2014-1 mante teoria de fiabilidad

Profesor:

Ing. Carlos A. Lizrraga Portugal

TEORIA DE FIABILIDAD

GESTION DE MANTENIMIENTO

Fiabilidad o Confiabilidad (R): Probabilidad que tiene una mquina o equipo de funcionar

sin fallas durante un tiempo t determinado en condiciones ambientales dadas.

Es una extensin de la calidad en el tiempo.

Esta definicin presupone:

Un criterio inequvoco para definir si funciona o no (puede usarse un Valor Lmite)

Que se establezca y mantenga constante la condicin ambiental y la condicin de utilizacin en el perodo

Que se defina el intervalo durante el cual se requiere el funcionamiento.


Fiabilidad o Confibilidad (R)


CURVA DE SUPERVIVENCIA

200 motores fueron puestos en

funcionamiento, a medida que

tuvieron el primer desperfecto

(falla) fueron retirados de la

experimentacin, se decidi

detener los ensayos cuando el

ltimo de ellos sufriese el primer

desperfecto.

Se pide construir los datos de

confiabilidad .


Histograma de Frecuencia de Fallas

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

MES FALLAS

ENE 10

FEB 2

MAR 1

ABR 1

MAY 2

JUN 4

JUL 18

AGO 63

SET 53

OCT 28

NOV 12

DIC 6

TOTAL 200

FALLAS

MES


Funcin Densidad Probable de Fallas - pdf

En Mantenimiento la variable de fallo es continua por que el histograma

debe llevarse a una funcin continua a travs de las cuales se analiza el

comportamiento de los fallos.

La densidad probable de fallas puede analizarse en intervalos de tiempo t.

El rea total bajo la curva e igual a: 200 / 200 =1

MES FALLAS Proporc.

Fallas

t n ( t ) f (t)

ENE 10

10/200=

0.050

FEB 2 0.010

MAR 1 0.005

ABR 1 0.005

MAY 2 0.010

JUN 4 0.020

JUL 18 0.090

AGO 63 0.315

SET 53 0.265

OCT 28 0.140

NOV 12 0.060

DIC 6 0.030

TOTAL 200 1.000 0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f (t)

MES


Funcin Densidad Acumulada de Fallas - CDF

CDF Funcin Acumulada de Fallas (Infiabilidad):

El lapso de 0 a t, muestra la probabilidad de que falle en el tiempo t.

El rea bajo la Curva, Transcurrido t (Ene Ago) : 101 / 200 = 0505

MES FALLAS Proporc

Fallas

Falla

Acumu

t n ( t ) f (t) F(t)

ENE 10 0.050 0.050

FEB 2 0.010

0.05+0.01=

0.060

MAR 1 0.005 0.065

ABR 1 0.005 0.070

MAY 2 0.010 0.080

JUN 4 0.020 0.100

JUL 18 0.090 0.190

AGO 63 0.315 0.505

SET 53 0.265 0.770

OCT 28 0.140 0.910

NOV 12 0.060 0.970

DIC 6 0.030 1.000

TOTAL 200 1.000 Tiempo (t)

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12meses

GESTION DE MANTENIMIENTO Funcion Fiabilidad R(t) Reliability

Funcin de la Supervivencia

Probabilidad de xito o probabilidad de sobrevivir sin falla

transcurrido el mismo tiempo t.

Se Representa por bajo la curva en el lapso de t hasta . R(t)= 1- F(t)

( ) ( )R t f t dtt

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mes Falla Prop.

Fallas

Falla

Acum

Sobre

vivient

Prop.

