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Tema 1 Los números

Tema 2 Los números con decimales

Tema 3 El metro: una recta con números

Tema 4 Números ordinales y romanos

Los números

Un

idad

IU

nid

ad I En esta unidad usted aprenderá a:

• Leer y escribir los números que se usan paraexpresar cantidades.

• Conocer los números, para identificar lascantidades y precios de lo que necesita para suhogar.

• Leer los precios, para tener una mejor idea delo que valen las cosas que va a comprar yhacer el presupuesto de su gasto.

• Saber si paga lo justo y a darse cuenta si elcambio que le dan es el correcto.

• Elegir el lugar en donde venden más baratoslos productos que necesita.

Para estudiar esta unidad usted necesita:• Saber leer, escribir y contar un poco.

Aritmética

4

Tema 1 Los números

Unidad I

Doña Rosita llevó a su niño al centro de salud porque tenía gripe y mucha tos; peroese día no alcanzó ficha para la consulta, porque había mucha gente.Cuando doña Rosita hacía el quehacer de su casa, al recoger el periódico, le llamósu atención una noticia sobre el aumento en los padecimientos respiratorioscausados por la contaminación y el abuso de antibióticos. En particular, se interesóen la siguiente nota:

Las cantidades le parecieron tan grandes a doña Rosita que no supo cómo leerlas,ni comprender su relación con el aumento en los padecimientos respiratorios.

“Tan sólo en un año, las consultas de salud por malestaresrespiratorios y alérgicos pasaron de 5,665,000 a 6,833,000.Según el registro del Sistema Nacional de VigilanciaEpidemiológica”.

5

Unidad I: Los números

Por la tarde, visitó a su comadre Lucero, para ver si ella podría explicarle elsignificado de esos números.

La señora Lucero le explicó que la cantidad

Esta cifra representa el número de consultas que se hacían en un año a personas conmalestares respiratorios. Pero ahora, debido al agravamiento de los problemas decontaminación y al abuso de antibióticos, el número de consultas por padecimientosrespiratorios aumentó a

Lo que quiere decir que en el último año,el número de consultas había aumentadoen más de un millón de casos, provocadospor los problemas de contaminación y elabuso de antibióticos.

5 , 6 6 5 , 0 0 0

se lee: cinco millones seiscientos sesenta y cinco mil

Para entender mejor los números, la señora Lucero continuó explicándole a doñaRosita que todos los números se forman a partir de los dígitos:

6 , 8 8 3 , 0 0 0

se lee: seis millones ochocientos ochenta y tres mil

Hasta entonces, doña Rosita comprendió por qué había tanta gente en el centro desalud y, sobre todo, la importancia de apoyar las medidas contra la contaminación.

0cero

1uno

2dos

3tres

4cuatro

5cinco

6seis

7siete

8ocho

9nueve

Aritmética

6

El 0 (cero) es un número especial que representa “nada”, pero cuando contamoscon los dedos de las manos y llegamos al 10 (diez), podemos observar que el 10 esdiferente de los 9 primeros números.

Estos números son los que denominamos dígitos, porque corresponden a cadauno de los dedos de la mano.

Para no confundirnos al manejar los números, es necesario fijarse en el lugarque ocupan.

Por ejemplo, el 10 se forma con dos dígitos: el 1 y el 0, y significa una decena.Es como cuando cambiamos diez monedas de 1 peso por una moneda de 10 pesos.

De la misma manera, el 20 (veinte) se forma con el 2 y el 0, y significa dos decenas;el 30 (treinta) se forma con el 3 y el 0, y significa tres decenas; y así hasta el 90(noventa) que significa nueve decenas.

$1

$1

$1

$1

$1

$1

$1

$1

$1

$1

= $10

7


Entonces, el número 47tiene 4 decenas y 7 unidades.

Se lee: cuarenta y siete.

En todo número entero, el dígito de la derecha es el dígito de las unidades,porque con él se cuenta de uno en uno. El siguiente dígito que va a la izquierda delas unidades, es el dígito de las decenas, porque con él se cuenta de diez en diez.Por ejemplo, en el número 47 el dígito de las unidades es el 7 y el dígito de lasdecenas es el 4. Es como si se tuvieran siete monedas de 1 peso y 4 monedas de10 pesos.

Observe que para leer un número se empieza de izquierdaa derecha, de acuerdo con el valor que tiene cada uno desus dígitos, según el lugar o posición que ocupan.

dece

nas

unid

ades

4 7Vale 7 unidades: 7 veces 1 = 7Vale 4 decenas: 4 veces 10 = 40

Así se leen y escriben los números enteros:

diez

once

doce

trece

catorce

quince

diez y seis

diez y siete

diez y ocho

diez y nueve

veinte

veintiuno

veintidós

veintitrés

veinticuatro

veinticinco

veintiséis

veintisiete

veintiocho

veintinueve

treinta

treinta y uno

treinta y dos

cuarenta

cincuenta

sesenta

setenta

ochenta

noventa

noventa y tres

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

40

50

60

70

80

90

93

Aritmética

8

Observe que del 1 al 15 los números se escriben con una sola palabra. A partirdel 16 (diez y seis) los números se escriben con una o más palabras, y según laposición de sus dígitos.

Ejemplos

Se lee: ochenta.

Ejercicios

En su cuaderno, señale el valor de los dígitos de los siguientes números y luegoescríbalos con letras, como se muestra en los ejemplos de arriba.

91, 14, 69, 25, 78, 30, 39, 26, 18.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

5 5

dece

nas

unid

ades

Vale 5 unidades: 5 veces 1 = 5

Vale 5 decenas: 5 veces 10 = 50

Recuerde que las unidades se cuentan de uno en uno y las decenasnos dicen cuántos grupos de 10 hay.

Se lee: cincuenta y cinco.

dece

nas

unid

ades



8 0

9


Veamos ahora números con tres dígitosAsí como diez unidades forman una decena, diez decenas forman una centena.Es como cuando cambiamos diez monedas de 10 pesos por un billete de 100 pesos.

En un número de tres dígitos podemos contar tantas centenas o cientos según elnúmero del tercer dígito (el dígito a la izquierda de las decenas).

Recuerde que la lectura de un número se hace de izquierda a derecha, y deacuerdo con el valor que tiene cada uno de sus digitos, según la posición queocupan (el cero no se lee).

El número en la posición de las centenas se lee en cientos, y después se dicen losnúmeros que le siguen.

Ejemplos

Ejemplo. El número 534 contiene 5 centenas, 3 decenas y 4 unidades.

Se lee: quinientos treinta y cuatro.

unid

ades

dece

nas

cent

enas

Vale 4 unidades: 4 veces 1 = 4Vale 3 decenas: 3 veces 10 = 30Vale 5 centenas: 5 veces 100 = 500

Se lee: doscientos treinta y ocho.

unid

ades

dece

nas

cent

enas

Vale 8 unidades: 8 veces 1 = 8Vale 3 decenas: 3 veces 10 = 30Vale 2 centenas: 2 veces 100 = 200

2 3 8

11 0

1 0 05 3 4

Aritmética

10

EjerciciosRecuerde cómo se escriben los números enteros de 3 dígitos.

En su cuaderno, señale el valor de los dígitos de los siguientes números, y luegoescríbalos con letra, como en los ejemplos.

233, 788, 545, 879, 967, 108, 115.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Recuerde que las centenas nos indican los cientos o grupos de 100.

100 cien 600 seiscientos

200 ________ ___ seiscientos sesenta

300 trescientos 700 setecientos

___ cuatrocientos 800 ochocientos

500 ________ 820 ________

___ quinientos cincuenta 900 novecientos

Se lee: setecientos veinte. (El cero en la posición de las unidades no se lee.)

unid

ades

dece

nas

cent

enas



Vale 7 centenas: 7 veces 100 = 700

7 2 0

11


Observe que el valor que tiene una posición, es diez veces el valor de la siguienteposición a su derecha.

Así por ejemplo, si leemos el número 3,816, tenemos que el 3 ocupa la posición delas unidades de millar y, por tanto, vale 3 mil; mientras que el 3, en el número9,345 ocupa la posición de las centenas, por lo que sólo vale 3 cientos.

Los millares o miles

Así como 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman un millar o mil.Es como si tuvieramos diez billetes de 100 pesos, lo que equivale a mil pesos.

Un número con cuatro dígitos significa que podemos contar las unidades demillar, 1,000 (mil). Las decenas de millar se pueden contar con números de cincodígitos, 10,000 (diez mil); y las centenas de millar, con números de 6 dígitos,100,000 (cien mil).

Ejemplo 1. El número 9,345 contiene 9 unidades de millar, 3 centenas, 4 decenasy 5 unidades.

Se lee: nueve mil trescientos cuarenta y cinco.

11 0

1 0 01 , 0 0 0

1 0 , 0 0 01 0 0 , 0 0 0

9 , 3 4 5

unodiezcienmildiez milcien mil

cent

enas

de

mill

ar

dece

nas

de m

illar

unid

ades

de

mill

ar

cent

enas

dece

nas

unid

ades

Vale 5 unidades: 5 veces 1 = 5Vale 4 decenas: 4 veces 10 = 40Vale 3 centenas: 3 veces 100 = 300Vale 9 millares: 9 veces 1,000 = 9,000

Aritmética

12

Se escribe así 43,797 435605,940 3,281 27,412731,654

Se lee asícuarenta y tres mil setecientos noventa y sietecuatrocientos treinta y cincoseiscientos cinco mil novecientos cuarentatres mil doscientos ochenta y unoveintisiete mil cuatrocientos docesetecientos treinta y un mil seiscientos cincuenta y cuatro

Ejemplo 2. El valor de los dígitos en el número 49,281 se determina así:

El 1 ocupa la posición de las unidades y vale: 1 vez 1 = 1El 8 ocupa la posición de las decenas y vale: 8 veces 10 = 80El 2 ocupa la posición de las centenas y vale: 2 veces 100 = 200El 9 ocupa la posición de las unidades de millar y vale: 9 veces 1,000 = 9,000El 4 ocupa la posición de las decenas de millar y vale: 4 veces 10,000 = 40,000

Se lee: cuarenta y nueve mil doscientos ochenta y uno.

El valor de los dígitos, según su posición, sirve para leer el número yescribirlo con palabras. Para leer los números, se deben separar dederecha a izquierda, en grupos de tres, utilizando una coma (,) parasepararlos. Cada grupo contiene unidades, decenas y centenas.

Los números se leen siempre de izquierda a derecha, diciendo primeroel valor de las centenas de millar, luego el valor de las decenas y uni-dades de millar seguidas del término mil. Enseguida se leen las cente-nas, decenas y unidades del mismo modo. Recuerde que los ceros no seleen.

cent

enas

de

mill

arde

cena

s de

mill

arun

idad

es d

e m

illar

cent

enas

dece

nas

unid

ades

4 9, 2 8 1

13


Ejemplo 3. Determine el valor que tienen los dígitos, según su posición en elnúmero 749,326.

Se lee: setecientos cuarenta y nueve mil trescientos veintiséis

7 4 9 , 3 2 6

7 4 9 , 3 2 6

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Ejercicios

Señale el valor de los dígitos de los siguientes números y luego escríbalos conletra, como se muestra en el ejemplo.

115,211 ciento quince mil doscientos once

989,050 __________________________________________________

801,500 __________________________________________________

629,239 __________________________________________________

63,410 __________________________________________________

1,349 __________________________________________________


Vale 2 decena: 2 veces 10 = 20

Vale 3 centenas: 3 veces 100 = 300

Vale 9 unidades de millares: 9 veces 1,000 = 7,000

Vale 4 decenas de millar: 4 veces 10,000 = 40,000

Vale 7 centenas de millar: 7 veces 100,000 = 700,000

Aritmética

14

El grupo de los millonesLos números en el grupo de los millones tienen siete, ocho y nueve dígitos (las unidadesde millón, las decenas de millón y las centenas de millón).Así como mil unidades forman una unidad de millar, mil unidades de millar formanuna unidad de millón. En dinero, un millón de pesos es como si tuviéramos mil vecesmil pesos.Ejemplo

En la pág. 4 se dice que el número al que se elevaron las consultas de salud pormalestares respiratorios y alérgicos en el último año es 6 833 000.

Primero, se separaron sus dígitos en grupos de tres, por medio de comas, dederecha a izquierda :

Luego, se observa qué valor tiene cada dígito, según la posición que ocupa en elnúmero. Cada posición o lugar tiene un valor diferente. En la tabla de abajo sedan los valores de los dígitos, según el lugar o la posición que ocupan en el número.Observe el dibujo siguiente.

Entonces se lee: seis millones ochocientos treinta y tres mil.

La lectura se hace de izquierda a derecha, en grupos de tres en tres. En cadacoma se dice el nombre del grupo de los dígitos separados por la coma. Los cerosno se leen.

6 , 8 3 3 , 0 0 0

11 0

1 0 01 , 0 0 0

1 0 , 0 0 01 0 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0 , 0 0 01 0 , 0 0 0 , 0 0 0

1 0 0 , 0 0 0 , 0 0 06 , 8 3 3 , 0 0 0

unodiezcienmildiez milcien milun millóndiez millonescien millones

unid

ades

cent

enas

de

mill

ar

dece

nas

de m

illar

unid

ades

de

mill

ar

cent

enas

dece

nas

dece

nas

de m

illón

unid

ades

de

mill

ón

cent

enas

de

mill

ón

15


Ejercicios

Escriba con letra los siguientes números (consulte en la tabla el valor de losdígitos según su posición, para verificar su escritura).

5,665,000 cinco millones seiscientos sesenta y cinco mil

15,213,947 _________________________________________________

48,730,015 ________________________________________________

120,042,321 ________________________________________________

554,377,890 ________________________________________________

35,000,000 ________________________________________________

1,327,408 ________________________________________________

Por ejemplo, en el número tres millones cuatrocientos cinco mil doscientos,observe que no hay decenas de millar, tampoco hay decenas ni unidades;por tanto, estos lugares deben llenarse con ceros:

3 , 4 0 5 , 2 0 0

Ejercicios

Escriba con cifras los siguientes números.

Nueve mil veinticuatro _ , _ _ _.Siete millones veintitrés mil cuarenta _ , _ _ _ , _ _ _.Quinientos veinte mil nueve _ _ _ , _ _ _.Setenta mil trescientos quince _ _ , _ _ _.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Para escribir en cifras un número que está escrito en palabras, hay quetener cuidado de anotar los ceros en los lugares correspondientes

Aritmética

16

Tema 2 Los números decimales

Unidad I

Doña Rosita ha notado que ahora las ofertas del supermercado y los preciosde las mercancías en el tianguis de los jueves, se anuncian cada vez con mayorfrecuencia en pesos y centavos.

Doña Rosita piensa que como los precios suben y suben, y el gasto es siempre elmismo, ahora hay que fijarse bien en los centavos.

Su comadre, la señora Lucero, le dice que, para no confundir los pesos con loscentavos, hay que tener cuidado del punto decimal y del lugar que ocupan los dígitosque van a su derecha.

La señora Lucero continúa explicando que, con frecuencia usamos los númerosdecimales cuando manejamos dinero con pesos y centavos, y cuando pesamoscosas que se pasan o no llegan al kilo.

17


Por ejemplo, si un peso tiene 100 centavos, entonces al indicar $0.50(cincuenta centavos) se trata de un decimal, y representa 50 partes de las 100partes iguales (centavos) en la que se divide un peso.

$0.50 = 50 centavos

Así entonces, $2.25 significa dos pesos con 25 centavos (25 partes de las 100partes de un peso).

De igual forma, 0.250 kg representa 250 partes de las 1,000 partes que comprendenun kilogramo, es decir, 250 gramos, como se observa en la figura.

El punto decimal separa los enteros de los decimales.

La primera posición, o lugar de los décimos, significa que la unidad se hadividido entre 10.

1 unidad = 10 décimos

Cada posición o lugar a la derecha del punto decimal, indicael número de partes en las que se ha dividido la unidad, y paranombrarlo se toma en cuenta la última posición.

0

0.5

0.10

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.10

0

1 peso = 100 centavos

0.25

0

0.50

0.10

0

0.250 kg = 250 gramos

0.15

0

0.20

0

0.25

0

0.30

0

0.35

0

0.40

0

0.45

0

0.50

0

0.55

0

0.60

0

0.65

0

0.70

0

0.75

0

0.80

0

0.85

0

0.90

0

0.95

0

0.10

00

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1.0

Aritmética

18

centenas de millón:decenas de millón:unidades de millón:centenas de millar:decenas de millar:unidades de millar:centenas:decenas:unidades:

décimoscentésimosmilésimos

La tercera posición, o lugar de los milésimos, significa que la unidad se ha divididoentre 1,000.

Como puede observar, cada vez que se pasa a la siguiente posición a la derecha,el número de partes (o fracciones) en las que se divide la unidad es diez vecesmás pequeña. Por lo regular, se utilizan hasta milésimos.

Recuerde que, así como los enteros indican en su posición 10, 100, 1,000, 10,000veces, los decimales indican el número de partes en que se ha dividido la unidad,es decir, 10, 100 ó 1,000 partes (décimos, centésimos o milésimos).

La segunda posición, o lugar de los centésimos, significa que la unidad se ha divididoentre 100.

1 unidad = 100 centésimos

1 unidad = 1,000 milésimos

100,000,000. 0010,000,000. 00

1,000,000. 00100,000. 00

10,000. 001,000. 00

100. 0010. 00

1. 00

0.1000.0100.001

•

Dec

imal

es

punt

o de

cim

al

VALOR POSICIONAL

0 0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.300

0.900

0 0.100

0.200

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

1.000

Núm

eros

ent

eros

19


Para leer los decimales de un número, hay que tomar en cuenta los lugares a laderecha del punto decimal.

Así entonces, en el precio de una naranjada de $5.20, el decimal tiene dos lugares,es decir, se trata de centésimos; el dígito 2 significa 20 partes de 100 (20 centésimoso centavos) en las que se divide la unidad. Para comprenderlo mejor observe lasiguiente ilustración.

Como en este caso estamos hablando de fracciones de kilo, entonces se dice queel queso pesa setecientos cincuenta y tres gramos.

753 partes de 1,000

Como en este caso se trata de un número con un entero y un decimal, es $5.20

Primero se lee el entero y luego el decimal; es decir, cinco y veinte centésimos.

Como se trata de un precio en pesos y centavos, entonces decimos, cinco pesoscon veinte centavos.

Si nos referimos al peso de una barra de queso y la báscula nos indica 0.753 kg,entonces el decimal se refiere a los milésimos, porque tiene tres lugares. Por lotanto, se lee 753 milésimos y se representa como sigue:

0 0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

0.050

0.150

0.250

0.350

0.450

0.550

0.650

0.750

0.850

0.950

0.7530 0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.80

0.90

1.00

0.700.20

Aritmética

20

Si ahora medimos la estatura de Juanque es de 1.75 metros, entonces nos damoscuenta de que el decimal ocupa dos lugares.Por lo tanto, se trata de 75 centésimos.

Como en 1.75 tenemos enteros y decimales,la lectura que hacemos es uno con setentay cinco centésimos.

Pero como en este caso se trata de metros,entonces decimos un metro con 75 centímetros.

Ejercicios

Complete con palabras los siguientes números.

Observe que los ceros a la derecha de un decimal no alteran su valor; así porejemplo, 0.5 es igual a 0.50 ó 0.500, todos tienen el mismo valor. En los tresdecimales, el 5 ocupa el mismo lugar, el lugar de los décimos.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

cinco décimos

siete _________________________

veinticinco ____________________

dos y veinticinco _________________

quince y siete __________________

0.5

0.07

0.025

2.25

15.07

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1.0

cinco décimos

21


Ejercicios

1. Complete la siguiente lista de precios, anotando con números o letras lo quefalta.

Precio

$18.80

$ 3.20

$ 2.90

$ 3.90

$ 6.00

$12.20

$ 4.20

Precio en palabras

dieciocho pesos y ochenta centavos

tres pesos y _____________

tres pesos y diez centavos

tres pesos y veinte centavos

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

00.

10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90 1.0

0

cincuenta centécimos

0

0.10

0

0.20

0

0.30

0

0.40

0

0.50

0

0.60

0

0.70

0

0.80

0

0.90

0

1.000

quinientos milésimos

0.5 = 0.50 = 0.500

Producto

fresa

papaya

naranja

piña

cebolla

chile

plátano

manzana

tomate

Aritmética

22

2. Escriba con letra los siguientes números:0018.007 __________________________________________________000.25 __________________________________________________00 7.02 __________________________________________________605.03 __________________________________________________301.109 __________________________________________________ 010.9 __________________________________________________

3. Escriba con cifras los siguientes números:

____________________ ciento tres mil y veintiún centésimos____________________ cinco milésimos____________________ trescientos y nueve milésimos____________________ seiscientos cinco y trescientos veinticinco milésimos

Problemas

1. Anita fue al tianguis y vio que las mercancías tenían distintos letreros quedicen el precio o valor de las mercancías; los letreros eran como los que se venen la ilustración.

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23


Precio por kilo con letra

nueve pesos y setenta y cinco centavos

Aguacate, $9.75 el kilo; naranja, $2.50 el kilo; jitomate, $3.90 el kilo; chile poblano,$12.60 el kilo; calabaza, $4.50 el kilo; chiles verdes, $10.75 el kilo.

Lista de precios

Conceptoaguacate

Precio por kilo con número

$9.75

¿Podría usted ayudar a Anita, basándose en la ilustración anterior, a hacer una listade precios en el recuadro de abajo?

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Aritmética

24

Los recibos

A la señora Aurora, al pagar la cuota en la escuela de su hijo, le entregaronun recibo que tenía anotada la cantidad que pagó: $325.80. El recibo tenía un talóncon los mismos datos como se muestra abajo que se queda en la escuela, y elrecibo, que es para ella, es su comprobante de pago.

Compruebe que tanto el talón como el recibo contengan los mismos datos.

Recibo

Talón de recibo

25


Ejercicios

1. ¿Podría usted llenar a nombre de doña Adriana Solís el talón y el recibo que sigue,con la cantidad de $1,800.00, por concepto de renta?

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Recibo

Talón de recibo

Recuerde que tanto el talón como elrecibo deben tener los mismos datos.

Aritmética

26

Fernando fue al módulo del IFE a solicitar un duplicado de la credencial deelector porque se le perdió. El encargado le llenó una solicitud en donde anotó elnúmero de folio 60580303 y la clave de elector LPLPFR74021409H300 que lecorresponde, y se lo entregó diciéndole que no lo fuera a perder, pues cuandole entreguen su nueva credencial a los 15 días, con esa solicitud debe verificarque sean los mismos datos.

Abajo, le presentamos la nueva credencial de elector de Fernando.¿Podría usted ayudarle a verificar si los datos del comprobante son los mismos queen la credencial?

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Ejercicio

1. ¿Podría usted, en el siguiente espacio, anotar el número de folio y clave de

elector, de su credencial de elector?

Número

FOLIO

CLAVE DE ELECTOR

27


Unidad I

Doña Rosita necesita 2.10 m (dos metros y diez centímetros) de tela para haceruna falda que vio en una revista. Casualmente en la tienda anunciaron la venta desaldos a precios de remate. Doña Rosita fue a la tienda para aprovechar la ofertay allí encontró los siguientes cortes:

Verde 2.10 mAzul 1.20 mRojo 2.50 mBlanco 2.25 mFloreado 2.05 mAmarillo 1.87 m

Ahora ella quiere saber cuáles son los cortes que le podrían servir para hacer lafalda y así escoger uno. Para no equivocarse, doña Rosita ordenó los cortes delmenor al mayor, como se observa a continuación.

Tema 3 El metro: una recta con números

Aritmética

28

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

Rojo

Blanco

Floreado

Amarillo

Verde

Azul

29


Con lo anterior, doña Rosita sabe quede todos los lienzos sólo le sirven tres:el verde que mide 2.10 m, el blanco quemide 2.25 m y el rojo que mide 2.50 m.

Como se pudo observar, doña Rosita usóuna cinta métrica, como la que vienecon este libro, para medir los lienzos ysaber cuánto miden.

La cinta métrica, cuando se coloca en línea recta, nos puede servir para medir,como hizo con los lienzos doña Rosita. También nos podría ayudar para saber cuántomiden dos lienzos, uno después del otro:

Lienzo azul Lienzo verde

Con la cinta colocada en línea recta se puede saber que el lienzo azul unido allienzo verde miden, entre los dos, 3.30 m.

1.20 2.10

0 100 150 200 2505010 20 30 40 60 70 80 90 110 120 130 140 160 170 180 190 210 220 230 240 260 270

280290

Observe que en su cinta métrica se tiene un conjunto de números que va en ordendesde el “cero” hasta el 100 ó más. Hay cintas métricas de 1.0 m, 2 m, 3 m, 5 m, 10m, 15 m, y hasta de 25 m.

100500 200 30050 50 5010 20 30 40 60 70 80 90 10 20 30 40 60 70 80 90 10 20 30 40 60 70 80 90 10 20 30 40 60

cm

70

Aritmética

30

Igual

Para mostrar o decir que algo es igual a una cantidad, como el lienzo verde quemide 2.10 m, se utiliza el signo

Para indicar que un número es "mayor que"o "menor que" otro, se usan los signos

Parecen puntas de flecha. Para que funcionen, las patitas abiertas deben estarjunto al número grande y la punta junto al número chico.

Los números que se sitúan a la derecha son siempre mayores que los de la izquierda.

Así, se puede observar en la recta con números de arriba que el 2 es mayor que el1 y el 0, porque está a la derecha de los dos, y que el 4 es mayor que 3, 2, 1 y 0,porque está a la derecha.

También observamos en esa línea con números que el 2 es menor que 3, 4 y 5,porque está a la izquierda de esos números.

Para señalar que un número es mayor, menor o igual que otro, se utilizan unos signoscomo los siguientes.

El 3 esta a la izquierda del 5, por lo que el 3 es menor que el 5.

0 1 2 3 4 5 6

Números menores Números mayores

" > " o " < "

0 1 2 3 4 5 6

Así, se puede decir que, el lienzo verde = 2.10 m, o que, el azul = 1.20 m, o que, lapuerta de mi casa tiene una altura = 2.20 m.

" = "

Observe usted:

3 < 5, esto quiere decir que 3 es menor que 5.Compruébelo usted mismo en la siguiente recta con números:

31


Si comparamos el lienzo rojo con el blanco, observamos que el 2.5 m del rojoestá a la derecha del 2.25 m del lienzo blanco en la recta con números, por lo queel rojo es mayor que el blanco:

Flor

eado

Observe que el 5 está a la derecha del 3, por lo que también se puede decir queel 5 es mayor que el 3: 5 > 3.

Si en una recta con números señalamos los largos de los lienzos de doñaRosita, se puede observar cuáles son más largos:

Al observar lo anterior, se puede decir que el lienzo rojo es el mayor de todos, loque se comprueba cuando analizamos sus medidas:

Azul = 1.20 mAmarillo = 1.87 mFloreado = 2.05 mBlanco = 2.25 mVerde = 2.10 mRojo = 2.50 m

Recuerde que las patitas abiertas siempre estánjunto al número grande y la punta junto al menor.

Azu

l

Blan

coVerd

e

Amar

illo

Rojo

0 100 2005010 20 30 40 70 80 9060 10 20 30 40

50 5060 70 80 90 10 20 30 40 9060 70 80

2.50 m > 2.25 m"mayor que"

Se lee: 2.50 metros es mayor que 2.25 metros.

Observe cómo estamosusando el signo "=".

Aritmética

32

También el corte blanco que mide 2.25 m es mayor que 2.10 m:

También se podría poner:

2.25 m < 2.50 m

"menor que"

Se lee: 2.25 metros es menor que 2.50 metros.Lo que también es verdadero.

Observe la recta con números y note que 2.25 está a la izquierda de 2.50.

La longitud del corte rojo "es mayor que" los 2.10 metros que necesita

Sin embargo, el corte floreado quemide 2.05 m es menor que 2.10 m: 2.05 < 2.10

“es menor que”

También el corte amarillo y el azul son menores que 2.10 m:1.87 < 2.101.20 < 2.10

El corte verde es igual a 2.10 m:

2.10 = 2.10

“es igual a”

Si recordamos que doña Rosita necesitaba para su falda 2.10 m, y analizamoslos cortes que son mayores que esta cantidad, nos damos cuenta que el corterojo es el más largo de todos y es mayor que 2.10 m:

2.50 > 2.10

2.25 > 2.10

"es mayor que"

33


Ejemplo: (8 y 16) 8 < 16

(13 y 27) (2 y 25) (28 y 7) (2 y 20)

(14 y 23) (18 y 0) (5 y 1) (10 y 19)

Ejercicios

1. En la cinta para medir que viene con este libro, localice los números del 0 al 30;sitúe en ella los siguientes pares de números e indique con los signos >, <, de lossiguientes pares de números.

Con base en este análisis, doña Rosita sabe que sólo los cortes rojo, blanco yverde le podrían servir para hacer la falda.

También se da cuenta que el corte verde da justo lo que se necesita:2.10 m = 2.10 m

Longitud del corte verde Cantidad de tela que se necesita para la falda

3. Don Pedro y su esposa tienen más o menos la misma estatura, pero don Pedrose ve más delgado que su esposa. Don Pedro pesa 76 kg y su esposa pesa 73 kg.¿Quién de los dos pesa menos?

4. En la siguiente recta numérica, ordene los números 2, 23, 16, 7, 34, 44, 31, 1, 9 y 17.

Recuerde que cuando necesitamoscomparar los números,empleamos tres signos que son:

> mayor que< menor que= igual que

0 5 10 15 20

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○0 5 10 20 25 30 35 4015 45

2. En la recta numérica de abajo, marque con un punto (.) los números: 4, 12, 1, 18.Después, ordénelos de mayor a menor.

Aritmética

34

Una recta con números también nos ayuda a comprender cómo se puede contar de2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etcétera.

Observe cómo una recta con números puede ser construida con una serie denúmeros que vayan aumentando de 2 en 2, de 3 en 3, o según convenga.

Recta con números de 3 en 3:



También se podría formar una recta con números de 50 en 50, que inicie enel 250. Observe:

Cuando se va aumentando consecutivamente una cantidad a un número, se formauna serie. Por ejemplo, la serie de números que se forman de 2 en 2 hasta el 20es la siguiente:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Una serie puede iniciar en un número determinado y terminar en otro. Por ejemplo,la serie de los números de 3 en 3 que iniciaron en el 11 y terminaron en el 29:

11, 14, 17, 20, 23, 26, 29Por lo regular, las series nos sirven para contar rápido y con menos esfuerzo.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 etcétera

0 3 6 9 12 15 18 21 24 etcétera

0 4 8 12 16 20 24 28 32 etcétera

0 5 10 15 20 25 30 35 40 etcétera

250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

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Problemas

1. La señora Amalia compró 60 naranjas en elmercado para hacer el jugo del desayuno. Parano ir contando las naranjas una por una lasfue contando de 5 en 5.¿Podría usted ayudarle a contar para verificarque están completas las 60 naranjas?

¿Podría usted ayudar a la señora Amalia a completar las siguientes series?

a) Si va de 3 en 3 y empieza en el 13: 13, ____, ___, ___, ___, 28b) Si va de 7 en 7 y empieza en el 27: 27, 34, ____, ___, ___, ___, 69c) Si va de 5 en 5 y empieza en el 63: 63, 68, ____, ___, ___, 88, ___d) Si va de 9 en 9 y empieza en el 48: 48, ____, ___, ___, ___, 93e) Si va de ___ en ___ y empieza en el 75: 75, 77, ____, 81, ___, 85, 87f) Si va de 10 en 10 y empieza en el 30: 30, ____, ___, ___, ___, 80

2. Al hijo de la señora Bertha, el doctor lerecomendó que se aplicara 1 inyección de vitaminascada 3er día y regresara a consulta al finalizarel tratamiento de 8 inyecciones. Si empezó eldía 3 de abril, ¿podría usted ayudarle a sabercuándo se debe aplicar las otras inyeccionespara regresar a consulta?

3, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___ de abril

3. La señora Delia, que ayuda en la cooperativa de la escuela, sabe que es muchamorralla la que se tiene que contar para entregar las cuentas. Para facilitar esto,hace montones de $10 cada uno y cuenta de 10 en 10. ¿Podría usted ayudar a laseñora Delia a saber cuánto debe entregar, si hizo tres montones y le sobraron3 pesos?

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Si va de 5 en 5, cuenta así:5, 10, ___, ___, ___, 30, ___, ___, ___, ___, ___, 60.

AbrilD

5121926

L

6132027

M

7142128

M18

152229

J29

162330

V3

101724

S4111825

Aritmética

36

Unidad ITema 4 Números ordinales y números romanos

La señora Lupe, al organizar los papeles de importancia de su hijo, encontró lasboletas de 1°, 2°, 3° y 5° año de la escuela, y se dio cuenta que faltaban las de 4°y 6° año. Para localizarlas, primero buscó en la misma caja, después en otra yhasta la tercera caja de papeles las encontró.

Fue tan grande el susto que se llevó que le hizo recordar lo conveniente de tenerlos papeles importantes en orden.

Los números que vio se escriben y se leen así:

primerosegundotercerocuartoquinto

sextoséptimooctavonovenodécimo

undécimoduodécimodecimotercerodecimocuartodecimoquinto

decimosextodecimoséptimodecimoctavodecimonovenovigésimo

10

20

30

40

50

160

170

180

190

200

110

120

130

140

150

60

70

80

90

100

37


A partir del número 21, se leen: vigésimo primero, vigésimo segundo, vigésimo terce-ro y así sucesivamente:

30º trigésimo 60º sexagésimo 90º nonagésimo40º cuadragésimo 70º septuagésimo 100º centésimo50º quincuagésimo 80º octagésimo

Después del número cien, los números ordinales prácticamente no se utilizan.

