11.1.2b. ecuación de una línea 11.1.1c. gráfica de una ... · también se dice que dos números...

578 Trigonometría 579Und. 11 Geometría Analítica

También se dice que dos números x = x0 e y = y0, satisfacen a una ecuación de la formaf (x; y) = 0, si al sustituir estos números en la ecuación, en lugar de las variables x e y, el primermiembro se convierte en cero.

Ejemplo.- En cada caso determinemos si los puntos dados satisfacen la ecuación correspondiente:

a.- (0; 0) , 3xy = 0 3 (0) (0) = 0 , 0 = 0 , Sí

b.- (2; -4) , x2 + y = 0 (2)2 + (-4)2 = 0 , 20 = 0 , No

c.- (9; 3) , x - y2 = 0 9 - (3)2 = 0 , 0 = 0, Si

11.1.2B. Ecuación de una líneaSe llama ecuación de una línea dada (en el sistema de coordenadas asignado) a una ecuación

de dos variables que satisfacen a las coordenadas de cualquier punto situado en la línea y que nosatisfacen a las coordenadas de ningún otro punto situado fuera de ella.

Ejemplo.- Identifiquemos la ecuación de la línea que contiene a los puntos (-1; 2), (1; 4) y (-2; 2):

a.- (-1 ; 2) pertenece a: 2x + y = 0 2(-1) + 2 = 0

b.- (1 ; 4) pertenece a: 4x - y = 0 4(1) - 4 = 0

c.- (-2 ; 2) pertenece a: x + y = 0 -2 + 2 = 0

11.1.1C. Gráfica de una ecuación en 2

La gráfica de una ecuación en 2, llamada lugar geométrico, es el conjunto de todos los puntosdel plano cartesiano 2 que verifican determinadas condiciones geométricas y cuyas coordenadascorresponden a números que satisfacen dicha ecuación.

Ejemplo.- Construyamos la gráfica de la ecuación 3x2 - y = 0.

Hacemos y = 3x2, y nos ayudamos de una tabla para determinar algunos puntos de referencia.

11.1.1D. Intersección de líneas

Si se han dado dos líneas f (x; y) = 0 y g (x; y) = 0, la solución común del sistema:

f x yg x y( ; ) 0( ; ) 0

proporciona todos los puntos de su intersección.

Ejemplo.- Determinemos los puntos de intersección de las líneas: 2x - y = 0, y 3x + y = 0

Resolvemos el sistema de ecuaciones: 3x + y = 0... (1) 2x - y = 0 ... (2)

Sumamos (I) + (II): 5x = 0 x = 0. Reemplazando en (I): 3(0) + y = 0 y = 0

Luego el único punto de intersección de estas líneas es (0 ; 0)

11.1.1. Geometría AnalíticaSe llama Geometría Analítica a la parte de la geometría donde se estudian las figuras y

transformaciones geométricas mediante ecuaciones algebraicas.El filósofo y matemático francés René Descartes, en

su tratado «El Discurso del Método» publicado en 1637,puso las bases para el nacimiento de una nueva teoría.Este trabajo estableció una conexión entre la geometríaeuclidiana y el álgebra al demostrar cómo se podía aplicarlos métodos de una disciplina en la otra. Este es elfundamento de la geometría analítica, en la que las figurasse representa mediante expresiones algebraicas.

En síntesis, la Geometría Analítica es una parte de lasmatemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolveralgebraicamente los problemas de la geometría. En talsentido es oportuno saber que los Problemas Fundamentalesde la Geometría Analítica son dos:

1ro. Se conoce la ecuación y se pide construir su gráfica.2do. Se conoce la gráfica y se pide determinar su ecuación.

11.1.2. Ecuación y gráfica de una línea

11.1.2A. Ecuación de dos variablesUna igualdad de la forma f (x; y) = 0, se llama ecuación de dos variables x e y.

Ejemplo.- Las siguientes son ecuaciones de dos variables:3xy = 0 ; 0x y ; x2 + y2 - 2x + y = 0 ; x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0 ; (x - 1)2 + y2 - 4 = 0

Muchos fenómenos pueden describirse utili-zando ecuaciones lineales, que son el tipo mássimple para trabajar. Un ejemplo es el chirridodel grillo del árbol de nieve. Los naturalistas es-tablecieron que cuando este grillo chirría, la ve-locidad de este sonido de N chirridos por minutoestá relacionada con la temperatura del aire T engrados Fahrenheit por medio de la ecuación:

N = 4,7T - 190

Si T aumenta, también lo hace N, lo cual signifi-ca que el grillo chirría más rápido en clima cálido.

581Und. 11 Geometría Analítica580 Trigonometría

11.1.3B. Interpretación trigonométrica de la pendienteSi x = x2 – x1 y y = y2 – y2 representan los cambios en el eje x e y respectivamente, entonces

la pendiente m de la recta que contiene a los puntos (x1; y1) y (x2; y2) viene dada por la tangente delángulo de inclinación que define la recta con el semieje positivo de las abscisas.

En la figura se ha construido un triángulorectángulo cuya hipotenusa está contenida en la rectaque pasa por los puntos A(x1; y1) y B(x2; y2). Luego,para determinar tan aplicamos la definición de R.T:

tan yx

y como:

ym x

concluimos que: m tan

Obsérvese que el ángulo de inclinación de la recta se mide en sentido antihorario desde elsemieje positivo de «x» hasta la recta. En cuanto al valor de , se debe cumplir que: 0º 180º .

Ejemplo.- Calculemos los ángulos de inclinación de las rectas de los ejemplos anteriores.

En el 1er caso, se tiene: m = 3 tan 3 tan3 71,56ºarc

En el 2do caso, se tiene: m = -2 tan - 2 tan(-2) 116,56ºarc

11.1.3C. Tipos de pendientesLa inclinación de una recta «L» la determinamos recorriéndola de izquierda a derecha, por lo

tanto, la pendiente de la recta nos da una información de la inclinación que debe ser interpretadaen ese sentido.

Un análisis de la pendiente determinada por su fórmula trigonométrica nos permite concluirque existen cuatro casos específicos:

11.1.3. Pendiente de una recta

11.1.3A. DefiniciónSean (x1; y1) y (x2; y2) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical, la pendiente de esta

recta es:

y y

m x x2 1

2 1

Cambio VerticalCambio Horizontal

Mediante la definición de pendiente podemos medir la inclinación de una recta L, conformenos movemos a lo largo de ella.

Ejemplo 1.- Determinemos la pendiente de la recta que pasa por (3; 5) y (5; 11).

A partir de los datos asumimos que:

(x1; y1) = (3; 5) y (x2; y2) = (5; 11)

Aplicando la fórmula de la pendiente, tenemos:

11 5 6 35 3 2m

La razón 3 significa que por cada unidad deaumento en x hay un aumento de 3 unidades en y.Debido a este aumento, la recta se eleva cuando larecorremos de izquierda a derecha.

Ejemplo 2.- Determinemos la pendiente de la recta que pasa por (0; 2) y (2; -2).

Hacemos: (x1; y1) = (0; 2) y (x2; y2) = (2; -2)

Aplicando la fórmula de la pendiente:

2 2 4 22 0 2m

La razón -2 significa que por cada unidad deaumento en «x» hay una disminución de 2 unidadesen «y». Debido a esta disminución, la recta desciendecuando la recorremos de izquierda a derecha.


