11 emets áeas de ns 11 perÍmetros y Áreas de polÍgonos · 2020-05-27 · de problemas de áreas...

11 Perímetros y áreas de polígonos

326Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

E l cálculo de perímetros y áreas está ya trabajado en la anterior etapa por lo que en este caso se trata de una unidad de afianzamiento de conceptos y recordatorio de todas las fórmulas del cálculo que ya han aplicado.

La unidad comienza recordando las unidades de medida que se van a utilizar, las de longitud para el cálculo de perímetros y las de su-perficie para el cálculo de áreas. En este epígrafe también se trabajan las operaciones con estas unidades de medida.

La unidad hace un recorrido por los polígonos más utilizados acabando con el estudio de figuras compuestas donde los alumnos deben aplicar todo lo aprendido en los epígrafes anteriores.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con perímetros y áreas de polígonos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es la fabricación de panales de abejas, los alumnos profundizarán en el estudio de polígonos y el cálculo de sus perímetros y áreas.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Manejar las medidas de longitud y superficie.❚❚ Manejar el teorema de Pitágoras y comprobar si tres lados pueden formar un triángulo rectángulo.❚❚ Reconocer ternas pitagóricas.❚❚ Identificar el perímetro y la superficie de una figura plana, así como calcular y estimar perímetros y áreas de figuras planas.❚❚ Calcular el área de cuadriláteros, triángulos y polígonos regulares.❚❚ Calcular el área de figuras planas compuestas descomponiéndolas en figuras cuyas áreas son conocidas.❚❚ Comprender y resolver problemas relacionados con perímetros y áreas de polígonos.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando áreas de polígonos.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS11

327

11Perímetros y áreas de polígonos

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el cálculo de perímetros y áreas de polígonos. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre perímetros y áreas de polígonos, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con perímetros y áreas de polígonos pueden acceder a las lecciones 1084, 1091, 1108, 1110, 1112, 1128 y 1129 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Unidades de longitud y superficie

1. Manejar las medidas de longitud y de superficie.

1.1. Maneja las medidas de longitud y de superficie expresando dichas medidas en distintas unidades, utilizándolas en contextos de la vida cotidiana.

1-1267-74

CMCTCLCSCCAA

Teorema de Pitágoras

2. Reconocer el significado aritmético (cuadrados de números, ternas pitagóricas) del teorema de Pitágoras y el significado geométrico (áreas de cuadrados construidos sobre los lados) y emplearlo para resolver problemas geométricos.

2.1. Comprende los significados aritmético y geométrico del teorema de Pitágoras y los utiliza para la búsqueda de ternas pitagóricas o la comprobación del teorema construyendo otros polígonos sobre los lados del triángulo rectángulo.2.2. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular longitudes desconocidas en la resolución de triángulos y áreas de polígonos regulares, en contextos geométricos o en contextos reales.

13-162075, 76

17-1977-79

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Perímetro de una figuraEstimación de perímetros

3. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de perímetros y áreas de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado para expresar el procedimiento seguido en la resolución.

3.1. Resuelve problemas relacionados con distancias y perímetros, de figuras planas, en contextos de la vida cotidiana, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.3.2. Resuelve problemas relacionados con superficies de figuras planas, en contextos de la vida cotidiana, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

21-2780, 8191, 94 28-3264-6681, 85, 94

CMCTCLCSCCAA CSIEESuperficie de una

figuraEstimación de áreas

Área de cuadriláteros

4. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de áreas de cuadriláteros, triángulos y polígonos regulares, utilizando el lenguaje matemático adecuado para expresar el procedimiento seguido en la resolución.

4.1. Resuelve problemas relacionados con superficies de cuadriláteros, en contextos de la vida cotidiana, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.4.2. Resuelve problemas relacionados con superficies de triángulos, en contextos de la vida cotidiana, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.4.3. Resuelve problemas relacionados con superficies de polígonos regulares, en contextos de la vida cotidiana, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

33-4382, 86-9092PV1

44-5183, 93 52-588491, 95Matemáticas vivas 1-5

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Área de triángulos

Área de polígonos regulares

Área de figuras planas compuestas

5. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de áreas de figuras planas compuestas.

5.1. Resuelve problemas relacionados con superficies de figuras planas compuestas, en contextos de la vida cotidiana, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

59-6396, 98Trabajo cooperativo

CMCTCLCSCCAA CSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Teorema de Pitágoras

5. Área de cuadriláteros

Lee y comprende las matemáticas¿Cómo se cuenta el número de asistentes a una manifestación?

¿Qué tienes que saber? • Teorema de Pitágoras • Área de figuras planas conocidas • Área de figuras compuestas

Matemáticas vivasLas matemáticas de las abejas • Estudio de la construcción de panales

de abejas

AvanzaÁrea del desarrollo plano de un poliedro

Percepción visualSuperficies casi iguales

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Origen del sistema métrico decimal

1. Unidades de longitud y superficie

4. Superficie de una figura • Estimación de áreas

GeoGebra. Teorema de Pitágoras

Actividades interactivas

3. Perímetro de una figura • Estimación de perímetros

GeoGebra. Área del romboideGeoGebra. Área del romboGeoGebra. Área del trapecio

6. Área de triángulos

7. Área de polígonos regulares

8. Área de figuras planas compuestas

MisMates.esLecciones 1084, 1091, 1108, 1110, 1112, 1128 y 1129 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas


Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Situación problema, adaptación del Laboratorio de Innovación educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO328

329



Sugerencias didácticas

La unidad comienza con un uso de los perímetros y áreas al que seguro nos vamos a enfrentar en nuestra vida: la reali-zación de pequeñas reformas en casa.

En algún momento vamos a pintar una pared, cambiar un rodapié… y en ese momento necesitaremos calcular o esti-mar los materiales que vamos a necesitar.

Contenido web. ORIGEN DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Documento en el que se expone el origen griego o latino de los nombres que utilizamos para determinar algunas figuras geomé-tricas planas o sus características.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

215

11 PERÍMETROS Y ÁREAS

DE POLÍGONOS

Antes de empezar cualquier reforma en una casa, tenemos que conocer la superficie de las paredes, suelos y techos para poder calcular la cantidad de material que necesitamos, ya sea pintura, baldosas, tarima, etc.

Además, si en nuestra reforma incluimos cambiar el rodapié, también es preciso conocer el perímetro de la habitación que vamos a remodelar.

REPASA LO QUE SABES1. Realiza estas multiplicaciones y divisiones.

a) 0,45 ⋅ 10 c) 42 : 100 e) 3,4051 ⋅ 1 000

b) 0,034 ⋅ 100 d) 3,5 : 10 f) 45,61 : 1 000

2. Calcula las siguientes raíces enteras.

a) 81 c) 121 e) 225

b) 49 d) 10 000 f) 169

3. Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 6 = 10 c) 12 = 2x + 4

b) 7 = 18 − x d) x

152

23+ =

4. Utiliza herramientas de dibujo para calcular la distancia entre la recta y el punto.

a) b)

Antes de empezar cualquier reforma en una casa, tenemos que conocer la superficie de las paredes, suelos y techos para poder calcular la cantidad de material que necesitamos, ya sea pintura, baldosas, tarima, etc.

Además, si en nuestra reforma incluimos cambiar el rodapié, también es preciso conocer el perímetro de la habitación que vamos a remodelar.

1.

IDEAS PREVIAS

❚ Multiplicación y división

por la unidad seguida de

ceros.

❚ Raíces enteras.

❚ Resolución de ecuaciones.

❚ Distancia entre un punto y

una recta.

En 1798, tras la Revolución Francesa, se estableció en París, en la Academia de Ciencias, el sistema métrico decimal que utilizamos actualmente.

