Universidad de AtacamaDpto. Ingeniería Civil en Minas

Laboratorio de Cristalografía

Carrera: Ingeniería civil en Minas Asignatura: Mineralogía

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ÍndiceIntroducción.......................................................................................................................3Nombre de las siete formas de La Clase hexaquisoctaédrica del Sistema Cúbico

Regular o Isométrico.............................................................................................................4Definición de los elementos geométricos indicando los tipos que existen.....................4Arista:..................................................................................................................................4Cara:....................................................................................................................................4Vértices:..............................................................................................................................4Teorema de EULER:.........................................................................................................5CUBO:.................................................................................................................................5OCTAEDRO:.....................................................................................................................5DODECAEDRO ROMBAL O ROMBODODECAEDRO:...........................................5TETRAQUISHEXAEDRO O CUBO PIRAMIDADO:.................................................5TRIAQUISOCTAEDRO:.................................................................................................6TRAPEZOEDRO REGULAR:........................................................................................6HEXAQUISOCTAEDRO:................................................................................................6Elementos de Simetría:......................................................................................................7Eje de Simetría (An):.........................................................................................................7Planos de Simetría (P):......................................................................................................8Centro de Simetría (Cs):....................................................................................................8Determinación de los Elementos Simétricos en las siete formas de la clase

Hexaquisoctaedrica...............................................................................................................9Ejes de simetría del CUBO:..............................................................................................9Planos principales (Pp) CUBO:........................................................................................9Planos Secundarios del CUBO:......................................................................................10Centro de simetría del CUBO:........................................................................................10Simetría de la Clase Hexaquisoctaedrica.......................................................................113 A4 – 4 A3 – 6 A2 – 3Pp – 3Ps - Cs.................................................................................11EjesCristalográficos................................................................................................ ........13Índices cristalográficos…………………………… …………………………..………15Índice de miller……………………………………………………………………….….16Indice de miller de todas las caras en las 7 formas. . 17Minerales que cristalizan en las 7 formas estudiadas………………………………...18Conclusiones…………………………………………………………………………….20Bibliografía………………………………………………………………………...……21

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Introducción

El átomo la parte más pequeña de la materia, que conserva las características de un elemento en un modelo simplificado tiene una región central –núcleo- que contiene protones muy densos (partículas con carga eléctrica positiva) y neutrones igualmente densos. Rodeando al núcleo hay partículas muy ligeras denominadas electrones que viajan a gran velocidad y tienen carga negativa, los electrones crean zonas esféricas alrededor del núcleo en su movimiento denominadas niveles deenergía o capas. El número de protones del núcleo determina el número atómico y el nombre del elemento, este tiene el mismo número de electrones por lo tanto un elemento es un gran cúmulo de átomos eléctricamente neutros. Los elementos (representados en la Tabla periódica son 112) se combinan entre sí para formar una amplia variedad de sustancias complejas. La gran fuerza de atracción que une los átomos sedenomina enlace químico. Cuando un enlace químico une dos o más elementos en proporciones definidas, la sustancia se denomina compuesto. Los enlaces pueden ser iónicos, covalentes y metálicos. La mayoría de los minerales son compuestos químicos. De todos los elementos conocidos de la corteza terrestre tan sólo ocho constituyen el 99% en peso de ésta y casi el 100% de su volumen. Prácticamente todos los minerales formadores de rocas o minerales petrogenéticos son compuestos de oxígeno, fundamentalmente silicatos alumínicos de (Fe, Mg, Ca, Na, K), óxidos y carbonatos. Los primeros representan el 99% de los minerales de la corteza y el manto terrestres. Además, existen otro tipo de minerales formados por elementos muy escasos en la corteza .pero de gran interés económico (Cu, Pb, Hg, Au, Ag, Pt,), estos minerales son explotados en depósitos donde el elemento se haya concentrado. La mayoría de los minerales no son sustancias puras, sino que presentan una composición química variable. Esto es debido a las frecuentes sustituciones de determinados iones o grupos iónicos que presentan parecido radio iónico y de carga eléctrica , en posiciones octaédricas, el Ca2+

