Teoria Algebra 2

MATRICES

Matrices de nmeros reales.

Dados dos subconjuntos A = {1,2,3,...i...n} y B = {1,2,3,...j...m} pertenecientes al conjunto de los nmeros naturales, llamaremos matriz de dimensin nxm a toda aplicacin

A X B ---------> R / (i,j) ---> aij que asocia a cada par (i,j) el numero real aij Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y de dimensin n filas por m columnas, aquel conjunto de nmeros reales escritos de la forma siguiente:

En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina matriz nxm Ejemplos:

Ejemplo: Escribir una matriz A3x4 tal que aij = 2i + 3j

a11 = 2.1 + 3.1 = 5 a12 = 2.1 + 3.2 = 8 a13 = 2.1 + 3.3 = 11

a14 = 2.1 + 3.4 = 14 a21 = 2.2 + 3.1 = 7 a22 = 2.2 + 3.2 = 10

a23 = 2.2 + 3.3 = 13 a24 = 2.2 + 3.4 = 16 a31 = 2.3 + 3.1 = 9

a32 = 2.3 + 3.2 = 12 a33 = 2.3 + 3.3 = 15 a34 = 2.3 + 3.4 = 18

es decir

EMBED Equation.3 Matriz rectangular.- Es aquella en la que no coinciden el numero de filas con el de columnas. Se escribe Anxm donde n ( m.

Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm

Matriz columna es la que tiene por dimensiones nx1

Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden. Se escribe Anxn y diremos que son de orden n.

En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde el vrtice superior izquierdo al vrtice inferior derecho y sern todos los aij / i=j

En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a los elementos que van desde el vrtice superior derecho al vrtice inferior izquierdo y sern todos los aij / i+j = n+1 donde n es el numero de filas o columnas.

Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0.

Puede ser cuadrada o no.

Se representa por Onxm y es tal que aij = 0 ( i,j

Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada en la que todos sus elementos son nulos excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.

Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales.

( k ( 0 Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

aij = 0 si i ( j

Se representa por I y sus aij son tales que

aij = 1 si i = j

Matriz simtrica.- Es toda matriz cuadrada en la que coincide sus elementos conjugados, es decir, aij = aji ( i y ( j. Esto quiere decir que todos los elementos son simtricos respecto de la diagonal principal.

y son matrices simtricas

El producto de dos matrices simtricas no tiene porque ser simtrica.

Matriz antisimetrica.- Es toda matriz cuadrada en la que aij = - aji ( i ( j y que solo se verificara cuando todos los elementos de la diagonal principal sean ceros.

y son matrices antisimetricas.

El producto de dos matrices antisimetricas no tiene porque ser antisimetrica.

Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal.

es triangular inferior. es triangular superior.

Operaciones con matrices. Suma de matrices

Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz de igual dimensin nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos homlogos de A y de B.

cij = aij + bij

Propiedades:

La suma de matrices es ley de composicin interna.

Asociativa: ( A,B,C ( Mnxm ==> A + (B + C) = (A + B) + C

Conmutativa: ( A,B ( Mnxm ==> A + B = B + A

( elemento neutro: Ser la matriz nula Onxm / A + O = O + A = A

( elemento simtrico: Ser la matriz opuesta -A , tal que ( A, ( -A / A + (-A) = O

Con estas propiedades el conjunto de las matrices respecto de la operacin suma posee estructura de grupo abeliano o conmutativo con elemento neutro.

Ejemplo: Dadas las matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensiones 3x4 y siendo

aij = i - j y bij = (-1)i+j + 2j-1 , calcular A + B

Producto de una matriz por un nmero.

Dada una matriz A de dimensiones nxm y un numero real ( , el producto ser otra matriz (.A , de igual orden nxm y cuyos elementos se obtengan multiplicando todos los elementos de A por el numero (

Propiedades:

Distributiva del producto respecto de la suma de matrices

(.(A + B) = (.A + (.B

Distributiva del producto respecto de la suma de escalares

(( + ().A = (.A + (.A

Asociativa mixta: (.((.A) = ((.().A

( elemento neutro en los escalares: 1.A = A

Al cumplir estas cuatro propiedades y las anteriores de la suma, el conjunto de las matrices tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los nmeros reales.