Sobre

T n ( t ) f (t) F(t) N (t) R (t)

ENE

10 0.050 0.050

200-10=

190

1-0.05=

0.950

FEB

2 0.010 0.060 188

1-0.06

0.940

MAR 1 0.005 0.065 187 0.935

ABR 1 0.005 0.070 186 0.930

MAY 2 0.010 0.080 184 0.920

JUN 4 0.020 0.100 180 0.900

JUL 18 0.090 0.190 162 0.810

AGO 63 0.315 0.505 99 0.495

SET 53 0.265 0.770 46 0.230

OCT 28 0.140 0.910 18 0.090

NOV 12 0.060 0.970 6 0.030

DIC 6 0.030 1.000 0 0.000

TOTAL 200 1.000

Tiempo (t)

meses

GESTION DE MANTENIMIENTO Fiabilidad y No Fiabilidad

Mes Falla Prop.

Fallas

Falla

Acum

Sobre

vivient

Prop.

Sobre

T n ( t ) f (t) F(t) N (t) R (t)

ENE 10 0.050 0.050 190 0.950

FEB 2 0.010 0.060 188 0.940

MAR 1 0.005 0.065 187 0.935

ABR 1 0.005 0.070 186 0.930

MAY 2 0.010 0.080 184 0.920

JUN 4 0.020 0.100 180 0.900

JUL 18 0.090 0.190 162 0.810

AGO 63 0.315 0.505 99 0.495

SET 53 0.265 0.770 46 0.230

OCT 28 0.140 0.910 18 0.090

NOV 12 0.060 0.970 6 0.030

DIC 6 0.030 1.000 0 0.000

TOTAL 200 1.000 0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0.050 0.010 0.005 0.005 0.010 0.020 0.090 0.315 0.265 0.140 0.060 0.030

( ) ( )R t f t dtt

TASA DE FALLAS O TASA DE MORTALIDAD

es un estimador" de la Fiabilidad. Representa un porcentaje de dispositivos sobrevivientes en el instante t.

Se determina con el Numero de Fallas en el periodo respecto del

Numero de elementos sobrevivientes al inicio del periodo.

meses

MES FALLAS Sobrevi

vient

Tasa de

Mortalidad

t n ( t ) N (t) (t)

ENE 10 190 0.050

FEB 2 188 0.011

MAR 1 187 0.005

ABR 1 186 0.005

MAY 2 184 0.011

JUN 4 180 0.022

JUL 18 162 0.100

AGO 63 99 0.389

SET 53 46 0.535

OCT 28 18 0.609

NOV 12 6 0.667

DIC 6 0 1.000

TOTAL 200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


Tasa de Fallas ()


CONFIABILIDAD DE LOS EQUIPOS

Mes

Motores

Fallados

en el mes

Proporcin

Motores

fallados en

el mes

Proporcin

Acumulada

de Motores

Fallados

Motores

funcionando

a fin de mes

Proporcin

de Motores

funcionando

a fin de mes

Tasa de

Mortalidad

T n ( t ) f (t) F(t) N (t) R (t) (t)

ENE 10 10/200 = 0.050 0.050 190 190/200 = 0.950 10/200 = 0.050

FEB

2

2/200 =

0.010

0.05 + 0.01=

0.060 190-2 = 188 188/200 = 0.940 2/190 = 0.011

MAR 1 0.005 0.065 187 0.935 1/188 = 0.005

ABR 1 0.005 0.070 186 0.930 0.005

MAY 2 0.010 0.080 184 0.920 0.011

JUN 4 0.020 0.100 180 0.900 0.022

JUL 18 0.090 0.190 162 0.810 0.100

AGO 63 0.315 0.505 99 0.495 0.389

SET 53 0.265 0.770 46 0.230 0.535

OCT 28 0.140 0.910 18 0.090 0.609

NOV 12 0.060 0.970 6 0.030 0.667

DIC 6 0.030 1.000 0 0.000 1.000

TOTAL 200 1.000

Tasa de Fallas ()

Llamada Funcin Riesgo o tasa de mortalidad h(t)

Representa la proporcin de elementos que habiendo sobrevivido hasta el tiempo t, de un grupo de elementos con que se inicio el periodo, falle en el tiempo dt siguiente.

Se conoce como la Frecuencia de Falla en un perodo dado que inicia estando en funcionamiento.