11.1.4D. Ecuación Simétrica de la Recta Si conocemos los puntos (0; b) y (a; 0) donde la recta L intersecta al eje «y» y «x» respectivamen-

te, entonces la ecuación de ésta viene dada por:

1yxa b Ecuación Simétrica o Segmentaria

Ejemplo.- Calculamos las intersecciones x e y de larecta L cuya ecuación es: y = 3x + 5

Despejando se tiene: -3x + y = 5

Dividiendo entre 5: 3 15 5yx

Transformando: 1 155/3y yx x

a bFinalmente, por comparación: a = -5/3 b = 5

Observaciones:

1ra.- Toda recta vertical que intersecta al eje «x» en a, se representa por la ecuación: x = a.

2da.- Toda recta horizontal que intersecta al eje «y» en b, se representa por la ecuación: y = b.

11.1.4E. Ecuación General de la RectaEl análisis que nos ha precedido permite demostrar que toda línea recta, en el plano cartesia-

no, es la gráfica de una ecuación de la forma:

Ax + By + C = 0 , de pendiente: BAm -

donde A, B, C son constantes, siendo A y B no nulas a la vez.

Ejemplo.- Determinemos la ecuación general de la recta cuya forma pendiente-ordenada al origen

es: 4 35y x

Transponiendo todos los términos al 1er miembro: 4 3 05 x y

Multiplicando por 5: 4x + 5y - 15 = 0

Esta es la ecuación general con: A = 4 ; B = 5 y C = -15

11.1.4. Ecuación de la recta

11.1.4A. Forma Punto - Pendiente Si conocemos un punto (x1; y1) y la pendiente «m» de una recta, la ecuación, cuya gráfica sea

esa recta, es:

1

1

y ymx x

y y = m x x1 1- ( - ) , donde P(x; y) es un punto genérico de la recta.

Ejemplo.- Determinemos la ecuación de la recta L quepasa por el punto (5; 9) y cuya pendiente es -2.

Haciendo (x1; y1) = (5; 9), y reconociendo que m = 2,tenemos:

y - 9 = -2 (x -5)

y - 9 = -2x + 10

y = -2x + 19

11.1.4B. Forma Punto - Punto

Si conocemos los puntos (x1 ; y1) y (x2 ; y2), la ecuación de la recta L que los contiene está dada por:

y y y yx x x x

1 2 1

1 2 1

- -- - , donde P(x; y) es un punto genérico de la recta.

Ejemplo.- Determinemos la ecuación de la recta L quepasa por los puntos (-3; -5) y (2; 10)

Haciendo (x1 ; y1) = (-3; -5) y (x2 ; y2) = (2; 10), aplicamosla relación dada y tenemos:

( 5) (10) ( 5)( 3) (2) ( 3)

yx

y = 3x + 4

11.1.4C. Forma Pendiente - Ordenada al origen Si conocemos el punto (0; b) donde la recta L intersecta al eje «y» , a b se llama «intersección y»,

y la pendiente «m» de ésta, su ecuación está dada por:

y - b = m(x - 0) y = mx + b

Ejemplo.- Determinemos la pendiente e intersección yde la recta cuya ecuación es: y = 5(4 - 3x)

Efectuando operaciones en la ecuación de la recta ten-dremos:

y = 20 - 15x y = -15x + 20

Y por comparación reconocemos: m = -15 b = 20


Ejemplo.- Determina la ecuación de la recta L1 que pasa por (2; 1) y es perpendicular a la recta L2:

3x - 4y - 12 = 0

2 2 1 2 1 23Si : 3 3 12 0 ; pero · 14L x y m L L m m

Reemplazamos: 1 13 4· 1 4 3m m 1 1

4 : 1 ( - 2) : 4 3 11 03L y x L x y

11.1.7. Posiciones relativas de dos rectas en el plano

11.1.7A. Análisis mediante las ecuaciones generalesSi se dan dos rectas mediante las ecuaciones: A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0, se

pueden presentar los siguientes casos:

1ro. 1 1

2 2

A BA B

, las rectas tienen un punto común.

2do. 1 1 1

2 2 2

A B CA B C , las rectas son paralelas.

3ro. 1 1 1

2 2 2

A B CA B C , las rectas coinciden, es decir, las ecuaciones determinan una sola recta.

11.1.7B. Ángulo entre dos rectasDos rectas L1 y L2, de pendientes m1 y m2 , forman un ángulo que viene dado por:

2 1

1 2tan 1

m m+ m m

Demostración:

En la figura se muestran dos rectas L1 y L2 de pendientes m1 y m2. Sean 1 y 2 los ángulos deinclinación de las rectas y el ángulo formado por ellas, entonces se verifica que:

1 1 2 2tan tanm m

Del esquema: 2 = 1 + 2 1

2 1tan tan( )

2 1

1 2

tan tantan 1 tan tan

Sustituyendo:

2 1

1 2tan 1

m mm m lqqd

Observa que m2 es la pendiente de la recta inclinada hacia la izquierda y m1 de la rectainclinada hacia la derecha.

11.1.5. Paralelismo entre dos rectas

11.1.5A. DefiniciónDos rectas en el plano son paralelas si no se intersectan. Es importante recordar aquí el

siguiente postulado: «Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela»

11.1.5A. Condición de paralelismoDos rectas L1 y L2, de pendientes m1 y m2 , son paralelas si se cumple que:

1 2 1 2 1 2tan tanm m

Esta última relación revela que dos rectas paralelas presentan el mismo ángulo de inclinación.

Ejemplo.- Calculemos el valor de «a», si L1 es paralela a L2.

L1: 2x - 3y - 6 = 0 L2: (a + 3)x - 2y - 10 = 0

Calculamos las pendientes de L1 y L2: am m1 22 3 3 2

Como: aL L m m a1 2 1 22 3 5// 3 2 3

11.1.6. Perpendicularidad entre dos rectas

11.1.6A. DefiniciónDos rectas en el plano son perpendiculares si se intersectan formando ángulos rectos.

Es importante recordar aquí el siguiente postulado: «Por un punto exterior a una recta sepuede trazar una y solo una perpendicular»

11.1.6B. Condición de perpendicularidadDos rectas L1 y L2, de pendientes m1 y m2 , son perpendiculares si se cumple que:

1 2 1m m -

En la figura se muestran dos rectas L1 y L2 dependientes m1 y m2. Si estas rectas son perpendicularesy el ángulo de inclinación del primero es , entonces elángulo de inclinación del segundo debe ser: + /2.

Luego: m m1 2tan tan 2

donde: tan cot2 21

tanm

21

1m m m m2 1 1 lqqd

586 Trigonometría 587Und. 11 Geometría Analítica

01.- Dados los puntos anotar a su lado S o N, si perte-nece o no a la línea definida por: x + y = 0.a. P1(2; -2) b. P2(2; 2)

c. P3(2; -1) d. P4(3; -3)

e. P5(5; -5) f. P6(3; -2)

02.- Para la línea definida por x2 + y2 = 25, determinarlas coordenadas de los puntos cuyas abscisas u orde-nadas se indican en la siguiente lista:

a. x = 0 ........................

b. x = -3 ........................

c. x = 5 ........................

d. y = 3 ........................

e. y = -5 ........................

f. y = -8 ........................

03.- Esbozar la gráfica de cada una de las siguienteslíneas:a. x – y = 0

b. x2 – xy = 0

c. x2 – 4y2 = 0

d. y2 – 9 = 0

e. y x 1

04.- Anotar S o N si la línea dada pasa o no por elorigen de coordenadas:

a. x y 0 ........................

b. x y 0 ........................

c. x y 0 ........................

d. 2 2x y 36 0 ........................

e. 2 2x y 2x y 0 ........................

f. 2 2x y 4x 6y 0 ........................

Ejemplo.- Calcula la tan de la figura mostrada.

