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ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2015  –  1S  

LECCIÓN  6  –  (17H00)  Guayaquil,  11  de  agosto  de  2015  

 

S  O  L  U  C  I  Ó  N            Y            R  Ú  B  R  I  C  A    Tema  1  (25  puntos)  Sea  el  conjunto  referencial  Re =  ℂ  y  el  predicado  de  una  variable:  

𝒑 𝒙 :                𝒙𝟒 = −𝟐 𝟑 − 𝟐𝒊  Calcule  el  producto  de  los  elementos  de  𝑨𝒑 𝒙 .    Solución:    

z = −2 3( )2

+ −2( )2= 4

     ∧      θ = arctan

−2−2 3

"

#$

%

&'=7π6  

→  

z = 4ei7π6  

 Entonces:    

  x4 = z → x = z4      Se   deben  obtener   las   raíces   cuartas   del   número   complejo   z ,   las   cuales   vienen  dadas   por   la  siguiente  expresión:    

xk = 4( )1 4e

i

7π6+2kπ

4

!

"

####

$

%

&&&&

∀k ∈ 0,1,2,3{ }    Por  lo  tanto,  las  cuatro  raíces  cuartas  son:    

x0 = 2ei7π24

 x1 = 2e

i19π24

 x2 = 2e

i31π24

 x3 = 2e

i43π24  

 

El  conjunto  de  verdad  es:   Ap x( ) = 2ei7π24 , 2e

i19π24 , 2e

i31π24 , 2e

i43π24

!"#

$#

%&#

'#  

 El  producto  de  los  elementos  de   Ap x( ) es  igual  a:    

2ei7π24 ⋅ 2e

i19π24 ⋅ 2e

i31π24 ⋅ 2e

i43π24 = 4e

i 7π24

+19π24

+31π24

+43π24

!

"#

$

%&

= 4ei100π24 = 4e

i25π6 = 4e

iπ6  

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4eiπ6 = 4 cos π

6!

"#

$

%&+ isen

π6!

"#

$

%&

!

"#

$

%&= 4 3

2+12i

!

"##

$

%&&= 2 3+ 2i  

 Rúbrica:  

 Transforma  correctamente  a  la  forma  polar  el  número  complejo  Define  la  expresión  correcta  y  realiza  el  cálculo  de  cada  raíz  cuarta.  Efectúa  correctamente  el  producto  de  las  cuatro  raíces  cuartas.  

4  puntos  16  puntos  5  puntos  

   Tema  2  (25  puntos)  Se  tiene  el  polígono  irregular  de  la  siguiente  figura.  (La  figura  no  está  a  escala).                                      Calcule:  a) El    valor  numérico  de  𝒙.  b) La  cantidad  de  diagonales  que  pueden  trazarse  desde  un  mismo  vértice.  c) Si   el   polígono   fuera   regular   y   tuviera   la  misma   cantidad   de   lados   que   el   de   la   figura,  

¿cuál  sería  la  medida  de  uno  de  sus  ángulos  internos?    Solución:    a) El   polígono   tiene   7   lados.   La   suma   de   las   medidas   de   los   ángulos   interiores   es   igual   a  

n− 2( )180o .  En  este  caso: 7− 2( )180o = 900o    Por  lo  que:    

900o = 98o + 4x +6x +111o +140o +5x +165o 15x = 386o

x = 38615

 

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 b) La   cantidad   de   diagonales   que   pueden   trazarse   desde   un   mismo   vértice   es   igual   a  

n−3= 4( ) . Observe:                

c) De  la  expresión   n− 2( )180o ,  se  deduce  que  cada  ángulo  interno  debería  medir:  

m !( ) = 900o

7≈128.57o  

Rúbrica:  

 a) Especifica  correctamente  el  valor  de  x.  b) Especifica  correctamente  la  cantidad  de  diagonales.  c) Especifica  correctamente  la  medida  angular.  

10  puntos    10  puntos  5  puntos  

   Tema  3  (25  puntos)  Califique  la  siguiente  proposición  como  VERDADERA  o  FALSA:  

“El circuncentro se encuentre ubicado siempre en el interior del triángulo.” ���  Justifique  su  respuesta.    Solución:    El  circuncentro    es  el  punto  de  intersección  de  las  tres  mediatrices  del  triángulo  y  su  ubicación  del  depende  del  tipo  de  triángulo.    En  general,  se  cumple  que:  

• En  un  triángulo  acutángulo,  el  circuncentro  está  en  su  interior.  • En  un  triángulo  obtusángulo,  el  circuncentro  se  encuentra  en  su  exterior.  • En   un   triángulo   rectángulo,   el   circuncentro   se   encuentra   en   el   punto   medio   de   su  

hipotenusa.    Observe  la  figura  para  el  caso  2:              ∴    La  proposición  es  FALSA.    

Rúbrica:  

 Realiza  un  procedimiento  adecuado  para  justificar  su  demostración.   25  puntos  

 

Circuncentro

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Tema  4  (25  puntos)  En  la  figura  adjunta  se  conoce  que   AD = 5cm  y  DC = 4cm .                              

Calcule   BD    Solución:    Se  aplica  semejanza  entre  triángulos:                        

∴    La  longitud   BD  mide   2 5cm .    Rúbrica:  

 Realiza  el  análisis  geométrico  correcto  para  calcular  la  longitud  del  lado  BD.   25  puntos  

 

D

B

C

x

4 4

D

A

B x

5