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NumerosElementos de los espacios metricos

Caracterizacion Topologica

Topologa de numerosVisualizacion de numeros

Escuela Superior Politecnica del Litoral

14 de noviembre de 2014

Monica Mite Leon Numeros Reales



Indice

1 NumerosClasificacionValor absoluto de un numero realIntervalos de la recta realNormaDistanciaNorma eucldea, distancia eucldea

2 Elementos de los espacios metricos

3 Caracterizacion TopologicaCaracterizacion de los puntosCaracterizacion topologica de un conjuntoConvergencia en espacios metricos




ClasificacionValor absoluto de un numero realIntervalos de la recta realNormaDistanciaNorma eucldea, distancia eucldea

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Numeros

Numeros Naturales (N)Son representados en la recta numerica por puntos. Dados dosnumeros naturales a y b, no siempre existe otro numeronatural x. Ejemplo (a + x = b)

Numeros Enteros (Z)Se representan por puntos en la recta numerica, son posistivosy negativos, incluido el cero. Dados dos numeros enteros a yb, no siempre hay otro entero x. Ejemplo a.x = b





Numeros Racionales (Q)Se expresan como cociente entre numero entero y otronatural. Tienen numeros que tienen numero finito de cifrasdecimales y son numeros periodicos.La visualizacion de estos numeros es un asunto delicado, puespor parecidos que sean dos racionales entre ellos hay infinidadde racionales.Sean a = 5,75672yb = 5,75675, a es menor que b; a y b estancomprendidos entre 5 y 6. Existe una infinidad de numerosentre a y b.

La visualizacion del conjunto de los numeros racionales parece unarecta, un todo continuo..... pero no lo es





Numeros Irracionales (I)La recta que parece completa esta infectada de agujeros, cadaagujeros corresponde a los numeros irracionales (numeros coninfinitos decimales y no periodicos)

Numeros Reales (R)La union de los numeros racionales y numeros irracionales seobtiene el conjunto de los reales.

Cada punto de la recta real representa a un numero real, enadelante consideramos sinonimas las palabras numeros ypuntos.

La recta real ampliada a los reales se anade los simbolos +y





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Valor absoluto de un numero real x es el numero real onegativo que se denota

|x | ={

x si x 0x si x < 0

Si x e y son numeros reales, se cumplen las siguientespropiedades:

|x | > 0 si x 6= 0; |0| = 0

|x | < k k < x < k (si k > 0)

|x .y | = |x |.|y |; |x + y | |x |+ |y |; |x y | ||x | |y ||





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Intervalos de origen a y extremo b

[a, b] = {x R/a x b}

(a, b) = {x R/a < x < b}

[a, b) = {x R/a x < b}

(a, b] = {x R/a < x b}

Los cuatro intervalos anteriores tienen amplitud finita, porqueel valor absoluto no se hace infinitamente grande en ningunpunto x del intervalo. Se consideran intervalos acotados. Unintervalo cerrado y acotado se llama compacto





Intervalos de origen a y extremo b

[a, b] = {x R/a x b}

(a, b) = {x R/a < x < b}

[a, b) = {x R/a x < b}

(a, b] = {x R/a < x b}Los cuatro intervalos anteriores tienen amplitud finita, porqueel valor absoluto no se hace infinitamente grande en ningunpunto x del intervalo. Se consideran intervalos acotados. Unintervalo cerrado y acotado se llama compacto





Intervalos con amplitud infinita

[a,+) = {x R/x a} ; (a,+) = {x R/x > a}

(, a] = {x R/x a} ; (, a) = {x R/x < a}

Se llaman intervalos no acotados, porque el valor absoluto dex puede hacerse infinitamente grande en puntos x del intervalo





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La norma de un numero se denota x, y debe sastifacer lassiguientes condiciones:1. x > 0 x 6= 02. x = 0 x = 03. x + y x+ y ,x , y Rn4. x = || x , x Rn, R





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Toda norma induce una distancia

Si d : RnxRn R+ {0} es una aplicacion para cada par(x , y) RnxRn de puntos de Rn le asocia un numero real nonegativo, que se denota como d(x , y), diremos que d es unadistancia solo si sastiface las siguientes tres condiciones:

