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TEORIA DE COLAS
Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:
Camiones esperando ser cargados
Vehículos esperando continuar su camino, ante un semáforo en rojo,
Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
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TEORIA DE COLAS Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad
tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.
Los Análisis de Colas relacionan:
la longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola, Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el carguío de palas a camiones, el control de las operaciones en planta, etc.).
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TEORIA DE COLAS Desde la perspectiva de la Investigación de
Operaciones, los camiones que esperan ser cargado por la pala o las palas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.
Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.
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TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera Los Administradores reconocen el equilibrio que debe
haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.
Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.
Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO
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TEORIA DE COLAS Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio
Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio
Costo por TIEMPO DE ESPERA
Costo por proporcionar el SERVICIO
Costo
Costo Total Mínimo
COSTO TOTAL ESPERADO
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TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio
Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.
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TEORIA DE COLAS Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de
tiempo perdido en las líneas de espera.
Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.
En ciertos servicios , el costo de la espera puede ser intolerablemente alto. (costo de mantenimiento)
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TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA
Una cola de espera está compuesta de tres elementos:
1. Arribos o ingresos al sistema
2. Disciplina en la cola
3. Servicio
Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.
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TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA
1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:
La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales:
a. Tamaño de la población que arriba
b. Patrón de llegada a la cola
c. Comportamiento de las llegadas.
1.a.Tamaño de la Población:
El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o
limitado (finito). 842
TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA
1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:
1.a. Tamaño de la Población:
Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado.
LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.
Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los camiones a cancha de stock
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TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA
1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.b. Patrón de arribo al sistema:
Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un camión cada 4 minutos) o de una manera aleatoria.
Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.
Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.
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TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA
1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: DISTRIBUCION DE POISSON:
P(x) = Probabilidad de x arribos
x= número de arribos por unidad de tiempo
= data promedio de arribo
. e = 2.71828
,...4,3,2,1,0_!
xparax
exP
x
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TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO
PR
OB
AB
ILID
AD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO =
4
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO
PR
OB
AB
ILID
AD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
3.1. Configuraciones básicas para el Servicio
SERVIDOR
COLA
ARRIBOS
SISTEMA UN CANAL, UNA FASE
SALIDAS
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TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas
3.1. Configuraciones básicas para el Servicio
SISTEMA MULTICANAL UNA FASE
ARRIBOS
COLA CANAL 1
CANAL 2
CANAL 3
SALIDAS
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TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas 3.2. Distribución del Tiempo de Servicio
Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.
I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros).
II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la
forma e-x para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson.
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TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para
balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.
Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola
2. Longitud de cola promedio
3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).
4. Número de clientes promedio en el sistema.
5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
6. Factor de utilización del sistema
7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.
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TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Nomenclatura:
λ : tasa de arribos (núm. promedio de camiones que llegan por unidad de tiempo)
μ : número promedio de servicios de carga por unidad de tiempo
P = λ / μ : factor de utilización del sistema
p > 1 : Los clientes son más que los que el servicio que puede atender
s : tiempo de servidores que se pueden agregar al sistema
P = λ / sμ < 1 : Condición para que el sistema esté saturado
Ts : tiempo de espera en cola
Tw : tiempo de está en la cola, más el tiempo que permanece en
el servicio= tiempo en el sistema
L : Número de camiones esperando en la cola
W : Número promedio de camiones en el sistema= n° cola +
en carga
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TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas
Pm(t): función de probabilidad de encontrarse “m”
camiones en el sistema y m-s en la cola
Po(t): función de probabilidad de no encontrarse
camiones en la cola
Cs : N° esperado de camiones que no requieren
servicio( no están en la cola ni en carga)
μs: Utilización promedio de cada uno de los “s”
servidores (s≥ 1) palas dado cierto % de tiempo
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TEORIA DE COLAS Una cola – un servidor – población infinita
Número esperado de cliente o camiones a los que se les proporcionará un servicio en un unidad de tiempo.
Bs= 1 - Po(t) = P
Probabilidad de que el N° de camiones en el sistema W, sea mayor a Z
P(W > Z ) = P Z+1 , W > Z
Probabilidad de que la espera total en la cola Ts, sea mayor a “g” unidades de tiempo.
P(Ts > g ) = P ℮-u(1-P)g , g > 0
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Una cola – un servidor – población infinita Probabilidad de que la espera total Tw, sea mayor a “h” unidades de tiempo
P(Tw > h) = ℮-u(1-P)h , h > 0
Ts= λ /μ(μ – λ)
Tw =Ts +1/μ
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Una cola – un servidor – población finita
Donde “m” es la población total de camiones que pudieran requerir un servicio de carga y “n” camiones de esa población que piden ese servicio de carga
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Una cola – servidores múltiples – población infinita
Sean “S” los servidores en paralelo >1. Ahora como son múltiples los servidores para que no se generen filas infinitas se debe verificar que
(λ/sμ) < 1.
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Una cola, un servidor población infinita La llegada de camiones a una pala que carga material de baja ley es de 5 camiones (λ) /hora, mientras que los tiempos de carga son de 7 camiones /hora (μ). Sólo se puede cargar un camión a la vez y se
carga por orden de llegada. Encontrar Po(t), Ts, Tw, L, W, Bs, W>3, Ts>0,75 horas, Tw>1 hora.