Matemáticas en el día a día ][ma1e41

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Realiza estas multiplicaciones y divisiones.

a) 0,45 ⋅ 10 c) 42 : 100 e) 3,4051 ⋅ 1 000

b) 0,034 ⋅ 100 d) 3,5 : 10 f) 45,61 : 1 000

a) 0,45 ⋅ 10 = 4,5 c) 42 : 100 = 0,42 e) 3,4051 ⋅ 1 000 = 3 405,1

b) 0,034 ⋅ 100 = 3,4 d) 3,5 : 10 = 0,35 f) 45,61 : 1 000 = 0,04561

2. Calcula las siguientes raíces enteras.

a) 81 b) 49 c) 121 d) 10 000 e) 225 f) 169

a) 9 c) 7 c) 11 d) 100 e) 15 f) 13

3. Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 6 = 10 b) 7 = 18 − x c) 12 = 2x + 4 d) 15 +x

2= 23

a) x + 6 = 10 → x = 10 − 6 → x = 4 c) 12 = 2x + 4 → 12 − 4 = 2x → 8 = 2x → 8

2 = x → x = 4

b) 7 = 18 − x → x = 18 − 7 → x = 11 d) 15 + x

2 = 23 →

x

2 = 23 − 15 →

x

2 = 8 → x = 16

4. Utiliza herramientas de dibujo para calcular la distancia entre la recta y el punto.

a) b)

Se traza una perpendicular a la recta que pase por el punto y se mide el segmento.

a) 1 cm b) 1,5 cm



1. Unidades de longitud y superficie

217

11Actividades11 Perímetros y áreas de polígonos

216

Escoge la unidad de medida más apropiada para indicar estas longitudes.a) La distancia entre dos ciudades.b) El ancho de un cuaderno.c) La altura de un edificio.

Dibuja un segmento que mida 1 dm y divídelo en centímetros. ¿Cuántos centímetros mide?

Expresa en kilómetros.a) 340 m b) 23 560 mm c) 45 021 cm

Transforma en milímetros las siguientes longitudes.a) 27 m b) 0,3 km c) 5,31 cm

Copia y completa con las unidades correctas.a) 3,2 m = 0,0032 § = 320 §b) 65,7 dm = 6 570 § = 6,57 §c) 34,56 dam = 3 456 § = 0,3456 §

Indica qué corredor ha recorrido más distancia en una carrera de relevos.

Corredor 1 Corredor 2 Corredor 3 Corredor 4

13,2 dam 1,45 hm 0,1397 km 13 972 cm

1

2

3

4

5

6

Calcula y expresa el resultado en decímetros.a) 45,67 km + 56 309 mm + 367,3 mb) 58,07 dam + 43,5617 hm + 34 967 cmc) 509 902 mm + 47,467 m + 34,5 dm d) 45,68 m − 3 749 mm

Dibuja un decímetro cuadrado y divídelo en centímetros cuadrados. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene?

Transforma en metros cuadrados las siguientes superficies.a) 40,97 hm2 c) 673 409 mm2

b) 0,367 cm2 d) 4,5 km2

El metro cuadrado de baldosa tiene un precio de 23,50 €. ¿Cuánto costará embaldosar una superficie de 2,35 dam2?

7

8

9

10

Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en metros cuadrados.a) 35,609 m2 + 47 201,3 cm2 + 3,00496 hm2

b) 456,7 cm2 + 350 931 mm2 + 36,409 dm2

c) 0,5069 hm2 + 3,4 m2 + 1,5093 dam2

d) 4 km2 − 325 009 m2

11

1. UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE

Beatriz quiere medir el ancho de la pista deportiva de su centro escolar.

Para ello, utiliza como unidad de medida uno de sus pasos y cuenta cuántos pasos tiene que dar hasta completar el ancho.

Medir es comparar una cantidad con otra establecida de la misma magnitud, que se llama unidad.

La longitud del paso de Beatriz es diferente a la del paso de su amigo Carlos, ya que la longitud de la zancada de él es mayor.

Para evitar tomar una unidad con diferentes medidas, empleamos el sistema métrico decimal.

❚ Para medir longitudes, utilizamos el metro como unidad principal, y, para medir longitudes mayores o menores, utilizamos sus múltiplos y sus submúltiplos.

Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

km hm dam m dm cm mm

Para transformar unidades de longitud:

◗ Multiplicamos por 10 para pasar a unidades inferiores.

◗ Dividimos por 10 para pasar a unidades superiores.

❚ Para medir superficies, usamos el metro cuadrado como unidad principal, y, para medir superficies mayores o menores, empleamos sus múltiplos y sus submúltiplos.

Kilómetrocuadrado

Hectómetro cuadrado

Decámetro cuadrado

Metro cuadrado

Decímetro cuadrado

Centímetro cuadrado

Milímetro cuadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar unidades de superficie:

◗ Multiplicamos por 100 para pasar a unidades inferiores.

◗ Dividimos por 100 para pasar a unidades superiores.

En el sistema métrico decimal, la unidad principal de medida de longitud es el metro, m, y la unidad principal de superficie es el metro cuadrado, m2.

⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100

Aprenderás a… ● Manejar las medidas de longitud y superficie.

● Expresar una medida de longitud o superficie en distintas unidades.

Presta atención

No todo se puede medir. Por ejemplo, no podemos medir el color de los ojos o el del pelo. Solo podemos medir cualidades que se puedan expresar con números.

En tu vida diaria

El sistema métrico decimal

es un sistema de unidades

de medida conocido

internacionalmente

y es el que se utiliza

habitualmente, salvo

en algunos países

anglosajones.

} Calcula y expresa el resultado en metros.

2 084,56 dm + 439,25 dam + 57,3 m

SoluciónPara operar con distintas unidades de medida de longitud, colocamos las cantidades en una tabla con las unidades. Después, sumamos de forma habitual: de derecha a izquierda, y teniendo en cuenta las llevadas.

km hm dam m dm cm mm

— 2 0 8 4 5 6

4 3 9 2 5 — —

+ — — 5 7 3 — —

4 6 5 8, 2 5 6

El resultado es 4 658,256 m.

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula y expresa el resultado en decámetros cuadrados.

347,365 m2 + 156, 40081 hm2 + 499 623 dm2

Para operar con distintas unidades de medida de superficie, colocamos las cantidades en una tabla con las unidades. En cada casilla escribimos dos cifras y sumamos. Si el resultado es igual o mayor que 100, sumamos una unidad a la unidad inmediata superior.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

— — 03 47 36 50 —

1 56 40 08 10 — —

+ — — 49 96 23 — —

1 56 93, 51 69 50 —

El resultado es 15 693,51695 dam2.

EJERCICIO RESUELTO

Investiga

Existen sistemas de medidas como el anglosajón que se utiliza actualmente en muchos territorios de habla inglesa, como Reino Unido, Estados Unidos y otros países con influencia anglosajona en América. Sin embargo, existen diferencias entre los sistemas de Estados Unidos y Reino Unido, este último llamado sistema imperial. Investiga sobre las unidades de medida de estos sistemas y sus diferencias.

12

Soluciones de las actividades1 Escoge la unidad de medida más apropiada para indicar estas longitudes.

a) La distancia entre dos ciudades. b) El ancho de un cuaderno. c) La altura de un edificio.

a) Kilómetros b) Centímetros c) Metros2 Dibuja un segmento que mida 1 dm y divídelo en centímetros. ¿Cuántos centímetros mide?

1 dm

Comprobar que se dibuja un segmento de 10 centímetros, dividido en diez partes iguales.

Mide 10 cm.3 Expresa en kilómetros.

a) 340 m b) 23 560 mm c) 45 021 cm

a) 340 : 1 000 = 0,34 km b) 23 560 : 1 000 000 = 0,02356 km c) 45 021 : 1 000 000 = 0,45021 km4 Transforma en milímetros las siguientes longitudes.

a) 27 m b) 0,3 km c) 5,31 cm

a) 27 ⋅ 1 000 = 27 000 mm b) 0,3 ⋅ 1 000 000 = 300 000 mm c) 5,31 ⋅ 10 = 53,1 mm


Este epígrafe es muy sencillo para los alumnos ya que lo tienen suficientemente trabajado en su etapa de primaria, solo se necesita recordar los conceptos que ya han aprendi-do y volver a utilizarlos.

Es aconsejable centrarse en las operaciones con medidas. Hay que recordarles que siempre tienen que estar expresa-das en la misma unidad y de la misma forma, compleja o incompleja, para que se puedan operar.

331



5 Copia y completa con las unidades correctas.

a) 3,2 m = 0,0032 § = 320 §

b) 65,7 dm = 6 570 § = 6,57 §

c) 34,56 dam = 3 456 § = 0,3456 §

a) 0,0032 km = 320 cm b) 6 570 mm = 6,57 m c) 3 456 dm = 0,3456 km6 Indica qué corredor ha recorrido más distancia en una carrera de relevos.

