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1er CONCURSO REGIONAL DE PROYECTOS DE CIENCIAS

MUSEO DE LAS CIENCIAS DE CASTILLA-LA MANCHA

Proyecto: Una curva sorprendente Tutor/a: Jesús Ruiz Felipe, Mercedes Rodenas Pastor. Centro: Cristóbal Pérez Pastor Curso: 1º Bachillerato Localidad y Provincia: Tabarra. Albacete

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Una curva sorprendente. Abstract:

El siguiente proyecto consiste en resolver un problema de índole Físico-Matamática. La cuestión es la siguiente: Supongamos que se une por medio de un alambre deformable un punto A a otro B a menor altura ¿qué trayectoria (recta o sinuosa), qué forma debe adoptar el alambre para que el descenso de una partícula sobre este sea lo más rápido posible? Una de los métodos de resolución más originales, utiliza fundamentos físicos y de análisis que se engloban en el currículo Bachillerato. Primero indagaremos en esta solución, y después construiremos esta curva que oculta otra característica sorprendente. Los resultados obtenidos se ajustan extraordinariamente bien a la teoría. The next project consists of solving a Physics and Mathematics problem. The matter is the following: If we guess that we link a point A to a point B in an inferior height by means of a distorted wire. Which path (straight or wavy), what shape must the wire adopt so that the descent of a particle on this wire may be as fast as possible? One of the most original methods of resolution use Physics and analysis concepts that are included in the curriculum Bachillerato. Firstly, we will inquire into this solution, and then we will build this curve that hides another surprising characteristic. The results obtained adapt to the theory quite well.

Introducción: El siguiente proyecto consiste en resolver un problema que dio muchos quebraderos de cabeza a toda la élite científica del siglo XVII. La cuestión es la siguiente: Supongamos que se une por medio de un alambre deformable un punto A a otro B a menor altura ¿qué trayectoria (recta o sinuosa), qué forma debe adoptar el alambre para que el descenso de una partícula sobre este sea lo más rápido posible? Una de los métodos de resolución más originales, utiliza fundamentos físicos y de análisis que se engloban en el currículo de E.S.O. y Bachillerato. Primero indagaremos en esta solución, y después construiremos esta curva que oculta otra característica sorprendente. Los resultados obtenidos se ajustan extraordinariamente bien a la teoría. Para documentar este trabajo, se adjunta una página web que contiene elementos de simulación que ilustran los fenómenos estudiados y un vídeo que aunque vale más que mil palabras sería insuficiente sin un análisis matemático exhaustivo. En este proyecto, cooperación entre los departamentos de Matemáticas y Física, se trabajan conceptos y procedimientos relativos a los programas de Bachillerato, tales como:

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• Pendiente de una recta tangente a una curva, derivada • Resolución de integrales definidas. Cambio de variable • Maximizar funciones • Ley de Snell, principio de Fermat • Conservación de la Energía • Dinámica de rotación del sólido rígido • Ecuaciones paramétricas. Dibujar funciones • Relaciones trigonométricas. • Hoja de cálculo • Historia del cálculo y la Física.

RESOLUCIÓN DEL PROYECTO. Un problema de Física-Matemática. Perspectiva histórica.

Supongamos que se une por medio de un alambre deformable un punto A a otro B a menor altura ¿qué trayectoria (recta o sinuosa), qué forma debe adoptar el alambre para que el descenso de una partícula sobre este sea lo más rápido posible?

Galileo creía que una cuentecilla caería en menor tiempo si el alambre se curvaba. Más tarde en 1696, Johann Bernoulli intentó averiguar (y lo consiguió de manera genial) qué clase de curvatura proporciona el descenso más vertiginoso. Esta curva se conoce como braquistocrona (del griego brachistos, el más breve, y cronos, tiempo).

