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12 Vetores e a Geometria

do Espao

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12.6 Cilindros e Superfcies

Qudricas

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Cilindros e Superfcies Qudricas

J olhamos para dois tipos especiais de superfcies planos e esferas. Aqui, estudaremos outros dois tipos de

superfcies cilindros e superfcies qudricas.

Para esboar o grfico dessas superfcies til determinar

a interseco da superfcie com planos paralelos aos

planos coordenados. Essas curvas so denominadas

cortes (ou seces transversais) da superfcie.

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Cilindros

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Cilindros

Um cilindro uma superfcie constituda de todas as retas

(chamadas geratrizes) que so paralelas a uma reta dada

e que passam por uma curva plana.

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Exemplo 1

Esboce o grfico da superfcie z = x2.

SOLUO: Observe que a equao do grfico, z = x2, no

envolve y. Isto significa que qualquer plano vertical com a

equao y = k (em paralelo com o plano xz) intersecta o

grfico de uma curva com a equao z = x2. Os cortes

verticais so, portanto, parbolas.

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Exemplo 1 Soluo

A Figura 1 mostra como o grfico formado tornando a

parbola z = x2 no plano xz e movendo-se na direo do

eixo y. O grfico uma superfcie chamada de cilindro

parablico, constituda por um nmero infinito de cpias

deslocadas da mesma parbola. Aqui, as geratrizes do

cilindro so paralelas ao eixo y.

continuao

A superfcie z = x2 um cilindro parablico.

Figura 1

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Cilindros

Observamos que a varivel y no aparece na equao do

cilindro do Exemplo 1. Esse fato comum s superfcies

cujas geratrizes so paralelas a um dos eixos

coordenados. Se uma das variveis x, y ou z est faltando

na equao da superfcie, a superfcie um cilindro.

OBSERVAO Quando estamos tratando de superfcies,

importante reconhecer que uma equao como

x2 + y2 = 1 representa um cilindro e no uma

circunferncia. O corte desse cilindro x2 + y2 = 1 no plano

xy a circunferncia de equaes x2 + y2 = 1, z = 0.

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Superfcies Quadrticas

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Superfcies Quadrticas

Uma superfcie qudrica o grfico de uma equao de

segundo grau nas trs variveis x, y e z. A equao mais

geral

onde A,B,C,, J so constantes, mas por rotao e translao essa equao pode ser posta em uma de duas

formas padro

Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 + By2 + Iz = 0

As superfcies qudricas so as correspondentes

tridimensionais das cnicas no plano.

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Exemplo 3

Utilize cortes para fazer o esboo da superfcie qudrica

com equao

SOLUO: Substituindo z = 0, determinamos que o corte

no plano xy x2 + y2 /9 = 1, que reconhecemos ser a

equao de uma elipse. Em geral, o corte horizontal no

plano z = k

que uma elipse, desde que k2 < 4, seja, 2 < k < 2.

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Exemplo 3 Soluo

Da mesma forma, os cortes verticais tambm so elipses:

(se 1 < k < 1)

(se 3 < k < 3)

continuao

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Exemplo 3 Soluo

A Figura 4 mostra como desenhar alguns cortes para

indicar a forma da superfcie. Essa superfcie chamada

elipsoide, visto que todos os seus cortes so elipses.

Observe a simetria em relao a cada plano coordenado;

isto reflexo do fato de s aparecerem potncias pares

de x, y e z.

continuao

Figura 4

Elipsoide

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Exemplo 4

Utilize cortes para esboar a superfcie z = 4x2 + y2.

SOLUO: Impondo x = 0, obtemos z = y2, de forma que o

plano yz intercepta a superfcie em uma parbola.

Impondo x = k (uma constante), obtemos z = y2 + 4k2. Isso

significa que, se cortarmos o grfico por qualquer plano

paralelo ao plano yz, obteremos uma nova parbola com

concavidade para cima. Da mesma forma, tomando y = k,

o corte z = 4x2 + k2, que corresponde novamente a uma

parbola com concavidade para cima.

