Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita

Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior,

además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.

1. Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que y depende

de x .

a. 2 2 3sen 1xy xy x .

b. 2 lnxyx x y e x y .

c. 2 2 2ln sen 2x

x y x yy

.

2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:

a. 53

3

3xdx e

dx.

b. 2

3

2sen 2xd

e xdx

.

c. 4

4cos 3

dx

dx.

3. Considerando la función tanh x demuestre que

(a) 1tanh x existe en 1,1x .

(b) 1 1 1

tanh ln2 1

xx

x

.

(c) 1

2

1tanh

1

dx

dx x

.

4. Demostrar que 1

2

1tan

1

dx

dx x

.

5. Calcular 2 114 2senh

2 2

xx x

d

dx

.

6. Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio ( )p x existe

n tal que ( ) 0n

n

dp x

dx para todo x .

7. Dada la siguiente función:

0( )

1 0

sensi

si

xx

f x x

x

Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación

Calcular '(0)f y ''( )f x .

8. Demuestre que la función ( )1

xf x

x

es invertible en \ 1 y 1( )

1

xf x

x

.