1.4 sistemas de ecuaciones lineales 1.4.1. 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 pp1-14

7/25/2019 1.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.4.1. 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 pp1-14

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ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 1:MATRICES, DETERMINANTES,

SISTEMAS

Ing. Nancy Velasco E.

Abril2016-Agosto2016

Ing. Nancy Velasco E. 1


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UNIDAD 1MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMAS


1.4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.4.1. Definiciones y propiedades.1.4.2. Mtodos de resolucin de un sistema de m ecuaciones

lineales con n incgnitas:

1.4.2.1 Eliminacin Gaussiana;

1.4.2.2 Mtodo de Gauss Jordan;

1.4.2.3 Mtodo de Cramer;1.4.2.4 Mtodo de Gauss Seidel;

1.4.2.5 Mtodo de Jacobi


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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedades

Una ecuacin lineal sobre R en n variables es una expresin de la forma:

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = bDonde:

ai son constantes

xi son variables.

b es el trmino independiente.

Las ecuaciones en:

dos variables se representan geomtricamente por una recta;

las tres variables por un plano;para ms de tres variables no se tienen representacin visual, pero los

gemetras le llaman hiperplano.

Gauss Seidel

Cramer

Eliminacin

Gaussiana

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan


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Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresin de la

forma: nmero de laecuacin nmero de lavariable.

Si m =n=2, se tienen dos ecuaciones en las dos incgnitas x e y

Cada una de las dos ecuaciones representa una recta.

(x, y) es una solucin si, y slo si, el punto P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas.

x, y como coordenadas en el plano xy,Gauss Seidel

Cramer

Eliminacin

Gaussiana

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan


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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: definiciones y propiedadesDe aqu que se tienen tres casos posibles:

1.- ninguna solucin si las rectas son paralelas;

2.- precisamente una solucin si se interceptan;

3.- un nmero infinito de soluciones si coinciden.

Gauss Seidel

Cramer

Eliminacin

Gaussiana

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan


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Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de conjunto

solucin:

1.- que contiene solamente un elemento. El sistema tiene solucin nica y se denomina

sistema compatible determinado;

2.- que contiene ms de un elemento. El sistema tiene ms de una solucin y se

denomina sistema compatible indeterminado;

3.- un conjunto solucin vaco. El sistema no tiene solucin y se denomina

sistema incompatible.

Gauss Seidel

Cramer

Eliminacin

Gaussiana

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan


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Se llama sistema de m ecuaciones homogneas y n incgnitas, al sistema

siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los trminos

independientes son nulos.

Se llama sistema de m ecuaciones no homogneas y n incgnitas, al sistema

siempre que al menos un bi 0.Ejemplo: sistema de 3 ecuaciones homogneas

y 4 incgnitas

sistema de 3 ecuaciones no

homogneas y 4 incgnitas

Gauss Seidel

Cramer

Eliminacin

Gaussiana

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan


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Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay

ms ecuaciones que incgnitas.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales est escasamente determinado

si hay menos ecuaciones que incgnitas.

Sobredeterminado y sobredeterminado

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores

pequeos en los coeficientes o en el proceso de resolucin slo tienen un

efecto pequeo sobre la solucin.Y es susceptible, si errores pequeos en los coeficientes o en el proceso de

resolucin tienen un efecto grande sobre la solucin.

Susceptible y no susceptible

Gauss Seidel

Cramer

Eliminacin

Gaussiana

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan


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Eliminacin Gaussiana

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo

sistema de ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del

segundo por medio de operaciones elementales. Adems los sistemas

equivalentes de ecuaciones lineales tienen los mismos conjuntos de

soluciones.

Operaciones elementales:

TIPO 1. La ecuacin E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de

cero y se puede usar la ecuacin resultante en lugar de E(i). Notamos esta operacin

como aE(i) E(i);

TIPO 2. La ecuacin E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a laecuacin m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente.

TIPO 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) E(j).

Gauss Seidel

Cramer

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan

Eliminacin

Gaussiana


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Primera etapa: reduccin del sistema inicial a la forma triangular

Segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el ltimo sistema

triangular. Se realiza del modo siguiente:

* De la ltima ecuacin se determina xn.

* De acuerdo con el valor hallado de xn de la ec m-1 determinamos xn-1

* Con los valores de xn-1 y xn de la ecuacin m-2 hallamos xn-2, etc., elclculo sucesivo de las incgnitas contina hasta que se determina x1

de la primera ecuacin.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica si y slo si el

sistema reducido correspondiente tiene la misma solucin.

Sistema triangular

Gauss Seidel

Cramer

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan

Eliminacin

Gaussiana


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Ejemplo: Eliminacin Gaussiana

Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar el sistemas de ecuaciones lineales:

3 2 = 45 + 2 = 12Ec2=3*Ec2-5*Ec1

Ec2=-1/16 Ec2sistema determinado

tiene una nica solucin

3 2 = 416 = 163 2 = 4 = 1Segunda etapa: marcha inversa

Primera etapa: forma triangular

= 13 2(1) = 43 = 6 = 2

Gauss Seidel

Cramer

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan

Eliminacin

Gaussiana


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3 4 + 6 = 75 + 2 4 = 5 + 3 5 = 33 4 + 6 = 70 + 26 42 = 20 + 3 5 = 3Ec2=3*Ec2-5*Ec1

Ec2=1/2*Ec2 3 4 + 6 = 713 21 = 10 + 3 5 = 3Ec3=3*Ec3-Ec1 3 4 + 6 = 713 21 = 100 + 13 21 = 2

Ec3=Ec3-Ec23 4 + 6 = 713 21 = 10

0 = 12

sistema inconsistente (incompatible)

No tiene solucinGauss Seidel

Cramer

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan

Eliminacin

Gaussiana


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Ejemplo: Eliminacin Gaussiana


+ = 32 + 4 = 33 + 2 = 8

+ = 30 3 + 6 = 33 + 2 = 8Ec2=Ec2-2*Ec1 + = 3 2 = 1

3 + 2 = 8

Ec2=-1/3 Ec2

Ec3=Ec3-3*Ec1 + = 3 2 = 10 + 2 = 1

Ec3=Ec3+Ec2 + = 3 2 = 1

0 = 0

sistema indeterminado

tiene un # infinito de soluciones

= 1 + 2 + 1 + 2 = 3 = 2

Cualesquiera dos nmeros, y y z,

que satisfacen la 2da ecuacin

tambin satisfacen la 3ra, y

viceversa.

Despejar una incgnita en trminos de

cualquiera otra:

Gauss Seidel

Cramer

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Gauss Jordan

Eliminacin

Gaussiana


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Ejercicios planteados


Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar el siguientes sistema de ecuacioneslineales:

Sol.

Jacobi

Ejercicios

planteados

Definiciones

Eliminacin

Gaussiana

Cramer

Gauss Jordan

Gauss Seidel


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1.4 sistemas de ecuaciones lineales 1.4.1. 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 pp1-14

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