Observa que: 1 23 24m m

Luego se cumple que:

2 1

2 1

32 114tan tan tan1 231 ( 2) 4

m mm m

11.1.8. Distancia de un punto a una recta

Sea P(x0; y0) un punto del plano 2 y Ax +By + C = 0, la ecuación de una recta L. La ecuaciónde la recta perpendicular es la que se obtiene multiplicando todos los términos de esta ecuaciónpor el factor normalizador , definido por la fórmula:

2 21

A B

Obteniéndose: 0 0A + B + C = 0x y Ecuación de la recta perpendicular (L’)

El signo de debe opuesto al del término independiente C.

Luego la distancia d del punto P(x0; y0) a la rectaL, es un número positivo que se obtiene evaluando laecuación de la recta perpendicular para lascoordenadas de P y viene dado por:

0 0 0 0A +B +C A B Cd x y x y

x yd 0 0

2 2

A B C

A B

Ejemplo.- Calcula «d» de la figura mostrada.

Aplicamos la fórmula:

2 2|3( 2) 4(3) 12|

3 ( 4)d

Reduciendo, resulta: d = 6

Nota.- La distancia entre dos rectas paralelas Ax +By + C1 = 0 y Ax +By + C2 = 0 está dada por:

1 22 2

C Cd

A B


Prob. 01

Los lados AB, BC y AC del triángulo ABC sondados mediante sus ecuaciones correspondientes:

4x + 3y – 5 = 0; x – 3y + 10 = 0; x – 2 = 0Determinar las coordenadas de sus vértices.

Sean LAB; LBC y LAC las rectas que contienen alos lados AB, BC y AC respectivamente deltriángulo ABC.

Para calcular las coordenadas de los vérticesA; B y C debemos resolver los siguientes siste-mas de ecuaciones:

{A} = LAC LAB

24 3 5 0

xx y

A(x; y) = A(2; -1)

{B} = LBC LAB

3 10 04 3 5 0x y

x y

B(x; y) = B(-1; 3)

{C} = LBC LAC

3 10 02

x yx

C(x; y) = C(2; 4)

Las coordenadas de sus vértices son:

A(2; -1), B(-1; 3), C(2; 4)

Prob. 02

Dadas las ecuaciones de dos lados de un parale-logramo: 8x + 3y + 1 = 0; 2x + y – 1 = 0 y la ecua-ción de una de sus diagonales: 3x + 2y + 3 = 0.Determinar las coordenadas de los vértices de esteparalelogramo.

Sea ABCD el paralelogramo, cuyos lados AB,BC y la diagonal AC están en las rectas LAB; LBCy LAC, respectivamente:

Las ecuaciones dadas, se acomodan a los si-guientes lados:

LAB: 8x + 3y + 1 = 0

LBC: 2x + y – 1 = 0

LAC: 3x + 2y + 3 = 0

Luego, para calcular las coordenadas de losvértices A; B y C se resuelven los siguientes sis-temas de ecuaciones:

{B} = LAB LBC

8 3 1 02 1 0

x yx y

B(x; y) = B(-2; 5)

{A} = LAB LAC

8 3 1 03 2 3 0

x yx y

A(x; y) = A(1; -3)

05.- Dada la siguiente lista de líneas se pide anotar allado sus puntos de intersección con los semiejes posi-tivos Ox y Oy:

a. 2 2x y 49 ..................................

b. 2 2( x 3 ) ( y 4 ) 25 ..................................

c. 2 2( x 6 ) ( y 3 ) 25 .................................

d. 2 2( x 5 ) ( y 4 ) 9 .................................

e. 2 2x y 12x 16y 0 .................................

06.- Determinar y escribir, en cada caso, los puntos deintersección de las dos líneas dadas:

a. 2x – y = 0 ; x + 2y = 6 .......................................

b. 2 2x y 8 ; x y 0 .......................................

c. 2 2x y 16x 4y 18 0 ; x y 0

...........................................

d. 2 2 2 2x y 2x 4y 3 0 ; x y 25

...........................................

e. 2 2 2 2x y 8x 10y 40 0 ; x y 4

...........................................

07.- Determina y escribe la pendiente de la recta quepasa por los puntos indicados:a. P1(2; -5), P2(3; 2) ..................................

b. P1(-3; 1), P2(7; 8) ..................................

c. P1(5; -3), P2(-1; 6) ..................................

08.- Determina y escribe la pendiente de la recta y suordenada al origen en cada caso:a. 5x – y + 3 = 0 ..................................

b. 2x + 3y – 6 = 0 ..................................

c. 5x + 3y + 2 = 0 ..................................

d. y – 3 = 0 ..................................

e. 5x + 1 = 0 ..................................

09.- Determina y escribe la ecuación de la recta quepasa por el punto A(2; -3) y es paralela a la recta dada:a. 3x – 7y + 3 = 0 ..................................

b. x + 9y – 11 = 0 ..................................

c. 16x – 24y – 7 = 0 ..................................

d. 2x + 3 = 0 ..................................

e. 3y – 1 = 0 ..................................

10.- Si las rectas A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0son perpendiculares, entonces se verifica que:

A1A2 + B1B2 = 0Anotar S o N si los siguientes pares de rectas son o noperpendiculares:a. 3x – y + 5 = 0; x + 3y – 1 = 0 ....................

b. 3x – 4y + 1 = 0; 4x – 3y + 7 = 0 ....................

c. 6x – 15y + 7 = 0; 10x + 4y – 3 = 0 ....................

d. 9x – 12y + 5 = 0; 8x + 6y – 13 = 0 ...................

e. 7x – 2y + 1 = 0; 4x + 6y + 17 = 0 ...................

11.- Del ejercicio anterior, determinar la tangente delángulo que forma cada par de rectas:

a. ........................ b. ........................

c. ........................ d. ........................

e. ........................

12.- Dos rectas A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0forman un ángulo , tal que:

1 2 2 1

1 2 1 2

A B A Btan A A B B

Calcular la tangente del ángulo que forma cada par derectas:a. 3x – y + 5 = 0; 2x + y – 7 = 0 ....................

b. 2x 3y 5; 3x 3y 2 ....................

c. 6x – 5y + 7 = 0; 10x + y – 3 = 0 ....................


Observa que L0 y L son paralelos, entonces suspendientes son iguales, es decir que:

m0 = m = -2/3

La ecuación de L0 es de la forma:

L0: 00

0

y ym x x

; M0(2; 1)

L0 : 123 2

yx

L0 : 2x + 3y – 7 = 0

Prob. 05

Dadas las ecuaciones de dos lados de un rectán-gulo: x – 2y = 0; x – 2y + 15 = 0 y la ecuación deuna de sus diagonales es 7x + y – 15 = 0, determi-nar los vértices del rectángulo.

Sea ABCD un rectángulo cuyos lados AB y DC(paralelos) y la diagonal DB están en las rectasLAB; LDC y LDB respectivamente.