por el Na . Como resultado de estas sustituciones se producen las soluciones sólidas minerales en las que en una estructura mineral aparecen dos o más elementos distintos con posibilidad de ocupar en distintas proporciones una misma posición atómica. Un mineral está compuesto por una disposición ordenada de átomos químicamente unidos para formar una estructura cristalina concreta. Este empaquetamiento ordenado de los átomos se refleja en los objetos de formas regulares que denominamos cristales. Los cristales están agrupados en 7 sistemas y estos sistemas están subdivididos en distintas clases en el séte informe analizaremos la clase hexaquisoctaedrica del sistema cúbico y características.

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Nombre de las siete formas de La Clase hexaquisoctaédrica del Sistema Cúbico Regular o Isométrico

1.- Cubo o Hexaedro regular.2.- Octaedro regular .3.- Dodecaedro Rombal o Rombododecaedro.4.- Tetraquisexaedro o cubo Piramidado.5.- Triaquisoctaedro o octaedro Piramidado.6.- Trapezoedro Regular.7.- Hexaquisoctaedro.

Definición de los elementos geométricos indicando los tipos que existen.

Arista:

Las Aristas son las líneas o segmentos en los que se unen dos caras también pueden ser consideradas como las uniones entre nodos o vértices.

En la cristalografía las aristas son clasificadas en tres: Largas, Medianas y Cortas. En los cristales que poseen solo un tipo de arista, estas son consideradas como largas, en los que poseen dos tipos de aristas, estas son consideradas como largas y cortas y en cristales que poseen tres tipos de aristas estas son consideradas como largas, medianas y cortas dependiendo de su proporción.

Cara:

El término cara puede ser definido como el plano de un cuerpo o uno de los planos de un cuerpo. Pueden existir distintos tipos de caras, como: caras cuadradas, rómbicas, triangulares, hexagonales, octaédricas etc.

Vértices:

Un vértice es la intersección de 3 o mas aristas, También puede ser considerado como el punto común entre los lados consecutivos de una figura geométrica.

Existen varios tipos de vértices estando entre ellos:

Vértice Triedro (intersección de tres aristas) su simbología es : Vértice Tetraedro(intersección de cuatro aristas) su simbología es : Vértice Hexaedro(intersección de 6 aristas) su simbología es : Vértice octaedro (intersección de 8 aristas) su simbología es :

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Determinación de todos los elementos de Geométricos de las 7 formas y aplicación del Teorema de EULER en cada una.

Teorema de EULER:

El teorema de EULER dice que el número de caras más el número de vértices es igual al número de Aristas más dos.

C + V = A + 2

CUBO:

6 Caras cuadradas iguales.12 Aristas iguales.8 Vértices triedros (de aristas iguales)

OCTAEDRO:

8 Caras iguales en forma de triangulo equilátero.12 Aristas iguales6 Vértices tetraedro (de aristas iguales)

DODECAEDRO ROMBAL O ROMBODODECAEDRO:

12 Caras rómbicas iguales.14 Vértices: 6 tetraedro (de aristas iguales ) y 8 triedro (de aristas

iguales)24 Aristas iguales.

TETRAQUISHEXAEDRO O CUBO PIRAMIDADO:

24 Caras iguales en forma de triángulos isósceles.14 Vértices: 6 hexaedro(de 3 aristas largas y tres aristas cortas) y

8 tetraedro(de 4 aristas cortas).36 Aristas: 12 Aristas largas y 24 Aristas cortas.

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TRIAQUISOCTAEDRO:

24 Caras iguales en forma de triangulo isósceles.14 Vértices: 8 vértices triedro(de aristas cortas).

6 vértices octaedro(de dos aristas largas y dos aristas cortas).36 Aristas: 24 aristas largas y 12 aristas cortas.

