12ntes digital-3
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Nuacutemero 3Antildeo 1 2009
DIGITAL para el diacutea a diacutea en la escuela
La ensentildeanza de la geometriacutea en la escuelaComo van a explicar algunos de los autores y entrevistados hace ya algunas deacutecadas que la geometriacutea fue perdiendo cierto lugar en la en-sentildeanza de la matemaacutetica en la escuela Esta peacuterdida es traducida muchas veces en una pre-ocupacioacuten compartida por docentes superviso-res capacitadores por la ausencia de contenidos geomeacutetricos en las clases Asimismo existe cier-to desconocimiento acerca de cuaacutel deberiacutea ser el objeto de la ensentildeanza de la geometriacutea cuaacuteles sus propoacutesitos y de queacute modo introducirla en el aula
Tal es asiacute que hemos decidido dedicar este nuacute-mero de 12(ntes) DIGITAL para el diacutea a diacutea en la escuela completo a la ensentildeanza de la geome-triacutea Tanto para consultar con los especialistas so-bre su sentido sus propoacutesitos y objetivos como tambieacuten con el fin de incluir algunas propuestas concretas para introducir los contenidos de geo-metriacutea en las clases de matemaacutetica seguacuten el ci-clo o nivel de la ensentildeanza Esperamos que su lectura signifique un aporte y como siempre son bienvenidas sus contribuciones ndashescritos sobre el tema experiencias o propuestas concretas- viacutea e-mail asiacute como tambieacuten sus comentarios
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Director editorialGustavo Gotbeter
STAFFDisentildeo graficoEliana Tyszberowicz
Las notas firmadas son de exclusiva responsabilidad de sus autores
Equipo editorialVictoria RioGabriel CharruacuteaDaniela Levinas
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Tal como venimos anticipando tenemos el agrado de contarles que ya comenzamos con las transmisiones de Radio 12(ntes) a traveacutes de Internet Ya contamos con programas sobre gestioacuten de instituciones edu-cativas educacioacuten inicial e infancia ensentildeanza de las ciencias sociales en la escuela bibliotecas y literatura infantil investigaciones y coaching Los mismos se-raacuten salvo excepciones en vivo Un poco maacutes adelan-te comenzaremos con programas relacionados con la educacioacuten ambiental las discapacidades etc
Radio 12(ntes) es un emprendimiento cuya finalidad es la de acercar a todos los docentes y profesiona-les relacionados con la educacioacuten programas de difusioacuten de herramientas de trabajo de reflexioacuten y de intercambio relacionados con distintos aspectos de la actividad educativa La idea es cubrir todos los ciclos y niveles todas las modalidades y todos los as-pectos Queremos llegar gratuitamente a todos Para eso necesitamos que lo difundan
Es faacutecil acceder se puede hacer desde cualquier computadora conectada a Internet No hace falta tener banda ancha En breve les enviaremos la pro-gramacioacuten y el modo de conectarse para que nos escuchen iexclLos esperamos
Gustavo Gotbeter
CARTA DEL DIRECTOR RadioiexclA la direccioacutenUn programa para acompantildear la tarea de los equipos de conduccioacuten escolarLunes 18 00 hsConducen Gabriel Charruacutea y Diego Schermuk
Laboratorio de educacioacutenUna mirada sobre la investigacioacuten educativa de hoy y su contribucioacuten al campo pedagoacutegicoacuteMartes 1800 hsConducen Victoria Rio y Gustavo Gotbeter
Crear contextos educacioacutenUn espacio para el aprendizaje de la escucha en contextos educativosMieacutercoles 1730 hsConducen Eva Sarka Y Mercedes Probst
Agenda infanciaUn compromiso con la educacioacuten de los nintildeosMieacutercoles 1800 hsPrograma del Comiteacute Argentino de la OMEP
Puertolibro un lugar de historiasDe aquiacute de allaacute de ayer de hoy de siempre Jueves 1800 hsConduce Cecilia Fernaacutendez
Ensentildear sociales en la escuelaUn aporte para ayudar a los chicos a conocer y comprender el mundo socialViernes 1800 hsConduce Gustavo Gotbeter
radio12ntescom
Entrevista a Horacio Itzcovich y Claudia Broitman
Geometriacutea en el primer cicloPor Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok
Una secuencia de cuadrilaacuteteros para el segundo ciclo - Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e
SUMARIOinterpretacioacuten de planos Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
iquestGeometriacutea en le jardiacuten de infantesPor Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacuteaPor Pierina Lanza y Federico Maloberti
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Entrevista a Horacio Itzcovich y Claudia BroitmaniquestCuaacutel es el sentido de ensentildear geometriacutea en la escuela primaria iquestPor queacute sus contenidos han perdido espacio curricular en el uacuteltimo tiempo iquestQueacute objetivos persigue su ensentildeanza Para contestar estas y otras preguntas 12(ntes) entrevistoacute a Horacio Itzcovich y a Claudia Broitman especialistas en el tema
Horacio Itzcovich
Es Profesor Universitario de Matemaacutetica (UBA) Integra el equipo de matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula GCBA Coordina el equipo de matemaacutetica PEF-Univ San Andreacutes y el equipo de Matemaacutetica del Proyecto Bicentenario-IIPE-UNESCO
Claudia Broitman
Es Profesora de Ensentildeanza Primaria y Licenciada en Ciencias de la Educacioacuten (UBA) Integra el Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriculum de la Ciudad de Bs As Coordina el Aacuterea de Matemaacutetica de la Red Latinoamericana de Alfabetizacioacuten- Argentina Es Profesora de Didaacutectica de Matemaacutetica en la Carrera de CIencias de la Educacioacuten de la UNLP y de Matemaacutetica en el Nivel Inicial del Normal 1 GCBA
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Geometriacutea en el primer ciclo
INTRODUCCIOacuteN
Cuando planificamos ensentildear geometriacutea en el 1er ciclo debemos tener en cuenta dos aspectos importantes
bull Queacute es un problema geomeacutetricobull Cuaacuteles son los objetivos que nos proponemos al en-
sentildear geometriacutea
El trabajo central en la clase de matemaacutetica es ldquoresolver problemasrdquopero iquesta queacute nos referimos al decir problema Jean Brun indica
ldquoDesde una perspectiva psicoloacutegica un problema se define generalmente como una situacioacuten inicial con una finalidad a lograr que demanda a un sujeto elaborar una serie de accio-nes u operaciones para lograrlo Solo se habla de problema dentro de una situacioacuten sujetosituacioacuten donde la solucioacuten no estaacute disponible de entrada pero es posible construirlardquo
Esto nos indica que muchas de las ejercitaciones que ve-mos en las aulas no tienen el caraacutecter de problema Cuan-do los disentildeos curriculares se refieren a la resolucioacuten de problemas describen situaciones en las que los alumnos ponen en juego los conocimientos que ya poseen los cuestionan y los modifican generando nuevos conoci-mientos Si un alumno al leer una actividad puede re-solverla sin dificultades ella dejoacute de ser problema para ese alumno Para que una actividad sea considerada un problema es necesario que genere incertidumbre en el alumno y que tenga distintas formas de resolucioacuten Para resolverla el nintildeo debe probar equivocarse recomenzar a partir del error construir modelos proponer soluciones defenderlas discutirlas comunicar los procedimientos y conclusiones Para que una situacioacuten sea considerada pro-blema no es necesario que tenga un contexto de la vida cotidiana sino que debe plantear un desafiacuteo a resolver Es importante tener en cuenta que si el desafiacuteo es de un gra-do de dificultad muy alto puede suceder que los alumnos no se hagan cargo de ella por considerarla lejana
En siacutentesis una situacioacuten se transforma en problema cuan-do el alumno la reconoce como tal y decide hacerse cargo de ella
Bajo esta perspectiva un problema geomeacutetrico es aquel en el cual se ponen en juego las propiedades de los obje-tos geomeacutetricos en su resolucioacuten pone en interaccioacuten al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio fiacutesico sino a un espacio conceptualizado representado por las fi-
Por Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok
guras dibujos Estos dibujos no cumplen en la resolucioacuten del problema la funcioacuten de permitir llegar a la respuesta por simple constatacioacuten sensorial La decisioacuten autoacutenoma de los alumnos acerca de la verdad o falsedad de sus res-puestas se apoya en las propiedades de las figuras y los cuerpos Sus argumentaciones producen nuevos conoci-mientos sobre estos objetos geomeacutetricos
Los disentildeos curriculares sugieren para el primer ciclo un trabajo alrededor de las caracteriacutesticas de las figuras y de los cuerpos geomeacutetricos
El orden en que se presentan las figuras y los cuerpos no se considera fundamental Se destaca la importancia del desarrollo de un trabajo en torno a las relaciones entre los mismos a partir de la construccioacuten de cuerpos con dife-rentes figuras la determinacioacuten de las ldquohuellasrdquo o sombras que cada cuerpo produce entre otros
La propuesta de actividades de exploracioacuten se presenta como un buen punto de partida para el trabajo con las fi-guras geomeacutetricas aunque se destaca la importancia de que los alumnos puedan ir evolucionando en sus conoci-mientos basados puramente en lo perceptivo para que comiencen a analizar las propiedades de las figuras sus relaciones y sus elementos Para ello es importante que la presentacioacuten de las figuras se haga de diversas maneras en distintas posiciones con diferentes tamantildeos Es usual que cuando se les presenta una figura en una misma posi-cioacuten en todo momento los chicos no la reconozcan cuan-do la encuentran en una posicioacuten diferente
Por otro lado se sostiene que la geometriacutea es un terreno feacutertil para introducir a los alumnos en la validacioacuten y ar-gumentacioacuten acerca de la verdad de las respuestas que obtienen En estos primeros antildeos en algunos problemas se puede aceptar que lo hagan a traveacutes de estrategias maacutes empiacutericas esta aproximacioacuten sentaraacute las bases para el tra-bajo acerca de la argumentacioacuten que tendraacute lugar en los siguientes ciclos Es fundamental tener en cuenta que en estos primeros antildeos los alumnos iraacuten incorporando nuevo vocabulario que les permitiraacute describir mejor las relacio-nes que van estableciendo este es un trabajo progresivo que lleva un proceso es por ello que en muchas ocasiones nos encontraremos con definiciones provisorias que se iraacuten puliendo a medida que avancen en la escolaridad Es necesario destacar que no es alliacute donde tenemos que po-ner el acento sino en las caracteriacutesticas que hay que iden-tificar en cada una de las figuras pues seraacute este trabajo el que haga necesario la incorporacioacuten del nuevo vocabula-
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rio con el objetivo de mejorar la comunicacioacuten tanto oral como escrita
Podemos plantear diferentes propuestas para poner en juego estas concepciones
El objetivo de estas actividades es que a partir de distintas consignas los alumnos identifiquen las figuras a traveacutes de sus caracteriacutesticas particulares
Estas actividades son muy feacutertiles a la hora de determinar queacute es necesario para identificar una figura o un cuerpo Son actividades de comunicacioacuten que tambieacuten fomentan el uso de un lenguaje adecuado para que el compantildeero entienda de queacute se estaacute hablando
El intercambio entre los compantildeeros es fundamental pues entre ellos se permiten dudar o no aceptar la opinioacuten del otro Si se centra la tarea en la explicacioacuten del docente los alumnos no podraacuten descubrir las relaciones necesarias todo se limita a la repeticioacuten de lo que el docente diga en su exposicioacuten
Proponemos una secuencia para trabajar sobre las figu-ras geomeacutetricas en primer ciclo Seguacuten los conocimientos previos de los alumnos las mismas pueden adaptarse a los diferentes grados del mismo
LA SECUENCIA DIDAacuteCTICA
Actividad 1 Copiado de figuras en papel cuadriculado
Problema 1Copien en papel cuadriculado estas figuras Tienen que ser exactamente iguales eso significa que si superponen las dos figuras y las miran a trasluz tiene que verse la misma figura
Cuando les pedimos a los alumnos que copien una figura no estamos pensando en que repitan un conjunto de pasos a se-guir que fueron previamente hechos por el docente sino que investiguen las propiedades que caracterizan a una figura y que no resultan evidentes
Esta misma actividad con o sin papel cuadriculado tiene otro nivel de dificultad La decisioacuten de trabajar sobre papel cua-driculado en 1er ciclo permite que queden impliacutecitas ciertas cuestiones que seraacuten trabajadas en ciclos posteriores como por ejemplo aacutengulos rectos paralelismo etc
Problema 2Copien en papel cuadriculado esta figura
El copiado de figuras requiere ademaacutes de la identificacioacuten del nuacutemero de lados el reconocimiento de las posiciones relativas de los mismos y su longitud El papel cuadriculado facilita la medicioacuten de las longitudes porque la misma se li-mita a contar el nuacutemero de cuadraditos que ocupa cada lado vertical u horizontal
Una vez que los alumnos terminan la construccioacuten pueden superponer la copia con el original para verificar si quedaron iguales Es fundamental incentivar a los nintildeos a que validen sus procesos A partir de la validacioacuten los alumnos pueden hacer juicio respecto a su propia produccioacuten es el modo de incentivar alumnos autoacutenomos y es la manera de promover la decisioacuten autoacutenoma del alumno acerca de la verdad o false-dad de su respuesta
Problema 3 En segundo y tercer grado se pueden agregar figuras maacutes complejas para segundo grado puede incluirse por ejem-plo una diagonal al cuadrado En tercero se puede presen-tar una figura como la siguiente
Problema 4 Completen estas guardas
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En estas actividades los nintildeos tienen que identificar la se-cuencia y tambieacuten los colores a utilizar Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente Nuevamente en estas activi-dades la posibilidad de verificacioacuten a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autoacutenomos
Problema 5a Copien esta figura
b Indiquen cuaacutentos triaacutengulos forman esta figurac Indiquen cuaacutentos cuadrilaacuteteros forman esta figura
Cuando los nintildeos ya estaacuten familiarizados con las actividades anteriores y teniendo en cuenta que es necesario que los alumnos resuelvan diferentes problemas vinculados a un mismo contenido podemos pedirles que copien figuras maacutes complejas como la anterior En esta actividad se les pide tam-bieacuten que comiencen a identificar cuaacuteles son las figuras que la componen
Actividad 2 Reconocimiento de figuras y cuerpos
Muchas veces observamos que los nintildeos no pueden identifi-car las diferencias entre las figuras y los cuerpos Proponemos entonces esta secuencia de actividades
Problema 1Junten diferentes cajas y potes vaciacuteos Poacutenganle un nom-bre a cada una Por ejemplo
Pinten con tempera cada una de las caras y apoacuteyenla en una hoja lisaObserven las huellas que dejan las cajas
En la puesta en comuacuten puede analizarse coacutemo son las ca-ras de los distintos potes y cajas y hacer hincapieacute en que las huellas son figuras que toman las caras de los cuerpos
Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas
Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversioacuten de los contenidos aprendidos Vuel-van a realizar una puesta en comuacuten y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos
Actividad 3 iquestQueacute figura
El objetivo de esta actividad es que los alumnos identifi-quen figuras dentro de una coleccioacuten La coleccioacuten debe ser lo suficientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacioacuten de las similitudes y diferencias entre ellas auacuten sin conocer los nombres de cada una
Todas las figuras y cuerpos dibujados tienen que ser del mismo color y del mismo tamantildeo para que estos atributos no sirvan para identificar cada uno dentro del conjunto
Problema 1El docente le entrega a cada alumno un juego de cartas cada una tiene dibujada una figura Los alumnos se orga-nizan en parejas Cada alumno elige por turno una car-ta que aparta del resto El otro alumno de la pareja debe formular preguntas que puedan responderse solo con SIacute o con NO Cuando un participante considera que tiene informacioacuten suficiente para identificar de queacute carta es en su turno la propone Si es correcta gana 10 puntos Si no es correcta cuenta al resto de los alumnos cuaacuteles son los datos que consideraron y se propone un intercambio de ideas acerca de cuaacutel fue el error del grupoDespueacutes de jugar varias veces el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cuaacuteles son las pregun-tas que resultaron maacutes uacutetiles
Caja de zapatos
Lata degaseosa
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En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
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Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
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iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
27
Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Director editorialGustavo Gotbeter
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Las notas firmadas son de exclusiva responsabilidad de sus autores
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12(ntes) digital para el diacutea a diacuteaVidt 2198 4 Piso J - CABA
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Tal como venimos anticipando tenemos el agrado de contarles que ya comenzamos con las transmisiones de Radio 12(ntes) a traveacutes de Internet Ya contamos con programas sobre gestioacuten de instituciones edu-cativas educacioacuten inicial e infancia ensentildeanza de las ciencias sociales en la escuela bibliotecas y literatura infantil investigaciones y coaching Los mismos se-raacuten salvo excepciones en vivo Un poco maacutes adelan-te comenzaremos con programas relacionados con la educacioacuten ambiental las discapacidades etc
Radio 12(ntes) es un emprendimiento cuya finalidad es la de acercar a todos los docentes y profesiona-les relacionados con la educacioacuten programas de difusioacuten de herramientas de trabajo de reflexioacuten y de intercambio relacionados con distintos aspectos de la actividad educativa La idea es cubrir todos los ciclos y niveles todas las modalidades y todos los as-pectos Queremos llegar gratuitamente a todos Para eso necesitamos que lo difundan
Es faacutecil acceder se puede hacer desde cualquier computadora conectada a Internet No hace falta tener banda ancha En breve les enviaremos la pro-gramacioacuten y el modo de conectarse para que nos escuchen iexclLos esperamos
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CARTA DEL DIRECTOR RadioiexclA la direccioacutenUn programa para acompantildear la tarea de los equipos de conduccioacuten escolarLunes 18 00 hsConducen Gabriel Charruacutea y Diego Schermuk
Laboratorio de educacioacutenUna mirada sobre la investigacioacuten educativa de hoy y su contribucioacuten al campo pedagoacutegicoacuteMartes 1800 hsConducen Victoria Rio y Gustavo Gotbeter
Crear contextos educacioacutenUn espacio para el aprendizaje de la escucha en contextos educativosMieacutercoles 1730 hsConducen Eva Sarka Y Mercedes Probst
Agenda infanciaUn compromiso con la educacioacuten de los nintildeosMieacutercoles 1800 hsPrograma del Comiteacute Argentino de la OMEP
Puertolibro un lugar de historiasDe aquiacute de allaacute de ayer de hoy de siempre Jueves 1800 hsConduce Cecilia Fernaacutendez
Ensentildear sociales en la escuelaUn aporte para ayudar a los chicos a conocer y comprender el mundo socialViernes 1800 hsConduce Gustavo Gotbeter
radio12ntescom
Entrevista a Horacio Itzcovich y Claudia Broitman
Geometriacutea en el primer cicloPor Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok
Una secuencia de cuadrilaacuteteros para el segundo ciclo - Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e
SUMARIOinterpretacioacuten de planos Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
iquestGeometriacutea en le jardiacuten de infantesPor Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacuteaPor Pierina Lanza y Federico Maloberti
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Entrevista a Horacio Itzcovich y Claudia BroitmaniquestCuaacutel es el sentido de ensentildear geometriacutea en la escuela primaria iquestPor queacute sus contenidos han perdido espacio curricular en el uacuteltimo tiempo iquestQueacute objetivos persigue su ensentildeanza Para contestar estas y otras preguntas 12(ntes) entrevistoacute a Horacio Itzcovich y a Claudia Broitman especialistas en el tema
Horacio Itzcovich
Es Profesor Universitario de Matemaacutetica (UBA) Integra el equipo de matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula GCBA Coordina el equipo de matemaacutetica PEF-Univ San Andreacutes y el equipo de Matemaacutetica del Proyecto Bicentenario-IIPE-UNESCO
Claudia Broitman
Es Profesora de Ensentildeanza Primaria y Licenciada en Ciencias de la Educacioacuten (UBA) Integra el Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriculum de la Ciudad de Bs As Coordina el Aacuterea de Matemaacutetica de la Red Latinoamericana de Alfabetizacioacuten- Argentina Es Profesora de Didaacutectica de Matemaacutetica en la Carrera de CIencias de la Educacioacuten de la UNLP y de Matemaacutetica en el Nivel Inicial del Normal 1 GCBA