Las ecuaciones dadas, se relacionan con los si-guientes lados:

LAB: x – 2 mAB = 1/2

LDC: x – 2y + 15 = 0 mDC = 1/2

LDB: 7x + y – 15 = 0 mDB = -7

Para calcular las coordenadas de sus vérticesse resuelven los siguientes sistemas de ecua-ciones:

{B} = LAB LDB

2 07 15 0

x yx y

B(x; y) = B(2; 1)

{D} = LDC LDB

2 15 07 15 0

x yx y

D(x; y) = D(1; 8)

Ahora determinamos la ecuación de LBC, paralo cual reconocemos que ésta es perpendiculara la recta LAB, luego:

mBC· mAB = -1

mBC· (1/2) = -1 mBC = -2

Conocemos B(2; 1) y mBC, entonces la ecuaciónde la recta LBC es como sigue:

LBC : BBC

B

y ym x x

LBC : 12 2

yx

LBC : 2x + y - 5 = 0

Ahora, calculamos las coordenadas del vértice C:

{C} = LDC LBC

2 15 02 5 0x yx y

C(x; y) = C(-1; 7)

Observa que, M es punto medio de AC y BD:

2 1 1 8 3 9M ; M ;2 2 2 2

Si A(x; y), entonces:

713 9; ; 4 22 2 2 2

yx x y

Los vértices del rectángulo serán:

(4; 2), (2; 1), (-1; 7), (1; 8)

{C} = LBC LAC

2 1 03 2 3 0

x yx y

C(x; y) = C(5; -9)

Observamos que «M» es punto medio de AC ,por lo que calculamos sus coordenadas así:

5 1 9 3M ; M 3; 62 2

Pero «M» también es punto medio de BD , estonos ayuda en el cálculo de las coordenadas delvértice «D».

Las coordenadas de los vértices son:

(-2; 5), (1; -3), (5; -9) y (8; -17)

Prob. 03

El área de un triángulo es S = 8 unidades cuadra-das; dos de sus vértices son los puntos A(1; -2),B(2; 3) y el tercer vértices «C» está en la rec-ta 2x + y – 2 = 0. Determinar las coordenadas delvértice «C».

Elaborando el gráfico que mejor represente elenunciado, tenemos:

Observa que las coordenadas de C están rela-cionadas por la ecuación de LC, ahora calcule-mos el área del triángulo, aplicando:

A 4B 31 1S C 2 22 2A 2

xx

x

1 22 3

2 2x x 1 2

34 4

27 6

xxx

1S 7 6 22 x x

1S 9 72 x

Por datos, sabemos que: S = 8

Desarrollando: 9 7 82x 9 7 16x

Resolviendo: x = -1 x = 25/7

Luego, reemplazando valores en C, obtenemos:

x = -1 C(-1; 4)

x = 25/7 C(25/7; -36/7)

Las coordenadas del vértice C, serán:

C1(-1; 4) ó C2(25/7; -36/7)

Prob. 04

Se da la recta 2x + 3y + 4 = 0. Determinar la ecua-ción de la recta que pasa por el punto M0(2; 1)paralela a la recta dada.

Elaboramos el esquema que nos ayudará a plan-tear el problema:


Prob. 08

Determina la ecuación de la recta, si el puntoP(2; 3) es la base de la perpendicular bajada delorigen de coordenadas a esta recta.

Elaboramos el gráfico correspondiente, segúndatos del problema:

Primero, calculamos la pendiente de L1:

13 02 0m m1 = 3/2

Y como 1 2L L , entonces se cumple que:

m1· m2 = -1

32 · m2 = -1

m2 = 23

Luego, nos piden la ecuación de la recta L2, perocomo ya conocemos la pendiente m2 y el puntode paso «P», entonces la ecuación de L2 tiene laforma:

L2 : P2

P

y ym x x

L2 :32

3 2yx

L2 : 2x + 3y - 13 = 0

Prob. 09

Dados los vértices de un triángulo A(2; 1),B(-1; -1) y C(3; 2), calcula las ecuaciones de unade sus alturas.

En el triángulo ABC, optamos por determinarla ecuación de la altura BH, únicamente nosfaltaría calcular su pendiente ya que se conoceel punto de paso «B»:

Primero determinaremos la pendiente de AC:

AC2 13 2m mAC = 1

Pero como BH AC , entonces se cumple que:

mBH· mAC = -1

Luego: mBH· (1) = -1 mBH = -1

Ahora, la ecuación de la altura BH es:

LBH : BBH

B

y ym x x

LBH:

11 1yx

LBH : x + y + 2 = 0

Prob. 10

Dados los vértices de un triángulo A(1; -1),B(-2; 1) y C(3; 5), determina la ecuación de laperpendicular bajada desde el vértice «A» la me-diana, trazada desde el vértice «B».

Elaboramos el gráfico según el enunciado delproblema, donde notamos que «M» es puntode medio de AC, cuyas coordenadas ya hemoscalculado:

Prob. 06

Calcula un punto Q simétrico al punto P(-5; 13)relativo a la recta: 2x – 3y – 3 = 0

Elaboramos el gráfico correspondiente para te-ner una idea del problema:

Observamos que 1 2L L m1· m2 = -1

Luego, tenemos: m22 -13

m2 = -3/2

La ecuación de L2 es de la forma:

L2: P2

P

y ym x x

L2: 1332 ( 5)

yx

L2: 3x + 2y – 11 = 0

Ahora, calculemos las coordenadas de «M», si:

{M} = L1 L2

2 3 3 03 2 11 0

x yx y

M(x; y) = M(3; 1)

Luego, para calcular las coordenadas del pun-to «Q» debemos tomar en cuenta que «M» espunto medio de PQ:

Q(11; -11)

Prob. 07

Dados los puntos medios de los lados de un trián-gulo: M1(2; 1), M2(5; 3) y M3(3; -4), calcula lasecuaciones de uno de sus lados.

Para el desarrollo de este problema utilizare-mos la siguiente propiedad:

En todo paralelogramo se cumple que:

x1 + x3 = x2 + x4

y1 + y3 = y2 + y4

Sea ABC el triángulo donde M1; M2 y M3 sonlos puntos medios de sus lados, trazamos

1 2M M y 2 3M M , determinándose tres parale-lo-gramos AM1M2M3, M1BM2M3 y M3M1M2C,donde en cada uno de ellos aplicamos la pro-piedad citada anteriormente para poder deter-minar las coordenadas de los vértices A, B y C.

Nos piden calcular la ecuación de uno de suslados, de modo que optamos por el lado AB, laecuación de este lado tiene la forma:

LAB: AAB

A

y ym x x

LAB:

68 64 0 0

yx

LAB: 7x – 2y – 12 = 0


2 2AC 2 1 2 0 13

Observa que los tres lados verifican el teoremade Pitágoras:

2 2 22 13 13 65

65 = 65

Esto significa que el triángulo ABC es rectán-gulo, recto en «A».

Ahora, observa que los catetos AB y AC estánen la razón 2 : 1.

Entonces por propiedad de la bisectriz, los la-dos BD y DC , también están en la razón 2: 1,cuyas coordenadas ya hemos calculado.

Para determinar la ecuación de la bisectriz in-terior AD, primero calculamos su pendiente:

AD

4 231 13

m

mAD = -5

Luego, notamos que AD'L es la bisectriz exte-rior del vértice «A», además AD AD'L L .

De donde se cumple que:

m’AD· mAD = -1

m’AD· (-5) = -1

m’AD = 1/5

Ahora, las ecuaciones de las bisectrices inte-rior y exterior son de la forma:

LAD: AAD

A

y ym x x

25 1

yx

LAD: 5x + y - 3 = 0 (bisectriz del ángulo interno)

L’AD: AAD

A'

y ym x x

21

5 1y

x

L’AD : x - 5y - 11 = 0 (bisectriz del ángulo exterior)

Prob. 13

Calcula la ecuación de la recta que pasa por elpunto P(3; 5) a igual distancia de los puntosA(-7; 3) y B(11; -15).