Ejercicios

1. Escriba en la línea el número ordinal, masculino o femenino según corresponda.

1 1ª persona 3 3er grupo 4 4º año2 ____ alumno 5 _____ mes 1 salón8 ____ pasajero 6 _____ autobús 7 _____ asiento5 ____ calle 4 _____ edificio 9 _____ piso3 ____ pago 2 _____ ocasión 5 _____ pagaré1 ____ lugar 3 _____ vez 6 _____ carrera

2. Escriba con letra los siguientes números ordinales.

12º duodécimo18º _____________________25º _____________________30º _____________________50º _____________________97º _____________________86º _____________________76º _____________________98º _____________________

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Estos números se llaman ordinales, porque son los que se utilizanpara ordenar los elementos de una serie y, además, nos dicen qué lugarocupan dentro de la serie. Toman el género de lo que estánordenando, a excepción del primero y el tercero, que cuando vanseguidos por nombres masculinos, por ejemplo, se dice primer o tercer,y se abrevian 1er (hombre) y 3er (hombre).

3. La señora Araceli está organizando una fiesta para festajar su decimosexto ani-versario de boda, por lo que mandó a hacer las invitaciones, dándose cuenta que alescribir ese número se ocupa mucho espacio, ¿podría usted ayudar a la señoraAraceli a escribir el número ordinal decimosexto?

Aritmética

38

Los números romanos

El número de esta unidad es I, es el número uno romano.Los números romanos se utilizan para señalar fechas de los aniversarios,inscripciones en monumentos,capítulos de los libros y las horasen carátulas de algunos relojes.

Los números romanos también seutilizan para nombrar los siglos ydistinguir los personajes del mismonombre; por ejemplo: siglo XX,Juan Pablo II, Luis XV, Carlos IV,Enrique VIII, etcétera.

Estos son los símbolos de los números romanos:

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

Con estos siete símbolos se pueden escribir todos los demás números romanos,como se explica a continuación.

C = 100

D = 500

M = 1,000

39


1. Los símbolos I, X o C escritos a la izquierda de una cifra mayor se restan (suvalor) a ésta para formar otro número.

Reglas de la numeración romana

1. Los símbolos del mismo valor, escritos uno enseguida de otro, se suman paraformar otro número, pero no deben repetirse más de tres veces seguidas.Los símbolos V, L y D, no se repiten nunca.

III = 2 XXX = 20 CCC = 200

III = 3 XXX = 30 CCC = 300

2. Toda cifra escrita a la derecha de una ciframayor se suma a ésta para formar otro número.

XV = 10 + 5 = 15 VII = 5 + 2 = 7

XIII = 10 + 3 = 13 VIII= 5 + 3 = 8

XII = 10 + 2 = 12 VI = 5 + 1 = 6

Recuerde que,I = 1 X = 10 C = 100Así, XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Recuerde que,V = 5

Así, por ejemplo, se tieneV III = 85 + 3 = 8

Recuerde que,I = 1, V = 5, X = 10,

C = 100, D = 500, M = 1,000Así, por ejemplo:

C M = 9001,000 - 100 = 900

IV = 5-1 = 4 XC = 100 - 10 = 90

IX = 10 – 1 = 9 CD = 500 - 100 = 400

XL = 50 – 10 = 40

40

2. Convierta y escriba los siguientes números en números romanos.a) 27 X X V I I d) 1, 492 ________

b) 38 _________ e) 973 _________

c) 169 _________ f) 427 _________

3. Convierta los siguientes números a números arábigos.a) León XXIII _____________________

b) Capítulo XVI _____________________

c) Siglo XVIII ______________________

Ejercicios

1. Anote el valor de los siguientes números.

a) C = _____________ c) XXXI = ____________

b) XX = ____________ d) DC = ______________

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○

○

Aritmética

V =X =

XV =XVII =XIX =XX =

XXIV =XXVIII =

XXX =XXXIX =

XL = 40XLIX = 49

L = 50LVIII = 58

LX = 60LXVI = 66LXX = 70

LXXX = 80XC = 90

XCIX = 99

C =CXL =

CL =CLX =CD =

CDXIX =DC =

DCCC =CM =

MCMXCIX =

Estos son algunos ejemplos de números romanos:

Analice cómo es que se forman.

5101517192024283039

1001401501604004196008009001,999

AutoevaluaciónUsted acaba de terminar la Unidad I de su libro de Números y cuentas para el hogar,del módulo Aritmética, en el cual estudió los siguientes temas: Los números; Númerosdecimales; El metro: una recta con números; y Números ordinales y romanos.

Para conocer lo que aprendió es importante que resuelva los siguientes ejercicios;utilize todo el material que considere necesario (libros, calculadora, revistas, etcétera).En seguida:1. Compare sus respuestas con la hoja de respuestas correctas.2. Cuente el número de aciertos que obtuvo.

Observe cuidadosamente el siguiente recibo de luz y conteste las preguntas utilizandolos datos del mismo. Los números del 1 al 5 que están a un lado de las flechas señalanla información que se le pide en las preguntas de la página siguiente.

1. Escriba con letra la cantidad de dinero que tiene que pagar la señora López por elconsumo de luz.

41

2

4

3

1

5

5. Ordene de menor a mayor las cantidades que están anotadas en la historia delconsumo.

a)b)c)d)e)f)

6. Escriba con número la cantidad de seis millones ciento siete mil seiscientossesenta y uno.

7. Ponga en la siguiente recta con números los 3 números que faltan. Observe quelos segmentos van de 2.5 en 2.5.

2. Escriba en las siguientes líneas el número del medidor, de acuerdo con su valorposicional.

unidades

decenas

centenas

unidades de millar

decenas de millar

centenas de millar

unidades de millón

3. Escriba con letra la cantidad que pagó de IVA la señora López.

4. Escriba las fechas que cubre este recibo.desde hasta

42

0 2.5 12.5

HOJA DE RESPUESTASUnidad I: Los números

Instrucciones:Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntascorrectamente, identifique sus aciertos y fallas, y vuelva a leer los temas que le parecendifíciles de comprender.

43

Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

Respuesta correcta

Ciento cuarenta y un pesos.

6 unidades, 1 decena, 8 centenas, 4 unidades de millar,8 decenas de millar, 6 centenas de millar y 7 unidades de millón.

Dieciocho pesos con treinta y nueve centavos.

Desde el 23 de octubre de 1998hasta el 24 de diciembre de 1998.

235244254266279326

6,107,66

Los números que faltan son 5, 7.5 y 10.

a)b)c)d)e)f)

Suma y resta

Tema 1 La suma

Tema 2 Suma con decimales

Tema 3 La resta

Tema 4 Resta con decimales

Un

idad

IIU

nid

ad II En esta unidad usted aprenderá a:

• Sumar y restar con números enteros ydecimales.

Aprenderá a aplicar la suma y la resta para:• Efectuar compras y ventas con exactitud y

certeza.• Dar cambio y pagar sin temor a equivocarse.• Estimar costos y presupuestos.• Llevar el control de los gastos en el hogar.

Para estudiar esta unidad se requiere:• Conocer el valor posicional de los números, así

como leer y escribir los números enteros y losdecimales.

Aritmética

46

Tema 1La suma

Unidad II

La señora Gloria quiere hacer una fiesta familiar para festejar el cumpleaños desu hijo. Ella necesita saber cuántas personas asistirán, para estimar la cantidadde comida que tiene que preparar.

Para solucionar su problema, primero contó el número de personas que asistirían.Por parte de sus hermanos: de Lupe vienen 6, de Luis 8, de Lola 5; y de su propiafamilia son 4.

La señora Gloria para resolver esto empezó a contar así:

Si de Lupe son 6 y de Luis otros 8, entonces:

son 14;6 y

47

Unidad II: Suma y resta

14 y 5 de Lola:

14 y son 19;

19 y nosotros 4:

19 y en total somos 23.

La señora Gloria contó con los dedos para saber para cuántas personas tiene quepreparar la comida. Esta es una forma, de las muchas que existen, para hacercuentas. En la vida diaria resulta útil hacerlas así, pero es muy fácil equivocarse yno hay manera de comprobar el resultado.

Para comprobar si había contado bien, la señora Gloria tomó lápiz y papel parahacer una suma de acuerdo a los siguientes pasos:

Paso 1

Escribir una lista de todo lo que se va asumar, teniendo cuidado de anotar lascantidades alineadas en columnas:las unidades abajo de las unidades ylas decenas abajo de las decenas.

LupeLuisLolanosotros

Enseguida se cierra la operación conuna raya horizontal, que indica que lasuma de todas las cantidades es igualal total que se anota abajo de la raya.

El signo más (+) indica que sevan a sumar todas las cantidadesalineadas en columnas.

Paso 2

Sumar los dígitos de la columna de las unidades.

Abajo de la raya, se anota el 3 en la columna de las unidades y luego el 2 en lacolumna de las decenas.

6 + 8 = 14, 14 + 5 = 19 y 19 + 4 = 23

6 8 14 5 19+4 2323suma o total

685

+ 4

Aritmética

48

Con esto se comprueba que las cuentas que había hecho la señora Gloria, con losdedos de las manos, coinciden con el resultado o total de la suma.

En una recta numérica se puede ver que si a 6 le agregamos 8 nos lleva al 14; o sea,

6 + 8 = 14

Así mismo, si al 14 le agregamos 5 nos lleva al 19; o sea,

14 + 5 = 19

Y si al 19 le agregamos 4 nos lleva al 23; o sea:

19 + 4 = 23

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 2 3 4

49


Ejercicios:

En su cuaderno de ejercicios realice las siguientes sumas, utilice el metro o una rectanumérica, como en el ejemplo anterior o como lo hizo la señora Gloria con su lápiz.

Haga las siguientes sumas con las cifras escritas en columna.

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4+ 6

2+ 9

7+ 2

6+ 8

7+ 5

2+ 4

8+ 4

8+ 5

6+ 3

46

+ 4

12

+ 4

58

+ 6

79

+ 3

391

+ 6

84

+ 5

21

+ 80

5 + 4 =3 + 8 =9 + 6 =7 + 5 =2 + 9 =6 + 3 =8 + 9 =

2 + 8 + 5 =7 + 9 + 7 =8 + 5 + 9 =3 + 7 + 6 =4 + 5 + 2 =8 + 2 + 5 =1 + 7 + 8 =

1 + 5 + 4 + 2 =6 + 4 + 6 + 9 =7 + 7 + 3 + 6 =1 + 9 + 5 + 2 =4 + 4 + 8 + 3 =9 + 7 + 6 + 9 =3 + 5 + 7 + 4 =

7+ 8

23

+ 4

Aritmética

50

La señora Reyna quiere comprar a sus dos hijos un par de zapatos a cada unopara que estrenen el día de su cumpleaños. ¿Podría usted ayudar a la señoraReyna a saber cuánto tiene que juntar para comprar los dos pares de zapatosque les gustaron, si un par cuesta $155 y el otro $177 ?

La señora Reyna pensó que tendría que sumar los dos precios; para resolver esto,mentalmente hizo sus cuentas así:

100 y 100 son 200,200 y 50 son 250,250 y 70 son 320,320 y 5 son 325, y 7 son 332.

Por lo tanto, $332 es lo que tiene que juntar para comprar los dos pares de zapatos.

Para comprobar si había contado bien, la señora Reyna sumó los dos precios conlápiz y papel, de la siguiente manera:

Paso 1Escribió los precios en forma de lista,anotando las cantidades alineadas encolumnas (unidades, decenas y centenas)y trazó la raya de igual:

Paso 2Sumó los dígitos de la columna de las unidades:

5 + 7 = 12

Enseguida, anotó el 2 abajo de la raya en lacolumna de las unidades, y llevó el 1 arriba, ala columna de las decenas.

11 5 51 7 7

2

12

Paso 3Sumó los dígitos de la columna de las decenas,iniciando con el dígito que llevaba:1 + 5 = 6,luego, 6 + 7 = 13Anotó el 3 en la columna de las decenas yllevó el 1 arriba, a la columna de las centenas.

1 11 5 5

+ 1 7 7

3 2

1 5 5

+ 1 7 7ce

nten

as

unid

ades

dece

nas

51


Paso 4Sumó los dígitos de la columna de las centenas, iniciando con el dígito que llevaba:1 + 1 = 2 y 2 + 1 = 3Finalmente, anotó el 3 abajo de la raya en la columna de las centenas y así obtuvola suma total o igual a 332 pesos.

1 11 5 51 7 7

3 3 2

2

Con este resultado la señora Reynacomprobó que la cuenta que había hechomentalmente era correcta.

Ejercicios

Haga las siguientes sumas en su cuaderno de ejercicios. Trate de hacerlas mentalmentey luego compruebe los totales haciendo las sumas con lápiz y papel.

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13826

+ 143

57586

+ 174

58562

+ 104

825308

+ 17

56125

+ 86

8,654325

+ 798

125+ 326

558+ 486

504+ 206

836+ 957

186+ 35

12,4678,901

+ 35,791

1,750136

+ 26

1,836159

+ 1,396

1,3562,854+ 326

Aritmética

52

Problemas

1. La señora Félix quiere hacer un regalo de cumpleaños a su esposo, por lo que haahorrado toda la quincena lo quele sobra del gasto.

2. A la señora Julieta, al ir a dejar a su hijoa la guardería, le avisa la directora que a partir del próximo mes le van aaumentar a la colegiatura $25 ¿Podría usted ayudar a saber a la señora Julietacuánto deberá pagar la próxima colegiatura, si este mes pagó 387 pesos?

3. Para dar de desayunar, la señora Irma fue a comprar tamales y atole. Ellapidió 4 "verdes", 2 "rojos" y 1 litro de atole. ¿Podría usted ayudarle a sabercuánto le deben cobrar, si de los tamales fueron $12 y del atole $8?

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En las operaciones y problemas hemos resuelto sumas de números enteros; sinembargo, debemos tener en cuenta que existen números fraccionados, como cuandomanejamos pesos y centavos, los cuales serán tratados en el siguiente tema.

¿Puede usted ayudar a la señoraFélix a saber cuánto tiene en totalahorrado, si la primera semana ahorro$85 y la segunda semana $46?

53


Unidad II

La señora Hilda fue a comprar a la tienda las cosas que necesita para preparar lacomida. Del huevo son $8.50, de la mayonesa $7.50, del pan $7.55 y del jamón$12.85. Antes de pedir la cuenta, la señora Hilda hizo mentalmente sus cuentaspara saber cuánto tendría que pagar:

8 y 7, del huevo y la mayonesa, son 15, más 1 peso del suelto (50¢ y 50¢) son 16; 7del pan y 12 del jamón son 19, más los 16 que se llevaban son 35, y el suelto quefalta (55¢ y 85¢), del pan y jamón, dan en total $36.40.

Esta es una forma de hacer cuentas, que en la práctica y en la vida diaria nosresulta útil; sin embargo, es posible que uno se equivoque y no tenga manera decomprobar el resultado.

Para ver si estaba bien su cuenta, doña Hilda pensó: “Vamos a la segura”; tomópapel y lápiz, y dijo: "Primero, hay que hacer una lista y luego, las sumas".

Tema 2Suma con decimales

Aritmética

54

8 . 5 07 . 5 0

7 . 5 5+ 1 2 . 8 5

. 000de

cena

sun

idad

es

déci

mos

cent

ésim

os

Observe cómo acomodó las cantidades a la izquierda y a la derecha del puntodecimal: los centavos abajo de los centavos y los pesos abajo de los pesos,siempre respetando el orden de los dígitos, de acuerdo con su valor posicional(centésimos, décimos, unidades y decenas).

1. Antes de hacer la suma, la señoraHilda trazó la raya de igual y bajó elpunto decimal en el lugar donde va aanotar el resultado o total.

2. Enseguida, la señora hizo la suma como si setratara de números enteros: de columna encolumna y de derecha a izquierda.Primero, la suma de los dígitos de la columna delos centésimos:

0 + 0 + 5 + 5 = 10Se anota el 0 abajo de la raya y el 1 se llevaarriba, a la columna de los décimos.

Doña Hilda hizo la lista de lo que necesitaba, teniendo cuidado en alinear todas lascantidades en columnas y fijándose que el punto decimal de cada cantidad quedarauno debajo del otro, como en una línea recta en forma vertical.

Huevo 8.50Mayonesa 7.50Pan 7.55Jamón 12.85

8 . 5 07 . 5 0

7 . 5 5+ 1 2 . 8 5

. 000

1

3. Enseguida, sumó los dígitos de lacolumna de los décimos:1 (que llevaba) + 5 = 6,6 + 5 = 11,11 + 5 = 16 y16 + 8 = 24Se anota el 4 y se lleva el 2 arriba, a lacolumna de las unidades.

8 . 5 07 . 5 0

7 . 5 5+ 1 2 . 8 5

. 400

2 1

55


4. Luego, sumó los dígitos de la columna delas unidades:2 (que llevaba) + 8 = 10,10 + 7 = 17,17 + 7 = 24 y24 + 2 = 26Se anota el 6 y se lleva el 2 arriba, a lacolumna de las decenas.

Para comprobar esta suma, es suficiente cambiar elorden de los sumandos, y si al sumarlos el resultadoes el mismo, entonces la suma es correcta.

5. Finalmente, sumó los dígitos de la columna delas decenas:2 (que llevaba) + 1 = 3Anotó el 3 abajo de la raya y obtuvo el totaligual a $36.40. Enseguida, la señora Hilda se diocuenta que no se había equivocado cuando hizola cuenta mentalmente.

8 . 5 07 . 5 0

7 . 5 5+ 1 2 . 8 5

3 6 . 400

2 2 1

Para realizar una suma con números decimales se ponen las cantidades a sumaruna debajo de otra, alineándolas en relación al punto decimal. Los enteros queno tengan expresada la parte decimal se considera que tiene ceros.

2 1 01 2 . 8 5

8 . 5 07 . 5 0

+ 7 . 5 53 6 . 4 0

Ejercicios

Resuelva las siguientes sumas.

6.4 7.8

+ 6.9

12.24 5.08

+ 32.64

6.4 7.8

+ 6.9

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○

○

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○

123.045 18.060+ 3.580

55.990 32.003

+ 48.510

8 . 5 07 . 5 07 . 5 5

+ 1 2 . 8 5 6 . 400

2 2 1

Aritmética

56

24.34 + 12.5 + 138.56 + 26.2 = 34.5 + 54.98 + 248.99 + 14.32 =

64.230 + 244.673 + 932.12 = 1,428.06 + 2.006 + 3,504.26 =

2,325.48 + 15. 624 + 12.039 = 1.12 + 0.361 + 58.514 + 7.81 =

1,124.202 + 426.22 + 18 = 1,900 + 545.8 + 0.365 =

Problemas

1. La señora Alicia ha decidido surtir una pequeña despensa para una semana.Ella compra 1 paquete de sopa a $1.50, 1 litro de aceite a $8.50, 1 kilo de arroza $5.50, 1 kilo de frijol a $9.50, 1 kilo de azúcar a $4.50 y 1 jabón de baño a$3.50 ¿Podría usted ayudarle a saber cuánto tiene que pagar por todo esto?

2. La señora Andrea planea una salida al campo con su familia, para lo cualcompró las cosas de la comida. Compró: 3 atunes a $5.60 c/u, 1 mayonesa a $10,1 kg de bistec a $34.50, 1 kg de chorizo a $46.90 y 1 lata de chiles a $10.90.¿Podría usted ayudar a la señora Andrea a saber cuánto gastó por todo esto?

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Recuerde que la suma es la combinación de dos o más números paraobtener un número más grande, y se indica con el signo más (+).

3. Doña Leonor compró mandado para 15días en la central de abastos; pagó $330.90por una caja de jitomate, por una caja detomate $450.50, por un costal de cebolla$300.60 y por un costal de papa $210.05.¿Cuánto pagó doña Leonor por todo sumandado?

4. Juan compró en un puesto de verduras: papa, $17.50; chile serrano, $25.35;chile poblano, $15.95 y $17.70 de calabaza. ¿Cuánto pagó Juan por sus compras?

57


Unidad II Tema 3La resta

La señora Emma, para ahorrar dinero que ocupará en la fiesta de XV años de suhija, entró a una tanda donde sale un número semanalmente. ¿Podría ustedayudar a la señora Emma a saber cuántas semanas faltan para que le toque la tanda,si ella tiene el número 9 y van en el 2?

Para resolver este problema la señora Emma hizo sus cuentas así:

Si tengo el 9 y le quito 2:

me quedan 7.

Esta es una forma de hacer la resta;posiblemente usted puede llegar a lamisma solución por otro camino.

Si nos damos cuenta, cuando se dice: “faltan”nos está indicando que podemos utilizar una resta.

Aritmética

58

2 + 7

9

Paso 3Haga la resta por columnas de derecha a izquierda.En la columna de las unidades quite 2 a 9.

Esto es, 9 – 2 = 7

Anote el resultado debajo de la raya.

Una forma más segura de hacer las restas es anotando con lápiz y papel lascantidades, de la siguiente manera:Paso 1Anote las cantidades alineadas en columnas;el número más chico abajo del más grande.Paso 2Escriba el signo de menos (-) antes del númeromás chico, y trace la raya de igual.

La operación de "quitar" se puede ver claramente en la recta con números.

9- 2

7

92

9- 2

Observe que para hacer la resta por escrito las cantidades se anotan así: 9 minuendo

signo de menos - 2 sustraendo 7 resta o diferencia

signo de igual

El número mayor siempre se coloca arriba y el más pequeño abajo.En número más grande se llama minuendo y el de abajo se llama sustraendo.La resta se indica con el signo “-” y se coloca antes del sustraendo.Al resultado se le llama diferencia o resta.Al igual que en la suma, en la resta se alínean los números en columnas,de acuerdo con la posición de los dígitos: las unidades, las decenas, lascentenas, etcétera.

Para comprobar el resultado, se suma el sustraendoa la diferenciay debe obtenerse el minuendo.

9 - 2 = 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

59


Hagamos otro ejemplo, paso a paso, con la siguiente resta: 47 - 23 =

Paso 1Anote las cantidades alineadas en columnas; el número más chico abajo del másgrande, cuidando que los dígitos correspondan según su valor posicional.

Paso 2Escriba el signo de menos (-) antes del número más chico, el que se va a quitar(sustraendo), y dibuje la raya de igual.

Paso 3Haga la resta por columnas, de derecha a izquierda. En la columna de las unidadesquite 3 a 7, o sea, 7 – 3 = 4.

La operación de "quitar" se puede verclaramente en la recta numérica:

Entonces, 7 - 3 = 4

Paso 4Ahora, en la columna de las decenas quite 2 a 4, o sea:4 – 2 = 2Anote el 2 abajo de la columna de las decenas.

Paso 5Para comprobar la resta, sume el sustraendo (23)y el resultado (24). La suma debe ser igual al minuendo,es decir, 47.

4 7- 2 3

2 4

Después de anotar el 4 abajo de la raya en la columna de las unidades, seguimoshaciendo nuestra resta.

4 72 3

4 7 - 2 3

4 7 - 2 3

4

2 3+ 2 4

4 7

0 1 2 3 4 5 6 7

-3

Aritmética

60

La señora Hortensia compró $25 pesos de bistec para preparar la comida.

Paso 1Anote las cantidades alineadas por columnas, el número mayor arriba y el menorabajo. Escriba el signo de menos y la raya de igual.

Paso 2Haga la resta por columnas, de derecha a izquierda.

Observe que, en este caso, no se le puede quitar 5 al 0.

En estos casos, debemos hacer un pequeñotruco para continuar con la resta.

5 0- 2 5

La señora Hortensia hizo mentalmente sus cuentas así:

Si a 50 le quito 20 quedan 30, y a 30 le quito 5 quedan 25, entonces sobran $25.

Si nos damos cuenta, cuándo se dice “sobra” también indica que podemosutilizar la resta.

Ahora, hagamos esta resta por escrito, paso a paso.

50 - 25 =

5 0- 2 5

Ella necesita saber cuánto lesobra de cambio para comprarlo que le falta para la comida.¿Podría usted ayudarle a sabercuánto le sobra de cambiosi paga con un billete de $50?

61


5 – 3 = 2

ajuste: 2 + 1 = 3

En todos los casos donde el dígito de arriba (minuendo) sea menor al de abajo(sustraendo), hay que hacer un pequeño ajuste, que de ahora en adelante lellamaremos el truco de Maura.

Así entonces, si el caso ocurre en la columna de las unidades (o sea, que el dígitode arriba sea menor al de abajo), el truco de Maura consiste en agregar 10 unidadesal dígito de arriba; y como 10 unidades es una decena, se agrega entonces unadecena al sustraendo (o sea, se agrega 1 al dígito de la columna de las decenasdel número de abajo) para no alterar el resultado.

Apliquemos el truco de Maura.

• Agregue 10 unidades al dígito de arriba: 0 + 10 = 10

• Como 10 unidades son una decena, agregamos 1 al dígito de las decenas del númerode abajo. Sólo apuntamos 1 arriba del dígito, para luego hacer la suma: 1 + 2 = 3.

• Hecho el ajuste, se hace la resta en la columnade las unidades: 10 – 5 = 5; se anota 5 abajo de laraya.

Paso 3Haga la resta en la columna de las decenas,tomando en cuenta el ajuste:

El truco de Maura

Se anota el 2 abajo de la raya; y con esto seobtiene la diferencia (25) que es lo que debesobrar de cambio a la señora Hortensia.

El truco se basa en el principio de que en cualquier resta,si se agrega una misma cantidad al minuendo y al sustraendo,la diferencia (o resultado) no se altera.

10 5 0- 2 5

10 5 0- 2 5 1

5 0- 2 5

5

10

1

5 0- 2 52 5

10

1

Aritmética

62

Ejercicios

La señora Nora acostumbra revisar la tarea de su hijo para estar al pendiente desu avance en la escuela. Esta vez la tarea es de resolver unas restas. ¿Podríausted ayudar a la señora Nora a comprobar las restas que resolvió su hijo y hacerlas que no tienen resultado?

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8- 4

9- 5

6- 3

8- 7

6- 4

5- 2

9- 1

8- 2

7- 4

8- 8

6- 5

5- 0

9- 9

3- 1

7- 5

1- 1

2- 1

3- 2

8- 5

9- 0

6- 6

9- 7

19- 12

28- 3

17- 4

36- 23

15- 12

34- 1 1

42- 1 1

2 1- 1 1

19- 6

48- 8

9- 6

3

8- 7

1

7- 4

3

6- 2

4

5- 2

3

4- 0

4

3- 12

2- 2

0

1- 10

9- 5

4

8- 6

2

25- 13

36- 14

17- 6

29- 10

37- 17

16- 3

25- 11

29- 19

18- 10

1,497- 309

2,865- 136

1,875- 936

1,326- 250

1,200- 175

1,037- 906

5,489- 1,003

2,059- 1,603

64,025- 2,503

180,506- 139,003

63


Problemas

1. La señora Martha compró una colcha en abonos a $550; como recibió un dineroextra, ahora quiere de una vez liquidar al abonero lo que falta. ¿Podría ustedayudarle a calcular cuánto le resta por pagar, si ha dado $375?

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2. La señora Ofelia al ir a consulta con su doctor, éste le indicó que necesitahacerse unos estudios especiales que le cuestan $2,580; si ella cuenta con unseguro de gastos médicos que aportará $1,350 y el excedente lo cubrirá ella,¿puede usted ayudarle a saber cuánto tendrá que pagar?

3. A la casa de la señora Karina llegóel recibo de teléfono; como ya habíaprevisto este gasto guardó $200. Aldía siguiente, se dispuso a ir a pagarlo.¿Podría usted ayudar a saber a laseñora Karina cuánto le sobra decambio, si el recibo llegó de $178?

4. Como es fin de mes, la señora Lucía tiene que pagar la renta. Ella, durante elmes, ha ido juntando para esto. Si ahora tiene $560, ¿podría usted ayudar a sabera la señora Lucía cuánto le falta para pagar la renta, si le cobran $850 al mes?

De las siguientes restas, compruebe cuáles tienen los resultados correctos.

375- 186

89

545- 109436

8,259- 1,0369,223

13,579- 2,468

11 , 1 1 1

15,939- 9,58616,353

359,682- 103,097256,585

896,520- 642,939

263,581

256,706- 189,101067,605

93,065- 108

93,957

Aritmética

64

Unidad IITema 4Resta con decimales

Doña Blanca fue al banco a retirar $2,186.60, que es la cantidad que necesitapara comprar una lavadora automática, y se dio cuenta que tenía un saldo de$5,175.35, cantidad que incluye los intereses generados hasta el último mes.

Ella desea saber exactamente cuánto dinero le quedó en su cuenta después dehacer el retiro.

Como se trata de quitar $2,186.60 a $5,175.35, el problema se resuelve haciendouna resta con decimales.

La resta con decimales se resuelve igual que si se tratara de números enteros,sólo que debemos tener cuidado de alinear las cantidades con respecto al puntodecimal, y llenar con ceros los lugares en que los números no tengan decimales.

65


Observe que el punto decimal debe quedaruno abajo del otro, como en línea recta.Se recomienda bajar el punto decimal enel lugar donde se va anotar el resultado odiferencia, antes de efectuar la resta.

La restas se hacen de columna en columna yde derecha a izquierda.En la columna de los centésimos quitamos0 a 5:

5 - 0 = 5

En la columna de los décimos, como no sepuede quitar 6 a 3, se hace el ajuste deagregar 10 décimos al dígito de arriba, y como10 décimos = 1 unidad, se agrega 1 al dígito delas unidades del número de abajo.Hecho el ajuste, hacemos la resta:

13 - 6 = 7

En la columna de las unidades, como no se puedequitar 7 (6 + 1 = 7) a 5, se hace el ajustecorrespondiente. Agregamos 10 unidades al dígitode arriba (10 + 5 = 15) y 1 decena al dígito de lasdecenas del número de abajo.Después del ajuste, hacemos la resta:

15 - 7 = 8

En la columna de las decenas, como no se puedequitar 9 (8 + 1 = 9) a 7, se hace el ajustecorrespondiente. Agregamos 10 decenas al dígitode arriba (10 + 7 = 17) y 1 centena al dígito de lascentenas del número de abajo.Hecho el ajuste, procedemos con la resta:

17 - 9 = 8

5, 1 7 5 . 3 5 - 2, 1 8 6 . 6 0

. 0 0

5, 1 7 5 . 3 5 - 2, 1 8 6 . 6 0

. 0 5

5, 1 7 5 . 3 5- 2, 1 8 6 . 6 0

. 7 5

13

1

5, 1 7 5 . 3 5- 2, 1 8 6 . 6 0

8 . 7 5

15

1 1

5, 1 7 5 . 3 5- 2, 1 8 6 . 6 0

8 8 . 7 5

17

1 1

Aritmética

66

Ejercicios

En la columna de las centenas, como no se puedequitar 2 (1 + 1 = 2) a 1, ajustamos agregando 10centenas al dígito de arriba (10 + 1 = 11) y 1 millaral dígito de los millares del número de abajo (al 2).Después del ajuste, hacemos la resta:

11 - 2 = 9

Terminamos con la columna de los millares,quitando 3 (2 + 1 = 3) a 5

5 - 3 = 2El saldo que quedó a doña Blanca en su cuenta,después del retiro, es de $2,988.75.

Para hacer la comprobación de la resta, sólotenemos que sumar el sustraendo (2,186.60)con el resultado o diferencia (2,988.75); si lasuma de estas dos cantidades es igual alminuendo (5, 175.35), entonces nuestra resta escorrecta.

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○

Recuerde que cuando tenemos que quitar una cantidad a otra,ya sea en números enteros o decimales, utilizamos la resta,que se expresa con el sigo de menos (-).

5, 1 7 5 . 3 5- 2, 1 8 6 . 6 0

9 8 8 . 7 5

11

11

5, 1 7 5 . 3 5- 2, 1 8 6 . 6 0 2, 9 8 8 . 7 5

1

2, 1 8 6 . 6 0+ 2, 9 8 8 . 7 5

5, 1 7 5 . 3 5

51.80- 35.45

362.85- 193.30

185.36- .05

364.386- 125.146

285.360- .048

175.30- 8.36

125.00 - 1.46

150.86 - 7.00

7,264.25- 3,224.13

30,802.47- 8,022.45

8,429.63- 3,594.20

74,621.60- 10,212.00

67


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Problemas

1. La señora Luisa compró una licuadora en $234.90en la tienda de don Lucio. Al pagar en la caja le dansu nota y su cambio. ¿Podría usted ayudarle acomprobar su cambio, si le entregaron $15.10 yella pagó $250?

2. La señora Evelia recibió su tanda con la que quiere comprar una lavadora. Paraencontrar el mejor precio ella compara los precios en dos tiendas que estáncerca de su casa. ¿Podría usted ayudarle a saber cuál es la diferencia de preciosde la lavadora, si en una tienda la venden en $2,395.50 y en la otra la venden en$2,485.80?

4. La señora Graciela compró en la maderería un barrote de 2 metros de largo, ysólo utilizó un tramo de 1.85 metros. ¿De qué tamaño es el tramo que le sobró?

5. La señora Norma decidió investigar los precios de una despensa para encontraren dónde venden más barato y hacer rendir su gasto. Si en una tienda encontró quela despensa cuesta $487.50 y en otra tienda la misma despensa le cuesta $452.80,¿podría usted ayudarle a saber cuánto se ahorra al comprar la más barata?

3. La señora Ana Luisa quiere compraruna blusa que cuesta $123.50, y lo quele sobra de cambio ahorrarlo, ¿podríausted ayudarle a saber qué cantidad vaa ahorrar si ella paga la blusa con unbillete de $200?

AutoevaluaciónAhora que terminó la Unidad II, vamos a recordar los temas que estudió: La suma,Suma con decimales, La resta y Resta con decimales.Para conocer lo que realmente aprendió es importante que resuelva los siguientesejercicios; recuerde que puede utilizar todo aquel material que considere útil.

