Distribuciones de probabilidades de variables aleatorias discretas JuanEspinozaB. Facultad de Agronoma Universidad deConcepcin Introduccin Comosehasealadoenartculosanteriores,loseventosexperimentalesdemayorinters confrecuenciasonnumricos,esdecir,realizamosunexperimentoyobservamoselvalor numrico de alguna variable. Si repetimos el experimento n veces, obtenemos una muestra dedatoscuantitativos.Comoejemplo,supongamosqueunproductofabricadoenuna empresa, se vende en lotes de 20 cajas, cada una de las cuales contiene 12 artculos. A fin de verificar la calidad del producto, el jefe de control de procesos de la empresa selecciona alazarcuatrodeentrelos240artculosdeunloteydeterminasilosartculosestn defectuososono.Simsdeunodelosartculosmuestreadosresultadefectuoso,se rechazar todo el lote. La seleccin de cuatro artculos fabricados de entre 240 produce un espacio muestral que contiene |||

\|4240eventossimples,cadaunodeloscualescorrespondeaunaposible combinacindecuatroartculosquepodranseleccionarsedellote.Eleventodeinters paraeljefedecontroldeprocesoseslaobservacindelavariableXnmerodeartculos defectuosos entre los cuatro que se prueban, por lo tanto existe una relacin funcional entre los eventos simples Ei de y los valores que puede asumir X. Eleventox=0eslacoleccindetodosloseventossimplesquenocontienenartculos defectuosos.De forma similar, el evento x = 1 es la coleccin de todos los eventos simples en lo que se observa un artculo defectuoso.Puesto que el valor que X puede asumir es un evento numrico, que vara de forma aleatoria de una repeticin del experimento a otra, se dice que X es una variable aleatoria.

Conceptos bsicos Unavariablealeatoriaesunafuncinquecuantificalosresultadosdeunexperimento aleatorio.UnavariablealeatoriadiscretaXslopuedeasumirunacantidaddevalores susceptible de contarse.En estadstica la distribucin de probabilidadpara una variable aleatoriadiscretaXesunatabla,grficaofrmulaquedalaprobabilidadP(X=x) asociadaacadaposiblevalordeX.Siconsideremoselexperimentodelanzardosveces una moneda balanceadayse observa el nmeroXde caras. Calculemos la distribucin de probabilidad para X.Sean Ci y Si laobservacinde una cara y un sello, respectivamente, enelisimolanzamiento,parai=1,2.Loscuatroeventossimplesylos correspondientes valores de X se muestran en la tabla 1. Evento SimpleDescripcinP(Ei)Nmero de caras X E1 E2

E3

E4 C1C2 C1S2 S1C2

S1S2 2 11 0 Elevento x = 0 es la coleccin de todos los eventos simples que producen un valor de x = 0 enestecasoeselnicoeventoE4,luegolaprobabilidaddequexasumaelvalorceroes:P(x = 0) = p( 0 ) = P(E4) = 41. El evento x = 1 contiene dos eventos simples,E2 y E3.Por tanto, P(x = 1) = p( 1)= P(E2) + P(E3) = 41 + 41 = 21.Por ltimo,P(x = 2)= p( 2 ) = P(E1)= 41.La tabla 2, muestra la distribucin de probabilidad para x.Xp(x) 012 =xx p 1 ) (Como se ver ms adelante, esta distribucin de probabilidad tambin puede calcularse con la frmula 42) (|||

\|=xx p , usando la distribucin binomial.Requisitos para una distribucin de probabilidad discreta 1.0 p(x) 12. =todaxx p 1 ) (Esperanza.Seaxunavariablealeatoriadiscretacondistribucindeprobabilidadesp(x).Entonces el valor esperado o medio de x es = =todaxx xp x E ) ( ) ( Varianza.Seaxunavariablealeatoriadiscretacondistribucindeprobabilidadesp(x).Entonces, la varianza de xes[ ]2 2 2 2) ( ) ( = = x E x E .Ladesviacin estndar de x es la raz cuadrada positiva de la varianza de x. Distribucin Bernoulli Una prueba o experimento Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamente excluyentes, que generalmente se denotan S (xito) yF (fracaso). Por ejemplo, al seleccionar un objeto para control de calidad puede ocurrir quesea defectuoso o no lo sea.Elespacio muestral , de un experimento Bernoulli consta de dos resultados = { xito, fracaso} sea Supongamos que p es la probabilidad de observar un xito en un ensayo Bernoulli,donde 0< p < 1. La distribucin de probabilidad de la variable aleatoria (v. a) . Bernoulli, est dada por: P(x = 1) = p, P(x = 0) = 1 p = q La distribucin de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli X est dada por:

X Bernoulli (p) Si X~ Bernoulli (p), entonces E(X) = 0q + 1 p = p Var(X) = E(X2) E(X)2 = E(X2) 2= = 02 q + 12 p p2 = p( 1 p) = pq Var(X) = pq Ejemplo Si X ~ Bernoulli(1/3)P(x) = (1/3)x(2/3)1 x entonces p = 1/3yq = 2/3,luegoE(X) = 1/3yVar(X) = 2/9 UnavariablealeatoriadeBernoulli,porssola,tienepocointersenlasaplicacionesde ingenierayciencias.Encambio,larealizacindeunaseriedepruebasdeBernoulli conduce a varias distribuciones de probabilidad discretas bien conocidasy tiles. La distribucin de probabilidad binomial Muchosexperimentosenlavidarealconsistenenefectuarunaseriedepruebasde Bernoulliysonanlogosallanzamientodeunamonedanobalanceadaunnmeronde veces. Suponga que el 20% de los artculos que produce una mquina son defectuosos.En este caso seleccionar una muestra aleatoria de 10 artculos y analizarlos para determinar si sondefectuososseraanlogoalanzarunamonedanobalanceada10veces,siendola probabilidaddeobtenerunacara(artculodefectuoso)enunasolapruebaiguala0,20. =fracaso es si 0xito es si 1) (www X1 , 0; ) (1= = =x q p x X Px x Lasencuestasdeopininpblicaopreferenciasdelosconsumidoresquegenerandos respuestas(sono,apruebaodesaprueba,etc.)tambinsonanlogasalexperimentode lanzar un moneda no balanceada si el tamao N de la poblacin es grande y el tamao de la muestra n esrelativamentepequeo, digamos 0,10No menos.Todosestos experimentos son ejemplos particulares de un experimento binomial. Experimento binomial es aquel experimento generado por n ensayos Bernoulli independien tes, donde cada ensayo tiene igual probabilidad de xito p, 0 < p < 1 = 1 x 2 x. . . x n ; i = { xito, fracaso }. Sea X = nmero de xitos en n ensayos Bernoulli, entonces el recorridode X es RX = { 0, 1, 2, . . . , n } . La distribucin de probabilidad para X es: Observaciones 1) 2)Si X ~ Binomial (n, p), entonces E(X) = npVar(X) = npq Ejemplo Unagente de seguros vende plizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, laprobabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 aos ms es de 3/5.Determinar la probabilidad de que dentro de 30 aos vivan: 1.Los cinco individuos. 2.Al menos tres. 3.Slo dos. 4.Al menos uno. Solucin Estamos frentea una variable Bernoulli ya que dentro de 30 aos se pueden presentar dos situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomialcon n = 5, p = 0, 6X ~ B(5, 0,6). 1.Debemos calcular P(X = 5) ( )0,1, 2,. . .,x n xnP X x p q x nx||= = =|\0 0( )( ) 1n nn k n k n x n xk xn na b a b p q p qk x = =|| ||+ = + = =| |\ \ 5 4 3 2 1 04 , 0 6 , 05) (5, , , , , x xx X Px x=|||