TRAPEZOEDRO REGULAR:

24 Caras iguales trapezoidales.26 Vértices: 8 triedro (de aristas cortas); 6 tetraedro de aristas largas,6 tetraedro (de 4 aristas largas) ,12 tetraedro ( de 2 aristas largas y 2 aristas cortas).48 Aristas: 24 largas y 24 cortas

HEXAQUISOCTAEDRO:

48 Caras iguales em forma de triangulo escaleno.26 Vértices: 6 octaedro (4 aristas largas y 4 aristas medianas)8 hexaedros (3 aristas largas y 3 aristas cortas)12 tetraedro (2 aristas medianas y 2 aristas cortas)72 Aristas: 24 largas, 24 medianas, 24 cortas.

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Definición de los elementos Simétricos e Indicación de los tipos que existen.

Elementos de Simetría:

Simetría es la repetición regular de los elementos de un cristal. Los elementos de simetría de los cristales son direcciones particulares, que cumplen condiciones de simetría, determinados por la disposición de los átomos dentro de la estructura cristalina. Los elementos de simetría que vamos ver son:

Eje de Simetría (An):

Dirección alrededor de la cual un cristal puede girar 360° n veces, por posiciones análogas puede ser de 2,3,4,6, con ángulos de rotación de 180°, 120°, 90° y 60° respectivamente.

Estos ejes se denominan correlativamente: DIAGONAL, TRIGONAL, HEXAGONAL. También se los puede designar como: BINARIOS, TERNARIO, CUATERNARIOS,

SENARIOS.

Ejes Binarios o de orden 2: Son designados por la simbología A2; nos muestra uno de dos elementos geométrico idénticos al girar un cristal 180°.

Ejes Ternario o de orden 3: Son designados por la simbología A3; nos muestran uno de tres elementos geométricos idénticos al girar un cristal 120°.

Ejes Cuaternario o de orden: Son designados por la simbología A4; nos muestran uno de cuatro elementos geométricos idénticos al girar un cristal 90°.

Ejes Senarios o de orden 6: Son designados por la simbología A6; nos muestran uno de cuatro elementos geométricos idénticos al girar un cristal 60°.

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Planos de Simetría (P):

Son planos que dividen al cristal en dos partes iguales de tal forma que una se comporta con respecto a la otra como un cuerpo y su imagen en el espejo. Puede no existir o presentarse 1,2,3,4,5,6,7,8,9, planos de simetría. Los planos perpendiculares a un eje de simetría ternario, cuaternario, senario se denominan "planos principales"(Pp) Además deben tener 2 o 3 pares de ejes iguales entre pares inmersos en dichos planos; los planos que no cumplen con dichas condiciones se denominan "planos secundarios"(Ps).

Centro de Simetría (Cs):

Se dice que un cristal posee centro de simetría, cuando al hacer pasar una línea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie a través del centro, se halla sobre dicha línea y a una distancia igual, más allá del centro, otro punto similar al primero. Caras paralelas y similares en los lados opuestos del cristal indican un centro de simetría.

Ejemplo de Clases de Simetría:

1. 3 A4 – 4 A3 – 6 A2 – 3Pp – 6 Ps - Cs ( Clase Hexaquisoctaedrica)2. 1 A4 – 4 A2 – 1Pp – 4 Ps – Cs (Clase bipiramidal)3. 3 A2 - 3P – Cs4. 1 A6 – 6 A2 – 1Pp – 6 Ps

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Determinación de los Elementos Simétricos en las siete formas de la clase Hexaquisoctaedrica.