Edith fue al mercado a comprar 1 kilo de jitomates, 1 kilo de papas, 1 kilo de limonesy 1 kilogramo de mangos. Al ir recorriendo el mercado fue comparando los precios enlos diferentes puestos, para ver en cuál le convenía más comprar. Los precios fueronlos siguentes:

68

Puesto 1

Puesto 2

Puesto 3

limones

$4.00 kg¡llevelo!

papas

$5.00 kg¡sólo por hoy!

mangos

$8.00 kg¡oferta!

jitomates

$6.00 kg¡aproveche!

limones

$3.00 kg¡llevelo!

papas


mangos

$9.00 kg¡oferta!

jitomates


limones

$4.00 kg¡llevelo!

papas


mangos

$7.00 kg¡oferta!

jitomates


1. Si Edith compra todas las frutas y verduras en el puesto 3, ¿cuánto tendría que pagar?

2. ¿En cuál puesto le sale más barato a Edith comprar las frutas y verduras?________

3. Después de recorrer los tres puestos Edith decidió comprar cada fruta y cadaverdura en donde estaba más barato, ¿cuánto gastó? _________________________

Después, Edith recordó que necesitaba comprar cosas en la cremería, como:1 kilo de huevos, 2 paquetes de tostadas, 1 barra de mantequilla y 1 vaso con crema.Igualmente, comparó los precios en tres locales y se encontró lo siguiente:

69

Local 8

Local 9

Local 10

$9.50 $6.30 $6.20 $4.20

huevos tostadas crema mantequilla

$5.70 $3.80 $7.50 $10.20

$4.00 $9.80 $6.10 $6.80

crema mantequilla tostadas huevos

mantequilla huevos crema tostadas

4. ¿Cuánto le costarían todos los productos en cada local?a) local 8b) local 9c) local 10

5. Si compra cada cosa en el lugar más barato, ¿cuánto tendría que pagar?

6. Tomando en cuenta la cantidad más baja que pagó en las frutas y verduras y en lacremería, ¿cuánto gastó en total?

7. Si Edith compró todas las frutas y verduras en el puesto 2 y pagó con un billete de$50.00, ¿cuánto dinero le tienen que dar de cambio?

Lea los siguientes problemas y escriba el resultado en la línea.

8. Jaime debe hacer un viaje de 640 kilómetros; al llegar a un crucero vio unseñalamiento que indicaba que le faltaban 288 kilómetros para llegar a su destino.¿Cuántos kilómetros ya había recorrido Jaime?

9. El peso de un coche con sus pasajeros es de 2,326 kilos; si el coche sin pasajerospesa 1,875 kilos, ¿cuál es el peso de los pasajeros?

10. Sofía gastó en libros $157.70 y pagó con un billete de $200.00 ¿Cuánto dinero ledieron de cambio?

11. Alfredo tenía ahorrados $689.50 y le pagaron dinero que le debían; si después derecibir el dinero tiene $1,327.80, ¿cuánto dinero le debían?

70

HOJA DE RESPUESTASUnidad II: Suma y resta

Instrucciones:Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntascorrectamente, identifique sus aciertos y fallas, y vuelva a leer los temas que leparecen difíciles de comprender.

Respuesta correcta

$22.00

En el puesto 2.

$19.00

a) local 8 = $32.50b) local 9 = $34.70c) local 10 = $33.50

$31.60

$50.60

$29.00

352 kilómetros.

451 kilos.

$42.30

$638.30

Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

71

Multiplicación

En esta unidad usted aprenderá a:•Construir y aplicar las tablas de multiplicar.

Aplicar la multiplicación para:• Calcular el importe total de una compra de

cierta cantidad de un producto, dado que seconoce su valor o precio unitario.

• Determinar el número total de artículos quecontiene una caja o paquete.

Para estudiar esta unidad se necesita:• Saber contar y sumar.

Tema 1 La multiplicación

Tema 2 Multiplicación con dos dígitos en el multiplicador

Tema 3 Multiplicación con tres dígitos en el multiplicador

Tema 4 Multiplicación con ceros en las cifras

Tema 5 Multiplicación con decimales

Un

idad

III

Un

idad

III

Aritmética

74

Unidad IIITema 1La multiplicación

La señora Lupe necesita comprar más platos porque va a preparar una comida parasus compadres y le hacen falta. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánto tiene quepagar si compra media docena de platos y cada uno cuesta 4 pesos?

Para resolver esto la señora Lupe hace sus cuentas. Si cada plato cuesta 4 pesosy son 6 platos, entonces tengo que sumar 6 veces el 4.Ejemplo

44 84 124 164 204 24+

24

75

Unidad III: Multiplicación

6 veces 4 son 24.

Se dice que el 4 es multiplicado por 6 4 x 6 = 2 4

La multiplicación también se escribe así:

4 multiplicando (la cantidad que se repite) x 6 multiplicador (el número de veces que se repite)

24 producto (el resultado)

A la señora Lupe también le hacen falta 9 tazas, ycomo cada taza cuesta 12 pesos pensó en sumar 9veces 12, para así saber cuánto dinero necesita.

Veamos ahora cómo se obtiene el resultado con lamultiplicación.

9 veces 12 se escribe: 12 x 9 =

Para resolver la multiplicación conviene alinear los números (como en la suma y enla resta): el dígito de las unidades del número del multiplicador debajo de lasunidades del multiplicando.

Signo "por"

La operación se hace de derecha a izquierda.

este signo indicamultiplicación y se lee "por"

9 veces 2 son 18. Se escribe el 8 debajo de laraya en la columna de las unidades y se lleva el 1arriba, a la columna de las decenas.

1 2x 9

8

1

Una forma más rápida de obtener el resultado es multiplicarla cantidad por el número de veces que se desea sumar.Multiplicar es sumar varias veces el mismo número, pero enforma abreviada.

1212121212121212

+ 12

1 2 multiplicando (la cantidad que se repite)x 9 multiplicador (el número de veces que se repite)

Aritmética

76

La señora Lupe se aprendió las tablas de multiplicar practicando con la tabla dePitágoras, que se forma de la manera siguiente:

9 veces 1 son 9, más 1 que se lleva son 10.Se escribe el 0 debajo de la raya en la columnade las decenas y enseguida el 1 en la columna delas centenas.

El resultado, 12 pesos x 9 = 108 pesos. Esta es la cantidad que necesita las señoraLupe para comprar las 9 tazas.

Observe que para efectuar con rapidez las operaciones de multiplicación senecesita mucha práctica y aprenderse de memoria las tablas de multiplicar.

1 2x 9 1 0 8

1

• Se escriben los números del 1 al 12 en la fila 1 y en la columna 1.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

columna 1

fila 1

77


• La columna 2 se forma con la serie de números de 2 en 2:2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

• La columna 3 se forma con la serie de números de 3 en 3:3, 6, 9, 12, 15, 18, etcétera.

Y así, la columna 4 se forma con la serie de números de 4 en 4; la columna 5 seforma con la serie de números de 5 en 5; y así todas las demás columnas.

Trate de llenar todas las columnas haciendo las series con los números delas columnas correspondientes.

Cuando termine de llenar toda la tabla, compárela con la tabla de Pitágoras queaparece en la siguiente página.

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2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6

9

12

15

18

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

columna 3

Aritmética

78

Tabla de Pitágoras

Observe que cada columna es una tabla de multiplicar.

El resultado o producto del número de veces que se suma una cantidad se hallaen el cruce de la fila y la columna.

Así, por ejemplo: 9 veces 8 son 72 8 x 9 = 72Observe en la tabla que en la multiplicación se puede cambiar el orden de losnúmeros:

6 x 7= 42 y 7 x 6 = 42

Si se cambia el orden de los factores de una multiplicaciónsu producto o resultado no se altera (no cambia).

Los números de arriba de cada columna indican la cantidadque se repite o que se suma varias veces (el multiplicando).Los números de la izquierda de cada fila indican el númerode veces que se suma la misma cantidad (el multiplicador).

fila

columna (multiplicando)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

99

108

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

121

132

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

132

144(mult

iplica

dor)

y el resultado seguirá siendo el mismo.

79


Ejemplo

Hay dos situaciones especiales en las tablas de multiplicar que conviene tener siemprepresente, para evitar equivocaciones cuando se hace una multiplicación.

6 x 7 = 42 7 x 6 = 42

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

1 x 1 = 1 2 x 1 = 2 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 5 x 1 = 5 6 x 1 = 6 7 x 1 = 7 8 x 1 = 8 9 x 1 = 910 x 1 = 10

Todo número multiplicadopor 1 da el mismo número

1 x 0 = 0 2 x 0 = 0 3 x 0 = 0 4 x 0 = 0 5 x 0 = 0 6 x 0 = 0 7 x 0 = 0 8 x 0 = 0 9 x 0 = 010 x 0 = 0

Todo número multiplicadopor cero (0) da cero

Una vez una cantidadda la misma cantidad

Cero veces una cantidadda cero

Aritmética

80

Ejercicios○

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3. Coloque los siguientes números en las casillas correspondientes.18 30 36 70 22 40 24 88 36 45 64 8424 60 32 72 15 54 56 36

1. Utilice la tabla de Pitágoras para resolver los siguientes problemas.

2 veces _____ son 10. _____ veces 3 son 21.

4 veces _____ son 20. _____ veces 8 son 32.

7 veces _____ son 35. _____ veces 9 son 63.9 veces 7 son _____ . 4 x 3 = 12

6 veces 9 son _____ . 3 x 2 = _____

5 veces _____ son 40. 4 x 5 = _____

3 veces _____ son 18. 9 x 8 = _____

8 veces 7 son _____ . 8 x 7 = _____

7 x 1 = __________

5

2. Complete las tablas del 4, 7 y 9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1223456789101112

8 18 2221 36

16 4445 60

4228

9081

7722

18

81


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6 x 1 = 66 x 2 = ____6 x 3 = 186 x 4 = 246 x 5 = ____6 x 6 = 366 x 7 = ____6 x 8 = 486 x 9 = 546 x 10 = ____

8 x 1 = 88 x 2 = 168 x 3 = ____8 x 4 = 328 x 5 = ____8 x 6 = 488 x 7 = ____8 x 8 = 648 x 9 = ____8 x 10 = ____

2 x 1 = ____2 x 2 = ____2 x 3 = ____2 x 4 = 82 x 5 = 102 x 6 = ____2 x 7 = 142 x 8 = ____2 x 9 = ____2 x 10 = ____

7 x 1 = ____7 x 2 = ____7 x 3 = 217 x 4 = ____7 x 5 = 357 x 6 = ____7 x 7 = 497 x 8 = 567 x 9 = ____7 x 10 = 70

5 x 1 = 55 x 2 = ____5 x 3 = 155 x 4 = ____5 x 5 = 255 x 6 = ____5 x 7 = ____5 x 8 = ____5 x 9 = 455 x 10 = ____

3 x 1 = ____3 x 2 = ____3 x 3 = ____3 x 4 = ____3 x 5 = ____3 x 6 = ____3 x 7 = ____3 x 8 = ____3 x 9 = ____3 x 10 = ____

4 x 1 = 44 x 2 = ____4 x 3 = 124 x 4 = ____4 x 5 = 204 x 6 = ____4 x 7 = 284 x 8 = 324 x 9 = ____4 x 10 = ____

9 x 1 = ____9 x 2 = 189 x 3 = ____9 x 4 = ____9 x 5 = 459 x 6 = ____9 x 7 = 639 x 8 = ____9 x 9 = ____9 x 10 = ____

10 x 1 = ____10 x 2 = 2010 x 3 = ____10 x 4 = ____10 x 5 = 5010 x 6 = ____10 x 7 = 7010 x 8 = ____10 x 9 = ____10 x 10 = ____

EjerciciosComplete las siguientes tablas.

Aritmética

82

Problemas

1. La señora Juanita va a preparar atoley necesita comprar 3 litros de leche;si el litro cuesta 5 pesos, ¿cuánto debepagar?

2. La señora Petra va a comprar 5 latasde duraznos en almibar y cada lata cuesta13 pesos, ¿cuánto debe pagar?

EjerciciosResuelva las siguientes operaciones en su cuaderno de ejercicios.

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49x 2

71x 5

34x 4

25x 3

97x 6

27x 3

28x 9

43x 9

41x 7

52x 9

37x 7

39x 9

74x 9

69x 8

94x 5

76x 5

47x 2

63x 5

342x 3

763x 6

931x 5

561x 7

397x 8

491x 4

3. La señora Ana va a comprar 4 bolsas de globos y cada una cuesta 9 pesos.¿Cuánto debe pagar?

4. La señora Martha va a comprar 5 kilos de mangos, si el kilo cuesta 7 pesos,¿cuánto tiene que pagar?

2,341x 3

9,431x 6

7,321x 5

6,247x 8

3,124x 4

83


Tema 2Multiplicación con dos dígitos en el multiplicador

Unidad III

La señora Rocío necesita comprar con anticipación el refresco para la fiesta deXV años de su hija. Ella le pide al repartidor de refrescos 25 cajas.¿Podría usted ayudarle a la señora Rocío a saber cuánto tendrá que pagar por las25 cajas, si cada una cuesta 36 pesos?

Para resolver este problema, la señora Rocío hizo sus cuentas así:

Si son a $36 cada caja, de 10 cajas son $360 y de otras 10 cajas son otros $360.

Entonces de 20 cajas son $720.

Si 5 es la mitad de 10, entonces la mitad de $360 son $180, y los $720 son $900.

Para resolver este problema, también se puede usar la multiplicación de lasiguiente manera:

Aritmética

84

Como el multiplicador tiene dos dígitos, entonces se van a obtener dosresultados parciales.

El producto se obtiene de la suma de los resultados parciales.

La multiplicación se inicia con el dígito de las unidades del multiplicador, y semultiplica de derecha a izquierda.

Paso 15 x 6 = 30.Se escribe 0 en la columna de lasunidades y se lleva el 3 a la siguientecolumna.

Paso 25 x 3 = 15, y el 3 que llevamos son 18.Se obtiene el primer resultado parcial (180).

Paso 3Ahora, se usa el dígito de las decenas delmultiplicador: 2 x 6 = 12Se escribe el 2 abajo del dígito que se estáusando para multiplicar y se lleva el 1 arriba.

Conviene primero alinear los números así:las unidades con las unidades y las decenascon las decenas. 3 6

x 2 5

dece

nas

unid

ades

Paso 42 x 3 = 6, y 1 que se lleva son 7.Se escribe el 7 en la siguiente columnay se obtiene el segundo resultado parcial (72).

3 03 6

x 2 50

3 03 6

x 2 51 8 0

1 03 6

x 2 51 8 0

2 0

multiplicador

1 03 6

x 2 51 8 07 2 0

multiplicando

85


Paso 5Se efectúa la suma de los resultados parcialespara obtener el producto.

Ejercicios

Resuelva las siguientes multiplicaciones en su cuaderno de ejercicios.

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Regla.Cuando el multiplicador tiene 2 ó más dígitos,la multiplicación tendrá 2 ó más resultados parciales.El producto se obtiene de la suma de los resultados parciales.

Resultado900 pesos es el costo delas 25 cajas de refresco.

9 6x 2 4

7 8x 2 6

9 4x 1 7

6 3x 2 5

4 9x 3 7

7 5x 2 6

9 7x 1 4

6 5x 1 6

4 2x 9 7

3 9x 2 8

6 3x 2 4

9 5x 4 9

8 7x 6 9

4 2x 5 6

8 2x 9 5

6 7 5x 2 1

7 8 9x 6 3

6 7 9x 3 4

5 3 5x 9 7

9 3 7x 4 3

2,421x 45

1,564x 75

7,687x 63

5,478x 97

8,651x 13

Resultados parciales

3 6x 2 51 8 0

Resultado o Producto

7 29 0 0

Aritmética

86

Tema 3Multiplicación con tres dígitos en el multiplicador

Unidad III

La señora Isabel está en la mesa directiva de la escuela de su hijo, este año sedeterminó una cooperación de 165 pesos. ¿Podría usted ayudarle a saber cuántose va a reunir, si el total de alumnos es de 384?

Para resolver esta multiplicación ella hace lo siguiente.

Paso 1Toma el dígito de las unidades del multiplicadory lo multiplica por cada uno de los dígitos del multiplicando,empezando por la derecha, y el resultado lo anotaa partir de la columna de las unidades.5 x 4 = 20, se anota el cero y se llevan 2;5 x 8 = 40, y 2 que se llevan son 42,se anota el 2 y se llevan 4;5 x 3 = 15, y 4 que se llevan son 19,se anota completo por ser el último número.El primer resultado parcial es 1,920.

3 8 4x 1 6 51 9 2 0

4 2

87


3 8 4x 1 6 51 9 2 0

2 3 0 4 03 8 4 0 06 3 3 6 0

Paso 2Ahora, toma el dígito de las decenas delmultiplicador y lo multiplica por cada uno de losdígitos del multiplicando, pero ahora, el resultadoparcial lo coloca abajo a partir de la columna delas decenas.

6 x 4 = 24, se anota el 4 y se llevan 2;6 x 8 = 48, y 2 que se llevan son 50,se anota el 0 y se llevan 5;6 x 3 = 18, y 5 que se llevan son 23,se anota completo por ser el último número.El segundo resultado parcial es 2,304.

Paso 3Ahora, toma el dígito de las centenas del multiplicadory lo multiplica por cada uno de los dígitos delmultiplicando, pero ahora, el resultado parcial locoloca abajo a partir de la columna de las centenas.

1 x 4 = 4, se anota el 4;1 x 8 = 8, se anota el 8;1 x 3 = 3, se anota el 3.El tercer resultado parcial es 384.

Paso 4Suma por columnas los resultados parciales.

3 8 4x 1 6 51 9 2 0

2 3 0 4 03 8 4 0 0

3 8 4x 1 6 51 9 2 0

2 3 0 4 0

4 2

Resultado63,360 pesos es la cantidad total que se va a reunir de la cuota de cooperación.

Aritmética

88

Comprobación de la multiplicaciónPara estar seguros de que el producto de la multiplicación es correcto, convienehacer la comprobación del resultado volviendo hacer la multiplicación pero conlos números invertidos; el resultado debe ser el mismo.

Ejercicios○

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1 9 6x 3 1 8

6 4 5x 6 7 8

4 1 8x 3 2 9

6 4 9x 5 4 2

4 9 1x 3 9 6

9 1 2x 2 2 8

2 8 7x 3 4 8

7 3 6x 3 7 8

1 6 5x 3 8 4

6 6 01 3 2 0 04 9 5 0 06 3 3 6 0

89


Tema 4Multiplicación con ceros en las cifras

Unidad III

Don Juan está interesado en un terreno de 8 hectáreas que se ofrece en venta aun precio de 10,530 pesos por hectárea, y quiere saber cuánto dinero necesita juntarpara comprar todo el terreno.

El problema se resuelve con una multiplicación:

10,530 x 8 =

Don Juan alineó las cantidades para efectuar la operación.

1 0 , 5 3 0x 8

Aritmética

90

Paso 18 x 0 = 0Se escribe el 0 abajo del dígito que se usapara multiplicar.Recuerde que toda cantidad multiplicadapor cero es igual a cero.8 veces 0 es igual a decir:0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Paso 28 x 3 = 24Se escribe el 4 abajo, en la siguientecolumna, y se lleva el 2 arriba.

Paso 38 x 5 = 40, y 2 que llevamos son 42.Se escribe el 2 abajo, en la siguientecolumna, y se lleva el 4 arriba.

Paso 48 x 0 = 0, y 4 que se llevan son 4.Se escribe el 4 abajo, en lasiguiente columna.

ResultadoDon Juan necesita juntar 84,240 pesos para comprar el terreno de las 8 hectáreas.

Paso 58 x 1 = 8Se escribe el 8 abajo, en la siguientecolumna, para formar el producto (84,240).

1 0 , 5 3 0

x 8

0

1 0 , 5 3 0

x 8

4 0

2

1 0 , 5 3 0

x 8

2 4 0

4 2

1 0 , 5 3 0

x 8

4 2 4 0

4 2

1 0 , 5 3 0

x 8

8 4 , 2 4 0

4 2

91


Ejercicios

Resuelva las multiplicaciones y el problema en su cuaderno de ejercicios.

2 0 8 1, 0 5 0 1, 7 0 0 6, 4 4 1 2 0 8 x 5 2 x 8 7 x 1 2 x 9 3 x 2 8

85,090 x 64 = 8,700 x 17 = 600,825 x 48 =

Ejemplos

1. Las ventas que realizó don Paco en la semana son como sigue.El lunes no vendió nada, el martes las ventas fueron igual a cero, el miércolestampoco vendió nada y, el jueves y el viernes, no abrió.¿Cuánto vendió don Paco en la semana?Como en 5 días vendió 0 (nada), tenemos: 0 x 5 = 0; no vendió nada.

2. Don José va a comprar, para su tienda, 208 cajas de muñecas que cuestan 174pesos cada una. ¿De cuánto será la factura que tendrá que pagar don José?

El problema se resuelve con una multiplicación:

Paso 18 x 4 = 32, se escribe el 2abajo del dígito que se usa paramultiplicar y se lleva el 3 arriba.

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Paso 28 x 7 = 56, y 3 que se llevan son 59.Se escribe el 9 abajo y se llevan 5 arriba.

1 7 4x 2 0 8

1 7 4x 2 0 8

2

31 7 4

x 2 0 89 2

5 3

La multiplicación con ceros en el multiplicadorRegla. Cuando se tenga algún cero en el multiplicador, no multipliquepor cero, sólo escriba el 0 abajo, en la misma columna, y continúe lamultiplicación con el siguiente dígito.

Aritmética

92

Paso 38 x 1 = 8, y 5 que llevamos son 13.Se escribe el 13 enseguida para formarel primer resultado parcial (1,392).

Paso 4Debido a que el siguiente dígito es un cero,no se multiplica; sólo se escribe el ceroabajo, en su misma columna, y se continúala multiplicación con el siguiente dígito (2).

Paso 52 x 4 = 8. Se escribe el 8 abajo del dígitoque se usa para multiplicar, enseguida del 0.2 x 7 = 14. Se escribe el 4 abajo y se llevael 1 arriba.2 x 1 = 2, y 1 que se lleva son 3. Se escribeel 3 abajo, para formarel segundo resultado parcial (3,480).

Paso 6El producto se obtiene sumandolos resultados parciales.

ResultadoLa factura será por $36,192.00.

1 7 4x 2 0 81 3 9 2

5 3

1 7 4x 2 0 81 3 9 2

3 4 8 0 0

1

1 7 4x 2 0 81 3 9 2

0 0

Regla. Para multiplicar un número cualquiera por 10, 100, 1,000, etcétera,se agrega uno, dos, tres o más ceros a la derecha, si el número esentero; o se corre el punto decimal en uno, dos, tres o más lugareshacia la derecha, si el número es con decimales.

384 x 10 = 3,840 384 x 1,000 = 384,000384 x 100 = 38,400 384.55 x 10 = 3,845.5

1 7 4x 2 0 81 3 9 2

3 6, 1 9 2

Resultadosparciales

Producto

3 4 8 0

93


Ejercicios

237 x 10 =

475 x 100 =

3,258 x 1,000 =

120 x 10 =

245 x 100,000 =

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2. Si doña Jesusa para ir y regresar dela lechería da 805 pasos y va 5 días a lasemana, ¿cuántos pasos da a la semana para ir y regresar de la lechería?

3. Mary hace un vestido de china poblana a Sandrita. Si este vestido lleva 3,609lentejuelas y cada una se cose con 6 puntadas, ¿cúantas puntadas tuvo que dar Mary?

4 7 0x 1 0 8

2, 6 0 4x 3 1 2

7, 0 4 8x 7 0 9

1 2, 6 0 8x 7 0 6

7 8 4x 2 0 9

7 6,4 0 7x 3,0 9 6

9, 6 0 4x 7 0 1

4, 7 0 2x 3, 0 4 7

Problemas

1. La señora Martha teje todos los días;si su tejido tiene 104 hileras y en cadahilera hay 608 puntos, ¿cuántos puntosha tejido?

Aritmética

94

Unidad IIITema 5Multiplicación con decimales

La señora Rebeca, para festejar el cumpleaños de su hijo, ha comprado un pastel,y para acompañarlo quiere preparar atole. Entonces ella calcula que necesitacomprar 5 litros de leche. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánto dinero necesita,si sabe que el litro de leche cuesta $4.80?

Para resolver esta situación, la señora hizo sus cuentas así:

$4.80 casi son $5, entonces:

Como de cada litro son $4.80, para completara $5 me faltan 20 centavos, y como son 5 litros,son 5 monedas de 20 centavos, que forman un $1.00;por lo que, a $25 le quito un peso y son $24.

5x 52 5

2 5- 1

2 4

0.200.200.200.20

+ 0.201.00

95


Para resolver este problema podemos utilizar la multiplicación, planteándola de lasiguiente manera: 4.80 precio de cada litro x 5 cantidad de litros que se compran

Si nos damos cuenta, aquí estamos utilizando números enteros y decimales; pararesolver esta operación se hace igual que las anteriores multiplicaciones.

Sólo que se cuentan los lugares a la derechadespués del punto decimal, tanto en elmultiplicando como en el multiplicador.En el resultado, se coloca el punto decimalcontando de derecha a izquierda igual númerode lugares.

EjerciciosResuelva las siguientes multiplicaciones con decimales en su cuaderno de ejercicios

2, 5 7 9x 9 . 7

9, 7 8 3x 8 . 6

8, 5 4 7x 9 . 9

3, 2 9 6x 7 . 9

1, 3 4 9x 3 . 6

2, 4 7 6x 8 . 9 1

3 4 . 2 8x 5 . 0 3

4, 2 9 8x 3 . 0 9

4, 7 7 6x 9 . 6

2, 9 8 8x 4 . 3 6

4, 2 7 5x 6 . 9

64 . 298x 7 . 5 4

329.10x 3.57

824.57x 9 . 3

158.78x 8.09

789.62x 6.49

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284.37x 3.89

712.45x 9.06

5,693.8x .342

574.28x 3.9

4 . 8 0x 5

2 4 . 0 0

dos lugares

dos lugares

96

Problemas

1. La señora Pilar decidió comprar tela para hacer unas cortinas para su cocina. Alir a comprarla, ella pide8 metros de tela.

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2. La señora Rosalba quiere preparar para la comida "espagueti al horno", por loque va a la tienda a comprar 5 paquetes de pasta y 1 barra de mantequilla.¿Podría usted ayudar a la señora Rosalba a saber cuánto tiene que pagar por todoesto, si el paquete de pasta le cuesta $1.80 y la barra de mantequilla $2.50?

3. Llegó una orden de pago para la señora Vicky por 500 dólares (money order)que le envía su esposo quien trabaja en el extranjero. Si en la casa decambio le pagan por cada dólar $9.80, y le cobran de comisión por el servicio$1.50 por dólar, ¿podría usted ayudarle a saber cuánto debe cobrar?

4. Si el día de hoy el dólar está a $10.20, y se lo cambiaron al precio real sincomisión, ¿cuánto recibió ella?, ¿podría usted ayudarle a saber esto?

5. La señora Sofía compró 2 litros de leche de a $5.50 por litro, 3 barras de chocolatea $2.20 cada una y 4 paquetes de donas a $2.50 cada uno. ¿Cuánto pagó?

Aritmética

¿Podría usted ayudarle a sabercuánto tiene que pagar si cadametro le cuesta $12.50?

Autoevaluación

Para saber cuál ha sido su avance en esta unidad es conveniente que realice los siguientesejercicios.Recuerde que los temas que estudió fueron: La multiplicación, Multiplicación con dosdígitos en el multiplicador, Multiplicación con tres dígitos en el multiplicador, Multiplicacióncon ceros en las cifras y Multiplicación con decimales.Conteste las siguientes preguntas y después compare sus respuestas con la hoja derespuestas al final de la autoevaluación.

Una, con una línea, la multiplicación de la izquierda con su resultado correcto en lacolumna de la derecha.

1. 25 x 38 = 121,401

2. 613 x 49 = 6,640,0623. 987 x 123 = 950

4. 2,040 x 56 = 114,2405. 1,846 x 3,597 = 30,037

Alejandro comparó en varias tiendas de autoservicio los precios de la canasta básica,y encontró que en la tienda del ISSSTE, en general, es más barato. Los precios los anotóen la siguiente lista.

Producto

Aceite de girasolAtún en aceite

Café solubleCrema de 200 g

Chocolate en polvoMayonesa

Precio$ 9.65

$ 5.45$16.55

$ 4.35$12.25

$12.95

* Fuente: PROFECO, septiembre de 1998.

97

7. ¿Cuánto pagó en total por la despensa?

8. Daniela va a comprar una estufa en 12 pagos de $218.08 cada uno.¿Cuánto va a pagar en total por la estufa?

9. Mónica recibió 325 dólares de su marido que vive en Estados Unidos.Si en el banco le dan por cada dólar $10.05, ¿cuánto dinero, en pesos, recibió por susdólares?

Alejandro acaba de recibir su aguinaldo y quiere comprar su despensa.

6. ¿Cuánto tiene que pagar por...

a) 3 litros de aceite?

b) 10 latas de atún?

c) 13 mayonesas?

d) 2 cafés solubles?

e) 5 cremas?

98

HOJA DE RESPUESTASUnidad III: Multiplicación

Instrucciones:Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntascorrectamente, identifique sus aciertos y fallas, y vuelva a leer los temas que le parecendifíciles de comprender.

Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Respuesta correcta

25 x 38 = 121,401

613 x 49 = 6,640,062

987 x 123 = 950

2,040 x 56 = 114,240

1,846 x 3,597 = 30,037

a) $28.95; b) $54.50; c) $168.35; d) $33.10; e) $21.75

$306.65

$2,616.96

$3,266.25

99

En esta unidad usted aprenderá a aplicar ladivisión para:• Hallar el precio de una pieza o artículo cuando

sólo se conoce el precio por paquete, caja o lote.• Repartir equitativamente una cantidad (dinero,

objetos o material) entre varias personas o cosas.• Saber cuántos objetos o artículos de un mismo

precio puede comprar con cierta cantidad.• Determinar si cierta cantidad de material (tela,

madera, etc.) alcanza para fabricar ciertonúmero de piezas o artículos.

• Calcular el importe de los pagos o abonos deuna compraventa pactada a plazos (o ciertonúmero de pagos iguales).

• Determinar el número de pagos o abonos quese deben hacer si se conoce el precio delartículo y el importe de los abonos.

Para estudiar esta unidad usted necesita:• Saber sumar, restar y multiplicar.

División

Un

idad

IVU

nid

ad IV

Tema 1 La división

Tema 2 División con dos o más dígitos en el dividendo

Tema 3 División con dos o más dígitos en el divisor

Tema 4 División con ceros en el cociente

Tema 5 División con decimales

Tema 6 División con decimales en el divisor y en el dividendo

Aritmética

102

Tema 1La división

Unidad IV

La señora Francisca mandó a reparar la lavadora que utilizan su nuera, su hijay ella; si por la compostura le cobran 45 pesos y quieren repartir el costo dela reparación entre las tres, ¿podría usted ayudarle a saber cuánto tiene quepagar cada una?

Doña Francisca pensó que tendría que repartir, entre cada una, los 45 pesos quele cuesta la reparación, cobrando lo justo.

Doña Francisca imaginó monedas de a $1 apiladas, con un total de 45; después,repartió en 3 pilas las monedas hasta que no le sobrara ninguna.

Al terminar de repartir todas las monedas, se dio cuenta de que a cada una letocaban 15 monedas de $1, y concluyó que $15 debería pagar cada una de ellas.

Una manera más rápida de repartir una cantidad entre cierto número de partesiguales es dividiendo.

103

Unidad IV: División

Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios. Utilice el opuestode la multiplicación para obtener el cociente.

Ejemplo 35 ÷ 5 = 7 5 x 7 = 35

Ejercicios

La división

La división es la operación inversa de la multiplicación. Si la multiplicación es iguala sumar una misma cantidad varias veces, la división es igual a restar una mismacantidad varias veces.Ejemplo: 4 x 3 = 12 3 veces 4 = 12

12 ÷ 4 = 3 12 “entre” 4 = 3

Así, por ejemplo, ¿cuántas veces cabe el 4 en el 12?Recordemos que, 3 veces 4 = 12, o sea, 4 x 3 = 12, y si la división es el opuesto dela multiplicación, entonces la respuesta es: hay 3 cuatros en el 12; es decir,12 dividido entre 4 es igual a 3 (el cociente).

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30 ÷ 6 = ___ 6 x ___ = 30 54 ÷ 6 = ___ 6 x ___ = 54

28 ÷ 7 = ___ 7 x ___ = 28 32 ÷ 4 = ___ 4 x ___ = 32

56 ÷ 8 = ___ 8 x ___ = 56 63 ÷ 9 = ___ 9 x ___ = 63

18 ÷ 3 = ___ 3 x ___ = 18 48 ÷ 8 = ___ 8 x ___ = 48

La división es el opuesto de la multiplicación.La división sirve para encontrar el número de vecesque un número (el divisor) “cabe” o está contenidoen otro número (el dividendo).

Para indicar la división se usa el simbolo (÷) que se lee "entre". Así se puede verque el 4 se puede restar 3 veces del 12.La división se emplea para repartir una cantidad en un cierto número de partesiguales, o para hallar las veces que un número “cabe” o está contenido en otro.

dividendo 12 ÷ 4 = 3 cociente

divisor

Aritmética

104

Observe que el número que se reparte (el dividendo) siempre va adentro de la"casita" ( ).

La división también se representa así: , y se lee: 12 entre 4.

Otra manera de representar la división es así:

El problema de la señora Gutiérrez.

La señora Gutiérrez desea sabercuántas prendas iguales se puedensacar de un rollo de tela de 18 metros,sabiendo que se necesitan 3 metrosde tela para cada prenda.

La señora Gutiérrez pensó en ir cortandotramos de 3 metros cada uno, tantas vecescomo fuera posible, hasta terminar el rollo.Así encontró que se pueden hacer 6 cortesde 3 metros cada uno.

3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m

1 24

3 4 1 2

cociente

dividendo

divisor

105


Anote el 6 en el cociente, alineándolo arriba del dividendo.