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Geometriacutea en el primer ciclo
INTRODUCCIOacuteN
Cuando planificamos ensentildear geometriacutea en el 1er ciclo debemos tener en cuenta dos aspectos importantes
bull Queacute es un problema geomeacutetricobull Cuaacuteles son los objetivos que nos proponemos al en-
sentildear geometriacutea
El trabajo central en la clase de matemaacutetica es ldquoresolver problemasrdquopero iquesta queacute nos referimos al decir problema Jean Brun indica
ldquoDesde una perspectiva psicoloacutegica un problema se define generalmente como una situacioacuten inicial con una finalidad a lograr que demanda a un sujeto elaborar una serie de accio-nes u operaciones para lograrlo Solo se habla de problema dentro de una situacioacuten sujetosituacioacuten donde la solucioacuten no estaacute disponible de entrada pero es posible construirlardquo
Esto nos indica que muchas de las ejercitaciones que ve-mos en las aulas no tienen el caraacutecter de problema Cuan-do los disentildeos curriculares se refieren a la resolucioacuten de problemas describen situaciones en las que los alumnos ponen en juego los conocimientos que ya poseen los cuestionan y los modifican generando nuevos conoci-mientos Si un alumno al leer una actividad puede re-solverla sin dificultades ella dejoacute de ser problema para ese alumno Para que una actividad sea considerada un problema es necesario que genere incertidumbre en el alumno y que tenga distintas formas de resolucioacuten Para resolverla el nintildeo debe probar equivocarse recomenzar a partir del error construir modelos proponer soluciones defenderlas discutirlas comunicar los procedimientos y conclusiones Para que una situacioacuten sea considerada pro-blema no es necesario que tenga un contexto de la vida cotidiana sino que debe plantear un desafiacuteo a resolver Es importante tener en cuenta que si el desafiacuteo es de un gra-do de dificultad muy alto puede suceder que los alumnos no se hagan cargo de ella por considerarla lejana
En siacutentesis una situacioacuten se transforma en problema cuan-do el alumno la reconoce como tal y decide hacerse cargo de ella
Bajo esta perspectiva un problema geomeacutetrico es aquel en el cual se ponen en juego las propiedades de los obje-tos geomeacutetricos en su resolucioacuten pone en interaccioacuten al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio fiacutesico sino a un espacio conceptualizado representado por las fi-
Por Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok
guras dibujos Estos dibujos no cumplen en la resolucioacuten del problema la funcioacuten de permitir llegar a la respuesta por simple constatacioacuten sensorial La decisioacuten autoacutenoma de los alumnos acerca de la verdad o falsedad de sus res-puestas se apoya en las propiedades de las figuras y los cuerpos Sus argumentaciones producen nuevos conoci-mientos sobre estos objetos geomeacutetricos
Los disentildeos curriculares sugieren para el primer ciclo un trabajo alrededor de las caracteriacutesticas de las figuras y de los cuerpos geomeacutetricos
El orden en que se presentan las figuras y los cuerpos no se considera fundamental Se destaca la importancia del desarrollo de un trabajo en torno a las relaciones entre los mismos a partir de la construccioacuten de cuerpos con dife-rentes figuras la determinacioacuten de las ldquohuellasrdquo o sombras que cada cuerpo produce entre otros
La propuesta de actividades de exploracioacuten se presenta como un buen punto de partida para el trabajo con las fi-guras geomeacutetricas aunque se destaca la importancia de que los alumnos puedan ir evolucionando en sus conoci-mientos basados puramente en lo perceptivo para que comiencen a analizar las propiedades de las figuras sus relaciones y sus elementos Para ello es importante que la presentacioacuten de las figuras se haga de diversas maneras en distintas posiciones con diferentes tamantildeos Es usual que cuando se les presenta una figura en una misma posi-cioacuten en todo momento los chicos no la reconozcan cuan-do la encuentran en una posicioacuten diferente
Por otro lado se sostiene que la geometriacutea es un terreno feacutertil para introducir a los alumnos en la validacioacuten y ar-gumentacioacuten acerca de la verdad de las respuestas que obtienen En estos primeros antildeos en algunos problemas se puede aceptar que lo hagan a traveacutes de estrategias maacutes empiacutericas esta aproximacioacuten sentaraacute las bases para el tra-bajo acerca de la argumentacioacuten que tendraacute lugar en los siguientes ciclos Es fundamental tener en cuenta que en estos primeros antildeos los alumnos iraacuten incorporando nuevo vocabulario que les permitiraacute describir mejor las relacio-nes que van estableciendo este es un trabajo progresivo que lleva un proceso es por ello que en muchas ocasiones nos encontraremos con definiciones provisorias que se iraacuten puliendo a medida que avancen en la escolaridad Es necesario destacar que no es alliacute donde tenemos que po-ner el acento sino en las caracteriacutesticas que hay que iden-tificar en cada una de las figuras pues seraacute este trabajo el que haga necesario la incorporacioacuten del nuevo vocabula-
5
rio con el objetivo de mejorar la comunicacioacuten tanto oral como escrita
Podemos plantear diferentes propuestas para poner en juego estas concepciones
El objetivo de estas actividades es que a partir de distintas consignas los alumnos identifiquen las figuras a traveacutes de sus caracteriacutesticas particulares
Estas actividades son muy feacutertiles a la hora de determinar queacute es necesario para identificar una figura o un cuerpo Son actividades de comunicacioacuten que tambieacuten fomentan el uso de un lenguaje adecuado para que el compantildeero entienda de queacute se estaacute hablando
El intercambio entre los compantildeeros es fundamental pues entre ellos se permiten dudar o no aceptar la opinioacuten del otro Si se centra la tarea en la explicacioacuten del docente los alumnos no podraacuten descubrir las relaciones necesarias todo se limita a la repeticioacuten de lo que el docente diga en su exposicioacuten
Proponemos una secuencia para trabajar sobre las figu-ras geomeacutetricas en primer ciclo Seguacuten los conocimientos previos de los alumnos las mismas pueden adaptarse a los diferentes grados del mismo
LA SECUENCIA DIDAacuteCTICA
Actividad 1 Copiado de figuras en papel cuadriculado
Problema 1Copien en papel cuadriculado estas figuras Tienen que ser exactamente iguales eso significa que si superponen las dos figuras y las miran a trasluz tiene que verse la misma figura
Cuando les pedimos a los alumnos que copien una figura no estamos pensando en que repitan un conjunto de pasos a se-guir que fueron previamente hechos por el docente sino que investiguen las propiedades que caracterizan a una figura y que no resultan evidentes
Esta misma actividad con o sin papel cuadriculado tiene otro nivel de dificultad La decisioacuten de trabajar sobre papel cua-driculado en 1er ciclo permite que queden impliacutecitas ciertas cuestiones que seraacuten trabajadas en ciclos posteriores como por ejemplo aacutengulos rectos paralelismo etc
Problema 2Copien en papel cuadriculado esta figura
El copiado de figuras requiere ademaacutes de la identificacioacuten del nuacutemero de lados el reconocimiento de las posiciones relativas de los mismos y su longitud El papel cuadriculado facilita la medicioacuten de las longitudes porque la misma se li-mita a contar el nuacutemero de cuadraditos que ocupa cada lado vertical u horizontal
Una vez que los alumnos terminan la construccioacuten pueden superponer la copia con el original para verificar si quedaron iguales Es fundamental incentivar a los nintildeos a que validen sus procesos A partir de la validacioacuten los alumnos pueden hacer juicio respecto a su propia produccioacuten es el modo de incentivar alumnos autoacutenomos y es la manera de promover la decisioacuten autoacutenoma del alumno acerca de la verdad o false-dad de su respuesta
Problema 3 En segundo y tercer grado se pueden agregar figuras maacutes complejas para segundo grado puede incluirse por ejem-plo una diagonal al cuadrado En tercero se puede presen-tar una figura como la siguiente
Problema 4 Completen estas guardas
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En estas actividades los nintildeos tienen que identificar la se-cuencia y tambieacuten los colores a utilizar Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente Nuevamente en estas activi-dades la posibilidad de verificacioacuten a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autoacutenomos
Problema 5a Copien esta figura
b Indiquen cuaacutentos triaacutengulos forman esta figurac Indiquen cuaacutentos cuadrilaacuteteros forman esta figura
Cuando los nintildeos ya estaacuten familiarizados con las actividades anteriores y teniendo en cuenta que es necesario que los alumnos resuelvan diferentes problemas vinculados a un mismo contenido podemos pedirles que copien figuras maacutes complejas como la anterior En esta actividad se les pide tam-bieacuten que comiencen a identificar cuaacuteles son las figuras que la componen
Actividad 2 Reconocimiento de figuras y cuerpos
Muchas veces observamos que los nintildeos no pueden identifi-car las diferencias entre las figuras y los cuerpos Proponemos entonces esta secuencia de actividades
Problema 1Junten diferentes cajas y potes vaciacuteos Poacutenganle un nom-bre a cada una Por ejemplo
Pinten con tempera cada una de las caras y apoacuteyenla en una hoja lisaObserven las huellas que dejan las cajas
En la puesta en comuacuten puede analizarse coacutemo son las ca-ras de los distintos potes y cajas y hacer hincapieacute en que las huellas son figuras que toman las caras de los cuerpos
Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas
Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversioacuten de los contenidos aprendidos Vuel-van a realizar una puesta en comuacuten y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos
Actividad 3 iquestQueacute figura
El objetivo de esta actividad es que los alumnos identifi-quen figuras dentro de una coleccioacuten La coleccioacuten debe ser lo suficientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacioacuten de las similitudes y diferencias entre ellas auacuten sin conocer los nombres de cada una
Todas las figuras y cuerpos dibujados tienen que ser del mismo color y del mismo tamantildeo para que estos atributos no sirvan para identificar cada uno dentro del conjunto
Problema 1El docente le entrega a cada alumno un juego de cartas cada una tiene dibujada una figura Los alumnos se orga-nizan en parejas Cada alumno elige por turno una car-ta que aparta del resto El otro alumno de la pareja debe formular preguntas que puedan responderse solo con SIacute o con NO Cuando un participante considera que tiene informacioacuten suficiente para identificar de queacute carta es en su turno la propone Si es correcta gana 10 puntos Si no es correcta cuenta al resto de los alumnos cuaacuteles son los datos que consideraron y se propone un intercambio de ideas acerca de cuaacutel fue el error del grupoDespueacutes de jugar varias veces el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cuaacuteles son las pregun-tas que resultaron maacutes uacutetiles
Caja de zapatos
Lata degaseosa
7
En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
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Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Entrevista a Horacio Itzcovich y Claudia BroitmaniquestCuaacutel es el sentido de ensentildear geometriacutea en la escuela primaria iquestPor queacute sus contenidos han perdido espacio curricular en el uacuteltimo tiempo iquestQueacute objetivos persigue su ensentildeanza Para contestar estas y otras preguntas 12(ntes) entrevistoacute a Horacio Itzcovich y a Claudia Broitman especialistas en el tema
Horacio Itzcovich
Es Profesor Universitario de Matemaacutetica (UBA) Integra el equipo de matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula GCBA Coordina el equipo de matemaacutetica PEF-Univ San Andreacutes y el equipo de Matemaacutetica del Proyecto Bicentenario-IIPE-UNESCO
Claudia Broitman
Es Profesora de Ensentildeanza Primaria y Licenciada en Ciencias de la Educacioacuten (UBA) Integra el Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriculum de la Ciudad de Bs As Coordina el Aacuterea de Matemaacutetica de la Red Latinoamericana de Alfabetizacioacuten- Argentina Es Profesora de Didaacutectica de Matemaacutetica en la Carrera de CIencias de la Educacioacuten de la UNLP y de Matemaacutetica en el Nivel Inicial del Normal 1 GCBA
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Geometriacutea en el primer ciclo
INTRODUCCIOacuteN
Cuando planificamos ensentildear geometriacutea en el 1er ciclo debemos tener en cuenta dos aspectos importantes
bull Queacute es un problema geomeacutetricobull Cuaacuteles son los objetivos que nos proponemos al en-
sentildear geometriacutea
El trabajo central en la clase de matemaacutetica es ldquoresolver problemasrdquopero iquesta queacute nos referimos al decir problema Jean Brun indica
ldquoDesde una perspectiva psicoloacutegica un problema se define generalmente como una situacioacuten inicial con una finalidad a lograr que demanda a un sujeto elaborar una serie de accio-nes u operaciones para lograrlo Solo se habla de problema dentro de una situacioacuten sujetosituacioacuten donde la solucioacuten no estaacute disponible de entrada pero es posible construirlardquo
Esto nos indica que muchas de las ejercitaciones que ve-mos en las aulas no tienen el caraacutecter de problema Cuan-do los disentildeos curriculares se refieren a la resolucioacuten de problemas describen situaciones en las que los alumnos ponen en juego los conocimientos que ya poseen los cuestionan y los modifican generando nuevos conoci-mientos Si un alumno al leer una actividad puede re-solverla sin dificultades ella dejoacute de ser problema para ese alumno Para que una actividad sea considerada un problema es necesario que genere incertidumbre en el alumno y que tenga distintas formas de resolucioacuten Para resolverla el nintildeo debe probar equivocarse recomenzar a partir del error construir modelos proponer soluciones defenderlas discutirlas comunicar los procedimientos y conclusiones Para que una situacioacuten sea considerada pro-blema no es necesario que tenga un contexto de la vida cotidiana sino que debe plantear un desafiacuteo a resolver Es importante tener en cuenta que si el desafiacuteo es de un gra-do de dificultad muy alto puede suceder que los alumnos no se hagan cargo de ella por considerarla lejana
En siacutentesis una situacioacuten se transforma en problema cuan-do el alumno la reconoce como tal y decide hacerse cargo de ella
Bajo esta perspectiva un problema geomeacutetrico es aquel en el cual se ponen en juego las propiedades de los obje-tos geomeacutetricos en su resolucioacuten pone en interaccioacuten al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio fiacutesico sino a un espacio conceptualizado representado por las fi-
Por Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok
guras dibujos Estos dibujos no cumplen en la resolucioacuten del problema la funcioacuten de permitir llegar a la respuesta por simple constatacioacuten sensorial La decisioacuten autoacutenoma de los alumnos acerca de la verdad o falsedad de sus res-puestas se apoya en las propiedades de las figuras y los cuerpos Sus argumentaciones producen nuevos conoci-mientos sobre estos objetos geomeacutetricos
Los disentildeos curriculares sugieren para el primer ciclo un trabajo alrededor de las caracteriacutesticas de las figuras y de los cuerpos geomeacutetricos
El orden en que se presentan las figuras y los cuerpos no se considera fundamental Se destaca la importancia del desarrollo de un trabajo en torno a las relaciones entre los mismos a partir de la construccioacuten de cuerpos con dife-rentes figuras la determinacioacuten de las ldquohuellasrdquo o sombras que cada cuerpo produce entre otros
La propuesta de actividades de exploracioacuten se presenta como un buen punto de partida para el trabajo con las fi-guras geomeacutetricas aunque se destaca la importancia de que los alumnos puedan ir evolucionando en sus conoci-mientos basados puramente en lo perceptivo para que comiencen a analizar las propiedades de las figuras sus relaciones y sus elementos Para ello es importante que la presentacioacuten de las figuras se haga de diversas maneras en distintas posiciones con diferentes tamantildeos Es usual que cuando se les presenta una figura en una misma posi-cioacuten en todo momento los chicos no la reconozcan cuan-do la encuentran en una posicioacuten diferente
Por otro lado se sostiene que la geometriacutea es un terreno feacutertil para introducir a los alumnos en la validacioacuten y ar-gumentacioacuten acerca de la verdad de las respuestas que obtienen En estos primeros antildeos en algunos problemas se puede aceptar que lo hagan a traveacutes de estrategias maacutes empiacutericas esta aproximacioacuten sentaraacute las bases para el tra-bajo acerca de la argumentacioacuten que tendraacute lugar en los siguientes ciclos Es fundamental tener en cuenta que en estos primeros antildeos los alumnos iraacuten incorporando nuevo vocabulario que les permitiraacute describir mejor las relacio-nes que van estableciendo este es un trabajo progresivo que lleva un proceso es por ello que en muchas ocasiones nos encontraremos con definiciones provisorias que se iraacuten puliendo a medida que avancen en la escolaridad Es necesario destacar que no es alliacute donde tenemos que po-ner el acento sino en las caracteriacutesticas que hay que iden-tificar en cada una de las figuras pues seraacute este trabajo el que haga necesario la incorporacioacuten del nuevo vocabula-
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rio con el objetivo de mejorar la comunicacioacuten tanto oral como escrita
Podemos plantear diferentes propuestas para poner en juego estas concepciones
El objetivo de estas actividades es que a partir de distintas consignas los alumnos identifiquen las figuras a traveacutes de sus caracteriacutesticas particulares
Estas actividades son muy feacutertiles a la hora de determinar queacute es necesario para identificar una figura o un cuerpo Son actividades de comunicacioacuten que tambieacuten fomentan el uso de un lenguaje adecuado para que el compantildeero entienda de queacute se estaacute hablando
El intercambio entre los compantildeeros es fundamental pues entre ellos se permiten dudar o no aceptar la opinioacuten del otro Si se centra la tarea en la explicacioacuten del docente los alumnos no podraacuten descubrir las relaciones necesarias todo se limita a la repeticioacuten de lo que el docente diga en su exposicioacuten
Proponemos una secuencia para trabajar sobre las figu-ras geomeacutetricas en primer ciclo Seguacuten los conocimientos previos de los alumnos las mismas pueden adaptarse a los diferentes grados del mismo
LA SECUENCIA DIDAacuteCTICA
Actividad 1 Copiado de figuras en papel cuadriculado
Problema 1Copien en papel cuadriculado estas figuras Tienen que ser exactamente iguales eso significa que si superponen las dos figuras y las miran a trasluz tiene que verse la misma figura
Cuando les pedimos a los alumnos que copien una figura no estamos pensando en que repitan un conjunto de pasos a se-guir que fueron previamente hechos por el docente sino que investiguen las propiedades que caracterizan a una figura y que no resultan evidentes
Esta misma actividad con o sin papel cuadriculado tiene otro nivel de dificultad La decisioacuten de trabajar sobre papel cua-driculado en 1er ciclo permite que queden impliacutecitas ciertas cuestiones que seraacuten trabajadas en ciclos posteriores como por ejemplo aacutengulos rectos paralelismo etc
Problema 2Copien en papel cuadriculado esta figura
El copiado de figuras requiere ademaacutes de la identificacioacuten del nuacutemero de lados el reconocimiento de las posiciones relativas de los mismos y su longitud El papel cuadriculado facilita la medicioacuten de las longitudes porque la misma se li-mita a contar el nuacutemero de cuadraditos que ocupa cada lado vertical u horizontal
Una vez que los alumnos terminan la construccioacuten pueden superponer la copia con el original para verificar si quedaron iguales Es fundamental incentivar a los nintildeos a que validen sus procesos A partir de la validacioacuten los alumnos pueden hacer juicio respecto a su propia produccioacuten es el modo de incentivar alumnos autoacutenomos y es la manera de promover la decisioacuten autoacutenoma del alumno acerca de la verdad o false-dad de su respuesta
Problema 3 En segundo y tercer grado se pueden agregar figuras maacutes complejas para segundo grado puede incluirse por ejem-plo una diagonal al cuadrado En tercero se puede presen-tar una figura como la siguiente
Problema 4 Completen estas guardas
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En estas actividades los nintildeos tienen que identificar la se-cuencia y tambieacuten los colores a utilizar Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente Nuevamente en estas activi-dades la posibilidad de verificacioacuten a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autoacutenomos
Problema 5a Copien esta figura
b Indiquen cuaacutentos triaacutengulos forman esta figurac Indiquen cuaacutentos cuadrilaacuteteros forman esta figura
