2 – Modelo del transformador

I1 I2

+

-

+

-V1

V2

N1 N2

m

1d2d

Representación Física

V1

+

-

Z1=R1+jX1 Z2=R2+jX2

I1 I0

I´2 I2

V2E1 E2Rc1 jXm1

Ic Im

Transf. ideal

Circuito Equivalente

+

-

E1 E2

N1 : N2

V1 - Tensión aplicadaI1 - Corriente drenada por la fuenteI0 - Corriente de vacío

E1 - Tensión inducida en el primario I’2 - Corriente de carga, “vista” desde el primario

Lado primario N1 espiras

Im1 - Corriente de magnetizaciónIc - Corriente debido parásitas e histéresis

Lado secundario N2 espiras

Los parámetros del circuito, esto es, los elementos que representan las imperfecciones respecto al transformador ideal son:

jXm1 - Reactancia de magnetizaciónRc1 - Resistencia representativa de las perdidas de potencia activa en el núcleo (histéresis y corrientes parásitas)X1 , X2 - Reactancias de dispersión del primario y secundario R , R2 - Resistencia de los conductores primario y secundario

22

2

2

12

2

11

2

122

1

212

2222

'

:a llegamos ndoSubstituye

' y

ideal,dor transforma del lesfundamenta relaciones las de Además

.secundario lado del tensión de ecuación la ,

:arriba circuito Del

IZN

NV

N

NE

N

NII

N

NEE

IZVE

V’2 Z’2 22 '' jXR

2

2

2

122

2

2

12 ' y '

:donde

XN

NjjXR

N

NR

V1

+

-

Z1=R1+jX1 Z2=R2+jX2

I1 I0

I´2 I2

V2E1 E2Rc1 jXm1

Ic Im

Transf. ideal

+

-

N1 : N2

Obtención del circuito equivalente “visto” desde el primario

Dado el circuito equivalente original:

Siendo las relaciones fundamentales del transformador ideal dadas por:

22122

2

1

1 ' NININ

E

N

E

El circuito equivalente ‘visto’ desde el primario queda entonces dado por:

V1

+

-

Z1=R1+jX1 Z´2=R´2+jX´2

I1 I0 I´2

V´2E1Rc1 jXm1

Ic Im

+

-

Dado que la impedancia paralelo es mucho mayor que las impedancias serie se puedeprobar que el circuito arriba se puede aproximar satisfactoriamente a:

V1

+

-

Ze1= Z1 + Z´2 =(R1+ R´2) +j(X1 +X´2)I1

I0 I´2

V´2Rc1 jXm1

Ic Im

+

-

+

-

Siendo la impedancia equivalente vista desde el primario Ze1 conocida como impedancia decortocircuito Zcc y la impedancia paralelo (Rc1 || jXm1 ) conocida como impedancia de vacíoZ0 y se obtienen a partir de los ensayos respectivos *.

Obs. En forma análoga se puede obtener el circuito “visto” desde el secundario multiplicando

tanto la impedancia serie como la impedancia paralelo por 2

1

2

N

N

* Este ensayo de cortocircuito se refiere al ensayo con tensión reducida para determinar las perdidas en el hierro, bien diferente del ensayo de aguante al cortocircuito.

2

2

2

1112

2

2

111

:Donde

XN

NXXR

N

NRR ee

Determinación de los parámetros del circuito equivalente, dados los datos de los ensayos de circuito abierto (ensayo a vacío) y cortocircuito.

V1

+

-

I0 I0

Rc1 jXm1

Ic Im

Ensayo Circuito abierto

Datos:

V1

I0

P0

Parámetros:

11

220

1

1

0

21

1

mmcm

cc

c

I

VXIII

R

VI

P

VR

Ze1=Re1+jXe1

V1

+

-

Isc

Ensayo de Cortocircuito

Datos:

Vsc

Isc

Psc

Parámetros:

X 1111

21

eeesc

sce

sc

sce

RZI

VZ

I

PR

V1 del orden de la nominal

V1 reducida tal que ISC no supere a la I nominal.