Paso 1Exprese la división en forma de "casita"(forma convencional). Recuerde que eldividendo siempre va adentro y el divisorafuera.

Hagamos esta división aplicando la forma común o convencional, de acuerdo a lossiguientes pasos:

Paso 2Busque un número que multiplicado por 3 sea igualo se aproxime más a 18 (sin que se pase).

18 ÷ 3 = 3 x = 18

Al repasar las tablas de multiplicar podrá encontrar que, 3 X 6 = 18

3 1 8

divisor

dividendo

Paso 3Multiplique el divisor por el cociente (3 x 6 = 18),anote el producto (18) abajo del dividendo, y réstelo aldividendo para obtener la diferencia.

Si la diferencia es cero se dice que la división es exacta. Por lo tanto, el 3 cabe oestá contenido exactamente 6 veces en el 18.

Con base en este resultado, la señora Gutiérrez sabe que podrá cortar exactamente6 tramos de 3 metros cada uno, del rollo de 18 metros.

Una manera más rápida de hallar la solución es dividiendo (18 ÷ 3 = ); esdecir, encontrar el número de veces que el 3 (el divisor) “cabe” o está contenidoen el 18 (el dividendo).

Si el dividendo no contiene al divisor un número exacto de veces,se dice que la división no es exacta y, por lo tanto, queda un resto(mayor que cero) llamado residuo.El residuo es igual a la diferencia entre el dividendo y, el productodel divisor por el cociente.Observe que el residuo es siempre menor que el divisor.

63 1 8

- 1 80

63 1 8

cociente

Aritmética

106

Supongamos ahora que en vez de 18 metros, el rollo tuviera 20 metros de tela.Recuerde que la señora Gutiérrez desea saber cuántos tramos de 3 metros sepueden cortar de todo el rollo.

Ahora se trata de encontrar el número de veces que el 3 cabe o está contenidoen el 20 (20 ÷ 3 = ).

Hagamos la división por pasos.

Paso 1Exprese la división en forma de "casita".

Paso 2Busque un número que multiplicado por 3 seaigual o se aproxime más a 20 (sin que se pase).20 ÷ 3 =___ 3 x ___ = 20

Al repasar las tablas de multiplicar podrá encontrar que:3 x 7 = 21 (21 es mayor que 20)3 x 6 = 18 (18 es el que más se aproxima a 20, sin pasarse).

O sea, 6 veces cabe el 3 en el 20.

Anote el 6 en el cociente, alineándolo arriba del dividendo.

Paso 3Multiplique el divisor por el cociente,

3 x 6 = 18anote el producto (18) abajo del dividendo (20), yréstelo al dividendo para obtener la diferencia.

Observe que la división no es exacta porque queda un residuo (2).

Ahora la señora Gutiérrez podrá decirnos que si el rollo fuera de 20 metros, ellapodría cortar hasta 6 tramos de 3 metros y le sobraría un tramo de 2 metros.

3 2 0

2 0- 1 8

2

63 2 0

- 1 82residuo

63 2 0

107


El resultado (cociente) La cantidad a repartir (dividendo)

Las partes en que se quiere repartir (divisor).

Ejemplo

La señora Paty quiere repartir en partes iguales 84 pesos, y darlos "de domingo" asus 7 sobrinos que la visitarán el próximo fin de semana. ¿Podría usted ayudarlea saber cuánto le tocará a cada sobrino?

Primero, hizo 7 montones de $10 y le sobraron $14.

Luego, hizo 7 montones de $2.Entonces, $10 del primer montón y $2 del segundo montón son $12 que les tocaráa cada uno de los sobrinos.Ella se dio cuenta que repartir en partes iguales es dividir.

Entonces al escuchar la palabra “repartir” nos indica que podemos utilizar la división.

Para repartir 84 pesos entre 7 partes iguales, se plantea una división de la manerasiguiente:

La división nos sirve para repartir un número en partesiguales o hallar las veces que un número contiene a otro.

7 8 4

Para resolver esto la señora Patyrealizó lo siguiente:

Aritmética

108

2. Para saber cuántas veces cabe el divisor en el dividendo, recordamos las tablasde multiplicar y se toma el número que se acerque al divisor, pero sin pasarse.

7 x 1 = 7

7 x 2 = 14 se pasa

Se toma el 1 y se coloca en el cociente (arriba)Se multiplica el cociente por el divisor y el producto se resta del dividendo, loque sobra se pone abajo.

1 x 7 = 7, para 8 es 1 y se pone abajo.

La forma más facil de comprobar la división es multiplicar el cociente por el divisory al resultado se le suma el residuo final (si hay), y se debe obtener el dividendo.

La señora se da cuenta que realizó bien su división.

1 2x 78 4

+ 08 4

1 07 8 4- 7 0

1 0

1 27 8 4

- 7 0 1 4 - 1 4 0

Para resolverla, hacemos lo siguiente:

1. Vemos cuántas cifras hay afuera (divisor) y se tomanlas mismas adentro (dividendo).

7 8 4Hay 1 afuera, se toma 1 adentro.

3. Bajamos la siguiente cifra junto al residuo(lo que sobró) y se forma una nueva cantidad quepara repartirla se hace el mismo procedimiento.

7 x 2 = 14, para 14 sobran 0.

109


Algunas divisiones especiales

12 ÷ 1 = 12 1 x 12 = 12

2. Todo número (diferente de cero) dividido por sí mismo es igual a 1.

12 ÷ 12 = 1 12 x 1 = 12

3. El cero dividido por cualquier número (diferente de cero) es igual a cero.

0 ÷ 12 = 0 12 x 0 = 0

4. Todo número dividido entre cero no tiene un resultado (cociente) definido.

12 ÷ 0 = 0 x = 12

No existe un número que multiplicado por cero sea igual a 12.

1. Cualquier número dividido entre 1 da como cociente el mismo número.

11 2 1 2

- 1 20

01 2 0

0

0 1 2

cocienteindefinido

1 21 1 2

0 2- 2

0

- 1

?

Aritmética

110

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Problemas

1. La señora Francisca mandó a reparar la lavadora en la que lavan su nuera, susdos hijas y ella; si de la compostura le cobran $52 y quiere repartir el gastoentre 4, ¿podría usted ayudarle a saber cuánto tiene que poner cada una parareparar la lavadora?

Ejercicios

Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.

5 7 5 7 9 1 3 3 6 6 9 6

4 9 2 9 1 3 5 3 7 5 6 8 4

8 8 ÷ 4 = 6 3 ÷ 7 = 7 8 ÷ 6 =

5 62

= 4 42

= 9 87

= 9 99

=

2. La señora Elsa quiere repartir$30 entre sus hijos, que son 2,por haber obtenido buenascalificaciones. ¿Podría ustedayudarle a saber cuánto deberádarle a cada uno de sus hijos, sireparte el dinero en partesiguales?

111


La señora María compró una cacerola grande de aluminio para su cocina en $388.00,la que debe pagar en 4 pagos iguales. ¿Podría usted ayudarle a saber de cuánto serácada uno de los cuatro pagos?

La respuesta se obtiene de dividir 388 entre 4.

El problema consiste en encontrar el número de veces que el 4 cabe en el 388.Aplicando el opuesto de la división, que es la multiplicación, resulta difícil pensaren un número que multiplicado por 4 dé 388.

Tema 2 División con dos o más dígitos en el dividendo

Unidad IV

Por lo tanto, conviene separar este número (el dividendo) en partes, de modo quese pueda hacer la división en varios pasos.

388 ÷ 4 = 4 x = 388

Aritmética

112

Paso 1Empezando de izquierda a derecha, tome elprimer dígito del dividendo. Si éste es menorque el divisor, tome el siguiente dígito, hastaformar un nuevo dividendo que sea tan grande omayor que el divisor.Como el 3 es el primer dígito y éste es menor divisor nuevo dividendoque 4 (el divisor), entonces se toma elsiguiente dígito, que es el 8, para formar el 38(el nuevo dividendo parcial).

Paso 2Busque un número que multiplicado por 4sea igual o se aproxime más a 38, pero sin quese pase.

4 3 8 8

9 veces cabe el 4 en el 38;se escribe 9 en el cociente.

Paso 3Multiplique: 4 x 9 = 36.Escriba el 36 abajo del 38(dividendo parcial) y réstelo a 38.

Paso 4Baje el siguiente dígito (8) del dividendo originalpara formar un nuevo dividendo parcial (28).

94 388 36 2

94 388

38 ÷ 4 = 4 x = 38

Paso 5De igual modo, se busca un número que multiplicadopor 4 sea igual o se aproxime al 28, sin pasarse.

28 ÷ 4 = 4 x = 28

94 388 36 28

Entonces, 4 x 9 = 36

113


Entonces, 4 x 7 = 28

7 veces cabe el 4 en el 28; se escribe el 7en la siguiente posición del cociente.

Entonces, ahora la señora María sabe que cada uno de los cuatro pagos deberá serde 97 pesos.

Paso 6Multiplique: 4 x 7 = 28.Escriba el 28 debajo del 28 del dividendo parcialy efectúe la resta.

Como ya no hay números que podamos bajar y quedó cero comoresiduo, aquí termina la división.

974 388 36 28

974 388 36 28 28 0

1 0 7 9 9 6 3 - 9 0 0

0 6 3 - 6 3

0 0

Un caso especial es cuando el nuevo dividendo es menor que el divisor,por ejemplo:

Como usted puede observar, cuando en el dividendo haya 2 ó másdígitos se puede resolver la división separando en dividendos parciales,y cada vez que se obtenga un residuo se va bajando el siguiente dígitodel dividendo original hasta terminar con todos los dígitos que formanel dividendo.

Observe que cuando el nuevo dividendo es menor que el divisor, sepone un cero en el cociente y se baja el siguiente número paraformar un nuevo dividendo que sea mayor que el divisor.

Aritmética

114

Ejercicios

Efectúe las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.

Problemas

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8 2 0 0

3 6 8 7

7 2, 9 1 2

5 5 4 0

7 5 0 4

3 1 1, 6 8 2

8 1, 9 2 0

5 2 1,6 3 0

9 1, 7 0 1

1. El señor Marcos tiene una muebleríaen donde vende una recámara en $2,184dando facilidades de pagos. Si una señoracompra la recámara para pagarla en 6pagos, ¿podría usted ayudar al señorMarcos a calcular de cuánto serán lospagos?

2. La señora Rosa va a repartir 555 pesos entre sus tres hijos en partes igualespara sus pasajes de la semana. ¿Cuánto deberá darle a cada uno de sus hijos?

0 9 69 8 6 4 - 8 1 1

0 5 4 - 5 4 0 0

Ejemplo

115


La señora Lupe compró 2 gruesas de flores, que en total son 288 flores, parahacer arreglos florales. Desea saber cuántas docenas de flores puede formar,para poner una docena en cada arreglo.

Para conocer cuántas docenas sepueden formar, la señora Lupe 1 2 2 8 8tendrá que dividir 288 floresentre 12, que son una docena.

Como se trata de números grandes conviene hacer la división por pasos.

Tema 3 División con dos o más dígitos en el divisor

Unidad IV

Paso 1Empezando de izquierda a derecha,se toma el número de dígitos del dividendohasta formar un nuevo dividendo parcial tangrande o mayor que el divisor.

Así entonces, el nuevo dividendo parcial es 28.

divisor nuevodividendoparcial

1 2 2 8 8

Aritmética

116

Paso 2Se estima el número de veces que 12 cabe en 28.

28 ÷ 12 =Lo más razonable parace ser 2, porque12 x 2 = 24 y 12 x 3 = 36, éste se pasa.Se anota el 2 arriba del dividendo parcial y se hacela multiplicación, anotando el resultado abajo del28, y se efectúa la resta.

De esta forma, como no hay más dígitos en el dividendo que se puedan bajary el residuo es cero, la señora Lupe pudo determinar que con 288 flores puedeformar 24 docenas y, por lo tanto, hará 24 arreglos florales.

EjerciciosResuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.

2 01 2 2 8 8

2 4 0404 8

2 41 2 2 8 8

2 4 0404 8

4 80

Paso 3Se baja el siguiente dígito (8) del dividendooriginal para formar un nuevo dividendo (48).

Paso 4Se estima el número de veces que 12 cabe en 48.

48 ÷ 12 =Lo más razonable es 4, porque 12 x 4 = 48.Se anota el 4 arriba, en la siguiente posición delcociente; se hace la multiplicación, 12 x 4 = 48,se anota el resultado abajo del 48 y seefectua la resta.

2 01 2 2 8 8

2 4 0404 0

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1 2 7, 6 2 01 6 2 8 8 1 2 4 2 0 2 7 5 6 7 3 4 8, 7 0 4

1 1 1, 4 9 6 5 1 9, 7 9 25 2 3 0, 5 2 4 8 3 2 1, 5 8 0

117


Problemas

1. La señora Paulina es la presidenta de la sociedad de padres de familia de laSecundaria No. 12 "Eliseo García Escaledo". Le piden que organice la comida deldía del maestro.El presupuesto que le entregan para 75 personas es de $4,125. Para entregar bienlas cuentas ella necesita saber cuál es el precio por cada persona.¿Podría usted ayudar a la señora Paulina determinar el precio unitario?

2. Una señora le compró al señorJuan un cobertor nuevo en 375pesos que pagará en abonos.¿En cuántas semanas terminará depagar la señora, si dará 25 pesos ala semana?

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3. Doña Ines compró a crédito una estufa a una señora. El precio es de $1,244.00,para entregarla pide un enganche de $500, y el resto en 12 pagos iguales por semana.¿Podría usted decirle de cuánto serán los pagos?

4. La señora Gabriela, paradecorar sus muebles, ha decididocomprar carpetas tejidas, por loque fue al mercado a conseguirlas.Ella encuentra el lugar donde lasvenden; le dicen que por piezasuelta le salen a $15 cada una ypor docena a $132. ¿Podría ustedayudar a saber a la señoraGabriela, si compra por docena acómo le sale cada una?

Aritmética

118

Paso 1Empezando de izquierda a derecha,se toma el número de dígitos deldividendo que sea tan grande omayor que el divisor.Así entonces, el nuevo dividendo parcial es 11.

Tema 4División con ceros en el cociente

Unidad IV

En la junta del comité de padres de familia de una escuela primaria, se decidióhacer unas remodelaciones a los salones de clase; el total de la inversión consideradaserá de $11,005 que se repartirá en partes iguales en los 5 grupos que integran elplantel. ¿Cuánto tiene que aportar cada grupo?

Para conocer la respuesta se tendrá que dividirla inversión total de 11,005 pesos entre los 5 grupos.

5 1 1, 0 0 5

dividendo parcial

5 1 1, 0 0 5

119


Paso 211 ÷ 5 =Se busca un número que multiplicadopor 5 se aproxime al 11.5 x 2 = 102 veces "cabe" el 5 en 11.Se escribe el 2 en el cociente, arriba del 1.Se escribe 10 abajo del 11 y se efectúa la resta.

Paso 3Se baja el siguiente dígito (0) deldividendo original para formar unnuevo dividendo parcial (10).

Paso 4Se busca un número que multiplicado por 5 dé 10.10 ÷ 5 = 2 5 x 2 = 102 veces "cabe" el 5 en el 10.Se escribe el 2 en el cociente, en la siguiente posición.

Paso 55 x 2 = 10Se escribe el 10 abajo del 10 y se hace la resta.

0 0 2 , 0 0 05 1 1 , 0 0 5 - 1 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0

0 0 2 , 0 0 05 1 1 , 0 0 5

- 1 0 , 0 0 01 0 0 0

2 , 2 0 05 1 1 , 0 0 5

- 1 0 , 0 0 01 , 0 0 0

0 0 2 , 2 0 05 1 1 , 0 0 5 - 1 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0- 1 , 0 0 0

0 0 0

1 0- 1 0

0

Paso 6Se baja el siguiente dígito (0) del dividendooriginal para formar el nuevo dividendoparcial (00).

0 0 2 , 2 0 05 1 1 , 0 0 5 - 1 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0- 1 , 0 0 0

0 0 0

Aritmética

120

Paso 70 ÷ 5 = 0Recuerde que cero dividido porcualquier número (diferente de cero)es igual a 0.Se escribe el 0 en el cociente, en lasiguiente posición.Se baja el siguiente dígito (5), deldividendo original, para formar elnuevo dividendo parcial (05).

Paso 85 ÷ 5 =El 5 "cabe" solamente una vez en el 5.Se escribe el 1 en el cociente, en la siguienteposición.

Paso 95 x 1 = 5Se escribe el 5 abajo del 5 yse efectúa la resta.

Solución: $2,201 es la cantidad.

5-50

0 0 2 , 2 0 15 1 1 , 0 0 5 - 1 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0- 1 , 0 0 0

0 0 00 0 5

0 0 2 , 2 0 15 1 1 , 0 0 5 - 1 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0- 1 , 0 0 0

0 0 00 0 5- 5

0

0 0 2 , 2 0 05 1 1 , 0 0 5 - 1 0 , 0 0 0

1 , 0 0 0- 1 , 0 0 0

0 0 00 0 5

121


EjerciciosResuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.

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Problemas

1. La señora Remedios quiere comprar una televisión que cuesta $2,198.00; su hijole dice que él pondrá la mitad del dinero para que la compre al contado. ¿Podríausted ayudarles a saber cuánto tendrá que poner cada uno?

2. La señora Soledad quiere saber si le conviene comprar la leche por caja. Ella sabeque por pieza suelta le cuesta $6.50 y que la caja con 10 piezas de 1 litro lecuesta $60.00. ¿Podría usted ayudarlea decidir si le conviene comprar la lechepor caja?

3. La señora Andrea quiere saber si leconviene comprar por caja los jugospara sus hijos. Ella sabe que cada unovale $3.00 y la caja con 24 vale $60.00.¿Podría usted ayudarle a saber cámo le conviene comprarlos?

5 50,490

9 18,045

3 30,012 15 240

14 18,214

16 144,064 50 76,000

4 40,140

13 585 12 12,036

2 60,204

5 60,205

Aritmética

122

Unidad IVTema 5División con decimales

La señora María compró champú concentrado para ropa con un valor de $288.00y desea repartirlo en igual cantidad entre 5, amigas y familiares, para que lesresulte más económico. ¿Cuánto dinero tendría que aportar cada una?

La señora María se da cuenta que le quedan 3 pesos, que desea también repartir,pero en el dividendo original ya no hay más dígitos para bajar.

Para resolver este problema, pensóen una división, pues tiene que repartirlos 288 pesos entre las 5, amigas yfamiliares.

5 75 2 8 8

- 2 5 0 3 8

- 3 5 3residuo

123


Como la división tiene residuo (3), conviene completar la división con decimales paraobtener un resultado (cociente) más exacto, expresado en pesos y centavos.

Ahora, se continúa haciendo la división hastaobtener cero en el residuo o el número dedecimales que se requieran.

30 ÷ 5 =Se busca un número que multiplicado por 5 seaproxime a 30.

5 x = 30

Se anota 30 abajo y se efectúa la resta.

La señora María sabe que le corresponden $57.60 a cada una; pero ahora quieresaber si realmente economiza. Para ello, conoce que a cada una le corresponden12 litros de fórmula concentrada de champú, y la pregunta es: ¿cuánto es el costopor litro de champú concentrado?

Si al efectuar una división el resultado de la última restano es cero, entonces se dice que la división tiene un residuo.

Para continuar haciendo la división condecimales, se coloca el punto a la derecha deldividendo original y se agregan dos ceros paraindicar los centavos.

Se sube el punto al cociente y se baja un ceropara formar el nuevo dividendo parcial (30).

Para conocer el costo del litro de champúrealiza otra división, pues tiene que repartirel costo entre la cantidad de litros de shampoo.

1 2 5 7. 60

3 0- 3 0 0

5 7.0 05 2 8 8.0 0 - 2 5 0.0 0

3 8,0 0 - 3 5.0 0

3.0.0

5 7.6 05 2 8 8.0 0 - 2 5 00 0

3 8 0 0 - 3 50. 0

3 0 0 - 3 00

0 0

Aritmética

124

Para completar el resultado (cociente) en pesos y centavos, el decimal se expresahasta centésimos.Ahora la señora María sabe que cada litro de champú le costó $4.80.

Para resolver este tipo de divisiones sólobasta con subir al cociente el punto decimalque aparece en el dividendo, y el proceso dedividir se realiza en la forma acostumbrada.

Para dividir una cantidad con decimales entre un entero,sólo hay que colocar o subir el punto decimal al cocientepara separar los enteros de los decimales, y efectuarel proceso normal de la división.

Ejercicios○

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○

4. 8 01 2 5 7. 6 0

4 8 0 09 6 09 6 0

0 0

15 42.6 23 55.89 42 92.40

39 845.52 35 428.75 97 103.305 3 0.06

5 3.25 16 425.28 13 238.55 76 1,947.88

Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.Recuerde subir directamente el punto decimal que aparece en el dividendo al cociente,y realizar la división normalmente.

13 24.05

125


Ejercicios○

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○

Problemas

La señora Gloria necesita sabercuánto tienen que pagar, su hijo y sus2 amigos, de un vidrio que rompieron,el cual cuesta $79.50. ¿Cuánto tendráque pagar cada uno de ellos?

5 96 4 105 8 76

4 125 5 987 16 784

Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.Obtenga hasta dos decimales en los cocientes de las divisiones que tengan residuo.Recuerde colocar el punto decimal en el cociente cuando se empiece a dividir esteresiduo.

74 1,221 36 4,725 14 8,120

16 1,948 16 24415 852

Aritmética

126

Tema 6División con decimales en el divisor y en el dividendo

Unidad IV

La señora Inés necesita comprar tres tramos de tela de 4.5 metros para sus camas,ella encuentra un retazo en oferta que mide 15.5 metros, quiere saber si el tramode tela le alcanza para hacer sus colchas, ¿podría usted ayudarle a saberlo?

Para resolver esta situación, ella planteó la siguiente división:

Si nos damos cuenta, ella está dividiendo número decimal entre número decimal;entonces, se resuelve así:

PrimeroRecorremos el punto del divisor hacia la derechapara convertirlo en entero, y en el dividendo se hacelo mismo dependiendo de los lugares que el divisor lohaya requerido. Si no hay punto en el dividendo, seaumentan tantos ceros como lugares se hayanrecorrido en el divisor.

Tela que necesitapara cada cama Tela en oferta4 . 5 1 5 . 5

4 . 5 1 5 . 5

127


Ejemplo

La señora María decora muñecas contramos de listón de 1.5 cm. ¿Podría ustedayudarle a saber cuántos tramos puedecortar de un rollo de listón que tiene15.75 cm de largo?

De esta manera, la señora María pudo darse cuentaque le alcanza para cortar 10 tramos de 1.5 cm y lesobra la mitad de un tramo.

SegundoSe hace la operación normal y, si se requiere, sesube el punto decimal directo de donde hayaquedado.

Paso 1Como en el divisor hay punto decimal, se recorreel punto a la derecha hasta convertir el númeroen un entero. Se cuenta el número de lugaresque se recorrió el punto (1 lugar).

Paso 2Se recorre el punto decimal en el dividendotantos lugares como se hayan recorrido en eldivisor (1 lugar).

Paso 3Se resuelve la división con decimales de maneranormal, hasta obtener cero en el residuo o el númerode decimales que se requiere en el cociente.

1 5 1 5 7.5

(un lugar)

1 5. 1 5 . 7 5

(un lugar)

Ella se da cuenta que le alcanza para hacer sus3 colchas y le queda un sobrante.

1 0 . 51 5 1 5 7 . 5

- 1 500000 7 . 0- 00 0

70.5- 7 . 5

0 0

3 . 44 5 1 5 5 . 0

- 1 3 5 00 2 0 0- 1 8 0

0 2 0

128

Regla.Si el divisor (número que está afuera de la "casita") es un númerodecimal, antes de hacer la división deberá convertir el divisor anúmero entero, de la siguiente manera.

Paso 1Recorra el punto decimal del divisor hacia la derecha, el númerode lugares necesarios, hasta que el punto quede afuera del número.Ejemplo: si el divisor es 2.65, se recorre el punto dos lugares paraconvertirlo en 265.

Paso 2Para no alterar el resultado, se deberá recorrer el punto decimaldel dividendo (número que está en la "casita") el mismo número delugares que se recorrió en el divisor.En caso de que hagan falta lugares en el dividendo, éstos sedeberán completar agregando ceros a la derecha.

Ejercicios

Resuelva las siguientes divisiones en su cuaderno de ejercicios.Recuerde aplicar la regla para convertir el divisor a número entero, antes deefectuar las divisiones. Sólo ponga tres decimales.

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○

○

○

○

○

○

○

2.5 96 0.4 0.6

0.02 8.1 0.82 3.6 0.7 0.59

0.9 4 5 1.4 56.20

Aritmética

Autoevaluación

Es importante que usted sepa que ya lleva la mitad de su libro Números y cuentas parael hogar, por lo que lo felicitamos e invitamos a seguir estudiando. Recuerde que lostemas que estudió fueron los siguientes: La división, División con dos o más dígitos en eldividendo, División con dos o más dígitos en el divisor, División con ceros en el cociente,División con decimales y División con decimales en el divisor y en el dividendo.

Es conveniente que realice los siguientes ejercicios para saber cuál ha sido suavance en esta unidad; no olvide consultar su libro o cualquier material que le puedaser útil.

Al terminar su autoevaluación es conveniente que:

1. Revise sus respuestas en la clave de respuestas correctas.

2. Cuente el número de aciertos que tuvo.

Lea cada pregunta y conteste en la línea.

La señora Beatriz va a preparar pozole para su familia. Para cada plato utiliza 150gramos de carne de cerdo, y compró dos kilos (2,000 gramos).

1. ¿Para cuántos platos de pozole le alcanza la carne que compró?

2. ¿Cuántos gramos de carne le sobraron?

129

3. La carne la compró en la carnicería "La Esperanza", y le cobraron por ella $72.00;si compró 2 kilos, ¿cuánto le costó el kilo de carne?

4. En la verdulería "Lupita" compró 3 kilos de aguacates en $19.50.¿Cuánto le costó el kilo de aguacate?

5. Luego, en la tienda de don José, compró el orégano, por el cual pagó $7.20;si cada sobre le costó $1.80, ¿cuántos sobres compró?

130

HOJA DE RESPUESTASUnidad IV: División


Respuesta correcta

13 platos y le sobra un poco.

50 gramos.

$36.00

$6.50

4 sobres.

Pregunta

1

2

3

4

5

131

La calculadora

En esta unidad usted aprenderá:• El manejo de la calculadora.

Le servirá para:• Hacer operaciones aritméticas ( sumas, restas,

multiplicaciones o divisiones) de manerarápida y efectiva.

• Resolver algunos problemas; y solamenteusted podrá decidir cuándo usarla y sacarleprovecho.

Para usarla se necesita:• Saber muy bien aritmética, pues la calculadora

sólo hace lo que usted le ordene que haga.

Tema 1 Sumas con calculadora

Tema 2 Sumas de decimales con calculadora

Tema 3 Restas con calculadora

Tema 4 Resta de decimales con calculadora

Tema 5 Multiplicación con calculadora

Tema 6 Multiplicación de decimales con calculadora

Tema 7 División con calculadora

Un

idad

VU

nid

ad V

Aritmética

134

Tema 1Sumas con calculadora

Unidad V

La calculadora

ON OFF

7 8 9

4 5 6

1 2 3 X

0 =

C

i ÷

-+

Pantalla paraleer los números

Botonespara indicarla operaciónrequerida

Botón de igualpara obtenerel resultado

Botónpara borrarla pantalla

Botonesdel 0 al 9

para formarlos números

Punto decimal

Botónde encendidoy apagado

Hay diversos modelos de calculadoras en el mercado, pero las más comunes y demenor costo son las que tienen las operaciones aritméticas básicas (suma, resta,multiplicación y división), como la que se muestra en la figura.

135

Unidad V: La calculadora

El manejo de la calculadora es fácil, sólo es cuestión de presionar los botonescorrectamente.

La calculadora la podemos utilizar para realizar las operaciones, o bien, paracomprobar los resultados.

Por ejemplo, para comprobar la siguiente suma:

134 + 125 =

presione los botones en el siguiente orden, y vea que correspondan los númeroscuando aparezcan en la pantalla.

Si comparamos este resultado con el de la suma anterior, comprobaremos queson iguales.

Recuerde que después de presionar los botones, aparecen en la pantalla los númerosa sumar; luego, se presiona el botón + después de cada sumando; y al final, elbotón = para obtener el resultado.

Ahora tratemos de usar la calculadora para comprobar la cuenta que hizomentalmente la señora Reyna.

1 3 4+ 1 2 5

2 5 9

1 3 4 134.

+ 134.

1 2 5 125.

= 259.

Paso

1

2

3

4

5

Botones que debe presionar Debe verse en pantalla

ON 0.

Aritmética

136

Si un par de zapatos cuesta $155 y el otro $170, entonces ella debe juntar$325, según la cuenta que sacó.

Hagamos la suma con la calculadora y comparemos resultados.Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan los númeroscuando aparezcan en la pantalla.

Ejercicios

Resuelva las siguientes sumas en su cuaderno de ejercicios. Hágalas a mano, conlápiz, y después, compruebe los resultados con la calculadora.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

125+ 325

558+ 486

504+ 206

836+ 957

186+ 35

138+ 457

13826

+ 143

58562

+ 104

825308

+ 17

56125

+ 86

57586

+ 174

1,356401

+ 17

1,3562,854

+ 326

1,7544,003

+ 245

1,750135

+ 4,827

5,345987

+ 6,930

2,345678

+ 9,012

1 5 5 155.

+ 155.

1 7 0 170.

= 325.

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

137


También podemos usar la calculadora para efectuar sumas con decimales.Ejemplo. 15.85 + 36.55 + 8.72 =

Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan los números en lapantalla.

Unidad V Tema 2Sumas de decimales con calculadora

1 5 . 8 53 6 . 5 5

+ 8 . 7 26 1 . 1 2

Paso

1

2

3

4

5

6

7


ON 0.

15.85

15.85

36.55

52.4

8.72

61.12

1 5 . 8 5

+

3 6 . 5 5

+

8 . 7 2

=

Aritmética

138

Ahora, tratemos de usar la calculadora para comprobar la cuenta que hizo laseñora Hilda al comprar su mandado.

Del huevoDe la mayonesaDel pan molidoDel jamón

Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan los númeroscuando aparezcan en la pantalla.

Si comparamos este resultado con el de la señora Hilda comprobaremos que soniguales; en la calculadora aparece sólo un decimal, para expresar los centavos seaumenta un cero.

Las cuentas están correctas.

es el resultado que obtuvo ella.

$ 8 . 0 0$ 7 . 5 0$ 2 . 5 0$1 2 . 8 0$3 0 . 8 0

Paso

1

2

3

4

5

6

7

8

9


ON 0.

8.

8.

7.50

15.5

2.50

18.

12.80

30.8

8

+

7 . 5 0

+

2 . 5 0

+

1 2 . 8 0

=

139


1 5 . 8 5+ 1 3 . 5 0 2 9 . 3 5

Ejercicios

Resuelva las siguientes sumas con decimales en su cuaderno de ejercicios.Hágalas a mano, con lápiz, y después, compruebe los resultados con la calculadora.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

24.3412.50

138.56 + 26.20

34.5054.98

248.99+ 14.32

Ejemplo 15.85 + 13.50 =

1 5 . 8 5

+

1 3 . 5 0

=

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

15.85

15.85

13.50

29.35

2,335.48015.624

+ 12.039

18.00011.2400.202

+ 426.220

7.8101.120

0.361+ 58.514

1,900.000545.800

+ 10.365

64.230244.673932.120

+ 6.000

123.04518.060

+ 3.580

55.99032.003

+ 48.510

12.245.08

+ 32.64

6.47.8

+ 6.9

1,428.0602.006

3,504.260 + 14.200

Aritmética

140

Unidad VTema 3Restas con calculadora

Con la calculadora también podemos realizar y comprobar restas.

Ejemplo. 893 – 125 =

Para realizarlas se efectúa lo siguiente.

Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan los númeroscuando aparezcan en la pantalla.

8 9 3- 1 2 5

7 6 8

141


Al comparar este resultado comprobaremos que los resultados son iguales y, porlo tanto, son correctos.

Ahora, trataremos de comprobar la resta que hizo la señora Hortensia parasaber cuánto le sobra de cambio al pagar $25 con un billete de $50.

Su cuenta:

Usemos la calculadora para verificar el resultado.

Presione los botones en el orden que se muestra y vea que correspondan losnúmeros que aparecen en la pantalla.

Si comparamos este resultado con el de la cuenta de la señora Hortensiacomprobaremos que son iguales, por lo tanto es correcto el resultado.

8 9 3

-

1 2 5

=

5 0

-

2 5

=

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

893.

893.

125.

768.

5 0 - 2 5

2 5

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

50.

50.

25.

25.

Aritmética

142

Ejercicios

Resuelva las siguientes restas en su cuaderno de ejercicios a mano, con lápiz, ydespués, compruebe los resultados.

Ejemplo

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

25- 18

36- 15

56- 27

86- 35

61- 16

81- 39

117- 85

152- 96

305- 26

570- 59

806- 107

536- 125

1497- 309

2865- 136

375- 186

545- 109

8,259- 1,036

13,579- 2,468

15,939- 9,586

2,468- 357

3 5 8- 1 7 3

1 8 5

3 5 8

-

1 7 3

=

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

358.

358.

173.

185.

359,682- 103,097

896,250- 642,939

256,706- 189,101

93,065- 108

143


Unidad V Tema 4Resta de decimales con calculadora

Las restas con decimales también se pueden comprobar con la calculadora.

Ejemplo.

Para realizarlas se efectúa lo siguiente.Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan los númeroscuando aparezcan en la pantalla.

1 7 . 8 5

-

3 . 5 0

=

1 7 . 8 5- 3 . 5 0 1 4 . 3 5

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

17.85

17.85

3.50

14.35

Aritmética

144

Comprobemos ahora la resta que hizo la señora Andrea para saber cuánto le faltapara comprar su estufa que cuesta $2,249.30, si ella tiene $2,195.80.