Cuando los nintildeos ya estaacuten familiarizados con las actividades anteriores y teniendo en cuenta que es necesario que los alumnos resuelvan diferentes problemas vinculados a un mismo contenido podemos pedirles que copien figuras maacutes complejas como la anterior En esta actividad se les pide tam-bieacuten que comiencen a identificar cuaacuteles son las figuras que la componen
Actividad 2 Reconocimiento de figuras y cuerpos
Muchas veces observamos que los nintildeos no pueden identifi-car las diferencias entre las figuras y los cuerpos Proponemos entonces esta secuencia de actividades
Problema 1Junten diferentes cajas y potes vaciacuteos Poacutenganle un nom-bre a cada una Por ejemplo
Pinten con tempera cada una de las caras y apoacuteyenla en una hoja lisaObserven las huellas que dejan las cajas
En la puesta en comuacuten puede analizarse coacutemo son las ca-ras de los distintos potes y cajas y hacer hincapieacute en que las huellas son figuras que toman las caras de los cuerpos
Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas
Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversioacuten de los contenidos aprendidos Vuel-van a realizar una puesta en comuacuten y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos
Actividad 3 iquestQueacute figura
El objetivo de esta actividad es que los alumnos identifi-quen figuras dentro de una coleccioacuten La coleccioacuten debe ser lo suficientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacioacuten de las similitudes y diferencias entre ellas auacuten sin conocer los nombres de cada una
Todas las figuras y cuerpos dibujados tienen que ser del mismo color y del mismo tamantildeo para que estos atributos no sirvan para identificar cada uno dentro del conjunto
Problema 1El docente le entrega a cada alumno un juego de cartas cada una tiene dibujada una figura Los alumnos se orga-nizan en parejas Cada alumno elige por turno una car-ta que aparta del resto El otro alumno de la pareja debe formular preguntas que puedan responderse solo con SIacute o con NO Cuando un participante considera que tiene informacioacuten suficiente para identificar de queacute carta es en su turno la propone Si es correcta gana 10 puntos Si no es correcta cuenta al resto de los alumnos cuaacuteles son los datos que consideraron y se propone un intercambio de ideas acerca de cuaacutel fue el error del grupoDespueacutes de jugar varias veces el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cuaacuteles son las pregun-tas que resultaron maacutes uacutetiles
Caja de zapatos
Lata degaseosa
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En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
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Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
10
4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Geometriacutea en el primer ciclo
INTRODUCCIOacuteN
Cuando planificamos ensentildear geometriacutea en el 1er ciclo debemos tener en cuenta dos aspectos importantes
bull Queacute es un problema geomeacutetricobull Cuaacuteles son los objetivos que nos proponemos al en-
sentildear geometriacutea
El trabajo central en la clase de matemaacutetica es ldquoresolver problemasrdquopero iquesta queacute nos referimos al decir problema Jean Brun indica
ldquoDesde una perspectiva psicoloacutegica un problema se define generalmente como una situacioacuten inicial con una finalidad a lograr que demanda a un sujeto elaborar una serie de accio-nes u operaciones para lograrlo Solo se habla de problema dentro de una situacioacuten sujetosituacioacuten donde la solucioacuten no estaacute disponible de entrada pero es posible construirlardquo
Esto nos indica que muchas de las ejercitaciones que ve-mos en las aulas no tienen el caraacutecter de problema Cuan-do los disentildeos curriculares se refieren a la resolucioacuten de problemas describen situaciones en las que los alumnos ponen en juego los conocimientos que ya poseen los cuestionan y los modifican generando nuevos conoci-mientos Si un alumno al leer una actividad puede re-solverla sin dificultades ella dejoacute de ser problema para ese alumno Para que una actividad sea considerada un problema es necesario que genere incertidumbre en el alumno y que tenga distintas formas de resolucioacuten Para resolverla el nintildeo debe probar equivocarse recomenzar a partir del error construir modelos proponer soluciones defenderlas discutirlas comunicar los procedimientos y conclusiones Para que una situacioacuten sea considerada pro-blema no es necesario que tenga un contexto de la vida cotidiana sino que debe plantear un desafiacuteo a resolver Es importante tener en cuenta que si el desafiacuteo es de un gra-do de dificultad muy alto puede suceder que los alumnos no se hagan cargo de ella por considerarla lejana
En siacutentesis una situacioacuten se transforma en problema cuan-do el alumno la reconoce como tal y decide hacerse cargo de ella
Bajo esta perspectiva un problema geomeacutetrico es aquel en el cual se ponen en juego las propiedades de los obje-tos geomeacutetricos en su resolucioacuten pone en interaccioacuten al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio fiacutesico sino a un espacio conceptualizado representado por las fi-
Por Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok
guras dibujos Estos dibujos no cumplen en la resolucioacuten del problema la funcioacuten de permitir llegar a la respuesta por simple constatacioacuten sensorial La decisioacuten autoacutenoma de los alumnos acerca de la verdad o falsedad de sus res-puestas se apoya en las propiedades de las figuras y los cuerpos Sus argumentaciones producen nuevos conoci-mientos sobre estos objetos geomeacutetricos
Los disentildeos curriculares sugieren para el primer ciclo un trabajo alrededor de las caracteriacutesticas de las figuras y de los cuerpos geomeacutetricos
El orden en que se presentan las figuras y los cuerpos no se considera fundamental Se destaca la importancia del desarrollo de un trabajo en torno a las relaciones entre los mismos a partir de la construccioacuten de cuerpos con dife-rentes figuras la determinacioacuten de las ldquohuellasrdquo o sombras que cada cuerpo produce entre otros
La propuesta de actividades de exploracioacuten se presenta como un buen punto de partida para el trabajo con las fi-guras geomeacutetricas aunque se destaca la importancia de que los alumnos puedan ir evolucionando en sus conoci-mientos basados puramente en lo perceptivo para que comiencen a analizar las propiedades de las figuras sus relaciones y sus elementos Para ello es importante que la presentacioacuten de las figuras se haga de diversas maneras en distintas posiciones con diferentes tamantildeos Es usual que cuando se les presenta una figura en una misma posi-cioacuten en todo momento los chicos no la reconozcan cuan-do la encuentran en una posicioacuten diferente
Por otro lado se sostiene que la geometriacutea es un terreno feacutertil para introducir a los alumnos en la validacioacuten y ar-gumentacioacuten acerca de la verdad de las respuestas que obtienen En estos primeros antildeos en algunos problemas se puede aceptar que lo hagan a traveacutes de estrategias maacutes empiacutericas esta aproximacioacuten sentaraacute las bases para el tra-bajo acerca de la argumentacioacuten que tendraacute lugar en los siguientes ciclos Es fundamental tener en cuenta que en estos primeros antildeos los alumnos iraacuten incorporando nuevo vocabulario que les permitiraacute describir mejor las relacio-nes que van estableciendo este es un trabajo progresivo que lleva un proceso es por ello que en muchas ocasiones nos encontraremos con definiciones provisorias que se iraacuten puliendo a medida que avancen en la escolaridad Es necesario destacar que no es alliacute donde tenemos que po-ner el acento sino en las caracteriacutesticas que hay que iden-tificar en cada una de las figuras pues seraacute este trabajo el que haga necesario la incorporacioacuten del nuevo vocabula-
5
rio con el objetivo de mejorar la comunicacioacuten tanto oral como escrita
Podemos plantear diferentes propuestas para poner en juego estas concepciones
El objetivo de estas actividades es que a partir de distintas consignas los alumnos identifiquen las figuras a traveacutes de sus caracteriacutesticas particulares
Estas actividades son muy feacutertiles a la hora de determinar queacute es necesario para identificar una figura o un cuerpo Son actividades de comunicacioacuten que tambieacuten fomentan el uso de un lenguaje adecuado para que el compantildeero entienda de queacute se estaacute hablando
El intercambio entre los compantildeeros es fundamental pues entre ellos se permiten dudar o no aceptar la opinioacuten del otro Si se centra la tarea en la explicacioacuten del docente los alumnos no podraacuten descubrir las relaciones necesarias todo se limita a la repeticioacuten de lo que el docente diga en su exposicioacuten
Proponemos una secuencia para trabajar sobre las figu-ras geomeacutetricas en primer ciclo Seguacuten los conocimientos previos de los alumnos las mismas pueden adaptarse a los diferentes grados del mismo
LA SECUENCIA DIDAacuteCTICA
Actividad 1 Copiado de figuras en papel cuadriculado
Problema 1Copien en papel cuadriculado estas figuras Tienen que ser exactamente iguales eso significa que si superponen las dos figuras y las miran a trasluz tiene que verse la misma figura
Cuando les pedimos a los alumnos que copien una figura no estamos pensando en que repitan un conjunto de pasos a se-guir que fueron previamente hechos por el docente sino que investiguen las propiedades que caracterizan a una figura y que no resultan evidentes
Esta misma actividad con o sin papel cuadriculado tiene otro nivel de dificultad La decisioacuten de trabajar sobre papel cua-driculado en 1er ciclo permite que queden impliacutecitas ciertas cuestiones que seraacuten trabajadas en ciclos posteriores como por ejemplo aacutengulos rectos paralelismo etc
Problema 2Copien en papel cuadriculado esta figura
El copiado de figuras requiere ademaacutes de la identificacioacuten del nuacutemero de lados el reconocimiento de las posiciones relativas de los mismos y su longitud El papel cuadriculado facilita la medicioacuten de las longitudes porque la misma se li-mita a contar el nuacutemero de cuadraditos que ocupa cada lado vertical u horizontal
Una vez que los alumnos terminan la construccioacuten pueden superponer la copia con el original para verificar si quedaron iguales Es fundamental incentivar a los nintildeos a que validen sus procesos A partir de la validacioacuten los alumnos pueden hacer juicio respecto a su propia produccioacuten es el modo de incentivar alumnos autoacutenomos y es la manera de promover la decisioacuten autoacutenoma del alumno acerca de la verdad o false-dad de su respuesta
Problema 3 En segundo y tercer grado se pueden agregar figuras maacutes complejas para segundo grado puede incluirse por ejem-plo una diagonal al cuadrado En tercero se puede presen-tar una figura como la siguiente
Problema 4 Completen estas guardas
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En estas actividades los nintildeos tienen que identificar la se-cuencia y tambieacuten los colores a utilizar Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente Nuevamente en estas activi-dades la posibilidad de verificacioacuten a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autoacutenomos
Problema 5a Copien esta figura
b Indiquen cuaacutentos triaacutengulos forman esta figurac Indiquen cuaacutentos cuadrilaacuteteros forman esta figura
Cuando los nintildeos ya estaacuten familiarizados con las actividades anteriores y teniendo en cuenta que es necesario que los alumnos resuelvan diferentes problemas vinculados a un mismo contenido podemos pedirles que copien figuras maacutes complejas como la anterior En esta actividad se les pide tam-bieacuten que comiencen a identificar cuaacuteles son las figuras que la componen
Actividad 2 Reconocimiento de figuras y cuerpos
Muchas veces observamos que los nintildeos no pueden identifi-car las diferencias entre las figuras y los cuerpos Proponemos entonces esta secuencia de actividades
Problema 1Junten diferentes cajas y potes vaciacuteos Poacutenganle un nom-bre a cada una Por ejemplo
Pinten con tempera cada una de las caras y apoacuteyenla en una hoja lisaObserven las huellas que dejan las cajas
En la puesta en comuacuten puede analizarse coacutemo son las ca-ras de los distintos potes y cajas y hacer hincapieacute en que las huellas son figuras que toman las caras de los cuerpos
Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas
Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversioacuten de los contenidos aprendidos Vuel-van a realizar una puesta en comuacuten y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos
Actividad 3 iquestQueacute figura
El objetivo de esta actividad es que los alumnos identifi-quen figuras dentro de una coleccioacuten La coleccioacuten debe ser lo suficientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacioacuten de las similitudes y diferencias entre ellas auacuten sin conocer los nombres de cada una
Todas las figuras y cuerpos dibujados tienen que ser del mismo color y del mismo tamantildeo para que estos atributos no sirvan para identificar cada uno dentro del conjunto
Problema 1El docente le entrega a cada alumno un juego de cartas cada una tiene dibujada una figura Los alumnos se orga-nizan en parejas Cada alumno elige por turno una car-ta que aparta del resto El otro alumno de la pareja debe formular preguntas que puedan responderse solo con SIacute o con NO Cuando un participante considera que tiene informacioacuten suficiente para identificar de queacute carta es en su turno la propone Si es correcta gana 10 puntos Si no es correcta cuenta al resto de los alumnos cuaacuteles son los datos que consideraron y se propone un intercambio de ideas acerca de cuaacutel fue el error del grupoDespueacutes de jugar varias veces el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cuaacuteles son las pregun-tas que resultaron maacutes uacutetiles
Caja de zapatos
Lata degaseosa
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En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
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Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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rio con el objetivo de mejorar la comunicacioacuten tanto oral como escrita
Podemos plantear diferentes propuestas para poner en juego estas concepciones
El objetivo de estas actividades es que a partir de distintas consignas los alumnos identifiquen las figuras a traveacutes de sus caracteriacutesticas particulares
Estas actividades son muy feacutertiles a la hora de determinar queacute es necesario para identificar una figura o un cuerpo Son actividades de comunicacioacuten que tambieacuten fomentan el uso de un lenguaje adecuado para que el compantildeero entienda de queacute se estaacute hablando
El intercambio entre los compantildeeros es fundamental pues entre ellos se permiten dudar o no aceptar la opinioacuten del otro Si se centra la tarea en la explicacioacuten del docente los alumnos no podraacuten descubrir las relaciones necesarias todo se limita a la repeticioacuten de lo que el docente diga en su exposicioacuten
Proponemos una secuencia para trabajar sobre las figu-ras geomeacutetricas en primer ciclo Seguacuten los conocimientos previos de los alumnos las mismas pueden adaptarse a los diferentes grados del mismo
LA SECUENCIA DIDAacuteCTICA
Actividad 1 Copiado de figuras en papel cuadriculado
Problema 1Copien en papel cuadriculado estas figuras Tienen que ser exactamente iguales eso significa que si superponen las dos figuras y las miran a trasluz tiene que verse la misma figura
Cuando les pedimos a los alumnos que copien una figura no estamos pensando en que repitan un conjunto de pasos a se-guir que fueron previamente hechos por el docente sino que investiguen las propiedades que caracterizan a una figura y que no resultan evidentes
Esta misma actividad con o sin papel cuadriculado tiene otro nivel de dificultad La decisioacuten de trabajar sobre papel cua-driculado en 1er ciclo permite que queden impliacutecitas ciertas cuestiones que seraacuten trabajadas en ciclos posteriores como por ejemplo aacutengulos rectos paralelismo etc
Problema 2Copien en papel cuadriculado esta figura
El copiado de figuras requiere ademaacutes de la identificacioacuten del nuacutemero de lados el reconocimiento de las posiciones relativas de los mismos y su longitud El papel cuadriculado facilita la medicioacuten de las longitudes porque la misma se li-mita a contar el nuacutemero de cuadraditos que ocupa cada lado vertical u horizontal
Una vez que los alumnos terminan la construccioacuten pueden superponer la copia con el original para verificar si quedaron iguales Es fundamental incentivar a los nintildeos a que validen sus procesos A partir de la validacioacuten los alumnos pueden hacer juicio respecto a su propia produccioacuten es el modo de incentivar alumnos autoacutenomos y es la manera de promover la decisioacuten autoacutenoma del alumno acerca de la verdad o false-dad de su respuesta
Problema 3 En segundo y tercer grado se pueden agregar figuras maacutes complejas para segundo grado puede incluirse por ejem-plo una diagonal al cuadrado En tercero se puede presen-tar una figura como la siguiente
Problema 4 Completen estas guardas
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En estas actividades los nintildeos tienen que identificar la se-cuencia y tambieacuten los colores a utilizar Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente Nuevamente en estas activi-dades la posibilidad de verificacioacuten a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autoacutenomos
Problema 5a Copien esta figura
b Indiquen cuaacutentos triaacutengulos forman esta figurac Indiquen cuaacutentos cuadrilaacuteteros forman esta figura
Cuando los nintildeos ya estaacuten familiarizados con las actividades anteriores y teniendo en cuenta que es necesario que los alumnos resuelvan diferentes problemas vinculados a un mismo contenido podemos pedirles que copien figuras maacutes complejas como la anterior En esta actividad se les pide tam-bieacuten que comiencen a identificar cuaacuteles son las figuras que la componen
Actividad 2 Reconocimiento de figuras y cuerpos
Muchas veces observamos que los nintildeos no pueden identifi-car las diferencias entre las figuras y los cuerpos Proponemos entonces esta secuencia de actividades
Problema 1Junten diferentes cajas y potes vaciacuteos Poacutenganle un nom-bre a cada una Por ejemplo
Pinten con tempera cada una de las caras y apoacuteyenla en una hoja lisaObserven las huellas que dejan las cajas
En la puesta en comuacuten puede analizarse coacutemo son las ca-ras de los distintos potes y cajas y hacer hincapieacute en que las huellas son figuras que toman las caras de los cuerpos
Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas
Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversioacuten de los contenidos aprendidos Vuel-van a realizar una puesta en comuacuten y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos
Actividad 3 iquestQueacute figura
El objetivo de esta actividad es que los alumnos identifi-quen figuras dentro de una coleccioacuten La coleccioacuten debe ser lo suficientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacioacuten de las similitudes y diferencias entre ellas auacuten sin conocer los nombres de cada una
Todas las figuras y cuerpos dibujados tienen que ser del mismo color y del mismo tamantildeo para que estos atributos no sirvan para identificar cada uno dentro del conjunto
Problema 1El docente le entrega a cada alumno un juego de cartas cada una tiene dibujada una figura Los alumnos se orga-nizan en parejas Cada alumno elige por turno una car-ta que aparta del resto El otro alumno de la pareja debe formular preguntas que puedan responderse solo con SIacute o con NO Cuando un participante considera que tiene informacioacuten suficiente para identificar de queacute carta es en su turno la propone Si es correcta gana 10 puntos Si no es correcta cuenta al resto de los alumnos cuaacuteles son los datos que consideraron y se propone un intercambio de ideas acerca de cuaacutel fue el error del grupoDespueacutes de jugar varias veces el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cuaacuteles son las pregun-tas que resultaron maacutes uacutetiles
Caja de zapatos
Lata degaseosa
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En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
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Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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En estas actividades los nintildeos tienen que identificar la se-cuencia y tambieacuten los colores a utilizar Esto agrega a la ac-tividad un contenido diferente Nuevamente en estas activi-dades la posibilidad de verificacioacuten a cargo de los alumnos genera que comiencen a pensar en que tienen herramientas para convertirse en individuos autoacutenomos
Problema 5a Copien esta figura
b Indiquen cuaacutentos triaacutengulos forman esta figurac Indiquen cuaacutentos cuadrilaacuteteros forman esta figura
Cuando los nintildeos ya estaacuten familiarizados con las actividades anteriores y teniendo en cuenta que es necesario que los alumnos resuelvan diferentes problemas vinculados a un mismo contenido podemos pedirles que copien figuras maacutes complejas como la anterior En esta actividad se les pide tam-bieacuten que comiencen a identificar cuaacuteles son las figuras que la componen
Actividad 2 Reconocimiento de figuras y cuerpos
