CIV - 282 MOMENTOS

Para describir otros aspectos importantes de la

distribucin de frecuencias se utilizan los

MOMENTOS de la distribucin, esta teora se

debe a PEARSON

Los MOMENTOS se definen como promedios

de potencias de las desviaciones de los valores

de una serie de observaciones, con respecto a

un valor arbitrario, que bien puede ser la media

aritmtica

Se puede decir que existen n momentos, pero desde el punto de vista prctico se utilizan solo los 4 primeros

Momentos con respecto a la Media Aritmtica

Cuando las desviaciones son calculadas con respecto a la media

r = x se llama momento de orden r con respecto a la media

aritmtica y se denota por:

Mr x = Mr

Y las frmulas se escriben:

Mr= M[(x x)r] =

1

=1 Datos No tabulados o

clasificados

Mr= M[(y y)r] =

1

=1 .ni Datos tabulados

Por tanto M1, M2, M3, ..Mr , son momentos con respecto a la media x, de rdenes 1,2,3..r

MOMENTO 1

M1 =1

. =

0

= 0=1

M1 =1

=

0

= 0=1

Datos No clasificados

Datos tabulados

MOMENTO 2

M2 =1

2. = 2=1

M2 =1

2 = 2=1

Datos No clasificados

Datos tabulados

MOMENTO 3

M3 =1

3. =1

M3 =1

3=1

Datos No clasificados

Datos tabulados

MOMENTO 4

M4 =1

4. =1

M4 =1

4=1

Datos No clasificados

Datos tabulados

En la prctica, el 1er. momento se

usa para el clculo de los promedios,

el 2do. Para el clculo de la

dispersin, el 3er. momento para el

clculo de la asimetra o sesgo y el

4to. momento par el clculo de la

curtosis o apuntamiento.

Ejemplo A:

Hallar los 4 primeros momentos con respecto a la media

del conjunto de observaciones: 2, 5, 10, 11, 12

Solucin:

Primero: Hallar la media = =1

= 40/5=8

xi xi - x (xi - x)

2 (xi - x)3 (xi - x)

4 2 -6 36 -216 1.296

5 -3 9 -27 81

10 2 4 8 16

11 3 9 27 81

12 4 16 64 256

40 0 74 -144 1.730

RESULTADOS EJ. A

M1 =1

=1

5. 0 =

0

5= =1

M2 =1

=1

5. 74 =

74

5= , = 2=1

M3 =1

=

= , =1

M4 =1

=

. = =1

Ejemplo B:

Dada la siguiente tabla de distribucin de frecuencias

hallar los 4 primeros momentos con respecto a la media

Solucin:

Primero: Hallar la media y = .

=1

=4000/100=40

Clases yi ni yi . ni

(yi - y)2ni (yi - y)

3ni (yi - y)4ni

16 -22 19 3 57 1.323 22 -28 25 8 200 1.800 28 -34 31 24 744 1.944 34- 40 37 20 740 180 40 - 46 43 12 516 108 46 -52 49 18 882 1.458 52 -58 55 9 495 2.025 58 -64 61 6 366 2.646

0 100 4.000 11.484 0 0

SOLUCIONES EJ. B

M1 =1

. =

0

= 0=1

M2= 1

2. =

1

100. 11.484 = 114,84

=1

S2 = 114,84

S = 10,72

M3 = 265,68

M4 = 28.891,08

EJEMPLO A RESOLVER

INTERVALO ni

3 5

5 7

7 9

9 11

11- 13

13 15

15 17

46

26

14

10

14

26

46

!GRACIAS POR SU

ATENCION Y

PRACTIQUEN