1

«Cada esfuerzo por clarificar lo que es ciencia y generar entusiasmo popular sobre ella es

un beneficio para nuestra civilización global. Del mismo modo, demostrar la superficialidad

de la superstición, la pseudociencia, el pensamiento new age y el fundamentalismo

religioso, es un servicio a la civilización».

Carl Sagan

Introducción

El propósito de esta cartilla es proporcionar una introducción axiomática rigurosa a la teoría

de conjuntos que no presuponga del lector ningún conocimiento técnico de la lógica

matemática más allá de una cierta familiaridad con las técnicas de razonamiento informal-

formalizable que emplean habitualmente los matemáticos

Naturalmente, una fundamentación solida de la teoría de conjuntos presupone la lógica

formal, y a este respecto podemos decir que “oficialmente” este libro debe considerarse

como la continuación de mi libro de Lógica matemática (LM), en el que, entre otras cosas,

se discuten con todo el detalle y los tecnicismos necesarios diversas teorías axiomáticas

de conjuntos, entre ellas la de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y la de von Neumann-Bernays-

G¨odel (NBG). Sin embargo, aquı hemos optado por exponer la teoría axiomática de

modo que no ha sido necesario hacer ninguna referencia explícita a LM, de tal forma que

quien lea LM y continúe con esta cartilla, no solo no encontrara ninguna laguna entre

ambos, sino que de hecho hallara varios solapamientos, los que hemos considerado

necesarios para que el lector familiarizado con el razonamiento matematico pueda suplir

con dicha familiaridad los requisitos técnicos que proporciona LM.

De este modo, LM y la presente cartilla suponen dos propuestas alternativas para

introducirse en la teoría de conjuntos: o bien empezando por los fundamentos lógicos de

LM para después adentrarse en los contenidos matemáticos de las teorías de conjuntos

allí presentadas, o bien empezar por una introducción axiomática a la teoría de conjuntos

apoyada en la familiaridad del lector con el razonamiento matemático para después

(opcionalmente) profundizar en sus aspectos lógicos a través de LM.

2

TEORIA DE CONJUNTOS

Contenido

1. Una pincelada de historia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Definición de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Clases de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Conjunto vacío. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Conjunto unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Conjunto finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Conjunto Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Conjuntos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.6 Conjuntos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.7 Conjuntos Homogéneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.8 Conjuntos heterogéneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.9 Universal o también llamado referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Determinación de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1 Extensión y compresión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5. Relación de pertenecía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6. Relación entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.1 Relación de inclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Relación de igualdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.1.1 Intersección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.1.2 Unión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.1.3 Diferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.1.4 Complemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8. CONJUNTO CARDINAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9. DEFINICION DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS. . . . . . . . . . . . . 22

9.1.1 Simbología de la diferencia simétrica de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . 24

9.1.2 Realización de la diferencia simétrica de conjuntos en forma extensiva

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.1.3 Diagrama de ven de una diferencia simétrica de conjuntos. . . . . . . . 27

10. PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN CON CONJUNTOS (Anexos). . . . . . . . . 29

3

UNA PINCELADA DE HISTORIA

En el último cuarto del siglo XX, Se dio a cabo uno de los episodios más impactantes en el

mundo de las matemáticas que ligaría en ese instante la lógica con la respectiva historia de

las matemáticas, Georg Boole (1815- 1864), en su libro titulado “Mathematical Analysis of

Logic”, intenta explicar cómo la lógica compone una parte de las matemáticas, Poco

después Gottlob Frege (1848-1925), publico en su libro “Die Grundlagen der Arithmetik,

Ahora argumentando que la aritmética compone una parte de la lógica, Por lo tanto ellas

también debían ser parte importante de las matemáticas. Unos años después llega G.

Cantor, fundamentando LOGICA DE LA ARITMETICA, En el cual Cantor había demostrado

que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1

no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como

consecuencia de esta situación, se creó una nueva disciplina matemática entre los años

1874 hasta 1897: la teoría de conjuntos. La obra fue admirada y condenada

simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la

teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente

conectados con importantes cuestiones lógicas.

Según esto, nace un nuevo estudio en las matemáticas, La teoría de conjunto, G. Cantor

la define como “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra

percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Gottlob Frege

(1848-1925) fue uno de los admiradores de la nueva

teoría de G Cantor, y dio una definición de conjunto

similar. En 1903 llega B. Russell demostrando que la

teoría de conjuntos de G. Cantor era inconsistente y

cuestionaría la definición de Teoría de Conjuntos.

Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y

refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922),

Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron

las bases para la teoría de conjuntos actual.

Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos

ya es parte del estudio de las matemáticas, es

además, la teoría matemática dónde fundamentar la

Georg Ferdinand Ludwig Philipp

Cantor (San Petersburgo, 3 de

marzo de 1845 - Halle, 6 de

enero de 1918) fue

un matemático nacido en

Rusia,1 aunque de ascendencia

alemana y judía.

4

aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la

lógica y en particular una parte de la lógica de predicados.

En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de la teoría de

conjuntos permitirían por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro

lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el

metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser

completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas

constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales

que se aplican a cualquier teoría de primer orden. En los capítulos que siguen discutiremos

las ideas que intento dar G. cantor en su teoría de para seguir con sus problemas de

inconsistencia y la solución axiomática final como la teoría de conjuntos de Zermelo

Fraenkel.