Este problema tiene dos posibles soluciones quesatisfacen las condiciones dadas, así tenemos:

Primera solución:

Observa que L’AB pasa por el punto medio «M»de AB:

Como la recta L’AB pasa por los puntos M y P,podemos calcular su pendiente:

AB

5 6' 3 2m m’AB = 11

Ahora, tenemos que la ecuación L’AB es:

L’AB : 511 3yx

L’AB : 11x – y – 28 = 0

Nos piden la ecuación de AH, observa que pri-mero calcularemos la pendiente de BM:

BM2 1

2 2m

mBM = 1

4

Como BM AH , entonces se cumple que:

mAH· mBM = -1

mAH· (1/4) = -1

mAH = -4

Luego, como ya conocemos el punto de paso«A» y la pendiente de AH, determinamos laecuación de AH:

LAH : AAH

A

y ym x x

LAH : 14 1y

x

LAH : 4x + y - 3 = 0

Prob. 11

Dados los vértices de un triángulo A(2; -2), B(3; -5)y C(5; 7), determina la ecuación de la perpendi-cular bajada desde el vértice «C» a la bisectrizdel ángulo interno del vértice «A».

Primero elaboramos el gráfico correspondientesegún datos del problema, observemos que yahemos calculado las longitudes de los ladosAB y AC, esto nos ayudará más adelante, por-que AD resulta ser bisectriz del ABC.

Ahora, por el teorema de la bisectriz se cumpleque si los lados AB y AC están en la relación de1 : 3, entonces los lados BD y DC también estánen la relación de 1 : 3, con esto hemos calculadolas coordenadas del punto «D» como se mues-tra a continuación en el gráfico:

Nos piden determinar la ecuación de CE, demodo que necesitamos conocer la pendiente mCE,para lo cual primero calculamos la pendiente mAD

AD

2 27 22

m

mAD = 0

Este resultado de la pendiente nos indica quela recta AD es horizontal, por lo tanto la rectaCE es vertical, es decir, no tiene pendiente.

El gráfico final será aproximadamente:

Es evidente que la ecuación de la recta CE será:x – 5 = 0

Prob. 12

Dados los vértices de un triángulo A(1: -2), B(5; 4)y C(-2; 0), calcula las ecuaciones de las bisectricesde los ángulos interno y externo del vértices «A».

Empezaremos calculando las longitudes de loslados del triángulo:

2 2AB 1 5 2 4 2 13

2 2BC 2 5 0 4 65


Luego, calculamos la tan y por ende el valorde «x»:

2 4tan 1 3x x 2(3 – x) = 4(x – 1)

x = 5/3

Las coordenadas de «P» son: (5/3; 0)

Propiedad:

Si «L» es una recta cualquiera, que contiene a«P» además «A» y «B» son exteriores fijos, en-tonces se verifica que:

(AP + PB) es mínimo cuando =

Prob. 15

Calcula en la recta 2x – y – 5 = 0 un punto «P» demanera que la suma de sus distancias a los puntosA(-7; 1), B(-5; 5) sea mínima.

Aplicando lo aprendido en el problema ante-rior, podemos afirmar que la posición del pun-to «P» para que (AP + PB) sea mínimo es la quese muestra en el gráfico, B’ es el punto simétri-co a «B» respecto a la recta «L», sus coordena-das las hemos calculado realizando el mismoprocedimiento que el problema 6.

Ahora, calculamos primero la pendiente de laecuación de la recta que pasa por AB’:

AB'

1 37 11m mAB’ = - 2/9

Ahora, la ecuación será:

LAB’ : 12

9 7y

x

LAB’ : 2x + 9y + 5 = 0

Luego, en el gráfico, observamos que:

{P} = L LAB’

Resolviendo el sistema, tenemos:

2 5 02 9 9 0

x yx y

P(x; y) = P(2; -1)

Prob. 16

Dada la recta: 2x + 3y + 4 = 0, determina la ecua-ción de la recta que pasa por el punto M0(2; 1) yforma un ángulo de 45º con la recta dada.

Elaboramos el gráfico según la recta dada y ubi-camos el punto M0.

En el gráfico se muestra a dos rectas L2 y L3 quepasan por M0 y forman 45º con la recta L1.

Ahora, para determinar sus ecuaciones tenemosque calcular primero sus pendientes, sea mx laspendientes buscadas, aplicamos la fórmula:

x 1

x 1tan 45º 1

m mm m

x

x

2/31

1 2/3m

m

Segunda solución:

Observamos que L ABAB '

Luego, primero calculamos la pendiente de AB :

AB15 3

11 7m

mAB = -1

Ahora, como L AB' AB

: m’AB = mAB = -1

podemos ver que la ecuación de L’AB es:

L’AB: PAB

P'

y ym x x

51 3

yx

L’AB: x + y – 8 = 0

Prob. 14

Determina, en el eje de abcisas, un punto «P» demanera que la suma de sus distancias a los puntosM(1; 2) y N(3; 4) sea mínima.

Para desarrollar este problema utilizaremos lasiguiente propiedad, la misma que deducimosa continuación:

En el plano se muestran 3 puntos A, P y B, don-de «A» y «B» son fijos y «P» se puede mover,queremos ir de «A» hacia «B» pasando por «P»,entonces los posibles caminos se muestran enel siguiente gráfico:

Obsérvese que el menor camino para ir de «A»hacia «B» pasando por «P» ocurre cuando A, Py B son colineales.

Este criterio lo aplicaremos en nuestro proble-ma, determinando N’ simétrico a «N» respectoal eje «x», unimos M y N’ mediante una línearecta, la intersección con el eje «x» será el punto«P» y se verifica que (MP + PN) es lo mismo que(MP + PN’), lo cual demuestra que (MP + PN) esmínimo porque M, P y N’ son colineales.

A continuación con la ayuda del siguiente grá-fico, determinaremos las coordenadas de «P»:

Las coordenadas de «P» son (x; 0).

Ahora, extraemos los triángulos rectángulos,en donde calcularemos «x»:


Si: y = 0 x = -3 (intercepto con el eje x)

En el gráfico, también podemos observar quelos rayos incidente (L1) y reflejado (L2) formanángulos iguales () con el eje x, por lo que tene-mos que la pendiente:

m2 = tan (180º - ) m2 = -tan = -3

Ahora, observamos que L2 pasa por el punto(-3; 0), con lo que calculamos la ecuación de L2:

L2 :

03 3y

x

3x + y + 9 = 0

Prob. 19

Demostrar que la ecuación de la recta que pasapor el punto M1(x1; y1) y es paralela a la rectaAx + By + C = 0, puede escribirse en la formasiguiente: A(x – x1 ) + B(y – y1 ) = 0

Elaboramos un gráfico de acuerdo a los datosdel enunciado:

Si: 1L L m1 = m = -A/B

Calculamos la ecuación de L1:

L1: 11

1

y ym x x

1

1

AB

y yx x

L1: A(x – x1) + B(y – y1) = 0 l.q.q.d

Prob. 20

En el triángulo ABC se dan: la ecuación del ladoAB, que es 5x – 3y + 2 = 0, y las ecuaciones de lasalturas AN y BM, que son respectivamente4x – 3y + 1 = 0 y 7x + 2y – 22 = 0. Determina laecuación de la recta que pasa por BC.