Po(t)= 1 – (5/7)= 0,29 , Ts= λ /μ(μ – λ)= 5/(7(7-5))=0,36
Tw =Ts +1/μ =0,36 +(1/7)= 0,5 horas,
L= 5*5/(7(7-5))=1,79 camiones, W=5/(7-5)=2,5 camiones
P(W>3)=P4=(5/7)4 =0,26 o 26%,
P(Ts >0,75 horas)=(5/7)e-7(1-(5/7))*0,75=0,16 o 16 %
P(Tw >1 hora)=e-7(1-(5/7))*1=0,14 o 14%
Probabilidad de un camión cargando y dos esperando en la cola P3 =(5/7)*0,29= 0,11 o 11% , Bs =1- 0,29= 0,71
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Un servidor, una cola, población finita
Una mina cuenta con 4 camiones de igual capacidad, presentan fallas en el sistema de transmisión. Las fallas se repiten en promedio una vez por año. El tiempo de reparación de la falla es de 45 días(1/8) años, sólo se cuenta con un equipo de mantenimiento
λ = 1 falla/año, μ=8 fallas/año
∑=1,74024
P0 (t)=1/1,74024=0,57463 0 57,46%
L=4 –((1+9)/1)*(1-0,57463)=0,17
W= 0,17+(1 -0,57463)=0,60 TS=0,17/(8*(1-0,57463))=0,05
TW=0,05 + 1/8= 0,175 años o 64 días años o 18 días
Probabilidad de un camión en la cola y otro en taller:
P2(t)=0,57463*((4!/(4-2)!)*(1/8)2==0,11 o 11%
N M M!/(M-N)! (λ/μ)^N Pn(t)/P0(t)=
(M!/(M-N)!)*(λ/μ)^N
0 4 1 1 1
1 4 4 0,125 0,5
2 4 12 0,01563 0,1875
3 4 24 0,00195 0,04688
4 4 24 0,00024 0,00576
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Una cola, dos servidores población infinita
Supóngase que la llegada de camiones tiene una distribución de Poissón con λ= 15 llegadas/hora, mientras que la carga μ= 8 cargas/hora. Las palas
son de igual tamaño, 3 en mineral y 2 en estéril, Determinar Po(t), Ts, Tw, L, W,
Po(t)=(∑4
1/m!*(λ/μ)^m +1/S!(λ/μ)^S((Sμ/(Sμ- λ)) -1
M=0
Po(t)=(1/0!(1,875)0
+ 1/1!(1,875)1 + 1/2!(1,875)
2 + 1/3!(1,875)3 +
1/4!(1,875)4 + 1/5!(1,875)
5 (40/25))
-1 =0,1526 0 15,26%
L=(15*8*(1,875)5
*0,1526)/(4!(40-15)2
)=0,0283 camiones
W=0,0283+ 1,875= 1,9033 camiones
Ts=0,0283/15=0,0019 horas 0 6,84 segundos
Tw=0,0019 + 1/8= 0,1269 horas 0 7,6 segundos
Probabilidad de que existan 5 camiones cargando y uno en la cola
P6(t)=1/5!*5!*(1,875) 6
*0,1526=0,0111 o 1,11%
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Distribución Binomial Es una distribución discreta de probabilidad conocida
por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiples
Un experimento binomial tiene cuatro propiedades: 1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos
idénticos
2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso
3. La probabilidad de éxito, representado por p, no cambia de un intento a otro. En consecuencia, la probabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de un intento a otro. Supuesto de estacionariedad
4. Los intentos son independientes
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Continuación Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un proceso
Bernoulli
Un ejemplo de distribución Binomial es determinar la probabilidad de que en n intentos al lanzar una moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)
La fórmula de combinatoria de n objetos seleccionados en un grupo proporciona la cantidad de resultados experimentales que resultan en x éxitos
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Formulas Cantidad de resultados experimentales con
exactamente x éxitos en n intentos
También es necesario conocer la probabilidad asociada a cada uno de los resultados experimentales el cual se puede determinar a través de la siguiente relación
!
! !
n n
x x n x
( )(1 )x n xp p
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Formula de cálculo
Combinado las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial
( )( ) (1 )
( ) probabilidad de x exitos en n intentos
!
!( - )!
probabilidad de un exito en cualquier intento
(1- )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento
x n xn
f x p px
f x
n n
x x n x
p
p
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Aplicación Se cuenta con la siguiente flota:
01 cargador, 80% de disponibilidad mecánica (física) y un rendimiento de 9000 ton/turno
03 camiones, 70% de disponibilidad mecánica y una productividad de 4000 ton/turno
Asumiendo que el tiempo programado para la flota es de 100% y solamente sería inoperativo si cualquiera de los dos, el cargador o todo los camiones están fuera de servicio
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Aplicación De la tabla anterior se concluye lo siguiente:
Existe un 34% de que estén trabajando tres camiones
Un 44% de que existan trabajando dos camiones
Un 19% de que haya un camión trabajando
Y un 3% de que no haya ningún camión trabajando
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Interpretación El cargador opera un 80% del tiempo y durante este
tiempo el 34% será con 9000 toneladas por turno, el 44% será de 8000 toneladas por turno y el 19% será sólo de 4000 toneladas por turno. El total de la flota tendría un promedio:
0,80*0,34*9000=2.448
0,80*0,44*8000=2.816
0,80*0,19*4000= 608
--------------------------
total =5.872 ton/turno
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Ejercicio Programa de producción anual 1.800.000 tons
Programación de horarios 250 turnos
Requerimientos Ton/turno 7200 ton/turno
Promedio rendimiento camiones 4000 Ton/turno
3 camiones y un cargador
Camiones 70% DF y cargador 80% DF
250turnos*0,80*0,34*9000=612.000 tons.
250turnos*0,80*0,44*8000=704.000 tons.
250turnos*0,80*0,19*4000= 152.000 tons.
1.468.000 tons.
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