2.2 figuras y cuerpos
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MATEMÁTICAS III
Gonzalo Díaz Benito
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EJE FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
2.2 figuras y cuerpos
Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.
Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
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MOVIMIENTOS DEL PLANO (DEFINICIÓN).
Una traslación geométrica es una relación que hace corresponder a cada punto P y P´ del plano otro punto P´ del plano.
Se dice que P y P´ son homólogos por la trasformación en ellos mismos se dice que son invariantes o puntos dobles.
Un movimiento o isometría es una trasformación en la que todas las figuras mantienen su forma y su tamaño. La distancia entre dos puntos cualesquiera de la figura se mantiene constante.
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Los movimientos pueden ser de dos tipos:
DIRECTOS: cuando el movimiento conserva el sentido, es decir si el punto A se trasforma en A´, el B en B´ y el C en C´ y al hacer el recorrido de estos puntos en el orden ABC se va en el sentido de las agujas del reloj. O sea, conserva la orientación de las figuras.
Son movimientos directos la traslación, el giro o rotación y la simetría central.
INVERSOS: cuando el movimiento cambia el sentido, es decir cuando se va en sentido contrario a las agujas del reloj. O sea invierten la orientación.
es un movimiento inverso la simetría axial o reflexión.
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Traslación Una traslación de vector V es un movimiento directo en el plano que asocia a cada punto A un punto A´ de la forma que el vector es un vector que igual modulo dirección y sentido que V .
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EJERCICIOS :(TRASLACIÓN)
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Realiza una traslación de la siguiente figura:
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El triángulo A´B´C´ es producto de la traslación del triángulo ABC.
a. Traza los segmentos AA´ , BB´´Y CC´.b. Verifica, que sean paralelos.c. Corrobora que sus medidas sean iguales.d. ¿Cuánto miden?
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Dibuja el pentágono de vértices A(1,4), B(4,5),
C(5,2), D(4,0) Y E(1,1). Aplica una traslación de vector t (-2,-5).Aplica al pentágono inicial (de vértices ABCDE) una simetría cuyo eje sea eje Y
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Rotación: Un giro o rotación de centro O y ángulo α es un movimiento que cada punto A le hace corresponder A´ de la forma que OA=OA´ y el ángulo AOA´= α se presenta por g(O, α).
El ángulo del giro es positivo si es en un sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si es en el mismo sentido. El ángulo de giro también se llama argumento.
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EN CONTEXTO :La idea de rotación se presenta en diversas situaciones cotidianas :
Por ejemplo, los siguientes objetos rotan:
El minutero de un reloj, las canastillas de la rueda de la fortuna y la rueda de una bicicleta.
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EJEMPLO:Efectuar la rotación del triangulo EMS, según el centro O y el ángulo de 90° hacia la derecha.
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EJERCICIOS :(ROTACIÓN).
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Encuentra el centro de rotación que
trasforma un triángulo en otro.
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Rotar el triángulo rectángulo EHF según un ángulo de 90°, el centro, O, de libre ubicación
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Rotar el triángulo XQP, con un ángulo de 180°, según el centro, O.
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Considerando que le punto marcado es el centro de rotación y que cada figura girara según el angulo indicado . Dibuja en la tercera columna como queda la figura .
FIGURA INCIAL ANGULO DE ROTACION FIGURA FINAL
90°
180°
180°
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Simetria axial: Una simetría axial de eje la recta r es un movimiento inverso que lleva cada punto A en otro A´ de forma que r es la mediatriz de AA´ . Esto es :
el eje r es perpendicular a AA´´
La distancia d(A,r) = d(r,A´)
Por tanto, para hallar el simétrico de un punto A respecto de la recta r, se traza una perpendicular a la recta r por el punto A. El punto A´ se encontrara a igual distancia que el punto A de r, pero al otro lado de la recta. Es decir, el eje de simetría actúa como un espejo.
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Simetría central: Una simetría central de centro O es un movimiento directo que hace corresponder a un punto A otro A’ de forma que OA=OA´ y, además A, O y A´ están en la misma recta. A y A´ están uno a cada lado del centro O y a igual distancia de él.
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Ejemplos en la vida real:
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La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o mas ejes de simetría.
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Ejercicio:¿cuantos ejes de simetría tienen?
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La figura de la izquierda tiene centro de simetría,
¿Cuál es el menor ángulo que ha de girar para quedar invariante?
¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura de la izquierda?