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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA

MATEMÁTICA FUNDAMENTOS DE

ÁLGEBRA

21   de abril de 2016

Ciclo I-2016

Grupo

Tarea Unidad II: Teorı́a de Números

Nombre: Carnet: Nota:

Indicaciones:  Redacte sus soluciones de forma ordenada y coherente, explique con detalle sus an álisis y procedi-

mientos. La fecha de entrega será el dı́a miércoles 27 de abril de 2016. En grupos ya establecidos.

1. Probar que 33n+3 − 26n − 27 es múltiplo de 169 para todo n  ∈ N.

2. Muestre que si n  ∈ N es un número impar, entonces el residuo de dividir n2 por 8 es 1.

3. Encuentre los números primos  p  y q sabiendo que la ecuación x4− px3 +q  = 0 tiene una raı́z entera

positiva.

4. Criterio de divisibilidad por 27. Si tomamos un número de dos cifras, por ejemplo ab (recuerde que

no es producto sino la representación), entonces:

ab   =   a × 10 + b

=   a × 10 + 20b − 20b + b

=   (a − 2b) × 10 + 21b

Podemos decir que un número de dos cifras  ab  es divisible por 21 si  a  − 2b  es múltiplo de 21.

Generalice este método para un número de más de dos cifras.

5. Cuántos pares de enteros ( x, y) satisfacen  x2 − y2 = 1125.

6. Demostar cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si  p  ≥  5 es un número primo, mostrar que  p2 + 2 es compuesto.

b) El único primo de la forma n3 − 1 es 7.

c) El único primo  p tal que 3 p + 1 es un cuadrado perfecto es 5.

d ) El único primo de la forma n2 − 4 es 5.

7. Para cada uno de los siguientes enteros a  y  b calcular:  m.c.d (a, b)   =   d , los enteros  u, v  tales qued  = ua + vb y el m.c.m(a, b).

a)   a  = 12345 y b  = 67890

b)   a  = 54321 y b  = 9876

8. Encuentre todos los pares de enteros a y  b que cumplan a + b  = 85 y m.c.m(a, b)  = 546.

9. Sabiendo que m.c.d (a, b)  = 1, probar:

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a)   m.c.d (2a + b, a + 2b)  = 1 o 3

b)   m.c.d (a + b, a2 + b2)  = 1 o 2

c)   m.c.d (a + b, a2 − ab + b2)  = 1 o 3

d )   m.c.d (an, bn)  = 1∀n  ≥ 1

10. Hallar el número natural   x   =   2a5b7c sabiendo que 5 x  tiene 8 divisores más que   x  y 8 x   tiene 18

divisores más que x.

11. Determine todas las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones diof ́anticas:

a) 54 x + 21 y  = 906

b) 158 x − 57 y  = 7

12. Un cliente compró una docena de piezas de frutas, manzanas y naranjas por $ 1.32. El costo de una

manzana es 3 centavos más que el de una naranja. Además compró más manzanas que naranjas .

Cuántas naranjas y manzanas compró?

13. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

 x   ≡   1(mod 3)

 x   ≡   2(mod 5)

 x   ≡   3(mod 7)

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