DEFINICION DE CONJUNTOS

Un botánico se encuentra haciendo un estudio y realizo el siguiente esquema para clasificar

las plantas.

Como se debe presentar un informe decide utilizar un diagrama de Venn para mostrar la

clasificación realizada, ¿Cuál sería el diagrama que debe presentar?

plantas

con flor

Gimnospermas:tienen flores pero no fruto,

pinos.

Angioespermas: tienen frutos y flores

sin flor

helechos

Musgos

5

Las plantas forman un conjunto universal que está formado a su vez por dos tipos de

conjuntos, El conjunto 𝑨, cuyos elementos son las

Plantas sin flor (helechos y musgos) y el conjunto

𝑩, cuyos elementos son las plantas con flor

(angiospermas y gimnospermas). El diagrama

que debe presentar en el informe es el que se

muestra en la siguiente figura

CLASES DE CONJUNTOS

Los conjuntos se nombran con letras con letras mayúsculas, en particular, el conjunto

universal se nombra con la letra 𝑼. Además el conjunto vacío se simboliza con el 0.

Los conjuntos se pueden representar por medio de diagramas de Venn que son óvalos

dentro de un rectángulo el cual representan el conjunto universal. También se puede

representar por medio de un elemento escrito entre llaves y separados por comas.

Los conjuntos se clasifican según sus elementos, así:

Conjunto vacío: El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.

Ejemplos: El conjunto 𝑨 = {𝑁𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑛𝑖𝑛𝑔ú𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜},

Un conjunto es una agrupación de objetos de cualquier especie. Cada objeto de un

conjunto se denomina elemento. Los elementos de un conjunto no se repiten y no

tienen un orden específico

𝐻𝑒𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠

𝑀𝑢𝑠𝑙𝑜𝑠

Angioespermas

gimnospermas

6

Ejemplo 2: Existe un conjunto 𝑩 = {𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 𝑦 7}.

Como en el conjunto 𝑩 no existe ningún número impar entre los números 5 𝑦 7, El conjunto

nos queda vacío. Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { }

(corchete sin elemento), o por el símbolo.

Conjunto unitario: El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento.

Existe un conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10, El único número

que tiene esas características es el nueve (9)

El único elemento que existe en ese conjunto es el número 9.

Ejemplo 2: Existe un Conjunto de satélites naturales de la Tierra.

𝑺 = {𝑳𝒖𝒏𝒂}

Actividad: Realizar el diagrama de venn 𝑪 = {𝟗)

7

El conjunto está formado por un solo elemento, ya que la Tierra solo posee un satélite

natural, que es la Luna.

Conjunto finito: Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras

palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.

Ejemplo: Existe un Conjunto de números pares entre 10 𝑦 40:

𝑹 = { 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟏𝟒, 𝟏𝟔, 𝟏𝟖, 𝟐𝟎, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟐𝟔, 𝟐𝟖, 𝟑𝟎, 𝟑𝟐, 𝟑𝟒, 𝟑𝟔, 𝟑𝟖, 𝟒𝟎 }

Actividad: Realizar el diagrama de venn de conjunto 𝑹

8

Ejemplo 2: Existe un conjunto, tal que contenga los días de la semana.

𝑺 = {𝑳𝒖𝒏𝒆𝒔, 𝑴𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔, 𝑴𝒊𝒆𝒓𝒄𝒐𝒍𝒆𝒔, 𝑱𝒖𝒆𝒗𝒆𝒔, 𝑽𝒊𝒆𝒓𝒏𝒆𝒔 , 𝒔𝒂𝒃𝒂𝒅𝒐, 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒈𝒐}

El conjunto está formado por los elemento de la semana.

Conjunto de infinitos: El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es

decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.

Ejemplo: Existe un conjunto, tal que en el contenga todos los números naturales.

𝑵 = { 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, . . . , 𝒏}

Actividad: Realizar el diagrama de venn de conjunto 𝑺

Actividad: Realizar el diagrama de venn de conjunto 𝑵

9

El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no es posible contar la totalidad

de elementos (números) que conforman el conjunto.

Ejemplo 2: Existe un conjunto tal que contenga todas estrellas del universo.

𝑼 = {𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒖𝒏𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐}

Actividad: Realizar el diagrama de venn de conjunto 𝑼

El conjunto de estrellas en el universo es infinito, puesto que no es posible contar la totalidad

de elementos (estrellas) que conforman el conjunto.

Conjuntos disyuntos o disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún miembro

o elemento en común. Otra forma de expresarlos es decir que la intersección de dos o más

conjuntos disyuntos o disjuntos es el conjunto vacío

Ejemplo: Existe un conjuntos 𝑽 que contendrá las vocales y otro conjunto 𝑪 que contengan

las consonantes.

𝑽 = {𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐, 𝒖}

𝑪 = {𝒒, 𝒘, 𝒓, 𝒕, 𝒚, 𝒑, ñ, 𝒍, 𝒌, 𝒋, 𝒉, 𝒈, 𝒇, 𝒅, 𝒔, 𝒛, 𝒙, 𝒄, 𝒗, 𝒃, 𝒏, 𝒎}

Actividad: Realizar el diagrama de venn de conjunto 𝑼

10

El conjunto 𝑽 𝑦 𝑪 son disyuntos ya que en cada uno de los conjuntos no se ve ningún

miembro en común.