Corredor 1 Corredor 2 Corredor 3 Corredor 4

13,2 dam 1,45 hm 0,1397 km 13 972 cm

Expresamos todas las medidas en la misma unidad:

❚❚ Corredor 1: 13,2 dam = 132 m

❚❚ Corredor 2: 1,45 hm = 145 m

❚❚ Corredor 3: 0,1397 km = 139,7 m

❚❚ Corredor 4: 13 972 cm = 139,72 m

Ha recorrido más distancia el corredor 2.7 Calcula y expresa el resultado en decímetros.

a) 45,67 km + 56 309 mm + 367,3 m c) 509 902 mm + 47,467 m + 34,5 dm

b) 58,07 dam + 43,5617 hm + 34 967cm d) 45,68 m − 3 749 mma) km hm dam m dm cm mm

45 6 7

5 6 3 0 9

3 6 7 3

46 0 9 3 6 0 9

El resultado es 460 936,09 dm.b) km hm dam m dm cm mm

5 8 0 7

4 3 5 6 1 7

3 4 9 6 7

5 2 8 6 5 4

El resultado es: 52 865,4 dm.8 Dibuja un decímetro cuadrado y divídelo en centímetros cuadrados. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene?

10 cm1 cm

Tiene 100 cm2.

9 Transforma en metros cuadrados las siguientes superficies.

a) 40,97 hm2 b) 0,367 cm2 c) 673 409 mm2 d) 4,5 km2

a) 40,97 ⋅ 10 000 = 409 700 m2 c) 673 409 : 1 000 000 = 0,673409 m2

b) 0,367 : 10 000 = 0,0000367 m2 d) 4,5 ⋅ 1 000 000 = 4 500 000 m2

10 El metro cuadrado de baldosa tiene un precio de 23,50 €. ¿Cuánto costará embaldosar una superficie de 2,35 dam2?

2,35 dam2 = 235 m2 23,50 ⋅ 235 = 5 522,50 €

c) km hm dam m dm cm mm

5 0 9 9 0 2

4 7 4 6 7

3 4 5

5 6 0 8 1 9

El resultado es 5 608,19 dm.d) km hm dam m dm cm mm

4 5 6 8

3 7 4 9

4 1 9 3 1

El resultado es 419,31 dm



11 Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en metros cuadrados.

a) 35,609 m2 + 47 201,3 cm2 + 3,00496 hm2 c) 0,5069 hm2 + 3,4 m2 + 1,5093 dam2

b) 456,7 cm2 + 350 931 mm2 + 36,409 dm2 d) 4 km2 − 325 009 m2

a) km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

35 60 90

4 72 01 30

3 00 49 60

3 00 89 92 91 30

El resultado es: 30 089,92913 m2

b) km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

4 56 70

35 09 31

36 40 90

76 06 91

El resultado es: 0,760691 m2

Investiga12 Existen sistemas de medidas como el anglosajón que se utiliza en muchos territorios de habla inglesa, como Reino Unido,

Estados Unidos y otros países con influencia anglosajona en América. Sin embargo, existen diferencias entre los sistemas de Estados Unidos y Reino Unido, este último llamado sistema imperial. Investiga sobre las unidades de medida de estos sistemas y sus diferencias.

Las principales unidades de medida del sistema son las siguientes:

Nombre Valor

Longitud

Pulgada (In) 25,4 mm

Pie (ft) 0,3048 m

Yarda (yd) 0,9144 m

Milla (mi) 1 609,344 m

Superficie

Pulgada cuadrada (ln2) 6,4516 cm2

Pie cuadrado (ft2) 0,09290306 m2

Acre (acre) 4 046,856 m2

MasaLibra (lb) 453,59237 g

Onza (oz) 28,3495 g

c) km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

0 50 69

3 40

1 50 93

52 23 33

El resultado es: 5 223,33 m2

d) km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

4 00 00 00

32 50 9

3 67 49 91

El resultado es: 3 674 991 m2

333



2. Teorema de Pitágoras

219


218

Indica en cada triángulo qué lado es la hipotenusa y cuáles son los catetos.a) c)

xy

z

x

y

z

b) d)

x

y

z

x

yz

13

Calcula la medida del lado que falta.a) c)

39 cm36 cm

x

9 cm

12 cm

x

b) d)

15 cm

17 cmx

26 cm

x

24 cm

14

Halla la medida del lado desconocido.a) b)

12 cm

16 cm

x

40 cm

41 cm

x

Comprueba, sin dibujar, si se pueden construir triángulos rectángulos con las siguientes medidas. a) 97 cm, 72 cm y 65 cmb) 24 dm, 10 dm y 25 dmc) 11 dam, 15 dam y 16 damd) 36 m, 77 m y 85 m

Irene apoya una escalera de 15 m sobre el borde de un muro. Si el pie de la escalera se encuentra apoyado a 12 m del muro, ¿cuántos metros de altura tiene el muro?

15

16

17

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

Adrián tiene que construir una rampa para salvar un escalón de 6 dm en un terreno. Para construirla correctamente, realiza un esquema y toma las medidas que necesita.

Adrián observa que la rampa, el suelo y el desnivel que tiene que salvar forman un triángulo rectángulo y que sus medidas cumplen que:

102 = 82 + 62 → 100 = 64 + 36

Todos los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90º. El lado opuesto al ángulo de 90º se llama hipotenusa, y los lados que forman el ángulo de 90º son los catetos.

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

El teorema de Pitágoras solo se cumple en triángulos rectángulos. Dado cualquier triángulo, podemos saber si es rectángulo comprobando si se cumple esta igualdad:

❚ Triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente:

Lados menores: 3 y 4

Lado mayor: 5

❚ Triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 9 cm, respectivamente:

Lados menores: 5 y 6

Lado mayor: 9

Un triángulo es rectángulo si el mayor de sus lados elevado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

Es un triángulo rectángulo.

52 + 62 = 25 + 36 = 61 ≠ 81 = 92

No es un triángulo rectángulo.

Aprenderás a… ● Calcular el lado desconocido en un triángulo rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras.

● Comprobar si tres lados pueden formar un triángulo rectángulo.

● Reconocer ternas pitagóricas.

Hipotenusa Cateto c

Cateto

a

b

} Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud, en centímetros, del lado que falta.

a) b)

a

12

5

29

21b

Solucióna) a2 = 122 + 52 → a2 = 144 + 25 → a2 = 169

→ a = 169 → a = 13 cm b) 292 = 212 + b2 → 841 = 441 + b2

→ 841 − 441 = b2 → 400 = b2

→ b = 400 → b = 20 cm

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOUna terna pitagórica está formada por tres números naturales que son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y, por tanto, cumplen el teorema de Pitágoras. Es decir, tres números naturales, a, b y c, forman una terna pitagórica si: a2 = b2 + c2

Construye una tabla con los 20 primeros cuadrados de los números naturales y con los cuadrados de los múltiplos de 10 hasta 100, y busca las ternas pitagóricas existentes.

20

Un carpintero acaba de terminar un marco para un cuadro, pero no está seguro de que las esquinas formen un ángulo recto. Si las dimensiones de los lados son 63 cm y 84 cm, respectivamente, y la diagonal que forman es de 105 cm, ¿podrías decir si las esquinas del marco están en ángulo recto?

Un edificio de 18 m de altura proyecta una sombra sobre el suelo de 24 m. ¿Cuál es la distancia entre la parte superior del edificio y el punto hasta el que se prolonga la sombra en ese momento?

18

19

ma1e42

Soluciones de las actividades13 Indica en cada triángulo qué lado es la hipotenusa y cuáles son los catetos.

a) b) c) d)

xy

z

x

y

z

x

y

z

x

yz

a) Hipotenusa: x. Catetos: y, z.

b) Hipotenusa: y. Catetos: x, z.

c) Hipotenusa: y. Catetos: x, z.

d) Hipotenusa: z. Catetos: x, y.


El primer paso es recordar a los alumnos que el teorema de Pitágoras solo se puede utilizar si el triangulo es rectángulo.

También es importante recordar qué son la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo.

La última parte del epígrafe se dedica a aplicar el teorema en sentido contrario, es decir, si se cumple el resultado es porque el triángulo es rectángulo.

