15 marzo clasificación de funciones
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Clasi f icación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adic ión, sustracción, mul t ipl icación, div isión, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones expl íc i tas
Si se pueden obtener las imágenes de x por s imple sust i tución.
f(x) = 5x − 2
Funciones impl íc i tas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por s imple sust i tución, s ino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones pol inómicas
Son las funciones que vienen def in idas por un pol inomio.
f(x) = a 0 + a 1x + a 2x² + a 2x³ +· · · + a nx n
Su dominio es , es decir , cualquier número real t iene imagen.
Funciones constantes
El cr i ter io v iene dado por un número real .
f (x)= k
La gráf ica es una recta horizontal parale la a al e je de abscisas.
Funciones pol inómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráf ica es una recta obl icua, que queda def in ida por dos puntos de la función.
Función af ín .
Función l ineal .
Función ident idad .
Funciones cuadráticas
f (x) = ax² + bx +c
Son funciones pol inómicas es de segundo grado, siendo su gráf ica una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones def in idas por d ist intos cr i ter ios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto .
Función parte entera de x .
Función mant isa .
Función signo .
Funciones racionales
El cr i ter io v iene dado por un cociente entre pol inomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El cr i ter io v iene dado por la var iable x bajo el s igno radical .
El dominio de una función i r racional de índice impar es R.
El dominio de una función ir racional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes
La var iable independiente f igura como exponente, o como índice de la raíz, o se hal la afectada del s igno logari tmo o de cualquiera de los s ignos que emplea la t r igonometría.
Función exponencial
Sea a un número real posi t ivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se l lama función exponencial de base a y exponente x .
Funciones logarítmicas
La función logarí tmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones tr igonométricasFunción seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
La función constante es de l t ipo:
y = n
El c r i te r io v iene dado por un número rea l .
La pendiente es 0.
La gráf ica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas .
Rectas verticales
Las rectas para le las a l e je de ordenadas no son funciones ,
ya que un va lor de x t iene in f in i tas imágenes y para que sea
func ión só lo puede tener una. Son del t ipo:
x = K
La función l ineal es de l t ipo:
y = mx
Su gráf i ca es una l ínea recta que pasa por e l o r igen de
coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inc l inac ión de la recta con respecto a l e je
de absc isas.
Si m > 0 la función es creciente y e l ángulo que forma la
recta con la parte pos i t iva de l e je OX es agudo .
Si m < 0 la función es decreciente y e l ángulo que forma
la recta con la parte pos i t iva de l e je OX es obtuso .
Función identidad
f(x) = x
Su gráf i ca es la b isectr i z de l pr imer y tercer cuadrante .
Son func iones po l inómicas es de segundo grado, s iendo su
gráf i ca una parábo la .
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de la parábola
Podemos constru i r una parábo la a part i r de estos puntos:
1. Vértice
Por e l vért i ce pasa e l e je de s imetr ía de la parábo la .
La ecuac ión de l e je de s imetr ía es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En e l e je de absc isas la segunda coordenada es cero , por lo
que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Reso lv iendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) s i b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x 1 , 0) s i b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En e l e je de ordenadas la pr imera coordenada es cero , por lo
que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Representar la func ión f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vért ice
x v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
La función exponencial es de l t ipo:
Sea a un número real posit ivo. La función que a cada
número real x le hace corresponder la potencia a x se l lama
función exponencial de base a y exponente x .
x y = 2 x
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2 x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Propiedades de la función exponencial
Dominio: .
Recorr ido : .
Es continua .
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráf ica.
Es inyect iva a ≠ 1(n inguna imagen t iene más de un
or ig ina l ) .
Creciente si a >1 .
Decreciente si a < 1 .
Las curvas y = a x e y = (1/a) x son s imétr i cas respecto de l e je
OY.
Ecuaciones exponenciales
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de sistemas de ecuaciones de
ecuaciones exponenciales
Límite de la función exponencial
La función logarí tmica en base a es la función inversa de
la exponencial en base a.
x
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
8 −3
Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio:
Recorr ido :
Es continua .
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráf ica .
Es inyectiva (n inguna imagen t iene más de un or ig ina l ) .
Creciente si a>1 .
Decreciente si a<1 .
Las gráf i ca de la función logarí tmica es simétr ica
( respecto a la b isectr i z de l 1 e r y 3 e r cuadrante) de la gráf i ca de la
función exponencial , ya que son func iones rec iprocas o inversas
entre s í .
Definición de logaritmo
Siendo a l a base , x e l número e y e l logari tmo .
Calcu lar por la def inic ión de logari tmo e l va lor de y.
1
2
3
4
5
De la def inic ión de logari tmo podemos deduc i r:
No existe e l logari tmo de un número con base negativa.
No existe e l logari tmo de un número negativo.
No existe e l logari tmo de cero.
El logari tmo de 1 es cero.
El logari tmo en base a de a es uno.
El logari tmo en base a de una potencia en base a es
igual a l exponente.
Propiedades de los logaritmos
1El logari tmo de un producto es igual a la suma de los
logari tmos de los factores.
2 E l logari tmo de un cociente es igual al logari tmo del
dividendo menos el logari tmo del divisor.
3El logari tmo de una potencia es igual a l producto del
exponente por el logari tmo de la base.
4El logari tmo de una raíz es igual a l cociente entre el
logari tmo del radicando y e l índice de la raíz .
5Cambio de base:
Logaritmos decimales
Son los que t ienen base 10 . Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Son los que t ienen base e . Se representan por ln (x) o L(x).
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logarítmicas
Ejercicios de ecuaciones logarítmicas
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
logarítmicas
Límite de la función logarítmica