TEMA 1.- PROBABILIDAD.- CURSO 2017-2018

1.1.- Introducción. Definición axiomática de probabilidad. Consecuencias de los axiomas. 1.2.- Combinatoria. Regla del producto 1.2.- Probabilidad condicionada. 1.3.- Independencia de sucesos. 1.4.- Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes

1.1. INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE

PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS.

El Cálculo de Probabilidades es la ciencia que permite analizar de manera adecuada los fenómenos que presentan incertidumbre, llamados fenómenos aleatorios y que son el objeto de estudio de este tema.

Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado, tiempo hasta que se imprime un trabajo, voltaje en un circuito eléctrico. La axiomática de Kolmogorov nos permite definir una medida de

la posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso asociado a un fenómeno aleatorio, medida a la que llamaremos probabilidad del suceso.

Los fenómenos aleatorios se estudian mediante experimentos, llamados, experimentos aleatorios.

DEFINICIONES Definición 1: Llamaremos experimento aleatorio a un experimento que cumple: a) Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del

mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles del experimento. b) El experimento puede repetirse en idénticas condiciones. Definición 2: Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y lo denotaremos por Ω, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Cada uno de estos resultados posibles se llama suceso elemental. Definición 3: Llamaremos suceso compuesto o simplemente suceso, a cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. Los sucesos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,,…

Un conjunto o suceso A se caracteriza mediante la propiedad que cumplen todos sus elementos o dando todos sus elementos, entre llaves. Llamaremos suceso seguro al que se verifica siempre (Ω). Llamaremos suceso imposible al que no se verifica nunca (). Definición 4: Se llama espacio de sucesos al conjunto S formado por todos los subconjuntos de Ω. Ejemplo 2: Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Suceso A: obtener un número par al lanzar un dado o A = 2, 4, 6 S = , Ω,1, 2,..,6,1,2,1,3,…,5,6,1,2,3,…..2,3,4,5,6 Cardinal de S = 26 = 64 Usaremos la representación de conjuntos mediante diagramas de Venn para dibujar el espacio muestral y los sucesos asociados al mismo.

OPERACIONES CON SUCESOS (CONJUNTOS)

Sean A y B dos sucesos cualesquiera de Ω asociados a un experimento aleatorio, entonces:

a) Llamamos suceso unión de A y B (notación: A B ), al suceso que resulta cuando ocurre A o B o ambos a la vez.

b) Llamamos suceso intersección de A y B (notación: A B ), al suceso que resulta cuando ocurren a la vez A y B. Decimos que A y B son disjuntos o incompatibles si A B .

c) Llamamos suceso contrario o complementario de A (notación: A ), al que se verifica cuando no lo hace A.

d) Llamamos suceso diferencia de A y B (notación: A-B ) al que resulta cuando ocurre A y no ocurre B. Observar que A B A B .

e) Decimos que A está contenido en B, y lo designamos por A B , si siempre que ocurre A ocurre B.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Conmutativa : A B B A A B B A

;A A A

Asociativa: A B C A B C

A B C A B C

;A A A A A A

Distributiva: A B C A B A C

A B C A B A C

;A A A A

Leyes de De Morgan: A B A B A B A B

;A A A

A partir de un enunciado, será imprescindible escribir en notación conjuntista un cierto suceso Ejemplo 3: (problema 2 de la hoja de problemas)

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD

Definición 5: Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sea S el espacio de sucesos asociado. Diremos que la aplicación : 0,1P S es una PROBABILIDAD si verifica los siguientes axiomas: 1Axioma 1 P Axioma 2 Si i i I

A , son sucesos incompatibles dos a dos, es decir,

i jA A i j , entonces

i ii Ii I

P A P A

,

donde I puede ser un conjunto de sucesos finito o infinito numerable . La terna (Ω, S, P) se llama ESPACIO PROBABILÍSTICO.