Elaboramos un gráfico aproximándonos a losdatos del problema:

Ahora, del gráfico observamos que:

{B} = LAB LBM

Resolviendo el sistema, tenemos:

5 3 2 07 2 22 0

x yx y

B(x; y) = B(2; 4)

Observemos también que L LAN BC

, entonces

el producto de sus pendientes es -1, es decir:

mAN· mBC = -1

(4/3)· mBC = -1

mBC = -3/4

La recta LBC pasa por B(2; 4) y tiene pendiente(-3/4) entonces su ecuación será:

LBC : 43

4 2yx

3x + 4y – 22 = 0

Prob. 21

Determinar para qué valores de «m» y «n» la rec-ta (m + 2n – 3)x + (2m – n + 1)y + 6m + 9 = 0 esparalela al eje de abcisas e intercepta en el eje deordenadas un segmento igual a -3 (partiendo delorigen de coordenadas). Escribir la ecuación deesta recta.

x x2 213 3m m

Desarrollando, tenemos que:

mx = 1/5 mx = -5

Luego, de acuerdo a la posición de las rectas leasignamos el valor de sus pendientes:

m1 = -5 m2 = 1/5

Ahora, determinamos sus ecuaciones:

L3 : 15 2

yx

5x + y – 11 = 0

L2 : 11

5 2yx

x – 5y + 3 = 0

Prob. 17

El punto E(1; -1) es el centro de un cuadrado, unode cuyos lados está en la recta x – 2y + 12 = 0.Determina las ecuaciones de sus diagonales.

Graficamos la recta dada y ubicamos el puntoE(1; -1), sea ABCD el cuadrado de diagonalesBD y AC .

Las rectas L2 y L3 pasan por las diagonales BDy AC respectivamente.

Para determinar sus ecuaciones, primero cal-culamos sus pendientes, para ello del gráficoobtenemos la siguiente relación:

2 1

2 1tan 45º 1

m mm m

2

2

1/21 1 1/2

mm

Luego, resolviendo tenemos: m2 = 3

Pero como L L2 3

entonces: m3 = -1/3

Ahora, las rectas L2 y L3 pasan por el punto E(1; -1)y como ya sabemos el valor de sus pendientes,entonces podemos determinar sus ecuaciones:

L2 : 13 1

yx

3x – y – 4 = 0

L3 : 11

3 1y

x

x + 3y + 2 = 0

Prob. 18

Desde el punto M0(-2; 3) se ha dirigido hacia eleje Ox un rayo de luz con una inclinación de unángulo . Se sabe que tan = 3. El rayo se hareflejado del eje Ox . Calcula las ecuaciones delas rectas en las que están los rayos incidente yreflejado.

Elaboramos el gráfico correspondiente, segúndatos del problema:

Como nos piden determinar las ecuaciones deL1 y L2, primero, sabemos que en L1:

tan = 3 m1 = 3

L1 :

332

yx

3x – y + 9 = 0


Para que las rectas L1 L2 se corten en el eje«x», entonces se debe cumplir que la ordenadadebe ser cero, es decir y = 0.

Reemplazando en las ecuaciones, tenemos:

L1: (m – 1)x + m(0) – 5 = 0 51x m

L2: mx + (2m – 1)(0) + 7 = 0 x = -7/m

5 71m m m = 7/12

Prob. 24

Demostrar que si las tres rectas:

A1x + B1y + C1 = 0

A2x + B2y + C2 = 0

A3x + B3y + C3 = 0

se cortan en un punto, entonces: 1 1 1

2 2 2

3 3 3

A B CA B C 0A B C

Le asignamos L1, L2 y L3 a las rectas dadas:

L1 : A1x + B1y + C1 = 0

L2 : A2x + B2y + C2 = 0

L3 : A3x + B3y + C3 = 0

Para que L1, L2 y L3 se corten en un punto, en-tonces, se debe cumplir que: L1 L2 =L1 L3

Resolvemos el sistema:

L1 A1x + B1y + C1 = 0

L2 : A2x + B2y + C2 = 0

1 2 2 1

1 2 1 2

A C A CB A A By

. . . (1)

Resolviendo el sistema:

L1 A1x + B1y + C1 = 0

L3 : A3x + B3y + C3 = 0

1 3 3 1

1 3 1 3

A C A CB A A By

. . . (2)

Para que se corten en un punto, entonces lasordenadas tienen que ser iguales.

Igualamos (1) y (2):

1 2 2 1

1 2 1 2

A C A CB A A B

= 1 3 3 1

1 3 1 3

A C A CB A A B

Ahora, multiplicando, reduciendo términos se-mejantes y agrupando, tenemos:

A1(B2C3-B3C2) + A2(B1C3-B3C1) + A3(B2C1-B1C2) = 0

Expresando por determinantes:

2 2 1 1 1 11 2 3

3 3 3 3 2 2

B C B C B CA A A 0B C B C B C

A su vez esto equivale a:

1 1 12 2 23 3 3

A B CA B C 0A B C

l.q.q.d

Prob. 25

Calcula la ecuación de la recta que pasa por elpunto M1(3; -7) e intercepta en los ejes coordena-dos segmentos iguales y diferentes de cero (cadasegmento se considera dirigido a partir del ori-gen de coordenadas).

Elaboramos el esquema correspondiente, segúndatos del problema:

Sea «L» la recta dada, tenemos que:

(m + 2n – 3)x + (2m – n + 1)y + 6m + 9 = 0

Entonces su pendiente mL se calculará así:

L2 3

2 1m nm m n

Para que «L» sea paralela al eje «x» entonces sedebe cumplir que:

mL = 0 2 3 02 1m n

m n

m + 2n = 3 . . . (1)

Luego, para que «L» intercepte al eje «y» eny = -3, entonces:

x = 0

Ahora, reemplazamos en la ecuación:

(m + 2n - 3)(0) + (2m - n + 1)(-3) + 6m + 9 = 0

n = -2 . . . (2)

Reemplazando (2) en (1), tenemos:

m + 2(-2) = 3 m = 7

Ahora, la ecuación de la recta L es:

L : (m + 2n - 3)x + (2m - n + 1)y + 6m + 9 = 0

Reemplazando valores: m = 7 y n = 2:

L: y + 3 = 0

Prob. 22

Determina para qué valores de «a» y «b» las dosrectas ax – 2y – 1 = 0; 6x – 4y – b = 0:

a) Tienen un punto común.

b) Son paralelas.

c) Coinciden.

Asignando L1 y L2 a las rectas dadas:

L1: ax – 2y – 1 = 0

L2: 6x – 4y – b = 0

Resolución (a):

Desarrollando el sistema, tenemos:

92

2 6 4 3b abx ya a

L1 L2 tendrán un punto común, si: a 3.

Resolución (b):

Calculamos las pendientes de L1 L2:

m1 = a/2 m2 = 3/2

Luego, para que L1L2 entonces m1 = m2

Ahora, si: a/2 = 3/2 a = 3

Resolución (c)

L1: ax – 2y – 1 = 0

L2: 6x – 4y – b = 0 3x – 2y – b/2 = 0

Si: L1 L2 coinciden, entonces:

ax - 2y - 1 = 3x - 2y - b/2

Comparando, tenemos: a = 3 b = 2

Prob. 23

Determina para qué valor de «m» las dos rectas(m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0, secortan en un punto situado en el eje de abscisas.

Le asignamos L1 L2 a las rectas dadas, asítenemos que:

L1: (m – 1)x + my – 5 = 0

L2: mx + (2m – 1)y + 7 = 0


Un método para verificar que L1 corta al seg-mento AB, es graficándolos.

Para graficar L1, calculamos los interceptos conlos ejes «x» e «y».

x = 0 y = 3 ; y = 0 x = -3/2

Observando el gráfico, confirmamos que efecti-vamente L1 corta al segmento AB.

Prob. 28

Demostrar que la recta 5x – 2y – 1 = 0 es paralelaa las rectas: 5x – 2y + 7 = 0; 5x – 2y – 9 = 0 ydivide por la mitad la distancia entre ellas.

Sean L1, L2 y L3 las tres rectas cuyas ecuacionesse dan, veamos las gráfica:

Ahora, si demostramos que las coordenadas de«M» satisfacen la ecuación de L2 entonces esta-ríamos demostrando que efectivamente pasa porel punto medio de la distancia que los separa.

