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Grafos

Felipe Restrepo [email protected]

Departamento de Ingeniera de Sistemas e IndustrialFacultad de Ingeniera

Universidad Nacional de ColombiaSede Bogot
mailto:[email protected]:[email protected]

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1. Conceptos bsicos

2. Representacin

3. Algoritmos

GrafosConceptos Representacin Algoritmos

Estructuras de Datos Grafos 2

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Terminologa Un grafoG= (N,A) est formado por un conjunto de:

o Nodos(tambin se llaman vrtices)o Aristas(tambin son llamadas arcos)

Las aristasconectan pares de nodos.Cada arista es un par (v,w) N

Si el nodo xy el nodo ycompartenuna arista, se dice que dichos nodosson adyacentes:(x,y) A



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Terminologa Las aristas/arcos pueden tener pesos/costosasociados



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Terminologa Las aristas/arcos pueden ser dirigidaso no-dirigidas

Grafo dirigido Grafo no-dirigido



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Terminologa Un caminoes:

o una serie de nodos/vrtices adyacenteso una secuencia de vrtices w1, w2, w3, , wN,

tal que (wi, wi+1) Apara 1 i < N

La longitud de un caminoes:o La cuenta de aristas/arcosa lo largo del camino (en un

grafo no-ponderado) =N 1o La suma de los pesos de las aristas/arcosa lo largo delcamino (en un grafo ponderado)



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Terminologa Un camino simple es un camino tal que todos sus nodos son

distintos, excepto posiblemente el primero y el ltimo

Un cicloes un camino que empieza y termina en el mismo nodo:o En un grafo dirigido:un ciclo es un camino de longitud al menos 1

tal que w1= wN; el ciclo es simple, si el camino es simpleo En un grafo no-dirigido: se requiere que todos los arcos sean

distintos

Esto implica que el camino u, v, u en un grafo no-dirigido no debeser considerado como un ciclo porque (u, v) y (v, u) se refieren almismo arco. Sin embargo, en un grafo dirigido, dichos arcos serandiferentes, por lo que si tiene sentido considerarlo como un ciclo



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Terminologa Un grafo dirigido sin ciclos es una clase de grafo muy utilizada

llamada Grafo Dirigido Acclico (DAG - directed acyclic graph)

Ejemplo 1:



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Terminologa Un grafo dirigido sin ciclos es una clase de grafo muy utilizada

llamada Grafo Dirigido Acclico (DAG - directed acyclic graph)

Ejemplo 2:



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Terminologa Un grafo est conectadosi:

existe un camino entre cada par de nodos/vrtices (en ungrafo no dirigido)

Un grafo dirigido con esta propiedad se llama fuertementeconectado

Un grafo completotiene un arco para todos los pares devrtices



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Aplicaciones Redes de computadores

WWW

Redes sociales

Sistema de transporte pblico

Red de aeropuertos

Diagramas de flujo

Inferencia probabilstica

Muchas otrasEstructuras de Datos Grafos 13


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Quiz1

Pregunta 1:

1 Tomado de: https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--describing-graphs



10
https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--describing-graphshttps://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--describing-graphshttps://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--describing-graphs

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Quiz1

Pregunta 2:




Audrey Ilana Dave

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Quiz1

Pregunta 3:




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Quiz1

Pregunta 3:




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Quiz1

Pregunta 4:




Hartford Sturbridge Weston - Canton

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Quiz1

Pregunta 5:




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Quiz1

Pregunta 5:




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Quiz1

Pregunta 6:




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Quiz1

Pregunta 6:

0 11 20 12 11 12 2




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Representacin de grafos



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Implementacin

Opcin 1: matriz de adyacencia

Opcin 2: lista de adyacencia



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Implementacin: matriz de adyacencia Un Grafo G=(V,E) se puede representar con una Matriz de

|V|x|V| booleanos.o Si (u,v) E, G[u][v] = true;o sino G[u][v] = false.

Esta representacin consume bastante memoria.o til para Grafos Densos (con muchas aristas).

Memoria: O(|V|2)

Tiempo de acceso: O(1)



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Implementacin: matriz de adyacencia Si el grafo es no-dirigido, la matriz de adyacencia es simtrica



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Implementacin: matriz de adyacencia Ejemplo:



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Implementacin: lista de adyacencia Cada nodo almacena una lista con referencias a sus vecinos

Un Grafo Dirigido G=(V,E) se suele representar con un arreglo de |V|Listas de Vrtices: G[v] es una Lista de los Vrtices Adyacentes a v (v

V).

Memoria: O(|V|+|E|)



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Implementacin: lista de adyacencia Un Grafo No Dirigido G=(V,E) se representa con un array de |V|

Listas de Vrtices: G[v] es una Lista de los Vrtices Adyacentes a v(v V)

Memoria: O(|V|+2*|E|)



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Implementacin: lista de adyacencia Ejemplo:



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Implementacin: lista de adyacencia Para obtener la lista de nodos adyacentes rpidamente, existen

dos implementaciones habituales:o Usar un Map(HashMap/TreeMap) en el cual las llaves/claves son

los nodos y sus valores son las listas de adyacenciaMap

o Mantener la lista de adyacencia como una propiedad de la claseNodo/Vrtice.

class Vertex

{

public List adj; // Adjacency list

// Other fields and methods as needed

}



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Quiz:Pregunta 1:

Tomado de: https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--representing-graphs


https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--representing-graphshttps://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-representation/e/quiz--representing-graphs

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Quiz:Pregunta 1:




f

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Quiz:Pregunta 2:




f

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Quiz:Pregunta 2:




G f

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Quiz:Pregunta 3:We've seen two ways to store graphs - adjacency matrices, and adjacency lists. Foran directed graph like the one shown below, how much space do we need for eachtype of storage?

Assuming Eis the number of edges and Vis thenumber of vertices, categorize the space below:



G f

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Quiz:Pregunta 3:We've seen two ways to store graphs - adjacency matrices, and adjacency lists. Foran directed graph like the one shown below, how much space do we need for eachtype of storage?

Assuming Eis the number of edges and Vis thenumber of vertices, categorize the space below:



G f

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Algoritmos Siguiente clase de teora



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