3 A4 – 4 A3 – 6 A2 – 3Pp – 6 Ps - Cs

(Clase Hexaquisoctaedrica)

Ejes de simetría del CUBO:

Planos principales (Pp) CUBO:

Planos Secundarios del CUBO:

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3 A4

Tres ejes cuaternarios4 A3

Cuatro ejes ternarios6 A2

Seis ejes binarios

Centro de simetría del CUBO:

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Simetría de la Clase Hexaquisoctaedrica3 A4 – 4 A3 – 6 A2 – 3Pp – 3Ps - Cs

Cubo:

3 A4: Unión de centro de caras opuestas.4 A3: Unión de vértices triedros opuestos.6 A2: Union de centro de aristas opuestas.3Pp:3Ps:Cs:

Octaedro:

3 A4: Unión de vértices tetraedros opuestos 4 A3 :Unión de centro de caras opuestas.6 A2: Unión de centro de aristas opuestas.3Pp:3Ps:Cs:

Rombododecaedro:

3 A4: Unión de vértices tetraedros opuestos 4 A3: Unión de vértices triedros opuestos 6 A2: Unión de centro de caras opuestas.3Pp:3Ps:Cs:

Tetraquishexaedro:

3 A4: Unión de vértices tetraedros opuestos4 A3: Unión de vértices hexaedros opuestos6 A2: Unión de centro de aristas largas opuestas.3Pp:3Ps:Cs:

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Triaquisoctaedro:

3 A4: Unión de vértices octaedros opuestos4 A3: Unión de vértices triedros opuestos6 A2: Unión de centro de aristas largas opuestas.3Pp:3Ps:Cs:

Trapezoedro Regular:

3 A4: Unión de vértices tetraedros(formado por 4 aristas largas) opuestos.4 A3: Unión de vértices triedros opuestos6 A2: Unión de vértices tetraedros (formado por 2 aristas largas y 2 cortas) opuestos3Pp:3Ps:Cs:

Hexaquisoctaedro:

3 A4: Unión de vértices octaedros opuestos4 A3: Unión de vértices hexaedros opuestos6 A2: Unión de vértices tetraedros opuestos3Pp:3Ps:Cs:

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Ejes Cristalográficos.

Ejes Cristalográficos: Se ha encontrado conveniente al describir los cristales suponer que ciertas líneas imaginarias, los ejes cristalográficos, se toman paralelos a las aristas que corresponden a la intersección de las caras cristalinas principales. Además, las posiciones de los ejes cristalográficos vienen más o menos fijadas por la simetría de los cristales, pues en la mayor parte de los cristales son ejes de simetría o normales a los planos de simetría. Se considera una terna de ejes cristalográficos, designados como: a, b, c. Aquí los tres ejes de longitudes diferentes son mutuamente perpendiculares entre sí y cuando se colocan en la orientación normal son como sigue:

- El eje a es horizontal y está en posición delante- atrás.- El eje b es horizontal y está en posición derecha-izquierda. - El eje c es vertical.

Los extremos de cada eje se designan " más o menos " (+ o -).

Los ángulos que forman los ejes entre sí se denominan:

- Alfa: α- Beta: β- Gama: γ

Estos conforman la cruz axial.

Tipos de Caras: en relación con los ejes cristalográficos las caras de los cristales pueden tener las siguientes posiciones generales:

- Cara Pinacoidal: Cuando corta a un eje y es paralela a los otros dos. - Cara Prismática: Cuando corta a dos ejes y es paralela al tercero.- Cara Piramidal: Cuando corta a los tres ejes.

Clases de Simetría y Sistemas Cristalinos

Las clases de simetría a la que pertenece un cristal, están dada por el conjunto de sus elementos de simetría. Mediante la combinación de ejes y planos se han determinado 32 clases de simetría que se agrupan en siete sistemas cristalográficos y estos a su vez en tres grupos, de acuerdo a las relaciones de longitud y angularidad de sus ejes. (Cruz Axial).

- GRUPO ISOMETRICO: Los tres ejes cristalográficos tienen la misma longitud. - SISTEMA CUBICO: Los tres ejes tienen la misma longitud y son perpendiculares entre sí.

a = b = c α = β = γ = 90°

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Los elementos de simetría característicos de este sistema son 4 ejes trigonales. Minerales que pertenecen al sistema cúbico son: Halita NaCl, Pirita FeS2, Galena PbS, las cuales forman entre otros cubos. Diamante de forma octaédrica, Magnetita Fe3O4 forma entre otros octaedros. Granate,

Por . ej. Almandina Fe3Al2[SiO2]4 de forma rombododecaédrica, de forma icositetraédrica.

