Departamento de MatematicaUniversidad Tecnica Federico Santa Mara

Mat 210 (2013), Prueba I(30-04-2013).

I. Sea (E,+, ) un C-espacio vectorial. Considere el conjunto E dotado de lasuma usual en E, como C-espacio vectorial y la multiplicacion por escalar definidapor:

: C E E; (z, v) zv = z v1. Demuestre que (E,+,) es tambien un C-espacio vectorial.

Como (E,+, ) es un C-espacio vectorial, en (E,+,) se cumplen losaxiomas de la +.

Asociatividad:

(zw)v = (zw) v = (z w) v = z (w v) = z(wv)

Distributividad:

(z + w)v = (z + w v = (z + w) v = z v + w v = zv + wv

z(u+ v) = z v = z u+ z v = zu+ zvElemento unidad:

1v = 1 v = 1 v = v

2. Si los vectores v1, v2, ..., vn (E,+, ) son linealmente independientes, sonlinealmente independientes los vectores v1, v2, ..., vn (E,+,) ? Justi-fique claramente su respuesta.

Sea

1v1 + 2v2 + ...+ nvn =0 E

entonces

1 v1 + 2 v2 + ...+ 2 vn =0 E

como v1, v2, ..., vn (E,+, ) son linealmente independientes entonces 1 =... = n = 0 y 1 = ... = n = 0 y v1, v2, ..., vn (E,+,) son linealmenteindependientes.

II. Considere E = Rn+1 como R-espacio vectorial y los subespacios vectoriales:

= {(x1, ..., xn+1)/x1+x2+...+xn+1 = o E}; = {(x1, ..., xn+1)/x1 = x2 = ... = xn+1}

1. Demuestre que E =

Sea x = (x1, ..., xn+1) entonces

x1 + x2 + ...+ xn+1 =o E , x1 = x2 = ... = xn+1

de donde (n+ 1)x1 = 0, x1 = 0 y x = (0, ..., 0).1

2

Sea x = (x1, ..., xn+1) ,

u = (x1 x1 + ...+ xn+1

n+ 1, ..., xn+1

x1 + ...+ xn+1n+ 1

)

v = (x1 + ...+ xn+1

n+ 1, ...,

x1 + ...+ xn+1n+ 1

)

se tiene x = u+ v, entonces E = .

2. Sea e1, ..., en+1 la base canonica de E, determine explcitamente una basev1, v2, ..., vn de . Ayuda. ei ei+1 .

Consideremos

v1 = e1 e2, v2 = e2 e3; , ..., vn1 = en1 en; vn = en en+1supongamos que 1v1 + 2v2 + ...+ nvn =

0

1(e1 e2) + 2(e2 e3) + ...+ n1(en1 en) + n(en en+1) =0

1e1 + (2 1)e2 + ...+ (n n1)en + (n)en+1 =0

como e1, ..., en+1 es la base canonica de E se tiene:

1 = 0; 2 = 1; .... n = n1; (n = 0)y los vectores v1, v2, ..., vn de son linealmente independientes.

La aplicacion lineal S : E R definida porS(x1, ..., xn+1) = x1 + x2 + ...+ xn+1

es no nula y tiene como nucleo a , del teorema del isomorfismo dimR = ny entonces v1, v2, ..., vn es una base.

Otra base que se puede considerar es

w1 = e1 en+1, w2 = e2 en+1; , ..., wn1 = en1 en+1; wn = en en+1

II. Considere la transformacion R-lineal : E E definida mediante(e1) = e2; (e2) = e3; .....; (en) = en+1; (en+1) = e1

3. Demuestre que es -estable, es decir (v) para cada v .

Sea x = x1e1 + x2e2 + ...+ xn+1en+1 (x) = x1(e1) + x2(e2) + ...+ xn+1(en+1)

(x) = x1e2 + x2e3 + ...+ xnen+1 + xn+1e1

de donde (x) = (xn+1, x1, x2, ..., xn)

4. Si = / : denota la restriccion de a . Determine la matrizM(, {v1, v2, ..., vn}, {v1, v2, ..., vn}), donde {v1, v2, ..., vn} es la base queusted ha encontrado anteriormente. Se tiene

(v1) = e2 e3 = v2; (v2) = e3 e4 = v3; ... (vn1) = en en+1 = vn(vn) = (en en1) = (en) (en1) = en+1 e1 = v1 v2 ... vn1 vn

