1er EXAMEN PARCIAL

AUTOMATICA I CONTROL ENGINYERIA EN AERONAUTICA

ETSEIAT DEP ESAII, 11/4/2011

1ª PART

2 punts Solució:

a) El termometre es comporta com un sistema de proiemr ordre

G(s)=Y(s)/U(s)=K/(1+Ts)

El guany estàtic serà K=39º/40º

I la constant de temps T es calcula a partir de la resposta del sistema de primer ordre a un graó de A= 40ºC, sabent que en 60 segons la temperatura es 38,3ºC:

y(t) = 38,3 = A.K(1-e-t/T).us(t)=39(1-e-60/T)

Llavors:

e-60/T = 1-38,3/39=1-0,982=0,018

T=60/-Ln(0,018)=14,92 segons

b) Si ara no sabem la temperatura (febre) del segon pacient, vol dir que A és la incognita: y(t) = 36 = A.39/40(1-e-30/14,92)=0,844A

Per tant A=36/0.844= 42,63º

Resolucio del 1er EXAMEN PARCIAL AUTOMATICA I CONTROL

Problema 1. Es habitual fer servir acceleròmetres (figura 1) per mesurar les vibracions de les turbines dels avions (figura 2). Es demana: 1.1. Obtenir les equacions diferencials o el diagrama de blocs elementals del acceleròmetre de la figura 1, si l’entrada és el moviment ei(t) i la sortida és el moviment relatiu: eo(t)=y(t)-ei(t) 1 punt L’equació diferencial i la de sortida són: K[ei(t)-y(t)]+B[dei/dt-dy/dt]= M d2y/dt2 eo(t)=y(t)-ei(t) I l’equació laplaciana i de sortida en Laplace són: (K+Bs)Ei(s)=(K+Bs+Ms2)Y(s) Eo(s)=Y(s)-Ei(s) I el diagrama de blocs elementals és:

1.2. Obtenir la representació externa (funció de transferència): G(s)=Eo(s)/Ei(s) 1 punt Si es reemplaça: Y(s)= [(K+Bs)/(K+Bs+Ms2)]. Ei(s) A l’equació de sortida, llavors: Eo(s)= ([(K+Bs)/(K+Bs+Ms2)]-1).Ei(s) I per tant: G(s)=Eo(s)/Ei(s)= -Ms2/(K+Bs+Ms2) I a partir del diagrama de blocs s’arriba a la mateixa solució

Figura 2. Turbina amb aceleròmetre

Turbina

aceleròmetre

M

K B

ei

y

Y

Bs

1/Ms2

-

- Ei

K

+

+ Eo

Problema 2. Suposem que la funció de transferència del acceleròmetre del problema 1

és: 2

( )( 0.1)( 1)

sG s

s s

2.1. Obtenir la resposta freqüencial de G(s) en el diagrama de BODE 1 punt G(s)= -10s2/[(1+10s)(1+s)] Taula de Mondragon i diagrama de BODE 0 0.1 1 ∞ Modul/Fase -10 0 /-2 0/-2 0/-2 s2 +2/+2 +2/+2 +2/+2 1/(1+10s) 0/0 -1/-1 -1/-1 1/(1+s) 0/0 0/0 -1/-1 TOTAL +2/0 +1/-1 0/-2 IG(jw)IdB +20dB 0dB 0.01 0.1 1 10 rad/s -20dB -40dB Fase G(jw) 0 -90º -180º 2.2. Determinar exactament quin és el guany (en dB i sense dB) i la fase (o desfasament en graus) de la resposta freqüencial del acceleròmetre per una pulsació ω= 2 rad/s i per quina pulsació la fase (o desfasament) és -90º? 1 punt Mòdul= 10 ω2/[sqr(1+100 ω2)*sqr(1+ ω2)] Fase= -atan(10ω) -atan(ω)

Per ω=2 rad/s Mòdul= 40/[sqr(401)*sqr(5)]= 0.893 (-1dB) Fase= -87º13-63º43= -150º56 I per prova-error s’obté aproximadament que per ω= 0.31 rad/s Fase=-90º Problema 3.- Donat el circuit elèctric de la figura 3, determinar: 3.1. El model en representació interna (espai estat), sabent que les variables d’estat són les tensions dels dos condensadors C1 i C2 i que la sortida és la tensió en C2 1 punt