Para realizarla se efectúa lo siguiente.Presione los botones en el orden señalado y vea que correspondan los númerosque aparecen en la pantalla.

Si comparamos este resultado con el que obtuvo la señora Andrea comprobamosque son iguales, por lo tanto, es correcta la cuenta que hizo.

Al comparar este resultado con el de la resta anterior comprobamos que son iguales,por lo tanto, es correcto.

Su cuenta es:

2 , 2 4 9 . 3 0 - 2 , 1 9 5 . 8 0 5 3 . 5 0

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

2249.30

2249.3

2195.80

53.5

2 2 4 9 . 3 0

-

2 1 9 5 . 8 0

=

145


Ejercicios

Resuelva las siguientes restas con decimales en su cuaderno de ejercicios.Hágalas a mano, con lápiz, y después, compruebe los resultados con la calculadora.

Ejemplo

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

364.386- 125.146

285.360- 6.048

13,579.86- 249.85

1 5 . 8 5- 1 3 . 5 0 0 2 . 3 5

1 5 . 8 5

-

1 3 . 5 0

=

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

15.85

15.85

13.50

2.35

51.80- 35.45

582.62- 33.19

185.36- 6.05

595.84- 204.36

493,579.30- 2,848.03

175.300- 8.369

150.86- 17.00

Aritmética

146

Tema 5Multiplicación con calculadora

Unidad V

Con la calculadora también podemos hacer y comprobar multiplicaciones.Por ejemplo, comprobemos la multiplicación que hizo la señora Isabel para sabercuánto iba a reunir de cooperación de los 384 alumnos, si cada uno daría $165.00.

Hagamos la multiplicación en la calculadora realizando losiguiente.

Presione los botones en el siguiente orden y vea quecorrespondan los números cuando aparezcan en la pantalla.

3 8 4x 1 6 5

1 9 2 02 3 0 4 03 8 4 0 06 3 3 6 0

3 8 4

x

1 6 5

=

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

384.

384.

165.

63360.

147


Ejercicios

Resuelva en su cuaderno de ejercicios las siguientes multiplicaciones y compruebesu resultado en la calculadora.

Ejemplo

Al comparar el resultado con el que obtuvo la señora Isabel comprobamos queson iguales, entonces la cuenta de ella es correcta.

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○

○

○

○

○

○

○

10,043x 1,031

18,963x 2,008

13,957x 139

48,976x 798

3,085x 16

4,021x 109

5,480x 202

4,1002x 306

1,890x 107

749x 35

863x 66

348x 72

583x 33

564x 46

5 1 9

x

3 6

=

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

519.

519.

36.

18684.

5 1 9 x 3 6

3 1 1 4 1 5 5 7 0 1 8 6 8 4

Aritmética

148

Unidad VTema 6Multiplicación de decimales con calculadora

También con la calculadora podemos hacer las multiplicaciones con decimales.

Por ejemplo, comprobemos la multiplicación que hizo la señora Rebeca para sabercuánto dinero necesita para comprar los 6 litros de leche, si cada litro cuesta $4.80.

Su cuenta la hizo así:

Recuerde recorrer el punto decimal en el resultado.

4 . 8 0x 62 8 . 8 0

2 lugares

2 lugares

Hagamos con calculadora la multiplicación con decimales realizando lo siguiente.Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan los númeroscuando aparezcan en la pantalla.

149


Ejercicios

Observe que cuando se usa la calculadora no es necesario recorrer el punto decimalen el resultado; al comparar éste con el de la cuenta que hizo la señora Rebecason iguales, por lo tanto, es correcta su operación.

4 . 8 0

x6

=

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○

○

5 7 . 3 5

x

1 . 5

=

Paso1

2

3

4

5


ON 0.

4.804.8

6.28.8

Resuelva las siguientes multiplicaciones con decimales, en su cuaderno de ejerci-cios. Primero hágalas a mano, con lápiz, y después, compruebe los resultados conla calculadora.

EjemploPaso

1

2

3

4

5

ON 0.

57.35

57.35

1.5

86.025


57.35x 1.528.67557.35086.025

13.49x 3.2

25.79x 9.7

978.3x 0.86

8.547x 9.9

34.28x 5.03

24.76x 8.91

4,298x 8.09

329.6x 0.79

779.6x 9.6

4,275x 0.16

64.298x 1.03

712.45x 9.06

4,078.3x 0.36

Aritmética

150

Tema 7División con calculadora

Unidad V

Para realizarla se presionan los botones en el siguiente orden y se ve quecorrespondan los números cuando aparezcan en la pantalla.

Comparamos este resultado con la división que se realizó antes y comprobamosque el resultado es igual, por lo que está correcto.

La calculadora también se puedeusar para hacer y comprobardivisiones con números enterosy decimales.

Ejemplo.

5 4 3 0÷

1 5=

3 6 21 5 5, 4 3 0

- 4, 5 0 09 3 0

- 9 0 03 0

- 3 00

Paso

1

2

3

4

5


ON 0.

5430.

5430.

15.

362.

151


Comprobemos ahora la división que hizo la señora Inés cuando compró la tela parasus colchas. Su cuenta es: 5.55 ÷ 1.5 =

Hagamos la comprobación de esta división usando la calculadora.Presione los botones en el siguiente orden y vea que correspondan con losnúmeros cuando aparezcan en la pantalla.

Observe que cuando se usa calculadora no es necesario convertir el divisor a númeroentero.Al comparar los resultados se tiene que son iguales, por lo que están correctas.

Ejercicios

88 ÷ 4 = 35.6 ÷ 4.5 =63 ÷ 7 = 78.9 ÷ 3.6 =84 ÷ 7= 5.2 ÷ 1.4 =135 ÷ 9 = 9.37 ÷ 2.5 =4,625 ÷ 25 = 54 ÷ 0 .4 =15,633 ÷ 27 = 86 ÷ 0.7 =1,164 ÷ 12 = 10.42 ÷ 0 .37 =824 ÷ 152 = 142 ÷ 0.38 =30,108 ÷ 78 = 0.1724 ÷ 1.03 =

Recuerde que, antes de hacer a mano, la división sedebe convertir el divisor a número entero recorriendoel punto decimal.

○

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○

○

○

○

Resuelva las siguientes divisiones de números enteros y decimales en su cuadernode ejercicios. Primero, hágalas a mano, con lápiz, y después, compruebe losresultados con la calculadora.

3 . 71 5 5 5 . 5

- 4 5001 0 5

- 1 0 50

5 . 5 5÷

1 . 5=

Paso1

2

3

4

5


ON 0.

5.555.55

1.53.7

Los porcentajes y la regla de tres

Un

idad

VI

Un

idad

VI En esta unidad usted aprenderá a:

• Utilizar los porcentajes y la regla de tres.

Le servirá para calcular:• El Impuesto al Valor Agregado (IVA).• Deducciones al sueldo por concepto de

impuesto y seguro social.• El aumento en el salario.• Tasas de intereses bancarios.• Recargos por pago extemporáneo, aumento

en los precios.• Comisión por ventas realizadas.• Aumentos o reducciones en las ganancias.

Para aprender a aplicar los porcentajes yla regla de tres se necesita:

• Saber multiplicar y dividir, así como manejarlos números decimales.

Tema 1 Ofertas y descuentos

Tema 2 El Impuesto al Valor Agregado (IVA)

Tema 3 Interés

Tema 4 Aumentos y reducciones

Tema 5 ¿Qué es el tanto por ciento?

Tema 6 Regla de tres

154

Aritmética

Tema 1Ofertas y descuentos

Unidad VI

En el tianguis le ofrecen a la señora Chela, como oferta, 20 naranjas de regaloen la compra de cada 100 naranjas, es decir, le regalan el 20% de lo que compre(% se lee "por ciento").

Como la señora Chela necesita muchas naranjas para dar jugo en el desayuno a sufamilia, le compra 250 naranjas.

¿Podría usted ayudar a la señora Chela a saber cuántas naranjas le tienen queregalar en la compra de 250 naranjas?

La señora Chela piensa así:

Con las 250 naranjas más las que me regalan, sí me alcanza para toda la quincena.Entonces, si por 100 naranjas me regalan 20, por 100 naranjas más me regalanotras 20 y por 50 naranjas más, como es la mitad de 100 y por 100 me dan 20,entonces, por 50 me dan la mitad de 20, por lo tanto me regalan otras 10.

155

Unidad VI: Los porcentajes y la regla de tres

Así entonces, en la compra de 250 naranjas me deben regalar:

20 + 20 + 10 = 50, 50 naranjas.

Una forma más directa de calcular cuántas naranjas le deben regalar a la señoraChela es aplicando el tanto por ciento.

250 x 20% = 50

Así entonces, un porcentaje (20%) se puede escribir como un decimal (0.20).

20% es lo mismo que decir: 20 ÷ 100, lo que da 0.20.

Para cambiar un porcentaje a decimal, simplementehay que quitar el símbolo % y dividir entre 100(o correr el punto dos posiciones a la izquierda).

Doña Chela se dio cuenta que es fácil manejar el tanto por ciento.Nada más se cambia el porcentaje a decimales, dividiéndolo entre 100, y luegomultiplicando este decimal por el número al que se quiere sacar el tanto por ciento.

Entonces, el 20% de 250 naranjas se obtiene multiplicando 250 x 0.20 = 50

Por lo tanto, en la compra de 250naranjas doña Chela recibe 50naranjas gratis.

Un porcentaje es una manera conveniente de expresar un númerocomo parte de un ciento; así, 15% significa 15 de cada 100.El símbolo % se lee "por ciento".

2 01 0 0

20 % = = 0.202 01 0 0

Si es el 20%, se dice que son:veintede cadacien

2 5 0 x . 2 0 2 lugares 5 0 . 0 0 2 lugares

156

Aritmética

Primero cambia a decimales el porcentaje, dividiéndolo entre 100 ( ).

Ejemplos

Con esto sabe que el 40% es igual a 0.40 (también puede recorrer dos posicionesa la izquierda el punto decimal).

Ahora que sabe manejar el tanto por ciento se da cuenta que es muy útil en losdescuentos y rebajas.

Entonces el descuento que le hacen es de $19.20, que es el 40% de $48.00.

40% = 0.40 correr 2 lugares

Como 40 entre 100 no cabe, sube un punto alcociente y se hace la división normal.

1. La señora Teresa escuchó en la radio que en una tienda de autoservicio ofrecenel 40% de descuento en toda la línea de jamones de una marca determinada.Ella compra 1 kilo de jamón que cuesta $48.00. ¿Podría usted ayudarle a sabercuánto dinero le descontarán en la caja al pagar el jamón?

Ella hace sus cuentas así:

0 . 41 0 0 4 0 . 0

0

Multiplica lo que pagó por eldecimal que obtuvo

4 01 0 0

Ella paga: cantidad que compradescuentocantidad a pagar

4 8 . 0 0- 1 9 . 0 0

2 8 . 0 0

4 8x . 4 0

1 9 . 2 0 2 lugares2 lugares

157


2. La señora Alejandra, después de ir al médico, surte su receta en la farmaciade la esquina; ella pidió una caja de "neomelubrina" con tabletas de 500 mg quecuesta $11.00. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánto deberán cobrarle si ledeben hacer un descuento del 15%?

Primero, expresamos el 15% en decimales.

Luego, se multiplica el precio original por el decimal.

Ahorro o rebaja = 11 x 0.15 = 1.65

Entonces, la cantidad que la señora Alejandra debe pagar por la caja de"neomelubrina" es: 11 - 1.65 = 9.35

En muchos problemas se necesita multiplicar o dividir con porcentajes. Para realizarestas operaciones siempre se requiere cambiar los porcentajes a decimales.

Recuerde que, para cambiar un porcentaje a decimal sólo se escribe el por cientosin símbolo (%) y se divide entre cien o, lo que es lo mismo, se recorre el puntodecimal 2 lugares a la izquierda.

15% = = 0.15

Regla. El ahorro o rebaja de una oferta (expresado como un tantopor ciento de descuento) se calcula multiplicando el precio base porel porcentaje expresado en decimal.El precio a pagar (precio oferta) es igual al precio base menos larebaja.

Rebaja = Precio x porcentaje de descuento (en decimales) Precio a pagar = Precio original base – rebaja

1 51 0 0

158

Aritmética

1 5 0 x . 1 5 2 lugares 7 5 0

1 5 02 2 . 5 0 2 lugares

Cómo calcular el descuento o rebaja cuando se anuncia una oferta en un porcentaje.

El 15% de $150.Primero, cambie el porcentaje a decimal,

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Ejercicios

Cambie los siguientes porcentajes a decimales.

Ejemplos

Recuerde que la rebaja o descuento se obtiene multiplicando el preciobase por el tanto por ciento expresado en decimal.

30% 10% 9% 135%25% 18%8.3% 10.2%16.3% 135.8%103.4%

15% = = 0.15 o 15% = 0.15

Luego, multiplique la cantidad por el tanto por ciento expresado en decimal.

1 51 0 0

Por lo tanto, el 15% de $150 son $22.50.

75% = = 0.75 o 75% = 0.75

130% = = 1.30 o 130% = 1.30

3% = = 0.03 o 3% = 0.03

75100

3100

130100

159


Problemas

1. La señora Martha compra una caja de "Tesalón perlas" en la farmacia dondehacen un descuento del 15%. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánto tendrá quepagar con todo y descuento, si el medicamento cuesta $57?

2. Una tienda de autoservicio ofrece un 35% de descuento en todo el departamentode carnes. Si la señora Laura compra un kilo de "falda para deshebrar" quecuesta $35, ¿podría usted ayudarle a saber cuánto tendrá que pagar con todo ydescuento?

3. En la mueblería de Armandohacen un descuento del 18%por pronto pago. Si la señoraIsabel compra un refrigeradormod. R1907 que tiene un precio delista de $3,400, ¿podría ustedayudarle a calcular en cuánto lesaldrá el refrigerador si lo pagade contado?

Ejercicios

1. Calcule el porcentaje en las siguientes cantidades.

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a) 25% de $1,750

b) 49% de $3,000

c) 5% de $128

d) 3.5% de $1,285

e) 6% de $450

f) 38% de $10,000

g) 1.75% de $8,500

i) 12.5% de $3,480

j) 5% de $180

160

Aritmética

Tema 2El Impuesto al Valor Agregado (IVA)

La señora Elena compra una licuadora de 10 velocidades que cuesta $265 más IVA.¿Podría usted ayudarle a saber cuánto tendrá que pagar si el IVA es del 15%?

Unidad VI

Si el valor de la licuadora de 10 velocidades es $265.00, el IVA de esta cantidadserá:

15 ÷ 100 = 0.15

265 x 0.15 = 39.75

Por lo que para conocer el valor de la licuadora con el IVA incluido, se debe sumara su precio el 15%:

$265.00 + $39.75 = $304.75

Por lo que la señora Elena tendrá que pagar $304.75.

IVA quiere decir Impuesto al Valor Agregado, en México es del 15%.Esto implica que se debe agregar al valor de lo que se compre el 15%.

161


El IVA desglosado

Ejemplo

A la señora Mónica le ofrecen en la mueblería un horno de microondas en $2,990,precio que ya incluye el 15% de IVA. ¿Podría usted ayudar a la señora Mónicaa calcular cuál es el precio de la estufa sin IVA?

Para calcular directamente el precio del artículo con todo y su IVA, se puedemultiplicar por 1.15, porque si a su precio le agregamos 0.15, es lo mismo quemultiplicar por 1.15. Observe:

265 x 1.15 = 304.75

Cuando un artículo ya tiene incluido el IVA en su precio, y se quiere saber su valorsin el IVA, en lugar de multiplicar por 1.15 se divide entre 1.15. Observe:

80.50 ÷ 1.15 = 70

Como el precio que me dan es conel IVA incluido, entonces lo dividoentre 1.15:

$2,600 es el precio sin el IVA.

Para calcular el precio de un producto con todo y el IVA multiplique elprecio del producto por 1.15:

precio sin IVA x 1.15 = precio con IVASi tiene el precio de un producto con su IVA incluido, y quiere conocercuánto vale el producto sin IVA, divida al precio con IVA entre 1.15:

precio con IVA ÷ 1.15 = precio sin IVA

La señora Mónica piensa así:

$2,9901.15 = $2,600

162

Aritmética

Ejercicios

1. Calcule el importe del Impuesto al Valor Agregado de las siguientes compras,si el IVA es del 15%.

2. Calcule el total que se debe pagar si a las siguientes cantidades se les aumentael 15% de IVA.

Por $385 más IVA se paga en total $__________________Por $1,350 más IVA se paga en total $ __________________Por $2,830 más IVA se paga en total $ __________________Por $4,026 más IVA se paga en total $__________________Por $5,630 más IVA se paga en total $ __________________

3. Calcule el IVA y el precio de las siguientes cantidades que ya tienen incluido el15% de IVA.

I V A Precio

Ejemplo En $414 es $54.00 $360.00

En $2,242.50 es _________ _________

En $1,559.40 es _________ _________

Problemas

La señora Gloria compró en una tienda de electrodomésticos una tostadora"Moulinex" en $415 más 15% del IVA. Ella, al pasar a pagarla en la caja, da unbillete de $500. ¿Podría usted ayudarle a saber cuánto le devolverán de cambio?

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a) 79.85 e) 12,000b) 200 f) 48.70c) 5.40 g) 135,250.80d) 9.80 h) 698.70

163


Unidad VI Tema 3Interés

La señora Carmen pidió un préstamo, a la caja de ahorros, de $3,000.00 con uninterés mensual del 8% y quiere saber cuánto debe pagar en total al términode 3 meses.

Ella hace su cuenta de esta forma:

Por cada mil pesos tendría que dar 80 pesos, por tres mil pesos tengo que dar240 pesos; entonces, mensualmente tengo que pagar $240, y por tres mesesserán: 240 x 3 = 720, de interés; entonces, en total tengo que pagar $3,720.00

El interés es la cantidad que se paga por el uso del dinerodurante cierto tiempo (día, semana, mes, año, etcétera).

164

Aritmética

El interés se expresa en porcentaje.Por ejemplo, si pidió un préstamo de $3,000.00 con un interés del 8% mensual, altérmino de tres meses el interés a pagar será:

3,000 x 0.08 = 240, al mes.

Entonces, en 3 meses serán:

Problemas

1. La señora Martha está juntando dineroen una caja de ahorro. Ella pide un préstamode $750 para cubrir los gastos médicosde su hijo que está enfermo. ¿Puede ustedayudarle a saber cuánto tiene que pagar deinterés mensual, si le cobran el 6.65% derédito al mes?

2. Doña Inés abrió en el banco una cuenta de ahorros con $12,500.00; si el bancopaga el 11.4% de interés anual y ella no hace ningún movimiento durante todoel año, ¿podría usted ayudarle a saber cuánto tendrá ahorrado al término de12 meses?

3. La señora Araceli consiguió un préstamo de $5,000.00 que deberá pagar en seismeses con una tasa de interés anual del 24%. ¿Podría usted ayudarle a sabercuánto deberá pagar de interés al término del plazo?

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El interés por el uso de los 3,000 pesos, por tres meses, es de $720; por lo tanto,al término de los tres meses ella tendrá que pagar $3,720 pesos en total.

2 4 0 x 3 7 2 0

3, 0 0 0x .0 8

2 4 0.0 0

165


Unidad VI Tema 4Aumentos y reducciones

Al parecer, los precios nunca se reducen; sin embargo, en temporada algunosproductos bajan de precio, como es el caso del jitomate y la cebolla.

En el invierno pasado, el jitomate llegó a costar $20.00 el kg y la cebolla, $16.00;ahora, en este verano, el jitomate se cotiza en $8.00 el kg y la cebolla, en $6.00 el kg.¿Cuál de los dos productos bajó más de precio?

Para comparar la reducción en precios, conviene calcular en qué tanto por cientose redujeron los precios.

Para calcular el por ciento de reducción, se divideel monto de la reducción entre la cantidad baseo precio que se tenía antes de la reducción.

Porcentaje de reducciónen el precio del jitomate = x 100% = x 100% = 60%12

2020 - 8

20

166

Aritmética

Observe que la cebolla bajó ligeramente más de precio que el jitomate.

Para convertir un porcentaje a decimal se divide el tanto por ciento entre 100:

Luego, se multiplica por el precio base:

25% de 1.80 = 0.25 X 1.80 = 0.45

Entonces, el aumento en el preciodel kg de tortilla fue de:

$0.45

Por lo tanto, el nuevo precio del kg de tortilla será de:

$1.80 + $0 .45 =$2.25

Porcentaje de reducciónen el precio de la cebolla = x 100% = 62.5 %

25% = = 0.252 51 0 0

Ejemplo

Supongamos que ayer el precio de la tortilla era de $1.80 por kilo, y hoy se anunciópor la radio un aumento autorizado del 25% en el precio, ¿de cuánto fue elaumento en el precio del kg de tortilla?

¿Cuál será el nuevo precio de la tortilla con el aumento del 25%?

Para saber de cuánto fue el aumento en el precio, primero, conviene convertirel 25% a decimal.

16 - 616

167


El aumento en los precios

El mes pasado, el precio del kg de pechuga de pollo era de $28.00 y el del cartónde huevo (12 de huevos) era de $8.00. Ahora, el kg de pollo cuesta $32.00 y el huevoaumentó a $9.50. ¿Cuál de los dos productos aumentó más en su precio?

Como se ve, el pollo aumentó 4 pesos mientras que el huevo sólo aumentó $1.50.

Para comparar el aumento en los precios y saber cuál de los dos productos tuvoel mayor aumento, conviene calcular el aumento en porcentajes.

De qué tanto por ciento fue el aumento en el precio.

Observe que el precio del cartón de huevo aumentó en 18.25%, mientras que elprecio del kg de pollo sólo lo hizo en 14.28%.

Conociendo el tanto por ciento de aumento, se puede calcular en forma directael nuevo precio, de la siguiente manera:

(1 + 0.25) x 1.80 pesos = 1.25 x 1.80 pesos = 2.25 pesos

El precio anterior de un kg de tortilla era de 1.80 pesos. Si el aumento en el preciode la tortilla fue del 25%, entonces el nuevo precio del kg de tortilla será:

Regla. Para calcular el tanto por ciento de aumento, se divideel precio actual menos el precio anterior, entre el precio anterior,y se multiplica por 100%.

Por ciento de aumento en un kg de pollo: x 100% = 14.28%

Por ciento de aumento en el cartón de huevo: x 100% = 18.75%

Nuevo precio = ( 1 + ) x precio base

32 - 2828

9.50 - 88

% de aumento100

168

Aritmética

Nuevo precio = (1 + ) x precio base

Ejemplo

Don Ismael recibió un lote de prueba de 60 camisetas para vender; 20 camisetaseran chicas, 20 medianas y 20 grandes. En la semana, vendió 10 camisetas chicas,5 grandes y todas las medianas. Don Ismael estima que las camisetas se venden bieny desea hacerle un pedido al proveedor, pero el lote mínimo es de 180 camisetasy deberá indicar las cantidades que desea de las diferentes tallas.

Con base en el lote de prueba,don Ismael sabe que la camisetamediana es la que más se vende,luego le siguen las chicas y despuéslas grandes.Primero, determina losporcentajes de las ventas decamisetas chicas y grandes.

Como 60 camisetas eran todas lasque tenía, 60 equivale al 100%.Así, al dividir lo que vendió entre60, obtiene el porcentaje.

Ahora, aplica estos porcentajes a los 180 (y redondea, si es necesario) para sabercuántas camisetas chicas y cuántas grandes debe ordenar, y el resto deben ser medianas.

Regla. Si se conoce en qué tanto por ciento aumentó el precio deun producto, el nuevo precio se calcula en forma directa sumando 1al tanto por ciento expresado en decimal, y multiplicando por el preciobase (precio anterior).

Camisetas chicas: Camisetas grandes:

= 0.1666, o sea, 16.6% = 0.0833, o sea, 8.33%

% de aumento1 0 0

1 06 0

56 0

0.166 x 180 = 30 chicas0.0833 x 180= 15 grandes

30 + 15 = 45180 - 45 = 135 medianas

169


En muchas situaciones de la vida cotidiana y en el trabajo, nos interesa conocerqué tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto al total de unacantidad o de un conjunto de cosas.

Ejemplo: Qué tanto por ciento:

• Es el enganche en pesos en la compra de un carro.• Son 150 mujeres en una escuela de 600 alumnos.• Son 30 artículos defectuosos en un lote de 500.• Son 200 km recorridos en un viaje de 800 km.• Son 40 metros cuadrados de pintura de un muro de 90 m2 de superficie total.

Juanita compró un vestido de novia que cuesta $2,560 y le dieron facilidades depago para cubrir el total en 3 pagos, con un enganche de $500.00.

Unidad VI Tema 5¿Qué es el tanto por ciento?

170

Aritmética

Ejemplo

A doña Lupe, en la junta, le explicaron que de 120 estudiantes que presentaron elexamen de matemáticas sólo 96 obtuvieron calificación aprobatoria. Ella quieresaber cuál es el porcentaje de estudiantes reprobados.

Primero, se calcula el número deestudiantes reprobados:

120 - 96 = 24

Luego, se divide la parte entre eltotal:

Y después, se cambia el decimal por el porcentaje: se recorre el punto 2 posicionesa la derecha y se escribe el símbolo %.

20%

El porcentaje de estudiantes reprobados es del 20%.

Juanita desea saber qué tanto por ciento es el enganche.

Se divide el enganche entre el valor total del vestido:

= 0.195; ella dio 19.5% de enganche.5002,560

Observe que este tipo de problemas se resuelve dividiendo la parte entreel total, y cambiando el decimal por el porcentaje correspondiente.

Recuerde usted que un número decimal se puede expresar en porcentajerecorriendo el punto decimal dos posiciones a la derecha y escribiendo elsímbolo %.

= 0.202 41 20

171


Tema 6Regla de tres

Unidad VI

La señora Josefina fue a la carniceria a comprar $20.00 de carne molida.¿Cuánto debe marcar la báscula si el precio de la carne es de $38.00 el kilo?

Para resolver este problema, la señora Josefina se da cuenta que con los datosque tiene se pueden plantear dos relaciones del peso de la carne y su precio,como se muestra a continuación:

1. Por $38.00, puedo recibir 1 kg de carne.2. Por $20.00, ¿cuánto podré recibir?

Estas dos relaciones se pueden plantear de la siguiente manera:38 pesos 1 kg de carne20 pesos ? kg de carne

Estas relaciones significan lo siguiente:Si 38 pesos son para 1 kg de carne,20 pesos ¿a qué cantidad en kilos de carne corresponde?

172

Aritmética

Como se puede observar, en ellas existen 4 cantidades: 3 conocidas y unadesconocida (la cantidad de carne en kilos).

Para conocer la cantidad desconocida, se debe hacer lo siguiente:

La "regla de tres" no debe aplicarse cuando las cantidades no se relacionan demanera proporcional; por ejemplo, la edad y el peso de las personas no sonproporcionales, porque no tiene que ver nada el peso con la estatura. Puede haberuna persona muy alta y muy gorda, o una muy alta y muy flaca.

En la "regla de tres" las cantidades que se relacionan deben tener las mismasunidades, como se vio en la carne que compró la señora Josefina. En ambasrelaciones se tenían kg de carne y pesos.

La señora Josefina deberá recibir 0.526 kg de carne por $20.00

Resolver así este tipo de problemas se le conoce como "regla de tres".

1. Multiplicar en cruz las cantidades de las relaciones, como se muestra acontinuación:

Al resolver esta operación se obtiene la cantidad en kilos que recibirá la señoraJosefina por $20.00.

La "regla de tres" se aplica en problemas donde se trata deencontrar una cantidad, dado que se conocen otras tres relacionadas

? kg de carne x 38 pesos = 20 pesos x 1 kg de carne

2. Dejar sola la cantidad que no se conoce. Los 38 que están en el lado izquierdomultiplicando se pasan al lado derecho dividiendo:

? kg de carne =

38 pesos 1 kg de carne

20 pesos ? kg de carne

20 pesos x 1 kg de carne38 pesos

173


Ejemplo

Primero, ella plantea las dos razones:

1. 1.5 lllll, son para 12 m2

2. ? l l l l l, son para 20 m2

Al resolver la operación se obtiene que se requieren 2.5 litros para pintar los 20 m2

de la pared de la casa de doña Rita.

Ella se da cuenta que su problemase puede resolver por medio de una"regla de tres", porque se trata deencontrar una cantidad, dado quese conocen otras tres cantidadesrelacionadas en forma proporcional.

1. La relación se multiplica en cruz,

1.5 l l l l l x 20 m2 = ? lllll x 12 m2

2. Se deja sola la cantidad desconocida. Los 12 m2 que están multiplicando dellado derecho se pasan dividiendo del lado izquierdo:

= ? lllll1.5 lllll x 20 m2

12 m2

1.5 lllll x 20 m2

12 m2= 2.5 lllll

1.5 lllll 12 m2

? lllll 20 m2

Estas ralaciones se pueden plantear de la siguiente manera:1.5 lllll 12 m2

? lllll 20 m2

Para conocer la cantidad desconocida:

Doña Rita desea pintar su casa por la parte de afuera, que tiene un área de20 metros cuadrados. Si un bote de 1.5 litros de pintura le alcanza para cubrir12 metros cuadrados, ¿cuántos litros de pintura necesitará comprar?

Problemas

1. La señora Sofía llega a la carnicería de don Carlos y le pide $20.00 de carnemolida porque la necesita para la cena. ¿Podría usted ayudar a don Carlos a saberqué cantidad de carne debe despachar si el kilo cuesta $36.00?

2. La señora Carmen mandó hacer 54 recuerdos de boda con la señora Griselda.Ella cree que con la ayuda de otra persona podrá terminar 16 recuerdos en 3días. La señora Carmen desea saber a los cuántos días podrá terminar la señoraGriselda los 54 recuerdos.

3. Jesús pidió un préstamo por $2,500.00 a plazo de 2 meses, debiendo pagar entotal $2,650 al término del plazo. ¿Podría usted ayudarle a saber qué interésestá pagando?

4. La señora Ana compró un comedor a un precio de $3,580; al pagarlo en efectivo,en la caja le descontaron $716.00.

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Aritmética

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La señora Ana quiere saberqué porcentaje le descontaronal pagar en efectivo.

Autoevaluación

Llegó el momento de recordar los temas que estudió en esta unidad: Ofertas y descuentos,El Impuesto al Valor Agregado (IVA), Interés, Aumentos y reducciones, ¿Qué es el tanto porciento? y Regla de tres.

Lea cada problema y conteste sobre la línea.

1. La señora Clementina necesita comprar un uniforme para su hijo; si el costo deluniforme es de $260, pero hay una oferta y le hacen un descuento del 30%, ¿cuántotiene que pagar?

2. Después, compró un televisor a color con un costo de $2,456.00, al hacerle sufactura le aumentaron el 15% de IVA. ¿Cuánto pagó por el televisor?

3. Ella vende vestidos de novia en su casa. Cada vestido lo vende en $1,500 y le dan el 12%de comisión por cada uno. ¿Cuánto dinero recibe por la comisión de cada vestido?

4. De lo que recibe de gasto ahorra $350 mensuales; si en el banco le dan el 3% deinterés mensual, ¿cuánto dinero recibe de interés por cada $350 que ahorra?

175

5. Para guisar compró jitomate; el comerciante le comentó que dos semanas antescostaba $12.00 el kilo y ahora estaba a $18.00 el kilo. ¿Qué porcentaje aumentó elkilo de jitomate en comparación con su precio de hace dos semanas?

6. Doña Clementina compró una olla de aluminio en pagos; si el costo de la olla es de$370.00 y dio de enganche $120.00, ¿qué porcentaje representa el enganche delcosto de la olla?

7. Para estrenar la olla hizo un puchero de res y utilizó papas; si el kilogramo de papascuesta $8.50 y compra 2 kilos y medio, ¿cuánto gastó en las papas?

176

HOJA DE RESPUESTASUnidad VI: Los porcentajes y la regla de tres


Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

Respuesta correcta

$182.00

$2,824.40

$180.00

$10.50

50%

32.43%

$21.25

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Respuestas a los ejercicios y problemas

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Unidad 1. Los números

Tema 3. El metro: una recta con números

1. Cuenta de 5 en 5 la señora Amalia. (pág. 35)Respuesta5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60a) Cuenta de 3 en 3, si empieza en 13.Respuesta13, 16, 19, 22, 25, 28b) Cuenta de 7 en 7, si empieza en 27.Respuesta27, 34, 41, 48, 55, 62, 69c) Cuenta de 5 en 5, si empieza en 63.Respuesta63, 68, 73, 78, 83, 88, 93d) Si va de 9 en 9 y empieza en el 48.Respuesta48, 57, 66, 75, 84, 93e) Si va de 2 en 2 y empieza en el 75.Respuesta75, 77, 79, 81, 83, 85, 87f) Si va de 10 en 10 y empieza en el 30.Respuesta30, 40, 50, 60, 70, 80

2. Las inyecciones del hijo de la señora Bertha.Respuesta3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

3. La morralla de la señora Delia.Respuesta33 pesos.

Tema 4. Números ordinales y números romanos

1. Escriba el número ordinal. (pág. 37)Respuestas1a persona2o alumno8o pasajero5a calle3er pago1er lugar3er grupo5o mes

6o autobús4o edificio2a ocasión3a vez4o año1er salón7o asiento9o piso5o pagaré6a carrera

2. Escriba los números ordinales.Respuestas12o duodécimo18o décimo octavo25o vigésimo quinto30o trigésimo50o quincuagésimo97o nonagésimo séptimo86o octagésimo sexto76o septuagésimo sexto98o nonagésimo octavo

3. La fiesta de la señora Araceli.Respuesta16o aniversario.

1. Anote el valor de los números. (pág. 40)Respuestasa) C = 100b) XX = 20c) XXXI = 31d) DC = 600

2. Convierta a números romanos.Respuestasa) 27 = XXVIIb) 38 = XXXVIIIc) 169 = CLXIXd) 1,492 = MCDXCIIe) 973 = CMLXXIIIf) 427= CDXXVII

3. Convierta los siguientes números.Respuestasa) León 23b) Capítulo 16c) Siglo 18

179

Unidad I1. Suma y resta

Tema 1. La suma

1. La señora Félix hace un regalo. (pág. 52)DatosAhorró la primera semana $85.00 y la segunda semana,$46.00.Pregunta¿Cuánto tiene en total ahorrado?RazonamientoSe suman las dos cantidades ahorradas:85 + 46 = 131Respuesta$131.00 ahorrados.