3

y la matriz M(, {v1, v2, ..., vn}, {v1, v2, ..., vn}) = M viene dada por:

M =

0 0 0 0 .. .. 11 0 0 0 .. .. 10 1 0 0 0 .. 10 0 1 0 0 .. 10 0 0 1 0 .. 10 0 0 0 1 .. 10 0 0 0 0 1 1

si se considera la base w1, w2,...wn se obtiene la matriz:

N =

1 1 1 1 .. .. 11 0 0 0 .. .. 00 1 0 0 0 .. 00 0 1 0 0 .. 00 0 0 1 0 .. 00 0 0 0 1 .. 00 0 0 0 0 1 0

III. Sea E = R2[x] el R-espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual

a 2 y la base B = {1 x, x, x2}. Se definen las aplicaciones 1, 2, 3 mediante laformula:

k(p(x)) =

10

xk1p(x)dx; p(x) R2[x]; k = 1, 2, 3

1. Demuestre que T = {1, 2, 3} es una base de E

Sean , , R y = 1 + 2 + 3 E, si

= 1 + 2 + 3 =OE

entonces (p(x)) 0 para todo p(x) E = R2[x].

(p(x)) = 1(p(x)) + 2(p(x)) + 3(p(x)) 0

(p(x)) =

10

p(x)dx+

10

xp(x)dx+

10

x2p(x)dx 0

(p(x)) =

10

(p(x) + xp(x) + x2p(x))dx 0

(p(x)) =

10

(+ x+ x2)p(x)dx 0 p(x) E = R2[x]

en particular para p(x) = ( + x + x2), (p(x)) = 10( + x +

x2)2dx = 0 y como (f(x))2 = (+x+x2)2 0 se tiene +x+x2 0de donde = = = 0.

Se tiene 1, 2 y 3 de E forman una familia l.i y como dimRE

= 3son una base.

Otra alternativa es evaluar en b1 = 1 x, b2 = x, b3 = x2 de donde seobtiene que:

2+

6+

12= 0

4

2+

3+

4= 0

3+

4+

5= 0

y de all deducir que = = = 0.

2. Se considera la transformacion R-lineal : E R3 definida por =(1, 2, 3) y E = {e1, e2, e3} la base canonica de R3. Determine la matrizM(,B, E)

Sea B = {b1 = 1 x, b2 = x, b3 = x2}, se tiene:

1(b1) =

10

(1 x)dx; 1(b2) = 10

xdx; 1(b3) =

10

x2dx

2(b1) =

10

x(1 x)dx; 2(b2) = 10

x2dx; 2(b3) =

10

x3dx

3(b1) =

10

x2(1 x)dx; 3(b2) = 10

x3dx; 3(b3) =

10

x4dx

1(b1) =1

2; 1(b2) =

1

2; 1(b3) =

1

3

2(b1) =1

6; 2(b2) =

1

3; 2(b3) =

1

4

3(b1) =1

12; 3(b2) =

1

4; 3(b3) =

1

5de donde

M(,B, E) =

12 16 11212

13

14

13

14

15

IV. Se considera E = C como R espacio vectorial y la aplicacion:

H : E E C H(z, w) = zw

1. Demuestre que la parte imaginaria deH denotada por A(z, w) = Im H(z,w)es una aplicacion 2-lineal (bilineal) alternada.

Sean z = a+ ib, w = c+ id en C, H(z, w) = (a ib)(c+ id) = ac+ bd+i(ad bc), de donde A(z, w) = ad bc.

Si u = a+ ib

,A(z+u,w) = (a+a

)d (b+ b)c = A(z, w)+A(u,w) por

otra parte si R A(z,w) = adbc = A(z, w) y A es R-lineal en laprimera componente. De manera similar se puede probar que A es R-linealen la segunda componente.

Como A(w, z) = (c id)(a + ib) = bc ad, se tiene entonces que A esuna forma bilineal alternada.

5

2. Sea E un R- espacio vectorial de dimension finita y , en LR(E,E) talesque = IdE . Demuestre que y son invertibles ( tienen inversas).

Se tiene

det( ) = det() det() = det(IdE) = 1si det() = x y det() = y; como {(x, y) R2/xy = 1} no intersecta a{(x, y) R2/x = 0} {(x, y) R2/y = 0}

det() = 0, det() = 0 se tiene que y son lineales inyectivas yentonces invertibles.

OJO para obtener que por ejemplo que = 1 se necesita probar que es invertible.

VGA, Mayo 2013