Es posible resolver este hermoso problema desde distintas perspectivas. Históricamente la cuestión entronca con un problema de óptica aparentemente sin relación, la refracción de la luz cuando un rayo cambia de medio en su propagación. Al traspasar la luz a un medio más denso, en el cual la onda se ralentiza, el rayo se desvía. El tiempo requerido para recorrer el camino que parte del punto A y arriba en otro B será:

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2

22

1

22 )(v

xcbvxat −+

++=

Si el rayo elige una trayectoria para tardar lo mínimo entonces dt/dx= 0

222

221 )( xcbv

xcxav

x−+

−++

La suposición de que la luz va de un punto a otro siguiendo la trayectoria más rápida se conoce como principio de Fermat (el de la nota al margen) y proporciona una base sólida para la ley de Snell.

Si en vez de dos medios, la luz atraviesa un camino estratificado en donde en cada capa la velocidad de la luz es v, y disponemos que estas capas sean cada vez más delgadas hasta llegar al límite entonces:

2

2

1

1

vsen

vsen αα

=

o bien: ctev

sen =α ley de la refracción de Snell.

Esta situación ocurre aproximadamente cuando un rayo de luz va penetrando en la atmósfera de densidad creciente.

Al igual que el rayo, la bolita que desciende por el alambre elige el camino

más rápido sabiendo que ctev

sen =α.

La velocidad que alcanza a una altura no depende del camino seguido (la regla del juego), solo influye su perdida de energía potencial no la ruta que lo condujo y vale )2(2 yRgv −= suponiendo que la altura inicial vale 2R y

ya veremos por qué.

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Por trigonometría elemental:

22 ´)(11

tan11cos

ysen

+=

+==

ϑϑα

⇒−==+

= )2(2.´)(1

12

yRgctevctey

senα

cteyRy =−+ )2)(´)(1( 2

Que es la ecuación de una cicloide con el origen en πR,-2R e invertida y cuyas ecuaciones paramétricas se comprueba que son:

)2cos1()22(

ϑϑϑ

−=+=

RysenRx

O bien:

πϑϑϑϑ

≤≤−=+=

0),cos1(

)(

conRy

senRx

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

104

108

112

116

120

124

128

132

136

140

144

148

152

156

160

R(alfa+sen alfa) cm

R(1

-cos

alfa

) cm

(π*R, 2R)

R= 0,5 m

La cicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta sin deslizar como se ve en la figura:

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Para averiguar cuál es el tiempo (mínimo) que tarda la bolita en alcanzar el final ubicado en el origen partiendo desde una altura 2R a una distancia x=πR se procede integrando el tiempo:

⇒−

+−=−=⇒−=)2(2

22

yRg

dydx

v

dsdt

dt

dsv El signo – significa que a medida que s

disminuye (desciende) la velocidad aumenta.

ϑϑϑϑ

ϑϑϑ

π

dgR

RtdRRRg

senRdt ∫ +

++−=⇒+−

++−=022

)cos1(2

cos211

)cos2(2

)cos1(

∫ =−=0

π

πϑg

Rd

g

Rt

Supongamos que la partícula es una pequeña esfera que rueda sin deslizar, entonces la velocidad será: Mg2R= ½ mv2+½Iw2+ mgy

Mg2R = ½ mv2+½2/5 mr2v2/r2+ mgy

∫+

=+

=⇒

+

−=0

2)1

5

2()1

5

2(

)15

2(

)2(2

π

πϑg

Rd

g

Rt

yRgv

Es también realmente sorprendente lo que en el año 1673, Christian Huygens (La Haya, 1629-1695), matemático, físico y astrónomo, descubrió, un hecho que le pareció extraordinario en la Cicloide: si una partícula se desplaza a lo largo esta curva invertida cuyas ecuaciones están descritas en forma paramétrica, en caída libre, llegará al punto mínimo de la

Cicloide en un tiempo que no depende del origen desde donde comenzó a

caer. Esta propiedad se la denomina tautócrona (del griego tauto, el mismo).