Muchas veces observamos que los nintildeos no pueden identifi-car las diferencias entre las figuras y los cuerpos Proponemos entonces esta secuencia de actividades
Problema 1Junten diferentes cajas y potes vaciacuteos Poacutenganle un nom-bre a cada una Por ejemplo
Pinten con tempera cada una de las caras y apoacuteyenla en una hoja lisaObserven las huellas que dejan las cajas
En la puesta en comuacuten puede analizarse coacutemo son las ca-ras de los distintos potes y cajas y hacer hincapieacute en que las huellas son figuras que toman las caras de los cuerpos
Problema 2Escriban distintos potes y cajas que puedan dejar estas huellas
Esta actividad pone en juego lo analizado en la anterior y permite la reinversioacuten de los contenidos aprendidos Vuel-van a realizar una puesta en comuacuten y hagan una lista con todas las propuestas de los alumnos
Actividad 3 iquestQueacute figura
El objetivo de esta actividad es que los alumnos identifi-quen figuras dentro de una coleccioacuten La coleccioacuten debe ser lo suficientemente variada de modo de que sea nece-saria la explicitacioacuten de las similitudes y diferencias entre ellas auacuten sin conocer los nombres de cada una
Todas las figuras y cuerpos dibujados tienen que ser del mismo color y del mismo tamantildeo para que estos atributos no sirvan para identificar cada uno dentro del conjunto
Problema 1El docente le entrega a cada alumno un juego de cartas cada una tiene dibujada una figura Los alumnos se orga-nizan en parejas Cada alumno elige por turno una car-ta que aparta del resto El otro alumno de la pareja debe formular preguntas que puedan responderse solo con SIacute o con NO Cuando un participante considera que tiene informacioacuten suficiente para identificar de queacute carta es en su turno la propone Si es correcta gana 10 puntos Si no es correcta cuenta al resto de los alumnos cuaacuteles son los datos que consideraron y se propone un intercambio de ideas acerca de cuaacutel fue el error del grupoDespueacutes de jugar varias veces el docente propone un in-tercambio entre todos para analizar cuaacuteles son las pregun-tas que resultaron maacutes uacutetiles
Caja de zapatos
Lata degaseosa
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En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
9
Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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En tercer grado se pueden complejizar las figuras incorpo-rando ideas de lados paralelos o perpendiculares puntos medios de los lados segmentos interiores a una figura o diagonales
Podriacutean considerarse estas nuevas cartas
En la puesta en comuacuten es necesario analizar a partir de las siguientes caracteriacutesticas si se trata de una figura
bull Tiene solo dos diagonales y sus lados no son todos iguales
bull No tiene diagonalesbull Tiene tres veacutertices y tres ladosbull Tiene distinta cantidad de veacutertices que de ladosbull Tienen igual cantidad de diagonales que de veacutertices
Un juego similar se puede organizar con cartas en las que se incluyan imaacutegenes de diferentes cuerpos geomeacutetricos
Problema 2En un grado decidieron jugar al juego de descubrir la fi-gura sin hablar Cada uno le escribe las preguntas al otro y este responde por escritoDescubran queacute figura habiacutea elegido cada uno de estos chicos
a Juan iquestTiene 4 lados Pedro NoJuan iquestTiene 3 lados Pedro NoJuan iquestTiene 5 lados Pedro SiacuteJuan iquestLos lados son iguales Pedro No
b Lucas iquestTiene 4 lados Marcos SiacuteLucas iquestLos lados son iguales Marcos NoLucas iquestTiene alguacuten lado curvo Marcos Siacute
Este tipo de actividades permite reflexionar sobre lo que se trabajoacute en el juego anterior
A partir de este tipo de actividades se puede identificar cuaacuteles son las caracteriacutesticas que define a cada una de las figuras
BIBLIOGRAFIacuteAbull Broitman C Itzcovich H (2003) ldquoGeometriacutea en los primeros grados de la escuela primaria problemas de su ensentildeanza pro-blemas para su ensentildeanzardquo en Panizza (comp) Ensentildear matemaacute-tica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB Anaacutelisis y Propuestas Paidoacutesbull Broitman C Itzcovich H (2002) Figuras y cuerpos geomeacutetri-cos Propuestas para su ensentildeanza Bs As Novedades Educativas bull Castro A (2000) ldquoActividades de Exploracioacuten con cuerpos geomeacutetricos Anaacutelisis de una propuesta de trabajo para la sala de cincordquo en Malajovich (comp) Recorridos didaacutecticos en la educa-cioacuten Inicial Paidoacutes Bs Asbull Disentildeo Curricular para la Educacioacuten Primaria -2008- Gobierno
de la Provincia de Buenos Aires bull Direccioacuten General de Educacioacuten Baacutesica Pcia de Bs As (2001) Orientacionesdidaacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301 MatemaacuteticaDGEB Prov Bs Asbull Fregona D (1995) Fregona D (1995) Les figures planes com-me ldquomilieurdquo dans lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie interactions contrats et transpositions didactiques Thegravese Universiteacute de Bor-deaux Ibull GaacutelvezG (1994) ldquoLa Geometriacutea la psicogeacutenesis de las nociones espaciales y la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela elemen-talrdquo En Parra C y Saiz (comp) Didaacutectica de Matemaacuteticas Ed Pai-doacutes Bs As bull Itzcovich H (2006) Iniciacioacuten al estudio didaacutectico de la Geome-triacutea Editorial Libros del Zorzalbull Parra C Sadovsky P y Saiz I (1995) Ensentildeanza de la Matemaacute-tica Geometriacutea Seleccioacuten bibliograacutefica III PTFD Programa de transformacioacuten de la Formacioacuten Docente Ministerio de Cultura y Educacioacutenbull Quaranta M E y Ressia de Moreno B (2004) ldquoEl copiado de fi-guras como un problema geomeacutetrico para los nintildeosrdquo En Ensentildear matemaacutetica Nuacutemeros formas cantidades y juegos Coleccioacuten de 0 a 5 Nordm 54 Edic Novedades Educativasbull Saiz I (1996) ldquoEl aprendizaje de la geometriacutea en la EGBrdquo en Re-vista Novedades Educativas nro 71
Silvia Altman
Profesora de Matemaacutetica y Astronomiacutea (INSP ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo 1986) Posgrado en Gestioacuten Curricular Formacioacuten de Coordinadores de Ciclo y Aacuterea en Matemaacutetica FLACSO (1995) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
Liliana E Kurzrok
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1989) Profesora de Matemaacutetica (Formacioacuten docente para profesionales ORT 2000) Capacitadora de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto Coordinadora editorial de Matemaacutetica de Tinta Fresca
Claudia R Comparatore
Licenciada en Matemaacutetica (UBA 1983) Licenciada en Ensentildeanza de las Ciencias (UNSAM 2008) Capacitadora del Equipo Teacutecnico Regional de La Matanza Provincia de Bs As y de Cepa Asesora en escuelas privadas de la CABA Autora de diversos libros de texto
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
9
Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
10
4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
11
dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
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Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Una secuencia de cuadrilaacuteteros para
el segundo ciclo
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Es necesario que los alumnos hayan trabajado en las rela-ciones entre los lados y los aacutengulos de los triaacutengulos que hayan reflexionado sobre las condiciones que hacen posi-ble la construccioacuten de dichas figuras y que tengan manejo de los elementos de geometriacutea ya que el uso apropiado de dichos elementos subyace al conocimiento de propie-dades y conceptos diferentes como por ejemplo las no-ciones de paralelismo y perpendicularidad
1ordf consignaEn una hoja lisa construiacute un cuadrado
En el trabajo individual los nintildeos tendraacuten que decidir queacute instrumentos de geometriacutea son necesarios En el momen-to de puesta en comuacuten seraacute importante analizar que para construir un cuadrado la medida de los aacutengulos estaacute im-pliacutecita A su vez tambieacuten deberaacute tenerse en cuenta la di-ferencia de las distintas producciones en relacioacuten con la medida de los lados estableciendo que soacutelo es necesario conocer la longitud de uno de ellos A partir de esta re-flexioacuten puede proponerse la siguiente consigna
iquestQueacute informacioacuten seraacute necesaria para construir un cua-drado uacutenico
Es conveniente escribir las conclusiones despueacutes de haber compartido las distintas producciones individuales
2ordf consignaEscribiacute las instrucciones para construir la siguiente figura
Despueacutes del momento de produccioacuten individual se puede realizar un intercambio grupal para comparar ambas figu-ras haciendo hincapieacute en sus semejanzas y diferencias en relacioacuten a los lados y aacutengulos
Por Valeria Aranda y Analiacutea Finger
Pueden registrarse las conclusiones en un cuadro como el que sigue
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
3ordf consignaiquestExiste un cuadrilaacutetero que no tenga aacutengulos rectos
A partir de este problema se les pediraacute a los nintildeos que procedan a la construccioacuten en hojas lisas de un cuadri-laacutetero que cumpla con esa condicioacuten La intencioacuten de la actividad es explicitar los distintos tipos de cuadrilaacuteteros teniendo en cuenta los lados (pares de lados paralelos o no) y los aacutengulos que los conforman
A medida que surjan las distintas producciones (rombos paralelogramos y trapecios) podraacuten explicitarse los nom-bres de dichas figuras e incorporarse al cuadro iniciado en la actividad 2
Cuadrado4 lados iguales2 pares de lados paralelos4 aacutengulos de 90ordm
Rectaacutengulo2 pares de lados paralelos e iguales4 aacutengulos de 90ordm
Rombo4 lados iguales2 pares de lados paralelos
6 cm
2 cm
9
Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
10
4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Paralelogramo2 pares de lados paralelos e iguales
Trapecio1 par de lados iguales no paralelos1 par de lados paralelos
Tambieacuten se pueden ensayar distintas clasificaciones como por ejemplo si se toma en cuenta soacutelo la relacioacuten entre los lados puede afirmarse que el cuadrado el rec-taacutengulo y el rombo son paralelogramos ya que todos cumplen con la condicioacuten de tener 2 pares de lados pa-ralelos
Una vez elaborada la clasificacioacuten a nivel grupal puede proponerse a los nintildeos que identifiquen de queacute figura (o figuras) se trata teniendo en cuenta ciertas condiciones por ejemplo
iquestDe queacute cuadrilaacutetero se trata sihellip
helliptiene 4 aacutengulos rectoshelliptiene un par de lados iguales no paraleloshelliptiene 4 lados iguales y dos pares de lados paraleloshelliptiene dos pares de lados paralelos e iguales
De manera de poder profundizar maacutes en las semejanzas y diferencias entre los distintos tipos de cuadrilaacuteteros tam-bieacuten se puede preguntar
iquestQueacute datos son necesarios para construir un paralelo-gramo que no sea rectaacutengulo iquestY para construir un trapecioiquestEs posible un cuadrilaacutetero que no tenga ninguacuten par de lados paralelos
4ordf consignaiquestEs posible un cuadrilaacutetero cuya suma de sus aacutengulos interiores sea igual a 90ordm
Los nintildeos pueden ensayar construcciones que les permi-tan verificar si tal figura es posible o no La idea de esta actividad es que recuperen sus conocimientos en relacioacuten a la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo ya que todo cuadrilaacutetero puede pensarse como dos triaacutengulos
A su vez en el desarrollo de la clase pueden intentar pro-barse otras opciones como por ejemplo si es posible un cuadrilaacutetero que tenga 4 aacutengulos obtusos De esta for-ma se puede arribar a conclusiones generales como por ejemplo que no es posible construir un cuadrilaacutetero con 4 aacutengulos cualesquiera
A su vez en el cierre de la puesta en comuacuten seraacute impor-tante que se registre la siguiente conclusioacuten
Si la suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo es igual a 180ordm en el caso del cuadrilaacutetero figura que pue-de pensarse como dos triaacutengulos la suma de sus aacutengu-los interiores seraacute igual a 360ordm
5ordf consigna
A continuacioacuten se proponen una serie de problemas para que los alumnos averiguumlen la medida de los aacutengulos in-teriores de algunos cuadrilaacuteteros apoyaacutendose en la con-clusioacuten anterior la suma de los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero es igual a 360ordm
En los problemas que siguen los alumnos no soacutelo debe-raacuten apelar al conocimiento de la relacioacuten entre los aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero sino que a su vez deberaacuten recuperar sus ideas previas en relacioacuten a la condicioacuten que cumplen los aacutengulos adyacentes y tambieacuten aquellos que son complementarios
1 En el siguiente rombo averiguaacute sin usar transportador la medida de los aacutengulos c y d (hacer el sombrerito de aacutengulo)
En este problema se puede ver que la diagonal del rombo lo divide en dos triaacutengulos iguales a partir de este dato se puede conocer la amplitud de los aacutengulos restantes
2 En los siguientes rectaacutengulos averiguaacute sin medir la amplitud de cada uno de los aacutengulos interiores
a
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
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iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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4 Completaacute la siguiente figura de manera que se forme un trapecio
PARA TRABAJAR CON LAS DIAGONALES DE LOS CUADRILAacuteTEROS
iquestQueacute datos son necesarios para copiar la siguiente figura en una hoja lisa usando regla y escuadra
Se espera que los nintildeos apelen a la informacioacuten que les brinda el conocimiento de las medidas de las diagonales en la construccioacuten de este cuadrilaacutetero
A su vez tambieacuten conviene establecer que en todos los rombos las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio destacando que esta condicioacuten es la que determina que los cuatro lados del rombo sean iguales
Se puede agregar una imagen con los distintos pasos para construir un rombo usando regla y escuadra
A continuacioacuten puede pensarse coacutemo construir otro rom-bo a partir de los siguientes datos La diagonal AC mide 6 cm y el aacutengulo que forma con uno de los lados es de 40ordm
iquestQueacute pasos seguiriacuteas para construir un rombo cuya diago-nal AC que mide 6 cm forma un aacutengulo de 40ordm con un lado de la figura
Para la resolucioacuten de este problema despueacutes del mo-mento individual de despliegue de estrategias propias se puede proponer un segundo momento para compartir en pequentildeos grupos las distintas producciones y elegir una para comunicar al grupo total Es interesante que los alum-nos dicten al maestro las instrucciones para que eacuteste reali-ce la figura en el pizarroacuten Asiacute podraacuten evaluar si los proce-
b
c
3 En este rectaacutengulo averiguaacute la medida del aacutengulo S
4 En el siguiente trapecio averiguaacute la medida de A
CONSTRUCCIOacuteN DE CUADRILAacuteTEROS
1 Construiacute un cuadrilaacutetero que tenga un aacutengulo recto y un par de lados paralelos iquestQueacute instrumento necesitaacutes para hacerlo
2 Construiacute un paralelogramo que tenga un aacutengulo de 50ordm un lado de 4 cm y otro de 6 cm
3 Usando compaacutes regla y transportador construiacute un rombo que tenga 5 cm de lado y que el aacutengulo que forman dos lados mida 120ordm
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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dimientos elegidos son precisos y comunicables y de esta manera desestimar la posibilidad de tanteo en la resolu-cioacuten de problemas y apelar a las propiedades estudiadas
En el transcurso de las producciones los nintildeos ensayaraacuten distintas estrategias hasta arribar a conclusiones que les permitan construir la figura como por ejemplo que la dia-gonal AC divide al rombo en dos triaacutengulos iguales Enton-ces conviene que los aacutengulos de 40ordm sean adyacentes al segmento AC Y finalmente una vez construido uno de los triaacutengulos que conforman el rombo podraacuten reflexionar sobre la conveniencia del uso del compaacutes para copiar los segmentos que conforman cada uno de los lados determi-nados en el triaacutengulo
Despueacutes de haber anotado los pasos a seguir para la cons-truccioacuten de la figura anterior conviene que se registre tambieacuten la siguiente conclusioacuten la diagonal de un cua-drilaacutetero lo divide en dos triaacutengulos
En los cuadrados en los rectaacutengulos y en los rombos es-tos dos triaacutengulos son iguales
A continuacioacuten se les puede proponer a los nintildeos activida-des como las siguientes
Dichas actividades tienen como objetivo repasar las ca-racteriacutesticas de los distintos cuadrilaacuteteros a partir de su construccioacuten y ademaacutes proponer a los nintildeos situaciones que favorezcan la argumentacioacuten como herramienta de validacioacuten de sus producciones
1 Tracen un segmento AB Construyan un rombo supo-niendo que dicho segmento es su diagonal iquestQueacute argu-mentos pueden dar para probar que dicha figura es un rombo Comparen las distintas producciones
2 A partir del segmento CD de 7 cm de longitud cons-truyan un rectaacutengulo que tenga dicho segmento como su diagonal iquestQueacute condiciones tuvieron que tener en cuenta para construir bien la figura iquestCoacutemo son las dia-gonales del rectaacutengulo iquestQueacute argumentos pueden dar para sostener que la figura que construyeron es un rec-taacutengulo
3 Construyan un cuadrilaacutetero que solo tenga un par de la-dos paralelos que tengan distintas medidas y sus otros dos lados sean de la misma longitud Tracen sus diago-nales iquestDe queacute tipo de cuadrilaacutetero se trata iquestCoacutemo son las diagonales entre siacute
4 Utilicen los siguientes segmentos (un segmento de 3
cm y uno de 6 cm) como diagonales de cada uno de los cuadrilaacuteteros estudiados en esta etapa Combiacutenenlos de forma conveniente para construir un cuadrado un rec-taacutengulo un paralelogramo un rombo y un trapecio
5 Revisen el cuadro sobre los distintos cuadrilaacuteteros y agreguen informacioacuten sobre las caracteriacutesticas de las diagonales en cada uno de ellos
C
D
Valeria Aranda
Es maestra de grado desde 1999 Trabajoacute en escuelas puacuteblicas y privadas Se encuentra finalizando la Lic en Ciencias de la Educacioacuten en la UBA
Claudia Comparatore
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
Analiacutea Finger
Es maestra de 1deg y 2deg ciclo desde 1999 en escuelaspuacuteblicas y privadas y Lic en Ciencias de la educacioacuten
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Comunicacioacuten de informacioacuten espacial en el Nivel Inicial un proyecto de produccioacuten e interpretacioacuten de planos
El propoacutesito de nuestro trabajo consiste en compartir al-gunas reflexiones en torno a un proyecto de sala sobre comunicacioacuten de informacioacuten espacial desarrollado con alumnos de tercera seccioacuten de Jardines del Municipio de Hurlingham1 y de San Isidro Provincia de Buenos Aires La finalidad didaacutectica de esta secuencia apunta a que los alumnos puedan avanzar en la consideracioacuten y explicita-cioacuten de algunas relaciones espaciales El proyecto consiste en la produccioacuten por parte de los nintildeos de planos del pa-tio del Jardiacuten para intercambiar con nintildeos de otro Jardiacuten de modo tal de poder comunicarse informacioacuten acerca de coacutemo es su patio queacute juegos u otros elementos tiene y coacutemo estaacuten dispuestos
Sabemos que el uso de planos y mapas en situaciones co-rrientes es una fuente de dificultades para muchos adultos (Gaacutelvez 1988 Berthelot y Salin 1994) La ensentildeanza asu-me como contenidos a trabajar desde el Nivel Inicial co-nocimientos espaciales entre los cuales se incluye el uso de planos como herramientas para resolver problemas de orientacioacuten y ubicacioacuten espacial Por otra parte el recurso a estas herramientas constituye una oportunidad -entre otras necesarias- de traer a escena una serie de relaciones espaciales explicitarlas convertirlas en objeto de anaacutelisisA continuacioacuten describiremos brevemente el proyecto
Las instituciones se agruparon de a dos para realizar un intercambio de planos una vez producidos Los momentos que detallaremos tuvieron lugar en sucesivas clases
I PRODUCCIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
En principio se comunicoacute el proyecto a todo el grupo ldquoHa-cer conocer a los chicos de otro jardiacuten coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuterdquo Cada alumno realizoacute un primer dibujo Para ello los nintildeos se ubicaron desde un extremo del patio Algunas docentes decidieron dejar que los nintildeos se colocaran en diferentes bordes del patio para confrontar las diferencias generadas en las producciones
Por Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
debidas a los diferentes puntos de vista otras prefirieron no agregar esta complejidad a la que de por siacute ya plantea-ba la tareaEstas decisiones fueron tomadas por los nintildeos mismos sin indicaciones del docente acerca de coacutemo hacerlo Las in-tervenciones docentes en el momento de la realizacioacuten de los dibujos se dirigieron fundamentalmente a remitir a la finalidad de la tarea desde el punto de vista de los alum-nos ldquoque chicos de otro jardiacuten conocieran coacutemo es el pa-tio queacute cosas tiene doacutende estaacuten ubicadasrdquo