(Dado la relación de impedancia y las condiciones deensayo se puede despreciar la rama paralelo)

Obs. Cada uno de los ensayos pueden hacerse indistintamente tanto del lado del primario como del secundario, por ejemplo si el primario corresponde a alta tensión es más factiblerealizar ensayo circuito abierto aplicando tensión del lado de baja (secundario).Luego, todas las impedancias obtenidas deben expresarse como “vistas” del mismo lado del transformador.

Transformador trifásico de transmisión en reparación, particularidad: dos conmutadores bajo carga(primer plano de la foto), fábrica Tadeo Czerweny, provincia de Santa Fé, Argentina.

Transformador 150/31.5, 63 MVA, ONAF, en etapa de ensayos de recepción, fábrica ZTR, Ucrania.

Tres paneles correspondientes a los mismo transformadores, durante ensayo de operación en paralelo de tres transformadores, se observa debajo de las llaves de comando el regulador de tensión.

V1

+

-

Z1 Z2

I1

I´2 I2

V2E1 E2

Transf. ideal

+

-

N1 : N2

Zm Z

Modelo del transformador en valores por unidad

Dado el siguiente circuito monofásico:

1111 . EZIV 2222 . VZIE

Se eligen dos magnitudes de base independientes, S (MVA) y V (kV), las demás,I y Z, quedan determinadas.

En este caso Sbase es la potencia nominal del transformador y Vbase,,1 y Vbase,,2 las tensionesnominales, entonces:

aN

N

E

E

V

V

base

base 2

1

2

1

2,

1,

Las corrientes de base quedan determinadas:

1,1,

base

basebase V

SI

2,2,

base

basebase V

SI

aV

V

I

I

base

base

base

base 1

1,

2,

2,

1,

y las impedancias:

base

base

base S

VZ 1,

2

1, 2

2,2

1,2

2,

1, aV

V

Z

Z

base

base

base

base

base

base

base S

VZ 2,

2

2,

1,

1

1,

1

1,

1

1,

1 .basebasebasebase V

E

Z

Z

I

I

V

V

Aplicando las expresiones anteriores en las ecuaciones del transformador:

2,

2

2,

2

2,

2

2,

2 .basebasebasebase U

V

Z

Z

I

I

V

E

= 2,

2

baseV

E

Entonces sustituyo:

Llegamos a:

pupupupupupu VZIZIV ,2,2,2,1,1,1 ..

Esto es, “integramos” las dos ecuaciones en una, eliminando así la relación de transformaciónquedando el circuito equivalente:

V1,pu

+

-

Z1,pu Z2,pu

I1,pu

I2,pu

V2,pu

+

-

Zm,,pu Zpu

Sabemos que en la práctica:

V1,pu

+

-

Z,pu=Z1,pu+ Z2,,puIpu

V2,pu

+

-

Zm,,pu Zpu

Visto desde el primario:

22

1, ZaZZ p 1,

22

1,

1

1,

,

basebasebase

ppu Z

Za

Z

Z

Z

ZZ

ahora:2

2,

1, aZ

Z

base

base

Entonces:

2,

2

1,

1

basebasepu Z

Z

Z

ZZ

Analogamente,visto desde el secundario:

221

, Za

ZZ s

2,

2

2,2

1

2,

,

. basebasebase

spu Z

Z

Za

Z

Z

ZZ

2,

2

1,

1

basebasepu Z

Z

Z

ZZ

Los valores de impedancia, voltaje y corriente son los mismos independientemente si estánreferidos al primario o al secundario.

3 – Modelo de líneas

a) Parámetros

23m

Dist. Fases externas 24m

Alt. cond.31mAlt. guardia

18m

19m24m

500 kV (345 500 E.A.T.)

150 kV (69 230 A.T.)

Algunas configuraciones típicas

765 kV U.A.T.

Conductores más utilizados

ACSR – aluminiun conductor steel reinforcedAACSR – alloy aluminium steel reinforced

AAAC – all-aluminium alloy conductor

Consideraciones adicionales respecto a conductores

Arriba de 230 kV es preferible usar más de un conductor por fase, lo que es conocidocomo haz de conductores. El haz consiste de dos, tres o cuatro conductores. Conesto se logra incrementar el radio efectivo de la líneas así como reducir el campo eléctrico en la superficie de los conductores (gradiente superficial) y con estominimizar los fenómenos asociados al efecto corona esto es: pérdidas, ruido audibley radio interferencia. Otra importante ventaja es la reducción de la reactancia de lalínea.