Relacin entre velocidad de falla y piezas sobrevivientes despus del tiempo t.

Se calcula como el nmero de fallas en un perodo:

Nmero de fallas / Tiempo de operacin

Nmero de fallas / Nmero de Productos Probados


Tasa de Fallas ()


COMO DETERMINAR LA TASA DDE FALLAS ()

CASO 1 : CON REEMPLAZO

Cuando los elementos que fallan en el

periodo son reemplazados o

reparados en el periodo, manteniendo

tanto al inicio como la final del

periodo el mismo numero de

elementos en buen estado.

CASO 2 : SIN REEMPLAZO

Cuando los elementos que fallan en el

periodo no son reemplazados ni

reparados en el periodo, reduciendo el

numero de elementos sobrevivientes

al inicio del siguiente periodo.

C(t) N de Fallos durante (t)

(t) = -------------- = -----------------------------------------

N x (t) Numero Inicial de Elementos

Ns(t) - Ns(t + t)

(t) = ---------------------------

Ns(t) x (t)

Nro. Sobrev. en t - Nro. Sobrev. en (t + t)

= ---------------------------------------------------------------

Nro. Sobrev. en t x (t)

PROBLEMA 1

Se estudia una flota de 70 vehculos de

transporte puestos a prueba simultneamente.

En el lapso de recorrer entre 80,000 y 90,000 Km.

repararon un total de 41 averas.

Cul es la tasa de fallo relativa a este periodo?

C(t) N de Fallos durante (t)

(t) = -------------- = -----------------------------------------

N x (t) Numero Inicial de Vehculos

41 fallas

= -----------------------------------------------

70 vehic. x (90,000 80,000) Km.

- 4

= 0,585 x 10 fallas/ vehic. - Km .


EJEMPLO Tasa de Fallas ()

PROBLEMA 2

Los resultados de un estudio de confiabilidad en

50 vlvulas sometidas a funcionamiento continuo,

NO REEMPLAZADAS a la falla; presentaron los

siguientes resultados:

A las 50 hrs. quedaron funcionando 33 vlvulas

A las 60 hrs. quedaron funcionando 27 vlvulas

Calcular para ese lapso :

Cul es la tasa de fallos por hora?

(t) = Ns(t) - Ns(t + t)

Ns(t) x (t)

= (33 27) Fallos . 33 valv. x (60 50) hr.

- 2

= 1,82 x 10 fallas/ valv - hora


EJEMPLOS DE Tasa de Fallas ()

PROBLEMA 3

En el ejemplo adjunto; si cada

electrovlvula hubiera sido sometida

a 8 pulsos por minuto; Cul seria la

Tasa de fallas por impulsin?

-5

Rpta .- 3,79 x 10 fallas / pulso

PROBLEMA 4

Si los equipos que fallan en cada

periodo se van reparando o

reemplazando antes del inicio de

cada periodo; Cul seria la Tasa de

fallas por hora?

-2

Rpta.- 1,2 x 10 fallas/ valv - hora

1-15

PROBLEMA 5

1000 motores elctricos se ponen a prueba en el tiempo CERO. Cuatrocientos

de ellos estn trabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en las

siguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las siguientes horas como lo ilustra

la figura.

0 2000 2100 2200 horas tiempo

1000 400 350 300 No. de

sobrevivientes

Calcular

a) La Tasa de falla en el Periodo de 2000 a 2100 horas

Rpta.- 0.00125 unidades/hora

b) La Tasa de falla en el Periodo de 2100 a 2200 horas

Rpta.- 0.0014 unidades/hora


Tasa de Fallas ()

Tasa de Fallas

Tiempo Mortalidad

Prematura

Desgaste Vida

til

Tasa de fallas de una poblacin homognea

(t)


Tasa de Fallas y Curva de la Baera

La Funcin de Riesgo, tambin Tasa de fallas ( )

(T)