GeoGebra. TEOREMA DE PITÁGORAS

En este recurso aparece la demostración visual del teorema y tras acceder a él, puede comprobarse, utilizando el deslizador para desplazar, que las piezas que completan el área del cuadrado de la hipotenusa coinciden con las que hacen lo mismo con los cua-drados de los catetos. A continuación pueden moverse los vérti-ces del triángulo equilátero para comprobar que el teorema se verifica en cualquier situación.



14 Calcula la medida del lado que falta.

a) b) c) d)

39 cm36 cm

x 15 cm

17 cmx

9 cm

12 cm

x

26 cm

x

24 cm

a) x2 + 362 = 392 → x2 + 1 296 = 1 521 → x2 = 1 521 − 1 296 → x2 = 225 → x = 225 → x = 15 cm

b) 152 + x2 = 172 → 225 + x2 = 289 → x2 = 289 − 225 → x2 = 64 → x = 64 → x = 8 cm

c) 92 + 122 = x2 → 81 + 144 = x2 → x2 = 225 → x = 225 → x = 15 cm

d) x2 + 242 = 262 → x2 + 576 = 676 → x2 = 676 − 576 → x2 = 100 → x = 100 → x = 10 cm15 Halla la medida del lado desconocido.

a) b)

12 cm

16 cm

x

40 cm

41 cm

x

a) x2 = 122 + 162 → x2 = 144 + 256 → x2 = 400

x = 400 → x = 20 cm

b) x2 + 402 = 412 → x2 + 1 600 = 1 681 → x2 = 1 681 − 1 600 → x2 = 81

x = 81 → x = 9 cm16 Comprueba, sin dibujar, si se pueden construir triángulos rectángulos con las siguientes medidas.

a) 97 cm, 72 cm y 65 cm

b) 24 dm, 10 dm y 25 dm

c) 11 dam, 15 dam y 16 dam

d) 36 m, 77 m y 85 m

a) 972 = 9 409

722 + 652 = 5 184 + 4 225 = 9 409

Forman un triángulo rectángulo.

b) 252 = 625

102 + 242 = 100 + 576 = 676

No forman un triángulo rectángulo.

c) 162 = 256

112 + 152 = 121 + 225 = 346

No forman un triángulo rectángulo.

d) 852 = 7 225

362 + 772 = 1 296 + 5 929 = 7 225

Forman un triángulo rectángulo.

335



17 Irene apoya una escalera de 15 m sobre el borde de un muro. Si el pie de la escalera se encuentra apoyado a 12 m del muro, ¿cuántos metros de altura tiene el muro?

La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 15 m y sus catetos 12 y x metros, respectivamente.

x2 + 122 = 152 → x2 + 144 = 225 → x2 = 81 → x2 = 81 → x = 9

El muro mide 9 m.18 Un carpintero acaba de terminar un marco para un cuadro, pero no está seguro de que las esquinas formen un ángulo

recto.

Si las dimensiones de los lados son 63 cm y 84 cm, respectivamente, y la diagonal que forman es de 105 cm, ¿podrías decir si las esquinas del marco están en ángulo recto?

Para que forme un ángulo recto, los dos lados y la diagonal tienen que forman un triángulo rectángulo.

1052 = 11 025

632 + 842 = 3 969 + 7 056 = 11 025

Como los resultados coinciden, las esquinas forman un ángulo recto.19 Un edificio de 18 m de altura proyecta una sombra sobre el suelo de 24 m. ¿Cuál es la distancia entre la parte superior

del edificio y el punto hasta el que se prolonga la sombra en ese momento?

El edificio, la sombra y la distancia entre la parte superior del edificio y el punto hasta el que se prolonga la sombra forman un triángulo rectángulo. Por tanto:

x2 = 182 + 242

x2 = 324 + 576 = 900

x = 900

x = 30

La distancia buscada es 30 m.

Desafío20 Una terna pitagórica está formada por tres números naturales que son las longitudes de los lados de un triángulo rectán-

gulo y, por tanto, cumplen el teorema de Pitágoras. Es decir, tres números naturales, a, b y c, forman una terna pitagórica si: a2 = b2 + c2

Construye una tabla con los 20 primeros cuadrados de los números naturales y con los cuadrados de los múltiplos de 10 hasta 100, y busca las ternas pitagóricas existentes.

Estos son los 20 primeros cuadrados:

12 22 32 42 52 62 72 82 92 102

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

112 122 132 142 152 162 172 182 192 202

121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Estos son los cuadrados de los múltiplos de 10 hasta 100:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000

Así, podemos encontrar las siguientes ternas pitagóricas:

a 5 10 15 20 13 50 100

b 4 8 12 16 12 40 80

c 3 6 9 12 5 30 60



3. Perímetro de una figura

221


220

3. PERÍMETRO DE UNA FIGURA

Laura ha comprado una parcela para construir una casa donde veranear.

En el plano de la parcela, indica la relación entre la medida del plano y la real.

Laura quiere cercar la finca y para ello necesita saber cuántos metros de valla tiene que comprar. Con este fin, cuenta las unidades que mide en el plano cada uno de sus lados y calcula la medida real.

1 dam

3 + 2 + 1 + 6 + 4 + 8 = 24 unidades

Como cada unidad de medida del plano equivale a 1 dam en la realidad, necesita 24 dam. Si lo expresamos en metros, necesita 240 m de valla.

El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados.

Estimación de perímetros

El vecino de Laura también quiere vallar su parcela. Sin embargo, alguno de los lados de la finca no mide un número entero de unidades.

Para poder obtener el perímetro de la finca, estimamos las medidas de los lados.

1 dam

El perímetro de la finca mide, aproximadamente:

3 + 2 + 1 + 6 + 3 + 6 + 1 + 2 = 24 dam = 240 m

Aprenderás a… ● Identificar el perímetro de una figura plana.

● Calcular o estimar el perímetro de una figura plana.

El perímetro de una figura suele expresarse mediante la letra P.

Lenguaje matemático

Mide, aproximadamente,

3 unidades.


6 unidades.


1 unidad.Mide,

aproximadamente, 2 unidades.

Presta atención

Antes de realizar operaciones, debemos asegurarnos de que todos los datos están expresados en las mismas unidades.

Calcula el perímetro de las siguientes figuras.a) b) c)

1 m 1 dm 1 cm

Jesús quiere medir el perímetro de su casa, que tiene forma de hexágono. Obtiene las siguientes medidas de cada lado:

2,5 m 3,2 m 7,8 m 2,1 m 10,5 m 2 m¿Cuál es el perímetro de su casa?

El perímetro de un pentágono regular es 34 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

Halla el perímetro de estos polígonos.a) b) c)

2,3 cm

3,5 cm

1,1 cm

2,8 cm

61 cm

45 cm

6,3 dm

7 dm

5,2 dm84 cm

7 cm

6 cm

1 dm8,2 cm

0,5 dm

Estima la longitud de los lados de los siguientes polígonos.a) b) c)

1 cm 1 dm 1 cm

Da una estimación, en metros, del perímetro de estos polígonos.a) b) c)

1 cm

1 m

1 dm

21

22

23

24

25

26

Investiga

Cuando queremos medir el perímetro de algún objeto, necesitamos un instrumento que mida longitudes; sin embargo, no utilizamos el mismo instrumento para medir el perímetro de un chip de ordenador que para medir el perímetro de nuestra casa.Utiliza Internet para investigar diferentes instrumentos de medida de longitud e indica un ejemplo de medida de un perímetro llevada a cabo con dichos instrumentos.

27

Soluciones de las actividades21 Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a) b) c)

1 m 1 dm 1 cm

a) Perímetro = 6 + 4 + 2 + 2 + 3 + 3 + 1 + 3 = 24 cm

b) Perímetro = 6 + 2 + 1 + 3 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 28 dm

c) Perímetro = 3 + 1 + 2 + 2 + 1 + 4 + 1 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 36 cm22 Jesús quiere medir el perímetro de su casa, que tiene forma de hexágono. Obtiene las siguientes medidas de cada lado:

2,5 m 3,2 m 7,8 m 2,1 m 10,5 m 2 m

¿Cuál es el perímetro de su casa?