Considerar relaciones espaciales para dar cuenta de la ubicacioacuten de los objetos en el patio unos en relacioacuten con otros y buscar el modo de representar graacuteficamente esas relaciones son conocimientos que se ponen en juego para responder a la situacioacuten como medio de resolucioacuten Esto no seriacutea posible si el docente indicara previamente coacutemo hacerlo
En un segundo momento se organizoacute una discusioacuten con toda la sala Por supuesto para planificar esta instancia la maestra previamente habiacutea analizado los dibujos selec-cionando ciertas caracteriacutesticas a proponer en la discu-sioacuten De la multiplicidad de aspectos posibles las maestras optaron por centrarse en algunos de ellos tomando dife-rentes decisiones en cada caso los objetos incluidos (al-gunos habiacutean incluido objetos que otros no si se incluiacutean los elementos que se moviacutean como por ejemplo paacutejaros nintildeos etc) la forma de representar los objetos (algunos lo haciacutean desde una vista desde arriba otros desde el frente coacutemo resolviacutean las dificultades que plantea la representa-cioacuten bidimensional de objetos tridimensionales etc) la ubicacioacuten de los objetos unos en relacioacuten con los otros el tamantildeo relativo de los objetos etc
En este espacio de intercambio analizando soacutelo algunas producciones se trataba de focalizar sobre queacute teniacutean de parecido y queacute teniacutean de diferente Las docentes trataban de llevar a sus alumnos a considerar si el dibujo resultaba eficaz para conocer el patio del Jardiacuten si una persona que
1 En el marco del curso de capacitacioacuten La ensentildeanza de contenidos espaciales y geomeacutetricos en el nivel inicial Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institu-cional Municipalidad de Hurlingham 2004
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
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iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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no lo conociacutea podiacutea saber queacute cosas teniacutea y coacutemo estaban ubicadas Esta es la finalidad de la situacioacuten para los nintildeos (lograr comunicar coacutemo era su patio) y en consecuencia constituye un criterio para que ellos mismos puedan vali-dar y ajustar las producciones Al mismo tiempo podiacutea ob-servarse que habiacutea diversas maneras posibles de cumplir ese objetivo que no existiacutea ldquoelrdquo dibujo que lo hiciera mejor que otros
Esta discusioacuten colectiva permite tomar algo de distancia con la propia produccioacuten objetivarla para poder analizarla con una mayor descentracioacuten considerar la produccioacuten de otros a partir de la conduccioacuten planificada por la maestra genera la construccioacuten de una serie de preguntas que in-terpelan y enriquecen la propia
En un tercer momento entonces cada nintildeo procedioacute a realizar un segundo dibujo Antes de iniciarlo se recor-daron las cuestiones analizadas en la clase precedente Para hacerlo algunas docentes decidieron tener junto con ellos la primera produccioacuten de este modo se facilitaba un poco maacutes la identificacioacuten de aspectos a mejorar para la comunicacioacuten Una vez que estuvieron conformes con sus producciones es decir cuando consideraron que los chi-cos del otro Jardiacuten podriacutean saber coacutemo era el patio las dos instituciones intercambiaron todas las producciones
El problema admite una diversidad de soluciones posibles Los nintildeos disponen de estrategias de base que hacen que puedan intentar buscar una solucioacuten poder interpretar la informacioacuten que el medio devuelve en relacioacuten con sus intentos aunque no dispongan de los conocimientos que permiten soluciones oacuteptimas Por ejemplo algunos dibu-jan un solo juego o unos pocos Otros los dibujan sin tener en cuenta la ubicacioacuten Una produccioacuten muy comuacuten en el primer intento fue dibujar todos los objetos del patio pero colocados en una disposicioacuten lineal Parecieran centrarse solo en el problema de queacute objetos representar
Otra dificultad con la que se enfrentaron muchos chicos fue producto de no anticipar la relacioacuten entre el espacio de la hoja y el tamantildeo de los dibujos Es decir no tener en cuenta el espacio que era necesario para ubicar todos los objetos En consecuencia muchos dibujaron solo algunos objetos y no todos ldquoporque no me entraba maacutes en la hojardquo Otros dentro de las decisiones acerca de queacute objetos re-presentar dibujaron chicos jugando otros mariposas paacute-jaros flores
Tambieacuten es frecuente encontrar producciones en las que hay organizaciones parciales de algunos objetos Logran ubicar dos o tres objetos relacionados entre siacute pero des-cuidando las relaciones que esos ldquogruposrdquo de objetos tie-nen entre siacute como ldquoislasrdquo en el espacio Las producciones combinan diferentes vistas para los diferentes objetos
Asiacute mientras las calesitas en general son representadas con una visioacuten desde arriba los toboganes y las trepado-ras aparecen maacutes frecuentemente desde una vista lateral Algunos dibujos incluyen el contorno del patio represen-tando el liacutemite enmarcaacutendolo
En siacutentesis nos encontramos entonces con diferentes as-pectos que se ponen de manifiesto en esta diversidad de producciones
bull Decisiones acerca de queacute elementos incluir en la re-presentacioacuten iquesttodos los juegos o algunos iquestSe dibu-jan las puertas y ventanas de la sala que se ven des-de el patio iquestLos aacuterboles iquestLas plantas iquestLos paacutejaros iquestEl alambrado Etc
bull Una vez establecido queacute se incluye es necesario con-trolar la exhaustividad de los objetos que se decidioacute incluir en la representacioacuten
bull Coacutemo se los representa iquestdesde queacute punto de vista iquestDibujados completamente o solo una parte iquestQueacute tamantildeo relativo tienen los diferentes elementos iquestCoacutemo controlar que entren todos en la hoja
bull Coacutemo dar cuenta de su ubicacioacuten unos respecto de otros
Todas estas son primeras aproximaciones que abren la puerta a reflexiones posteriores respecto de coacutemo trans-mitir informacioacuten acerca de los objetos disponibles y su ubicacioacuten reflexiones que permitiraacuten hacer avanzar los aspectos a tener en cuenta para transmitir esas informa-ciones espaciales
A continuacioacuten transcribimos algunos comentarios que tuvieron lugar en los espacios de anaacutelisis colectivo poste-riores a los primeros dibujos
M2 Vamos a conversar entre todos sobre los dibujos del patio que hicieronA31 A miacute no me entroacute todoA2 Yo siacute te falta la hamaca y las ruedasA3 Yo lo hice chiquito para que entreA1 Lo voy a hacer del otro lado Sentildeo quiero el laacutepizM Esperaacute un poquito Vamos a ver entre todos si a otros les pasoacute lo mismo y coacutemo podriacutean hacer para que no les vuelva a pasarA4 A miacute tampoco me entroacute todo (a A5) Vos no hiciste todo porque te faltoacute la trepadoraA5 Porque eacutesa es difiacutecil yo no la hagoA6 a A5 Si no la haceacutes no van a saber que tenemos trepa-dora Vos teneacutes que hacer asiacute las rayitas asiacute y despueacutes para arriba el cantildeo y asiacute despueacutes bajaacutes y ya estaacuteA1 Yo quiero hacer lo que tiene adentro la calesita
2 Maestra3 Alumno o alumna
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
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iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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A7 Podeacutes hacer asiacute como cuadraditos en ronda como los asientos que quedan asiacute todos al lado del volanteM Si dibujamos la calesita solamente iquestlos chicos del otro jar-diacuten van a saber queacute cosas tiene nuestro parque y coacutemo estaacuten ubicadasVarios A NoA5 iexclAy iexclCierto que hay un tobogaacuten nuevo el del elefante(Varios alumnos advierten que se han olvidado de dibujar el tobogaacuten nuevo)M Bueno iquestqueacute tendriacutean que hacer para que no les vuelva a pasar esto de que no les entren todas las cosas que tenemos en el parqueVarios A Hay que hacer los dibujos maacutes chiquitosM iquestEscucharon todos Recuerden esto para cuando tengan que hacer nuevamente los dibujos
Vemos aquiacute coacutemo se trata en este espacio de intercambio el problema de tomar decisiones para que entren en la hoja todos los objetos que se quieren representar Algu-nos ya comentan haberse encontrado con esta dificultad en su produccioacuten Ademaacutes de advertir que se trataba de un problema compartido los demaacutes participan activamen-te sugiriendo soluciones posibles En este momento los dibujos de otros se convierten en objeto de anaacutelisis una distancia que tambieacuten les permite considerar sus propios trabajos desde otra perspectiva hay cosas que los otros in-cluyeron iquestes necesario incluirlas Realizaron dibujos maacutes pequentildeos para que entraran en la hoja coacutemo los ubicaron unos en relacioacuten con otros el mismo objeto puede dibu-jarse de diferentes maneras iquestqueacute informaciones aportan o dejan de aportar las diferentes maneras de dibujarlos En sucesivos anaacutelisis se puede llegar a reflexionar acerca de que no es posible dibujar todo los dibujos retienen algu-nas caracteriacutesticas del patio y dejan de lado otras
Este uacuteltimo aspecto aparece en el anaacutelisis de este otro Jardiacuten
M Mirando cualquiera de estos planos los chicos del otro Jardiacuten iquestvan a saber coacutemo es nuestro patio queacute cosas tiene y doacutende estaacuten ubicadasA1 No Le faltan juegosA2 Hay que dibujarlo todo todoM S dice que hay que dibujarlo todo todo iquestEstaacuten de acuerdoVarios A SiacuteM iquestQueacute seriacutea todo todoA3 Todos los juegos los aacuterbolesA4 J puso los chicosA2 Pero no puso a todosJ No puse a todos los chicos porque no estamos siempre en el patioM Acaacute se plantea una discusioacuten iquestponemos o no a los chicosA5 Pero iquestdoacutende los ponemos Nosotros nos movemos en el patioM Dicen que no se sabe doacutende dibujar a los chicos porque no estaacuten en un lugar fijo siempre el mismo como los juegos Para saber queacute cosas tiene nuestro patio y coacutemo estaacuten ubica-
das iquestse necesita dibujar a los chicosA4 No ya se sabe que si hay juegos es para los chicos
El siguiente intercambio pertenece a otro Jardiacuten La maes-tra seleccionoacute algunas producciones y propuso a sus alumnos compararlas
M iquestTodos los dibujos son igualesAs NoM iquestPor queacuteA1 Porque a eacuteste le falta el tobogaacuten a eacuteste la huerta a eacuteste le dibujaron la calesita en el medio y estaacute a la derecha del to-bogaacutenA2 Algunos se olvidaron de dibujar todos los toboganes y la huertaM iquestDoacutende los hubieran dibujadoA1 La huerta estaacute delante de la calesita y la trepadora estaacute atraacutesA3 Los aacuterboles estaacuten al lado de los juegosA1 No estaacuten a la derecha y atraacutesM Escuchen F dice que los aacuterboles estaacuten al lado de los jue-gos y J dice que no que estaacuten a la derecha y atraacutes iquestUstedes que opinanA4 (Con dudas) Me parece que es lo mismoA2 Siacute es lo mismo lo que pasa es que J lo dice mejorM iquestSe entiende igual si decimos al lado que si decimos a la derechaA1 Noooo al lado tambieacuten puede ser a la izquierda(Algunos alumnos se quedan pensando)
M Bueno iquestqueacute otras diferencias encontraronA5 La trepadora tiene que estar atraacutes Hay que dibujarla arri-ba (sentildealando la parte superior de la hoja) porque estaacute atraacutes acaacute se dibuja lo que estaacute atraacutesM Dicen que las cosas que se ven atraacutes hay que dibujarlas en esta parte de la hoja (sentildeala arriba) iquestestaacuten de acuerdoVarios alumnos asientenA1 Acaacute se dibuja lo que teneacutes cerca (sentildeala la parte inferior de la hoja)M Dijeron varias cosas que hay palabras que expresan me-jor lo que queremos decir que hay que cuidar que esteacuten dibu-jadas todas las cosas que tiene el patio y que hay que fijarse en queacute lugar de la hoja lo dibujan para que se note doacutende estaacuten ubicados iquestEstaacuten de acuerdoVarios A Siacute
Entre las numerosas cuestiones que se plantean en esta reflexioacuten colectiva queremos destacar dos Por un lado la explicitacioacuten de que los teacuterminos derecha o izquierda ayudan a precisar de queacute lado se ubica un objeto respecto de otro Por supuesto no se ha planteado aquiacute el tema de su relatividad en funcioacuten del punto de vista desde el cual se estaacute indicando En este caso se asume el punto de vista convencional frente a la hoja de papel que corresponde a la orientacioacuten del sujeto frente a ella
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Por otro lado tambieacuten nos parece interesante el modo en que se pone de relieve la relacioacuten entre la ubicacioacuten de los objetos en el espacio con la ubicacioacuten en el espacio de la hoja de papel queacute tiene que representarse en la parte in-ferior de la hoja queacute en la parte superior En realidad esta orientacioacuten de la hoja de papel corresponde a una conven-cioacuten que evidentemente los pequentildeos han comenzado a comprender en queacute lugar de la hoja se representa lo que se ve maacutes cerca en queacute lugar lo que se ve maacutes lejos etc
Estos intercambios constituyen ocasiones para explicitar relaciones espaciales y conocimientos sobre su represen-tacioacuten graacutefica Permiten una primera instancia de valida-cioacuten de las producciones es decir permiten a los alumnos por siacute solos obtener informacioacuten acerca de la validez o no de sus producciones Esta informacioacuten surge de la confron-tacioacuten con las otras producciones y las discusiones que se generan a propoacutesito de esa confrontacioacuten es a partir del intercambio generado en la sala que un alumno puede es-tablecer si le faltaron elementos o si los ubicoacute de manera clara Es decir no depende de la informacioacuten externa apor-tada por el docente sino que surge de las explicitaciones y argumentos que se despliegan en el anaacutelisis colectivo Es decir el medio que devuelve informacioacuten aquiacute es un me-dio social es la confrontacioacuten con las interpretaciones de los otros lo que aportaraacute informacioacuten acerca de la propia
Este proceso de validacioacuten incide sobre las anticipaciones realizadas por los alumnos acerca de queacute y coacutemo represen-tar el patio las modifica las precisa permitiendo nuevas anticipaciones maacutes ajustadas a futuro El aprendizaje es entonces consecuencia de la interpretacioacuten de los efectos de las acciones del sujeto de sus decisiones es decir por adaptacioacuten al medio a un medio que es tambieacuten social
Despueacutes de estos intercambios se llevoacute adelante una se-gunda produccioacuten Los siguientes comentarios de las do-centes muestran los avances producidos
bull Logran anticipar mejor cuaacutento espacio necesitaraacuten para representar todo lo que quieren Hay menos co-mentarios del tipo ldquoNo me alcanzoacute la hojardquo
bull Aparece mayor cuidado para que no falten objetos se detienen incluso maacutes tiempo dibujando y revisan-do que no les falte nada
bull Tambieacuten hay una mayor consideracioacuten de la ubica-cioacuten de los objetos en la hoja de modo tal que repre-sente la ubicacioacuten de los objetos en el patio
II INTERPRETACIOacuteN DE PLANOS DEL PATIO
Con la sala organizada en pequentildeos grupos de entre dos y cuatro participantes se distribuyeron los dibujos recibi-dos entre las mesas y se les pidioacute que los observaran que vieran si era posible saber queacute cosas teniacutea el patio de la
otra escuela coacutemo estaban ubicadas si habiacutea algo que no se entendiacutea o que quisieran saber de las cosas del patio pero que no estaban contempladas en los dibujos que en-viaron los chicos del otro jardiacuten etceacutetera Se entregaron varios dibujos por mesas para que la confrontacioacuten entre las diferentes representaciones permitiera construir maacutes preguntas
Durante este momento las maestras iban recorriendo las mesas recogiendo las observaciones para retomarlas lue-go en un espacio colectivo e instalando algunas preguntas acerca de queacute se podiacutea ver en los dibujos queacute dudas les quedaban sobre ese patio si se veiacutean las mismas cosas en todos los dibujos ubicadas en el mismo lugar etc En di-cho espacio se pusieron en comuacuten algunas afirmaciones acerca de lo que se podiacutea saber sobre queacute teniacutea el patio del otro Jardiacuten coacutemo eran esas cosas
Por ejemplo podiacutea observarse que habiacutea hamacas pero no quedaba claro cuaacutentas eran porque en algunos dibujos apareciacutean dos en otros tres etc En algunos dibujos el to-bogaacuten apareciacutea a la izquierda de las hamacas en otros a la derecha y era necesario saber si lo habiacutean dibujado desde distintos lados o por queacute sucediacutea eso Ciertas representa-ciones no quedaban claras por ejemplo en algunos dibu-jos la calesita apareciacutea como un ciacuterculo y no se entendiacutea queacute era En otros casos queriacutean saber si el patio teniacutea aacuter-boles o plantas porque no apareciacutean en el dibujo Algunas cuestiones surgidas dentro de un grupito podiacutean zanjarse a partir de las producciones analizadas por otro grupito otras permaneciacutean como dudas para todos
Con eacutestas y otras observaciones el grupo elaboroacute una carta con comentarios y preguntas que le dictaron a la maestra quien primero escribioacute en el pizarroacuten y luego transcribioacute para enviar al Jardiacuten emisor de los dibujos Tras este trabajo las instituciones intercambiaron las cartas devolviendo con ellas los dibujos emitidos originalmente para que los autores pudieran revisarlos a la luz de las pre-guntas y observaciones realizadas por el grupo del Jardiacuten receptor
III REVISIOacuteN DE LOS PLANOS PRODUCIDOS
En este momento nuevamente en pequentildeos grupos cada sala trabajoacute sobre las observaciones recibidas del grupo receptor de los dibujos Para ello cada maestra entregoacute a cada nintildeo su dibujo y leyoacute a todo el grupo la carta Se ana-lizaron los aspectos sentildealados por el otro Jardiacuten en par-ticular acerca de las dudas si realmente eran cuestiones que no se entendiacutean a partir de los dibujos o si los chicos no habiacutean llegado a comprenderlos si era necesario acla-rar o explicar algo modificarlo coacutemo hacerlo etc A partir de este anaacutelisis de las dudas que planteaban los recepto-res dictaron a su maestra una carta en respuesta Tambieacuten
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
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drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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produjeron nuevos dibujos incorporando los aspectos que era necesario aclarar y se intercambiaron finalmente las producciones En algunos casos finalizaron el proyecto con visitas a ambos jardines dibujos en mano
ALGUNOS COMENTARIOS
Nos interesa rescatar en principio los problemas espacia-les que este proyecto permitioacute plantear a los alumnos se trata de comunicar a otros acerca de la ubicacioacuten de cier-tos objetos en un espacio dado En este caso el ldquoplanordquo producido permite conocer anticipar coacutemo es un espa-cio desconocido En esta comunicacioacuten todos los nintildeos juegan como emisores de dicha comunicacioacuten en la pro-duccioacuten de las representaciones espaciales y luego como receptores en la interpretacioacuten de las representaciones producidas por el otro grupo
El anaacutelisis tras el dibujo inicial ofrece una primera infor-macioacuten a los alumnos (por parte de los pares o de ellos mismos a partir de la objetivacioacuten de su produccioacuten que permite esta instancia) que les permite saber si sus ldquopla-nosrdquo cumplen con la finalidad que persiguen si son claros si les faltan elementos que consideran importantes del pa-tio si estaacuten bien ubicados unos en relacioacuten con otros etc Luego la carta que reciben en funcioacuten de la interpretacioacuten del otro Jardiacuten permite una nueva fuente de retroacciones para ajustar sus decisiones en torno a queacute cosas incluir y coacutemo hacerlo es decir coacutemo dibujar cada una coacutemo ubi-carlas unas en relacioacuten con las otras
Vemos entonces que juegan con pleno sentido proble-mas en la comunicacioacuten de informacioacuten espacial donde la produccioacuten e interpretacioacuten de ldquoplanosrdquo interviene como un recurso de solucioacuten En este trabajo los nintildeos se en-frentan a la situacioacuten toman decisiones sobre queacute incluir en sus dibujos y coacutemo hacerlo Es importante recordar que las docentes no los indicaron coacutemo realizar el dibujo sino solamente la finalidad que perseguiacutea y eacutesta funcionaba como norte para controlar o ajustar lo que iban realizando
La interaccioacuten con los pares y con el maestro en las dife-rentes instancias de anaacutelisis (en pequentildeos grupos y con toda la sala tanto en el momento de produccioacuten como en el de interpretacioacuten o en el momento de revisioacuten de las propias producciones) les devuelven a los nintildeos infor-macioacuten que les permite ajustar su aproximacioacuten inicial a la tarea Nos parece importante resaltar el interjuego entre anticipaciones y validaciones -procesos mediante los cua-les los alumnos mismos obtienen informacioacuten acerca de la validez de sus producciones- y los conocimientos a los cuales este interjuego dio lugar en la sala