\|= =07776 , 0 4 , 0 6 , 055) 5 (0 5=|||

\|= = X P 2.Debemos calcular P(X 3), o lo que es lo mismo, 1 P(X < 3) = 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) =1 0,01024 0,0768 0,2304 = 0,68256 3.P(X = 2) = 0,2304 4. P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 0,01024 = 0,98976 Ejemplo Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varn es 0,51. Hallar la probabilidad de que una familia con seis hijos tenga: 1.Por lo menos un nio. 2.Por lo menos una nia. Solucin Si X es la variable nmero de hijos varones en una familia de seis hijos, estamos frente a una variable binomialconn = 6y p = 0,51. 1.Debemos calcular P( X 1) = 1 P( X = 0) 2.Debemos calcular P(X5) = 1 P(X = 6) La distribucin Poisson Fueintroducidaen1837porelmatemticofrancsSimenDennisPoisson(1781-1840).LadistribucindePoissonseutilizacomodistribucindelasocurrenciasdeun fenmenoenunaunidaddetiempo.Tambinseutilizacomomodelodelnmerode defectosodisconformidadesqueocurrenenunaunidaddeproducto.Enrealidad, cualquierfenmeno aleatorio que ocurre por unidad(de rea, de volumen, de tiempo etc.)sepuede aproximar bien, en la mayora de los casos,porlaley de Poisson.Tambin se utiliza en el diseo de lmites de control de los diagramas p en control de calidad. Caractersticas de una variable aleatoria Poisson 1.Elexperimentoconsisteencontarelnmeroxdevecesqueocurreuneventoen particular durante una unidad de tiempo dado, o en un rea o volumen (o peso, distancia o cualquier otra unidad de medida) dada. 9862 , 0 ) 49 , 0 ( ) 51 , 0 (061 ) 0 ( 16 0=|||

\| = = X P9824 , 0 ) 49 , 0 ( ) 51 , 0 (661 ) 6 ( 10 6=|||

\| = = X P 2.Laprobabilidaddequeuneventoocurraenunaunidaddadadetiempo,reao volumen es la misma para todas las unidades. 3.Elnmerodeeventosqueocurrenenunaunidaddetiempooreaovolumenes independiente del nmero de los que ocurren en otras unidades. 4.Elnmeromedio(oesperado)deeventosencadaunidadsedenotaporlaletra griega lambda, . La distribucin de probabilidad Poisson La distribucin de probabilidades par una variable aleatoria Poisson est dada por Donde, = es el nmero de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o volumen. e = 2,71828... la media y la varianza de la variable aleatoria Poisson son Media = E(X) = , Varianza2 = Var(X) = Ejemplo El nmero de accidente por semana en una fbrica sigue una distribucin Poisson de parmetro = 2.Calcular: 1.La probabilidad de que en una semana haya algn accidente. 2.La probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas. 3.La probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente. 4.Si sabemos que ha habido un accidente hallar la probabilidad de que en esa semana no haya ms de tres accidentes. Solucin 1.SiXes la v. a. nmero de accidentes por semana, sabemos que se ajusta a un modelo Poisson con = 2,entonces 2.SiXeselnmerodeaccidentesenlaprimerasemanaeYeselnmerodeaccidentesenlasegundasemana,estamosantedosvariablesindependientes Poisson de parmetro = 2,debemos calcular P( X + Y = 4),pero la variable X + Y es una variable Poisson de parmetro = 2+2 = 4, luego se tiene que: ( ) 0,0,1, 2, 3,...!xeP X x xx= = > =022( 0) 1 ( 0) 1 0, 86460!P X P X e> = = = =4 44( 4) 0,19544!eP X Y+ = = = 3.Debemos calcular la probabilidad de la interseccin de dos sucesos independientes P( X = 2) P( Y = 2) = P( X = 2) P( Y = 2) 4.Debemos calcular la siguiente probabilidad condicionada Aproximacin de la distribucinBinomial usando la distribucin Poisson LadistribucindeprobabilidadPoissonestrelacionadaconunadistribucinde probabilidadbinomialcuandonesgrandey=np7,ypuedeutilizarsecomo aproximacin Ejemplo Laproporcindealumnosdeundistritouniversitarioconcalificacindesobresalientees de 0,005%.Determinar la probabilidad de que entre5000 alumnos seleccionados al azar haya dos con calificacin media sobresaliente. Solucin TericamentelavariableXdefinidaporelnmerodealumnos(deentrelos5000)que tienenunacalificacinmediasobresalienteesunavariablebinomialconn=5000yp= 0,00005.La probabilidad pedida es P(X = 2), pero deberamos calcular que es difcil de calcular; sin embargo comonp = 0,25 < 5 y p < 0,1,podemos aproximar la variable binomial X~(5000, 0,00005) por una variablePoissonde parmetro = np = 0,25. Los clculos se muestran a continuacin.