Ejemplo 2: Existe un conjunto 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} Y otro conjunto 𝑩 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆}

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑨 𝒚 𝑩

El conjunto 𝑨 𝑦 𝑩 son disyuntos ya que en cada uno de los conjuntos no se ve ningún

miembro en común.

Conjuntos equivalentes: Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es

decir cuando tienen la misma cantidad de elementos.

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑨 𝒚 𝑩

11

Ejemplo: Sea un conjunto 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅} y otro conjunto 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}

Por lo tanto 𝑨 𝑦 𝑩 son conjuntos equivalentes, ya que poseen la misma cantidad de

elementos.

Ejemplo 2: Sea el conjunto 𝑵 = {𝒉, 𝒑, 𝒌, 𝟑} 𝑦 𝑷 = {𝒛, 𝟐, 𝟓, 𝒎}

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑨 𝒚 𝑩

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑵 𝒚 𝑷

12

Por lo tanto 𝑵 𝑦 𝑷 son conjuntos equivalentes, ya que poseen la misma cantidad de

elementos.

Conjuntos iguales: Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos

conjuntos son iguales:

Ejemplo: sea el conjunto 𝑨 = {𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎} 𝒚 𝑩 = {𝟒, 𝟏𝟎, 𝟐, 𝟖, 𝟔}

Los conjuntos 𝑨 𝑦 𝑩 son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar

que en un conjunto no importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto 𝑩 es igual

que el 𝑨

Conjuntos homogéneos: Cuándo sus miembros o elementos que lo componen,

pertenecen al mismo tipo o género.

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑨 𝒚 𝑩

13

Ejemplo: un conjunto compuesto por elementos de la misma cualidad, letras únicamente,

o números, etc.

𝑨 = {𝒂, 𝒍, 𝒎, 𝒑, 𝒓}

El conjunto es homogéneo pues todos sus miembros son letras.

Conjuntos heterogéneos: Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de

diferentes tipos, clases, géneros, etc.

Ejemplo: un conjunto compuesto por letras, números, animales, estrellas, etc.

𝑩 = {𝑬𝒔𝒕𝒓𝒆𝒍𝒍𝒂𝒔, 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔, 𝒂𝒏𝒊𝒎𝒂𝒍𝒆𝒔}

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑨 𝒚 𝑩

Actividad: Realizar el diagrama de venn de los conjunto 𝑩

14

Universal o también llamado referencia.

El conjunto universal o referencia, es el que se encuentra formado por un amplio número

de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por el otro lado letras

del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.

Vamos a representar el conjunto con la vocal 𝑼 mayúscula y los subconjuntos con

𝑽, 𝑪, 𝑴, 𝑵, 𝑶, 𝑷, 𝑸 𝑦 𝑾.

Ejemplo: Vamos a representar un conjunto por las letras del abecedario

𝑼 = {𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒃𝒆𝒄𝒆𝒅𝒂𝒓𝒊𝒐}

Actividad: Representar en una gráfica el conjunto 𝑼:

15

Del conjunto 𝑼 se puede formar un subconjunto que contendrá las vocales y la

representaremos con 𝑽 y otro subconjunto de consonantes 𝑪.

DETERMINACION DE CONJUNTOS

Un conjunto se puede determinar de dos formas: por Extensión y por comprensión.

Por ejemplo, el conjunto formado por todos los números enteros mayores o iguales a −3 y

menores o iguales que3, se puede representar por extensión como.

𝑨 = {−𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑}

Por extensión: cuando se nombrar sus elementos o una parte de ellos separados por comas

Por compresión: cuando se da una regla o propiedad característica de los elementos que conforman el conjunto.

Cualquier descripción o propiedad que no

se aplica a ningún objeto, sirve para definir

por compresión al conjunto vacío.

Ejemplo:

Numero par divisible entre 5

El número de meses del año son 25 días

Actividad: Representar en una gráfica el conjunto 𝑼:

16

En la figura se ilustra el conjunto A. Este conjunto es conjunto finito

EJEMPLO:

1) Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a. 𝑩 = {𝑿 € Ƶ 𝐼 𝑿 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 20}.

El conjunto B, está formado por todos los números naturales que son impares y

menores que 20, así, 𝑩 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟓, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗}. Este conjunto es finito.

b. 𝑪 = {𝑿 € Ƶ 𝐼 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥ 𝟎}

El conjunto C está formado por todos los números enteros que cumplen con 𝒙𝟐 − 𝟏 ≥

𝟎, estos son: 𝑪 = {±𝟏, ±𝟐, ±𝟑, ±𝟒 … }, este conjunto es infinito.

c. 𝑫 = {𝒙 € Ŗ 𝐼 √𝑿‹ 𝟎}

LOS DIAGRAMAS DE VENN

En la historia de las matemáticas

John Venn (1834 − 1923) fue un

matemático británico que mostro la unidad

de los llamados diagramas de venn para los

análisis lógicos de los conjuntos

17

El conjunto 𝑫 está formado por todos los números reales cuya raíz cuadrada es menor

a 0, pero este conjunto no tiene elementos ya que ninguna raíz cuadrada de números

reales es negativa. Por lo tanto, D = 0. Este es un conjunto vacío.

2) Escribir por compresión el conjunto 𝑷 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏}

El conjunto 𝑷 está formado por los números naturales mayores o iguales a 3 y menores

o iguales a 11. Por compresión 𝑷 = {𝑿 € 𝑵 𝐼 𝟑 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟏}

RELACION DE PERTENENCIA

La relación entre un elemento y un conjunto dado se denomina relación de pertenencia.