Desde la concepcioacuten de ensentildeanza de la matemaacutetica des-de la cual fue pensado este proyecto resulta central la par-ticipacioacuten de los alumnos en espacios de produccioacuten en el sentido de ldquohacer matemaacuteticardquo de resolver problemas y reflexionar en torno a ellos Este proceso supone como componentes constitutivos del sentido de los conoci-mientos a un conjunto de interacciones en la clase que el docente tiene a su cargo gestionar entre los alumnos y los problemas entre los alumnos entre siacute entre los alumnos con el docente
Con respecto a la ensentildeanza de la geometriacutea en particular el trabajo sobre las representaciones espaciales hace jugar una de las funciones que ha cumplido histoacutericamente la geometriacutea la modelizacioacuten del espacio Por supuesto se trata de un objetivo que recieacuten inicia una primera aproxi-macioacuten en el Nivel Inicial un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria
Por supuesto se trata de un objetivo del cual se ocuparaacute la escuela primaria un contenido que recieacuten inicia una prime-ra aproximacioacuten en el Nivel Inicial La produccioacuten de planos que exige este proyecto requiere que los alumnos interac-tuacuteen con y sobre el espacio real pero a traveacutes de represen-taciones sobre dicho espacio Resuelven problemas sobre el espacio a traveacutes de representaciones del mismo discu-ten y analizan los graacuteficos que refieren a dicho espacio
Asiacute como vimos son numerosas las decisiones que de-ben enfrentar iquestqueacute elementos y relaciones retener en la representacioacuten iquestcuaacuteles dejar de lado iquestcoacutemo transmitir esa informacioacuten relevada forman parte de los problemas vinculados a la modelizacioacuten que buscamos que queden por un momento a cargo de los alumnos ndashy no del docen-te- en la actividad de resolucioacuten y en los anaacutelisis que les proponemos
Estamos pensando en una situacioacuten que resulte desafian-te para los conocimientos disponibles por parte de los ni-ntildeos de la sala de 5 antildeos Esto es que no puedan responder automaacuteticamente a lo que se pide sino que tengan que tomar decisiones elaborar sus respuestas (sus ldquoplanosrdquo) No esperamos que frente a esta situacioacuten produjeran di-bujos ldquoajustadosrdquo En algunos casos las primeras produc-ciones nos resultaban incomprensibles si no mediaba la explicacioacuten de sus autores El centro del trabajo no consis-tiacutea en el resultado considerado como un absoluto sino en los avances en las producciones y en las consideraciones sobre las representaciones graacuteficas de relaciones espa-ciales producidas por los pequentildeos No se trataba de que produjeran dibujos cercanos a los que produciriacutean nintildeos mayores sino que progresaran en tomar en cuenta queacute incluiriacutean en sus representaciones coacutemo lo hariacutean coacutemo lo veriacutea otro etc Los avances a lo largo de las diferentes producciones evidencian la riqueza del trabajo en esa di-reccioacuten
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Las interacciones sociales en los diferentes momentos del trabajo sobre los planos han permitido que se plantearan problemas que no hubieran podido tener lugar fuera de ellas por ejemplo por queacute no resulta claro que entre las hamacas y el aacuterbol hay un sube y baja queacute se puede saber de la calesita si la dibujamos de costado y si la dibujamos desde arriba etc
En este caso se juega ademaacutes la potencialidad de las si-tuaciones de comunicacioacuten como condicioacuten para que la precisioacuten en la representacioacuten guarde una finalidad que el receptor que no conoce de antemano el patio del otro Jar-diacuten pueda realizar algunas anticipaciones acerca del lugar La misma finalidad a traveacutes de la confrontacioacuten con los di-bujos de los pares primero y luego a traveacutes de la interpre-tacioacuten realizada por el grupo receptor permite construir criterios para ajustar las primeras decisiones Estamos pensando que la actividad matemaacutetica desplega-da frente a problemas espaciales y geomeacutetricos tambieacuten permite la puesta en juego de quehaceres matemaacuteticos (anticipaciones resoluciones validaciones) Tales proce-sos en un contexto de diversos intercambios intelectuales en la clase son los que daraacuten lugar a avances en los cono-cimientos de los alumnos
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
bull Berthelot R y Salin M H (1993) Conditions didactiques de lacuteapprentissage des plans et cartes dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire Bessot y Veacuterillon (coord) Espaces graphiques et graphismes dacuteespaces Contribution de psychologies et de didacticiens aacute lacuteeacutetude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Berthelot R y Salin M H (1995) Savoirs et connaissances dans lacuteenseignement de la geacuteometrie Arsac Greacutea Grenier y Tiberghien (coord) Diffeacuterents types et leur articulation Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Gaacutelvez Peacuterez G (1988) El aprendizaje de la orientacioacuten en el espacio urbano Una proposicioacuten para la ensentildeanza de la geometriacutea en la escuela primaria Tesis Centro de In-vestigacioacuten del IPN DIE Meacutexicobull Sadovsky P (2004) Teoriacutea de situaciones Capiacutetulo 1 en Condiciones didaacutecticas para un espacio de articulacioacuten entre praacutecticas aritmeacuteticas y praacutecticas algebraicas Tesis doctoral Ffy L Uba (2004) Dirigida M J Perrin-Glorianbull Saiz I (2003) La derecha iquestde quieacuten Ubicacioacuten espacial en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB en Panizza M (comp) Ensentildear matemaacutetica en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB Anaacutelisis y propuestas Buenos Aires Paidoacutesbull Salin M H y Berthelot R (1994) Pheacutenomegravenes lieacutes agrave lacuteinsertion de situations a-didactiques dans lacuteenseignement eacuteleacutementaire de la geacuteomeacutetrie Artigue Gras Laborde y Ta-vignot (eds) Vingt ans de didactique des matheacutematiques
Mariacutea Emilia Quaranta
Lic en Psicopedagogiacutea Es investigadora en el proyecto UBACyT ldquoEl sistema de numeracioacuten conceptualizaciones infantiles sobre la notacioacuten numeacuterica para nuacutemeros naturales y decimalesrdquo Forma parte del Equipo de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Curriacutecula Secretariacutea de Educacioacuten GCBA y del Equipo Central de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Direccioacuten General de Cultura y Educacioacuten Pcia de Bs As Es docente de la caacutetedra de Psicologiacutea del Aprendizaje CEFIEC UBA y docente a cargo del aacuterea de matemaacutetica en el marco del Proyecto de Capacitacioacuten Docente de la Coordinacioacuten Pedagoacutegica e Institucional de la Municipalidad de Hurlingham Pcia de Bs As Asesora y coordina el aacuterea de Matemaacutetica en las escuelas Northlands Amapola y Jacarandaacute
Beatriz Ressia de Moreno
Lic en Psicopedagogiacutea Co coordinadora del Equipo Teacutecnico Central (ETC) en el aacuterea de Matemaacutetica de la Direccioacuten de Capacitacioacuten Docente Direccioacuten de Educacioacuten Superior de la Pcia de Bs As Integra el equipo de matemaacutetica en el Proyecto Escuelas del Futuro (PEF) y Bicentenario de la Escuela de Educacioacuten de la Univ de San Andreacutes Es coordinadora del Proyecto ldquoHacia una propuesta de alfabetizacioacuten en Matemaacuteticardquo dependiente de la RAE Red de Apoyo Escolar y Educacioacuten Complementaria Asesora en diferentes Instituciones educativas nacionales Es autora de materiales curriculares y libros de texto
en France Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergn-aud Grenoble La Penseacutee Sauvagebull Salin M H (1999) Pratiques ostensives des enseignants et contraintes de la relation didactique Lemoyne y Conne (coord) Le cognitif end idactique des matheacutematiques Les Presses de lacuteUniversiteacute de Montreal
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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iquestGeometriacutea en el jardiacuten de infantes CONVERSEMOS PREGUNTA SIMPLE RESPUESTA COMPLEJA
Centremos la mirada para contestarla Y para esto no pen-semos en la geometriacutea que aprendimos en la primaria y menos en la secundariahellipy eso si alguna vez la entendi-mos Para poder responder tenemos que primero situar-nos en el nivel en la especificidad del Nivel Inicial y por supuesto en las caracteriacutesticas de los nintildeos de 4 y 5 antildeos iquestPor queacute decimos de nintildeos de 4 y 5 antildeos Porque si nos remitimos a los Disentildeos Curriculares del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires de 2000 vemos que la matemaacute-tica como disciplina aparece recieacuten en los lineamientos curriculares para estas edades
Estos documentos abordan la ensentildeanza de la matemaacute-tica desde un nuevo enfoque No es nuestra intencioacuten en este artiacuteculo detenernos en cuaacuteles fueron los contenidos que se consideraba importante ensentildear antes ni coacutemo es que se abordaba dicha ensentildeanzahellippero quienes ya tie-nen bastantes antildeos (y digo ldquobastantesrdquo) recordaraacuten cuan-do se trabajaba en las salas y sobre todo en la de ldquocincordquo antildeos la seriacioacuten la clasificacioacuten la conservacioacuten de la cantidad nociones que se encontraban en la ldquobase del nuacute-merordquo Todo esto desde un enfoque psicoloacutegico (despueacutes de mucho tiempo las maestras de sala nos dimos cuenta de queacute queriacutea decir esto)
Pero volvamos al tiempo presente nuevo enfoque iquestde quieacuten (Si quieren averiguar los franceses tuvieron algo que verhellip)
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situa-ciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
Para ver queacute significa vincular el juego con la ensentildeanza de contenidos que tengan que ver con el nuacutemero (y de paso aprender un montoacuten de juegos) pueden consultar el trabajo de Rosa Garrido (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacute-merosrdquo en el libro Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Para pensar en queacute propuestas se pueden trabajar para ensentildear geometriacutea a traveacutes de pro-blemas y a traveacutes del juego pueden consultar a Gonzaacutelez y Weinstein (2001) en ldquoCoacutemo ensentildear matemaacutetica en el jar-diacuten Nuacutemero- Medida ndashEspaciordquo texto al que recurriremos a continuacioacuten
EL ESPACIO Y LA GEOMETRIacuteA
Las personas adultas pero tambieacuten los nintildeos van resol-viendo distintos problemas vinculados con el espacio desde intentar pasar objetos por distintas aberturas en los nintildeos pequentildeos hasta el hecho de estacionar el auto en los adultos
Pero iquestcuaacutendo estos problemas espaciales cotidianos se transforman en problemas geomeacutetricos Respuesta cuan-do estos problemas se refieren a ldquoespacios representadosrdquo mediante figuras o dibujos
Expresan las autora ldquocuando consideramos el espacio desde un punto de vista geomeacutetrico estamos haciendo referencia al estudio de las relaciones espaciales y de las propiedades espaciales abstraiacutedas del mundo concreto de objetos fiacutesicosrdquo (pag92)
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubi-car los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda
Seccioacuten a cargo del Comiteacute Argentino de la Organizacioacuten Mundial para la Educacioacuten Preescolar (OMEP)
Por Cristina Tacchi para OMEP Argentina
Pensar en la ensentildeanza de la matemaacutetica en este nivel desde un enfoque pedagoacutegico es vincularla con uno de sus pilares el juego por un lado y la resolucioacuten de situaciones que valga la pena resolver es decir que planteen un problema en serio a resolver por otro
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en don-de se hace necesario representar el espacio para un fin determinado ldquoLas representaciones graacuteficas de situaciones espaciales permiten la modelizacioacuten de la realidad y es uno de los medios que ayuda al nintildeo a pasar de lo estrictamente con-creto al plano de las representaciones mentalesrdquo (pag 116)Se hace necesario tambieacuten proponer un momento de reflexioacuten sobre la accioacuten para que los nintildeos puedan gra-dualmente ldquopasar a un plano de conceptualizaciones en el cual puedan explicar lo realizado y de ser posible llegar a pequentildeas generalizacionesrdquo (pag 117)
Al respecto el Disentildeo Curricular (2000) expresa ldquose preten-de que los alumnos construyan un lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos que tomen conciencia de los fenoacutemenos vinculados al punto de vista la elabo-racioacuten y utilizacioacuten de representaciones del espacio ndashen-torno ldquo
Los contenidos que propone son
bull Descripcioacuten e interpretacioacuten de la posicioacuten de obje-tos y personas
bull Comunicacioacuten y reproduccioacuten de trayectos consi- derando elementos del entorno como puntos de referencia
bull Representacioacuten graacutefica de recorridos y trayectos
Por ejemplo el proponer dibujar (representacioacuten plana) o sacar fotografiacuteas de alguna escena permite que los nintildeos exploren y discutan entre siacute y con el docente las distintas perspectivas analicen las ldquodeformacionesrdquo que se produ-cen cuando se focaliza un objeto Y luego si se quisiera ldquocompletarrdquo la escena se podriacutea discutir coacutemo se veriacutea de-terminado objeto si variamos la posicioacuten del observador
iquestY LAS FIGURAS GEOMEacuteTRICAS
Hace mucho tiempo (esto esperamos) el acento estaba puesto en el reconocimiento de las formas y por supuesto su correcta o no denominacioacuten
Se ldquopresentabanrdquo de a una (para no confundirsehellip iexclpero claro tampoco se podiacutean comparar entre siacute) se ldquopicabanrdquo se ldquorellenabanrdquo se ldquopintabanrdquo
Esta clase de propuestas no representaban ninguacuten desafiacuteo a resolver ni un para queacute comprensible
Hoy pensamos que el acento estaacute en el reconocimiento de atributos geomeacutetricos de cuerpos y figuras Al respec-to Gonzaacutelez ndashWeinstein proponen una serie de propues-tas con cuerpos y figuras geomeacutetricas que implican por ejemplo la copia (en presencia o ausencia del modelo) de configuraciones y el ldquodictadordquo de las mismas atendiendo a las posiciones espaciales que ocupan y a los atributos de cada una
Esta serie de actividades como asiacute tambieacuten el Tangran permite al nintildeo conocer explorar y jugar apropiaacutendose al mismo tiempo de las caracteriacutesticas de las figuras y cuer-pos geomeacutetricos
ALGUNAS REFLEXIONES ALGUNAS PREGUNTAS
En el Nivel Inicial a diferencia de los otros niveles no exis-te (o por lo menos no deberiacutea existir) la ldquohora de matemaacute-ticardquo iexcly menos de geometriacutea
Los contenidos pueden estar presentes en
bull Las actividades cotidianas como por ejemplo contar cuaacutentos nintildeos asistieron para saber cuaacutentos pinceles se necesitan el calendario la fecha etc
bull La Unidad Didaacutectica Los nuacutemeros para ordenar los libros en la biblioteca los nuacutemeros para comprar y vender los dibujos para hacer planos (Recordemos que las disciplinas ayudan a enriquecer la mirada sobre el contexto no se deben realizar ldquoconexiones forzosasrdquo descontextualizadas)
bull Secuencias o itinerarios por fuera de la unidad didaacutec-tica en los que se presentan nuevos desafiacuteos respec-to de los contenidos propuestos (iquestComo salto cua-litativo iquestcomo revisioacuten iquestcomo profundizacioacuten de un contenido ya aprendido)
bull Juegos en los cuales los contenidos estaacuten presentes porque son inherentes al juego mismo (los nuacutemeros en la guerra para saber cuaacutel es el maacutes grande los nuacute-meros para contar quieacuten ganoacute a los bolos)
A la hora de disentildear las propuestas es necesario tomar de-cisiones fundadas respecto de las siguientes variables
bull La Consigna presenta el problema el juego la situa-cioacuten a resolver iquestQueacute problema iquestqueacute necesitan sa-
El proponer la situacioacuten de dibujar un recorrido para que una persona que no conoce el Jardiacuten pueda trasladarse de un lugar a otro el dibujar el plano de la sala para reubicar los muebles del rincoacuten de dramatizaciones el dibujar para comunicar a otros nintildeos las pistas para la buacutesqueda del tesoro son algunos ejemplos de propuestas en donde se hace necesario representar el espacio para un fin determinado
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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ber los chicos para resolverlo iquestqueacute ya saben y queacute nuevo tiene que aprender
bull Contenido a ensentildear iquestCoacutemo se selecciona iquestQueacute intervenciones docentes son convenientes (Marco teoacuterico bibliografiacutea)
bull Organizacioacuten grupal iquestEn grupo total iquestEn parejas iquestEn pequentildeos grupos iquestGrupos homogeacuteneos o he-terogeacuteneos iquestpor queacuteMateriales iquestLos mismos iquestQueacute se agrega iquestQueacute se saca
bull Tiempo Tener en cuenta que los tiempos para apren-der o para poner en praacutectica lo que los nintildeos ya sa-ben son diferentesEspacio iquestEn la ronda iquestEn las mesas
bull Cierre iquestCoacutemo hacerlo iquestQueacute preguntar (Comen-tabamos antes la importancia de dedicar unos mo-mentos a la reflexioacuten sobre lo sucedido los distintos modos de resolucioacuten los inconvenientes los logros)
Sostenemos que resolver situaciones que impliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permitan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
bull Evaluacioacuten se hace necesario que el docente evaluacutee y dentro de lo posible haga partiacutecipar a los mismos nintildeos para poder proponer las actividades subsi-guientes (modificaciones en algunas de las variables didaacutecticas)
Para finalizar sostenemos que resolver situaciones que im-pliquen nuevos desafiacuteos o dominar contenidos que permi-tan jugar mejor seriacutea a nuestro juicio el principal objetivo en el momento de pensar propuestas de geometriacutea en el Nivel Inicial
BIBLIOGRAFIacuteADisentildeo Curricular para la Educacioacuten Inicial (2000) Para nintildeos de 4 y 5 antildeos GCBAGonzaacutelez A y Weinstein E (2001) Coacutemo ensentildear matemaacutetica en el jardiacuten Nuacutemero- Medida ndashEspacio Buenos Aires Ediciones ColihueGarrido R (2008) ldquoJuegos con reglas y nuacutemerosrdquo En P Sarleacute (co-ord) R Garrido C Rosemberg I Rodriacuteguez Saacuteenz Ensentildear en clave de juego Enlazando juegos y contenidos Buenos Aires Ed Noveduc
Cuartas Jornadas 12(ntes) ldquoProblemas actuales en la gestioacuten de instituciones educativasrdquo
Algunos de los temas que se abordaraacuten Supervisioacuten de la tarea docente Autoridad y Liderazgo iquesten crisis Cultura e Identidad Institucional Toma de decisiones Alumnos con dificultades abordaje de la heterogeneidad Recursos audiovisuales para el trabajo con docentes alumnos y padres Como bajar de la supervisioacuten y no morir en el intento iquestSe puede hacer gestioacuten del personal en las escuelas Creatividad e Innovacioacuten Adolescentes y escuela entre el amor y el espanto
Expositores confirmados Neacutestor Abramovich Rebeca Anijovich Marta Bustos Gabriel Charruacutea Juan Joseacute Del Riacuteo Silvia Duschatzky Gustavo Gotbeter Ernesto Gore Rolando Martintildeaacute Pablo Pineau Sergio Palacio Claudia Romero Vilma Saldumbide Isabelino Siede Joseacute Svartzman Flavia Terigi Nilda Vainstein
iquestCuaacutendo23 24 y 25 de Octubre
CABA
www12ntescominfo12ntescom
iquestDoacutendeTeatro El CuboZelaya 3053
iquestCuaacutento cuesta$280-
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Reflexiones contemporaacuteneas acerca de un antiguo problema de geometriacutea
El Menoacuten es uno de los Diaacutelogos de Platoacuten que ha sobre-vivido el paso del tiempo y que nuestra cultura occidental ha conservado desde la antiguumledad claacutesica La profundi-dad de los problemas que se plantean en eacutel hace que siga siendo recordado y estudiado En la trama del mismo par-ticipan tres personajes Soacutecrates que en la mayoriacutea de los diaacutelogos de Platoacuten es la figura central Menoacuten un priacutencipe que es disciacutepulo del sofista Gorgias y su esclavoMenoacuten le plantea a Soacutecrates la siguiente inquietud iquestEs po-sible ensentildear la virtud o estaacute en la naturaleza de los hom-bres A lo cual Soacutecrates contesta
El alma pues siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces y visto efectivamente todas las cosas tanto las de aquiacute como las del Hades no hay nada que no haya aprendido de modo que no hay de queacute asombrarse si es posible que recuer-de no soacutelo la virtud sino el resto de las cosas que por cierto antes tambieacuten conociacutea Estando pues la naturaleza toda emparentada consigo misma y habiendo el alma aprendido todo nada impide que quien recuerde una sola cosa -eso que los hombres llaman aprender- encuentre eacutel mismo todas las demaacutes si es valeroso e infatigable en la buacutesqueda Pues en efecto el buscar y el aprender no son otra cosa en suma que una reminiscencia