Perímetro = 2,5 + 3,2 + 7,8 + 2,1 + 10,5 + 2 = 28,1 m


El concepto de perímetro suele ser sencillo para los alum-nos, tan solo tenemos que recordar que para poder sumar todos los lados estos tienen que estar expresados en la mis-ma unidad.

La segunda parte del epígrafe se centra en la estimación de perímetros, aquí podemos trabajar con objetos reales como el perímetros de la clase, del libro del alumno y de otras figuras más complejas.

337



23 El perímetro de un pentágono regular es 34 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

l = 34 : 5 = 6,8 cm24 Halla el perímetro de estos polígonos.

a) b) c)

2,3 cm

3,5 cm

1,1 cm

2,8 cm

61 cm

45 cm

6,3 dm

7 dm

5,2 dm84 cm

7 cm

6 cm

1 dm8,2 cm

0,5 dm

a) P = 3,5 + 1,1 + 2,8 + 2,3 = 9,7 cm

b) P = 6,3 dm + 7 dm + 84 cm + 5,2 dm + 61 cm + 45 cm = = 6,3 dm + 7 dm + 8,4 dm + 5,2 dm + 6,1 dm + 4,5 dm = 37,5 dm

c) P = 7 cm + 6 cm + 1 dm + 8,2 cm + 0,5 dm = 7 cm + 6 cm + 10 cm + 8,2 cm + 5 cm = 36,2 cm25 Estima la longitud de los lados de los siguientes polígonos.

a) b) c)

1 cm 1 dm 1 cm

a) P = 2 + 1 + 2 + 1 + 3,5 + 4 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 1,5 + 1 = 21 cm

b) P = 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2,5 + 1 + 2 + 1 + 1,5 + 2 + 0,5 + 2 + 0,5 + 2 + 1,5 + 2 + 2 + 2 + 2,5 = 33 dm

c) P = 2 + 5,5 + 2 + 1,5 + 1 + 1 + 2,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5 = 20 cm26 Da una estimación, en metros, del perímetro de estos polígonos.

a) b) c)

1 cm

1 m

1 dm

a) P = 3,5 + 2 + 2,5 + 2 + 3,5 + 1 + 2,5 + 5 = 22 cm

b) P = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1,5 + 1 + 1,5 + 2 + 1,5 + 1 + 1,5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 26 m

c) P = 3 + 2 + 0,5 + 3 + 1,5 + 2 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 1 + 3 = 18 dm

Investiga27 Cuando queremos medir el perímetro de algún objeto, necesitamos un instrumento que mida longitudes; sin embargo,

no utilizamos el mismo instrumento para medir el perímetro de un chip de ordenador que para medir el perímetro de nuestra casa.

Utiliza Internet para investigar diferentes instrumentos de medida de longitud e indica un ejemplo de medida de un perí-metro llevada a cabo con dichos instrumentos.

Respuesta abierta, por ejemplo:

Cinta métrica (podemos medir, por ejemplo, tela), regla graduada (podemos medir, por ejemplo, un dibujo en un papel), calibre (podemos medir, por ejemplo, una tuerca), y otros instrumentos como vernier, micrómetro, reloj comparador, interferómetro, odómetro.



4. Superficie de una figura

223


222

Calcula el área de las siguientes figuras planas.a) c) e)

1 m2 1 cm2 1 dm2

b) d) f)

1 m2 1 dm2 1 cm2

Traza una cuadrícula en tu cuaderno, cuyos cuadrados tengan una superficie de 1 cm2 y dibuja en ella polígonos con las siguientes áreas.a) 24 cm2 c) 13 cm2 b) 1 dm2 d) 7,5 cm2

Halla el área de los estos polígonos.a) b) c)

1 cm2 1 m2 1 dm2

Estima el área de estas figuras planas.a) b) c)

1 dm2 1 cm2 1 m2

28

29

30

31

4. SUPERFICIE DE UNA FIGURA

Ismael quiere plantar césped alrededor de una piscina y necesita saber cuánta superficie tiene que comprar.

Cada cuadrado del plano representa 1 m2 en la realidad.

Para calcular cuántos metros cuadrados de césped tiene que comprar, toma las medidas necesarias en el plano.

14 + 11 + 12 + 7 + 12 = 56 unidades cuadradas

Como cada unidad de medida del plano equivale a 1 m2, necesita en total 56 m2 de césped.

El área de una figura plana es la medida de la superficie que ocupa.

Estimación de áreas

Ismael ahora debe plantar césped en el interior de una parcela como la del plano.

Esta vez no puede contar cuadrados porque hay zonas que no ocupan un cuadrado entero.

Para saber cuánto mide la superficie de la finca, estimamos el área.

1 dam2

El área de la parcela es, aproximadamente, 4 + 2 + 16 + 4 = 26 unidades cuadradas, que equivalen a 26 dam2.

Aprenderás a… ● Identificar la superficie de una figura plana.

● Calcular o estimar el área de una figura plana.

El área de una figura suele expresarse por la letra A.


Tiene exactamente 16 unidades cuadradas.

Tiene 4 unidades cuadradas exactas y, aproximadamente,

2 unidades cuadradas más.

Tiene exactamente la mitad de 8 unidades cuadradas, es decir,

4 unidades cuadradas.

DESAFÍOUna empresa fabrica banderas con unas dimensiones de 2 m de largo por 1 m de ancho. Calcula la superficie que ocupa cada color en las siguientes banderas.

32

Soluciones de las actividades28 Calcula el área de las siguientes figuras planas.

a) c) e)

1 m2 1 cm2 1 dm2

b) d) f)

1 m2 1 dm2 1 cm2

a) 20 m2 b) 22 m2 c) 10 cm2 d) 24 dm2 e) 9 dm2 f) 18 cm2


El trabajo con este epígrafe es similar al anterior.

Se pueden volver a utilizar los objetos para los que se esti-mó el perímetro y en este caso estimar el área.

Aunque al comenzar la unidad se han recordado las unida-des de superficie es conveniente volver a insistir en cómo se pasa de una unidad a otra.

339



29 Traza una cuadrícula en tu cuaderno, cuyos cuadrados tengan una superficie de 1 cm2 y dibuja en ella polígonos con las siguientes áreas.

a) 24 cm2 b) 1 dm2 c) 13 cm2 d) 7,5 cm2


b) c) d)a)

1 cm² 1 cm² 1 cm² 1 cm²

30 Halla el área de estos polígonos.

a) b) c)

1 cm2 1 m2 1 dm2

a) Área = 16 + 2

2 +

6

2 = 20 cm2 b) Área = 6 +

2

2 +

2

2= 8 m2 c) Área = 16 +

2

2 = 17 dm2

31 Estima el área de estas figuras planas.

a) b) c)

1 dm2 1 cm2 1 m2

a) Área = 12 + 8

2 = 16 dm2 b) Área =

7

2 + 10 =

27

2 cm2 c) Área =

6

2 + 13 = 16 m2

Desafío32 Una empresa fabrica banderas con unas dimensiones de 2 m de ancho por 1 m de alto. Calcula la superficie que ocupa

cada color en las siguientes banderas.

El área de cada bandera es 2 m2.

❚❚ En la primera y tercera bandera cada color tiene una superficie de: 1

3⋅2 =

2

3 m2

❚❚ En la segunda bandera la superficie de cada color es la siguiente:

❚ Azul y rojo: 1

4 de 2 m2 = 0,5 m2 Amarillo:

1

2 de 2 m2 = 1 m2



5. Área de cuadriláteros

225


224

DESAFÍOEscribe la expresión algebraica del área de los siguientes trapecios.a) b) c)

a

2a

2a

a

2a

2a

a

2a

2a

43

Halla el área de los siguientes cuadriláteros.a) c)

3 dm 3,5 cm

4 cm

b) d)

10 cm

6 cm

7 cm

4 cm

7 cm

Calcula el área de estos cuadriláteros.a) Un cuadrado de 4,5 cm de lado.b) Un rectángulo de 3,2 dm de altura y 7,8 dm de

base.c) Un romboide de 7,2 hm de base y una altura

de 6,9 hm. d) Un rombo cuyas diagonales mayor y menor

miden, respectivamente, 5 km y 4,2 km.e) Un trapecio con una base menor de 4,3 mm,

una base mayor de 5,3 mm y una altura de 0,9 mm.