Así, si un elemento 𝑿 cumple con las características de un conjunto 𝑴 se escribe 𝑿 € 𝑴 y

se lee “𝑋 pertenece a 𝑀”. De manera similar, si un elemento 𝑾 no cumple con las

características que definen a M, entonces, se escribe 𝑾 Ɇ 𝑴, se lee, “y no pertenece a M”.

Un elemento pertenece a un conjunto si cumple con las características que definen al conjunto. Los símbolos que se utilizan para indicar si un elemento pertenece o no pertenece a un conjunto son € y Ɇ, respectivamente

Actividad: Determinar por compresión y extensión el conjunto formado por todos los puntos

del plano que pertenecen a la parábola que se muestra en la siguiente función

𝑦 = (𝑥 − ℎ)^2 + 𝑘, donde (ℎ = 3, 𝑘 = 3)

18

Un conjunto 𝑨 esta contenido o incluido en un conjunto 𝑩 si todos los

Elementos que pertenecen a 𝑩. Esto se escribe 𝑨 ₵ 𝑩 y se lee “𝑨 es un subconjunto de 𝑩”. En

forma simbólica la relación de inclusión se puede expresar como:

𝑨 ₵ 𝑩 ↔ ᵾ 𝑿 € 𝑩

RELACION ENTRE CONJUNTOS

Entre dos o más conjuntos se puede presentar una relación

de inclusión o una relación de igualdad.

Relación de inclusión

Cuando un conjunto 𝑨 no es subconjunto de un conjunto 𝑩, entonces, se escribe 𝐴 ₲ 𝐵.

Algunas propiedades de la relación de inclusión son:

a) Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo, es decir 𝑨 ₵ 𝑨

b) El conjunto vacío, ᴓ, es subconjunto de todos los conjuntos, es decir, ᴓ ₵ 𝑨

Relación de igualdad

Pertenencia € es una

relación que se establece

entre elementos y conjuntos

Inclusión ₵ es una relación

que se establece entre

conjuntos.

Dos conjuntos 𝑨 𝒚 𝑩 son iguales si 𝑨 es subconjunto de 𝑩 𝒚 𝑩 es subconjunto de 𝑨,

es decir, si ambos conjuntos tienen los mismos elementos. En forma simbólica, la

relación de igualdad se puede expresar como:

𝑨 = 𝑩 ↔ 𝑨 ₵ 𝑩 ᴧ 𝑩 ₵ 𝑨

Y de acuerdo con la relación de inclusión se tiene que:

𝑨 = 𝑩 ↔ (ᵾ𝑿 € 𝑨 → 𝑿 € 𝑩) ᴧ (ᵾ𝑿 € 𝑩 → 𝑿 € 𝑨)

19

Algunas propiedades de la relación de igualdad son:

a) Todo conjunto 𝑨 es igual así mismo, es decir, 𝑨 =

𝑨

b) Si 𝑨 = 𝑩, entonces, 𝑩 = 𝑨

c) Si 𝑨, 𝑩, 𝑪 son conjuntos tales que 𝑨 = 𝑩 y 𝑩 = 𝑪,

entonces, 𝑨 = 𝑪

EJEMPLOS:

1) Representar en un diagrama de venn los conjuntos 𝑨 = {𝑿 ₵ Ƶ 𝑰 𝒙^𝟐 + 𝟐𝑿 −

𝟏𝟓 = 𝟎}, 𝑩 = {−𝟓, −𝟑, −𝟎, 𝟑, 𝟒} y 𝑪 = {𝑿 ₵ Ƶ 𝑰 − 𝟔 ‹ 𝑿 ≤ 𝟒}

Primero: se determina por expresión los conjuntos A y C. Así:

Para el conjunto 𝑨, se resuelve la ecuación 𝒙^𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 y se obtiene 𝒙 =

−𝟓 𝑦 𝒙 = 𝟑

Para el conjunto 𝑪, se escriben los números enteros mayores a −𝟔 y menores o iguales a

𝟒

𝑪 = {−𝟓, −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}

Segundo: se ubican los elementos de los conjuntos dados en diagramas de venn.

Finalmente: las relaciones entre conjuntos que se dan a partir del diagrama son:

𝑨 ₵ 𝑩, 𝑨 ₵ 𝑪, 𝑩 ₵ 𝑪, 𝑪 ₵ Ƶ

2) Establecer la relación entre los conjuntos

𝑴 = {𝑿 € Ƶ 𝑰 (𝑿 + 𝟓 = 𝟖) ᴧ (𝑿^𝟐 – 𝟐𝟓 = 𝟎 )}

𝑵 = {𝑿 € Ƶ 𝑰 𝟐𝑿 − 𝟓 = 𝟏 ᴧ 𝑿^𝟐 = 𝟐𝟓}

Los conjuntos dados por extensión son:

𝑴 = {−𝟓, 𝟑, 𝟓} 𝒚 𝑵 = {−𝟓, 𝟑, 𝟓}, Por tanto, la relación entre conjuntos 𝑴 𝒚 𝑵 es 𝑴 = 𝑵

Realice el diagrama de ven

que represente la relación

entre conjuntos.

𝑃 ₵ 𝑄 ₵ 𝑅 ₵ 𝑆 ₵ 𝑈

20

Actividades

1) Sean los conjuntos 𝐴 = 𝑦 𝐵 = .