Aquiacute es donde plantea Soacutecrates la teoriacutea de la reminiscen-cia es decir que aprender no es otra cosa que recordar aquello que ya se sabe Para demostrar esta teoriacutea propo-ne a un esclavo de Menoacuten alguien que no poseiacutea ninguacuten conocimiento matemaacutetico un problema de geometriacutea Lo consigue haciendo solamente preguntas
Por Pierina Lanza Federico Maloberti y Fabiaacuten Goacutemez
El intereacutes de este fragmento del diaacutelogo radica para no-sotros en el hecho de que podemos encontrar en eacutel una idea no convencional acerca de queacute es aprender geome-triacutea permitieacutendonos pensar acerca del rol del que apren-de y del que ensentildea en el texto y trasladando preguntas a nuestra praacutectica cotidiana como docentes de matemaacutetica Es interesante ver en eacutel sin embargo aquello de lo cual nos advierte Charlot respecto de algunas concepciones que subsisten impliacutecitamente en la mente de muchos de no-sotros que es la idea de una matemaacutetica que ya estaacute alliacute esperando a ser ldquodescubiertardquo o recordada
Dice CharlotiquestQueacute es estudiar matemaacuteticas Mi respuesta global seraacute que estudiar matemaacuteticas es efectivamente HACERLAS en el sentido propio del teacutermino construirlas fabricarlas producirlas ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las ma-temaacuteticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de produccioacuten matemaacutetica donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemaacuteticos que forjaron los conceptos matemaacuteticos nuevos
Esta idea que sostiene que estudiar matemaacuteticas es HA-CER matemaacuteticas no es la maacutes predominante en el uni-verso escolar actual La idea maacutes corriente es aquella que postula que las matemaacuteticas no tienen que ser producidas sino descubiertas Es decir que los entes matemaacuteticos ya existen en alguna parte en el cielo de las Ideas A partir
En el presente artiacuteculo se analiza un antiguo problema a la luz de las discusiones actuales sobre la ensentildeanza de la Matemaacutetica desde una perspectiva constructivista Intentaremos revisar las siguientes cuestiones
bull iquestCuaacutel es el rol de la pregunta en el avance de los aprendizajesbull iquestCuaacutel es una propuesta metodoloacutegica que favorece el
aprendizaje de la Matemaacuteticabull iquestQueacute tipo de problemas permiten el avance en la argumentacioacuten
matemaacutetica hacia la formalizacioacuten matemaacuteticaEl marco matemaacutetico de discusioacuten seraacute el geomeacutetrico
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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de alliacute el papel del matemaacutetico no es el de crear o inven-tar dichos entes sino de develar las verdades matemaacuteticas existentes pero auacuten desconocidas Desde esta misma con-cepcioacuten las verdades matemaacuteticas soacutelo pueden ser enun-ciadas gracias a la labor de los matemaacuteticos pero ellas son lo que son dadas desde siempre independientemente de la labor de los matemaacuteticos La ensentildeanza claacutesica de las matemaacuteticas se basa en una epistemologiacutea y una ontolo-giacutea platoacutenica que las matemaacuteticas modernas auacuten mantie-nen las Ideas matemaacuteticas tienen una realidad propia
Advertidos de las oportunas observaciones que Charlot realiza nos proponemos entonces introducir este pro-blema recorriendo los pasos que transitaron Soacutecrates y el esclavo a lo largo del diaacutelogo convencidos de que una re-flexioacuten criacutetica del mismo aportaraacute importantes elementos para pensar nuestra praacutectica
Por otra parte tomaremos luego otros aportes que impor-tantes autores de la didaacutectica han realizado acerca de este ceacutelebre fragmento
El planteo del problema surge cuando Soacutecrates le propo-ne al esclavo duplicar mediante procedimientos geomeacutetri-cos el aacuterea de un cuadrado SOacuteC ndashndash (Al servidor) Dime entonces muchacho iquestconoces que una superficie cuadrada es una figura asiacute (La dibuja)SERVIDOR ndashndash Yo siacuteSOacuteC ndashndash iquestEs pues el cuadrado una superficie que tiene todas estas liacuteneas iguales que son cuatro SERVIDOR ndashndash PerfectamenteSOacuteC ndashndash iquestNo tienen tambieacuten iguales eacutestas trazadas por el me-dioAl cuadrado inicial (ABCD) Soacutecrates agrega las liacuteneas EF y GHSERVIDOR ndashndashSiacute
SOacuteC ndashndash iquestY no podriacutea una superficie como eacutesta ser manotyor o menorSoacutecrates seguramente sentildeala primero el cuadrado mayor (ABCD) y despueacutes alguno de los menores (p ej AHOE HBFO EOGD etc)
SERVIDOR ndashndash Desde luegoSOacuteC ndashndash Si este lado fuera de dos pies y este otro tambieacuten de dos iquestcuaacutentos pies tendriacutea el todo
(Los griegos no disponiacutean de un teacutermino para referirse a pies cuadrados)Miacuteralo asiacute si fuera por aquiacute de dos pies y por alliacute de uno soloSoacutecrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p ej BC) con otro de la figura menor (p ej el AE de la figura ABFE)iquestNo seriacutea la superficie de una vez dos pies (Es decir dos pies cuadrados)SERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash Pero puesto que es de dos pies tambieacuten aquiacute iquestqueacute otra cosa que dos veces dos resultaSERVIDOR ndashndash Asiacute esSOacuteC ndashndash iquestLuego resulta ciertamente dos veces dos piesSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutento es entonces dos veces dos pies Cueacutentalo y diloSERVIDOR ndashndash Cuatro Soacutecrates
Aquiacute advierte el esclavo la dificultad del problema en tanto duplicar el lado del cuadrado implica cuadruplicar su aacuterea Desde un punto de vista aritmeacutetico ya se puede observar que para hallar el cuadrado pedido la medida del lado correspondiente ha de ser tal que multiplicado por siacute mismo deacute dos como resultado Si trabajaacutesemos en nuestros cursos con este problema quizaacutes podriacuteamos pre-guntar iquestExiste un nuacutemero que cumpla con esas caracte-riacutesticas
Es decir que la riqueza del problema permite muacuteltiples posibilidades de trabajo Por un lado como modo de in-dagar en las propiedades del cuadrado en tanto objeto geomeacutetrico pero tambieacuten como disparador para pensar en un modo de abordar la problemaacutetica de los nuacutemeros irracionales
En el texto Soacutecrates se centra en el problema desde un abordaje geomeacutetrico
SOacuteC ndashndash iquestY podriacutea haber otra superficie el doble de eacutesta pero con una figura similar es decir teniendo todas las liacuteneas iguales como eacutestaSERVIDOR ndashndash SiacuteSOacuteC ndashndash iquestCuaacutentos pies tendraacute SERVIDOR ndashndash OchoSOacuteC ndashndash Entonces de la liacutenea de tres pies tampoco deriva la superficie de ochoSERVIDOR ndashndash Desde luego que noSOacuteC ndashndashPero entonces iquestde cuaacutel Trata de deciacuternoslo con exactitud Y si no quieres hacer caacutelculos mueacutestranosla en el dibujoSERVIDOR ndashndash iexclPor Zeus Soacutecrates que yo no lo seacute SOacuteC ndashndash iquestTe das cuenta una vez maacutes Menoacuten en queacute punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia Porque al principio no sabiacutea cuaacutel era la liacutenea de la superficie de ocho pies como tampoco ahora lo sabe auacuten sin embargo creiacutea entonces saberlo y respondiacutea con la seguridad propia del que sabe considerando que no habiacutea problema Ahora en cam-bio considera que estaacute ya en el problema y como no sabe la respuesta tampoco cree saberla MEN ndashndash Es verdad
A
B C
D
E F
G
H
O
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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En este punto podriacuteamos pensar en la idea de situacioacuten adidaacutectica de Brousseau aquel momento en el que el su-jeto que aprende advierte la verdadera complejidad del problema e intenta resolverlo ya en sus propios teacuterminos
SOacuteC ndashndash iquestEntonces estaacute ahora en una mejor situacioacuten con res-pecto del asunto que no sabiacuteaMEN ndashndash Asiacute me pareceSOacuteC ndashndash Al problematizarlo y entorpecerlo como hace el pez torpedo iquestle hicimos alguacuten dantildeoMEN ndashndash A miacute me parece que no
Justamente el propio Soacutecrates advierte que es el obstaacutecu-lo aquello que permite y motoriza el aprendizaje y como eacutel mismo sostiene lejos de hacerle alguacuten mal es condicioacuten necesaria para que el aprendizaje se produzca Es el do-cente el que debe ubicar la pregunta oportuna En eso se basa la concepcioacuten dialeacutectica de la mayeacuteutica socraacutetica que heredan todas las versiones del constructivismo
Lo sucesivo del diaacutelogo transita por un camino en el que Soacutecrates realiza diferentes ldquopreguntasrdquo al esclavo que con-ducen a la solucioacuten del problema Sin embargo al observar atentamente vemos que el conjunto de preguntas formu-ladas tiene respuestas sencillas La mayoriacutea limitan al inter-locutor de Soacutecrates a conceder que las afirmaciones que eacuteste realiza son acertadas o a contar el nuacutemero de figuras que dibujoacute con lo cual se puede ver que la verdadera acti-vidad de elaboracioacuten estaacute siendo realizada por el que inte-rroga ubicando al esclavo en un lugar de pasividad y acep-tacioacuten de un resultado que se muestra como irrefutable En palabras de Brousseau ldquohellip Cuando la eleccioacuten de las preguntas no estaacute sometida a ninguacuten contrato didaacutectico pueden ser muy abiertas o muy cerradas como en el dialogo de Menoacuten y podriacutean a priori tomar cualquier camino retoacuterico y obtener la ldquobue-nardquo respuesta por medio de analogiacuteas metaacuteforas etc Tam-bieacuten este contrato podriacutea ser considerado como un caso particular de contrato de imitacioacuten o reproduccioacuten formal en el sentido de que el profesor hace decir al alumno el saber que intenta transmitirle abstenieacutendose de decirlo el mismo De todas formas el paso de oacuterdenes a preguntas innottroduce una gran diferenciardquo
En nuestra opinioacuten el rol que asume Soacutecrates no permite al esclavo posicionarse desde un productor activo de cono-cimiento Por otro lado es difiacutecil establecer comparaciones entre un diaacutelogo de estas caracteriacutesticas y una situacioacuten trasladable al aula en el que la discusioacuten entre pares pro-duce intercambios que enriquecen las intervenciones del-la docente produciendo una dinaacutemica muy distinta
En un diaacutelogo de dos a veces resulta difiacutecil para quien con-duce la accioacuten pedagoacutegica ceder el lugar de portador del saber aquello que Gastoacuten Bachellard llamoacute ldquoalma profeso-ralrdquo Sostenemos que este tipo de acciones son provecho-sas cuando se estaacute dispuesto a ceder una posicioacuten cuando el maestro o la maestra estaacuten decididos a que sus alumnos y alumnas ldquoles ensentildeen
Jacques Ranciere en su libro ldquoEl Maestro Ignoranterdquo dice ldquoSoacutecrates por medio de sus preguntas conduce al escla-vo de Menoacuten a reconocer las verdades matemaacuteticas que estaacuten en eacutel Hay alliacute tal vez el camino de un saber pero de ninguna manera el de la emancipacioacuten Al contrario Soacute-crates debe llevar al esclavo de la mano para que eacuteste pue-da encontrar aquello que ya estaba en eacutel La demostracioacuten de su saber es al mismo tiempo la de su impotencia nunca avanzaraacute por su cuenta y por otra parte nadie le pide que lo haga sino para ilustrar la leccioacuten del maestrordquo
Si la pregunta propuesta por el o la docente genera per-plejidad y asombro quizaacutes convoque a la apertura y a la reflexioacuten y al mismo tiempo tambieacuten convoque la apari-cioacuten de un sujeto autoacutenomo capaz de ser el duentildeo de su propio saber Esto sin duda posibilitariacutea la construccioacuten de un sentido de la experiencia escolar que trascienda la mera obligatoriedad del traacutensito por las aulas
PROPUESTA METODOLOacuteGICA PARA LA CONSTRUCCIOacuteN DE COMPRENSIOacuteN
Hoy en diacutea la matemaacutetica se percibe desde una perspec-tiva dinaacutemica como campo de creacioacuten continua cuyo principal impulsor es la resolucioacuten de problemas Se con-templa como un conocimiento sometido a una revisioacuten constante que depende del contexto social cultural y cientiacutefico lo que hace que la veracidad de sus resultados y procedimientos dependa de la comunidad que la valida El conocimiento no soacutelo es producto de la mente sino tam-bieacuten producto cultural lo cual no relativiza la matemaacutetica sino que provoca un cambio de significados
Esta relacioacuten con el contexto impregna a la matemaacutetica como disciplina de una serie de valores Desde una pers-pectiva antropoloacutegica el conocimiento matemaacutetico se construye por interaccioacuten social El que aprende (el reso-lutor) debe poner en juego una serie de conocimientos previos (estructuras conceptuales estrategias generales procedimientos especiacuteficoshellip) para dar solucioacuten a una si-tuacioacuten nueva que lo interpela (problema)
Por ello la ensentildeanza de la Matemaacutetica tiene dos objetivos la aplicacioacuten al mundo cientiacutefico y social y el incremento del conocimiento formal matemaacutetico independiente de la experiencia Para dotar de sentido la actividad matemaacutetica en el aula resulta esencial vincular el conocimiento mate-maacutetico con sus usos sociales y cientiacuteficos
En general el conocimiento matemaacutetico que se ensentildea en las aulas se presenta alejado del significado y de las condi-ciones de produccioacuten y aplicacioacuten de dicho conocimiento y por ello es muy difiacutecil que los alumnos puedan adquirir un adecuado sentido matemaacutetico lo que los lleva a dife-renciar la matemaacutetica ldquode la escuelardquo y la matemaacutetica ldquode
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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la vidardquo Por eso los docentes deben redefinir el verdadero sentido y objetivos del conocimiento matemaacutetico a ense-ntildear en la escuela que difiere tanto del conocimiento ma-temaacutetico cotidiano como del conocimiento cientiacutefico La ensentildeanza de la matemaacutetica ganariacutea en significatividad si incorporase elementos de la praacutectica cotidiana a sus acti-vidades tiacutepicas ldquomaacutes formalesrdquo (Lanza y Schey 2006)
Por ello para ensentildear matemaacutetica hoy se promueve un di-sentildeo de ensentildeanza realizado desde una perspectiva cons-tructivista que cuente con las capacidades de los alumnos ldquoen buscardquo de un aprendizaje significativo Este aprendizaje soacutelo es posible a traveacutes de las intervenciones inteligentes y estrateacutegicas del docente cuando eacuteste disentildea secuencias de ensentildeanza y aprendizaje enmarcadas en una propues-ta curricular que colabore a diversificar y enriquecer las posibilidades de aprendizaje y autoaprendizaje
El constructivismo constituye una posicioacuten epistemo-loacutegica es decir referente a coacutemo se origina y tambieacuten coacutemo se modifica el conocimiento
El sujeto cognoscente construye sus propios conoci-mientos y no los puede recibir construidos de otros
Esa construccioacuten da origen a la organizacioacuten psicoloacutegi-ca pues es un proceso que tiene lugar en el interior del sujeto Sin embargo los otros facilitan la construccioacuten que cada sujeto tiene que realizar por siacute mismo El co-nocimiento es un producto de la vida social y el desa-rrollo de los instrumentos de conocimiento no puede realizarse sin la participacioacuten de los otros (en este caso los compantildeeros de clase y centralmente el docente)
El constructivismo es una posicioacuten interaccionista en la que el conocimiento es el resultado de la accioacuten del sujeto sobre la realidad y estaacute determinado por las propiedades del sujeto y de la realidad Se opone a las posiciones empiristas y a las innatistas
Frente al empirismo sostiene que el conocimiento no es una copia de la realidad exterior sino que supone una elaboracioacuten por parte del sujeto
Frente al innatismo propone que el conocimiento no es el resultado de la emergencia de estructuras prefor-madas y que no puede identificarse con un proceso de externalizacioacuten de algo interno
El constructivismo tambieacuten puede apoyarse en una teoriacutea psicoloacutegica que explique coacutemo se construye el conocimiento en cada sujeto individual La posicioacuten constructivista se refiere a un sujeto cognoscente uni-versal (el sujeto episteacutemico) y los sujetos individuales participan de esas caracteriacutesticas generales La teoriacutea psicoloacutegica tiene que tener en cuenta las diferencias individuales cosa que no resulta necesaria en una teo-riacutea epistemoloacutegica
La consecuencia de un aprendizaje eficaz en la escuela es poder reconocer las relaciones entre la matemaacutetica (cono-cimiento cientiacutefico) y la vida (conocimiento cotidiano) Por ello lo importante es situar a los alumnos en situaciones que realmente los obliguen a ldquopensar matemaacuteticamenterdquo (Lanza y Schey 2006)
En funcioacuten de lo anterior para lograr un aprendizaje sig-nificativo en Matemaacutetica hay que proponer situaciones que planteen problemas Enfrentados al problema las nociones matemaacuteticas se constituyen entonces en instru-mentos necesarios para su resolucioacuten y por lo tanto se les otorga valor y sentido Por ello un conocimiento matemaacute-tico soacutelo puede considerarse aprendido cuando se ha fun-cionalizado es decir cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situacioacuten o problema (Lanza y Schey 2006)
PROBLEMAS DE LA VIDA COTIDIANA VERSUS PROBLEMAS ESCOLARES
Los problemas matemaacuteticos escolares tienen caracteriacutesti-cas muy distintas a los problemas cotidianos
ldquo1 El problema es reconocido y definido por el propio su-jeto (por ejemplo el comprador o compradora) y no exter-namente por el profesor por ejemplo como ocurre en los problemas escolares
2 El problema estaacute socialmente contextualizado
3 Aunque la solucioacuten del problema implica una actividad matemaacutetica la finalidad no es aprender matemaacuteticas o construir conocimiento matemaacutetico
4 El problema tiene una finalidad praacutectica por ejemplo comprar el producto maacutes econoacutemico o que maacutes convenga al comprador en funcioacuten de razones que la mayoriacutea de las veces son de caraacutecter extra matemaacutetico El comprador se ldquojuega su dinerordquo realmente y no simboacutelicamente como ocurre en la escuela
5 Hay por lo tanto un nivel alto de implicacioacuten e intereacutes personal que viene dado por el contexto social de la activi-dad (comprar por ejemplo) y la finalidad praacutectica (ahorrar dinero) y no por el propio conocimiento matemaacutetico
6 La definicioacuten del problema no es definitiva de entrada Se va construyendo a medida que avanza la actividad El problema y la solucioacuten se generan simultaacuteneamente de forma que el sujeto va transformando el problema para solucionarlo
7 Las soluciones pueden ser diversas y no necesariamente exactas Una solucioacuten aproximada puede bastar a los fines del sujeto
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
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8 No hay un meacutetodo adecuado o canoacutenico para obtener la solucioacuten sino muacuteltiples meacutetodos que el sujeto puede inventar
9 El sujeto no es consciente de estar realizando una ac-tividad matemaacutetica El conocimiento matemaacutetico no estaacute expliacutecito
10 La solucioacuten estaacute condicionada o influenciada por la ex-periencia personalrdquo (Goacutemez-Granell 1997)
En contraste con estas caracteriacutesticas los problemas es-colares estaacuten maacutes orientados a aprender un meacutetodo de resolucioacuten o aplicar un algoritmo que a encontrar una solucioacuten Fomentan la descontextualizacioacuten y no la impli-cacioacuten personal La intencioacuten de trabajar con los mismos es encontrar procedimientos de resolucioacuten maacutes eficaces generando el desarrollo de nuevos esquemas de pensa-miento que faciliten y enriquezcan la actuacioacuten del sujeto sobre la realidad
Los alumnos se comportan de manera diferente cuando resuelven problemas de la vida cotidiana Crean y utilizan procedimientos en general muy alejados de los que se aprenden en la escuela La escuela debe ayudarlos a com-prender y explicitar las estructuras matemaacuteticas impliacutecitas en sus procedimientos cotidianos En la escuela se deben generar estrategias de sacar al problema ldquocotidianordquo de su contexto para tomar conciencia y poder poner en pala-bras las relaciones y estructuras matemaacuteticas que sirven para solucionarlo pero que quedan ldquoocultasrdquo en las situa-ciones de vida cotidiana Esta tarea de la escuela es abso-lutamente necesaria para lograr el cambio conceptual que significa apropiarse de las nociones matemaacuteticas (Lanza y Schey 2006)
Es evidente que un cierto tipo de conocimiento matemaacute-tico puede ser desarrollado fuera de la escuela en contex-tos sociales y a traveacutes de praacutecticas culturales Pero en la vida praacutectica ese conocimiento parece ser rutinariamente eficaz y reflexivamente intencional sin conocer las condi-ciones de su propia produccioacuten Por eso decimos que la adquisicioacuten del conocimiento matemaacutetico formal soacutelo se adquiere en la escuela donde las metas los contenidos las actividades la organizacioacuten etc son muy diferentes a los de la vida cotidiana (Lanza y Schey 2006)