Ejemplo: Sean dos matrices A y B de dimensiones 3x4 tales que

aij = i + 2j y bij = 2i - j calcular la matriz 3A - 2B y -2A + 3B

=

=

Producto de matrices.

Dos matrices A y B son multiplicables solo si el nmero de columnas de la matriz multiplicando es igual al nmero de filas de la matriz multiplicadora. Anxm.Bmxp

La matriz resultante tendr igual nmero de filas que la matriz multiplicando y el mismo numero de columnas que la matriz multiplicadora. Cnxp Para calcular el elemento cij se multiplicara cada trmino de la fila i de A por cada trmino correspondiente de la columna j de la matriz B y luego se sumaran todos los productos obtenidos.

Ejemplos:

;

Ejemplo:

Sean y

EMBED Equation.3 Hallar A2 y A.B

Propiedades:

Asociativa: Anxm.(Bmxp.Cpxq) = (Anxm.Bmxp).Cpxq Distributiva del producto respecto de la suma:

Anxm.(Bmxp + Cmxp) = Anxm.Bmxp + Anxm.Cmxp (Anxm + Bnxm).Cmxp = Anxm.Cmxp + Bnxm.Cmxp En general no es conmutativa A.B ( B.A bien por que no exista alguno de los dos productos, bien porque sus resultados den matrices de diferentes ordenes o bien porque aun siendo del mismo orden sus resultados sean distintos.

Sean las matrices

A.C ( C.A ya que no es multiplicable mientras que

si lo es.

B.C ( C.B ya que mientras que

es de diferente orden.

A.D ( D.A ya que mientras que

Los dos productos son realizables, sus resultados tienen igual dimensin, pero son diferentes.

En los casos especiales en que A.B = B.A se dice que las matrices son permutables.

En este caso se verifica que (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 Si no son permutables (A + B)2 = (A + B).(A + B) = A2 + A.B + B.A + B2 Dentro de las matrices cuadradas ( elemento neutro que ser la matriz I tal que:

In.An = An.In = An

Matriz transpuesta.

Dada una matriz A de dimensiones nxm, llamaremos matriz transpuesta de A y la designaremos por At o por A', a otra matriz de dimensiones mxn y que se obtiene cambiando filas por columnas y columnas por filas, sin alterar su orden.

Si

Propiedades:

a) La transpuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las transpuestas de cada matriz.

(A + B)t = At + Bt b) La transpuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las transpuestas en orden inverso.

(A.B)t = Bt.At c) La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la propia matriz.

(At)t = A

d) La transpuesta del producto de un escalar por una matriz es igual al producto del escalar por la transpuesta de la matriz.

(k.A)t = k.At e) Si A es simtrica ==> At = A

f) Si A es antisimetrica ==> A = -At Matriz inversa.

Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrn el mismo orden. A dicha matriz se le designa por A-1 A la matriz A se le llamara inversible y a la matriz A-1 matriz inversa.

Adems la definicin es simtrica de forma que (A-1) 1 = A

Tambin podemos asegurar que el producto es conmutativo y que las matrices A , X e I deben ser cuadradas y del mismo orden . Si la matriz A no es cuadrada, no ser invertible y por tanto no poseer matriz inversa.

Ecuaciones matriciales.

Una ecuacin matricial es una ecuacin en la que la incgnita es una matriz y no un numero.

XB + XC = X (B+C)

AX + CX = (A+C) X

X2 + XB = X (X + B)

X2 + X = XX + X = X (X+I)

X2 5X = XX 5XI = X (X 5I) = (X 5I) X

* AX B = X ( AX X = B ( (A I) X = B ( (A I)-1 (A I) X = (A I)-1B

( X = (A I)-1 B

* AX = A + B ( A-1AX = A-1 (A + B) ( X = A-1 (A + B)

* AX = B ( A-1(A.X) = A-1B ( (A-1A)X = A-1B (

IX = A-1B ( X = A-1B

DETERMINANTES. Determinante de 2 orden.

Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 2 orden al nmero real a11.a22 - a12.a21 que se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal y restndole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Se representa por

Determinante de 3 orden.

Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 3 orden al numero real

(a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) - - (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)

Una manera practica de recordar estos sumandos es la regla de Sarrus

Ejemplo =

= ( 14 - 160 - 18 ) - ( -70 - 48 + 12 ) = -164 - ( -106 ) = - 58

Ejemplo

= 90 - 32 - 126 + 140 - 96 + 27 = 3

Propiedades de los determinantes.

1.- Un determinante que tiene todos los elementos de una lnea (fila o columna) iguales a 0, vale siempre cero.

2.- Un determinante que tiene dos lneas paralelas iguales es siempre nulo.

por tener la 1 y la 3 columna iguales

3.- Un determinante en el que los elementos de una lnea son mltiplos de los elementos de una lnea paralela a ella, es siempre nulo.

porque f2 = f1.(-2)

4.- Un determinante en el que los elementos de una lnea son combinacin lineal de los de otras lneas paralelas a ella, es siempre nulo.

porque c3 = c1 + 2.c2 5.- El valor de un determinante no varia si se cambian las filas por las columnas sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una. Es lo mismo que decir que (At (= (A (

6.- Un determinante no varia al sumar a los elementos de una lnea, los correspondientes de otra paralela a ella multiplicados por un numero (, los de otra multiplicada por (, etc.

7.- Si se cambian entre si dos filas ( o dos columnas ), el nuevo determinante tiene el mismo valor absoluto pero cambia de signo.

He cambiado c1 c2 8.- Si se multiplican ( o dividen ) todos los elementos de una lnea por un mismo numero ( , el valor del determinante queda multiplicado ( o dividido ) por el numero ( .

Si ya que la c3 la he multiplicado por 5.

9.- Si en un determinante todos los elementos de una lnea son mltiplos de un mismo numero (, se puede sacar este numero como factor.

10.- Si se multiplican todos los elementos de un determinante (A( de orden n por un mismo numero (, el valor del nuevo determinante ser (n.(A ( Si

11.- Si los elementos de una lnea constan de h sumandos, el determinante se podr descomponer en suma de h determinantes, que tienen iguales a el, las restantes lneas y en lugar de aquella, la formada por los primeros sumandos, por los segundos, etc.

se mantienen idnticas la c2 y la c312.- El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

13.- El determinante del producto de dos matrices cuadradas A y B, de igual orden, es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Menor complementario.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamaremos menor complementario del elemento aij, al determinante de orden n-1, que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j en el (A(. Se simboliza por (ij.

Dada

Adjunto de un elemento.

Llamamos adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada A, al valor del menor complementa-rio correspondiente, afectado del signo + o - segn que la suma de los subndices i + j sea par o impar

Se representa por Aij = (-1)i+j.(ij En la matriz A4x4 anterior, calculemos A31 y A43

Desarrollo de un determinante por los elementos de una lnea.

Todo determinante de orden n, se puede calcular como la suma de los productos de los elementos de una lnea cualquiera por sus adjuntos correspondientes.

= ( - 6 + 48 - 48 + 18 + 32 - 24 ) - 2.( -12 + 36 + 24 - 9 + 64 - 18 ) +

+ 3.( 32 + 18 + 3 + 12 + 12 -12 ) = 20 285 + 365 = 45

Por este procedimiento el calculo de un determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden n - 1, estos se reducen a otros de orden n - 2 y as sucesivamente hasta llegar a determinantes de orden 3 que se calculan por Sarrus.

Regla de Chio.

Esta regla sirve para el clculo de determinantes de orden superior a tres.