Determina:

a) .

b) .

c)

d) .

2) Dados los conjuntos 𝑷 = y 𝑸 = . Determina:

a)

b)

c) .

d) .

3) Sean A = y 𝑩 = (0; ∞). Determina:

a) .

b) .

c) .

d) .

4) Sea el conjunto.

Escribe los elementos de los conjuntos:

21

5) Sean los conjuntos 𝑹 = y 𝑷: Conjunto formado por los

números cuadrados perfectos menores o iguales que 121.

6)

7) Determina:

a) .

b) .

c) .

d) .

8) En una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su preferencia por el deporte

se obtuvo que a 55 les gusta el Fútbol y el Béisbol, a 85 les gusta el Béisbol, a 80 el Fútbol

y a 15 no les gusta ninguno de los dos deportes.

a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?

b) ¿A cuántas personas les gusta solo el Fútbol?

En una escuela se realizó una encuesta a 98 estudiantes sobre la preferencia por tres

idiomas, el inglés, el francés y el chino. El resultado arrojó los resultados siguientes:

10 estudiantes les gustan los tres idiomas.

18 estudiantes les gustan el inglés y el francés.

13 estudiantes les gustan el chino y el francés.

15 estudiantes les gustan el inglés y el chino.

45 les gusta el inglés.

41 les gusta el francés.

36 les gusta el chino.

¿A cuántos de los encuestados no les gusta ninguno de esos tres idiomas?

22

25

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Se realizó una encuesta a 200 bachilleres, 150 dijeron que les gustaba estudiar ingeniería

y 75 economías. ¿Cuantos estudiantes desean estudiar las dos cosas?

El siguiente diagrama representa la situación dada:

Los estudiantes que están representados

en la parte azul del diagrama son a

quienes les gustaría estudiar ingeniería y

economía.

El número de estudiantes que desea las dos carreras es:

150 + 75 – 200 = 225 – 200 = 25 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

Entre conjuntos se define las siguientes operaciones: intersección, unión, diferencia y

diferencia simétrica.

Intersección

Si no hay elementos que pertenezcan tanto a 𝑨 como a B, entonces, la intersección se

vacía y los conjuntos se denominan disyuntos 𝑨 𝜫 𝑩 = ᴓ

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a 𝐴 y B simultáneamente. La intersección se expresa en forma

simbólica como:

𝐴 𝛱 𝐵 = {𝑋 𝐼 𝑋 € 𝐴 ᴧ 𝑋 € 𝐵}

125 50

23

En la figura la región rayada representa la

intersección de dos conjuntos 𝑨 𝒚 𝑩

La intersección entre conjuntos cumple las

siguientes propiedades:

𝐴 𝛱 𝐴 = 𝐴

𝐴 𝛱 ᴓ = ᴓ

𝐴 𝛱 𝐵 = 𝐵 𝛱 𝐴

𝐴 𝛱 (𝐵 𝛱 𝐶) = (𝐴 𝛱 𝐵) 𝛱 𝐶

Unión

En la siguiente figura se ilustra la unión de los conjuntos A y B

La unión entre conjuntos cumple las siguientes propiedades:

𝐴 Ʋ 𝐴 = 𝐴

𝐴 Ʋ 𝐵 = 𝐵 Ʋ 𝐴

𝐴 Ʋ (𝐵 Ʋ 𝐶) = (𝐴 Ʋ 𝐵) Ʋ 𝐶

𝐴 Ʋ ᴓ = 𝐴

𝐴 Ʋ 𝑈 = 𝑈

También existen otras propiedades que relacionan

la unión y la intersección entre conjuntos. Estas son:

𝐴 𝛱 (𝐵 𝛱 𝐶) = (𝐴 𝛱 𝐵) Ʋ (𝐴 𝛱 𝐶)

𝐴 Ʋ (𝐵 𝛱 𝐶) = (𝐴 Ʋ 𝐵) 𝛱 (𝐴 Ʋ 𝐶)

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que

pertenecen a A o que pertenecen a B. La unión se expresa en forma simbólica

como:

𝑨 Ʋ 𝑩 = {𝑿 𝑰 𝑿 € 𝑨 Ѵ 𝑿 € 𝑩}

24

7, 8,

EJEMPLO

Determinar la interacción y la unión de los

conjuntos que se muestran en el siguiente

diagrama.

Intersección: 𝑨 𝜫 𝑩 = {𝟕, 𝟖}, elementos

comunes de 𝑨 𝒚 𝑩

Unión: 𝑨 Ʋ 𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏}, elementos que están en 𝑨 𝒚 𝑩. Aquellos que están

repetidos se escriben una vez

Diferencia

La diferencia entre dos conjuntos 𝑨 – 𝑩 cumple las siguientes propiedades:

𝑨 − ᴓ = 𝑨

𝑨 – 𝑩 = ᴓ 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑨 ₵ 𝑩

𝑨 – 𝑨 = ᴓ

𝑨 – 𝑩 = 𝑨 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑨 𝜫 𝑩 = ᴓ

Es importante tener en cuenta que la diferencia entre

conjuntos no cumple la ley conmutativa, es decir,

𝑨 – 𝑩 ǂ 𝑩 – 𝑨

Complemento

Los diagramas de venn que representan las diferencias 𝑨 – 𝑩, 𝐄– 𝑫 y el conjunto 𝑨^𝒄 son:

La diferencia entre dos conjuntos 𝑨 𝒚 𝑩 es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a 𝑨, Pero que no pertenecen a 𝑩. En forma simbólica la diferencia

se expresa como

𝑨 – 𝑩 = {𝑿 𝑰 𝑿 € 𝑨 ᴧ 𝑿 Ɇ 𝑩}

Dado el conjunto finito

𝑨, el número de

elementos de este

conjunto se llama

número radical de A, Se

denota por 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) o

𝒏(𝑨) “número de

elementos de 𝑨”

A partir de la diferencia entre conjuntos y teniendo en cuenta un conjunto universal

𝑼 es el conjunto formado por los elementos de 𝑼 que no pertenecen a 𝑨. En forma

simbólica, el complemento de un conjunto se define como:

𝑨^𝒄 = {𝑿 𝑰 𝑿 € 𝑼 ᴧ 𝑿 Ɇ 𝑨} 𝑨^𝒄 = 𝑼 − 𝑨

4,5,6, 9, 10 11

25

1)

2)

3)

EJEMPLO

1. Si el conjunto universal es 𝑼 = { 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆 } 𝒚 𝑨 = { 𝒃, 𝒄, 𝒅 }, entonces el

complementario de 𝑨 respecto de 𝑼 está formado por los elementos del universal

que no estén en 𝑨, esto es:

26

𝑨𝒍 = { 𝒂, 𝒆 }

Los conjuntos { 𝒂, 𝒆 } 𝒚 { 𝒃, 𝒄, 𝒅 } son complementarios.

En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto 𝐴𝑙.

1) En la figura de la derecha, está señalado en verde

el conjunto 𝑨𝒍. Como cabe esperar, si un conjunto

es el complementario de otro conjunto, diremos que

ambos conjuntos son complementarios.

Actividades

1.- Sean 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}; 𝑩 =

{𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖}; 𝑪 = {𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}

Hallar

a).- 𝑨 𝑼 𝑩;

b).- 𝑨 𝑼 𝑪;

c).- 𝑩 𝑼 𝑪;

d).- 𝑩 𝑼 𝑩

2) Dado el conjunto 𝑨 = {𝟔, 𝟐, 𝟖, 𝟒, 𝟑} encontrar todos los subconjuntos de 𝑨 que se puedan

construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

3) ¿A quién se le considera el padre de la Teoría de Conjuntos?

4) ¿Cuál es la diferencia entre teorema y axioma?

27

5) ¿Qué es un conjunto?

6) Define la intersección entre conjuntos.

7) ¿Cuál es la diferencia entre una intersección y una unión?

8) ¿Cuál es la diferencia entre complemento y diferencia de conjuntos?

9) ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos

{𝒆, 𝒙, 𝒊, 𝒕, 𝒐} 𝒚 {𝒕, 𝒓, 𝒊, 𝒖, 𝒏, 𝒇, 𝒐}?

10).- Representa la unión de los conjuntos {𝒆, 𝒙, 𝒊, 𝒕, 𝒐} 𝒚 {𝒕, 𝒓, 𝒊, 𝒖, 𝒏, 𝒇, 𝒐}

11) ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos?

𝑨 = {𝒍, 𝒖, 𝒏, 𝒂} 𝒚 𝑩 = {𝒕, 𝒓, 𝒊, 𝒖, 𝒏, 𝒇, 𝒐}

12) Obtener la diferencia 𝑨\𝑩 𝒔𝒊 𝑨 = {𝒄, 𝒐, 𝒓, 𝒂, 𝒛, 𝒏} 𝒚 𝑩 = {𝒉, 𝒊, 𝒑, 𝒆, 𝒓, 𝒕, 𝒏, 𝒔, 𝒐}

13) Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?

*

*

*

14) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) 𝐴 = { 𝑥 𝐼 𝑥 𝑒𝑠 𝑑í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎}

b) 𝐵 = { 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜}

c) 𝐶 = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . }

28

d) 𝐷 = {𝑥 𝐼 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟}

e) 𝐸 = {𝑥 𝐼 𝑥 < 15}

f) 𝐹 = {𝑥 𝐼 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦(𝑥) = 𝐼𝑥𝐼 }

15) Demuestre que

16) Demuestre las leyes de De Morgan:

17) Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

18) En el diagrama de Venn que sigue rayar,

;

19) Consideremos 𝑼 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗} como conjunto universal y 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 =

{2,4,6,8} 𝑦 𝐶 = {3,4,5,6}. Halla los conjuntos:

a) 𝑨 𝒍, 𝑩 𝒍 , 𝑪 𝒍 , 𝑼 𝒍, Ø 𝒍 , (𝑨 𝒍) 𝒍 , (𝑩 𝒍) 𝒍 , (𝑪 𝒍) 𝒍,

b) 𝑨 𝑨 𝒍, 𝑨 𝑨 𝒍, 𝑩 𝑩 𝒍, 𝑩 𝑩 𝒍, 𝑪 𝑪 𝒍, 𝑪 𝑪 𝒍,

c) 𝑨 – 𝑩, 𝑨 𝑩 𝒍, 𝑩 – 𝑪, 𝑩 𝑪 𝒍, 𝑨 – 𝑪, 𝑨 𝑪 𝒍.

d) (𝑨 𝑪) 𝒍, 𝑨 𝒍 𝑪 𝒍, (𝑩 𝑪) 𝒍, 𝑩 𝒍 𝑪 𝒍,

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e) (𝑩 𝑪) 𝒍, 𝑩 𝒍 𝑪 𝒍, (𝑨 𝑪) 𝒍, 𝑨 𝒍 𝑪 𝒍,

f) (𝑩 – 𝑨) 𝒍, 𝑩 𝒍 – 𝑨 𝒍, (𝑪 – 𝑩) 𝒍, 𝑩 𝒍 – 𝑪 𝒍.