2. El aumento a la colegiatura.DatosEl aumento a la colegiatura es de $25.00; este mes pagó$387.00.Pregunta¿Cuánto deberá pagar en la próxima colegiatura?RazonamientoA la cantidad que pagó este mes se le suma el aumento:387 + 25 = 412Respuesta$412.00 pagará de colegiatura.

3. La señora Irma compró tamales y atole.DatosPidió 4 "verdes", 2 "rojos" y 1 litro de atole;de tamales pagó $12.00 y del atole pagó $8.00.Pregunta¿Cuánto le deben cobrar?RazonamientoSe suman las dos cantidades:12 + 8 = 20Respuesta$20.00 le deben cobrar.

Tema 2. Suma con decimales

1. La despensa de la semana de la señora (pag. 56)Alicia.DatosCompró: 1 paquete de sopa, $1.50; 1 litro de aceite,$8.50; 1 kilo de arroz, $5.50; 1 kilo de frijol, $9.50;1 kilo de azúcar, $4.50 y 1 jabón de baño, $3.50.Pregunta¿Podría ayudarle a saber cuánto tiene que pagar?RazonamientoSe suman todas las cantidades que compró:1.50 + 8.50 + 5.50 + 9.50 + 4.50 + 3.50 = 33RespuestaTiene que pagar $33.00.

2. Andrea planea una salida al campo.DatosCompró: 3 atunes a $5.60 cada uno, 1 mayonesaa $10.00, 1 kilo de bistec a $34.50, 1 kilo de chorizoa $46.90 y 1 lata de chiles a $10.90.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cuánto gastó?RazonamientoSe suman las cantidades que pagó:5.60 + 5.60 + 5.60 + 10.00 + 34.50 +46.90 + 10.90 = 119.10RespuestaGastó $119.10.

3. La compra del mandado.DatosPagó $330.90 por una caja de jitomate, $450.50por una caja de tomate, $300.60 por un costal de cebolla y$210.05 por un costal de papa.Pregunta¿Cuánto pagó doña Leonor por su mandado?RazonamientoSe suman las cantidades que pagó:330.90 + 450.50 + 300.60 + 210.05 = 1,292.05Respuesta$1,292.05

4. Juan compró en un puesto de verduras.DatosPapa, $17.50; chile serrano, $25.35; chile poblano,$15.95 y calabaza, $17.70.Pregunta¿Cuánto pagó Juan por sus compras?RazonamientoSe suman las cantidades que pagó:17.50 + 25.35 + 15.95 + 17.70 = 76.50RespuestaPagó $76.50.

Tema 3. La resta

1. La colcha en abonos que compró (pág. 63)la señora Martha.DatosLa colcha le costó $550.00; ha pagado $375.00.Pregunta¿Cuánto es lo que le resta pagar?RazonamientoAl costo de la colcha se le resta lo que ha dado:550.00 - 375.00 = 175.00RespuestaLe resta pagar $175.00.

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2. Evelia recibió su tanda.DatosQuiere comprar una lavadora y desea saber el mejor precioen dos mueblerías. En una el precio es de $2,395.50 y en laotra de $2,485.80.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cuál es la diferencia deprecios en las dos mueblerías?RazonamientoSe restan ambas cantidades:2,485.80 - 2395.50 = 90.30SoluciónLa diferencia de precios es de $90.30.

3. Ana Luisa quiere comprar una blusa.DatosCosto de la blusa $123.50; paga con un billete de $200.00;el cambio que le queda quiere ahorrarlo.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber qué cantidad va a ahorrar?RazonamientoA la cantidad del billete se le resta el precio de la blusa:200.00 - 123.50 = 76.50RespuestaLa cantidad que va a ahorrar es $76.50.

4. La señora Graciela compró en la maderería.DatosCompró un barrote de 2 metros; utilizó un tramo de1.85 metros.Pregunta¿De qué tamaño es el tramo que le sobró?RazonamientoA los dos metros del barrote le resta el tramo que utilizó:2.00 - 1.85 = 0.15RespuestaLe sobra un tramo de 0.15 metros.

5. Los precios de una despensa.DatosEn una tienda la despensa cuesta $487.50, en otra tienda lamisma despensa cuesta $452.80.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cuánto se ahorra al comprarla más barata?RazonamientoAl costo de la despensa en la primera tienda se le resta elcosto de la despensa en la segunda tienda:487.50 - 452.80 = 34.70RespuestaSe ahorra $34.70.

2. La consulta con el doctor.DatosOfelia necesita estudios especiales que le cuestan$2,580.00; tiene un seguro de gastos médicos por lacantidad de $1,350.00 y el excedente lo cubrirá ella.Pregunta¿Cuánto tendrá que pagar ella?RazonamientoAl costo de los estudios se le resta la cantidaddel seguro de gastos médicos:2,580.00 - 1,350.00 = 1,230.00RespuestaLa señora Ofelia tendrá que pagar $1,230.00.

3. Llegó el recibo del teléfono.DatosPreviendo el gasto, la señora Karina guardó $200.00; elrecibo llegó de $178.00 y se decide ir a pagarlo.Pregunta¿Cuánto le sobra de cambio?RazonamientoA la cantidad que guardó le resta la cantidad del recibo:200.00 - 178.00 = 22.00RespuestaLe deben dar de cambio $22.00.

4. La señora Lucía para pagar la renta.DatosTiene $560.00 y le cobran $850.00 al mes.Pregunta¿Cuánto le falta para pagar la renta?RazonamientoAl costo de la renta se le resta la cantidad que tiene:850.00 - 560.00 = 290.00RespuestaA la señora Lucía le faltan $290.00.

Tema 4. Resta con decimales

1. La señora Luisa compró una licuadora. (pág. 67)DatosPrecio de la licuadora, $234.90; pagó $250.00y le entregaron de cambio $15.10.Pregunta¿Podría ayudarle a saber si su cambio se lo entregaron completo?RazonamientoAl precio de la licuadora se le resta lo que pagó:250.00 - 234.90 = 15.10RespuestaEl cambio que le entregaron es el correcto.

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Tema 4. Multiplicación con ceros en las cifras

1. La señora Martha teje. (pág. 93)DatosEl tejido tiene 104 hileras y en cada una hay 608 puntos.Pregunta¿Cuántos puntos ha tejido?RazonamientoSe multiplica el número de puntos que contiene cada hilerapor el número de hileras:608 x 104 = 63,232RespuestaHa tejido 63,232 puntos.

2. Doña Jesusa va a la leche.DatosPara ir y regresar de la leche da 805 pasos y va 5 días a lasemana.Pregunta¿Cuántos pasos da a la semana para ir y regresar de la leche?RazonamientoSe multiplica el número de pasos por los días:805 x 5 = 4,025Respuesta4,025 pasos.

3. Mary hace un vestido de china poblana.DatosEl vestido lleva 3,609 lentejuelas y en cada una da 6puntadas.Pregunta¿Cuántas puntadas tiene que dar?RazonamientoSe multiplica el número de lentejuelas por el número depuntadas:3,609 x 6 = 21,654Respuesta21,654 puntadas.

Tema 5. Multiplicación con decimales

1. La señora Pilar compra tela. (pág. 96)DatosPide 8 m de tela; cada metro le cuesta $12.50.Pregunta¿Cuánto tiene que pagar?RazonamientoSe multiplica los metros de tela por el precio:8 x 12. 50 = 100RespuestaTiene que pagar $100.00.

Unidad III. Multiplicación

Tema 1. La multiplicación

1. La señora Juanita prepara atole. (pág. 82)DatosNecesita comprar 3 litros de leche; el litro de lechecuesta $5.00Pregunta¿Cuánto debe pagar?RazonamientoSe multiplican los litros que necesita por el costo:3 x 5 = 15RespuestaDebe pagar $15.00.

2. Petra compra latas de duraznos.DatosCompra 5 latas de duraznos que le cuestan 13 pesoscada una.Pregunta¿Cuánto debe pagar?RazonamientoSe multiplica el costo de cada lata por 5:13 x 5 = 65RespuestaDebe pagar $65.00.

3. La señora Ana va de compras.DatosCompra 4 bolsas de globos a $9.00 cada una.Pregunta¿Cuánto debe pagar?RazonamientoSe multiplica el precio de las bolsas por 4:9 x 4 = 36RespuestaDebe pagar $36.00.

4. Martha compra mangos.DatosCompra 5 kilos de mangos a $7.00 cada kilo.Pregunta¿Cuánto tiene que pagar?RazonamientoSe multiplica el precio por kilo, por los kilos que compra:7 x 5 = 35RespuestaTiene que pagar $35.00.

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2. Rosalba prepara la comida.DatosCompra 5 paquetes de pasta a $1.80 cada uno y 1 barra demantequilla a $2.50.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cuánto tiene que pagar?RazonamientoSe multiplican los precios por la cantidad que se necesita:Pasta: 5 x 1.8 = 9Mantequilla: 1 x 2.50 = 2.50Luego se suman las 2 cantidades:9 + 2.5 = 11.5RespuestaTiene que pagar $11.50.

3. La orden de pago de doña Vicky.DatosLe llegó una orden de pago por 500 dólares; la casa decambio le paga por cada dólar $9.80 y de comisión por elservicio le cobran $1.50 por dólar.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cuánto debe cobrar,si su esposo le envió 500 dólares?RazonamientoSe multiplican los dólares enviados por el preciode cada dólar:500 x 9.80 = 4,900, $4,900Luego, se obtiene la cantidad que le cobran por comisión:500 x 1.50 = 750, $750Se resta al dinero enviado la cantidad que le cobranpor comisión:4,900 – 750 = 4,150RespuestaDebe cobrar $4,150.00.

4. El cambio de dólares sin comisión.DatosEl día de hoy el dólar está a $10.20 y se lo dan al precioreal sin comisión.Pregunta¿Cuánto recibió ella?RazonamientoSe multiplica la cantidad de dólares por el precio deldólar:500 x 10.20 = 5,100RespuestaRecibió $5,100.00.

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5. La señora Sofía.DatosSofía compró: 2 litros de leche a $5.50 cada uno,3 barras de chocolate a $ 2.20 cada una y 4 paquetes dedonas a $2.50 cada uno.Pregunta¿Cuánto pagó?RazonamientoSe multiplican los precios por las cantidades quecompra:5.50 x 2 = 11, 2.20 x 3 = 6.6, 2.50 x 4 = 10Luego, se suman:11 + 6.6 + 10 = 27.6RespuestaPagó $27.60.

Unidad IV. División

Tema 1. La división

1. La reparación de la lavadora. (pág. 110)DatosDe la compostura le cobran $52.00; quiere repartir lo quele cobran entre su nuera, sus dos hijas y ella.Pregunta¿Cuánto tiene que poner cada una para reparar lalavadora?RazonamientoSe divide la cantidad que le cobran entre 4:52 ÷ 4 = 13.00RespuestaCada una tiene que poner $13.00.

2. El reparto de la señora Elsa.DatosQuiere repartir $30.00 entre sus 2 hijos.Pregunta¿Cuánto deberá darle a cada uno de sus hijos?ProcedimientoSe divide los 30 pesos entre 2:30 ÷ 2 = 15RespuestaDeberá dar a cada uno $15.00.

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Tema 2. División con dos o más dígitos en el dividendo

1. La mueblería del señor Marcos. (pág. 114)DatosLe compran una recámara en $ 2,184.00 en 6 pagos.Pregunta¿De cuánto serán los pagos?RazonamientoSe divide el costo de la recámara entre el número de pagos:2,184 ÷ 6 = 364SoluciónCada pago será de $364.00.

2. La señora Rosa reparte los pasajes.DatosReparte $555.00 entre sus 3 hijos.Pregunta¿Cuánto deberá darle a cada uno de sus hijos?RazonamientoSe divide la cantidad de dinero entre 3:555 ÷ 3 = 185Respuesta$185.00 a cada uno.

Tema 3. División con dos o más dígitos en el divisor

1. La señora Paulina es presidenta (pág. 117)de la sociedad de padres de familia.Datos75 personas; costo total, $4,125.00.Pregunta¿Cuánto es el costo por persona o unitario?RazonamientoSe divide el costo entre el número de personas:4125 ÷ 75 = 35Respuesta$55.00 por persona.

2. Una señora le compró al señor Juan.DatosEl cobertor cuesta $375 y la señora pagará $25 a lasemana.Pregunta¿En cuántas semanas terminará de pagar?RazonamientoSe divide el costo del cobertor entre lo que pagarásemanalmente:375 ÷ 25 = 15RespuestaEn 15 semanas.

3. Doña Inés y la mueblería.DatosPrecio de la estufa, $1,244.00; enganche, $500.00; 12 pagos.Pregunta¿De cuánto serán los pagos semanales?RazonamientoSe resta el enganche al precio de la estufa:1244 - 500 = 744Se divide la diferencia entre el número de pagos:744 ÷ 12 = 62RespuestaCada pago semanal será de $62.00.

4. La señora Gabriela decora sus muebles.DatosHa decidido comprar carpetas tejidas; por piezale salen a $15.00 cada una y por docena a $132.00.PreguntaSi compra por docena, ¿a cómo le sale cada una?RazonamientoDivide el costo por docena entre 12:132 ÷ 12 = 11RespuestaLe sale cada una a $11.00.

Tema 4. División con ceros en el cociente

1. La señora Remedios quiere comprar. (pág. 121)DatosLa televisión le cuesta $2,198.00; su hijo pone la mitad paracomprarla al contado.Pregunta¿Podría usted ayudarles a saber cuánto tendrán que ponercada uno?RazonamientoSe divide el costo entre dos:2,198 ÷ 2 = 1,099.00RespuestaCada uno pondrá $1,099.00.

2. La señora Soledad compra leche.DatosLa pieza suelta le sale a $6.50 y la caja con 10 piezas de1 litro le cuesta $60.00.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber si le conviene comprar laleche por caja?RazonamientoSe divide el precio de la caja entre 10:60.00 ÷ 10 = 6.00RespuestaSí le conviene comprar la leche por caja, porque por litro lecuesta $6.50 y por caja le cuesta $6.00 el litro.

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Tema 2. El Impuesto al Valor Agregado (IVA)

La tostadora. (pág. 162)DatosCosto, $415 más el 15 % de IVA.Paga con un billete de $500.00Pregunta¿Cuánto le devolverán de cambio?RazonamientoSe obtiene el IVA:15% = = 0.15;

35% = = 0.35;

0.35 x 35 = 12.25Luego, se resta al precio el monto del descuento:35.00 – 12.25 = 22.75RespuestaPagará con todo y descuento $ 22.75.

3. En la mueblería de Armando.DatosCosto del refrigerador, $ 3,400.00; el descuento que hacenes del 18% por pronto pago.Pregunta¿En cuánto saldrá el refrigerador si lo paga de contado?RazonamientoSe obtiene la cantidad del descuento:18% = = 0.18;

0.18 x 3,400 = 612Para obtener el costo de contado se resta al precio lacantidad del descuento:3,400 – 612 = 2,788RespuestaLe saldrá en $2,788.00.

0.15 x 415 = 62.25Se calcula el costo total:415 + 62.25 = 477.25Costo de la tostadora + IVA = $477.25A los $500 que pagó se le resta el precio con IVA:500.00 - 477.25 =22.75RespuestaLe devolverán de cambio $22.75.

2. Una tienda de autoservicio ofrece el 35% dedescuento.DatosCosto del kg de carne para deshebrar, $ 35.00.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cuánto tendrá que pagarcon todo y descuento?RazonamientoSe obtiene la cantidad del descuento:

3. La señora Andrea compra jugos.DatosCada jugo cuesta $3.00 y la caja con 24 cuesta $60.00.Pregunta¿Podría usted ayudarle a saber cómo le convienecomprarlos?RazonamientoSe divide el costo de la caja entre 24:60.00 ÷ 24 = 2.50RespuestaLe conviene comprarlos por caja, porque por caja le cuestacada uno $2.50.

Tema 5. División con decimales

La señora Gloria necesita saber. (pag. 125)DatosSu hijo y dos amigos necesitan pagar un vidrio que cuesta$79.50.Pregunta¿Cuánto tendrá que pagar cada uno de ellos?RazonamientoSe divide el costo del vidrio entre 3:79.50 ÷ 3 = 26.50

SoluciónCada uno tendrá que pagar $26.50.

Unidad VI. Los porcentajes y la regla de tres

Tema 1. Ofertas y descuentos

1. La señora Martha compra una caja. (pág. 159)DatosCosto del medicamento, $57.00; descuento,15%.Pregunta¿Cuánto tendrá que pagar con todo y descuento?RazonamientoSe obtiene el descuento:

0.15 x 57 = 8.55Se le resta al costo del medicamento el descuento:57.00 - 8.55 = 48.45RespuestaTendrá que pagar la cantidad de $48.45.

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184

15% = = 0.15;15100

35100

18100

15100

16 recuerdos en 3 días

54 recuerdos ¿en cuántos días?16 recuerdos x ? días = 54 recuerdos x 3 días

185

Se realiza la operación:

RespuestaLa señora Griselda podrá terminar los recuerdos enonce días.

Tema 3. Interés

1. El préstamo que pidió la señora Martha. (pág. 164)DatosPidió un préstamo de $750.00 y le cobran el 6.65% derédito al mes.Pregunta¿Cuánto tiene que pagar de interés mensual?RazonamientoSe obtiene el porcentaje:

Luego, multiplica la cantidad del porcentaje por la cantidadque pidió:0.0665 x 750 = 49.875RespuestaPaga mensualmente $49.87, redondeando $50.00.

2. Doña Inés abrió una cuenta de ahorros.DatosCantidad, $12,500.00; el interés que paga el banco es de11.4% al año.Pregunta¿Cuánto tendrá ahorrado en un año?RazonamientoSe obtiene el interés ganado:

Se multiplica el interés por la cantidad depositada:0.114 x 12, 500 = 1,425Se suma la cantidad inicial al interés ganado:12,500 (de su ahorro) + 1,425 (de su interés) = 13,925RespuestaTendrá ahorrado $13,925.00.

3. La señora Araceli consiguió un préstamo.DatosEl préstamo es de $5,000.00 a pagar en 6 meses; el interésanual es de 24%.Pregunta¿Cuánto deberá pagar al término del plazo?RazonamientoSe obtiene la cantidad de interés ganado en 1 año:

0.24 x 5,000 = 1,200Para obtener el pago de interés por los 6 meses se divideentre 2 porque se trata de la mitad del año:1,200 ÷ 2 = 600Finalmente, se obtiene cuánto pagará al vencer el plazosumando la cantidad prestada al total de interés:5,000 + 600 = 5,600Respuesta$5,600.00

Tema 6. Regla de tres

1. La señora Sofía pide $20.00 de carne. (pág. 174)DatosEl kilo de carne cuesta $36.00, ella pide 20 pesos de carnemolida.Pregunta¿Qué cantidad de carne le deben despachar?Razonamiento1 kilo de carne es a $36.00a cuánto de carne equivalen $20.00Planteamos las relaciones y multiplicamos en cruz:

Respuesta0.555 kg o 555 gramos.

= 10.12554 x 316

= 0.555 kg1 kg x $20$36

1 kg x $20$36

= ? kg

54 recuerdos x 3 días16 recuerdos

= ? días

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24% = = 0.2424100

6.65% = =0.06656.65100

11.4% = = 0.11411.4100

1 kilo $36

? $201 kg x $20 = ? x $36

Se realiza la operación:

2. La señora Carmen mandó hacer recuerdos de boda.DatosSe requieren 54 recuerdos; con la ayudade otra persona podrá terminar 16 recuerdosen 6 días.Pregunta¿En cuántos días podrá terminar la señora Griseldalos 54 recuerdos?RazonamientoSe plantean las relaciones y se multiplica en cruz:

186

3. Jesús pidió un préstamo.DatosEl préstamo es de $2,500.00; el plazo otorgado es de 2meses y al término del plazo debe pagar un totalde $2,650.00.Pregunta¿Qué interés está pagando?RazonamientoSe plantean las relaciones:$2,500.00 100%$2,650.00 ?%Se multiplica en cruz y se deja sola la ?%$2,650.00 x 100% = $2,500.00 x ?%

Se efectua la operación:

RespuestaPagó el 80% de lo que debería pagar, por lo que ledescontaron el 20%.

4. La señora Ana compró un comedor.DatosEl precio del comedor es de $3,580.00; al pagar en efectivole descontaron $716.00.Pregunta¿Qué porcentaje le descontaron al pagar en efectivo?RazonamientoPagó: 3,580 - 716 = 2,864Se plantean las relaciones:3,580 100%2,864 ?%Se multiplica en cruz y se deja sola la ?%

En dos meses tiene que pagar el 100% del prestamo($2,500.00) más 6%:100% + 6% = 106%El 6% representa el interés por los dos meses.RespuestaEstá pagando el 3% mensual.

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= 106%$2,650.00 x 100%

$2,500.00

= ?%$2,650.00 x 100%$2,500.00

= 80%$2,864 x 100%$3,580

Segundaparte

Fracciones

Tema 1 La fracción

Tema 2 Las fracciones más utilizadas

Tema 3 Las fracciones grandes y chicas

Un

idad

VII

Un

idad

VII

En esta unidad usted aprenderá a:• Reconocer y dar valor a las fracciones.• Expresar cantidades en fracciones.• Convertir las fracciones en números decimales.• Conocer qué fracciones son más grandes que otras.• Usar las fracciones en la vida cotidiana.

Para estudiar esta unidad usted necesita:• Conocer los números enteros y decimales,

sumar, restar, multiplicar y dividir.

En esta parte del libro le recomendamos usar sucalculadora.

Fracciones

190

Tema 1La fracción

Unidad VII

Todos los días, la señora Rafa compra para la comida de su casa dos kilos y medio detortillas.

¿Cuántos kilos de tortillas compra a la semana?

Para conocer cuántos kilos de tortillas compra la señora Rafa, es necesarioentender cuánto compra diariamente. Se indica que doña Rafa compradiariamente dos kilos y medio. Esto significa que cada día compra dos kiloscompletos y la mitad de otro kilo.

Lo anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Observe que se pone primero el número 2, que indica la cantidad de kiloscompletos o enteros que se compran; siguiendo al 2 se coloca una cantidad condos números, uno sobre otro. Esto quiere decir que al 2 de los dos kiloscompletos se le agrega la mitad de otro kilo.

A los números que representan la partede algo se les llama fracciones.

2 kilos12

1 (una) 2 (mitad)

191

Unidad VII: Fracciones

Las fracciones se pueden presentar como quebrados, o sea, un número sobreotro, o como decimales.

Para convertir un quebrado a decimal sólo es necesario hacer la división delnúmero de arriba (numerador) entre el de abajo (denominador), como se indica acontinuación:

= 0.512

es más grande que12

18

Así, los 2 kilos de tortillas de doña Rafa se pueden escribir de la siguientemanera:

12

= 2.5 kilos2 12

porque, = 0.5

12 , se dice un medio.

Por eso, cuando se escribe 2 kilos, se dice dos kilos y medio, o dos kilos y unmedio, o dos y medio kilos.

12

El número de arriba, numerador, señala el número de porciones; el número deabajo, denominador, señala en cuántas porciones se dividió el entero. Entre másse divide el entero, la fracción que resulta es de menor tamaño; observe elsiguiente ejemplo:

12

0 . 52 1 . 0

0

12

(uno entre 2)12

Fracciones

192

Como es una mitad, cuando se tienen dos mitades se podría escribir ,

pero como

Lo que es verdad, porque una mitad más otra mitad (dos mitades) dan unentero:

= 1

1 kilo detortillas +

kilo

kilo

+ = 0.5 + 0.5 = 1.012

12

12 2

0

Conociendo esto, doña Rafa dice:

Total 17 kilos

lunes 2 kilos Y ½martes 2 kilos Y ½miércoles 2 kilos Y ½jueves 2 kilos Y ½viernes 2 kilos Y ½sábado 2 kilos Y ½domingo 2 kilos Y ½

Suma de kiloscompletos

14 kilos Suma de losmedios kilos = 3 ½

12

1

1

1

12

22

22

12

12

12

El total de tortillas compradas por doña Rafa fue:

14 kilos + 3 kilos12

entonces,

193


Doña Rafa podría haber convertido los a decimales y luego sumar:

Observe que es lamisma cantidad queobtuvo al sumar lasfracciones.

Recuerde que se puede representar también

por 0.5, al hacer la división de 1 entre 2:

A doña Rafa le conviene conocer las fracciones porque cuando necesita sabercuántos kilos de tortillas compra a la semana, no necesita contar las mitades.

Observe que, como los días de la semana son 7 y diariamente compra 2 kilos,sólo necesita multiplicar 2 x 7 para saber cuántos kilos compró en los 7 días.

Si convierte la fracción 2 a decimales,

2 = 2.5y hace la multiplicación,

2.5 x 7 = 17.5

Esta es la misma cantidad que obtuvo sumando los kilos completos y los medioskilos.

No se debe olvidar que las fracciones se refieren a una partede algo y que se expresan por medio de dos números, uno sobreel otro, o por medio de decimales.

12

Lunes 2 kilos = 2.5 kilos

Martes 2 kilos = 2.5 kilos

Miércoles 2 kilos = 2.5 kilos

Jueves 2 kilos = 2.5 kilos

Viernes 2 kilos = 2.5 kilos

Sábado 2 kilos = 2.5 kilos

Domingo 2 kilos = 2.5 kilosTotal 17.5 kilos

12121212121212

12

12

12

12

0 . 52 1 . 0

0

12Recuerde que 0.5 es igual a .

12

Fracciones

194

Ejercicios

Convierta a quebrados o a decimales, según haga falta.

a) 2 litros de leche = 2.5 litros de leche

b) 3 kilos de papa =

c) = 1.5 metros de tela

d) 4 docenas =

kilo12

1 kilo

+ +

1 kilo

Así como doña Rafa compró 2 kilos y un medio (o una mitad de kilo) de tortillas,también compró 2 kilos y un cuarto ( ) de carne molida; cuando compró los2 kilos de tortilla lo que hizo fue lo siguiente:

Cuando compró los 2 kilos de carne lo que hizo fue:

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

1 kg decarne

molida + +1 kg decarne

molida

1212

12

12

14

kg decarne

molida

14

14

195


Ejemplo

La señora Ana María hizo un pastel para ellay su hijo Pepito.En la mañana, Pepito se comió de pastely la señora Ana María otro .A la hora de la comida, Pepito se comió otro .

¿Cuánto comió la señora Ana María?¿Cuánto comió Pepito?¿Cuánto queda de pastel?

= una cuarta parte, y si se realiza la división 1 ÷ 4, se tiene:

Así, cuando se dice que se compran 2 kilos y cuarto de carne molida (2 kg)también se puede escribir 2.25 kilos de carne molida.

= 0.2514

14

14

14

14

0 . 2 5 4 1 . 0 0

2 014

Pastel de la señora A na M aría

Pastel en la mañana, después deque Pepito y la señora comieron

Ana María

Pepito

14

14

Pastel después de lacomida de Pepito

AnaMaría

Pepito Pepito

14

14

14

Fracciones

196

Un pastel dividido en tiene cuatro partes.

Por lo anterior, se ve que AnaMaría tomó , que haciendo ladivisión es 0.25, Pepito tomódos cuartas partes ( ), quehaciendo la división es 0.5:

En la mañana, de esas cuatro cuartas partes, una la tomó Pepito y otra la señoraAna María:

Al analizar los dibujos delpastel de la señora Ana María,nos damos cuenta que para quese lo comieran lo partió encuatro partes.

Pepito14

Ana María14

Pepito14

En la tarde, Pepito tomó otra parte:

De lo lo anterior, vemos que la señora Ana María sólo comió parte y Pepito 2cuartas partes:

24

14

+ 14

+ 14

+ 14

14

14

14

14

1

0 . 54 2 . 0

0

Pepito

14

14

14

14

Ana María

Pepito

quedó

197


Recuerde que 0.5 es igual a , lo que indica que Pepito comió medio ( ) pastel.(En el dibujo se ve que esto es verdad.)

Si Ana María y Pepito han comido del pastel lo siguiente:

Ana María, = 0.25

Pepito, + = 0.50

da un total de 0.75

Si vemos en el dibujo lo que se han comido, tenemos que se han comido trescuartas parte ( ); si se hace la división = 0.75, es la misma cantidad que seobtuvo al sumar los decimales, quiere decir que: = 0.75

Se han comido 0.75 de pastel o (tres cuartos); también se dice las trescuartas partes y sólo queda (un cuarto) de pastel.

Convierta a decimales o a quebrados, según el caso.

a) de pastel = 0.75 de pastel ejemplo

b) = 0.5 de litro

c) de kilo de crema =

d) kilo de chícharo =

e) 1 kilo de plátano =

f) = 1.5 kilos de mango

g) 2 litros de leche =

h) = 2.25 kilos de tortilla

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○

12

12

1414

14

34

34

34

34

34

12

14

141212

Ejercicios

Recuerde que: = 0.25, = 0.5 y = 0.7514

12

34

Fracciones

198

Con lo anterior, nos damos cuenta que las fracciones se pueden referir a partescompletas y porciones de estas partes, como a continuación se muestra:

2 tazas y = 2 tazas = 2.5 tazas

1 tabla y = 1 tablas = 1.5 tablas

1 kilo tortillas = 1 kilos de tortillas = 1.25 kilos de tortillas

1 pastel = 1 de pastel = 1.75 de pastel

4 naranjas y = 4 naranjas = 4.5 naranjas

4 naranjas y media

En estos ejemplos se observanpartes completas y una fracción.

Las fracciones pueden referirse sólo a partes del objeto o cosa que describen,como se muestra en los siguientes ejemplos:

medio plátano = plátano = 0.5 plátano

media naranja = naranja = 0.5 naranja

medio litro de aceite = litro de aceite = 0.5 litro de aceite

media taza de azúcar = taza de azúcar = 0.5 taza de azúcar

En todos estos casos, la fracción se refiere a una parte de lo que estárepresentando, no hay números enteros.

1212

12

1212

12

14

14

34

34

1212

12

12

199


72 = 3.5

= 3.5 = 3 12

72

Podría darse el caso de que una fracción sin tener números enteros representenúmeros enteros, como en el supuesto que se tengan 7 mitades de naranja, locual se puede expresar así:

lo que quiere decir que se tienen tres naranjas completas y una mitad.

3.5 2 7.0

1 0 0

En la mayoría de las ocasiones en que se utilizan las fracciones, se usanrefiriéndose al quebrado, como puede observarse a continuación:

medio kilo de carne molida = kilo de carne molida

tres cuartos de pastel = de pastel

dos kilos y cuarto de mango = 2 kg de mango

tres litros y medio de leche = 3 litros de leche

En la vida cotidiana no nos entenderían si dijéramos:

• punto cinco de kilo de carne molida,

• punto setenta y cinco de pastel,

• dos punto veinticinco de kilo de mango,

• tres litros y punto cinco de leche.

Entonces, ¿para qué sirve expresar las fracciones en decimales?

En realidad, expresar las fracciones en decimales nos es muy útil para hacercuentas con las fracciones (sumar, restar, multiplicar y dividir).

12

12

14

34

, haciendo la división72

Como sabemos que 0.5 = 12

, entonces tendremos:

Fracciones

200

"Pero si quiere uno menor, puede comprar uno de la mitad de un metro." "¡Ah!",dice la señora Lidia, "entonces los pedazos son de a medio metro".

El vendedor le dice, "sí, eso es, son de a medio metro". La señora Lidia le dice,"y por qué no pone mejor su letrero con fracciones, así:"

Tramos de tela de 2 m $8.00Tramos de tela de 1 m $4.00Tramos de m $2.00

"Sí, está bien", le dice el vendedor, "pero y si tuviera tramos de tela de la mitadde medio metro, ¿cómo le hago?"

Las fracciones las encontramos diariamente en casi todas las actividadescotidianas. Éstas se presentan en diferentes formas pero siempre significanuna división, observe el siguiente ejemplo.

La señora Lidia quiere comprar tela para hacer pañales, por lo que va al tianguis.En un puesto en donde venden retazos de tela encuentra un letrero como este:

Tramos de tela de 2 m $8.00Tramos de tela de 1 m $4.00La mitad de tramo de 1 m $2.00

La señora Lidia no entendió bien estas medidas, por lo que pidió al vendedor quele explique.

El vendedor le dice:"Mire, es muy fácil, tengotramos de a 2 metros ytambién tengo de a metro".

12

201


A esto, la señora Lidia le dice, "También se puede expresar con fracciones, pues lamitad de medio metro es un cuarto de metro ( ). Observe estos dibujos:"

"Este es un tramo de ametro."

"Así puede usted poner su letrero sin necesidad de tantas palabras."

Otros ejemplos de fracciones.

litro de leche

medio litro de leche

kg de café

medio kilo de café

naranja

media naranja

de taza

dos tercios de taza

"Este sería un tramo de ametro dividido en dos, loque da medios ( )."

"Vea usted cómo al dividirun medio ( ),se obtienen cuartos ( )."

Una fracción es una cantidad que significa una parte de algo,y se representa con dos números separados por una rayahorizontal o diagonal, o por decimales.

12

12

12

14

14

14

12

12 1

4

23

12

12

12

Fracciones

202

Como se mencionó antes, las fracciones también se usan para expresar laspartes en las que se divide un conjunto o grupo de cosas.