Consiste en conseguir que una de las lneas del determinante este toda ella formada por ceros, excepto uno de sus elementos que valga la unidad. De esta forma al desarrollar por los elementos de dicha lnea, se anularan todos los sumandos a excepcin del elemento en donde este el 1 y as reduciremos el orden del determinante en una unidad.

a) Se observa si hay algn 1 en el determinante. Se elige la fila o columna que contenga a dicho 1 y al mayor numero de ceros posibles.

Si no existe ningn 1 en el determinante se elige la lnea que contenga mayor numero de 0. Dividimos los elementos de esa lnea por uno de ellos, de forma que consganos un 1 en dicha lnea. "Atencin", despus de esta operacin, el valor del nuevo determinante habr que multi-plicarlo por el numero que dividimos anteriormente.

Tambin se puede conseguir que algn elemento valga 1, restando una lnea de otra paralela, siempre que existan dos elementos que ocupen el mismo lugar y que difieran en una unidad.

b) Una vez conseguido el 1 en una lnea, habr que hacer 0 los dems elementos de la fila o columna en donde se halle. Para ello realizaremos combinaciones lineales con lneas paralelas segn nos interese.

Ejemplo:

(1) elegimos la columna 1 por poseer un 1 y un 0. Dejamos fija la 4 fila donde se encuentra el 0, y tratamos de hacer ceros en las filas 1 y 2 con combinaciones lineales con la 3 fila.

f1 - 5.f3 ( f1 f2 - 4.f3 ( f2

(2) Desarrollamos por los elementos de la 1 columna : a31.A31

(3) Dividimos las filas 1 y 2 por -1, con lo que el nuevo determinante viene multiplicado por (-1).(-1)

(4) Desarrollamos por Sarrow.

Calcular

(1) Al no haber ningn cero, elegimos la fila 1 por poseer dos 1. Dejamos fija la columna 2 y hacemos combinaciones lineales con dicha columna para conseguir ceros en las columnas 1, 3 y 4. c1 - 2.c2 ( c1 c3 + 3.c2 ( c3 c4 - c2 ( c4 (2) Desarrollamos por los elementos de la 1 fila : a12.A12 cuidando que el adjunto ahora es negativo.

(3) Desarrollamos por Sarrow.

Calcular

(1) Al no haber ningn 1, buscamos dos lneas paralelas en las que alguno de sus elementos correspondientes difieran en una unidad. Elegimos las columnas 2 y 4. Restamos c2 - c4 --> c2 . Dejamos iguales las columnas 1 y 3.

(2) Fijamos la columna 3 en la que hay un 0 y fijamos la columna 2 con la que haremos las combinaciones lineales para hacer ceros en las columnas 2 y 4.

(3) Desarrollamos por los elementos de la 1 fila a12.A12 teniendo en cuenta que el adjunto es negativo.

(4) Dividimos la 1 fila por 2 con lo que el nuevo determinante queda multiplicado por 2.

(5) Aqu podamos haber resuelto por Sarrow, pero continuaremos dejando fija la 2 columna para hacer ceros en la 1 y 3 columna con combinaciones lineales con la 2 fijada. c1 + c2 ( c1 c3 + 3.c2 ( c3 (6) Desarrollamos por los elementos de la 1 fila a12.A12 teniendo de nuevo en cuenta que el adjunto calculado es negativo.

(7) Desarrollamos por Sarrow el determinante de orden dos que nos queda.

Determinante de Vandermonde.

Es el formado por las potencias sucesivas de n nmeros distintos: a, b, c,.... g, h, ordenadas de la siguiente forma:

Este determinante es igual al producto de todas las diferencias obtenidas restando cada numero a,b,c,.., de todos los que le siguen.

Ejemplo:

Matriz inversa.

Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrn el mismo orden.

A dicha matriz se le designa por A-1 La condicin necesaria y suficiente para que exista matriz inversa es que dicha matriz sea regular o lo que es lo mismo que su determinante sea distinto de cero.

Para calcular la inversa de una matriz A, calcularemos la matriz transpuesta de la matriz adjunta de A y lo dividiremos por el valor del determinante de dicha matriz A.