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Exemplo 4 Soluo

Tomando z = k, obteremos os cortes horizontais

4x2 + y2 = k, que reconhecemos como uma famlia de

elipses. Sabendo as formas dos cortes, podemos esboar

o grfico na Figura 5. Pelo fato de os cortes serem

parbolas e elipses, a superfcie qudrica z = 4x2 + y2

denominada um paraboloide elptico.

continuao

Figura 5

A superfcie z = 4x2 + y2 um paraboloide elptico. Os

cortes horizontais so elipses e os cortes verticais so

parbolas .

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Exemplo 5

Esboce a superfcie z = y2 x2.

SOLUO: Os cortes nos planos verticais x = k so

parbolas z = y2 k2, com concavidade para cima. Os cortes em y = k so parbolas z = x2 + k2, com concavidade para baixo. Os traos horizontais so

y2 x2 = k, uma famlia de hiprboles.

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Exemplo 5 Soluo

Na Figura 6 desenhamos esses cortes e mostramos como

eles aparecem quando colocados nos planos corretos na

Figura 7.

continuao

Figura 6

Os cortes verticais so parbolas; os cortes horizontais so

hiprboles. Todos os cortes so identificados por um valor de k.

Cortes em x = k

so z = y2 k2 Cortes em z = k

so y2 x2 = k Cortes em

y = k so z = x2 + k2

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Exemplo 5 Soluo continuao

Cortes em x = k Cortes em y = k Cortes em z = k

Cortes movidos para seus planos corretos

Figura 7

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Exemplo 5 Soluo

Na Figura 8 colocamos juntos os cortes da Figura 7 para

formar a superfcie z = y2 x2, um paraboloide hiperblico. Observe que o formato da superfcie perto da

origem se assemelha a uma sela.

continuao

A superfcie z = y2 x2 um paraboloide hiperblico.

Figura 8

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Exemplo 6

Esboce a superfcie

SOLUO: O corte em qualquer plano horizontal z = k a

elipse

z = k

mas os cortes nos planos xz e yz so as hiprboles

y = 0 e x = 0

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Exemplo 6 Soluo

Essa superfcie chamada hiperboloide de uma folha e

est esboada na Figura 9.

continuao

Figura 9

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Superfcies Quadrticas

A ideia de usar os cortes para desenhar a superfcie

empregada em programas de computadores que fazem

grficos tridimensionais. Na maioria desses programas, os

cortes nos planos verticais x = k e y = k so desenhados

para valores de k, igualmente espaados, e partes do

grfico so eliminadas utilizando-se a tcnica de remover

linhas escondidas.

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Superfcies Quadrticas

A Tabela 1 mostra

grficos de computador

de seis qudricas

bsicas na

na forma padro .

Todas as superfcies so

simtricas em relao

ao eixo z. Se uma

qudrica simtrica

em relao a um eixo

diferente, sua equao

se modifica de modo

apropriado. Tabela 1 Grficos de Superfcies Qudricas

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Aplicaes de Superfcies

Quadrticas

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Aplicaes de Superfcies

Quadrticas Exemplos de superfcies qudricas podem ser encontrados

no mundo a nossa volta. De fato, o mundo propriamente

dito um bom exemplo. Embora a Terra seja usualmente

modelada como uma esfera, um modelo mais preciso um

elipsoide, pois a rotao da Terra causa um achatamento

nos polos.

Paraboloides circulares, obtidos pela rotao de uma

parbola em torno de seu eixo, so usados para coletar e

refletir luz, som e sinais de rdio e televiso. Em um

radiotelescpio, por exemplo, sinais das estrelas distantes

que atingem a bacia so todos refletidos para o receptor

no foco e assim amplificados.

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Aplicaes de Superfcies

Quadrticas O mesmo princpio se aplica a microfones e antenas de

satlite na forma de paraboloides.

Torres de resfriamento para reatores nucleares so

usualmente projetadas na forma de hiperboloides de uma

folha, por razes de estabilidade estrutural. Pares de

hiperboloides so usados para transmitir movimento de

rotao entre eixos transversais.