un desarrollo limitado de :

- Es una aproximación polinomial.

- El error de aproximación por el desarrollo limitado de es

∑ ℎ= (ℎ) .5

es pequeño con respecto a ℎ.

- Para obtenerlo, se utiliza un desarrollo de Taylor.

ℎ ℎ ℎ ⋯ ℎ (ℎ) ∧ lim→(ℎ)

ℎ 0




2

Teorema 1: Sea : → ℝ veces derivable en ∈ , y

∑ !

= ´ ⋯

! .6

ℎ ∑ ! ℎ=

´ℎ ´´2! ℎ 3! ℎ ⋯ ! ℎ .7

su desarrollo de Taylor de orden en torno a . Entonces

( ) .8 ∧ lim→( )

0

ℎ (ℎ) .9 ∧ lim→(ℎ)

ℎ 0

Nota: El error de aproximación por el desarrollo limitado de Taylor de es

( ) .10

ℎ ℎ (ℎ) .11

Teorema 2 Teorema de Taylor): Sea una función derivable hasta el orden 1 en una

vecindad , . Sea ℎ el desarrollo de Taylor de orden de en

torno a . Entonces, la diferencia entre y ℎ, es decir el resto del desarrollo es

Resto de Lagrange

(∀ ∈ )(∃ ∈ , ) + 1! + .12

ℎ ℎ ℎ + 1! ℎ+ .13

Resto de Cauchy

(∀ ∈ )(∃ ∈ , )

+

!

.14

ℎ ℎ ℎ +! ℎ ℎ .15

Nota: Lo anterior, supone que < , por lo tanto < < . Si < , entonces ∈ , ,

es decir < < .




3

Definición 2: Cuando el desarrollo de Taylor es en torno a 0, se le denomina desarrollo de

McLaurin.

Definición 3: Una función es de clase si es veces derivable en ∈ , y la función : → ℝ es continua. Si esto es cierto para todo , entonces se dice que es de clase ∞.

Ejercicios

E.1.- Si

a) Determine el desarrollo de Taylor para en torno a , además de su desarrollo de

McLaurin. Expréselo como sumatoria y desplegada con algunos términos relevantes.

b) Determine el desarrollo de McLaurin para de orden ∈ {0,1,2,3}.

c) Estime el valor de , para los desarrollos de McLaurin considerados en b). Calcule los

errores verdaderos y aproximados cometidos a medida que se eleva el orden de

ℎ. ¿Cuál

es la tendencia de ℎ⁄ y ℎ+⁄ ?

d) Para 2, estime ,, , y ,. Determine el error verdadero que se comete en cada

aproximación. .

Solución

a) Si

ℎ

ℎ ∑ ! ℎ=

1

ℎ ∑ ! ℎ

= ℎ ´ℎ ℎ ℎ 1 ℎ

ℎ ∑ ! ℎ

= ℎ ´´

2! ℎ ℎ 2 ℎ 1 ℎ ℎ

2

ℎ ∑ ! ℎ=

ℎ 3! ℎ ℎ 6 ℎ 1 ℎ ℎ2 ℎ6

Los términos del desarrollo de Taylor siguen un patrón claro. En consecuencia




4

Desarrollo de Taylor

≈ ℎ ∑ ℎ!

= 1 ℎ ℎ

2 ℎ6 ⋯ ℎ

! ℎ

Por lo tanto

ℎ (ℎ) 1 ℎ ℎ2 ℎ

6 ⋯ ℎ! (ℎ) ℎ

Si

0 ∧ ℎ 0

1

1

1 2

1 2

6

Los términos del desarrollo de McLaurin siguen un patrón claro. En consecuencia

Desarrollo de McLaurin

≈ ∑ !=

1 2 6 ⋯ ! 0

Por lo tanto

() 1 2

6 ⋯ ! () 0

b) Los desarrollos de McLaurin de en torno a 0 son

0 ≈ 1

1 ≈ 1

2 ≈ 1 2




5

3 ≈ 1 2

6

c)

0 ∧ 0 , 4 ⟹ ℎ 0 0 , 4.