La matriz Ad se calcula, hallando todos los adjuntos de todos los elementos de la matriz A

Si no existira matriz inversa pues todos sus trminos tendran que venir divididos por 0 y me quedara una matriz de elementos infinitos, con lo que no existira.

Tambin se puede calcular primero la matriz transpuesta de A y luego la matriz adjunta de la At, para luego dividir por el valor del determinante.

Ejemplos:

Hallar la A-1 de la matriz

A11 = 4 A12 = - 3 A21 = - 1 A22 = 2

Hallar la inversa de la matriz

Propiedades:

a) Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden y regulares, se verifica que la inversa del producto de dos matrices es igual al producto de sus inversas en orden inverso.

(AB)-1 = B-1.A-1 b) Si A es una matriz regular se verifica que la inversa de la transpuesta es siempre igual a la transpuesta de la inversa.

(At)-1 = (A-1)t c) La inversa de la inversa de una matriz regular es la propia matriz A.

(A-1)-1 = A

La matriz inversa facilita la resolucin de ecuaciones matriciales de la forma:

AX = B ==> A-1(AX) = A-1B ==> (A-1A)X = A-1B

IX = A-1B ==> X = A-1B

Ejemplo: Resolver la ecuacin AX = B siendo ;

Como hemos visto X = A-1.B Calculemos A-1

Si la matriz A es de orden superior a tres, el calculo de los adjuntos seria muy laborioso y por ello en cursos superiores emplearemos el mtodo de Gauss y otros mtodos para calcular matrices inversas.

RANGO DE UNA MATRIZ. Menor y rango de una matriz. Dada una matriz de dimensiones cualesquiera (no tiene porque ser cuadrada) de orden mxn, se llama menor de orden h al determinante de cualquiera de las submatrices cuadradas de orden hxh que se obtienen suprimiendo de todas las formas posibles m-h filas y n-h columnas de la matriz original.

Llamamos menor principal de orden h, al determinante formado por las h primeras filas y las h primeras columnas y que su valor sea distinto de cero.

Ejemplo:

Sea Si eliminamos f2, f3, f4, f5, c2, c3, c4 nos queda un menor de orden 1 formado por la matriz ( 2 ) y cuyo determinante es ( 0. Adems ser un menor principal por estar formado por la 1 fila y la 1 columna.

Si eliminamos f3, f4, f5, c3, c4 nos queda la submatriz cuyo determinante no es un menor de orden 2 pues su determinante vale cero.

Si eliminamos f2, f4, f5, c3, c4 nos queda la submatriz que si es un menor de orden 2 pues su determinante vale 6. Adems ser un menor principal de orden 2 por estar formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas.

Si ordenamos la matriz A cambiando la f3 por la fila f2 nos queda

Si ahora suprimimos f4, f5, c4 nos queda la submatriz cuyo determinante vale -12 distinto de cero. Dicha submatriz ser un menor de orden 3 y adems ser un menor principal por estar formado por las tres primeras filas y las tres primeras columnas.

Si ampliamos dicho menor principal con la f4 y la c4 nos queda cuyo determinante se ha de calcular por la regla de Chio.

Elegimos la fila 4 para hacer ceros. c3 - c1 , c4 + c1 y nos queda

La submatriz de orden 4 formada es por tanto un menor principal de orden 4 por estar formada por las cuatro primeras filas y las cuatro primeras columnas y valer su determinante distinto de cero.

No existe un menor de orden 5 por no poderse formar una submatriz cuadrada de orden 5.

Llamamos rango de una matriz A, al numero h, que nos da el orden mayor de los menores principales no nulos y tal que todos los menores de orden superior a h son cero o no existen.

En nuestro ejemplo de la matriz A, el mayor principal obtenido es de orden 4 por lo que el

rg A = 4

Propiedades del rango de una matriz. a) Si en la matriz A, se intercambian entre si dos lneas paralelas, se obtiene otra matriz B, de igual rango que la de A.

b) Si una lnea de la matriz A, esta formada por ceros, el rango de A es igual al rango de la matriz B que se obtiene suprimiendo dicha lnea de ceros.

c) Si en la matriz A, se suprime una lnea que sea combinacin lineal de otras varias paralelas, se obtiene una nueva matriz B, de igual rango que la matriz A.