CONJUNTO CARDINAL

Como ya hemos estudiado antes, los conjuntos finitos son los que tienen “unos pocos”

elementos, más concretamente, son tales que podemos contar los elementos que tiene.

DEFINICION DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

Simbología de la diferencia simétrica de conjuntos

El símbolo de la DIFERENCIA SIMÉTRICA es: 𝜟

La 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑺𝑰𝑴É𝑻𝑹𝑰𝑪𝑨 del conjunto 𝑨 y el conjunto 𝑩, se representa como: 𝑨𝜟𝑩

Realización de la diferencia simétrica de conjuntos en forma extensiva

El cardinal de un conjunto finito 𝑨 es el número de elementos que tiene dicho conjunto. A ese número lo denotaremos por | A |.

No es difícil llegar a que, si tenemos dos conjuntos 𝑨 𝒚 𝑩, entonces

| 𝑨 𝑩 | = | 𝑨 | + | 𝑩 | – | 𝑨 𝑩 |

La DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, 𝑨 𝒚 𝑩, especifican cuales elementos NO SON COMUNES formando un nuevo conjunto llamado DIFERENCIA SIMÉTRICA.

30

1) Sean dos conjuntos 𝑨 𝒚 𝑩.

2) Sea 𝑨 definido así: 𝑨 = {𝒋, 𝒖, 𝒈, 𝒐, 𝒅, 𝒆}

3) Sea 𝑩 definido así: 𝑩 = {𝒎, 𝒂, 𝒏, 𝒈, 𝒐}

4) La DIFERENCIA SIMÉTRICA posible se representa así 𝑨𝜟𝑩 = {𝒋, 𝒖, 𝒅, 𝒆, 𝒎, 𝒂, 𝒏}

Diagrama de ven de una diferencia simétrica de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, su DIFERENCIA SIMÉTRICA estará representada

por el área rellenada de color:

LA DIFERENCIA SIMÉTRICA 𝑨 𝜟 𝑩

Gráficamente esta área cubre la superficie que

𝑨 𝒀 𝑩 NO COMPARTENMUTUAMENTE, ES

DECIR EL AREA TOTAL CUBIERTA,

EXCLUYENDO ELÁREA COMUN O

COMPARTIDA.

EJERCICIOS

1) Dado los conjuntos 𝑨 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑} 𝒚 𝑩 = {𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓},

hallar 𝑨 △ 𝑩

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2) Dado los siguientes conjuntos, hallar 𝑨 ∆ 𝑩

𝑨 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑵: 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟖}

𝑩 = {𝟑𝒙 – 𝟑 / 𝒙 ∈ 𝑵; 𝟎 < 𝒙 < 𝟔}

3) Dado los siguientes conjuntos, indique qué elementos corresponden a las siguientes

operaciones:

𝑨 ∆ 𝑩 = { }

𝑩 ∆ 𝑨 = { }

𝑨 ∆ 𝑫 = { }

𝑫 ∆ 𝑨 = { }

EJEMPLO:

Se sabe que, de los 𝟔𝟓 alumnos del sexto curso, a 30 les gusta la Biología, a 𝟒𝟎 las

Matemáticas y a 𝟏𝟎 les gustan ambas asignaturas.

El diagrama de Venn que representa el enunciado es el

que aparece a la derecha.

Claramente, el conjunto universal debe ser 𝑼 =

{𝒙 / 𝒙 𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒙𝒕𝒐 𝒄𝒖𝒓𝒔𝒐}. Representemos

por:

𝑩 = {𝒙 𝑼/𝒂 𝒙 𝒍𝒆 𝒈𝒖𝒔𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝑩𝒊𝒐𝒍𝒐𝒈í𝒂} 𝒚 𝑴 = {𝒙 𝑼/𝒂 𝒙 𝒍𝒆 𝒈𝒖𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔}.

32

Entonces, según el enunciado, | 𝑼 | = 𝟔𝟓, | 𝑩 | = 𝟑𝟎, | 𝑴 | = 𝟒𝟎, | 𝑩 𝑴 | = 𝟏𝟎.

Los números que aparecen en las regiones coloreadas corresponden a los cardinales de

los conjuntos que representan. Así,

| 𝑩 𝑴| = 𝟏𝟎, | 𝑩 – 𝑴| = 𝟑𝟎 – 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎 𝒚 | 𝑴 – 𝑩| = 𝟒𝟎 – 𝟏𝟎 = 𝟑𝟎,

𝑬𝒍 | 𝑩 𝑴 | = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟑𝟎 = 𝟔𝟎, que coincide con el resultado de | 𝑩 | +

| 𝑴| – | 𝑩 𝑴|, 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔 𝟑𝟎 + 𝟒𝟎 – 𝟏𝟎 = 𝟔𝟎.

El cardinal de (𝑩 𝑴) 𝒍 𝒆𝒔 | (𝑩 𝑴) 𝒍 | = 𝟔𝟓 – 𝟔𝟎 = 𝟓.