La función probabilidad asigna a cada suceso A un número entre 0 y 1: Si P(A) es cercana a 0, indica posibilidad pequeña de que ocurra el

suceso A. Si P(A) = 0, es imposible que ocurra A. En este caso A . Si P(A) es cercana a 1, indica posibilidad alta de que ocurra el suceso

A. Si P(A) = 1, A ocurre con total seguridad. En este caso, A = Ω

PROPIEDADES CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS Propiedad 1 Si A , entonces 0 1P A

Propiedad 2 1P A P A ( también se escribe 1P A P A ) Propiedad 3 0P

Propiedad 4 Si A es un suceso cualquiera, siempre se verifica que P A P A B P A B

siendo B cualquier suceso. Propiedad 5 P A B P A B P A P A B

Propiedad 6 Si ,A B son tales que A B , entonces o P A P B o P B A P B P A .

Propiedad 7 Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces P A B P A P B P A B

Si A, B y C son sucesos cualesquiera, entonces

P A B C P A P B P C

P A B P A C P B C P A B C

Esta propiedad se puede generalizar al caso de más de tres sucesos 1

1 2 1 21

... ... 1 ...n n n

nn i i j i j k n

i i j i j kP A A A P A P A A P A A A P A A A

Hacer ejercicios 4, 5 y 9 de la hoja de problemas.

Propiedad 8 (Regla de Laplace) Sea Ω un espacio muestral FINITO 1 2, ,..., nA A A asociado a un experimento aleatorio. Si se asignan

probabilidades a cada elemento 1,2,...,iA i n entonces para cualquier suceso B de Ω, la probabilidad de B se calcula como

j

jA B

P B P A

Ejemplo 4: Hacer el problema 8 de la hoja de problemas. En el caso de que todos los sucesos elementales 1,2,...,iA i n sean IGUALMENTE POSIBLES, entonces,

ºde elementos de casos favorables aºde elementos de casos posibles del experimento

k n B BP Bn n

.

Para poder contar el número de elementos del espacio muestral Ω y del suceso B usaremos la Combinatoria.

1.2. COMBINATORIA. REGLA DEL PRODUCTO Si tengo n elementos y quiero contar cuántos grupos de k elementos puedo hacer, debo de responder a tres preguntas:

P1: ¿Importa el orden de los k elementos dentro del grupo? P2: ¿Se pueden repetir los elementos dentro de un grupo? P3: ¿k < n ó k = n?

Variaciones Variaciones

con repetición

Combinaciones Permutaciones

Permutaciones con repetición

P1 SI SI NO SI SI P2 NO SI NO NO SI P3 k < n k < n, k = n

ó k > n k < n k = n k = n

1 1

n kV

n n n k

,

...

kn kVR n,

n k

n nCk k n k

,

!! !

nP n !1 2

1 2

1 2con

r

nk k k

r

r

nPRk k k

k k k n

, ,..,!

! ! ... !...

REGLA DEL PRODUCTO: Si un procedimiento se puede separar en k etapas independientes, habiendo ni posibles resultados para i-ésima etapa, i = 1,2,...,k, el procedimiento total se puede realizar de

1 2 .... kn n n maneras.

EJEMPLOS REGLA DE LAPLACE Ejemplo 5: Calcular la probabilidad de obtener 2 cruces al lanzar una moneda tres veces y la de obtener al menos dos cruces. Ejemplo 6: Una caja contiene 2 bolas rojas y 2 negras. Se sacan dos bolas a la vez. Calcular la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Al menos una sea negra. (explicar también sacar con reemplazamiento y sin reeemplazamiento)

Ejemplo 7: (problema 14) Se forma un número de tres dígitos, seleccionándolos entre el 0,1,2,…,9. Calcular la probabilidad de los sucesos: a) A: Los tres dígitos sean iguales b) B: Los tres dígitos sean distintos c) C: Los dígitos son todos no nulos. d) D: Los tres dígitos sean mayores que 4. Ejemplo 8: (problema 13) Calcular la probabilidad de: a) obtener la palabra tema al construir todas las permutaciones distintas con las cuatro letras de las que consta. b) obtener la palabra campana al construir todas las permutaciones distintas con las siete letras de las que consta.

1.3.PROBABILIDAD CONDICIONADA Si se dispone de información adicional sobre un experimento, por ejemplo, si sabemos que cierto suceso A se ha verificado, esta información puede modificar la probabilidad de un suceso B. Ejemplo 9: Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española (40 cartas) y los sucesos A: extraer figura y B : extraer rey.