En la demostración iniciaremos el descenso a una altura y1 cualesquiera:

ϑϑϑϑϑϑ

dyygR

RtdyygsenRdt ∫ −

++=⇒−++=

0

11

22

1)(2

cos211)(2

)cos1(

7

ϑϑϑ

ϑϑϑϑ

ϑϑϑ

dgRd

gRRt ∫∫ −

+=+−−

++=⇒0

1

0

1 11)cos(cos

cos1)cos1cos1(2

cos211

ϑϑϑ

ϑ

ϑϑϑ

ϑ

ϑϑ

d

seng

Rd

g

R∫∫

−−=

−=

0

212

0

122

2

11

2)

2cos1(

2cos

)2

cos2

(cos2

2cos2

dxd

xsen

22

cos

2

=

=

ϑϑ

ϑ

∫ −=

0

2

221

2ϑ

senxa

dxgR

gR

sen

senarcsen

senarcsen

gR πϑ

ϑ

ϑ =−= )

2

2

2

0(21

1

1

Huygens fue el primero en descubrir esta propiedad y en darle una aplicación práctica. Estudiando los relojes de péndulo observó que cuando un cronómetro varía la amplitud de la oscilación, entonces deja de contar correctamente. Pero si la lenteja del péndulo se moviese no en una circunferencia, sino a lo largo de una cicloide, entonces aunque la amplitud de oscilación variase, el período permanecería constante.

Para lograr que la lenteja se mueva describiendo una cicloide Huygens se las ingenió mediante una de las propiedades geométricas de la cicloide Si se cuelga el péndulo con una cuerda de longitud 4R y se instala a ambos lados del punto de apoyo una cicloide como extremos, entonces la lenteja describe una cicloide igual. Sea cual sea la amplitud del movimiento oscilatorio el período es el mismo.

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METODOLOGÍA. CONSTRUCCIÓN: A partir de las ecuaciones paramétricas de la cicloide, y utilizando una hoja de cálculo obtenemos pares de puntos, (x,y) que se dibujan sobre un tablero de madera. Después se recorta. Las dimensiones finales son de 157x100 cm. Sobre este pegamos una regleta de electricista que hace las veces de rail para que la pelota ruede.

Primera curva donde se observa la forma de cicloide invertido.

Para medir tiempos se usa un fotointerruptor con una precisión de milésima de segundo. Para demostrar que las esferas tardan el mismo tiempo en caer desde cualquier origen, soltamos dos pelotas de goma simultáneamente encontrándose siempre en el origen de coordenadas (Esto queda bien patente en el vídeo grabado en el aula Althia)

Se ha diseñado un circuito eléctrico con un zumbador que emite un aviso sonoro cuando una bola abandona la rampa. Se ha colocado un circuito de este tipo al final de cada una de las rampas, de forma que se comprueba acústicamente que ambas bolas llegan a la vez

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• Relé para 6V con dos contactos conmutados

• Transistor T1: BC547

• Transistor T2: BD137 • Resistencia 2,2 KΩ • Resistencia variable 5 KΩ

• Diodo 1N4007 • Condensador 2200 µF

• Final de carrera NA

Dos curvas unidas y una recta que une los puntos A y B. La cicloide es la curva más rápida (braquistocrona). También soltando las esferas desde cualquier punto tardan el mismo tiempo en llegar (tautócrona). De ahí la construcción de los tres caminos. Resultados en el vídeo.

Presupuesto:

• Tablero de madera 12 euros. • Regletas utilizadas de rail 3 euros

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ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS: 1. Construcción. La longitud de nuestra rampa, siendo el radio generador de

la cicloide de 50 cm, será:

ϑϑϑ

dd

dy

d

dxdydxL

B

A

B

A∫∫

+

=+=22

22

( ) ( ) ϑϑϑϑϑππ

dRdsenRL ∫∫ +=++=00

22 cos12cos1

RsenRdRdRL 42

2.22

cos22

cos2.2000

2 =

=== ∫∫πππ ϑϑϑϑϑ

Por tanto la longitud de nuestro arco debería ser de 2m. De hecho la regleta usada como carril de la esfera es un modelo estándar comprado en cualquier ferretería. La longitud del arco construido debido a los defectos de fabricación es de 198 cm luego el error en la elaboración de la curva es de un 1%. 2. Medida de tiempos debido al lanzamiento. Para medir el tiempo de caída de la esfera debemos tirar esta desde el interruptor óptico con una velocidad inicial nula. Supongamos que soltamos la esfera dos mm antes del interruptor. El tiempo que tarda en recorrer este espacio no se recoge en la medida. Si lanzamos el objeto desde una altura muy grande este tiempo será muy breve, pero para pequeñas alturas este lapso de tiempo será muy significativo. El tiempo empleado entre 2 puntos caracterizados por su ángulo ϑ será:

ϑϑϑ

ϑϑ

ϑ

dg

Rt ∫ −

++=

2

1)cos(cos

cos1)1

5

2(

1

)

2

2

2

2(2)1

5

2(

1

1

1

2

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

sen

senarcsen

sen

senarcsen

g

R−

+=

Por ejemplo, lanzando la esfera desde una altura de 70 cm, si la esfera está separada una distancia de 1,4 mm del fotointerruptor, el registro dejará de marcar 0,003 segundos (el tiempo que tarda la esfera e alcanzar el interruptor), o bien un error de un 3,6%. Este porcentaje no es constante, sino que se atenúa a mayor altura. Realmente para verificar que la esfera cae en el mismo tiempo sea cual sea el punto de partida, se lanzan dos bolas idénticas simultáneamente. Visualmente se observa que las dos se encuentran en el origen de coordenadas, naturalmente con mayor velocidad la que viene por detrás.

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3. Deslizamiento. Para que la esfera ruede sin deslizar se deben cumplir las siguientes condiciones:

• Mg senϑ -F=ma • FR=Iα

F= mg senϑ -ma= Iα/R; R2mg senϑ - R2ma= Ia

ϑϑgsenesfera

mRI

mgsenRa

7

5)(

2

2

=+

= independiente de la masa y el radio, sólo

interviene la forma.

ϑϑµ tgesfera

I

mR

tg

7

2)(

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=+

=

Para calcular el valor de µ procedemos del siguiente modo: Dejamos rodar una esfera por un plano inclinado de un metro de longitud, y vamos aumentando progresivamente el ángulo de inclinación del plano. Representamos gráficamente la aceleración frente al seno del ángulo, que como se ha visto mantiene una relación lineal. En el punto en que se rompe esa linealidad, no se cumple la condición de rodadura y se está en disposición de calcular µ y el ángulo a partir del cual comienzan los errores. En el gráfico se representan los valores para sendas esferas de goma y acero. Como el carril es de plástico, es fácil deducir que la pelota de goma va a tener mayor rozamiento, como se advierte en el gráfico. En este se observa a partir de qué inclinación empieza la pelota a deslizarse.

Esferas de goma y acero

a teórica=7ms-2sen alfa a = 6,8614 sen alfa

R2 = 0,9937

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000

SEN ALFA

AC

ELE

RA

CIÓ

N m

s-2

rodadura de goma

deslizamiento de goma

esfera de acero

Rueda sin deslizar

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Realizando cálculos simples deducimos:

• µ Esfera acero= ϑtg7

2= 0,16 ángulo a partir del cual comienza a deslizarse = 29

grados

• µ Pelota squash= ϑtg7

2= 0,28 ángulo a partir del cual comienza a deslizarse

=44,75 grados Es por tanto conveniente usar una pelota de goma para aumentar el rozamiento y evitar el deslizamiento.

La aceleración adquiere un valor de 6,86 ϑsen ms-2frente a los ϑgsen7

5= 7

ϑsen teóricos (2%). El tiempo teórico de caída es:

∫+

=+

=0 )1

5

2()1

5

2(

π

πϑg

Rd

g

Rt que engloba al radio generador del cicloide

(50 cm), y la forma de la figura que rueda (una esfera 5

2 ).