Representa tres rectángulos diferentes con 36 cm2 de área.

Dibuja en tu cuaderno un rectángulo, un romboide y un rombo que tengan 12 cm2 de área.

Rubén quiere pintar una pared. Las medidas son 12,5 m de largo y 2,72 m de alto, pero hay un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada litro de pintura puede pintar 10 m2, ¿cuántos litros de pintura tiene que comprar para pintar toda la pared?

33

34

35

36

37

Toma las medidas necesarias y halla el área de estas figuras.

a) c)

b) d)

Calcula el área de estos cuadriláteros.

a) Un rectángulo de 4,7 dm de base y 0,9 m de altura.

b) Un romboide de 0,03 hm de base y 17 m de altura.

c) Un rombo cuya diagonal mayor mide 0,4 m y cuya diagonal menor es de 350 mm.

d) Un trapecio con una base mayor de 36 cm, una base menor de 2,1 dm y una altura de 0,12 m.

Calcula el lado de un cuadrado cuya área es de 144 cm2.

Un romboide tiene 4,2 dm de altura, ¿cuál es su base si su superficie mide 29,4 dm2?

La diagonal mayor de un rombo mide 3,2 dm. Halla la otra diagonal sabiendo que su área es de 480 cm2.

38

39

40

41

42

5. ÁREA DE CUADRILÁTEROS

Cristina va a embaldosar dos habitaciones con forma de cuadrilátero.

Quiere utilizar baldosas cuadradas de 1 m de lado.

❚ El área de un cuadrado es igual a su lado elevado al cuadrado.

❚ El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.

Para calcular el área de otros cuadriláteros, dividimos la figura en otras y las recolocamos para conseguir relacionar su área con la de figuras ya conocidas.

❚ El área del romboide coincide con el área de este rectángulo:

❚ El área del rombo coincide con la mitad del área de este rectángulo:

❚ El área del trapecio coincide con la mitad del área de este romboide:

❚ El área de un romboide es igual al producto de su base por su altura.

❚ El área de un rombo es igual al producto de su diagonal mayor por su diagonal menor dividido por dos.

❚ El área de un trapecio es igual a la suma de sus bases multiplicada por su altura y dividida por dos.

Aprenderás a… ● Calcular el área de un cuadrilátero.

❚ Área del cuadrado:

A = l2

❚ Área del rectángulo:

A = b ⋅ h


❚ Área del romboide:

A = b ⋅ h

❚ Área del rombo:

⋅

AD d

2=

❚ Área del trapecio:

⋅

2A

B b h( )=

+


ma1e43

ma1e44

ma1e45

Soluciones de las actividades33 Halla el área de los siguientes cuadriláteros.

a) b) c) d)

3 dm 10 cm

6 cm

7 cm

3,5 cm

4 cm

4 cm

7 cm

a) A = 32 = 9 dm2 c) A = 3,5 ⋅ 4 = 14 cm2

b) A =(10 + 6) ⋅7

2= 56 cm2 d) A =

7 ⋅ 4

2= 14 cm2


El cuadrilátero es el primer polígono para el que los alum-nos van a calcular su área y va a servir como base para calcular el área del resto de polígonos.

Puede resultar muy útil trabajar con el geoplano y unas gomas elásticas para que los alumnos comprueben cómo va variando el área cambiando los lados y cómo podemos construir diferentes cuadriláteros con la misma área.

GeoGebra. ÁREA DEL ROMBOIDE, DEL ROMBO Y DEL TRAPECIO

En estos recursos se deducen geométricamente las fórmulas de estos cuadriláteros facilitando su comprensión y memorización. Con el deslizador azul se mueven los elementos que muestran las relaciones entre las áreas del romboide y del rombo con la del rectángulo o entre la del trapecio y la del romboide, respectiva-mente. Moviendo los deslizadores correspondientes a los lados o las alturas pueden obtenerse otros cuadriláteros con las áreas correspondientes.

341



34 Calcula el área de estos cuadriláteros.

a) Un cuadrado de 4,5 cm de lado.

b) Un rectángulo de 3,2 dm de altura y 7,8 dm de base.

c) Un romboide de 7,2 hm de base y una altura de 6,9 hm.

d) Un rombo cuyas diagonales mayor y menor miden, respectivamente, 5 km y 4,2 km.

e) Un trapecio con una base menor de 4,3 mm, una base mayor de 5,3 mm y una altura de 0,9 mm.

a) A = 4,52 = 20,25 cm2 d) A =5 ⋅ 4,2

2= 10,5 km2

b) A = 3,2 ⋅ 7,8 = 24,96 dm2 e) A =(4,3 + 5,3) ⋅0,9

2= 4,32 km2

c) A = 7,2 ⋅ 6,9 = 49,68 hm2

35 Representa tres rectángulos diferentes con 36 cm2 de área.


9 cm

12 cm18 cm

4 cm 3 cm 2 cm

36 Dibuja en tu cuaderno un rectángulo, un romboide y un rombo que tengan 12 cm2 de área.


3 cm

4 cm 4 cm

8 cm

37 Rubén quiere pintar una pared. Las medidas son 12,5 m de largo y 2,72 m de alto, pero hay un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada litro de pintura puede pintar 10 m2, ¿cuántos litros de pintura tiene que comprar para pintar toda la pared?

Superficie de la pared = 12,5 ⋅ 2,72 − 22 = 30 m2

Dividimos entre 10 y obtenemos los litros de pintura.

30 :10 = 3 L38 Toma las medidas necesarias y halla el área de estas figuras.

a) b) c) d)

a) b = 2 cm; h = 3,5 cm → A = 2 ⋅ 3,5 = 7 cm2

b) B = 3 cm; b = 2 cm; h = 1,5 cm → A =(3 + 2) ⋅1,5

2= 3,75 cm2

c) b = 2 cm; h = 2 cm → A = 2 ⋅ 2 = 4 cm2

d) l = 2,5 cm → A = 2,52 = 6,25 cm2



39 Calcula el área de estos cuadriláteros.

a) Un rectángulo de 4,7 dm de base y 0,9 m de altura.

b) Un romboide de 0,03 hm de base y 17 m de altura.

c) Un rombo cuya diagonal mayor mide 0,4 m y cuya diagonal menor es de 350 mm.

d) Un trapecio con una base mayor de 36 cm, una base menor de 2,1 dm y una altura de 0,12 m.

a) 0,9 m = 9 dm

A = 4,7 ⋅ 9 = 42,3 dm2

b) 0,03 hm = 3 m

A = 3 ⋅ 17 = 51 m2

c) 0,4 m = 400 mm

A =400 ⋅350

2= 70 000 mm2

d) 2,1 dm = 21 cm; 0,12 m = 12 cm

A =(36 + 21) ⋅12

2= 342 cm2

40 Calcula el lado de un cuadrado cuya área es de 144 cm2.

l2 = 144 → l = 144 = 12 cm

41 Un romboide tiene 4,2 dm de altura, ¿cuál es su base si su superficie mide 29,4 dm2?

29,4 = b ⋅ 42 → b =29,4

4,2= 7 dm

42 La diagonal mayor de un rombo mide 3,2 dm. Halla la otra diagonal sabiendo que su área es de 480 cm2.

Expresamos la diagonal mayor en centímetros: 3,2 dm = 32 cm

480 =32 ⋅d

2→ d =

480 ⋅2

32= 30 cm

Desafío43 Escribe la expresión algebraica del área de los siguientes trapecios.

a) b) c)

a

2a

2a

a

2a

2a

a

2a

2a

Los tres tienen por área la misma expresión algebraica:

A =(2a + a ) ⋅2a

2=

3a ⋅2a

2=

6a2

2= 3a2

343



6. Área de triángulos

227


226

} Calcula el área de un triángulo isósceles cuyos lados miden 34 cm, 34 cm y 32 cm, respectivamente.

SoluciónLa altura divide al triángulo en dos triángulos Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de los rectángulos. triángulos rectángulos.