12 340 10

P A y 4 140 10

P B . Supongamos ahora que se repite el experimento y al extraer la carta alguien nos dice que ha salido una figura. En este caso la probabilidad de obtener un rey, usando la regla de Laplace es

4 1 1sabiendo que ha ocurrido12 3 10

P B A P B Al conocer que ha ocurrido A, el espacio muestral inicial, Ω, se ha modificado dando lugar a un nuevo espacio muestral Ω´: las 12 figuras de la baraja.

Definición 6: Sean yA B . Llamaremos probabilidad de B condicionada por A a la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A. Se denota por P B A y si 0P A , se calcula como

P B AP B A

P A

Vamos a calcular P B A del ejemplo 9 con esta regla de cálculo y comprobar que se obtiene el mismo resultado que razonando directamente. Observaciones: 1. yP A P A B que aparecen en la fórmula se calculan sobre el espacio muestral inicial Ω. 2. En general, es complicado usar directamente la Regla de Laplace para calcular P B A como hemos hecho en el ejemplo 9 porque es difícil conocer el espacio modificado Ω´. Entonces, en casi todos los casos usaremos la fórmula de la definición 6 para calcular probabilidades condicionadas.

3. La probabilidad condicionada es una PROBABILIDAD y, por tanto, cumple los axiomas de la probabilidad y TODAS las propiedades que se derivan de los mismos. Por ejemplo, se verifica que:

/ 1 /P A B P A B / / / siP A B C P A C P B C A B .

4. Despejando de la fórmula de la definición 6, tenemos una regla para calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos:

P B A P A P B A

Esta fórmula se aplica en casos en que se conoce yP A P B A .

5. La igualdad anterior se generaliza para 3 sucesos como

P A B C P A P B A P C A B

Y para el caso de n sucesos: 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1... ... / ...n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A

Esta regla se llama REGLA DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA.

6. Al aplicar la regla de probabilidad condicionada a P A B y /P B A :

y

P A B P A BP A B P B A

P B P A

.

Esto permite dos igualdades más:

) / /

/) /

a P A B P A B P B P B A P A

P B P A Bb P B A

P A

7. En ejercicios es importante saber si nos preguntan por / óP B A P B .

8. No confundir tampoco / conP B A P A B . En la primera, A ya ha ocurrido y en la segunda los dos sucesos A y B están por ocurrir. Ejemplo 10: Hacer ejercicios 19, 20 y 18 de la hoja de problemas

1.4. INDEPENDENCIA DE SUCESOS Hay ocasiones donde la información que proporciona saber que ha ocurrido un determinado suceso NO INFLUYE sobre la probabilidad de otros sucesos relacionados con el anterior. Ejemplo 11: En el experimento de extraer una carta de una baraja española. Consideremos los sucesos B: sacar un rey y C: sacar un oro

4 1/40 10

P B C P B Se dice entonces que los sucesos B y C son independientes. Definición 7: Sean sucesos yA B . Se dice que A y B son independientes si

P A B P A P B A P B . En caso contrario, se dice que los sucesos son dependientes o que no son independientes. Obs: En el ejemplo 9 A: extraer figura y B: extraer rey NO son independientes.

Teorema Sean yA B . Entonces,

A y B son independientes P A B P A P B . Observaciones: 1. Suele ser más fácil ver si dos sucesos son independientes o no usando el

teorema que usando la definición.

2. No asumir nunca que dos sucesos son independientes a no ser que el enunciado lo indique o que lo hayamos demostrado. Normalmente cuando os piden calcular P A B siempre hacéis P A P B y esto solamente es cierto si se sabe que A y B son

independientes

Ejemplo 12: Hacer problema 27 de la hoja.

3. No confundir la propiedad de independencia con el concepto de sucesos disjuntos. De hecho, se verifica que: si A y B son disjuntos entonces A y B NO son independientes si A y B son independientes entonces A y B NO son disjuntos.

Ejemplo 13: Al lanzar un dado, consideramos A: obtener un nº mayor o igual que 5, B: obtener par y C: obtener número menor o igual que 2:

a) Demostrar que A y B son independientes pero no son disjuntos. b) Demostrar que A y C son disjuntos pero no son independientes.

