115120_001_temario
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
1/11
SEMANA 11_CLASE 26_TEMARIO: (02 HORAS CTEDRA) UNIDAD III : GEOMETRA ANALTICA
LOGRO DE APRENDIZAJE: Conoce los conceptos bsicos de geometra analtica
para ser utilizadas en el estudio y aplicaciones del clculo.
TEMA 6: LA ELIPSESUBLOGRO 1: Conocer la forma del grfico de la ELIPSE queecuacin general de
estudiaremos de lasegundo grado.
SUBLOGRO 2: Describir una ecuacin e interpretacin grfica de la definicin desu lugar geomtrico.SUBLOGRO 3: Determinar las coordenadas del centro, vrtices, focos, de losextremos de los ejes menor y mayor, conocida su ecuacin algebraica.
extremos de los ejes
SUBLOGRO 4: Representar grficamente una elipse destacando centro, vrtices,
focos, menor y mayor.SUBLOGRO 5: Determinar la ecuacin de la recta tangente a una elipse, en unpunto de esta y dar su representacin grfica.SUBLOGRO 6: Determinar la ecuacin de la recta tangente a una elipse, conocidala pendiente de dicha recta tangente; y dar su representacin grfica.SUBLOGRO 7: Determinar la ecuacin de la recta tangente a una elipse trazadadesde un punto exterior de dicha elipse y dar su representacin grfica.
(6.1) : A partir de la ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADOINTRODUCCINla que es candidata a representar una elipse, es la que tiene la forma:(6.1.1) ; conE B GC H B I C J ! E G # #
y sus representaciones grficas respectivas son:
(6.1.2) : Representan una elipse, las siguientes ecuaciones:EJEMPLO B $C #B "#C " ! #B C %C # !# # # #
$C &B #B C #! %C $B *B "'C " !# # # #
cuyas grficas respectivas son:
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
2/11
(6.2) : Se llama ELIPSE al lugar geomtrico de un punto que se muevDEFINICINen el plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de eseplano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos
(6.2.1) :INTERPRETACIN GEOMTRICA
(6.2.2) :OBSERVACINa) Los dos PUNTOS FIJOS se llaman FOCOS de la elipse.b) El punto mvil no est sobre el segmento que une los focos.
c) La recta que une los dos focos se llama EJE FOCAL.d) El eje focal corta a la elipse en los VRTICES de esta.e) es el centro de la elipse y es el punto medio entre los focos o los vrtices.Gf) El segmento que une los vrtices se llama EJE MAYOR de la elipse.g) El segmento perpendicular al eje mayor en el centro de la elipse y que corta a
esta, se llama EJE MENOR.
(6.2.3) : Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se muevEJEMPLOde tal manera que la suma de sus distancias a los puntos y es siempr $ " & " igual a Trazar el lugar geomtrico."#SOLUCIN:1) Representemos grficamente el enunciado del problema:
2) La condicin que se debe cumplir para generar el lugar geomtrico es: .B C $ " .B C & " "# B $ C " B & C " "## # # # B $ C " "# B & C " # # # # # B $ "%% #% B & C " B ## # #B "! $ B & C " # # # %B "! *B & C " # # #
%B )!B %!! *B *!B ##& *C ")C *# # #
es&B *C "!B ")C "'' !# # la ecuacin del lugar geomtrico.
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
3/11
3) TRAZADO DEL LUGAR GEOMTRICO:
(6.2.4) : Hallar la ecuacin del lugar geomtrico de un punto que se muevEJEMPLOde tal manera que la suma de sus distancias a los puntos y e & # & $siempre igual a Trazar el lugar geomtrico."!SOLUCIN:1) Representemos grficamente el enunciado del problema:
2) La condicin que se debe cumplir para generar el lugar geomtrico es: .B C & # .B C & $ "! B & C # B & C $ "!# # # # B & C # "! B & C $ # # # # # C # "!! #! B & C $ C $# ## # #C #" % B & C $ # # # #C #" "'B & C $ # # #
%C )%C %%" "'B "'!B %!! "'C *'C "%%# # #
es"'B "#C "'!B "#C "!$ !# # la ecuacin del lugar geomtrico.3) TRAZADO DEL LUGAR GEOMTRICO:
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
4/11
(6.3) : La elipse cuyo centro es el punto y cuyos ejes soTEOREMA G25paralelos a los ejes coordenados, tiene por ecuacin:
(6.3.1) (6.3.2)B2 C5 B2 C5+ , , +# # # #
# # # # " "
EJE MAYOR PARALELO EJE MAYOR PARALELO AL EJE AL EJE\ ]
donde: + ,
es la distancia del centro al vrtice.+ es la distancia del centro al punto de corte del eje menor con la elipse, es la distancia del centro al foco, y se tiene la relacin- , - +# # #
(6.3.3) : Se llama EXCENTRICIDAD al cuociente DEFINICIN / "-+ en el caso de la elipse.