Aisladores de suspensión

Porcelana

Vidrio templado

Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión

Resistencia de los conductores

La resistencia dc de un conductor sólido a una determinada temperatura está dada por:

A

lRdc

La resistencia del conductor es afectada por tres factores:

-- Constructivos, ejemplo al ser espiralado la longitud termina siendo algo mayor.-- Efecto skin, aumenta del orden del 2% debido a este fenómeno.-- Incremento con la temperatura, dentro de los rangos normales de utilización el comportamiento es líneas y puede ser determinado por:

1

212 tT

tTRR

Dado los factores arriba, la resistencia del conductor es mejor determinada por la hoja de datosdel fabricante, el que normalmente la determina por el ensayo:

2I

PR p

ac

Donde R1 y R2 son las resistencias de los conductores a t1 y t2 (°C) respectiva-Mente, T constante de temperatura (228 para Al y 234.5 para el Cu).

Cálculo de la capacitancia:

Las líneas de transporte tienen las siguientes capacitancias asociadas:

.

qa qbqc

qg

-qa-qb

-qc

-qg

Conductores imágenes con carga igual y de signo contrario a los originales, sirven para modelar el efecto de la tierra la que impone una superficie equipotencialcero.

Las tensiones referidas a tierra son función de las cargas y están dadas por:

qg

qc

qb

qa

PggPgcPgbPga

PcgPccPcbPca

PbgPbcPbbPba

PagPacPabPaa

Vg

Vc

Vb

Va

0

Donde [P] se le conoce como la matriz de los coeficientes potenciales de Maxwell y está dada por:

'

ln2

1

:diagonal la de fuera y

2

ln2

1

:diagonal la de elementos los Para

0ij

0ii

ij

ijP

r

hP

i

i

Rescribiendo el sistema de ecuaciones y realizando la siguiente partición:

qg

qc

qb

qa

PggPgcPgbPga

PcgPccPcbPca

PbgPbcPbbPba

PagPacPabPaa

Vc

Vb

Va

0

[Vabc]

P00 P0n

Pn0 Pnn

[0]

qabc

qn

qabcPPPPVabc

qgzqabcP

qgPqabcPVabc

nnnn

nnn

n

:qg eliminamos serie impedancia la a teAnalogamen

0

01

000

0

000

[Pabc]

La capacitancia de línea está dada entonces por:[Cabc]=[Pabc]-1

Observación:1 - [Cabc] es una matriz nodal Los elementos de la diagonal Cii es la suma de las

capacitancias entre la fase i y el resto de las fases. y los elemento C ij son el negativo de la capacitancia entre las fase i y la j.

2 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, al igual que en el cálculo de la impedancia se utilizan las formulas ya presentadas del radio medio geométrico .

v

qC Sabiendo que por definición la capacitancia está dada por:

Cálculo de la impedancia serie:

.

b

bl

Ib

RbLbb

c

cl

Ic

RcLcc

a

al

Ia

RaLaa

g

gl

Ig

RgLg

a b c

g

tierra

Lac

Lcg

LbgLag

Lab Lbc

Corriente de retorno por tierra

Problema: determinación de la impedancia de una línea de transmisión AC en funciónde la frecuencia, considerando el retorno por tierra.

Lo resuelve Carson (Bell) en 1926 para líneas telefónicas, su método es directamente aplicable alíneas de potencia.

En 1976 Gary (EDF), propone una aproximación donde la tierra es substituida por un conjuntode conductores ficticios de retorno por tierra localizados a una profundidad compleja. Esto es la distancia entre los conductores ficticios y los reales son ¡Números Complejos!.

En 1981 Deri (U. de Budapest) demuestra la correlación entre el método de Carson y el de Gary validando este último.

Fines de los 90 aparecen los métodos basados en elementos finitos.