Figura 3. Solució: Les equacions del circuit elèctric són: u(t) = R1[ic1(t) + ic2(t)] + R2 ic1(t) + vc1(t) R2 ic1(t) + vc1(t) = vc2(t) Si les variables d’estat són: x1(t) = vc1(t) = C1

-1∫ic1.dt x2(t) = vc2(t) = C2

-1∫ic2.dt Llavors ic1(t)= C1 dx1/dt ic2(t)= C2 dx2/dt I les dos equacions del circuit queden: u(t) = R1C1 dx1/dt + R1C2 dx2/dt + R2C1 dx1/dt + x1(t) R2C1 dx1/dt = x2(t)-x1(t) Per tant: dx1/dt = [x2(t)-x1(t)]/R2C1

u(t) = (R1+R2)C1 [x2(t)-x1(t)]/R2C1+x1(t)+R1C2 dx2/dt I així: dx1/dt = [x2(t)-x1(t)]/R2C1

dx2/dt = [R1/R2 x1(t) – (R1+R2)/R2 x2(t) + u(t)]/(R1C2) y(t)= x2(t) -1/R2C1 1/ R2C1 0 dx/dt= x(t) + u(t) 1/R2C2 -(R1+R2)/(R1R2C2) 1/R1C2 y(t) = 0 1 x(t)

u

R1

R2

C1

C2

3.2.Si el circuit elèctric és observable i controlable? Observabilitat: C 0 1 CA 1/(R2C2) -(R1+R2)/(R1R2C2) Es de rang 2 i per tant el circuit és observable ja que determinant (C CA) = -1/R2C2 ≠ 0 Controlabilitat: B AB 0 1/R1R2C1C2

1/R1C2 -(R1+R2)/(R12R2C2

2) Es de rang 2 i per tant el circuit és controlable ja que determinant (B AB) = -1/[(R1

2R2C22C1] ≠ 0

4.- Equilibrar el pal d’una escombra en el extrem amb un dit de la mà es equivalent al problema de controlar un coet a l‘enlairar-se. És el conegut problema de control d’un pèndol invertit (figura 4) Les equacions d’aquest sistema són:

2 2

2 2

2 22

2 2

( )

.sin( ( ))

d y dM mL u t

dt dt

d y dmL mL mLg t

dt dt

4.1.- Obtenir la funció de transferència Y(s)/U(s) a partir de les equacions linealitzades del sistema al voltant de φ=0º i deduir l’ordre, els zeros i els pols d’aquesta funció de transferència i fer un dibuix amb les seves posicions si: M=10 Kg, m=1Kg, L=2 m i g=10m/seg2 en el pla s. 1 punt

φ

u(t) (força)

y(t) (desplaçament)

M

m

Solució: La unica no linearitat és: sin(φ(t)) i com és tracta de treballar al voltant de φ=0º Llavors aplicant l’aproximació de Taylor s’obté: sin(φ(t)) ≈ sin(0º) + cos(0º) (φ(t)-0º)= φ(t) I les equacions en Laplace seràn: Ms2Y(s)+mLs2Θ(s)=U(s) mLs2Y(s)+mL2s2Θ(s)=mLgΘ(s) Per tant de la segona equació laplaciana es pot obtenir: Θ(s) = [s2/(g-Ls2)]Y(s) I llavors passat a l ‘equació primera s’obté: Y(s)/U(s) = (g-Ls2)/[(mL-ML)s4+Mgs2)] On el seus zeros seràn: -Ls2+g=0 s1,2= +/- √ g/L =+/-2.23 I els pols seràn: (mL-ML)s4+Mgs2=0 s1,2=0 i s3,4=+/-√Mg/(ML-mL)=+/-2.36 Im s Re s -2.36 -2.23 0 2.23 2.36

4.2. Obtenir la funció de transferència φ(s)/U(s) a partir de les equacions linealitzades

del sistema al voltant de φ=0º i deduir l’ordre, els zeros i les pols d’aquesta funció de transferència i fer un dibuix amb les seves posicions si: M=10 Kg, m=1Kg, L=2 m i g=10m/seg2 en el pla s. 1 punt Solució La funció de transferència en aquet cas serà: Y(s)/U(s) = s2/[(mL-ML)s4+Mgs2)]= 1/[(mL+ML)s2+Mg)] Que no té zeros i en canvi té 2 pols en s1,2=+/-2.36 Im s Re s -2.36 2.36