CONSTANTE

HIPTESIS EXPONENCIAL

DESARROLLO

MADUREZ (FALLOS ALEATORIOS) OBSOLESCENCIA

DESCLASIFICACIN

1

2

3

Edad t

DOMINIO ELECTRONICO


Desarrollo de la Funcin Riesgo Componentes Electrnicos

INICIO UTILIZACIN

(T)

CURVA DEBIDA A LOS

FALLOS PRECOCES

RODAJE

MADUREZ

OBSOLESCENCIA

DESCLASIFICACIN

1

2

3

EDAD T

PUESTA EN SERVICIO

INFLUENCIA DEL

DESGASTE SOBRE (T)

DOMINIO MECANICO


Desarrollo de la Funcin Riesgo Componentes Mecnicos

Cuando la tasa de fallo del elemento responde a la curva de la baera es

conveniente realizar un ensayo acelerado del mismo (en condiciones de stress)

para que supere la zona de mortalidad infantil o fallas infantiles.

determinar cuando comienza la vida til del producto y ofrecer a los clientes una garanta de funcionamiento durante ese periodo de funcionamiento problemtico.

Una vez superado el periodo crtico, la empresa est razonablemente segura de que el producto tiene una posibilidad de fallos reducida


Como emplear la Curva de la Baera

Distibucin mas empleada en estudios de Fiabilidad. Es util para modelar tiempos de vida util o de sobrevivencia.

Modeliza la Fase Normal de Operacin del Componente, con una tasa de fallos constante, en la medida que el dispositivo no tiene fallos Infantiles y que aun no aparecen desgastes.

Describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta que ocurre un determinado evento, sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente.

FIABILIDAD Y LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL

t

R(T)

1 -

0.8 -

0.6 -

0.4 -

0.2 -

= Cte

Una caracterstica de la Fiabilidad es el Tiempo Medio entre

Fallas (MTBF) de un sistema (en la Vida Util, = cte) :

Medida de la frecuencia de una falla

Inversa de la Tasa de Fallas en funcin del tiempo de un sistema:

Tiempo Medio entre Fallas (MTBF)

Mean Time Between Failures

Tiempo de Operacin 1

Nmero de Fallas MTBF = =

MTBF = = dt = 1/

PROBLEMA 6

Sea un medidor de nivel de slidos en un ambiente de polvo adherente que da lugar a una vida media de 2,000 horas, tras las cuales el cable que sostiene el peso queda trabado en la polea por el depsito de polvo adherente, y el instrumento deja de funcionar.

Se pide:

a. Indique cual es la tasa de fallos y calcule la fiabilidad del sistema durante un periodo de 10 horas.

b. Determine la fiabilidad del sistema al cabo de las 2,000 horas de funcionamiento que representa su vida til.

c. Hallar el MTBF (Tiempo medio entre Fallos).

Ejemplo Tasa de Fallos y Fiabilidad

Solucin

La Tasa de fallos

1 / 2000 0.0005 fallas / hr

La Fiabilidad durante un promedio de 10 horas ser:

R(10) = e = 0.995 (99.5%)

Y al cabo de 2,000 horas de funcionamiento (su vida til) la fiabilidad pasa a ser de:

R(2000) = e = 0.36 (36%)

MTBF = 1/ 2000 hrs / falla

Nota.- debe estar expresada en las mismas unidades de tiempo de t

- 0.0005 x 2000

- 0.0005 x 10

PROBLEMA 7

Un fabricante de motores, prueba 100 unidades en su laboratorio en un experimento de 2,000 h de funcionamiento continuo.

Un motor fall a las 500 horas de prueba.

Otros DOS fallaron despus de las 1,500 horas.

Se pide calcular la tasa de fallas y el tiempo medio entre fallos.