Sea

− −

1 0 0

1 0 0 100

−

1 0 0 −

1 0 0

100

0,4 , 1,491825

0 , ≈ 0,4 1

1,49182510,491825

100 [0,4918251,491825] 10032,97 %

ℎ

0,4918250,4 0,4918251 0,491825

ℎ+ + 0,4918250,4 0,491825

0,4 1,229562

1 , ≈ 0,4 1 0 , 4 1 , 4

1,4918251,40,091825

100 [0,0918251,491825] 1006,16 %

ℎ 0,0918250,4 0,091825

0,4 0,229562

ℎ+ + 0,0918250,4 0,091825

0,16 0,573904




6

1 , 4 1 0 , 4

100 [0,41,4] 10028,57 %

2 , ≈ 0,4 1 0 , 4 0,42 1 , 4 8

1,4918251,480,011825

100 [0,0118251,491825] 1000,79 %

ℎ 0,0118250,4 0,011825

0,16 0,073904

ℎ+ + 0,0118250,4 0,0118250,064 0,184761

1,481,40,08

100 [0,081,48] 1005,41 %

3 , ≈ 0,4 1 0 , 4 0,42 0,4

6 1,490667

1,4906671,4918250,001158

100 [0,0011581,491825] 1000,08 %

ℎ 0,0011580,4 0,001158

0,064 0,018094

ℎ+ + 0,0011580,4 0,001158

0,0256 0,045236

1,4906671,480,010667

100 [0,08

1,48] 1000,72 % En las siguientes tablas, se exponen los resultados con más detalle.

Nota: NT se refiere al número de términos del desarrollo de por Taylor o McLaurin.




7

Tabla 1.1: Resultados desarrollo de McLaurin de

evaluado en

, .

k k+1 x0 x h h^k h^(k+1) f(x)=exp(x) Tfk(h) Et

NT x-x0

0 1 0 0,4 0,4 1 0,4 1,4918247 1 0,4918247

1 2 0 0,4 0,4 0,4 0,16 1,4918247 1,4 0,09182472 3 0 0,4 0,4 0,16 0,064 1,4918247 1,48 0,0118247

3 4 0 0,4 0,4 0,064 0,0256 1,4918247 1,49066667 0,00115803

4 5 0 0,4 0,4 0,0256 0,01024 1,4918247 1,49173333 0,00009136

5 6 0 0,4 0,4 0,01024 0,004096 1,4918247 1,49181867 0,00000603


evaluado en

, .

Et/h^k Et/h^(k+1) Et/h^k Et/h^(k+1) Etp Ea Eap

[%] [%] [%] [%]

0,4918247 1,22956174 49,1824698 122,956174 32,9679954 - -

0,22956174 0,57390436 22,9561744 57,390436 6,15519356 0,4 28,5714286

0,07390436 0,1847609 7,39043603 18,4760901 0,79263319 0,08 5,40540541

0,01809423 0,04523558 1,8094234 4,52355849 0,07762514 0,01066667 0,71556351

0,00356892 0,0089223 0,35689183 0,89222957 0,00612433 0,00106667 0,07150518

0,00058896 0,00147241 0,05889624 0,14724059 0,00040427 8,5333E-05 0,00572009


evaluado en

, .


NT x-x0

0 1 0 0,2 0,2 1 0,2 1,22140276 1 0,22140276

1 2 0 0,2 0,2 0,2 0,04 1,22140276 1,2 0,02140276

2 3 0 0,2 0,2 0,04 0,008 1,22140276 1,22 0,00140276

3 4 0 0,2 0,2 0,008 0,0016 1,22140276 1,22133333 6,9425E-05

4 5 0 0,2 0,2 0,0016 0,00032 1,22140276 1,2214 0,00000276

5 6 0 0,2 0,2 0,00032 0,000064 1,22140276 1,22140267 0,00000009


evaluado en

, .


[%] [%] [%] [%]0,22140276 1,10701379 22,1402758 110,701379 18,1269247 - -

0,10701379 0,53506895 10,7013791 53,5068954 1,75230963 0,2 16,6666667

0,03506895 0,17534477 3,5068954 17,534477 0,11484812 0,02 1,63934426

0,0086781 0,04339052 0,86781034 4,33905168 0,00568402 0,00133333 0,10917031

0,00172385 0,00861925 0,17238501 0,86192505 0,00022582 6,6667E-05 0,00545822

0,00028592 0,00142959 0,02859172 0,1429586 7,4909E-06 2,6667E-06 0,00021833




8


evaluado en

, .