(6.4) :EJEMPLOS(6.4.1) De la ecuacin represente grficamente la elipseB' C#* #&
# #
"
indicando: Forma de la elipse; Los valores de las constantes ; Centro+ , - Vrtices, Focos, Extremos del eje menorSOLUCIN: Como el mayor denominador est en la variable , se trata de una elipse de l]
forma: EJE MAYOR PARALELO AL EJE (vertical).]+ #& + & , * , $# #
- + , #& * "' - %# # #
G 2 5 ' # Z "' # & ' $ Z #' # & ' (J "' # % ' # J#' # % ' '
EXTREMOS EJE MENOR:F"' $ # * # F#' $ # $ #
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
5/11
GRFICO:
(6.4.2) Dada la ecuacin %B *C )B (#C ""# !# #
Mediante completacin de cuadrados dle una de las forma oB2 C5 B2 C5+ , , +# # # #
# # # # " "
y represente grficamente la elipse, indicando: Forma de la elipse; Los valores de laconstantes ; Centro, Vrtices, Focos, Extremos del eje menor+ , - SOLUCIN:1) COMPLETANDO CUADRADOS EN :%B *C )B (#C ""# !# #
%B #B *C )C ""## #
%B " *C % ""# % "%%# #
%B " *C % $' # # "$' B" C%* %
# #
"
2) De la ecuacin B" C%* %# # "
Como el mayor denominador est en la variable , se trata de una elipse de l\forma: EJE MAYOR PARALELO AL EJE (horizontal).\ + * + $ , % , ## #
- + , * % & - # # G 2 5 " % Z " " $ % # % Z # " $ % % %
J " " & % J # " & % EXTREMOS EJE MENOR: F" " % # " ' F # " % # " #
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
6/11
(6.4.3) Dada la ecuacin %*B "'C "*'B *'C %%% ! # #
Mediante completacin de cuadrados dle una de las forma
oB2 C5 B2 C5+ , , +# # # #
# # # # " "
y represente grficamente la elipse, indicando: Forma de la elipse; Los valores de laconstantes ; Centro, Vrtices, Focos, Extremos del eje menor+ , - SOLUCIN:1) COMPLETANDO CUADRADOS EN :%*B "'C "*'B *'C %%% !# #
%*B %B "'C 'C %%%# #
%*B # "'C $ %%% "*' "%%# #
%*B # "'C $ ()% # # "()% B# C$"' %*
# #
"
2) De la ecuacin se tienen:B# C$"' %*# #
"
Como el mayor denominador est en la variable , se trata de una elipse de l]
forma: EJE MAYOR PARALELO AL EJE (vertical).] + %* + ( , "' , %# #
- + , %* "' $$ - $$# # # G2 5 # $
Z " # $ ( # % Z # # $ ( # "!
