2_13_2areas de pirÁmides.ppt
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Tema 13.2AREAS DE PIRMIDES
Apuntes Matemticas 2 ESO
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*PIRMIDE REGULAR RECTArea lateral
Es el rea de todos los tringulos issceles laterales.Al ser la base un polgono, si n es el nmero de lados, l la medida de cada lado, y Apo la apotema de la pirmide, tenemos:Al = n.(l.Apo/2) = n.l.Apo/2 = P.Apo / 2Siendo P el permetro de la base.
rea de la base
Si es un cuadrado: Ab = l2Si es un hexgono: Ab = l2.3 / 4Etc.
rea total
Es la suma del rea lateral y de la nica base.At = (P.Apo / 2) + Sb
Apuntes Matemticas 2 ESO
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Ejemplo_1
La altura de una pirmide recta de base cuadrada es 4 cm y el lado de la base mide 6 cm. Hallar el rea lateral.
El rea lateral es:Al = P. Apo / 2
La apotema es hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base.
Apo = [(l/2)2 + h2)] = (32 + 42) = 5 cm Luego: Al = P. Apo / 2 = 4.6.5 / 2 = 60 cm2
Apuntes Matemticas 2 ESO
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Ejemplo_2
La arista lateral de una pirmide cuadrada es 13 cm y el lado de la base mide 10 cm. Hallar el rea lateral.
El rea lateral es:Al = P. Apo / 2
La arista lateral es hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos son la apotema y la mitad del lado de la base.
al = [(l/2)2 + Apo2)] 132 = 52 + Apo2 Apo2 = 144 Apo = 12 cm Luego: Al = P. Apo / 2 = 4.10.12 / 2 = 240 cm2
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Ejemplo_2
El lado de la base exagonal de una pirmide regular mide 6 cm y la altura mide 10 cm. Hallar el rea lateral y el total.
El rea de la base es:Ab = l2.3 / 4= 62.3 / 4= 15,59 cm2El rea lateral es:Al = P. Apo / 2Calculamos la Apotema, que es hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos son la altura y la apotema de la base.
Apo = [h2 + (l.3 / 2)2] Apo = [102 + (6.3 / 2)2] Apo = [100 + 5,192] Apo = 100+27 = 11,27 cm Luego: Al = P. Apo / 2 = 6.6.11,27 / 2 = 202,85 cm2
At = Ab+Al = 15,59+202,85 = 218,44 cm2
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*TRONCO DE PIRMIDErea lateral
Es el rea de todos los trapecios issceles laterales.Al ser la base un polgono, si n es el nmero de lados, l la medida de cada lado, y Apo la apotema del tronco de pirmide, tenemos:Al = (P+p).Apo / 2Siendo P el permetro de la base mayor.Y p el permetro de la base menor.
rea de la base
Si es un cuadrado: Ab = l2Si es un hexgono: Ab = l2.3 / 4Etc.
rea total
Es la suma del rea lateral y de las bases.At = (P+p).Apo / 2) + Sb + Sb
Apuntes Matemticas 2 ESO
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Ejemplo_1
La altura de un tronco de pirmide de base cuadrada mide 4 cm y el lado de las bases miden 12 y 6 cm. Hallar el rea lateral.
El rea lateral es:Al = (P+p). Apo / 2
La apotema es hipotenusa del tringulo rectngulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la mitad de la diferencia de los lados de las bases.
Apo = [42 + (6-3)2)] = (42 + 32) = 5 cm Luego: Al = (P+p). Apo / 2 = = (4.12+4.6).5 / 2 = 180 cm2b=6Apoh=4B=12
Apuntes Matemticas 2 ESO
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Ejemplo_2
La altura de un tronco de pirmide de base exagonal mide 4 cm y el lado de las bases miden 12 y 6 cm. Hallar el rea lateral.
El rea lateral es:Al = (P+p). Apo / 2La apotema es hipotenusa del tringulo rectngulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de las apotemas de las bases. apo1 = B.3 / 2 = 12.3 / 2 = 6.3 cmapo2 = b.3 / 2 = 6.3 / 2 = 3.3 cmApo = [42 + (6 3 -3 3)2] = = (16+27) = 6,56 cm Luego: Al = (P+p). Apo / 2 = = (6.12+6.6).6,56 / 2 = 354,10 cm2b=6Apoh= 4B=12
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@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemticas 2 ESO*Ejemplo_3
Hallar el volumen del tronco de pirmide del Ejemplo 1.
El volumen ser:V = (AB+Ab).h / 2
AB = 122 = 144Ab = 62 = 36V = (144+36).4/2 = 360 cm3
Ejemplo_4
Hallar el volumen del tronco de pirmide del Ejemplo 2.
El volumen ser:V = (AB+Ab).h / 2
AB = p.apo/2 = 6.12.(12. 3 / 2) / 2 = 216.3 cm2Ab = p.apo/2 = 6.6.(6. 3 / 2) / 2 = 54.3 cm2V = (216.3+ 54.3).4/2 = 540.3 cm3
Casi tres veces ms volumen que el Ejemplo 3b=6h=4B=12B=12h= 4B=12b=6
Apuntes Matemticas 2 ESO
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