CALCULAR EL TIEMPO DE OPERACION

1er Motor = 500 h

2do Motor = 1 500 h

3er Motor = 1 500 h

El resto = (100-3) motor x 2000 h = 194 000 h

Total Tiempo de Operacin = 197 500 h

= 3 fallas = 0,000015 falla / h-motor 197,500 h-motor

MTBF = 1/ = 65833.33 h-motor / falla

La fiabilidad de un sistema productivo depende de la estructura de sus elementos y del efecto de las perturbaciones:

Sistemas con elementos: en serie o redundantes

Perturbaciones: acumulativas o independientes

Es importante conocer la fiabilidad del sistema para:

Deducir caractersticas de seguridad de funcionamiento.

Establecer la poltica de mantenimiento

Analizar y disponer las acciones a tomar.

Proyectar sistemas con fiabilidad ptima mediante funciones redundantes.


Fiabilidad de un Sistema


Fiabilidad del Sistema

La Fiabilidad de un Sistema esta

en funcin de la Fiabilidad de los

Componentes del mismo.

La Fiabilidad de un Sistema

desciende rpidamente a medida

que se incrementa el nmero de

componentes que lo forman.

Fiabilidad de Componentes

99%

Numero de

Componentes Fiabilidad %

10 90%

50 60%

100 38%

250 8%

500 2%

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

100.0 99.5 99.0 98.5 98.0 97.5 97.0 96.5

Fia

bili

dad

del

Sis

tem

a (%

)

Fiabilidad Media de los Componentes %

n = 500 n = 250

n = 100

n = 50

n = 10 n = 5

n = 1


Estrategias para Mejorar la Fiabilidad del Sistema

MEJORAR LA FIABILIDAD DE SUS

COMPONENTES

Cada componente es independiente del resto de

componentes del sistema. Mejorar el diseo

del equipo y sus componentes para evitar

determinado fallo.

REDUCIR EL NUMERO DE COMPONENTES DEL

EQUIPO

Los componentes individuales de un Sistema se

relacionan entre s y cumplen una funcin

especfica y la falla de uno puede hacer que falle

el sistema. Reducir el nmero de componentes

mejora la fiabilidad del sistema.

EMPLEAR COMPONENTES REDUNDANTES

Componentes redundantes dispuestos en

paralelo mejoran la fiabilidad del sistema

actuando al momento que el otro componente

presente una falla.

CONFIABILIDAD DE SISTEMAS Sistemas en Serie

Evaluacin de la Confiabilidad de un sistema sobre la base de la Confiabilidad de

sus Componentes. Tarea bastante dificultosa con relacin a la complejidad del

Sistema.

SISTEMAS EN SERIE

Suponen que el Sistema falla si es que falla cualquiera de sus componentes. La

confiabilidad del Sistema ser Menor o igual que la Confiabilidad de sus partes.

Rs < min ( R1, R2, . Rn)

Teorema N 1

Si dos componentes funcionan independientemente y tienen leyes de falla exponencial con parmetros 1 y 2 estn conectadas en serie, la falla del

sistema resultante es nuevamente exponencial con parmetros de Falla igual a [1 + 2]. (Puede generalizarse a n elementos)

Teorema N 2

En un Sistema de n componentes que funcionan independientes, conectados en serie; la confiabilidad del Sistema ser: Rs = R1 x R2 x Rn

Sistema productivo con elementos en serie (Interdependientes) La falla de un elemento hace fallar al sistema.


Fiabilidad de un Sistema Productivo con elementos en Serie

R1 R2 R3 Rn

1

s MTBF = s =

donde:

PROBLEMA 9

Un circuito electrnico consta de los siguientes

componentes dispuestos en serie.

El circuito esta sometido a temperatura, voltaje y

corriente con tasa de fallos constante.

Se pide:

a. Hallas la Tasa de Fallos del Sistema

b. La confiabilidad del Circuito despus de 10

horas de funcionamiento.

c. El tiempo esperado para que el circuito falle


SOLUCION

Tasa de Fallos del Sistema en Serie:

10 (0.000002) +

4 (0.00001 ) +

20 (0.000001) +

10 (0.000002)

= : 0.0001

La probabilidad de que un circuito no

falle despus de transcurrir 10 horas de

operacin:

- x (10) - (0.0001) x (10)

R(10) = e = e

= 0.999 99.9%

El tiempo esperado para que el circuito

falle es igual a:

MTBF = 1/ = 1/0.0001 = 10,000 hrs.