- GRUPO DIMETRICO: Presenta dos ejes iguales y un tercero desigual. - SISTEMA TETRAGONAL: Dos ejes iguales (horizontal) y un tercero (vertical) de longitud diferente,

todos perpendiculares entre sí.

a = b ≠ c α = β = γ = 90°

Tienen como elemento de simetría 1 eje tetragonal coincidiendo con el eje "c". Formas típicas y suselementos de simetría son : Circón (ZrSiO2) pertenece al sistema tetragonal y forma p. ej. prismas limitados por piramides al extremo superior y inferior, Casiterita SnO2.

- SISTEMA HEXAGONAL: En este sistema intervienen cuatro ejes cristalográficos en lugar de tres. Los tres horizontales son iguales entre sí y se cortan a 120°. El vertical es mayor o menor que los anteriores. Entre los extremos positivos, como los tres ejes horizontales son intercambiables entre sí, normalmente se les designa con a1, a2, a3.

a = b = d ≠ c α = β = γ = 90°, δ= 120°

El elemento de simetría característico es un eje hexagonal coincidente con el eje "c". Apatito Ca5[(F, OH, Cl)/(PO4)3] y grafita C pertenecen al sistema hexagonal.

- SISTEMA TRIGONAL: Presenta las mismas relaciones axiales que el sistema anterior pero el elemento de simetría característico es un eje trigonal coincidiendo con el eje "c". Calcita CaCO3 y Dolomita CaMg(CO3)2 pertenecen al sistema trigonal y forman a menudo romboedros.

- GRUPO TRIMETRICO: Los tres ejes son de diferente longitud. - SISTEMA ROMBICO: Posee tres ejes perpendiculares, todos de distinta longitud.

a ≠ b ≠c

α = β = γ = 90°

Los elementos de simetría característicos de este sistema son tres ejes diagonales o un eje diagonal y dos planos perpendiculares entre sí, que pasan por él. Ej.: Olivino (Mg,Fe)2(SiO4)

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SISTEMA MONOCLINICO: Los cristales se refieren a tres ejes desiguales, dos de los cuales se cortan según un ángulo oblicuo y el tercero es perpendicular al plano de los otros dos. Los ángulos y son iguales mayor de 90°.

a ≠ b ≠ c α = β = γ > 90°

Sus elementos de simetría característicos son un eje diagonal y un plano. Ej.: Mica

- SISTEMA TRICLINICO: Tres ejes desiguales y tres ángulos desiguales entre sí y diferente de 90°.

Carece de elementos de simetría o posee centro en las formas holoédricas. Ej.: Albita: NaAlSi

a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90°

HoloedrÍa: Cada uno de los siete sistemas cristalinos tiene una clase con el máximo número de elementos de simetría que pueda presentarse. A esta clase se la denomina holoédrica. Las restantes clases son las meroédricas. Las que presentan la mitad de las caras equivalentes a la forma Holoédrica correspondiente reciben el nombre de hemiédricas.

Índices cristalográficos

Las expresiones simplificadas y abreviadas que han derivado de los parámetros de la forma de un cristal, se emplean ordinariamente para dar sus relaciones a los ejes cristalográficos. Estos se conocen como índices. Se han inventado un gran numero de métodos para derivar los índices y actualmente se emplean varios siendo el mas usado el índice de miller.

Ejemplos de índices de acuerdo con varios sistemas de Notación.

Weiss Naumann Dana Goldschmidt Miller1a :1b:2c 2P 2 2 2211a :2b:1c 0P2 1-2 1 ½ 212

1a: b:c P i-i 0 100

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Índice de miller

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l)

Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.

Obtención de los Índices de Miller:

1 - Se determinan las intersecciones del plano con los ejes cristalográficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parámetro de red sobre cada eje.