NT x-x0

0 1 0 0,1 0,1 1 0,1 1,10517092 1 0,10517092

1 2 0 0,1 0,1 0,1 0,01 1,10517092 1,1 0,005170922 3 0 0,1 0,1 0,01 0,001 1,10517092 1,105 0,00017092

3 4 0 0,1 0,1 0,001 0,0001 1,10517092 1,10516667 4,2514E-06

4 5 0 0,1 0,1 0,0001 0,00001 1,10517092 1,10517083 0,00000008

5 6 0 0,1 0,1 0,00001 0,000001 1,10517092 1,10517092 0,00000000


evaluado en

, .


[%] [%] [%] [%]

0,10517092 1,05170918 10,5170918 105,170918 9,5162582 - -

0,05170918 0,51709181 5,17091808 51,7091808 0,46788402 0,1 9,09090909

0,01709181 0,17091808 1,70918076 17,0918076 0,01546531 0,005 0,45248869

0,00425141 0,04251409 0,4251409 4,25140898 0,00038468 0,00016667 0,01508068

0,00084742 0,00847423 0,08474231 0,84742314 7,6678E-06 4,1667E-06 0,00037702

0,0001409 0,00140898 0,01408981 0,14089812 1,2749E-07 8,3333E-08 7,5403E-06


evaluado en

, .


NT x-x0

0 1 0 0,05 0,05 1 0,05 1,0512711 1 0,0512711

1 2 0 0,05 0,05 0,05 0,0025 1,0512711 1,05 0,0012711

2 3 0 0,05 0,05 0,0025 0,000125 1,0512711 1,05125 2,1096E-05

3 4 0 0,05 0,05 0,000125 0,00000625 1,0512711 1,05127083 2,6304E-07

4 5 0 0,05 0,05 0,00000625 3,125E-07 1,0512711 1,05127109 0,00000000

5 6 0 0,05 0,05 3,125E-07 1,5625E-08 1,0512711 1,0512711 0,00000000


evaluado en

, .


[%] [%] [%] [%]0,0512711 1,02542193 5,12710964 102,542193 4,87705755 - -

0,02542193 0,50843855 2,54219275 50,843855 0,12091043 0,05 4,76190476

0,00843855 0,16877101 0,84385504 16,8771008 0,00200675 0,00125 0,11890606

0,00210434 0,04208683 0,21043415 4,20868305 2,5021E-05 2,0833E-05 0,00198173

0,00042016 0,00840328 0,04201639 0,8403277 2,498E-07 2,6042E-07 2,4772E-05

6,9944E-05 0,00139887 0,00699437 0,13988739 2,0791E-09 2,6042E-09 2,4772E-07




9

Del análisis de los datos, podemos inferir que la razón entre y ℎ tiende a cero.

Además, lo anterior también se tiene entre y ℎ+, pero la tendencia es más rápida en el

primer caso. En consecuencia

ℎ ⟶ 0 ⟹

ℎ ⟶ 0 ∧

ℎ+ ⟶ 0 ∧

ℎ ≤

ℎ+ ∧ ℎ⁄

ℎ+⁄ ℎ

d) Para 2, el desarrollo de McLaurin de es

2 ≈ 1 2

Para comparar los valores que son solicitados, con respecto al cálculo anterior,

recordamos los valores obtenidos en la aproximación de,, con 2. Luego, se exponen los

demás resultados.

0 , 4 , ≈ 0,4 1 0 , 4 0,42 1 , 4 8

1,4918251,480,011825

100 [0,0118251,491825] 1000,79 %

ℎ 0,0118250,4 0,011825

0,16 0,073904

ℎ+

+ 0,0118250,4 0,0118250,064 0,184761

0 , 2 , ≈ 0,2 1 0 , 2 0,22 1 , 2 2

1,2214031,220,001403

100 [0,0014031,221403] 1000,12 %

ℎ 0,0014030,2 0,0014030,04 0,035069

ℎ+ + 0,0014030,4 0,001403

0,008 0,175345




10

0 , 1 , ≈ 0,1 1 0 , 1 0,12 1 , 1 0 5

1,1051711,1050,000171

100 [0,0001711,221403] 1000,02 % ℎ 0,000171

0,1 0,0001710,01 0,017092

ℎ+ + 0,0001710,4 0,000171

0,001 0,170918

0 , 0 5 , ≈ 0,05 1 0 , 0 5 0,052 1,051250

1,0512711,0512500,000021

100 [0,0000211,221403] 1000,02 %

ℎ 0,0001710,05 0,000021

0,0025 0,008439

ℎ+ + 0,0001710,05 0,000021

0,000125 0,168771

E.2.- Considerando un desarrollo de Taylor o McLaurin que permita calcular aproximadamente

1,1

a) Calcule 1,1 tal que el error de aproximación sea menor que 10−.

b) Calcule 1,1 con seis decimales exactos.