5.d(x , y) = 0 x = y

6.d(x , y) = d(y , x),x , y Rn

7.d(x , y) d(x , z) + d(z , y),x , y , z Rn





Si g : Rn R+ {0} es una norma, la aplicaciond : RnxRn R+ {0} tal que d(x , y) = g(x y) x y esuna distancia, debido que satisface las condiciones 5,6 y 7.Siendo:

Debido a ecuacion 2

5.d(x , y) = x y = 0 x y = 0 x = y

Debido a ecuacion 4

6.d(x , y) = x y = (1) (y x) = |1|y x = d(x , y)

Debido a ecuacion 3

7.d(x , y) = x y = (x z) + (z y x z+ z y =d(x , z) + d(z , y)





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Se llama norma eucldea a la definida como:

x = +x12 + + xn2

si x = (x1, . . . , xn)

La distancia eucldea es la distancia que induce la norma eucldea,por lo que la distancia entre dos puntos x = (x1, . . . , xn) Rn ey = (y1, . . . , yn) Rn es:d(x , y) = x y = +(x1 y1)2 + + (xn yn)2




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Un espacio metrico es cualquier conjunto no vaco en el cual sepuede definir una metrica d(x , x0).

Bola abierta

Se dice Entorno, vecindad o bola abierta al conjuntoBn(x0, r) = {x = (x1, . . . , xn) Rn/d(x , x0) < r}. Al punto x0 sellama centro y a r lo llamamos radio,

Bola cerrada

La bola cerrada de centro x0 y radio r, se denota Bn(x0, r).Bn(x0, r) = {x = (x1, . . . , xn) Rn/d(x , x0) r}

Bola no incluida

A este conjunto de entorno no incluido, no se incluye el puntocentro. Se denotaBn(x0, r) = Bn(x0, r) {x0}




Otra forma de denotar

Nr (p) = {q X , |p q| < r}N2(3) = {q R, |q 3| < 2}En la recta numerica se ubica el centro 3, con los intervalosI (3 2, 3 + 2) o I (p r , p + r)

Ejemplos:

* La bola abierta de centro en x0 = 5 R y radio r la forman lostodos puntos x R tales que +(x 5)2 |x 5| < r* Analizar B1(0) = {x R/|x 0| < 1} * Analizar la bola abiertaN((2, 3), 4) en R2* Demostrar que el punto (4,4) pertenece a la bola anterior.* Analizar la bola cerrada de centro x0 = (3, 4) R2 y radio r.* Bola abierta de centro en el x0 = (1, 2, 3) R3 y radio r. Laforman los puntos x = (x1, x2, x3) R3 y radio r.




Caracterizacion de los puntosCaracterizacion topologica de un conjuntoConvergencia en espacios metricos

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Sea S un subconjunto de Rn y x0 un punto de Rn.Se considera que hay una bola abierta de centro en x0 que nocontiene ningun punto de S, o toda bola abierta de centro en x0contiene algun punto de S.

Puntos

Adherentes

Acumulacin

Interior Frontera

Aislados

Frontera

Extremos

Figura:





Punto exterior o extremo

Se dice que x0 Rn es punto exterior al conjuntos S, si existe unabola abierta de centro en x0 que no contiene ningun punto de S;es decir:B(x0, r)/B(x0, r) S = Se denota como Ext.(S).

Analize los puntos (4, 3); (1, 1) y (2, 2) siendo S:S =

{(x , y) R2/|x | 3 |y | 2}





Punto adherente

Se dice que x0 Rn es punto adherente al conjunto S si toda bolaabierta de centro en x0 contiene algun punto de S; es decirB(x0, r)/B(x0, r) S 6= Se denota como Adh.(S) o SClausura de S SAnalize los puntos (4,3); (1,1); (-2,2) y (-2,3) siendo S:S =

{(x , y) R2/|x | 3 |y | < 2}, y ademas el punto (4,3)

pertenece a S.





Solucion

(1, 1) S , es adherente a S porque toda bola abierta concentro en (1,1) contiene algun punto del conjunto S.

(2, 2) / S , es adherente a S porque toda la bola abierta concentro en (-2,2) contiene algun punto de S.

(4, 3) S , es adherente a S porque toda bola abierta concentro (4,3) contiene algun punto de S.