Llamamos rango por filas de una matriz A, al numero mximo de filas linealmente independientes.

Llamamos rango por columnas de una matriz A, al numero mximo de columnas linealmente independientes.

Calculo practico del rango de una matriz. Ejemplo:

al ser la c2 = 2.c1 podemos eliminar dicha columna c2 por ser combinacin lineal de c1. Tomamos un menor principal de orden 2 formado por las dos primeras filas y dos primeras columnas.

Ampliamos a un menor tres por tres . es menor principal de orden tres. Ampliamos a un menor de orden 4 = 1 A42 = No existe

menor principal de orden 4, con lo que el rg A = 3. Ejemplo:

rgA = Tomamos un menor principal de orden 2 formado por las dos primeras filas y dos primeras columnas. Ampliamos a un menor tres por tres

es menor principal de orden tres.

Ampliamos a un menor de orden 4

EMBED Equation.3 =1A11

No existe menor principal de orden 4,

con lo que rg A = 3SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

Llamamos sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales al conjunto de igualdades siguientes:

a11x1 + a12x2 + ...... + a1nxn = b1 Este sistema tendr m ecuaciones con n incgnitas.

a21x1 + a22x2 + ...... + a2nxn = b2 Los aij son nmeros reales llamados coeficientes de

. . . . las incgnitas.

am1x1 + am2x2 + ...... + amnxn = bm Los bij son los llamados trminos independientes.

Los xj representan nmeros reales desconocidos llamados incgnitas del sistema.

Llamamos matriz de coeficientes a la matriz cuyos elementos son los coeficientes de las incgnitas.

Llamamos matriz ampliada a la obtenida al aadir a la matriz de coeficientes, una nueva columna formada por los trminos independientes.

Llamamos solucin de nuestro sistema al conjunto de vectores S(s1,s2...sn) que al sustituirlos respectivamente por x1,x2,...xn , convierte a las m igualdades en m identidades numricas.

Resolver por tanto nuestro sistema es averiguar si el conjunto S posee elementos y en caso afirmativo, calcularlos.

Los sistemas pueden no tener solucin y se llaman INCOMPATIBLES.

Pueden tener infinitas soluciones y se llaman COMPATIBLES INDETERMINADOS.

Pueden tener un numero finito de soluciones y se llaman COMPATIBLES DETERMI- NADOS.

Dos sistemas sern equivalentes cuando posean las mismas soluciones.

Si en un sistema S, se suprime una ecuacin que sea combinacin lineal de las restantes, el nuevo sistema S ser equivalente al S.

Para resolver un sistema S, basta con resolver un sistema equivalente Sen el que ninguna ecuacin sea combinacin lineal de las restantes.

RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Sistema de Cramer. Regla de Cramer. Llamamos sistema de Cramer al formado por n ecuaciones y n incgnitas y tal que la matriz de coeficientes C sea una matriz cuadrada y regular, es decir

que (C( ( 0 .

Dicho sistema ser equivalente en forma matricial a C.X = B dondeCXXx

La regla de Cramer dice que todo sistema de Cramer tiene solucin nica dada por

Resolviendo la nueva ecuacin matricial nos queda que:

en donde hemos sustituido la columna i de la matriz C por la

columna matriz B. Ejemplo:

Resolver el sistema

El sistema es de Cramer por tener igual numero de ecuaciones que de incgnitas y porque

Su solucin ser:

Teorema de Rouche-Frobenius. La regla de Cramer nos permite resolver sistemas de ecuaciones en el caso particular de que haya igual nmero de ecuaciones que de incgnitas.

Con el teorema de Rouche podemos ampliar al caso de que n ( m.

Si el rg C ( rg A el sistema no tendr ninguna solucin real.

Si el rg C = rg A = h el sistema tendr solucin.

Si h = n de incgnitas, la solucin ser nica.

Si h < n de incgnitas, existirn infinitas soluciones.