Solución

a) Dado que no está definido para 0, y considerando además que resulta

conveniente un desarrollo en torno a éste valor, utilizamos para estimar

1,1

la función

1

Así 0 ⟹ 0 1 0 1 0

0 , 1 ⟹ 0,1 1 0, 1 1,1

Si

0 ∧ ℎ 0,1 ⟹ ℎ 0 0,1 0,1 ⟹ 0,1 1 0, 1 1,1




11

Para determinar el orden del desarrollo de McLaurin de que necesitamos,

utilizaremos el error que se comete por la aproximación a determinar. Tenemos dos opciones

para ello

Error de Lagrange Error de Cauchy

ℎ + 1! ℎ+ ℎ +! ℎ ℎ

El error a escoger, lo determinaremos conforme obtengamos una expresión para +, lo cual sea conveniente o simplifique los cálculos a realizar.

1

´ 1 1

1

´´ [ 11 ] 11

[ 1

1 ] [ 1

1 ] 21 1 2

1

[ 2

1 ] 2 [ 1

1 ] 2 31 1 3 ∙ 2

1

[ 3 ∙ 2

1 ] 3 ∙ 2 [ 1

1 ] 3 ∙ 2 41 1 4 ∙ 3 ∙ 2

1 ⟹

1− 1!1 ≥ 1 ⟹ + 1+− 1 1!

1 + 1!1 +

Dada la expresión deducida para +, es conveniente utilizar el resto de Lagrange

ℎ + 1! ℎ+ 1!

1 + ℎ+ 1! 1! ℎ+

1 + 1! 1ℎ+1 + 1

ℎ 0 ⟹

ℎ 1+1 + 1

|ℎ| 1+1 + 1 1+

|1 +|| 1| ∧ { > 0 ∧ ∈ , 0, } ⟹

|ℎ| 1+|1 +|| 1| 1 ∙ +

1 + 1 +1 + 1 < 10− 0,0001




12

Para lograr que el error sea menor a 10−, primero lo maximizamos y luego lo acotamospor el valor solicitado. Por ello, utilizamos 0.

0 ∧ 0 , 1 ⟹

|ℎ| 0,1+

1 0+ 1 0,1+

1+ 1 0,1+

1 ⟹ |ℎ| 0,1+

1

Iniciamos el proceso iterativo para determinar el orden del desarrollo de McLaurin de

0 |ℎ| 0,1+0 1 0,1

1 0,1>0,0001

1 |ℎ| 0,1+1 1 0,1

2 0,012 0,005>0,0001

2 |ℎ| 0,1+

2 1 0,1

3 0,001

3 0,0003̅ >0,0001

3 |ℎ| 0,1+3 1 0,1

4 0,00014 0,000025<0,0001 ⟹

1 ≈ ∑ ! ℎ

= 0

! 1−

1!1 1! 1−

1!1 1! 1−

1

! 0

! 1−1 0 1−

1 1−

1 ≈ 0 ∑ 1−

=

1 0 1−1 1−

2 1−3

1 11 1

2 13 0 1

1 12 1

3

2

3




13

1 ≈ 2

3 ∧ 0 , 1

1 0, 1 1,1 ≈ 0,1 0 , 1 0,12 0,1

3 0,095250438266967

1,1 0,095310179804325

1,1 0,1 0, 00006 6×10− < 10−

[ 1,1] 1000,062681≈0,06 %

1,1 ≈ 0,095250438266967 10−

b) Para obtener seis decimales exactos, el error |ℎ| maximizado, lo acotamos por 10−.

|ℎ| ℎ+ 1 < 10−

|0,1| 0,1+ 1 10−+

1 10−+ 1 < 10− 0,000001 ⟹ 10−+

10− < 1

⟹ 10−+ < 1

0 10−+ 10− 10 < 0 1 1 ×

1 10−+ 10− 10 < 1 1 2 ×

2 10−+ 10− 10 < 2 1 3 ×

3 10−+ 10− 10 < 3 1 4 ×

4 10−+ 10− 10 < 4 1 5 ×

5 10−+ 10− 10 1 < 5 1 6 ⟹

1,1 0, 095310 179804325

1 0, 1 1,1 ≈ 0,1 0 , 1 0,12 0,13 0,12 0,13 0,0953103̅

1,1 ≈0,0953103̅

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