(2, 3) / S , no es adherente a S porque hay una bola abiertacon centro (-2,3) que no contiene ningun punto de S.





Punto aislado

Se dice que x0 Rn es punto aislado al conjunto S, si hay unabola abierta de centro en x0 tal que x0 es el unico punto de S quehay en esa bola; es decirB(x0, r)/B(x0, r) S = x0o tambien denotadoB(x0, r)/B(x0, r) S = Ejemplo: X = R, S X , S = {1, 2, 3}

Analize los puntos (4,3); (1,1); (-2,2) y (-2,3) siendo S:S =

{(x , y) R2/|x | 3 |y | < 2} {(4, 3)}.





Solucion

(1, 1) S , no es aislado de S porque toda bola abierta concentro en (1,1) contiene algun punto del conjunto S distintodel propio (1,1).

(2, 2) / S , no es aislado de S porque toda bola abierta concentro en (-2,2) contiene mas de un punto de S.

(4, 3) S , es aislado de S porque existe una bola abierta concentro (4,3) en la que (4,3) es el unico punto de S.

(2, 3) / S , no es adherente a S no es punto aislado de S.





Punto de acumulacion o punto lmite

Se dice que x0 Rn es punto de acumulacion del conjunto S sitoda bola abierta de centro en x0 contiene infinidad de puntos deS, no necesariamente x0 S . Se denota como Ac.(S) o S .B(x0, r)/B(x0, r) S 6= Ejemplo: Sea X = R, S = (1 3], x0 = 1

Con respecto al ejemplo anterior.





Solucion

(1, 1) S , es de acumulacion de S, pues toda bola abierta decentro (1,1) contiene infinidad puntos de S.

(2, 2) / S es acumulacion de S porque toda la bola abiertacon centro en (-2,2) tiene infinidad de puntos de S.

(4, 3) S no es de acumulacion de S porque hay una bolaabierta con centro (4,3) que no contiene infinitos puntos de S.

(2, 3) / S no es adherente a S, no es punto de acumulacionde S.





Punto interior

Se dice que x0 Rn es punto interior al conjunto S si existe unabola abierta de centro en x0 que esta contenida en S. Se denotacomo Int.(S).B(x0, r)/B(x0, r) S


{(x , y) R2/|x | 3 |y | < 2} {(4, 3)}.





Solucion

(1, 1) S es interior de S, pues hay una bola abierta decentro (1,1) que esta contenida en S.

(2, 2) / S no es interior de S porque ninguna bola abiertacon centro en (-2,2) esta contenida en S.

(4, 3) S no es interior a S porque ninguna bola abierta concentro (4,3) esta contenida en S.

(2, 3) / S no es interior a S porque ninguna bola abierta decentro en (-2,3) esta contenida en S.





Punto de frontera

Se dice que x0 Rn es punto de frontera del conjunto S si todabola abierta de centro en x0 tiene elementos de S y elementos queno son de S. No necesariamente pertenece a S. Se denota comoFr.(S) o S > 0,B(x0) S 6= B(x0) SC 6=

Notas

* Todo punto interior y todo punto de acumulacion o lmite del conjunto,es punto de adherencia, esto incluye a los puntos de frontera.* Todo punto aislado de un conjunto es punto de frontera y tambien espunto de adherencia del conjunto.


{(x , y) R2/|x | 3 |y | < 2} {(4, 3)}.





Solucion

(1, 1) S no es frontera de S, pues hay una bola abierta decentro (1,1) que solo contiene puntos de S.

(2, 2) / S es frontera de S porque toda bola abierta concentro en (2, 2) tiene puntos en S y puntos que no son de S.(4, 3) S es frontera a S porque toda bola abierta con centro(4,3) contiene puntos de S y puntos que no son de S.

(2, 3) / S no es frontera de S porque hay una bola abiertade centro en (2, 3) que no contiene puntos de S.





Solucion


(2, 2) / S es frontera de S porque toda bola abierta concentro en (2, 2) tiene puntos en S y puntos que no son de S.

(4, 3) S es frontera a S porque toda bola abierta con centro(4,3) contiene puntos de S y puntos que no son de S.






Solucion


(2, 2) / S es frontera de S porque toda bola abierta concentro en (2, 2) tiene puntos en S y puntos que no son de S.(4, 3) S es frontera a S porque toda bola abierta con centro(4,3) contiene puntos de S y puntos que no son de S.