34 cm34 cm

32 cm

h

34 cm

16 cm

h

h2 + 162 = 342

h2 + 256 = 1 156

h2 = 1 156 − 256

h2 = 900

h = 30 cm

La altura del triángulo isósceles mide 30 cm y su área es de: A32 30

2480 cm2⋅

= =

EJERCICIO RESUELTO

¿Cuánto mide la superficie de cada uno de los siguientes triángulos?a) b) c)

1 cm

b) c)

1 m 1 dam

Halla el área de estos triángulos.a) Triángulo de 5,3 cm de base y 6,2 cm de altura.b) Triángulo de 8,2 mm de base y 0,21 cm de altura.c) Triángulo de 0,27 m de base y 527 mm de altura.

Dibuja tres triángulos diferentes con un área de 18 cm2.

Toma las medidas necesarias y halla el área de estos triángulos.a) b) c)

b) c)b) c)

Calcula el área de los siguientes triángulos rectángulos.a) b) c)

5 cm13 cm

8 cm

15 c

m

28 c

m

45 cm

Calcula el área de los siguientes triángulos.a) Triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 hm y cuyo lado desigual

es de 30 hm.b) Triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 1 dm y cuyo lado desigual es

de 6 cm.

Copia y completa la tabla conocidas las áreas de distintos triángulos.

Base Altura Área

2,5 cm O 4,5 cm2

O 12,5 cm 30 cm2

44

45

46

47

48

49

50

6. ÁREA DE TRIÁNGULOS

Eva y sus amigos están preparando banderines para adornar las calles durante las fiestas de su pueblo.

Eva ha observado que, a pesar de que todos los banderines tienen forma triangular y poseen la misma altura y la misma base, son, sin embargo, triángulos diferentes.

Se pregunta entonces cuál tendrá mayor superficie. Para averiguarlo, los coloca sobre una cuadrícula de 1 cm de lado.

Para calcular el área de cada uno, pone otro banderín de las mismas dimensiones para formar cuadrados o romboides, cuya área ya sabe calcular.

1cm2

El área de todos los cuadriláteros es la misma:

4 ⋅ 3 = 12 cm2

Como cada cuadrilátero contiene dos triángulos iguales, el área de un triángulo es la mitad que la de los cuadriláteros.

El área de un triángulo es el resultado de multiplicar su base por su altura y dividirlo por dos.

Aprenderás a… ● Calcular el área de un triángulo.

DESAFÍOEl triángulo mayor tiene un área de 3 328 cm2, y cada triángulo naranja lo hemos construido uniendo los puntos medios de los lados de cada triángulo sobre el que está inscrito. ¿Cuál es la altura del triángulo naranja marcado con línea discontinua?

51

Área del triángulo:

⋅A

b h

2=


Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. y es recordado por calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados.

b

a

c

A = p (p− a) (p−b ) (p− c )

donde p =a + b + c

2Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de Herón.


Soluciones de las actividades44 ¿Cuánto mide la superficie de cada uno de los siguientes triángulos?

a) b) c)

1 cm 1 m 1 dam

a) A =6 ⋅6

2= 18 cm2

b) A =4 ⋅6

2= 12 m2

c) A =6 ⋅6

2= 18 dam2


Suele ser muy útil que los alumnos recorten de una cartu-lina un triángulo cualquiera y después vuelvan a recortar otro triángulo exactamente igual. Con estos dos triángulos comprueban cómo pueden formar un romboide cuya base y altura coinciden con la del triángulo recortado. De este modo comprueban porque la fórmula del área del triángulo está dividida por 2.

Otra experiencia útil es repartir a todos los alumnos un mis-mo triángulo recortado y que calculen su área, midiendo y aplicando la fórmula.

De esta forma cada alumno elegirá una base cualquiera y su altura correspondiente, aplicarán la fórmula y todos obten-drán el mismo resultado, comprobando que es indiferente la base que tomen.



45 Halla el área de estos triángulos.

a) Triángulo de 5,3 cm de base y 6,2 cm de altura.

b) Triángulo de 8,2 mm de base y 0,21 cm de altura.

c) Triángulo de 0,27 m de base y 527 mm de altura.

a) A =5,3 ⋅6,2

2= 16,43 cm2

b) 0,21 cm = 2,1 mm

A =8,2 ⋅2,1

2= 8,61 cm2

c) 0,27 m = 270 mm

A =270 ⋅527

2= 71145 mm2

46 Dibuja tres triángulos diferentes con un área de 18 cm2.


3 cm

12 cm 12 cm 12 cm

47 Toma las medidas necesarias y halla el área de estos triángulos.

a) b) c)

Las tres alturas miden 3 cm.

a) b = 2 cm → A =2 ⋅3

2= 3 cm2

b) b = 3 cm → A =3 ⋅3

2= 4,5 cm2

c) b = 2,5 cm → A =2,5 ⋅3

2= 3,75 cm2

48 Calcula el área de los siguientes triángulos rectángulos.

a) b) c)

5 cm

13 cm

8 cm

15 c

m

28 c

m

45 cm

a) x = 132 −52 = 12 cm → A =12 ⋅5

2= 30 cm2

b) A =15 ⋅8

2= 60 cm2

c) A =45 ⋅28

2= 630 cm2

345



49 Calcula el área de los siguientes triángulos.

a) Triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 hm y cuyo lado desigual es de 30 hm.

b) Triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 1 dm y cuyo lado desigual es de 6 cm.

a) h2 + 152 = 172 → h2 + 225 = 289

→ h2 = 289 − 225 → h2 = 64 → h = 64 = 8 hm

A =30 ⋅8

2= 120 hm2

b) h2 + 32 = 102 → h2 + 9 = 100

→ h2 = 100 − 9 → h2 = 91 → h = 91 = 9,54 cm

Los alumnos podrán utilizar la calculadora para hallar el valor de 91 .

A =12 ⋅9,54

2= 57,24 cm2

50 Copia y completa la tabla conocidas las áreas de distintos triángulos.

Base Altura Área

2,5 cm O 4,5 cm2

O 12,5 cm 30 cm2

❚❚ El primer dato desconocido es:

❚ A =b ⋅h

2→ 4,5 =

2,5 ⋅h

2→ h =

4,5 ⋅2

2,5= 3,6 cm

❚❚ El segundo dato desconocido es:

❚ A =b ⋅h

2→ 30 =

b ⋅12,5

2→ b =

30 ⋅2

12,5= 4,8 cm

Desafío51 El triángulo mayor tiene un área de 3 328 cm2, y cada triángulo naranja lo hemos construido

uniendo los puntos medios de los lados de cada triángulo sobre el que está inscrito. ¿Cuál es la altura del triángulo naranja marcado con línea discontinua?

❚❚ El área del triángulo mayor naranja mide: 3 328 : 4 = 832 cm2

❚❚ El área del triángulo naranja mide: 832 : 4 = 208 cm2

❚❚ El área del triángulo con línea discontinua mide: 208 : 4 = 52 cm2

A =b ⋅h

2→ 52 =

b ⋅h

2→ 104 = b ⋅h

Como la base y la altura están relacionadas de la siguiente forma, resulta:

b2 = h2 +b

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

→ b2 = h2 +b

4

2

→ h =3

4b = 0,87b

Luego, se tiene que:

104 = b ⋅0,7b → b2 =104

0,87= 119,54 → b = 119,54 = 10,93 cm

Por tanto: h = 0,87 ⋅ 10,93 = 9,51 cm

15 hm

17 hmh

6 cm

1 dmh



7. Área de polígonos regulares

229


228

¿Cuánto mide la superficie de cada uno de estos polígonos regulares?a) b) c)

4 cm

4,83 cm

5 cm

6,88 cm

2 cm

3,08 cm

Calcula el área de estos polígonos regulares:a) Pentágono de 3 cm de lado y 2,06 cm de apotema.b) Heptágono de 2 dm de lado y 2,08 dm de apotema.c) Dodecágono de 1 m de lado y 1,87 m de apotema.

Halla el área de la zona sombreada en los siguientes polígonos.a) b)

3 cm6,23 cm

6 cm

7,24 cm

Averigua el número de lados que tiene un polígono regular de 6 cm de lado, 4,13 cm de apotema y 61,94 cm2 de área.

Un polígono regular tiene un área de 0,693 dm2. Si su lado mide 3 cm, y su apotema, 46,2 mm, ¿cuántos lados tiene el polígono?

Calcula el área de los siguientes hexágonos regulares.a) c)

4 cm

2,5 cm

b) d)

2 cm

7 cm

52

53

54

55

56

57

7. ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

En el parque de un pueblo van a instalar un templete para que la banda de música pueda dar conciertos.