Componente Cantidad Tasa de Fallas

Diodos 10 0.000002

Transistores 4 0.00001

Resistencias 20 0.000001

Condensadores 10 0.000002

CONFIABILIDAD DE SISTEMAS Sistemas en Paralelo

SISTEMAS EN PARALELO

El Sistema se configura de modo que si y solo si todos sus componentes, que

funcionan en forma independiente, dejan de funcionar.

La confiabilidad del Sistema se establece as:

Rs = 1- [ (1-R1) x (1 R2) x (1 R3) x .. x (1 - Rn) ]

Sistema de 2 Componentes en Paralelo

Rs = R1 + R2 R1 x R2

Sistema de 3 Componentes en Paralelo

Rs = R1 + R2 + R3 R1 x R2 R1 x R3 R2 x R3 + R1 x R2 x R3

Si los componentes tiene igual confiabilidad

Rs = 1 - [ (1 R) ^n ]

Sistemas Redundantes (Simples) Sistemas en Paralelo

Son ms complejos pero tienen una mayor confiabilidad.

GESTION DE MANTENIMIENTO Fiabilidad de un Sistema Productivo con elementos Redundantes

RA

RB

3

2 MTBF =

Rs = RA + RB (RA x RB)

Tambin puede ser:

Rs = 1 Fs = 1 (FA x FB) = 1 [ (1-RA) x (1-RB)]

Caractersticas Las tres unidades funcionan

Slo se requiere una unidad

Falla el sistema cuando fallan las tres unidades


RA

RB

RC

Rs = RA + RB +RC RA x RB RB x RC RA x RC + RA x RB X Rc

Tambin puede ser:

Rs = 1 Fs = 1 (FA x FB x FC) = 1 [ (1-RA) x (1-RB) X (1-RC)]

PROBLEMA 10

Se tiene los siguientes circuitos con las probabilidades de falla en cada

componente. El funcionamiento de cada componente es independiente:

Circuito 1 :

A B

Circuito 2 :

A B

Explicar cual de los circuitos tiene mayor probabilidad de hacer pasar la

corriente del Punto A al Punto B


0.01 0.03 0.04

0.05

0.06

0.04

SOLUCIN:

Para el circuito 1, con el fin de que la

corriente los 3 componentes deben

funcionar, asi:

P(funcione 1) = R1 x R2 x R3

= 0.99 x 0.97 x 0.96

= 0.92188

Para el circuito 2, la probabilidad de

funcionamiento es como sigue:

P(funcione 2) = [Rs12] x R3

= [(1 F1 x F2)] x R3

= [1 - (0.06 x 0.04)] x 0.95)

= 0.94772


PROBLEMA 12

Una constructora se preocupa porque el elevador tiene una

confiabilidad de 0,713. El equipo tiene 3 componentes, por lo

que se decide incluir 2 componentes auxiliares para los dos

equipos menos confiables. El sistema mejorar as :

Situacin Actual : 0,90 x 0,80 x 0,99 : 0,713 (71,3%) Sistema Mejorado : (0,9 + 0,9 (1-0,9)) x (0,8 + 0,8 (1-0,8)) x 0,99 : 0,99 x 0,96 x 0,99 : 0,94

0,90 0,80 0,99

0,90 0,80

0,99

0,90 0,80

GESTION DE MANTENIMIENTO Ejemplo de Sistema Redundante

PROBLEMA 13

Un sistema con la siguiente confiabilidad

Si se agrega un componente de respaldo para dos de

los menos confiables, Cmo mejora la Confiabilidad del Sistema?

0,90 0,95 0,98 0,90 0,99

GESTION DE MANTENIMIENTO Ejemplo Sistema Redundante en Stand-by

THE END


2014-1 mante teoria de fiabilidad

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