4. Propiedad: A y B son independientes yA B son independientes

yA B son independientes yA B son independientes.

Ejemplo 14: hacer problema 23 de la hoja de problemas.

INDEPENDENCIA PARA TRES O MÁS SUCESOS Definición 8: Sean 1, , nA A sucesos cualesquiera, se dice que son sucesos

independientes si, para cualquier subconjunto de sucesos 1, ,

ki iA A de 1, , nA A se verifica que

1 1k ki i i iP A A P A P A . Por ejemplo, para verificar que tres sucesos A, B y C son independientes hay que verificar las siguientes condiciones:

1.

2.

3.

4.

P A B P A P B

P A C P A P C

P B C P B P C

P A B C P A P B P C

Por tanto, es difícil demostrar que 3 o más sucesos son independientes. Entonces ¿qué casos nos pueden aparecer en problemas?

CÁLCULO DE INTERSECCIONES EN PROBLEMAS CASO 1: Si en el enunciado nos dicen que varios sucesos son independientes, lo usaremos para calcular probabilidades de intersecciones de cualquier subconjunto de ellos y sus complementarios, multiplicando las probabilidades. Ejemplo 15: problema 24 de la hoja

CASO 2: Si los sucesos NO son independientes (porque no nos lo dicen en el enunciado, o porque no es obvio o no lo sabemos demostrar) para calcular probabilidades de intersecciones hay que usar la Regla de la Probabilidad Compuesta, ya enunciada antes para tres sucesos:

P A B C P A P B A P C A B También se enunció para el caso de n sucesos. Ejemplo 16: Se sacan tres bolas al azar sin reemplazamiento de una urna donde hay 4 blancas y 2 negras. Calcular la probabilidad de que las 3 sean blancas.

1.5.TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sean 1 2, , nA A A sucesos tales que verifican:

1) 1

n

ii

A

2) , , 1, 2,...,i jA A i j i j n . Sea B S un suceso cualquiera. Entonces siempre se verifica que:

1

n

i ii

P B P A P B A

TEOREMA DE BAYES: En las hipótesis del teorema anterior, para un suceso

, 1,2,...,jA j n cualquiera se tiene que:

1

j jj n

i ii

P A P B AP A B

P A P B A

Observación: La dificultad fundamental de aplicación de estos teoremas suele ser que los sucesos no están definidos en el enunciado del ejercicio sino que los debe de definir el usuario de forma que:

a) Al definir los sucesos Ai debe de ser más sencillo calcular y / quei iP A P S A P B .

b) Los sucesos Ai deben definirse de manera que cumplan las dos

condiciones para poder aplicar los teoremas (recoger todas las posibilidades y ser disjuntos 2 a 2).

Ejemplo 17: hacer problema 28 y problemas 32.

RESUMEN DE TÉCNICAS PARA TRATAR PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Casos favorables a A1 (Regla de Laplace)

Casos posibles

2. Escribir A en términos de uniones, intersecciones o complementariosde sucesos más sencillos para los que si sabemos calcular la probabilidad

3. Utilizar el teore

CASO 1

m

P A

.

: ( )

a de la Probabilidad Total

1

1

1. Regla de Laplace (DIFÍCIL; sólo si sabemos cómo B modifica )

2

3. T. Bayes siseusa TPT para

4. Considerar

CASO 2

un s

ki i

j jkj

j jj

P A B P A P B AP B P B

P A B P A P B A P B P A P B AP A P B A

A B C

( ) ( ) ( / ).( ) ( )

: ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( ( ) ( ) ( / ))( ) ( / )

/ uceso y aplicar del caso 1 DIFÍCILP C

( )

TÉCNICAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES DE INTERSECCIONES

1 sirve siempre

2 sirve sólo si y son independientes)

3 Considerar y aplicar cálculo de del caso 1

P A P B A P B P A B

P A B P A P B A B

A B C P C

. ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )

( ) . ( ) ( ) (

. ( )

1 2

1 2 1 2

1. Regla deProbabilidad compuesta (sirve siempre)

2 sirve sólo si son independientes) n

n n

P A A AP A P A P A A A A

( ... ). ( ) ( ) ... ( ) ( , , ...,