Así por ejemplo, se tiene que:

• Cuando dividimos una docena de huevos en dos, se dice que se tiene (media)docena de huevos.

• Cuando tenemos la mitad de una caja de refrescos, se puede decir que setiene (media) caja de refrescos.

• Cuando a un queso lo dividimos en cuatro, se tienen cuartos ( ).

• Si se tiene una docena y media de huevos, se puede escribir 1 docenas dehuevos; esto quiere decir que se tienen 12 huevos (una docena) más 6 huevos(media docena).

• Cuando se sirve una taza de café y se toma la mitad ( ), se dice que queda lamitad de la taza de café.

• Cuando han transcurrido 6 meses de un año, se puede decir que ha pasadomedio ( ) año.

Lo anterior se puede mostrar por medio de algunas figuras, de las que seobtienen fracciones al dividirlas en partes iguales. Observe usted:

Si a un entero se le divide en dos,se obtienen medios ( ).

Cuando se divide a algo en cuatro,entonces se tienen cuartos ( ).

12

12

12

12

14

12

12

14

203


Al dividir algo en 16, se tendrándieciseisavos ( ).En el dibujo sólo se muestran

y se dejan vacíos ,

o sea que, tenemos señalados.

Al dividir algo en 3,se obtienen tercios ( ).

Al dividir en 8 partes,se tendrán octavos ( ).

Observe usted que en este dibujo

sólo se escribió en 7 cuadritos,

o sea que, están señalados y no.

13

18

18

18

78

116

316

1316

316

Fracciones

204

Ejercicios

1. Si divido un plátano en dos partes iguales y me como una, ¿cuántas mitades mequedan?

2. Si parto tres naranjas a la mitad, ¿cuántas mitades tendré?

3. Si doña Rafa usa para un caldo 1 pollos y compró dos pollos completos,¿cuánto le sobra de pollo?

4. La señora Ana María usó para un pastel taza de azúcar y para unasgalletas de taza. ¿Cuánto usó de azúcar?

¿Qué se obtiene al dividiresta figura en 4?

Cualquier figura u objeto al dividirlo enpartes iguales puede generar fracciones;observe a un triángulo dividido en cuatro:

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○

○

○

○

¿Cuántas partes de esta figuratienen una marca?_______________ ( ).

Por lo que se puede decirque sólo están señalados_______________ ( ).

Aquí se marcan tres cuartos ( ).

12

12

14

Al dividir a esta figura en cincopartes se obtienen______________

34

205


medioo

un medio

cuartoo

un cuarto

tres cuartos

medio kilo de tortillasmedio litro de lechemedio metro de telamedio melónmedio pastelmedia taza de azúcar

un cuarto de pastelun cuarto de horaun cuarto de litroun cuarto de kilo

tres cuartos de litrotres cuartos de horatres cuartos de kilómetrotres cuartos de pastel

Se dice Se escribe Ejemplo de uso

= 0.7534

Existen algunas fracciones que se utilizan mucho, como las siguientes.

Unidad VII Tema 2Las fracciones más utilizadas

1 = 0.254

12 = 0.5

Fracciones

206

Estas fracciones, de manera gráfica, las podemos observar en los siguientesdibujos.

Medios Recuerde que:

12 = 0.50 1

4 = 0.25 34 = 0.75

2

= 0.512

= 0.512

Estas fracciones, como ya vimos en el tema 1, se pueden expresar comodecimales:

Cuartos Recuerde que:

Aquí podemos ver que dos mitades hacen un entero:

= 0.5 + 0.5 = 1.0+ 12

12

= 0.2514 = 0.251

4

= 0.2514= 0.251

4

Aquí podemos ver que dos cuartos hacen un medio ( ),

porque: = 0.25 + 0.25 = 0.5 = 12+ 1

414

12

14

14

12

=

0.51.0 0

0 . 2 54 1 . 0 0

2 0 0

207


También podría notarse que:

un medio y un cuarto ( + ) dan , porque:

= 0.5 + 0.25 = 0.75 =

Aquí podemos ver que tres veces hacen tres cuartos ( ),

porque:

Tres cuartos Recuerde que: = 0.75

El ejemplo tradicional de esta fracción es cuando un pastel es dividido en trespartes.

A cada una de estas tres partes se le llama (un tercio).

= 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75+ 14

14 + 1

4

34

Un tercioExpresado en fracción será:Y en decimal:

0.333

+

14 = 0.25 1

4 = 0.25

14 = 0.251

4 = 0.25

34

13

0 . 7 5 4 3 . 0 0

2 0 0

12

14

12

14

34

13

0.333 . 3 1.0. 00

10 .0 10 .

14

34

Fracciones

208

Ejercicios

1. De cuatro naranjas, ¿cuántas mitades se pueden obtener?

2. Si tengo 9 mitades de naranja, ¿a cuántas naranjas equivalen?

3. Si la señora Ana María compra kilo de azúcar y usa de kilo, ¿cuánto lequeda?

4. Si la señora Rafa compró pollo y posteriormente compró otro pollo,¿a cuántos pollos equivale lo que compró?

5. El señor Rodrigo fue a comprar el mandado. En la miscelánea sólo tienen bolsasde kilo de azúcar. Si el señor Rodrigo necesita un kilo y medio (1 kilos) deazúcar, ¿cuántas bolsas de kilo le darán?

6. Si divido un pastel en tres partes,

7. Si un pastel pesa un kilo, ¿cuánto pesará pastel?

8. ¿Cuántos cuartos ( ) caben en ?

También es común utilizar la fracción (dos tercios).

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○

○

○

○

○

○

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○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

= 0.333 + 0.333 = 0.666= +

En decimal:

12

14

12

121

2

12

12

Esta fracción significa dos veces ( ), lo cual se comprueba de la siguientemanera:

a) ¿cómo le llamaría a una de las tres partes?

b) ¿a cuánto equivale en decimales esa parte?

12

13

13

13

23

14

0 . 6 6 6 3 2. 0 0 0

2 0 0 2 0 2

23

23

34

209


Unidad VII Tema 3Las fracciones grandes y chicas

El señor Casimiro va a comprar una tabla para su casa; en la maderería le dicenque solamente tienen tablas de de pulgada y de de pulgada de espesor.

Si el Sr. Casimiro necesita la tabla más gruesa, ¿cuál de las dos debe comprar?

Para conocer qué fracción ( ó ) es más grande, el señor Casimiro conviertelas fracciones a decimales y compara los resultados.

convertidos a decimal es:

34

34

34

58

34

58

y convertidos a decimal:

de pulgada = 0.625 de pulgada58

58 0.625

5.0 20 40 0

8

de pulgada = 0.75 de pulgada40 . 7 53 . 0 2 0 0

Fracciones

210

Comparando de pulgada = 0.750 de pulgada y de pulgada = 0.625 depulgada, se observa que es mayor que ,por lo que comprarála tabla de de pulgada.

34

34

34

58

1

4 3

4 0 1 1

2 ( 4

4 )

1

4

1

4

1

4 1

4

18

12

12

12

1 =0 22

Un medio dividido en dos da (cuartos):14

Un cuarto dividido en dos da (octavos):

Observe usted cómo algunas fracciones se pueden obtener de dividir a la mitadotras fracciones.Un entero dividido en dos medios:

18

14

38

12

58

34

78

10

28

48

68

88

44( )

58

211


Si un octavo se divide en dos se tendrá (dieciseisavos):

Así pueden dividirse varias veces las partes de una fracción.

= 0.5 + 0.5 = 1.0, es un entero.

Las fracciones anteriores se pueden representar por medio de gráficascirculares; observe usted:

Un entero dividido en dos da medios ( ),

Un medio divido en dos da cuartos ( ),

dos cuartos: = 0.25 + 0.25 = 0.5

0.5 = , es un medio.

12

dos octavos: = 0.125 + 0.125 = 0.250

0.250 = , es un cuarto.

12

+ 18

18

14

12

12

14

14

14 1

8

18

18

28

38

48

58

68

78

88

0

316

216

116

116

Un cuarto dividido en dos da octavos ( ),

dos medios dan un entero, porque:

+ 12

12

14

+14

14

18

Fracciones

212

Si presentáramos en una recta todas las fracciones de un entero hastadieciseisavos ( ) tendríamos lo siguiente:

= 0.512

= 0.524

= 0.548

= 0.5816

Esto significaque todas estas fracciones son lo mismo.

Recta de las fracciones

Observe que aquellas fracciones que tienen varios valores en la recta, si lasconvertimos a decimales dan la misma cantidad.

Ejemplos

Si el señor Casimiro alseleccionar el espesor de latabla hubiera tenido una rectade las fracciones, como la que se muestra arriba, podría haber detectadofácilmente, sin convertir las fracciones a decimales, que es mayor que .

116

58

34

116

18

316

14

516

38

716

916

58

1116

34

1316

78

1516 1

216

28

616

24

1016

68

1416

22

416

48

1216

44

816

88

0

1616

12

213


En resumen, para conocer si una fracción es mayor que otra, puede usted tomarcualesquiera de estos dos caminos:

1. Busque las fracciones por comparar en una recta de fracciones y vea cuál es mayor.2. Convierta las fracciones a decimales y compare cuál es más grande.

Ejemplos (Use calculadora.)

1. ¿Qué fracción es mayor ó ?

Primer métodoBusco en la recta de las fracciones.

14

716

Segundo métodoConvierto las fracciones a decimales.

Observe que es mayor que 14

716

0.437 es mayor que 0.250.716 = 0.4375 1

4= 0.250

19

14

14 es más grande que 1

9

191

4

116

14

0 1 316

516

716

716

916

11 16

13 16

15 16

1 8

3 8

5 8

7 8

14

34

12

Si comparamos con , nos damos cuenta que entre más se divida al entero, setendrán fracciones de menor tamaño; así, es menor que , porque en unnoveno se divide al entero entre 9, y en un cuarto entre 4.

19

14

Fracciones

214

Ejercicios

1. ¿Qué fracción es menor?

ó

2. ¿Qué fracción es mayor?

ó

3. es menor que , porque convirtiendo a decimales tendremos:

= 0.6875 y = 0.75

Comparando, observamos que 0.6875 es menor que 0.5625.

En la recta de las fracciones localice y .

716

34

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

2. ¿Qué fracción es mayor ó ?

Convirtiendo a decimales tendremos:

= 0.625 y = 0.5625

Comparando, observamos que 0.625 es mayor que 0.5625.

En la recta de las fracciones localice y .

34

1116

34

916

58

58

916

58

916

1116

34

1116

581 1 3

4

215


Ejemplo

Dorotea necesita comprar 1 kilo de harina para un pastel. Si en la tienda sólotienen bolsas de kilo y de de kilo,¿cuántas bolsas le deberán dar aDorotea?

Este problema tiene varias soluciones.

Observe:

a) Le pueden dar dos bolsas de kilo,

= 0.5 + 0.5 = 1.0

b) Le pueden dar una bolsa de kilo y dos de de kilo,

= 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1.0

+ 12

12

12

14

+ 14

12 + 1

4

Problemas

1. ¿Qué fracción es más grande? ó

2. ¿A cuánto equivale en decimal?

3. ¿Que fracción es menor? ó

4. Si Pepito se comió pastel en la mañana y en la tarde,¿cuánto pastel comió?

5. La señora Catalina va a comprar de kilo de azúcar. En la tienda sólo tienenbolsas de de kilo y de kilo.¿Cómo le pueden surtir de kilo de azúcar a la señora Catalina?

14

13

34

14

12

34

12

14

78

316

23

12

12

14

2 14 2 1

8

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

○

○

○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Autoevaluación

Usted acaba de terminar la Unidad VII de este libro, en la cual estudió los siguientestemas: La fracción, Las fracciones más utilizadas y Las fracciones grandes y chicas.

Ahora es el momento de que usted se asegure de lo que aprendió, por eso esimportante que resuelva los siguientes ejercicios; utilice todo el material que considerele pueda ser útil, como su libro, calculadora, revistas, etcétera; comente con amigos yconocidos.

Después de terminar sus ejercicios, le sugerimos que haga lo siguiente:

1. Compare sus resultados con la hoja de respuestas correctas.2. Cuente el número de aciertos que obtuvo.

Conteste las siguientes preguntas.

1. Petra tiene un puesto de semillas para ayudarse en su gasto familiar; para despacharmás rápido empaca sus mercancías en bolsas pequeñas. En esta ocasión repartió unabolsa de 1 kg de alpiste en 2 partes iguales. Entonces ella dividió en____________________________

2. Este dibujo representa una bolsa de1 kg de alpiste y la parte sombreada indicala cantidad que Petra le vendió a Celia.

a) ¿Qué fracción de 1 kg le despachó a Celia? ________________

b) Escriba la cantidad con letras. _________________________

1 kg de alpiste

216

A) B)

C) D) E)

3. Relacione con líneas los paquetes y las fracciones que representan las partessombreadas correspondientes, como en el ejemplo:

a) b) c) d)

43

5. En los siguientes recuadros están escritos los nombres de algunas fracciones.Una, con líneas, las fracciones con su nombre correspondiente.

4. Escriba junto a la letra que se encuentra debajo de cada dibujo la fracción querepresenta la parte sombreada.

A: B:

C: D:

22

18

23

52

616

125

34

217

dos tercios un octavo

dos mediostres cuartosseisdieciseisavos

12

44

23

28

14

41

a) 0.333

b) 0.750

c) 0.0625

d) 0.250

e) 0.500

f) 0.125

6. Escriba en los cuadros de la derecha la fracción que representan las partessombreadas en los siguientes dibujos.

A) B)

C)

7. Relacione las fracciones de la columna de la izquierda con su respectivo decimal en la columna de la derecha.

8. Compare los siguientes pares de fracciones, y escriba en la línea mayor que, menorque o igual que, según corresponda. Recuerde que puede apoyarse en la recta delas fracciones o convirtiendo en decimales.

e)

f)

g)

h)

a)

b)

c)

d)

218

12

14

116

18

13

34

68

34

15

23

56

612

45

42

12

42

116

34

48

716

18

432

Tema 1 Suma y resta

Tema 2 Multiplicación y división

Operaciones comunes con

fracciones

Un

idad

VIII

Un

idad

VIII

En esta unidad usted aprenderá a:• Reconocer y utilizar las fracciones.• Obtener resultados de sumar, restar,

multiplicar y dividir con fracciones.• Plantear y resolver algunos problemas en los

que se usan fracciones en el hogar.• Expresar y entender cantidades con fracciones.

Para estudiar esta unidad usted debe:• Conocer los números enteros y decimales, y

realizar operaciones de suma, resta,multiplicación y división con enteros ydecimales.

Fracciones

222

Para conocer el peso total de su bolsa, la señora Camila suma todo lo quecompró, porque todo está en kilos.

Tema 1Suma y resta

Unidad VIII

La señora Camila acostumbra ir los jueves al mercado de "La Estrella". Estasemana la señora compró lo siguiente:

1 kilo de plátano

1 kilos de carne molida

kilo de crema

kilo de chile verde

1 kilos de tortillas

2 kilos de papa

Una lechuga grande de de kilo

1234

14

12

34

¿Cuánto pesa la bolsa de la señora Camila?

14

223

Unidad VIII: Operaciones comunes con fracciones

Observe que cuando las fracciones se convierten a decimales es muy fácilsumarlas.

La señora Camila, al regreso del mercado, se encuentra a su sobrino, quien leayuda con el 1 kilos de plátano y los dos kilos de papa.

¿Ahora cuánto pesa la bolsa de la señora Camila?

A los 8 kilos de su bolsa debe restarle 1 kilos de plátano y 2 kilos de papa.

Para hacerlo más fácil, la señora Camila convierte todas las fracciones adecimales, como ya se vio en la Unidad VII.

= peso de la bolsa+ 34

14

14

+++++ 21 121 3

41 12

= 8 kg

Como 1 = 1.5, se tiene que:1.5 kilos de plátano

+ 2.0 kilos de papa 3.5 kilos es lo que su sobrino le ayuda a cargar

Note usted que transformando las fracciones a decimaleses muy fácil hacer sumas o restas de quebrados.

12

12

Realiza la suma, y resulta que el peso de la bolsa es de:

34

1.5 kg + 1.75 kg + 0.25 kg + 0.25 kg + 1.5 kg + 2 kg + 0.75 kg

Así, tenemos:

A los 8 kilos que tenía su bolsa le resta los 3.5 kilos que cargó su sobrino:

8 kilos - 3.5 kilos = 4.5 kilos

Ahora la bolsa de la señora Camila pesa 4.5 kilos, pero como 0.5 = , entonces,4.5 = 4 kilos.

12

14= 0.5 , = 0.25 y = 0.75Recuerde que:

1 + 1 + + + 1 + 2 + 34

12

14

14

34

12

12

12

12

Fracciones

224

12

2. La señora Sofía compra las siguientes cantidades de tortilla en una semana: lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo1 kilo 1 kilo 1 kilo kilo 2 kilos kilo no compra

¿Cuántos kilos de tortillas compra la señora Sofía en una semana?_________

3. Ernestina compró 1 litros de leche en la mañana; su hijo tomó un vasode litro, su esposo otro vaso de litro y ella se hizo un café con leche con de litro. ¿Cuántos litros le quedan de leche?________________________

4. Francisca tiene un queso completo, del que su esposo come y ella utiliza queso para hacer unos chiles rellenos. ¿Cuánto queso le queda?__________

= ________________

Reste las siguientes fracciones.

a) b) 4 c)

Problemas

1. Paola compra en la tienda de abarrotes lo siguiente:2 kilos de azúcar

1 kilos de jabón en polvo¿Cuánto pesa su bolsa?_____________

Ejercicios

Sume, con su calculadora, las siguientes fracciones.a)

b)

c)

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

○

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○

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○

○

○

○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

+1 1+1 +2 +2 +1

= ________________4++ 2

+3 = ________________+16 12

-1 1 =- 2 ==-3

12

34

14

12

14

34

13

12

14

12

12

14

34

12

12

14

12

12

14

12 1

2

14

12

34

14

121

4

225


Para realizar fácilmente la operación, convierte el a decimal, con lo que los

dos kilos un cuarto quedan como 2.25:

Multiplicación

Si la señora Rafa compra 2 kilos de tortillas todos los días de la semana,¿cuántos kilos de tortillas compra a la semana?

Como la señora Rafa sabe que una semana tiene 7 días, y como todos los díascompra la misma cantidad de tortillas, entonces multiplica lo que compró detortillas cada día (2 kilos) por 7 días:

Tema 2Multiplicación y división

2.25 x 7 =

Unidad VIII

Realiza la operación, con el siguiente resultado:

14

14

14

2 x 714

2.25 kg x 7 = 15.75 kg

Fracciones

226

Ejemplos

1. La señora Matilde tiene un recipiente al que le caben litros; para hacer unagelatina usa tres veces su recipiente, llenándolo con agua. ¿Cuánto usa de aguacada vez que hace una gelatina?

Como la cantidad que le cabe al recipiente es la misma y lo usa tres veces,entonces multiplica la capacidad del recipiente ( ) por 3.

Observe,

Pero como sabe que 0.75 = , entonces escribe lo siguiente:

1.25 x 3 = 3.75

34

kilos de tortillas15 34

3x1 14

Observe que convirtiendo las fracciones a decimales,las operaciones de multiplicación son muy sencillas.

convierte los cuartos a decimales, = 0.25, y ejecuta la operación:

como 0.75 = , entonces le queda34

x 314

14

14

14

14

34

34

3 de litro34

2. Si a una taza le cabe de kilo de azúcar, y Ximena utiliza tres tazas deazúcar para hacer un pastel, ¿cuánta azúcar utiliza?Multiplica de cada taza por las 3 tazas:

convirtiendo a decimal, tenemos:

0.25 x 3 = 0.75 y como 0.75 = Ximena usa de kilo de azúcar.

1 14

1 14

227


Ejercicios

a) =___________ e) = ___________

b) = ___________ f) = ___________

c) = ___________ g) = ___________

d) = ___________

Problemas

1. Si doña Emilia compró 6 bolsas de kilo de arroz, en total, ¿cuánto arrozcompró?

2. Teresa sirve 7 vasos de agua de de litro cada uno. ¿Cuánta agua sirvió?

3. La señora Francisca va a preparar 4 vasos de jugo de naranja, si para cadavaso utiliza naranjas, ¿cuántas naranjas necesitará?

Como la cantidad de naranjas ( ) paracada jugo es la misma y son 4 jugos,se debe multiplicar por 4:

4 12

4x4 12

para hacer la operación rápidamente,se convierte a decimal:

= 0.5

quedando,

12

3x2 14

2x3 12

x2 1212x3 1

2

1 12x4 1

2

3x13

x23

12

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

12

13

4.5 naranjas x 4 = 18.0 naranjas

4 12

Fracciones

228

Convirtiendo las fracciones

y a decimales,

se tiene lo siguiente:

Como Julieta conoce la cantidad de líquido ( litros) que va a distribuiren los moldes de de litro ,necesita dividir losdel recipiente grande entreel de los recipientespequeños.

División

Doña Julieta tiene un recipiente al que le caben litros de líquido para hacergelatina. Si a los moldes en los que vacía el líquido para las gelatinas les cabe de litro, ¿cuántas moldes de gelatina podrá llenar?14

14

Con su calculadora o a manorealice la operación:

=14÷3 3

4

Julieta puede llenar 15 moldes de gelatina.

3.75 ÷ 0.25

14

1 50. 2 5 3. 7 5

1 2 50 0

3 14

3 14

3 14

34

14

229


Se podrán obtener 10 vasos.

Ejemplos

1. La señora Ignacia tiene kilos de azúcar. En las recetas de reposteríasiempre piden tazas de azúcar; si la señora Ignacia sabe que a una taza le cabe kg de azúcar, ¿cuántas tazas de azúcar podrá obtener de kilos de azúcar?

Para solucionar el problema es necesario dividir el kilos de azúcarentre kg que le cabe a cada taza

14

1 12

1 12

1 12

14÷1 1

2

14

Use su calculadora o haga la división a mano:

Convierta y a decimales: = 0.25; = 0.5

2. Rosendo prepara para la comidaagua de horchata en una jarra a laque le caben 2 litros; si a losvasos de su casa le caben delitro, ¿cuántos vasos puedeobtener de su jarra?

2 12

14

14

12

= 102.50.25

La señora Ignacia obtiene 6 tazas de azúcar de kilos de azúcar.

Haciendo las operaciones tenemos:

Se debe dividir litros que le caben a la jarra entre de litro que le cabea cada vaso:

1 12

÷2 12 = 2.5 ÷ 0.25 =1

42.5

0.25

60. 2 5 1. 5 0

0 01.5 ÷ 0.25 = = 61.50.25

12

14

14

12

convirtiendo a decimal, = 0.5

Problemas1. Camila va a cocinar 3 pasteles, si en cada pastel utiliza de kilo de azúcar,¿qué cantidad de azúcar debe comprar?

34

2. Rafa compra kilos de tortillas durante 6 días a la semana (el domingono compra). ¿Cuánto compra de tortillas en total?

230

Fracciones

2 14

5. Si un refresco familiar tiene de litro, y a los vasos en los que se va aservir les cabe de litro, ¿cuántos vasos puedo obtener de un refrescofamiliar?

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

4. La señora Tere hace litros de atole y los sirve en tazas de de litro.¿Cuántas tazas podrá obtener?

3. La señora Tere, para haceratole, llena una olla con lechecon un recipiente al que lecaben 1 litros; para que laolla se llene usa tres veces surecipiente. ¿Cuánta leche usa?

3. Juanita va a comprar kilos de arroz a la tienda, pero sólo tienen bolsasde kilo. ¿Cuántas bolsas le deben dar?

resolviendo la operación se tiene que:

Divida los kilos de arroz entre kilo que tiene cada bolsa:2 12

12

2 12

= 52.50.5

÷

12

2.50.52.5 0.5 =

Juanita debe recibir 5 bolsas de kilo de azúcar.

1

÷12

122

14

12

12

12

12

4 12

131

3

4. Una, con una línea, las sumas de la columna de la izquierda con su resultado correcto de la columna de la derecha.

A) 6 + 4 = 5.666

B) 4 + 5 = 13.000

C) 8 + 4 = 11.000

D) 3 + 2 = 10.250

Ahora que terminó la Unidad VIII, vamos a recordar los temas que ya estudió: Suma yresta. ¿Recuerda qué otros temas ya estudió? Escríbalos:

Para conocer lo que aprendió es importante que resuelva los siguientes ejercicios;recuerde que puede utilizar todo aquel material que considere útil. Después, comparesus respuestas y decida si continúa con la siguiente unidad.

Conteste las siguientes preguntas.

1. Silvano compró 7 cremas de medio kg, como se muestra en la figura. ¿Cuánto pesan las cremas en total?

2. Javier compró 2 kilos de queso añejo, 2 kilos de queso fresco y 3 kilos dequeso rallado. ¿Cuántos kilos de queso compró en total?

3. Susana necesita 8 cartulinas para hacer unos dibujos, y sólo tiene 6 cartulinas. ¿Cuántas cartulinas le hacen falta para completar las que necesita?

Autoevaluación

4

2

2

1

4

3

2

1

3

2

3

1

6

1

2

1

231

12

34

12

14

232

5. Juanita compró metros de resorte ancho; después regresó a la mercería ypidió que le despacharan lo necesario para completar metros del mismomaterial. ¿Cuánto resorte le deben despachar a Juanita?6. Realice los siguientes ejercicios.

a) - = c) - =

b) - = d) - =

7. Roberto compró una reja con 24 refrescos. Si cada refresco contiene 1 litros, ¿cuántos litros de refresco tiene en total?

2

12

4

35

8. Inés, Josefa y Marisela pidieron un préstamo de $6,300 para iniciar un negocio. Inés pagará una cuarta parte y Josefa pagará del préstamo. ¿Cuánto pagará cada una? a) Inés, $_________ b) Josefa, $________ c) Marisela, $_________

9. Resuelva las siguientes multiplicaciones. Recuerde que el resultado también se puede sacar con la calculadora, obteniéndose un número decimal. a) x = b) x = c) x =

10. En el "mercado sobre ruedas", Margarita compró 1 kilos de canela; si sólo tienen

paquetes de un cuarto de kilo, ¿cuántos paquetes le dieron?

11. María compró 3 metros de tela de "pata de gallo" para hacer el uniforme de

sus hijos; si cada uniforme requiere de metro, ¿cuántos uniformes puede hacer con la cantidad de tela que compró?

12. Resuelva las siguientes divisiones de fracciones. Recuerde que el resultado tambiénse puede obtener con la calculadora, dando como resultado un número decimal.

a) ÷ = c) ÷ =

b) ÷ = d) ÷ =

16 34

8 12

13 14

4 58

10 12

3 16

6 14

9 13

12

14

12

73

15

32

23

96

110

28

79

85

43

24

616

23

12

12

12

Razones yproporciones

Tema 1 Razones

Tema 2 Proporciones

Un

idad

IXU

nid

ad IX En esta unidad usted aprenderá a:

• Establecer la relación que existe entre doscantidades para calcular los ingredientes en comida,postres, bebidas o actividades del hogar.

• Estimar cuánto tiempo se va a requerir en ejecutaruna acción determinada, al conocer la relación detiempo y trabajo.

• Plantear relaciones de datos que le permitiráncalcular la solución de algunas actividades comunesen el hogar.

Para estudiar esta unidad usted necesita:• Saber sumar, restar, multiplicar y dividir, enteros y

decimales.

236

Fracciones

Tema 1Razones

Por lo que, se puede decir que para un pastel que lleva dos tazas de harina, laseñora Inés ocupará una taza de azúcar.

A la relación que le permitió a Inés conocer cuánto de azúcar necesita por cadataza de harina, se le llama razón, y expresa siempre la relación que existe entredos cantidades.

mediataza

= 0.5 + 0.5 = 1.0+ 12

12

mediataza

La señora Inés sabe que para que le quede bien un pastel debe usar por cada tazade harina media taza de azúcar. Si la señora Inés va a hacer un pastel que lleva 2tazas de harina, ¿cuántas tazas de azúcar necesitará?

Como para una taza de harina se necesita media taza de azúcar, para dos tazasde harina se necesitarán dos medias tazas de azúcar:

Unidad IX

237

Unidad IX: Razones y proporciones

Cuando los números de las razones son fracciones, se pueden convertir,primero, a decimales y, posteriormente, expresar la razón; como se observa acontinuación:

taza de azúcar por cada taza de harina.

Se convierte a decimal, = 0.5

Ahora se puede expresar la razón de la siguiente manera:

0.5 tazas de azúcar : 1 taza de harina, ó

Como las razones se refieren a una relación entre dos números, se puedenexpresar como una fracción o una división.

Así, cuando se dice que 3 niños de cada 100 sufren de sobrepeso, se puedeexpresar de la siguiente manera:

3 100 ó 3:100 ó

Algunos ejemplos de razones se presentan a continuación.

taza de azúcar por cada taza de harina

de litro de jarabe por cada litro de agua

1 cucharada de café por cada taza de agua

3 cucharadas de azúcar por cada jarra de agua

3 niños de cada 100 sufren sobrepeso

3 cucharadas de leche en polvo para cada vaso de de litro

1212

12

0.51

1214

12

14

Los dos puntos o la raya significa "de cada" o "por cada", por lo que larazón anterior se puede leer:

3 de cada 100

3100

238

Fracciones

convirtiendo a decimal, = 0.5

1.5 cucharadas de saborizantepor cada 1.5 litros de agua

o1.5 cucharadas de saborizante : 1.5 litros de agua o

Para comparar una razón con otra se recomienda realizar la división querepresenta la razón. Todas las razones pueden ser representadas de formadecimal. Observe:

3 de cada 100 niños sufren de sobrepeso,

1.5 cucharadas de saborizante1.5 litros de agua

3 cucharadas de azúcar : jarra de agua

3 : 100 ó = 0.03

3.5 cucharadas de azúcar = 3.51 jarra de agua

3 cucharadas de azúcar por cada jarra de agua

Las razones son útiles porque por medio de ellas se puedencomparar diferentes productos o actividades.

12

12

12

12

121

2

12Lo anterior también se puede observar en la siguiente razón, 1 cucharadas

de saborizante por cada1 litros de agua.

Convirtiendo a decimaltenemos, = 0.5

12

3300

239


1. La señora Ignacia va a comprar un jarabe para hacer agua de horchata. En latienda encuentra dos presentaciones: una que es concentrada y que con delitro se preparan de litro de agua fresca; y otra que señala que por cada litro de jarabe puede preparar un litro de agua fresca. Si las dos tienen elmismo precio y la misma cantidad de jarabe, ¿cuál le conviene comprar a la señoraIgnacia?

Ejemplos

Lo primero que se recomienda para comparar razones es hacer la presentación delas mismas.Se convierten las fracciones a decimales:

= 0.2514

= 0.7534y

Producto 1 Se plantea la primera razón:0.25 lllll de jarabe : 0.75 lllll de agua

Esta razón se dice 0.333 litros de jarabe por cada litro de agua.

Producto 2 Se plantea la segunda razón:

Esta razón se dice 0.5 litros de jarabe por cada litro de agua.

0.25 lllll de jarabe0.75 lllll de agua

= 0.333

= 0.50.51

Por lo que a la señora Ignacia le convendría más comprar el producto 1.

litro de jarabe : 1 litro de agua

Comparando las dos razones se observaque se requiere más jarabe del producto2 para un litro de agua que lo que serequiere del producto 1.

Razón producto 1: 0.333

Razón producto 2: 0.5

143

4

12

Observe que para comparar dos razones es necesarioque las dos razones tengan las mismas unidades.

lllll de jarabe lllll de agua

lllll de jarabe l l l l l de agua

12

0.5 litros de jarabe1 litro de agua

240

Fracciones

Como se puede observar, ambas razones son iguales (0.5), por lo que los dospasteles están hechos con la misma relación de azúcar y harina.

2. Anastasia hizo dos pasteles: uno de chocolate en el que utilizó kilo de azúcarpor cada kilo de harina y otro de vainilla en el que utilizó de kilo de azúcarpor cada 1 kilos de harina.¿En qué pastel usó más azúcar?

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Ejercicios

Escriba las razones que se plantean a continuación.

a) Por lo regular salen 3 mameyes malos de cada 20.

b) Por lo regular se rompe 1 huevo de cada 24.

c) 2 niños de cada 30 necesitan anteojos.

d) 1 niño de cada 20 tiene los pies planos.

e) Para cocinar kilo de frijol se necesitan 2 litros de agua.

Planteamiento de las razones

Para el pastel de vainilla

convirtiendo a decimales,

= 0.50.75 kg de azúcar1.5 kg de harina

kilo de azúcar : 1 kilos de harina

kg de azúcar kg de harina

0.75 kilos de azúcar : 1.5 kilos de harina

Para el pastel de chocolate

convirtiendo a decimales,

0.5 kilos de azúcar : 1 kilo de harina

kilo de azúcar : 1 kilo de harina

12

= 0.50.5 kg de azúcar1 kg de harina

kg de azúcar kg de harina

12

34

12

12

34

12

241


1. De la razón de taza de azúcar por cada taza de harina se puede obtener losiguiente:

2. Si se utiliza de litro de jarabe de horchata por cada litro de agua, se tiene que:

de litro de jarabe : 1 litro de agua

Ejemplos

= 0.5

0.5 tazas de azúcar : 1 taza de harina

Razón de tazas de azucar por tazas de harina, como ambosnúmeros se refieren a tazas, se puede multiplicar por 100 paraobtener el porcentaje de azúcar con relación a la harina de unpastel.

0.5 x 100% = 50% de azúcar en relación con la harina

3. Tres de cada 100 niños sufren de sobrepeso.

3 : 100 = = 0.03

Multiplicando por 100 paraobtener el porcentaje deniños con sobrepeso,

0.03 x 100% = 3% de los niñossufre de sobrepeso.

Si las razones se refieren a las mismas unidades, se les multiplicapor 100 y se obtiene el porcentaje de la relación de los números alos que se refiere la razón.