Ejemplo 2: Se sabe que, de los 𝟔𝟓 alumnos del sexto curso, a 𝟑𝟎 les gusta la Biología, a

𝟒𝟎 las Matemáticas y a 𝟏𝟎 les gustan ambas asignaturas.

a) ¿A cuántos alumnos les gusta al menos una de esas asignaturas?

b) ¿A cuántos les gusta solamente la biología?

c) ¿A cuántos les gusta exactamente una de esas dos?

d) ¿A cuántos alumnos no les gustan ninguna de esas asignaturas?

Resolución:

Los datos dados son los mismos que en el ejemplo anterior. Reproducimos a la derecha el

diagrama de Venn que representa el enunciado. Habíamos escrito que:

El conjunto universal es 𝑼 = {𝒙 / 𝒙 𝒆𝒔 𝒂𝒍𝒖𝒎𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒙𝒕𝒐 𝒄𝒖𝒓𝒔𝒐},

𝑩 = {𝒙 𝑼/𝒂 𝒙 𝒍𝒆 𝒈𝒖𝒔𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝑩𝒊𝒐𝒍𝒐𝒈í𝒂} 𝒚 𝑴 = {𝒙 𝑼/𝒂 𝒙 𝒍𝒆 𝒈𝒖𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔}.

33

Entonces, según el enunciado, | 𝑼 | = 𝟔𝟓, | 𝑩 | =

𝟑𝟎, | 𝑴 | = 𝟒𝟎, | 𝑩 𝑴 | = 𝟏𝟎, | 𝑩 – 𝑴| =

𝟐𝟎, | 𝑴 – 𝑩| = 𝟑𝟎, | 𝑴 𝑩 | = 𝟔𝟎 𝒚 | (𝑩 𝑴)𝒍 | =

𝟔𝟓 – 𝟔𝟎 = 𝟓.

Respondamos ahora a las preguntas hechas:

a) A los alumnos a los que les gusta al menos una de las dos asignaturas, les gusta, o bien

la Biología, o bien las Matemáticas o ambas, es decir, esos alumnos deben pertenecer a la

unión de dichos conjuntos. Por tanto, a 60 alumnos les gusta al menos una de esas

asignaturas.

b) Un alumno al que sólo le guste la Biología debe pertenecer al conjunto 𝑩 – 𝑴, por tanto,

a 𝟐𝟎 alumnos les gusta sólo la Biología.

c) Un alumno al que le gusta únicamente una de esas asignaturas pertenece a 𝑩 – 𝑴 o bien

a 𝑴 – 𝑩, es decir, es un alumno de (𝑩 – 𝑴) (𝑩 – 𝑴). Ese conjunto también se puede

escribir (𝑩 𝑴) – ( 𝑩 𝑴). Si sumamos 𝟐𝟎 + 𝟑𝟎, tenemos que a 𝟓𝟎 alumnos les gusta

sólo una de esas dos asignaturas.

PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN CON CONJUNTOS (Anexos)

Propiedad Unión Intersección

Asociativa (𝑨 𝑩) 𝑪

= 𝑨 (𝑩 𝑪)

(𝑨 𝑩) 𝑪

= 𝑨 (𝑩 𝑪)

Conmutativa 𝑨 𝑩 = 𝑩 𝑨 𝑨 𝑩 = 𝑩 𝑨

Idempotente 𝑨 𝑨 = 𝑨 𝑨 𝑨 = 𝑨

Absorción 𝑨 (𝑩 𝑨) = 𝑨 𝑨 (𝑨 𝑩) = 𝑨

34

Distributiva 𝑨 (𝑩 𝑪)

= (𝑨 𝑩) (𝑩 𝑨)

𝑨 (𝑩 𝑪)

= (𝑨 𝑩) (𝑨 𝑪)

Neutralidad 𝑨 Ø = 𝑨 𝑨 𝑼 = 𝑨

𝑨 𝑼 = 𝑼 𝑨 Ø = Ø

Complementación 𝑨 𝑨 𝒍 = 𝑼 𝑨 𝑨 𝒍 = Ø

Ley de Morgan (𝑨 𝑩) 𝒍 = 𝑨 𝒍 𝑩 𝒍 (𝑨 𝑩) 𝒍 = 𝑨 𝒍 𝑩 𝒍

Además se cumple:

(𝑨 𝒍) 𝒍 = 𝑨, 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝒍, 𝑨 − (𝑩 𝑪)

= (𝑨 − 𝑩) (𝑨 − 𝑪), 𝑨 − (𝑩 𝑪) = (𝑨 − 𝑩) (𝑨 − 𝑪)

35

BIBLIOGRAFIA:

Set Theory. Academic Press, New York, 1978.

y Shelah, S. On a conjecture of Tarski on products of cardinals, Proc. Amer. Math. Soc. 112,

4 (1991) pp. 1117–1124.

Kleene, S. C. Introducción a la Metamatemática, Tecnos, Madrid, 1974.

Kunen, K. Set Theory. An Introduction to Independence Proofs, North Holland, Amsterdam,

1985.

Mosterın, J. Logica de Primer Orden, Ariel, Barcelona, 1970.

Teorıa Axiomatica de Conjuntos, Ariel, Barcelona, 1971.

Smorynski, C. The Incompleteness Theorems, (en Barwise).

Specker, E. Verallgemeinerte Kontinuumshypothese und Auswahlaxiom. Archiv. Math.

(Basel) 5 (1954) pp. 332–337.