Luego, como aa L x y5 1M ; : 5 2 1 02

Entonces, debe satisfacer la ecuación:

5 2a 5 12

a 1 0

2a - (5a - 1) - 1 = 0

0 = 0 l.q.q.d

Prob. 29

Demostrar que se pueden trazar por el puntoP(2; 7) dos rectas de manera que sus distancias alpunto Q(1; 2) sean iguales a 5. Calcula las ecua-ciones de estas rectas.

Elaboramos el gráfico correspondiente que nospermita ubicar los datos del enunciado:

Las rectas L1 y L2 pasan por el punto P(2; 7) ysea m la pendiente que puede ser de L1 o L2

72

ym x

L : mx – y + 7 – 2m = 0 . . . (1)

Esta ecuación puede representar a las rectasL1 L2, aplicamos la fórmula que nos permitecalcular la distancia del punto Q(1; 2) a L:

2 21 2 7 25

1m m

m

Sabemos que la ecuación de «L» se puede escri-bir así:

L : 1yxa a . . . (1)

Para (3; -7) L, entonces:

L : 3 7 1a a a = -4

Finalmente, reemplazamos en (1):

L : 14 4yx

L : x + y + 4 = 0

Prob. 26

Determina la ecuación de la recta de pendientepositiva que pasa por el punto B(5; -5) e intercep-ta a los ejes coordenados, determinado un trián-gulo de área igual a 50 unidades cuadradas.

Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos delenunciado:

Observamos que «L» tiene pendiente positivaporque se inclina hacia la derecha.

La ecuación de «L» se expresa así:

L : 1yxa b , pero B(5; -5) L

5 5 1a b

5(b – a) = ab . . . (1)

Ahora, sabemos que el área del triángulo queforma con los ejes coordenados es 50, es decir:

502a b

; b b (b < 0)

ab = -100 . . . (2)

Luego, resolviendo (1) y (2), llegamos a la ecua-ción cuadrática:

a2 – 20a + 100 = 0

(a – 10)2 = 0

a = 10

Luego, en (2): b = -10

Ahora, reemplazando en «L», tenemos que:

L : 110 10yx

L : x – y – 10 = 0

Prob. 27

Demostrar que la recta: 2x – y + 3 = 0 corta elsegmento limitado por los puntos A(-5; 1) yB(3; 7).

Asignando como L1 , la recta de la ecuacióndada:

L1 : 2x – y + 3 = 0


01.- Determina los puntos de intersección de la rec-ta 2x - 3y - 12 = 0 con los ejes coordenados e indicarel signo de su pendiente.

A) (6; 0), (0; -4), m = (+)

B) (0; -4), (6; 0), m = (–)

C) (0; 0), (4; 4), m = (+)

D) (1; -2), (6; 0), m = (–)

E) (0; -2), (3; 0), m = (+)

02.- Calcula el punto de intersección de dos rectasL1: 3x – 4y – 29 = 0; L2: 2x + 5y + 19 = 0.

A) (5; -3)

B) (1; 1)

C) (-2; 0)

D) (6; -10)

E) (3; -5)

03.- Los lados de un triángulo están en las rectasx + 5y – 7 = 0; 3x – 2y – 4 = 0; 7x + y + 19 = 0. Calculael área «S» que ellos limitan.

A) 19 B) 17 C) 21

D) 25 E) 31

04.- El área de un triángulo es S = 1,5 unidades cua-dradas; dos de sus vértices son los puntos A(2; -3)y B(3; -2) y el baricentro de este triángulo está en larecta 3x – y – 8 = 0. Determina las coordenadas deltercer vértice «C».

A) (-1; 1) o (-1; -10) B) (2; 0) o (-1; -5)

C) (0; 2) o (4; -10) D) (1; -1) o (-2; -10)

E) (2; 2) o (-2; 10)

05.- Dadas las ecuaciones de dos lados de un rec-tángulo 2x – 3y + 5 = 0; 3x + 2y – 7 = 0 y uno de susvértices A(2; -3), calcula la ecuaciones de los otrosdos lados de este rectángulo.

A) 5x + 2y = 0; 2x – y – 11 = 0

B) 2x – 3y = 0; x + y – 1 = 0

C) 3x + 2y = 0; 2x – 3y – 13 = 0

D) 3x – 2y – 1 = 0; x – y = 0

E) x – 3y – 12 = 0; x + 2y – 1 = 0

06.- Calcula la proyección del punto P(-6; 4) sobre larecta L: 4x – 5y + 3 = 0.

A) (0; 3) B) (-1; -2) C) (-2; -1)

D) (1; 2) E) (2; 1)

07.- Determina las ecuaciones de las rectas que pa-san por los vértices del triángulo A(5; -4), B(-1; 3),C(-3; -2) y son paralelas a los lados opuestos.

I. 5x – 2y – 33 = 0

II. 7x + 6y + 33 = 0

III. x – 4y + 11 = 0

Son verdaderas:

A) I y II B) II y III C) I y III

D) Sólo I E) Sólo III

08.- Dados dos puntos P(2; 3) y Q(-1; 0), determinala ecuación de la recta que pasa por el punto «Q» yes perpendicular al segmento PQ.

A) x + y = 0 B) x – y – 1 = 0 C) 2x – y = 0

D) x + 2y = 0 E) x + y + 1 = 0

2

551

mm

Ahora, elevamos al cuadrado y resolvemos laecuación:

255

1m

m

12m2 + 5m = 0

m(12m + 5) = 0

m = 0 m = -5/12

Reemplazando en (1), obtenemos las ecuacio-nes de L1 y L2:

Si: m = 0

L1: y = 7

Si: m = -5/12

L2: 5x + 12y – 94 = 0

Prob. 30

Determina la ecuación de la recta que pasa por elpunto P(-2; 3) a igual distancia de los puntosA(5; -1) y B(3; 7).

En el desarrollo de este problema, se presentandos casos:

Caso 1:

Cuando L1 pasa por P(-2; 3) el punto medio «M»de AB

Determinamos la ecuación de L1:

M P1

M P

y ym x x

33 3

4 2 2y

x

y – 3 = 0

Caso 2:

Cuando L1 es paralelo a AB :

Calculamos la pendiente de AB :

AB

7 13 5m mAB = -4

Luego, como: L1 AB

m1 = mAB = -4

Luego, si: L1: P1

P

y ym x x

342

yx

L1: 4x + y + 5 = 0


16.- El punto A(-4; 5) es un vértice del cuadradocuya diagonal está en la recta 7x + y + 8 = 0. Calculalas ecuaciones de los lados y de la segunda diago-nal de este cuadrado. Identificar la ecuación que nocorresponde ni a un lado ni a la 2da diagonal:

A) 4x + 3y + 1 = 0 B) 3x – 4y – 7 = 0

C) 3x – 4y + 32 = 0 D) 4x + 3y – 24 = 0

E) x + 7y – 31 = 0

17.- Dados dos vértices opuestos de un cuadradoA(-1; 3) y C(6; 2); identifica, de las siguientes, la ecua-ción que no corresponde a ninguno de los lados:

A) 3x – 4y + 15 = 0 B) 4x + 3y – 30 = 0

C) 3x – 4y – 10 = 0 D) 4x + 3y – 5 = 0

E) 3x + 4y – 15 = 0

18.- Un rayo de luz va dirigido por la recta x – 2y + 5 = 0,al llegar a la recta 3x – 2y + 7 = 0 se ha reflejado de ella.Calcula la ecuación de la recta en la que está el rayoreflejado.