= 0.250.251

Multiplicando por 100 se obtiene el porcentaje de jarabe de horchata por litro deagua:

0.25 x 100% = 25% de jarabe de horchata

14

14

litros de jarabelitro de agua

0.51

12

3100

242

Fracciones

2. Anastasia hace tres pasteles: uno de fresa, al que le pone de kilo de azúcarpor cada de kilo de harina; otro de plátano, al que le pone kilo de azúcar porcada 1 kilo de harina; y al tercero, de zanahoria, le pone de kilo deazúcar por cada 1 kilo de harina. ¿Cuál pastel es el más azucarado?

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

3. Si 8 de cada 10 niños tienenmiedo, a la oscuridad, ¿cuál es elporcentaje de niños que tienenmiedo a la oscuridad? Obtenga larazón y multiplique por 100.

Problemas

1. La señora Maricruz va a pintar su casa. En la tienda de pinturas le ofrecen lapintura "S. Willy", con la que con 1 litro puede pintar 19 metros cuadrados; y la"Asy", la que con cada 4 litros puede pintar 80 m2. ¿Cuál debe comprar la señoraMaricruz?

= 0.252.510

4. Don José gasta en pagar la renta $2.5 de cada $10 que gana. ¿Que porcentajegasta don José de su sueldo en pagar la renta?

Se establece la relación,

2.5 : 10

Para conocer el porcentaje se mulplica por 100,

25% de los ingresos de don José lo emplea para pagar la renta.

0.25 x 100 = 25

Recuerde que para obtener el porcentaje de una razón,ésta sólo se debe multiplicar por 100, siempre que la razónse esté refiriendo a las mismas unidades.

141

234 3

414 1

2

ó

243


Unidad IX Tema 2Proporciones

La señora Raquel va al mercado. En un puesto de fruta le dan 4 mangos grandespor $7.00, en otro le ofrecen 6 mangos grandes por $10.50. ¿En cuál puesto leconviene comprar a la señora Raquel?

Para conocer en qué puesto le conviene comprar, laseñora Raquel establece las razones de los dos puestos.(Le recomendamos usar su calculadora .)

En el primer puesto

4 mangos grandes por $7.00, 4 mangos : $7.00

También se puede presentar como fracción,4 mangos7 pesos

Para hacer fácil la comparación, se convierte la razón a decimal,

= 0.57144 mangos7 pesos

mango peso

244

Fracciones

Al comparar las dos razones la señora Raquel se da cuentaque son iguales, ya que en los dos puestos la razón fue

Para hacer fácil la comparación, se convierte la razón a decimales,

= 0.5714 mango peso

6 mangos10.50 pesos

En el segundo puesto

6 mangos grandes por $10.50,

6 mangos : $10.50

También se puede presentar como fracción,

6 mangos10.50 pesos

Esto significa que en los dos puestos los mangos cuestan lo mismo.

Observe usted que en los quebrados de las razones, éstos tienen diferentesnúmeros, sin embargo, son iguales. Cuando esto sucede se dice que lasrazones son proporcionales,

=6 mangos

10.50 pesos4 mangos7 pesos

0.5714 mangopeso

Note que las unidades son las mismas y están enla misma posición en los dos lados de la igualdad.

245


Otra forma de comprobarlo es al multiplicar los números de arriba (el 4 y el 6)por los de abajo (el 7 y el 10.50), pero cruzados.

Por ejemplo, al 4 lo multiplico por el de abajo del 6, o sea, por 10.50; y al 6 lomultiplico por el de abajo del 4, o sea, por 7.

Observe,

Para comprobar lo anterior, una de las formas es convertir las razones adecimales, como lo hizo la señora Raquel,

= 0.571447 = 0.57146

10.50

Lo anterior es de gran utilidad, porque si se conoce una razón y uno de losnúmeros de su fracción proporcional, se puede calcular el que falta.

=

4 x 10.50 = 6 x 7

Esto se puede hacer porque lo contrario a multiplicar es dividir; como el 7está dividiendo en el lado izquierdo, puede pasar sin problemas al lado derechomultiplicando, y el 10.50 que está dividiendo del lado derecho puede pasar al ladoizquierdo multiplicando al 4.

A las razones:

se les llama proporcionales, porque aun cuando estén en forma de quebrado condiferentes números, son lo mismo,

Al realizar la operación se tiene, 42 = 42

y47

610.50

=47

610.50Esto significa que,

47

610.50

=47

610.50

246

Fracciones

Primera razón

1 kilo de carne por $40.00

1 kilo : $40.00

Observe que las unidades, kilos arriba y pesos abajo, son las mismas en lasdos razones.

1 kilo40 pesos

? kilos30 pesos

Segunda razón

? kilos de carne por $30.00

? kilos : $30.00

Como las razones planteadas son proporcionales, se podrá plantear losiguiente:

= ? kilos30 pesos

1 kilo40 pesos

Ejemplo

Si el kilo de carne cuesta $40.00 y la señora Marta sólo tiene $30.00, ¿cuántole deben despachar?

Para resolver este problema,se deben plantear las dos razones, poniendo el signo de interrogación en el lugarque falta un dato.

No olvide que las unidades deben ser las mismas y estarcolocadas en la misma posición en los dos lados de la igualdad.

247


Para obtener lo que significa el signo de interrogación (que es la cantidad quese busca), multiplique las razones en cruz:

? kilos30 pesos

La señora Marta recibirá 0.750 kilos de carne por $30.00. Recuerde que0.75 = , por lo que el carnicero dará de kilo por $30.00. Lo anterior se puedecomprobar planteando las razones y analizando si son iguales:

0.75 kilos = ? kilos

Ahora, para dejar sola a la ?, los 40 pesos que están multiplicando en el ladoderecho pasan al lado izquierdo dividiendo:

1 kilo40 pesos

=

Como los pesos están arriba y abajodel mismo lado se eliminan, porque,

1 kilo 1,000 gramos1 litro 1,000 mililitros1 hora 60 minutos1 metro 100 centímetros1 centímetro 10 milímetros1 metro 1,000 milímetros

= 0.0251 kilo carne40.00 pesos

kilo de carnepesos

Ambas razones son iguales.

Cuando las razones proporcionales no tienen las mismas unidades, se debenconvertir para que sean las mismas. Para ello, se deben conocer las equivalenciasde las unidades de medida.A continuación se presentan las más comunes.

= 0.0250.75 kilo carne30.00 pesos

kilo de carnepesos

34

34

1 kilo x 30 pesos = ? kilos x 40 pesos

Al resolver la operación se tiene,

1 kilo x 30 pesos 40 pesos = ? kilos

pesospesos = 1

======

248

Fracciones

Observe que aunque los kilos y los gramos son unidades de peso, NO son lomismo, por lo que se deben convertir a las mismas unidades, ya sea los kilos agramos, o los gramos a kilos, pero las dos deben ser iguales.

Para hacer la conversión es necesario saber a cuántos gramos equivale un kilo,

1 kilo = 1,000 gramos

Por tanto, multiplico el kilo, que venden a $40.00, por 1,000 gramos, y ahora yase que 1,000 gramos valen $40.00.

EjemploEn la misma carnicería donde 1 kilo de carne cuesta $40.00, llega una señora yle pide a Jorge, el carnicero, que le venda 850 gramos. ¿Cuánto debe cobrarJorge a la señora?

1 kilo40.00 pesos

a) b)850 gramos? pesos

Jorge debe plantear las razones,

249


1,000 gramos40.00 pesos

b)a)850 gramos? pesos

1,000 gramos40.00 pesos = 850 gramos

? pesos

Ahora ambas razones tienen las mismas unidades.

Como son proporcionales ambas razones se establece la igualdad,

Recuerde que ? pesos es la cantidad que no se conoce.

Para dejar sola a la ? pesos, se hace la multiplicación de los números de arribapor los de abajo, pero cruzados,

1,000 gramos x ? pesos = 40.00 pesos x 850 gramos

Como los 1,000 gramos de la izquierda están multiplicando se pueden pasar a laderecha dividiendo,

Como los gramos están arriba y abajo, del lado derecho, se pueden eliminar,porque,

pesos? pesos = 34,0001,000

? = 34.00 pesosJorge, el carnicero, debe cobrar $34.00 por 850 gramos de carne, siempre ycuando un kilo cueste $40.00.

Las relaciones quedan planteadas de la siguiente manera:

1,000 gramos40.00 pesos = 850 gramos

? pesos

? pesos = 40.00 pesos x 850 gramos1,000 gramos

? pesos =40.00 pesos x 850 gramos

1,000 gramosgramosgramos = 1

250

Fracciones

¿Cuánto necesitará Rebe de granosde elote, de azúcar y de huevos, para hacer un pastel para 10 personas?(Donde no se encuentren los datos colóquelos usted.)

La receta es para 6 personas, por lo que debe plantear las razones y susproporciones para 10 personas, de los granos de elote, azúcar y huevos.

=a) ? tazas de granos de elote 10 personas

4 tazas de granos de elote6 personas

=b) ? tazas de azúcar 10 personas

1 taza de azúcar6 personas

=c) ? huevospersonas

6 huevos6 personas

Rebe va hacer un pastel de elote. El libro de cocina de Roger dice que debeusar los siguientes ingredientespara seis personas:

4 tazas de granos de elote

barrita de mantequilla

6 huevos

taza de harina

1 taza de azúcar

12

12

251


Para dejar solos los signos de interrogacion se deben hacer las multiplicacionesen cruz y realizar las operaciones.

a) 4 tazas de granos de elote x 10 personas = ? tazas de granos de elote x 6 personasComo las 6 personas están multiplicando del lado derecho pasan _________del lado izquierdo,

= ? tazas de granos de elote4 tazas de granos de elote x 10 personas6 personas

6.666 tazas de granos de elote

Resolviendo las operaciones se tiene, = las tazas de granos de elote parael pastel que alcanza para 10 personas,

6 tazas de granos de elote23

Resolviendo las operaciones se tiene,

tazas de azúcar = 1.666 tazas de azúcar

1 tazas de azúcar

Como 0.666 = , entonces para 10 personas se requieren

b) Azúcar. De las razones proporcionadas,1 taza de azúcar x 10 personas = ? tazas de azúcar x personas,pasando a las 6 personas que están del lado derecho multiplicando al ladoizquierdo , las relaciones quedan así:

4 06

personaspersonas = , se eliminan.como

106

23

23

Como 0.666 es igual a , entonces se tendrá que, para hacer un pastel deelote para 10 personas Rebe debe usar

23

1 taza de azúcar x 10 personas6 personas = ? tazas de azúcar

252

Fracciones

Explique por qué se eliminan las personas.

c) Huevos. De las razones proporcionales se tiene,

6 huevos x 10 personas = ? huevos x 6 personas

pasando a las 6 personas del lado derecho al izquierdo dividiendo, porqueestaban multiplicando, tendremos:

= ? huevos6 huevos x 10 personas

Resolviendo las operaciones se tiene,

huevos = 10 huevos

10 huevos

Como puede usted notar, al conocer Rebe las cantidades necesarias para hacerel pastel para 6 personas, por medio de razones y proporciones obtuvo las quese necesitarán para cocinar unpastel de elote para 10 personas:

10 huevos

tazas de granos de elote6 23

1 23 tazas de azúcar y

personas

606

El pastel para 10 personas necesitará

253


= 1.666106

El problema anterior se podría resolver de manera más sencilla. Ésta seríaencontrando la razón en la que van a crecer o decrecer las raciones.

Si se necesita conocer cuánto será necesario para 10 personas y se conoce lareceta para seis, la razón debe ser un número mayor que uno, pues losingredientes van a aumentar. Así, se puede plantear la razón de la siguientemanera:

10 : 6

Número por el que se deben multiplicar los ingredientes para 6 personas y seobtendrán las cantidades necesarias para 10.

Observe usted.

Ingredientes para 6 personas

4 tazas de granos de elote6 huevos1 taza de azúcar

Estas cantidades se deben multiplicar por la razón de paraobtener los ingredientes para hacer el pastel para 10 personas.

= 1.666,

6 huevos x 1.666 = 9.9999 huevos = 10 huevos

Son las mismas cantidades obtenidas planteando cada una de las razones y susproporciones.

Si la pretensión fuera que en lugar de cocinar un pastel para 10 personas, secocinará uno para 3, la razón debe ser un número menor a 1, porque los ingredientesvan a disminuir.

4 tazas de granos de elote x 1.666 = 6.666 tazas de granos de elote =6 tazas de granos de elote

1 taza de azúcar x 1.666 = 1.666 tazas de azúcar =1 tazas de azúcar

106

23

23

254

Fracciones

¿Qué ingredientes se necesitarán si se quiere hacer un flan para 12 personas?

Como se van a necesitar más ingredientes para 12 personas que para 8, elnúmero que resulte de la relación debe ser mayor que 1.

La relación que se debe establecer es:

número por el que se deben multiplicar los ingredientes para cocinar un pastelpara 3 personas.

Haga usted mismo las cuentas.

1) 4 tazas de granos de elote x 0.5 = ______ tazas de granos de elote

2) 6 huevos x _______ = 3 huevos

3) 1 taza de azúcar x 0.5 = _______ tazas de azúcar

Observe.Si se necesita conocer la cantidad de ingredientes necesarios para cocinar unpastel para 3 personas y sólo se conocen los que se requieren para 6, seestablece la razón de: 3 : 6 = = 0.5

Haga usted los cálculos en su cuaderno.

EjemploPara hacer un flan de frutas para 8 personas se necesitan:

taza de fresas medianas

3 rebanadas de piña

2 tazas de leche condensada

6 huevos

1 taza de azúcar

12 : 8 = = 1.5128

12

36

255


3. Para hacer un postre llamado "jamoncillo" que alcance para 6 personas senecesitan los siguientes ingredientes:

6 yemas2 tazas de azúcar1 taza de leche1 cucharada sopera de vainilla1 cucharada sopera de piñones

¿Cuánto se necesitará de cada uno de los ingredientes si se quiere hacer para9 personas?

Problemas

1. Amelia va a pintar su departamento. En la tienda de pintura, le dicen que porcada litro de pintura le alcanza para pintar 8 m2. Si su departamento tiene160 m2 de muros y techo, ¿cuánta pintura debe comprar?

2. Para cocinar un pastel que lleva de kilo de harina se necesita de kilo

de azúcar. ¿Cuánta azúcar

se necesitará para hacerun pastel que emplea

kilo de harina?1 12

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256

Fracciones

Algunas recomendaciones para conversión de fracciones a decimalesEn las unidades anteriores se hizo una presentación de las fracciones y cómo seutilizan en algunos ámbitos. También se insistió en que todas las operaciones(suma, resta, multiplicación y división) con fracciones se pueden realizar congran facilidad al convertir a las fracciones en decimales. Pero en algunas ocasionesse requiere que los resultados de esas operaciones sean presentados en que-brados, por lo que a continuación se presentan algunas recomendaciones parahacer dicha conversión.

Conversión de las fracciones más comunes.En el hogar o en el comercio es común utilizar las siguientes fracciones:

Al realizar las divisiones de estas fracciones se obtiene su equivalencia endecimales:

Lo anterior significa que cada vez que se tenga una fracción en forma dequebrado, ésta puede ser convertida a decimal. Así por ejemplo, tenemos:

0.25, 0.333, 0.500, 0.666 y 0.750

Con el simple hecho de recordar las equivalencias en quebrados de losdecimales 0.25, 0.333, 0.5, 0.666 y 0.750, se puede hacer la conversión demanera automática.

= 11.333

2 12

= 2.50

4 34 = 4.750

11 13

3 144 3

42 1

2 ++ = 2.500 + 4.750 + 3.250 = 10.512Y como se sabe que 0.5 es igual a , se puede decir que

10.5 = 10 12

Con las fracciones convertidas en decimales se pueden hacer todas las operacionesque en la vida cotidiana son necesarias. Observe usted:

14

16 = 0.666

3 = 3.250

23

12

13

14

34y,,,

257


En todos estos casos, los decimales resultantes coinciden con una de lasfracciones más utilizadas. Sin embargo, hay ocasiones en las que los decimalesresultantes no corresponden a estas cinco fracciones, por lo que es necesariotener en cuenta algunas equivalencias que pueden ayudar, como las que semuestran en la siguiente tabla guía.

De la misma manera se pueden realizar otras operaciones, como las siguientes,y poner sus resultados en decimales o en quebrados:

2 124 3

4 - = 4.750 - 2.5 = 2.25 = 2 14

x 3 = 2.5 x 3 = 7.5 = 7 122 1

2

716

11

38

1332

1132

132

732

14

13

932

516

116

18

532

332

316

58

23

1116

2132

1932

12

916

1732

1532

2332

1316

2532

34

78

2732

2932

3132

1516

= 4.5 ÷ 2.25 = 2.02 144 1

2 ÷

Estos no son todos los quebrados que se pueden convertir adecimales, sin embargo, pueden ayudar.

Fracción Decimal Fracción Decimal Fracción Decimal

0.03125 0.3437 0.666

0.0625 0.375 0.6875

0.09375 0.4062 0.718

0.125 0.4375 0.750

0.1562 0.4687 0.7812

0.1875 0.500 0.8125

0.2187 0.53125 0.8437

0.250 0.5625 0.875

0.2812 0.5937 0.9062

0.3125 0.625 0.9375

0.333 0.6562 0.9687

1.00

258

Observe usted las siguientes operaciones:

3 14 = 2.5 x 3.25 = 8.1252 1

2 x

Otro ejemplo lo tenemos con la siguiente operación:

= 5.75 x 4.5 = 25.8754 125 3

4 x

Al buscar la equivalencia de 0.875 en la tabla encontramos que 0.875 es igual a , por lo que se puede decir que,

25.875 = 25

Sin embargo, pueden haber fracciones que no tengan equivalencia en la tabla,como a continuación se observa:

2 343 1

3 x = 3.333 x 2.75 = 9.16575

Los decimales 0.16575 no tienen equivalente en la tabla, y es muy difícilconocer su equivalencia en quebrados, por lo que se recomienda dejar lacantidad en decimal.

EjerciciosHaga las siguientes conversiones utilizando la tabla guía.

Ejemploa) 3.1562 = 3

b) 7.3437 =

c) 3.250 =

d) 12.625 =

e) 5.666 =

f) 9.5312 =

g) 4.8437 =

h) 0.4375 =

i) 0.0625 =

j) 2.718 =

k) 3.333 =

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Al buscar en la tabla la fracción 0.125 encontramos que es equivalente a ,por lo que podemos escribir,

3 14 = 2.5 x 3.25 = 8.125 = 82 1

2 x 18

Fracciones

532

78

18

78

Autoevaluación

¡Muchas felicidades! Con esta unidad usted acaba de terminar la segunda parte de estelibro, Fracciones. Los últimos temas que estudió fueron: Razones y Proporciones.

Para saber cuál ha sido su avance en esta unidad es conveniente que realice la siguienteautoevaluación. Si tiene dudas en algunos ejercicios, pregunte a sus amigos o a quien lepueda ayudar, aparte de consultar su libro, usar su calculadora y utilizar todo elmaterial que necesite. Después revise sus respuestas y decida si continúa con el librode Geometría y medición.

1. Teresa compró un televisor con un costo de $3,500.00, que va a rifar con la venta de100 boletos. a) Lucy, su vecina, compró 5 boletos de los 100. La razón correcta de este enunciado es___________ , que se lee también como ______ de _______.

b) Aurora compró 9 boletos de los 100. La razón correcta de este enunciado es ________________________________________.

2. Don Pepe compró una caja de vasos de cristal que contiene 80 vasos, de los cualestres están rotos. ¿Qué porcentaje de vasos están rotos?

3. Si Teresa pagó $360.00 por 6 boletos para la feria, ¿cuánto pagó Aurora por 9boletos?

4. Si Aurora pagó $210.00 por 7 pares de calcetines, ¿cuánto pagará Cesar por 12pares de calcetines que cuestan lo mismo?

5. Enedina compró 3 kilos de queso panela en $87.00. Si Lety compró 5 kilos delmismo queso, ¿cuánto pagó?

259

4. La señora Ana María usó para un pastel taza

de azúcar y para unas galletas de taza.

Pregunta

¿Cuánto usó de azúcar?

Respuesta

de taza de azúcar o

tres cuartos de taza de azúcar o

0.75 de taza de azúcar.

34

3. Si doña Rafa usa para un caldo 1 pollos, y

compró dos pollos completos.

Pregunta

¿Cuánto le sobra de pollo?

Respuesta

Medio pollo o

pollo o

la mitad de un pollo.

261

Respuestas a los ejercicios y problemas

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Unidad VII. Fracciones

Tema 1. La Fracción

Convierta a quebrados o a decimales, (pág. 194)

según haga falta.

a) 2 litros leche = 2.5 litros de leche

b) 3 kilos de papa = 3.5 kilos de papa

c) 1 metros de tela = 1.5 metros de tela

d) 4 docenas = 4.5 docenas12

1212

12

Convierta a decimales o a quebrados, (pág. 197)según el caso.a) 0.75 de pastelb) litroc) 0.25 kilo de cremad) 0.5 de kilo de chícharoe) 1.5 kilos de plátanof ) 1 kilos de mangog) 2.5 litros de lecheh) 2 kilos de tortillas1

4

12

12

1. Si divido un plátano en dos partes (pág. 204)iguales y me como una.Pregunta¿Cúantas mitades me quedan?RespuestaUna mitad ola mitad de un plátano o plátano o0.5 de plátano.

2. Si parto tres naranjas a la mitad.Pregunta¿Cuántas mitades tendré?RespuestaSeis mitades de naranja oseis medias naranjas.

12

12

14

Tema 2. Las fracciones más utilizadas

1. De cuatro naranjas. (pág. 208)

Pregunta

¿Cuántas mitades se pueden obtener?

Respuesta

Ocho mitades u

ocho medias naranjas.

2. Si tengo 9 mitades de naranja.

Pregunta

¿A cuántas naranjas equivalen?

Respuesta

Cuatro y media naranjas o

4 naranjas o

4.5 naranjas.

12

12

12

262

Tema 3. Las fracciones grandes y chicas

1. ¿Qué fracción es menor? (pág. 214)Razonamiento = 0.4375 y = 0.75Respuesta es menor.

2. ¿Qué fracción es mayor?Razonamiento1 = 1.625 y 1 = 1.750Respuesta1 es mayor.

1. ¿Que fracción es más grande? (pág. 215)Razonamiento = 0.25 y = 0.333Respuesta es mayor.

2. ¿A cuánto equivale en decimal?Respuesta = 0.875 = 0.1875 = 0.666

3. ¿Qué fracción es menor?Razonamiento2 = 2.25 y 2 = 2.125Respuesta 2 es menor.

4. Si Pepito se comió pastel en la mañana y enla tarde.Pregunta¿Cuánto pastel comió?Razonamiento =0.5 y = 0.250.5 + 0.25 = 0.75Respuesta de pastel = 0.75 de pastel = tres cuartos de pastel.

5. La señora Catalina va comprar azúcar a la tienda.Pregunta¿Cómo le pueden surtir de kilo de azúcar?RespuestaCon una bolsa de kilo y otra de de kilo, ó con tresbolsas de de kilo.

3. Si la señora Ana María compra kg de azúcar

y usa de kilo.

Pregunta

¿Cuánto le queda?

Razonamiento

= 0.5; = 0.25

0.5 - 0.25 = 0.25

0.25 =

Respuesta

Le queda kg.

7. Si un pastel pesa un kilo.Pregunta¿Cuánto pesará pastel?Respuesta kilo = 0.5 kg.

8. ¿Cuántos cuartos ( ) caben en ?Razonamiento + + = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 =RespuestaCaben 3.

5. El señor Rodrigo fue a comprar el mandado.Pregunta¿Cuántas bolsas de kilo le darán?Razonamiento0.5 + 0.5 + 0.5 =1.5 = 1RespuestaTres bolsas de kilo de azúcar.

6. Si divido un pastel en tres partes.Preguntaa) ¿Como le llamaría a una de las tres partes?Respuesta

Preguntab) ¿A cuánto equivale en decimales esa parte?Respuesta0.333

12

4. Si la señora Rafa compró pollo yposteriormente compró otro pollo.Pregunta¿A cuántos pollos equivale lo que compró?Razonamiento + = 0.5 + 0.5 = 1Respuesta1 pollo.

34

12

12

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58

14

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14

14

14

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716

316

23

18

18

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78

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263

2. Rafa compra 2 kilos de tortillas durante 6 días.Pregunta¿Cuánto compra de tortillas en total?Razonamiento2 x 6 = 2.25 x 6 = 13.5Respuesta13.5 kilos de tortillas = 13 kilos de tortillas.

2. La señora Sofía compra las siguientescantidades de tortilla en una semana.Pregunta¿Cuánto compra de tortillas la señora Sofía?Razonamiento1.25 + 1 +1.25 + 0.5 + 2 + 0.75 = 6.75Respuesta6.75 kilos de tortilla = 6 kilos y tres cuartos de tortilla =6 kg de tortilla.

Unidad VIII. Operaciones comunes con fracciones

Tema 1. Suma y resta

1. Sume, con su calculadora, (pág. 224)las siguientes fracciones.a) 10.25 ó 10 , porque :1.5 + 1.75 + 2.25 + 2.5 + 1.25 + 1 = 10.25b) 7.083, porque: 0.75 + 2.333 + 4 = 7.083c) 32.25 ó 32 , porque: 3.5 + 16.25 + 12.5 = 32.25

2. Reste las siguientes fracciones.a) 3.25 ó 3 , porque: 3.5 - 0.25 = 3.25b) 2.25 ó 2 , porque: 4.75 - 2.5 = 2.25c) 0.25 ó , porque: 1.5 - 1.25 = 0.25

1. Paola compra en la tienda de (pág. 224)abarrotes.Pregunta¿Cuánto pesa su bolsa?Razonamiento2.5 + 1.5 = 4RespuestaLa bolsa de Paola pesa 4 kilos.

14

14

14

14

34

Tema 2. Multiplicación y división

a) 7, porque: 3.5 x 2 = 7 (pág. 227)

b) 6.75 ó 6 , porque: 2.25 x 3 = 6.75

c) 1, porque: 2 x 0.5 = 1

d) 1.75 ó 1 , porque: 3.5 x 0.5 = 1.75

e) 6.75 ó 6 , porque: 4.5 x 1.5 = 6.75

f) 0.999 = 1, porque: 0.333 x 3 = 0.999

g) 0.333 ó , porque: 0.666 x 0.5 = 0.333

1. Si doña Emilia compró 6 bolsas

de kilo de arroz.

Pregunta

En total, ¿cuánto arroz compró?

Razonamiento

6 bolsas x 0.5 kg = 3 kg

Respuesta

3 kilos de arroz.

2. Teresa sirve 7 vasos de agua de de litro cada

uno.

Pregunta

¿Cuánta agua sirvió?

Razonamiento

7 vasos x 0.333 l l l l l = 2.331 lllllRespuesta

2.33 litros ó 2 de litro.

13

34

12

3434

13

13

1. Camila va a cocinar 3 pasteles. (pág. 230)Pregunta¿Qué cantidad de azúcar debe comprar?Razonamiento3 x = 3 x 0.75 = 2.25Respuesta2 kg de azúcar.

14

12

14

3. Ernestina compró 1 litros de leche en la mañana.Pregunta¿Cuántos litros de leche le quedan?Razonamiento1.5 - 0.5 = 1.0 y 1.0 - 0.5 = 0.5 y 0.5 - 0.25 = 0.25Respuesta0.25 de litros de leche = de litro de leche

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4. Francisca tiene un queso completo.Pregunta¿Cuánto queso le queda?Razonamiento1 - 0.25 = 0.75 y 0.75 - 0.5 = 0.25Respuesta0.25 de queso = de queso.

264

3. Si 8 de cada 10 niños tienen miedo a laobscuridad.Pregunta¿ Cuál es el porcentaje de niños que tienen miedo a laobscuridad?Razonamiento8 : 10 = = 0.8Se multiplica por 100:0.8 x 100 = 80RespuestaEl 80% de los niños tienen miedo a la obscuridad.

1. La señora Maricruz va a pintar su casa. (pág. 242)Pregunta¿Cuál pintura debe comprar la señora Maricruz?Razonamiento"S. Willy", 1lllll : 19 m2 = = 0.0526"Asy", 4lllll : 80 m2 = = 0.05RespuestaLe conviene comprar la marca "Asy", porque con 0.05 lllllpinta 1 m2 y con la "S. willy" con 0.0526 lllll pinta 1m2. Lapintura "Asy" rinde más.

2. Anastasia hace tres pasteles.Pregunta¿Qué pastel es el más azucarado?Razonamientofresa, : = = 0.333

plátano, : 1 = = 0.4

zanahoria, : 1 = = 0.5RespuestaEl más azucarado es el de zanahoria.

480

119

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0.250.75

0.51.25

0.751.5

1. Amelia va a pintar su departamento. (pág. 255)Pregunta¿Cúanta pintura debe comprar?Razonamiento1lllll : 8 m2

? l l l l l : 160 m2

Se multiplica en cruz y se deja sola la ? l l l l l1 lllll x 160 m2 = ? l l l l l x 8 m2

Tema 2. Proporciones

Respuesta20 litros.

1 lllll x 160 m2

8 m2 = ? l l l l l

Unidad IX. Razones y proporciones

Tema 1. Razones

Escriba las razones que se plantean a (pág. 240)continuación.

a) Por lo regular salen 3 mameyes malos de cada 20.Respuesta = 3 : 20 = 0.15b) Por lo regular se rompe 1 huevo de cada 24.Respuesta = 1 : 24 = 0.04c) 2 niños de cada 30 necesitan anteojos.Respuesta = 2 : 30 = 0.06d) 1 niño de cada 20 tiene los pies planosRespuesta = 1 : 20 = 0.05e) Para cocinar kilo de frijol se necesitan 2 litros de agua.Respuesta : 2 = 0.5 : 2 = 0.25

320

124

230

12

12

120

4. La señora Tere hace 4 litros de atole y lossirve en tazas de de litro.Pregunta¿Cuántas tazas podrá obtener?Razonamiento4 ÷ = 4.5 ÷ 0.25 = 18Respuesta18 tazas

5. Si un refresco familiar tiene 1 de litro.Pregunta¿Cuántos vasos puedo obtener de un refresco familiar?Razonamiento1 ÷ = 1.333 ÷ 0.333 = 4Respuesta4 vasos.

14

12

12

13

13

13

14

3. La señora Tere para hacer atole llena una ollacon leche.Pregunta¿Cuánta leche usa?Razonamiento1 x 3 =1.5 x 3 =4.5Respuesta 4 litros = 4.5 litros.1

2

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810

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= 20 lllll160 lllll8

265

RespuestaSe requiere kg de azúcar.

3. Para hacer un postre llamado "jamoncillo".Pregunta¿Cuánto se necesitará de cada uno de los ingredientes si sequiere hacer para 9 personas?RazonamientoSi se conoce lo necesario para 6 personas y se deseaconocer lo necesario para 9, la razón debera ser mayor que1 por lo que la razón será . = 1.5, cantidad por lo que se multiplica cada uno de losingredientes.6 yemas x 1.5 = 9 yemas2 tazas de azúcar x 1.5 = 3 tazas de azúcar1 taza de leche x 1.5 = 1.5 tazas de leche1 cucharada sopera de vainilla x 1.5 = 1.5 cucharadassoperas de vainilla1 cucharada sopera de piñones x 1.5 = 1.5 cucharadassoperas de piñonesRespuesta9 yemas3 tazas de azúcar1.5 tazas de leche1.5 cucharadas soperas de vainilla1.5 cucharadas soperas de piñones

2. Para cocinar un pastel que lleva de kilo de

harina.

Pregunta

¿ Cuánta azúcar se necesitará para hacer un pastel que

emplea 1 kilo de harina?

Razonamiento

kg de azúcar : kg de harina

? kg de azúcar : 1 kg de harina

Se multiplica en cruz y se deja sola a la ?

kg de azúcar x 1 kg de harina =

? kg de azúcar x kg de harina

Se convierten las fracciones a decimales:

0.25 kg de azúcar x 1.5 kg de harina =

? kg de azúcar x 0.75 kg de harina;

se deja sola ?

96

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34

12

14

12

96

12

Haga las siguientes conversiones (pág. 258)

utilizando la tabla guía.

a) 3.1562 = 3

b) 7.3437 = 7

c) 3.250 = 3

d) 12.625 = 12

e) 5.666 = 5

f) 9.5312 = 9

g) 4.8437 = 4

h) 0.4375 =

i) 0.0625 =

j) 2.718 = 2

k) 3.333 = 3

14

1132

1732

532

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2732

716

23

1162332

13

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0.25 kg de azúcar x 1.5 kg de harina0.75 kg de harina

= 0.5 kg de azúcar

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Gráficas y datos im

portantes

Hago constar que el adulto com

pletó satisfactoriamente

esta unidad.Fecha

Firma del asesor

UN

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Prom

edio y frecuencia de los datos

Calculo el prom

edio de un conjunto de datosrelativos a precios, ventas, gastos, edades, tallas,calificaciones, etc.

Interpreto registros de frecuencias relativas aprecios, ingresos, costos, edades, preferencias,tallas, etc., para determ

inar la medida y la m

oda.

Determ

ino la probabilidad de que ocurra unevento con base en el análisis de sus frecuencias.

EVALU

AC

ION

FINA

L

Com

unicación

Alcance de objetivos

Desarrollo de com

petencias

Interpreto tabla de datos, diagramas,

símbolos y diferentes tipos de gráficas.

Organizo y presento inform

ación en tablas,diagram

as y diferentes tipos de gráficas.

Calculo el prom

edio y la moda a partir de la

distribución de frecuencias de eventos ocaracterísticas de un grupo de personaso cosas.

¿Qué aprendí y para qué m

e sirve?

Firma del adulto

Evaluación del aprendizaje

Aciertos de

Calificación

Fecha

Lugar

Nom

bre y firma del aplicador

Datos de la aplicación

Razonamiento

Solución de problemas

Participación

1_nch_libro_1

Documents