2 - Se realizan los recíprocos de las intersecciones.

3 - Se determinan los enteros primos entre sí que cumplan con las mismas relaciones.

Ejemplo:

Supongamos una red con parámetros de red: a b c

Tenemos un plano que intersecta a los ejes x, y, z en los puntos 1a 2b 1/2c respectivamente.

Entonces realizamos el recíproco de las intersecciones: 1a, 1/2b, 2c y de ahora en más trabajamos solo con los números, es decir: 1, 1/2, 2.

Determinamos los enteros primos entre sí que cumplan las mismas relaciones: Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m(mimimo común múltiplo) es decir 2. 2 (1, 1/2, 2) = (2 1 4) (Nótese que cumplen con las características de los índices de Miller: Enteros y primos entre sí)

Entonces los índices de Miller para el sistema de planos del ejemplo es: (2, 1, 4)

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Notación Cristalográfica para cada cara símbolo en las 7 formas.

Según miller

1. CUBO: (100)

2. OCTAEDRO: (111)

3. ROMBODODECAEDRO: (110)

4. HEXAQUISHEXAEDRO: (hk0) como: (310); (210); (320) etc.

5. TRIAQUISOCTAEDRO: (hkl) como: (331); (221); (332); etc.

6. TRAPEZOEDRO REGULAR: (hll) como: (311); (211); (322) etc.

7. HEXAQUISOCTAEDRO: (hhl) como: (421) ; (321); etc.

Indice de miller de todas las caras en las 7 formas.

CUBO(100):

1. Adelante: (100)2. Atrás: (-100)3. Derecha: (010)4. Izquierda: (-010)5. Arriba: (001)6. Abajo: (00-1)

OCTAEDRO(111):

1. Arriba: (111); (-111); (-1-11); (1-11)2. Abajo: (11-1); (-11-1), (-1-1-1); (1-1-1)

DODECAEDRO ROMBAL(110):

(110), (-110), (-1-10), (1-10)(101), (-101), (-10-1), (10-1)(011), (0-11), (0-1-1). (01-1)

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TETRAQUISHEXAEDRO(hk0):

1. Adelante: (201), (210), (2-10), (20-1)2. Atrás: (-201), (-210), (-2-10), (-20-1)3. Derecha: (021), (120), (-120), (02-1)4. Izquierda: (0-21), (1-20), (-1-20), (0-2-15. Arriba: (102), (012), (-102), (0-12).6. Abajo: (10-2), (01-2), (-10-2), (0-1-2).

TRAPEZOEDRO REGULAR(hll)

1. Adelante: (2-11),(2-1-1), (211),(21-1)2. Atrás: (-2-11),(-2-1-1), (-211), (-21-1)3. Derecha: (121), (12-1), (-121), (-12-1)4. Izquierda: (121), (12-1), (-121), (-12-1)5. Arriba: (2-12), (112), (-1-12), (-112)6. Abajo: (-2-12), (11-2), (-1-1-2), (-11-2)

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Minerales que cristalizan en las 7 formas estudiadas

CUBO: Fluorita-Galena-HalitaOCTAEDRO: Fluorita

ROMBODODECAEDRO: Granate

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Conclusiones

1. la forma y perfección de un cristal nos entrega información de las características del medio en el cual estaba sometido el mineral, pudiendo así realizar un estudio de dichas condiciones.

2. la geometría nos ayuda a e interpretar distintos patrones en los cristales y minerales. Al ser un cristal una representación de la forma geométrica en la cual están ordenados los átomos podemos deducir la composición de algún mineral solo basándonos en su forma cristalina.

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Bibliografía

EDWARD S. DANA :Tratado de mineralogía. 4 edición. Editorial continental.

F. KLOKCHMANN-P. RAMDOHR Tratado de Mineralogía.

Pagina WEB: /es.wikipedia.org/

Figuras dibujadas por Pablo Carrasco Milla Programa usado:

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