J " # $ $$ J # # $ $$ EXTREMOS EJE MENOR:
F" # % $ # $ F# # % $ ' $
GRFICO:
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
7/11
(6.5) : La elipse cuyo centro es el punto y cuyos ejes soCOROLARIO G!!paralelos a los ejes coordenados, tiene por ecuacin:
(6.5.1) (6.5.2)B B+ , , +C C# #
# # # #
# #
" "
EJE MAYOR PARALELO EJE MAYOR PARALELO AL EJE AL EJE\ ]
(6.5.3 ) : En se tienen:EJEMPLO #B B* %$C C# ## #
*#
%$
" "
Como el mayor denominador est en la variable , se trata de una elipse de l\forma: EJE MAYOR PARALELO AL EJE (horizontal).\ + + , , # #* $ % ## $# $ - + , - # # # * % "* "*# $ ' '
G 2 5 ! ! Z "! ! ! Z #! ! ! $ $ $ $# # # #
J "! ! ! J #! ! ! "* "* "* "*' ' ' '
EXTREMOS EJE MENOR: F"! ! ! F#! ! ! # # # #$ $ $ $
(6.5.4) : En se tienen:EJEMPLO "'B *C #% # #
"'B *C #% # # "#% #B B$ )
$C C# ## #$ )# $
" "
Como el mayor denominador est en la variable , se trata de una elipse de l]forma: EJE MAYOR PARALELO AL EJE (horizontal).]
+ + # , , # #) # $ $$ $ # # - + , - # # # ) $ ( ($ # ' '
G2 5 !!
Z "! ! # ! # Z #! ! # ! # # # # #$ $ $ $J "! ! ! J #! ! ! ( ( ( (' ' ' '
EXTREMOS EJE MENOR:
F"! ! ! F#! ! ! $ $ $ $# # # #
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
8/11
GRFICO:
(6.6) :FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA ELIPSE La ecuacin EB G C H B I C J !# #
donde los coeficientes y son del mismo signo representa una elipse de ejeE G paralelos a los ejes coordenados, o bien un punto o no representa lugar geomtrico.
(6.7) :EJEMPLOS(6.7.1) Del ejemplo (6.4.3) la ecuacin %*B "'C "*'B *'C %%% # #
representa la elipse escrita en la forma LA CUAL TIENE SUB# C$"' %*# #
"
EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS (ver detalle en ejemplo (6.4.3) ).(6.7.2) Dada la ecuacin *B %C &%B )C )& !# #
Determine que representa el lugar geomtrico de esta.SOLUCIN:
1) COMPLETANDO CUADRADOS EN :*B %C &%B )C )& !# #
*B 'B %C #C ) #
*B $ %C " )& )" %# #
*B $ %C " !# #
B$ C"% *# #
!
2) Notar que en el penltimo paso, se tiene una suma de cuadrados en igualada a "cero", lo cual significa que cada uno de los sumandos, debe ser " "; po!lo cual, el lugar geomtrico, CORRESPONDE AL PUNTO $ " 3) :GRFICO
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
9/11
(6.7.3) Dada la ecuacin $B &C 'B & !# #
Determine que representa el lugar geomtrico de esta.SOLUCIN:1) COMPLETANDO CUADRADOS EN :$B &C 'B & !# #
$B #B &C #
$B " &C & $# #
ES UNA CONTRADICIN EN .$B " &C ## # 2) Notar que se tiene una suma de cuadrados en , igualada a "una cantidamenor que cero", lo que es una contradiccin en ; el lugar geomtrico NO EXISTE
(6.8) : Se consideran los mismos tres casos de laTANGENTE A UNA ELIPSEcurvas estudiadas anteriormente, CIRCUNFERENCIA Y PARBOLA y el anlisis eanlogo a lo ya mencionado, pero ahora referido a esta curva.(6.8.1) : La ecuacin de la tangente a una elipse dadCASO 1 (SOLUCIN NICA)en un punto dado de contacto.1 ; la ecuacin de la elipse.EB G C H B I C J !# #
2 el punto dado de contacto.T B C " "3 es la ecuacin de la tangente.C C 7B B " "4 Se resuelve el sistema de ecuaciones considerando: EB G C H B I C J !
C C 7B B
# #
" "
SE SUGIERE DE LA SEGUNDA ECUACIN, DESPEJAR LA VARIABLE " " PARACREEMPLAZARLA EN LA ECUACIN DE LA ELIPSE, y considerar CONDICIN DTANGENCIA de manera anloga a la vista en el TEMA DE LA CIRCUNFERENCIA Y LAPARBOLA.