La caída de tensión de cada conductor en un tramo de longitud l está dada por:

Ig

Ic

Ib

Ia

ZggZgcZgbZga

ZcgZccZcbZca

ZbgZbcZbbZba

ZagZacZabZaa

l

Vgg

Vcc

Vbb

Vaa

l

l

l

l

Donde, por el método de profundidad compleja, los elementos de Z están dadospor:

))(2

ln2

( 0

i

iii r

phwjRz

)ln2

())(2

ln2

(''

022

0

ik

ik

ik

ikkiik d

dwj

d

Xphhwjz

Siendo:

i

k

k’

i’ k’’

i’’

p Plano ‘espejo’ complejo

ikx

ih

khikd ''

p2

p2

i’ , k’ conductores simétricos respecto al plano de tierrai’’ , k’’ conductores simétricos respecto al plano complejo

La profundidad compleja está dada por:

0

jwp Donde es la resistividad del terreno en m.

0 Permeabilidad del espacio libre = kmH / 10..4 4

R es el dato de la resistencia del conductor dadopor el fabricante, según a la frecuencia que sehaga el cálculo requerirá corrección por efecto skin

conductor. del geométrico medio radioir

ikd

2

1

0

0

1

2212222

2111111

21

21

21

Ig

Ig

Ic

Ib

Ia

zzzzz

zzzzz

zzzzz

zzzzz

zzzzz

Vcc

Vbb

Vaa

l

ggggcgbgag

ggggcgbgag

cgcgcccbca

bgbgbcbbba

agagacabaa

l

l

l

Eliminación de (los) cables de guardia, variando el caso anterior suponiendo dos cables deguardia:

[Vabc-Vabcl]z00 z0n

zn0 znn

Iabc

Ig

Produce:

IabczzzzVabcVabc

IabczzzIabczVabcVabc

IabczzIg

Ig

IgzIabcz

IgzIabczVabcVabc

nnnnl

nnnnl

nnn

nnn

nl

:ecuación primera la en dosustituyen

:eliminar podemos donde De

0

01

000

01

000

01

0

000

[0]

[zabc]

1 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, a los efectos de los cálculos se usará el GMR (radio medio geométrico) equivalente, estos están dados por:

Consideración adicional:

Matriz impedancia de fase

4 3

3 2

* 09.1 :oressubconduct 4

* :oressubconduct 3

* :oressubconduct 2

drGMR

drGMR

drGMR

ii

ii

ii

Siendo ri el radio medio geométrico de los subconuctores (dado por el fabricante) y d la separación entre los mismos.

Función zser:

Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión:

Argumentos de entrada:• Matriz coordenadas de los conductores y cables de guardia en m (estos al final).• Vector datos del conductor: radio en mm, resistencia en /km, nro. subconductores y separación en cm, radio interno en mm (solo para efecto skin).• Vector datos del cable de guardia: radio en mm, resistencia en /km radio interno en mm (solo para efecto skin).• Resistividad del terreno .m.• Frecuencia en Hz.

Argumentos de salida, matrices de impedancia en Ohmios:• Secuencia• Traspuesta• Fases• Conductores y cables de guardia (antes de la eliminación de Ig).

. .

29m

20m

10m

7m

=100 .m

Conductor:radio (GMR)= 15.19 mmResis. = 0.0234 /kmHaz de 3 subconductores separados 40cm

Cable de guardia:radio (GMR)= 4.75 mmResis. = 3.75 /km

Datos de entrada para la función:

xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29];datc=[15.19 0.0234 3 40];datn=[4.75 3.75];ro=100;f=60;

[z012,zt,zabc,z]= zser(xy,datc,datn,ro,f)

Matriz de impedancia traspuesta

A

B

C

i

k

m

m

i

k

k

m

i

La impedancia traspuesta está dada por:

]][[][ 1012 AZAZ t

Donde la matriz [A] vale :

2

2

1

1

111

][

aa

aaA Siendo: 1201a

)(3

1

)(3

1:Donde

3

1

imkmikm

mmkkiis

smm

msm

mms

t

iiimik

mimmmk

kikmkk

kkkikm

ikiiim

mkmimm

mmmkmi

kmkkki

imikii

t

zzzz

zzzz

zzz

zzz

zzz

Z

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

Z

La línea de transmisión en si es un elemento desequilibrado en un sistema de transporte debido a las distancias, y por lo tanto inductancias, no uniformesPara transformarlo en un elemento equilibrado se recurre a torres de transposiciónCon las mismas se logra que cada conductor a lo largo del recorrido de la línea pase por las tres fases estando en cada una de ellas los mismos kilómetros:

Matriz de impedancia de componentes de secuencia

a) Modelos

zx

yx yx Vr

Ir

Vs

Is I(x)

V(x+ x)

+

-

+

-

V(x)

I(x + x)

x x

l

+

-

+

-

Línea con parámetros distribuidos de largo l :

j

ee

xV

xVzy

xVyx

xIz

xVy

xxVyx

xIxxI

xxVxyxIxxI

xIz

xIzx

xVxxV

xIxzxVxxV

xx

:comoexpresar puede se npropagació de constante la donde AAV(x)

:es solución cuya 0)(dx

V(x)d

orden segun de ldiferencia ecuación siguiente la a llegamos zy haciendo )( dx

V(x)d

:)( por corriente la de derivada la dosustituyen d

)(d

dx

V(x)d

:tensión la Derivando

)( dx

dI(x)

: 0x para )( )()(

)( )()(

:corriente la Para

)( dx

dV(x)

0x límite el Tomando

)( )()(

)( )()(

21

22

2

22

2

2

2

Constante de atenuaciónConstante de fase

)cosh(D )(sinh1

C

)(sinh B )cosh(A

Donde

DC

BA

:matricial forma la en mosrepresenta lo si además ,)( y )( ,x Para

)cosh( )(sinh1

)(

)(sinh )cosh()(

:como reescribir pueden se ecuaciones las as,hyperbolic funciones las doReconocien

22

1)(

22)(

:terminos oreagrupand y doSustituyen

2

2

. Ay Aconstates las halladasser pueden condición esta conIr yVr 0,x Para

como conocida :siendo

)(1

)(

)(d

)(d1)(

: corriente la Para

2

1

21

21

21

llZc

lZcl

Ir

Vr

Is

Vs

IslIVslVl

IrxVrxZc

xI

IrxZcVrxxV

Iree

Vree

ZcxI

Iree

ZcVree

xV

ZcIrVrA

ZcIrVrA

I(x)V(x)

stica caracteríimpedanciay

zZc

eAeAZc

xI

eAeAzx

xV

zxI

xxxx

xxxx

xx

xx

Dado el siguiente modelo :

Z

Y/2

Ir+

-

VrY/2

+

-

Vs

IzIs

:iarequivalenc de forma tal de Y e Zhallar entonces es idea La

2

14

1

:Vs y por dosustituyen ,2

:por dada está entrada de corriente La

2

1

:por dosustituyen ,

:entrada de tensión la y ,2

:por dada está serie rama la en corriente La

IrZY

VrZY

YIs

IzVsY

IzIs

IrZVrZY

Vs

IzZ IzVrVs

VrY

IrIz

2tanh

Zc

2Y

:a llegamos )sinh(

1)(cosh

2tanh identidad la usando )h(cos

2

ZY1

y )sinh(

:Haciendo

l

l

lll

lZcZ

Ir

VrZY

ZY

Is

Vs

21

4

ZY1

Z2

1

Ir

VrZY

ZY

Is

Vs

21

4

ZY1

Z2

1

Ir

Vrll

Zc

ll

Is

Vs

).cosh().(sinh1

).(Zc.sinh).cosh(

Recapitulando:

Dado los parámetros z e y de una línea de transmisión se puede relacionar la corrientey tensión de salida con la corriente y tensión de entrada mediante la expresión:

km en long. ,zy , y

zZc

:Siendo

)cosh(D )(sinh1

C

)(sinh B )cosh(A

Donde

DC

BA o

DC

BA-1

l

llZc

lZcl

Is

Vs

Ir

Vr

Ir

Vr

Is

Vs

Además la línea se puede representar por el siguiente modelo :

Ir+

-

Vr

+

-

Vs

IsZ=Zc sinh ( l)

2tanh

Zc

1

2

lY

2tanh

Zc

1

2

lY