El profesional o el cientiacutefico utilizan una forma peculiar de pensar que depende de su razonamiento para adqui-rir informacioacuten y utiliza la argumentacioacuten como medio de descubrimiento para resolver los problemas En cambio el nintildeo depende de su actividad en el mundo exterior para resolver los problemas utiliza una aproximacioacuten empiacuterica (Lanza y Schey 2006)
Para acercar a los alumnos a la forma de operar del cien-tiacutefico los docentes deben organizar las actividades de los nintildeos para que aprendan aquello que valoran los mate-maacuteticos cediendo progresivamente la responsabilidad al
alumno a traveacutes de un proceso de participacioacuten guiada (Lanza y Schey 2006)
Ademaacutes para lograr un aprendizaje significativo el alum-no tiene que haber construido por siacute mismo dicho conoci-miento gracias a la ayuda y la intervencioacuten oportuna del docente Asimismo los problemas tienen que motivarlo a indagar entre sus saberes previos para decidir queacute le con-viene hacer es decir cuaacuteles de los conocimientos de los que dispone puede utilizar en su solucioacuten Y si no dispo-ne del conocimiento apropiado para resolver el problema con el que se enfrenta lo tienen que conducir a la investi-gacioacuten de nuevos saberes lo que le permitiraacute revisar y re-organizar sus estructuras cognitivas (Lanza y Schey 2006)Una vez que el conocimiento ha adquirido sentido para el alumno es decir que sabe queacute estaacute haciendo y queacute quiere lograr al utilizar un determinado procedimiento tiene que validar sus producciones es decir confrontar su resolu-cioacuten con las de sus compantildeeros ponieacutendola en discusioacuten y verificando si el procedimiento es adecuado y conve-niente El alumno se aproxima a la conceptualizacioacuten de un determinado contenido en la medida en que es capaz de distinguir queacute procedimientos asociados al mismo son vaacutelidos y eficaces y cuaacuteles no lo son (Lanza y Schey 2006)Desde esta perspectiva aprender matemaacutetica es construir el sentido de los conocimientos y son los problemas y la reflexioacuten en torno a eacutestos lo que permite que los conoci-mientos matemaacuteticos se impregnen de sentido al apare-cer como herramientas para poder resolverlos Y juega un lugar fundamental la pregunta Problematizar el conoci-miento significa plantear buenas preguntas que permitan su revisioacuten y discusioacuten continua
Posibles resoluciones del antiguo problema de GeometriacuteaEl problema que se nos presenta en el diaacutelogo de Platoacuten nos remite a dos cuestiones que son propias de la mate-maacutetica que se trabaja en los uacuteltimos antildeos de la escuela pri-maria pero especialmente en la escuela media la medida y el trabajo con las propiedades de las figuras Ahora bien nos interesa analizar este problema como una situacioacuten de aula y pensar cuaacuteles pueden ser los distintos abordajes que se pueden hacer al mismo Para ello les presentamos el problema reformulado de manera tal que se pueda pre-sentar en un aula
Dado un cuadrado de lado 2 iquestes posible construir otro cuadrado que tenga el doble de la superficie
Este problema tiene dos accesos posibles uno asociado a trabajo aritmeacutetico y otro estrictamente geomeacutetrico Pen-semos el primero
Un cuadrado de lado 2 posee una superficie que es de 4 Esto es faacutecilmente calculable recuperando la foacutermula de la superficie del cuadrado que marca que la superficie del mismo es el cuadrado del valor del lado Si queremos du-plicar el aacuterea del cuadrado bastaraacute con duplicar ese valor y determinar que la superficie del mismo seraacute de 8 Pero auacuten no hemos terminado con el problema ya que lo uacutenico
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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que hemos afirmado es cuaacutel es la medida de una super-ficie equivalente al doble de la del cuadrado presentado pero resta el probar que existe un cuadrado que cumpla con esas condiciones
En este momento es cuando la reflexioacuten numeacuterica vuel-ve a aparecer al buscar la medida del lado del cuadrado cuya superficie es 8 Para ello podemos volver a recuperar la foacutermula antes propuesta y averiguar cuaacutel es el valor que elevado al cuadrado da como resultado 8 La respuesta a este problema que en un principio parece trivial nos lleva directamente al campo de los nuacutemeros reales ya que la medida correspondiente a dicho lado seriacutea radic8 Es en este momento donde podriacuteamos afirmar que existe un cuadra-do cuyo lado tiene una longitud de radic8 y que su superficie es el doble de un cuadrado cuya longitud es 2 Resulta in-teresante reflexionar sobre dos cuestiones que no pueden obviarse
Por un lado es importante tener en claro que el contexto del problema crea condiciones sobre el caacutelculo que reali-zamos ya que damos por hecho que la medida del lado esradic8 y no -radic8 Esto se debe a que la medida de un lado va a ser siempre positiva Parece una trivialidad pero es impor-tante destacar esto ya que implica recuperar el contexto de la situacioacuten modelizada para una interpretacioacuten de los resultados obtenidos a partir de la actividad matemaacutetica desarrollada
Por otro lado debemos destacar el significado del resul-tado obtenido al decir que el lado mide radic8 En este aspec-to seriacutea una discusioacuten interesante para desarrollar la de si es posible con esa informacioacuten construir el cuadrado que tenga el doble de superficie iquestCoacutemo es que podemos dibujar un lado de esa medida Una de las posibles res-puestas va a consistir en recurrir a la calculadora y de esa manera realizar una aproximacioacuten al valor y construir el cuadrado correspondiente
Ahora bien merece una reflexioacuten especial el hecho de que la longitud del cuadrado que tiene el doble de aacuterea es la misma que la de la diagonal del cuadrado original iquestValdraacute esto siempre iquestEs verdad que la diagonal de un cuadrado es el lado de un cuadrado cuya superficie es el doble del original
Veamos esto detenidamente La superficie de un cuadra-do puede calcularse mediante dos foacutermulas
o bien
De esta manera podemos afirmar que el cuadrado de lado 2 tiene por superficie 4 y que en consecuencia la diago-nal del mismo se podriacutea recuperar luego de un simple des-peje de la foacutermula antes expresada
el valor de la diagonal es radic8 Luego es faacutecil verificar que
d2
2s =s = l2
d = radic( )s2
2
un cuadrado cuyo lado es radic8 tiene una superficie de 8 (el doble del otro cuadrado)
Si pensamos en un cuadrado cualquiera cuyo lado es l1 y su diagonal es d1 podemos afirmar que la relacioacuten entre el lado y la diagonal surge de la igualacioacuten de las dos ecua-ciones antes propuestas
Quedando dentro del signo radical un valor correspon-diente al doble de la superficie del cuadrado Si tomamos a d1 como el lado del nuevo cuadrado el cuadrado de este seraacute la superficie del nuevo cuadrado
De esta manera podemos afirmar que siempre que quiera duplicar el aacuterea de un cuadrado el lado del nuevo cuadra-do seraacute la diagonal del cuadrado anterior
Pero hasta ahora este trabajo que realizamos se ha basa-do en un desarrollo aritmeacutetico casi sin recurrir a las propie-dades del cuadrado al momento de trabajar con el proble-ma Justamente este problema nos permite profundizar el trabajo con las propiedades de las figuras y a partir de ellas llegar a una respuesta que se mantenga dentro del trabajo geomeacutetrico
Es claro que al duplicar la longitud del lado se duplican las longitudes de los otros lados de manera tal que se mantenga la semejanza de las figuras trazadas Se pue-de verificar a traveacutes de una construccioacuten que al duplicar la longitud de uno de los lados el aacuterea no se duplica se cuadruplica Esta es una posible respuesta que nuestros alumnos pueden formular
= l12d12
2d1 = 2 x l12radic
2
d12 = 2 x l12radic2( )2
d12 = 2 x l12
Figura 1
Si observamos la figura 1 a partir de la construccioacuten se puede apreciar que la superficie del cuadrado construido no es el doble sino el cuaacutedruple del original
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
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D E
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G H
A
B
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Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
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F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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Figura 2
iquestSeraacute posible entonces llegar a ese cuadrado a partir de duplicar la diagonal del cuadrado
En este caso al duplicar la medida de una de las diago-nales (figura 2) se debe duplicar tambieacuten la medida de la otra diagonal y en la construccioacuten asegurarme que ambas sean perpendiculares y se corten en su punto medio Es indispensable tener en cuenta esta propiedad para que la construccioacuten sea un cuadrado
Figura 3
A
B
C
D E
F
G H
A
B
C
D
HE
F
G
J
Figura 4
Pero luego de realizar la construccioacuten se verifica nueva-mente que la superficie del cuadrado obtenido es el cuaacute-druple que el original Y tambieacuten se puede verificar que la longitud del lado es el doble de la longitud del lado del cuadrado original
Otra resolucioacuten que se puede desarrollar es dibujar un cuadrado de la misma superficie y disponerlo a continua-cioacuten del modelo presentado (Figura 3)
Figura 4
A
B
C
DH
E
F
G
J
puede afirmar que los cuatro triaacutengulos son congruentes y en consecuencia tienen la misma superficie Entonces si duplico el aacuterea de cada uno de los triaacutengulos que compo-nen el cuadrado ABCD la superficie seraacute el doble (figura 4)
En este caso la superficie que se construye es el doble de la original pero no mantiene las propiedades de la figura Esta produccioacuten erroacutenea puede ser objeto de un anaacutelisis que nos permita llegar a la construccioacuten buscada Cada cuadrado queda dividido en cuatro triaacutengulos rectaacutengulos isoacutesceles congruentes Esto se puede verificar faacutecilmente a partir de las propiedades de las diagonales del cuadrado ABH ACH CDH y BDH son rectaacutengulos en H EFI EDI FCI y CDI son rectaacutengulos en I Son isoacutesceles ya que las dia-gonales del cuadrado son congruentes y se cortan en su punto medio por lo cual los segmentos BH HC AH HD DI IF EI y IC son todos segmentos congruentes Luego se
Ahora iquestcoacutemo podemos realizar la construccioacuten de la figu-ra apoyaacutendonos en las propiedades geomeacutetricas
Para ello trazo las paralelas a las diagonales que pasan por el veacutertice opuesto a ellas El trazado de las mismas me determinan cuatro puntos en las intersecciones F G J y E (figura 5) De esta manera podemos determinar cuatro cuadrilaacuteteros AHBE AFCH HCGD y JGHD
Analicemos el cuadrilaacutetero AFCH Por construccioacuten FC es paralelo a AH y HC es paralelo a AF por lo cual es un pa-ralelogramo Como el aacutengulo AHC es rectaacutengulo (por pro-piedades del cuadrado) y por otro lado AH y HC son con-gruentes al ser H punto medio de las diagonales AD y CB del cuadrado se puede afirmar que AFCH es un cuadrado con AC diagonal del mismo que divide al cuadrado en dos triaacutengulos congruentes que tienen la misma superficie Esto se puede analizar de la misma manera para los cua-
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
Taller 4 La mitologiacutea urbana pantalla de proyeccioacuten del imaginario socialInterpretacioacuten social y correlato didaacutectico Coordinacioacuten Mabel Tarrio y Marilyn Santoro
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
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racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
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Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
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MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
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iquestEstas afirmaciones se mantienen si el paralelogramo no es isoacutescelesiquestPara queacute cuadrilaacuteteros tienen validez estas afirmaciones
BIBLIOGRAFIacuteA
bull Brousseau Guy Iniciacioacuten al Estudio de la Teoriacutea de las Situaciones Didaacutecticas Libros del Zorzal - Buenos Aires- 2007 bull Ranciegravere Jacques El Maestro Ignorante Cinco lecciones sobre la emancipacioacuten intelectual- Libros del Zorzal - Bue-nos Aires- 2007 bull Rodrigo Mariacutea Joseacute y Arnay Joseacute La construccioacuten del co-nocimiento escolar - Paidoacutes ndash Barcelona ndash 1997bull Lanza Pierina y Schey Irma Matemaacutetica en el Primer Ciclo en ldquoTodos pueden aprender Lengua y Matemaacuteticardquo ndash Educacioacuten para todos Asociacioacuten Civil ndash Unicef ndash Funda-cioacuten Noble Grupo Clariacuten ndash Bs As ndash 2006
drilaacuteteros AHBE HCGD y JGHD De esta manera se verifica que el nuevo cuadrado es el doble del cuadrado original
Ahora nos quedariacutea una pregunta maacutes por responder iquestcuaacutel es la longitud del lado del nuevo cuadrado
Miremos nuevamente la figura 5 La diagonal BC es para-lela y congruente a los lados EF y JG La misma relacioacuten se puede encontrar entre la diagonal BC y los lados EF y JG De esta manera la longitud del lado del nuevo cuadrado es congruente con la diagonal del cuadrado original Lo importante de esta conclusioacuten a la que llegamos es que al apoyarnos en las propiedades de las figuras no solo lo hemos probado para el cuadrado en cuestioacuten sino que las relaciones que hemos demostrado tienen validez para cualquier par de cuadrados
Si la superficie de un cuadrado es el doble de la superficie de otro la longitud del lado del de mayor superficie es la diagonal de la otra figura
Si la diagonal de un cuadrado es lado de otro cuadrado la superficie del primero es la mitad de la superficie del segundo
Finalmente dejamos un nuevo problema que tiene ca-racteriacutesticas similares y que puede servir para reflexionar un poco maacutes sobre este pensar los problemas de medida desde una perspectiva basada en el trabajo con las pro-piedades
Dentro de la misma liacutenea podriacuteamos analizar el siguiente problema
Dado un trapecio isoacutesceles ABCD con AB y CD bases del mismo si se coloca un punto E sobre una de las bases del trapecio analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
La diferencia entre la superficie verde y la celeste es constanteLa superficie celeste variacutea seguacuten la ubicacioacuten del punto ESi el punto E coincide con alguno de los veacutertices opuestos la superficie celeste y la verde son igualesLa superficie celeste es siempre mayor que la superficie verde
A B
D CE
Pierina Lanza
Profesora en Matemaacutetica Es docente del nuacutecleo de Matemaacutetica Nivel Primario y Medio en la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA y docente de Matemaacutetica I S ldquoJoaquiacuten V Gonzaacutelezrdquo Coordina el Postiacutetulo ldquoAlfabetizacioacuten cientiacutefica y escuelardquo CePA GCBA
Federico Maloberti
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
Fabiaacuten Goacutemez
Profesor en Matemaacutetica docente del nivel secundario y terciario en la Escuela Superior Normal N 2 ldquoMariano Acostaldquo Miembro de la Escuela de Capacitacioacuten CePA GCBA
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Del saber social y personal al saber a ensentildear
Fecha y lugar de realizacioacutenSaacutebado 7 y domingo 8 de noviembre de 2009 Zapiola 955 (entre Ceacutespedes y Palpa) Escuela del aacuterbol Bordm ColegialesCiudad de Buenos Aires Este encuentro propone un intenso estado de inmersioacuten en un tema es-peciacutefico Se trata de sumergirse como usuarios en praacutecticas linguumliacutesticas matemaacuteticas y artiacutesticas Esta inmersioacuten es un factor esencial que permi-te reflexionar sobre la ensentildeanza desde otra mirada Lo mismo sucede al analizar los objetos matemaacuteticos a ensentildear desde una perspectiva histoacutericaEl estado de inmersioacuten linguumliacutestico histoacuterico-matemaacutetico yo artiacutestico dura-raacute seis horas (saacutebado de 930 hs a 1230 hs y de 1430 hs a 1730 hs) y la consecuente reflexioacuten didaacutectica sobre los mismos temas tres horas (do-mingo de 930 hs a 1230 hs)A continuacioacuten se enuncian las propuestas de cada taller y se indican sus profesores responsables En Anexo podraacuten consultar una siacutentesis de los mismos y los antecedentes profesionales de cada coordinacioacuten
Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
Taller 3 Leer ldquotras las liacuteneasrdquo lectura criacutetica de la prensaCoordinacioacuten Mariacutea Elena Rodriacuteguez y Mirta Torres
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
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Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
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MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
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Taller 1 De las praacutecticas sociales a las praacutecticas escolares de lectura en Internet Coordinacioacuten Flora PerelmanEquipo Vanina Esteacutevez y Paula Capria
Taller 2 Participar de lo artiacutestico como usuarios y como ensentildeantesCoordinacioacuten Ana SiroEquipo Priscila Migale Javier Maidana Alejandro Goacutemez Ferrero Juan Ignacio Gonzaacutelez Dariacuteo Reynoso Tania De Cristoacuteforis Gonzalo Tobal
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geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
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cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
- Parte 2 domingo Relaciones entre nuacutemeros naturales El trabajo de-ductivo en el 2ordm ciclo de la escuela primaria Coordinacioacuten Cecilia Wall Adriana Castro y Mariacutea Moacutenica Becerril
Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
Inscribirse personalmente o reservar por teleacutefono o mail y hacer depoacutesi-to enBanco Ciudad Suc 7 Caja de Ahorro Nordm 03013380 CBU 0290007010000030133807 Enviar por fax comprobante del banco y datos de quien se inscribe Llamar antes para confirmar vacante
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Para seguir leyendo
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MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
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ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
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Taller 5 Reflexiones sobre un programa de literatura en los medios ldquoVer para leerrdquoCoordinacioacuten Mariacutea Ineacutes Bogomolny e Iris Rivera
Taller 6 El estudio de la geometriacutea- Parte 1 saacutebado Exploracioacuten conjeturas y deducciones en el trabajo
geomeacutetricoCoordinacioacuten Heacutector Ponce Mercedes Etchemendy y Moacutenica Urqui-za
- Parte 2 domingo La ensentildeanza de la geometriacutea en 2do ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Moacutenica Escobar e Ineacutes Sancha
Taller 7 El estudio de los nuacutemeros naturales- Parte 1 saacutebado Problemas numeacutericos en distintos momentos histoacuteri-
cos Coordinacioacuten Horacio Itzcovich
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Taller 8 El estudio de los nuacutemeros racionales- Parte 1 saacutebado Explorar el uso y el funcionamiento de los nuacutemeros
racionalesCoordinacioacuten Veroacutenica Grimaldi y Graciela Zilberman
-Parte 2 domingo La ensentildeanza de los nuacutemeros racionales en el 2ordm ciclo de la escuela primariaCoordinacioacuten Mariacutea Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno
Valor de la Inscripcioacuten$ 130 en el mes de Septiembre$ 150 en los de meses de Octubre y Noviembre InscripcioacutenAv Corrientes 2835 Cuerpo A 5ordm Piso A (1193) Capital FederalTelefax 4962-1330 4961-1824 (12 a 18 hs Srta Paula) E-mail pabretinaar
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INICIACIOacuteN AL ESTUDIO DIDAacuteCTICO DE LA GEOMETRIacuteA de Horacio Itzcovich Editorial Libros del Zorzal
RAZONES PARA ENSENtildeAR GEOMETRIacuteA EN LA EDUCACIOacuteN BAacuteSICA de Ana Mariacutea Bressan Beatriz Bogisic y Karina Crego Editorial Novedades Educativas
MATEMAacuteTICA PARA LOS MAacuteS CHICOS DISCUSIONES Y PROYECTOS PARA LA ENSENtildeANZA DEL ESPACIO LA GEOMETRIacuteA Y EL NUacuteMERO de Adriana Castro y Fernanda Penas Editorial Novedades Educativas
ldquoLa geometriacutea como medio para ldquoentrar en la racionalidadrdquo una secuencia para la ensentildeanza de los triaacutengulos en la escuela primariardquo de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich en 12(ntes) Ensentildear Matemaacutetica Nivel Inicial y Primario Nordm4
ldquoEnsentildeanza de la geometriacuteardquo de Silvia Altman Claudia Comparatore y Liliana Kurzrok en 12(ntes) Primer Ciclo Nordm3
LIBROS
ARTIacuteCULOS
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Direccioacuten de Educacioacuten General Baacutesica Prov Bs As (2001) Orientaciones di-daacutecticas para la ensentildeanza de la Geometriacutea en EGB Documento Nordm 301Disponible en wwwabcgovar
Matemaacutetica Documento de trabajo Nordm5 La ensentildeanza de la geometriacutea en el se-gundo ciclo Disponible en wwwbuenosairesgovar
La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
Artiacuteculos y documentos online
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La geometriacutea en el Jardiacuten de Infantes En buacutesqueda de su sentido de Susana Mariacutea Pacheco y Mariacutea Ineacutes Garciacutea Asorey e- Eccleston Temas de Educacioacuten Infantil Antildeo 4 Nuacutemero 9 1deg Cuatrimestre de 2008
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