(6.8.2) : Dada la ecuacinEJEMPLO B' C#% ## #
"
Determine la ecuacin de la recta tangente en el punto de abscisa ; B %represente geomtricamente.SOLUCIN:1) Busquemos el punto reemplazando en la ecuacin de la elipse B %despejando " " : ; el punto de contacto esC C # ! C # T % ##
2) La ecuacin de la recta tangente es a determinar;C # 7B % 7 de donde C 7B %7 #
Reemplazando en la ecuacin de la elipse: B' 7B%7
% #
# #
"
#B ' %7 B % )# # #
##7 "B )%7 $B '%7 " !# # # #
3) :CONDICIN DE TANGENCIA F %EG !#
)%7 $ %##7 "'%7 " ! # # # # "'% %7 $ )#7 "7 " !# # # #
"'7 #%7 * "'7 #%7 ) !% # % #
NO EXISTE o est indeterminado." ! 7 7
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
10/11
4) Lp cual significa que la recta tangente es perpendicular al eje es decir, l\ ecuacin de la recta tangente en el punto , est dada porT % # B %5) :GRFICO
(6.8.3) ): La ecuacin de la tangente a una elipse dada CASO 2 (DOS SOLUCIONESque tiene una pendiente dada.1 ; la ecuacin de la elipse.EB G C H B I C J !# #
2 la pendiente dada.73 es la ecuacin de la tangente.C 7B ,4 Se resuelve el sistema de ecuaciones considerando: EB G C H B I C J !
C 7B ,
# #
SE PROCEDE EN FORMA ANLOGA AL CASO 1.
(6.8.4) : Dada la ecuacinEJEMPLO %B *C )B (#C ""# !# #
Determine la ecuacin de la recta tangente que es paralela a la rect$B 'C " ! represente geomtricamente.SOLUCIN:1) La ecuacin de la recta tangente tiene pendiente Luego:7 "# constante a determinarC B , , "# Reemplazando en la ecuacin de la elipse: %B * B , )B (# B , ""# !# #" "# # %B B *,B *, )B $'B (#, ""# ! %# # #*% "'B *B $',B $', ""#B #)), %%) !# # #
#&B %*, #)B %*, (#, ""# ! # #
2) :CONDICIN DE TANGENCIA F %EG !#
%*, #) %#&%*, (#, ""# ! # # ""'
*, #) #&*, (#, ""# !# #
"%%, "#*', #!"' ! # ""%% , *, "% , (, # !#
, (
#3) Las ecuaciones de las rectas tangente son yC B ( C B #" "# #
-
7/24/2019 115120_001_TEMARIO
11/11
4) :GRFICO
(6.8.5) ): La ecuacin de la tangente a una elipse dada CASO 3 (DOS SOLUCIONESque pasa por un punto exterior dado.1 ; la ecuacin de la elipse.EB G C H B I C J !# #
2 el punto exterior dado.T B C " "3 es la ecuacin de la tangente.C C 7B B " "4 Se resuelve el sistema de ecuaciones considerando: EB G C H B I C J !
C C 7B B
# #
" "
SE PROCEDE EN FORMA ANLOGA AL CASO 1.
(6.8.6) : Dada la ecuacinEJEMPLO #B* %$C# # "
Determine las ecuaciones de las rectas tangente trazadas desde el punto$# y represente geomtricamente.SOLUCIN:1) La ecuacin de la recta tangente est dada por: C # 7B $ constante a determinar.C 7B $7 # 7 Reemplazando en la ecuacin de la elipse: )B #(C $' !# #
)B #(7B $7 # $' !# # )B #(7 B #%$7 "!) "'#7 B "!)7B $#%7 $' !# # # # #
) #(7 B &%7$7 #B *#(7 $'7 ) !# # #
2) :CONDICIN DE TANGENCIA F %EG !#
&%7$7 # %) #(7 *#(7 $'7 ) ! # # # "$' )"7 $7 # ) #(7 #(7 $'7 ) !# # # #
"!)7 #))7 '% ! # "%
#(7 (#7 "' ! 7 #%##
!#% (# &")%"(#) (# $%&'
&% &%
3) Las rectas tangente son yC #%## B '' C !#%& B "#'&
4) :GRFICO