A) 29x – 2y + 33 = 0 B) 18x – y + 11 = 0

C) 9x + 2y – 11 = 0 D) 6x – 5y + 13 = 0

E) x + 3y – 33 = 0

19.- Dados dos vértices de un triángulo M1(-10; 2) yM2(6; 4), cuyas alturas se cortan en el punto N(5; 2),determina las coordenadas del tercer vértices M3.

A) (3; -6) B) (5; 5) C) (4; -4)

D) (6; -6) E) (6; 3)

20.- Dados dos vértices A(3; -1) y B(5; 7) del trián-gulo ABC y el punto N(4; -1) de intersección de susalturas, calcula las ecuaciones de los lados de estetriángulo.

I. 4x – y – 13 = 0

II. x – 5 = 0

III. x + 8y + 5 = 0

Indicar lo incorrecto:

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Ninguno E) Todos

21.- Determina para qué valores de «m» y «n» larecta (m + 2n – 3)x + (2m – n + 1)y + 6m + 9 = 0 esparalela al eje de abscisas e intercepta en el eje deordenadas un segmento igual a -3 (partiendo delorigen de coordenadas).

A) m = 7; n = 2 B) m = -3; n = 4

C) m = -2; n = 4 D) m = -3; n = 7

E) m = 7; n = -2

22.- Determina para qué valores de «m» y «n» lasdos rectas: mx + 8y + n = 0 2x + my – 1 = 0, notienen un punto común.

A) m = 2 ; n = 3 ó m = 3 ; n 2

B) m = -4 ; n 2 ó m = 4 ; n -2

C) m = 3 ; n 2 ó m = 3 ; n 1

D) m = -3 ; n 2 ó m = 3 ; n 2

E) m = -5 ; n 3 ó m = -5 ; n -2

23.- Determina para qué valor de «m» las dos rectas:mx + (2m + 3)y + m + 6 = 0, (2m + 1)x + (m - 1)y + m - 2 = 0se cortan en un punto situado en el eje de ordenadas.

A) 0 ó 3 B) 0 ó 6 C) 2 ó 5

D) 1 ó -1 E) 3 ó -3

24.- Determina para qué valor de «a» las tres rectas:L1: 2x - y + 3 = 0; L2: x + y + 3= 0 y L3: ax + y - 13 = 0,se cortan en un punto.

A) 0

B) -5

C) -1

D) -7

E) 7

09.- Los lados de un triángulo se dan por sus ecua-ciones 4x – y – 7 = 0; x + 3y – 31 = 0; x + 5y – 7 = 0.Calcula el punto «H» de intersección de sus alturas.

A) (4; 3)

B) (1; 2)

C) (3; 1)

D) (3; 4)

E) (-3; -2)

10.- Determina las ecuaciones de los lados y de lasmedianas del triángulo que tiene los vérticesA(3; 2), B(5; -2) y C(1; 0).

I. AB : 2x + y – 8 = 0 ; mA : x – 3 = 0

II. BC : x + 2y – 1 = 0 ; mB : x + y – 3 = 0

III. AC : x – y – 1 = 0 ; mC : y = 5

Son verdaderas:

A) II y III B) I y III C) Todas

D) I y II E) Sólo I

11.- Dados los vértices consecutivos de un cuadrilá-tero convexo A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6) y D(-2; -6), deter-mina el punto de intersección de sus diagonales.

A) (1; 3)

B) (4; 0)

C) (3; 0)

D) (2; 1)

E) (1; 2)

12.- Dados dos vértices adyacentes A(-3; -1) yB(2; 2) de un paralelogramo ABCD y el punto Q(3; 0)de intersección de sus diagonales, calcula las ecua-ciones de sus lados.

I. 3x + 5y + 4 = 0

II. x + 7y – 16 = 0

III. x + y + 10 = 0

Son verdaderas:

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II

D) II y III E) I y III

13.- Calcula las coordenadas de un punto M1, simé-trico al punto M2(8; -9), relativo a la recta que pasapor los puntos A(3; -4) y B(-1; -2).

A) (8; 6)

B) (5; 10)

C) (6; 8)

D) (10; -5)

E) (-5; -10)

14.- Determina, en el eje de abscisas, un punto «P»de manera que la suma de sus distancias a los pun-tos M(1; 2) y N(3; 4) sea mínima.

A) 2 ; 03 B) 5 ; 03 C) 7 ; 03

D) 3 ; 04 E) 5 ; 04

15.- Calcula en la recta L: 3x – y – 1 = 0, un punto «P»de manera que la diferencia de sus distancias a lospuntos A(4; 1) y B(0; 4) sea máxima.

A) (4; 2)

B) (1; 4)

C) (2; 5)

D) (2; 3)

E) (-2; 5)

608 Trigonometría

25.- Calcula el área del triángulo que forma la recta3x – 4y – 12 = 0, con los ejes coordenados.

A) 6

B) 5

C) 12

D) 18

E) 10

26.- Determina la ecuación de la recta que pasa por elpunto P(8; 6), si determina en el plano coordenado untriángulo de área igual a 12 unidades cuadradas.

A) 2x – 3y – 12 = 0 ó 5x + 4y + 12 = 0

B) 3x – 2y – 12 = 0 ó 3x – 8y + 24 = 0

C) 3x – y – 6 = 0 ó 3x – 4y + 6 = 0

D) x + 3y – 12 = 0 ó x + 3y + 12 = 0

E) x – 2y – 10 = 0 ó x – 6y + 24 = 0

27.- Determina las coordenadas del punto de inter-sección de la recta 2x – 3y + 6 = 0 con la recta quecontiene a los puntos A(-2; -3) y B(1; -2).

A) (-1; 0) B) (0; 1) C) (1; 3)

D) (2; -3) E) 20-13; - 3

28.- Dadas tres rectas paralelas: 10x + 15y – 3 = 0;2x + 3y + 5 = 0; 2x + 3y – 9 = 0, determina si la primerade ellas está entre las otras dos y calcula la razón enque divide la distancia entre ellas.

A) 1 : 4, a partir de la 1ra recta.

B) 1 : 3, a partir de la 2da recta.

C) 2 : 3, a partir de la 2da recta.

D) 2 : 5, a partir de la 1ra recta.

E) 1 : 1

29.- Determina las ecuaciones de las rectas que sepueden trazar por el punto P(2; 5) de manera quesus distancias al punto Q(5; 1) sean iguales a 3.

A) 7x + 24y – 134 = 0 ; x – 2 = 0

B) 6x – y – 11 = 0 ; x – 3 = 0

C) 5x – 3y – 12 = 0 ; x – 5 = 0

D) 7x – 24y + 150 = 0 ; x – 1 = 0

E) 6x – y + 11 = 0 ; x + 3 = 0

30.- Determina las ecuaciones de las rectas quepasan por el punto P(2; -1) y junto con las rectas2x + y + 5 = 0; 3x + 6y – 1 = 0, forman triángulosisósceles.

A) 3x + y – 5 = 0 ; 5x + 3y + 17 = 0

B) x + y – 2 = 0 ; x – y + 2 = 0

C) 2x – y + 12 = 0 ; x – 2y + 10 = 0

D) x – 3y – 5 = 0 ; 3x + y – 5 = 0

E) x + y – 1 ; x – y – 3 = 0

01A

09D

17E

25A

02E

10D

18A

26B

03B

11A

19D

27E

04D

12D

20D

28C

05C

13D

21E

29A

06C

14B

22B

30E

07A

15C

23B

08E

16B

24D

11.1.2b. ecuación de una línea 11.1.1c. gráfica de una ... · también se dice que dos números...

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