Se observa que difieren en la sexta cifra decimal, es decir alrededor de las millonsimas. 2 2 2 22 20, 07332! 2!e e = =2 2 2 2 32 0(1 3)( 3/ 1)( 1)2 2 21! 2! 3!0, 8348210!P XP X XP Xe e ee =+ += =024334938 , 0) 00005 , 0 1 ( ) 00005 , 0 (25000) 2 (2 5000 2=|||

\|= =X P0243337524 , 0! 225 , 0) 2 (225 , 0= = =e X P Distribucin Binomial Negativay Geomtrica Consideremos una serie de ensayos Bernoulli independientes ysear el nmero exacto de vecesqueapareceelsucesoAdeprobabilidadp.LavariablealeatoriaX,quedenotael nmerodefallosantesdelr-simoxito,tienedistribucinBinomialNegativa.La variable binomial negativa tambin suelecaracterizarse como eltiempo de espera hasta eln-simoxito,yseaplicaenestudiosdefiabilidadyensituacionescclicasdondese alternan xitos y fracasos. X~ Bin-Neg(r, p)RX = {r, r +1, r + 2, . . .} La distribucin de probabilidades est dada por: Donde p = probabilidad de xito en una sola prueba Bernoulli, q = 1 p x= nmero de pruebas hasta que se observa el r simo xito.la media y la varianza de la variable aleatoria binomial negativa son Media = E(X) = pr, Varianza2 = Var(X) = 2prq La distribucin de probabilidad binomial negativa es una funcin de dos parmetros, p y r.Paraelcasoespecialenquer=1,ladistribucindeprobabilidaddexsedenomina distribucin de probabilidad geomtrica. 1) (=xpq x px = 1, 2, 3, ... dondex = nmero de pruebas hasta que se observa el primer xito. Media = E(X) = p1, Varianza2 = Var(X) = 2pq Ejemplo Un fabricante utiliza fusibles elctricos en un sistemaelectrnico.Los fusibles se compran enlotesgrandesysepruebansecuencialmentehastaqueseobservaelprimerfusible defectuoso.Suponga que el lote contiene 10% de fusibles defectuosos: a.Quprobabilidadhaydequeelprimerfusibledefectuososeaunodelosprimeros cinco fusibles probados? b.Calculelamedia,lavarianzayladesviacinestndardex,elnmerodefusibles probados hasta observarse el primer fusible defectuoso. Solucin a. El nmero x de fusibles probados hasta observarse el primer fusible defectuoso, es una variable aleatoria geomtrica con p =0,1 (probabilidad de que un solo fusible sea defectuoso) 1( ) , 1, 2,...1r x rxP X x p q x r r rr | |= = = + + |\ q = 1 p = 0,9y . 0,1,2,3,..x(0,1)(0,9)) (1 - x1= == xpq x p La probabilidad de que elprimer fusibledefectuoso sea uno de los primeros cinco fusibles probados es 41 , 0 (0,1)(0,9) (0,1)(0,9) (0,1)(0,9) (0,1)(0,9) (0,1)(0,9)) 5 ( ... ) 2 ( ) 1 ( ) 5 (4 3 2 1 0= + + + + =+ + + = p p p x p b.La media, la varianza y la desviacin estndar de esta variable aleatoria geomtrica son 101 , 01 1= = =p901 , 09 , 02 22= = =pq49 , 9 902= = = Bibliografa 1.William Mendenhall/ TerrySincich.Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias. Editorial Prentice Hall,1997. Cuarta Edicin. 2.Murray R.Spiegel.Estadstica.Editorial McGrawHill. 1995. 3.Webster, Allen.Estadstica Aplicada. Editorial McGrawHill. 2001. 4.Mora/ Cid/Valenzuela.Probabilidades y Estadstica.Universidad de Concepcin. 1996.