CONCLUSIÓN: En nuestra construcción el valor correspondiente del tiempo es de 0,839 s (la precisión del instrumento de medida alcanza la milésima). Los datos experimentales no se van más allá del 2%. Además en el vídeo se observa que sea cual sea el punto de partida de la esfera, este tiempo es invariable. Creemos que los resultados son bastante buenos, que los errores no se van más allá de lo que es técnicamente imposible de corregir, y que aunque la espectacularidad de observar las dos esferas llegando a la vez (cada una a una velocidad distinta) es muy llamativa, la belleza del proyecto también recae en la resolución de un problema usando conceptos explicados en Bachillerato. Los vídeos enviados hablan de la validez del proyecto y los resultados. En el vídeo, casi sin editar, se comprueba que el valor teórico de caída (0,839 s) coincide bastante bien con los resultados experimentales. También se observa que el tiempo de descenso es independiente del punto de partida,

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así como que la cicloide invertida e la curva más rápida en un descenso en caída por gravedad.

Las dos esferas llegan a la vez pero con distinta velocidad

Bibliografía: Ecuaciones, con aplicaciones y notas históricas. F. Simmons Apéndice: Estos son los datos utilizando una hoja de cálculo que sirven de base para construir la curva: En la tabla se observa la dificultad para diseñar algunos tramos de la curva.

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RADIANES X (cm) Y(cm) 0,025 2,50 0,02 0,05 5,00 0,06 0,15 14,97 0,56 0,175 17,46 0,76 0,2 19,93 1,00 0,225 22,41 1,26 0,25 24,87 1,55 0,275 27,33 1,88 0,3 29,78 2,23 0,325 32,22 2,62 0,35 34,64 3,03 0,375 37,06 3,47 0,4 39,47 3,95 0,425 41,87 4,45 0,45 44,25 4,98 0,475 46,62 5,54 0,5 48,97 6,12 0,525 51,31 6,73 0,55 53,63 7,37 0,65 62,76 10,20 0,675 64,99 10,96 0,7 67,21 11,76 0,725 69,41 12,58 0,75 71,58 13,42 0,775 73,74 14,28 0,8 75,87 15,16 0,825 77,98 16,07 0,85 80,06 17,00 0,875 82,13 17,95 0,9 84,17 18,92 1 92,07 22,98 1,025 93,99 24,05 1,05 95,87 25,12 1,075 97,73 26,21 1,1 99,56 27,32 1,125 101,36 28,44 1,15 103,14 29,58 1,175 104,88 30,72 1,2 106,60 31,88 1,225 108,29 33,05 1,25 109,95 34,23 1,275 111,58 35,42 1,3 113,18 36,63 1,325 114,75 37,83 1,35 116,29 39,05 1,375 117,79 40,27 1,4 119,27 41,50 1,475 123,52 45,22 1,5 124,87 46,46 1,525 126,20 47,71 1,55 127,49 48,96

1,575 128,75 50,21 1,6 129,98 51,46 1,625 131,18 52,71 1,65 132,34 53,96 1,675 133,48 55,20 1,8 138,69 61,36 1,825 139,64 62,57 1,85 140,56 63,78 1,875 141,45 64,98 1,9 142,32 66,16 1,925 143,15 67,34 1,95 143,95 68,51 1,975 144,72 69,66 2 145,46 70,81 2,1 148,16 75,24 2,125 148,77 76,31 2,15 149,34 77,37 2,175 149,90 78,41 2,2 150,42 79,43 2,225 150,93 80,43 2,25 151,40 81,41 2,275 151,86 82,37 2,3 152,29 83,31 2,325 152,69 84,24 2,35 153,07 85,14 2,375 153,43 86,01 2,4 153,77 86,87 2,425 154,09 87,70 2,45 154,39 88,51 2,475 154,67 89,30 2,5 154,92 90,06 2,525 155,16 90,79 2,55 155,38 91,50 2,575 155,59 92,19 2,6 155,78 92,84 2,625 155,95 93,48 2,65 156,10 94,08 2,675 156,24 94,66 2,7 156,37 95,20 2,725 156,48 95,72 2,75 156,58 96,22 2,775 156,67 96,68 2,8 156,75 97,11 2,825 156,82 97,52 2,85 156,87 97,89 3 157,06 99,50 3,025 157,07 99,66 3,05 157,07 99,79 3,075 157,08 99,89 3,1 157,08 99,96 3,125 157,08 99,99 3,15 157,08 100,00

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