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Conjunto abierto

Se dice que S Rn es abierto si y solo si todos sus puntosinteriores, Int.(S)= S.

S1 ={

(x1, x2) R2/1 < x1 < 3, 1 < x2 < 2} R2

Conjunto cerrado

Se dice que S Rn es cerrado si todos sus puntos lmites o deacumulacion pertenecen a el.

S2 ={

(x1, x2) R2/1 x1 3, 1 x2 2} R2

Conjunto ni abierto, ni cerrado

S3 ={

(x1, x2) R2/1 x1 3, 1 < x2 2} R2





El conjunto vacio es abierto porque Int.() = , y tambienes cerrado porque Adh.() =

El conjunto Rn es abierto pues Int.(Rn) = Rn, y tambien escerrado porque Adh.(Rn) = Rn

Se dice que S es un conjunto acotado si hay una bola abiertade radio finito que lo contiene, es decir,B(x0,r) / S B(x0,r)Se dice que Ses un conjunto compacto si es cerrado y acotado.







Se dice que S es un conjunto acotado si hay una bola abiertade radio finito que lo contiene, es decir,B(x0,r) / S B(x0,r)

Se dice que Ses un conjunto compacto si es cerrado y acotado.







Se dice que S es un conjunto acotado si hay una bola abiertade radio finito que lo contiene, es decir,B(x0,r) / S B(x0,r)Se dice que Ses un conjunto compacto si es cerrado y acotado.





Propiedad: El complemento de un abierto es un cerrado

Sea S Rn abierto y SC = {x Rn/x / S} complementario de S.Demostraremos que SC es cerrado entonces SC = Adh.(SC ) ycomo SC al igual que todo el subconjunto de Rn, se puede verificarSC Adh.(SC ). Se quiere demostrar que Adh.(SC ) SC , por loque basta demostrar x0 Adh.(SC ) entonces x0 SCPor reduccion del absurdo:Si x0 / S x0 S , como S es abierto, existe una bola abiertacon centro en x0, esta incluida en S, por lo que en esa bola no hayningun punto en SC , lo que es absurdo, puesto que x0 Adh.(SC ).Como x0 / S entonces x0 SC . Por tanto Adh.(SC ) SC





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Sea (X , d) un espacio metrico, E = {pn} Xlmn(pn) = p > 0, N, n N d(pn, p) <

Si p existe decimos que pn converge caso contrario diverge.

Lmite de funciones

Sean (X , dx), (Y , dy ) espacios metricos, sea E X yf : E Y y p punto lmite de E, decimos:

lmxp f (x) = L > 0, > 0, x N(p) E f (x) N(L)

Su equivalente en espacio metrico euclidiano

> 0, > 0, x E , 0 < |x p| < |f (x) L| < Nota: La existencia del lmite de una funcion tiene sentido en unpunto de acumulacion, porque se lo usa para definir el lmite.





Continuidad de funciones

Sean (X , dx), (Y , dy ) espacios metricos, sea E X , p E yf : E YSe dice que f es continua en p si y solo si > 0, > 0, x E , dx(x , p) < dy (f (x), f (p)) < Su equivalente en un espacio euclideano > 0, > 0, x E , |x p| < |f (x) L| <

Nota:* En el lmite, p debe ser punto de acumulacion del conjunto, nonecesariamente debe pertenecer al conjunto.* En el lmite, los acercamientos se realizan por todos los ladosposibles.





Ejemplo

X = R,E = (0 1)f : (0 1) Rx f (x) = sen

x

x

lmx0

f (x) = 1

Nota:* Toda funcion es continua en los puntos aislados de su dominio. Estaproposicion se la puede demostrar por la definicion de continuidad.* Si p es un punto de acumulacion o punto lmite entonces f es continuaen p si y solo si:

lmxp f (x) = f (p)


NmerosClasificacinValor absoluto de un nmero realIntervalos de la recta realNormaDistanciaNorma eucldea, distancia eucldea

Elementos de los espacios mtricosCaracterizacin TopolgicaCaracterizacin de los puntosCaracterizacin topolgica de un conjuntoConvergencia en espacios mtricos

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