En definitiva, la discusin de un sistema de n ecuaciones con m incgnitas es la siguiente:

Si rg C ( rg A no existe solucin ===> sistema incompatible.

Si rg C = rg A = n de incgnitas tiene una nica solucin ( sistema compatible deter-

minado.

Si rg C = rg A < n de incgnitas tiene infinitas soluciones ( sistema compatible indeter-

minado.

Para resolver el sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones podemos usar el mtodo de Cramer. 2x + 3y - z + t = 5

Resolver el sistema x + 2y + z - 2t = 8

x + y - 2z + 3t = -3

Por Cramer:

Partimos de un menor principal de orden 2 Ampliamos a un menor de orden 3.

Como los dos nicos menores que puedo formar de orden 3 son nulos, el rg C tiene que ser 2

Al ampliar el menor principal de orden 2 con los trminos independientes me queda:

Como el nico menor de orden 3 que puedo formar es nulo, el rg A tiene que ser 2.

Si rg C = rg A < n de incgnitas ==> Sistema compatible indeterminado.

Para resolverlo, despejamos las dos primeras incgnitas x e y , en funcin de la tercera incgnita z, en las dos primeras ecuaciones.

2x + 3y = 5 + z - t Es un sistema de Cramer de 2 ecuaciones con 2 incgnitas.

x + 2y = 8 - z + 2t

Llamando z = ( y t = (

Al discutir por Cramer, si el numero de ecuaciones es igual o menor que el numero de incgni-tas, se empieza a buscar los menores principales por la matriz C, para luego ampliarla a la A.

Ejemplo:

Discutir y resolver el sistema

Por Cramer: Al haber mas ecuaciones que incgnitas, empezaremos calculando el rango de la matriz ampliada A.

Al ser el nico determinante de orden 4 igual a cero no existe un menor principal de orden cuatro.

Veamos si existe algn menor de orden 3

Si existe , por tanto el rg A = 3.

Como el determinante escogido es tambin un menor de orden 3 de la matriz C, podemos asegurar que el rg C = 3

Si rg C = rg A = 3 = n incgnitas ( sistema compatible determinado.

Existe una nica solucin.

Para resolverlo eliminamos la ultima ecuacin, pues el rango lo hemos obtenido con las tres primeras ecuaciones.

Sistemas homogneos. Llamamos sistema homogneo de n ecuaciones con m incgnitas, al sistema en el que todos los trminos independientes de las ecuaciones que forman el sistema son nulos, es decir b1 = b2 = .... = bn = 0

Todo sistema homogneo ser siempre compatible pues el rg C ser siempre igual al rg A, ya que la matriz A se forma aadindole a la matriz C una columna de ceros.

La solucin (0,0...0) ser siempre solucin de todo sistema lineal homogneo y se le llamara solucin impropia del sistema o solucin trivial.

Todo sistema homogneo que tenga solucin distinta de la trivial, admitir infinitas soluciones, incluida la solucin trivial.

Si aplicamos el teorema de Rouche, diremos que la condicin necesaria y suficiente para que el sistema homogneo sea compatible es que :

rg C = rg A < n incgnitas ===> sistema con infinitas soluciones.

rg C = rg A = n incgnitas ===> la solucin ser nica (0,0,...0).

En el caso particular de que el n de ecuaciones coincida con el n de incgnitas, diremos que la condicin necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible (infinitas soluciones), es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo. En caso de no serlo, la solucin ser la trivial (0,0,...0).

Es decir: Si (C( ( 0 ===> solucin (0,0,...0)

Si (C( = 0 ===> infinitas soluciones.

Los sistemas homogneos tambin se pueden discutir y resolver por Cramer y por Gauss.

Ejemplo:

Discutir y resolver el sistema

Por Cramer:

Calculemos

Como el menor el rg C = 2

Eliminamos la ultima ecuacin y despejamos x e y en funcin de z.

Resolvemos por Cramer

Las infinitas soluciones sern 128

_1338276400.unknown

_1338280651.unknown

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