Los técnicos del Ayuntamiento han elaborado varios proyectos distintos basados en polígonos regulares cuyos lados miden 3 m. Solo disponen de un espacio de 40 m2 y quieren elegir el templete que tenga mayor superficie.

Para decidir qué base tendrá el templete, podemos descomponer cada polígono regular en tantos triángulos iguales como lados tenga.

3 m 3 m 3 m 3 m

2,06 m 2,6 m 3,11 m 3,62 m

La base de cada triángulo coincide con el lado del polígono, y la altura, con su apotema.

3 m 3 m 3 m 3 m

2,06 m 2,6 m 3,11 m 3,62 m

Calculamos el área de uno de estos triángulos y la multiplicamos por el número de lados del polígono.

= =

=

A

A

3 2,06

23,09 m

T

T2

⋅= =

=

A

A

3 2,6

23,9 m

T

T2

⋅= =

=

A

A

3 3,11

24,665 m

T

T2

⋅= =

=

A

A

3 3,62

25,43 m

T

T2

⋅

Área delpentágono

Área delhexágono

Área delheptágono

Área deloctógono

A = 5 ⋅ 3,09 =A = 15,45 m2

A = 6 ⋅ 3,9 =A = 23,4 m2

A = 7 ⋅ 4,665 =A = 32,655 m2

A = 8 ⋅ 5,43 =A = 43,44 m2

Al comparar las áreas obtenidas, deciden instalarlo en forma de heptágono, ya que no disponen de superficie suficiente para levantarlo en forma de octógono.

El área de un polígono regular es igual a su lado por su apotema dividido por dos y multiplicado por su número de lados.

Aprenderás a… ● Calcular el área de un polígono regular.

Presta atención

Como en un polígono regular el perímetro es igual al número de lados por la longitud del lado, la fórmula de su área también es:

⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅A

l an

l n a P a

2 2 2= = =

donde P es el perímetro, y a, la apotema.

Presta atención

❚ El hexágono es el único polígono regular en el que la medida del lado del polígono coincide con el radio de la circunferencia circunscrita.

l

l

l

❚ Utiliza la calculadora para hallar la raíz cuadrada de los números que necesites.

DESAFÍOCalcula el área de un heptágono de 3 cm de lado si el radio de la circunferencia circunscrita mide 3,46 cm.

58

3 cm

3,46 cm

Soluciones de las actividades52 ¿Cuánto mide la superficie de cada uno de los siguientes polígonos regulares?

a) b) c)

4 cm

4,83 cm

5 cm

6,88 cm

2 cm

3,08 cm

a) A =(8 ⋅ 4) ⋅ 4,83

2= 77,28 cm2

b) A =(5 ⋅5) ⋅6,88

2= 86 cm2

c) A =(10 ⋅2) ⋅3,08

2= 30,8 cm2


Los polígonos regulares son los últimos para los que se va a estudiar su área. Los alumnos tienen que ver que no se trata de una fórmula nueva, tan solo deben simplificar la suma del área de tantos triángulos como lados tenga el polígono regular.

Estos triángulos son isósceles y su altura coincide con la apotema del polígono regular.

Hay que recordarles la posibilidad de tener que aplicar el teorema de Pitágoras para calcular alguno de los datos ne-cesarios antes de hallar el área del polígono regular. Como los triángulos que aparecen son isósceles es aconsejable di-bujar dónde se encuentra el triángulo rectángulo en el que se va a aplicar dicho teorema.

347



53 Calcula el área de estos polígonos regulares:

a) Pentágono de 3 cm de lado y 2,06 cm de apotema.

b) Heptágono de 2 dm de lado y 2,08 dm de apotema.

c) Dodecágono de 1 m de lado y 1,87 m de apotema.

a) A =(5 ⋅3) ⋅2,06

2= 15,45 cm2

b) A =(7 ⋅2) ⋅2,08

2= 14,56 dm2

c) A =(12 ⋅1) ⋅1,87

2= 11,22 m2

54 Halla el área de la zona sombreada en los siguientes polígonos.

a) b)

3 cm6,23 cm

6 cm

7,24 cm

a) La zona sombreada está formada por tres triángulos de base 6 cm y altura 6,23 cm.

Por tanto, el área es:

A = 3 ⋅6 ⋅6,23

2= 56,07 cm2

3 cm6,23 cm

b) La zona sombreada está formada por cuatro triángulos de base 6 cm y altura 7,24 cm.

Por tanto, el área es:

A = 4 ⋅6 ⋅7,24

2= 86,88 cm2

6 cm

7,24 cm

55 Averigua el número de lados que tiene un polígono regular de 6 cm de lado, 4,13 cm de apotema y 61,94 cm2 de área.

A =n ⋅ l ⋅ a

2→ 61,94 =

n ⋅6 ⋅ 4,13

2→ n =

61,94 ⋅2

6 ⋅ 4,13= 5

El polígono tiene 5 lados.56 Un polígono regular tiene un área de 0,693 dm2. Si su lado mide 3 cm, y su apotema, 46,2 mm, ¿cuántos lados tiene el

polígono?

0,693 dm2 = 69,3 cm2

46,2 mm = 4,62 cm

A =n ⋅ l ⋅ a

2→ 69,3 =

n ⋅3 ⋅ 4,62

2→ n =

69,3 ⋅2

6 ⋅ 4,62= 10

El polígono tiene 10 lados.



57 Calcula el área de los siguientes hexágonos regulares.

a) b) c) d)

4 cm

2 cm

2,5 cm 7 cm

a) Calculamos la apotema.

h2 + 22 = 42 → h2 + 4 = 16

→ h2 = 12 → h = 12 = 3,46 cm

El área del hexágono es:

A =

6 ⋅ 4 ⋅3,46

2= 41,52 cm2

b) Calculamos la apotema.

h2 + 12 = 22 → h2 + 1 = 4

→ h2 = 3 → h = 3 = 1,73 cm


A =

6 ⋅2 ⋅1,73

2= 10,38 cm2

c) Calculamos la apotema.

h2 + 1,252 = 2,52 → h2 + 1,5625 = 6,25

→ h2 = 4,6875 → h = 4,6875 = 2,17 cm


A =

6 ⋅2,5 ⋅2,17

2= 16,28 cm2

d) Calculamos la apotema.

h2 + 3,52 = 72 → h2 + 12,25 = 49

→ h2 = 36,75 → h = 36,75 = 6,06 cm


A =

6 ⋅7 ⋅6,06

2= 127,26 cm2

Desafío58 Calcula el área de un heptágono de 3 cm de lado si el radio de la circunferencia circunscrita mide 3,46 cm.

Calculamos la apotema:

h2 + 1,52 = 3,462 → h2 + 2,25 = 11,9716

→ h2 = 9,7216 → h = 9,7216 = 3,12 cm

El área del heptágono es:

A =7 ⋅3 ⋅3,12

2= 32,76 cm2

2 cm 1 cm

h

4 cm

2 cm

h

4 cm

1,25 cm

h

2,5 cm

7 cm 3,5 cm

h

h

3 cm

3,46 cm 3,46 cm

1,5

cm

349



8. Área de figuras planas compuestas

231


230

Halla el área de las siguientes figuras planas.a) b) c)

7 m

7 m

17 m

12 m

12 m

1 cm1 cm

6 cm

5 cm

3 cm

5 hm4 hm6 hm

3 hm 3 hm5 hm

Calcula el área de estas figuras.a) b)

5 da

m

5 dam

5 dam

8 dam

6 mm

6 mm

Descompón las siguientes figuras para obtener su área.a) b)

5 dam

5 dam

5 dam

5,2 dam•

3 m

5 m

1,5 m

2,06

m

•

Utiliza algún instrumento de medida para calcular el área de los siguientes polígonos por triangulación.a) b)

59

60

61

62

8. ÁREA DE FIGURAS PLANAS COMPUESTAS

Álvaro necesita conocer la superficie de su parcela, pero esta no tiene forma de polígono regular y no conoce ninguna fórmula para obtener su área.

Para calcular el área, descomponemos la pieza en otras figuras con áreas que sí sabemos calcular y luego las sumamos.

Aprenderás a… ● Calcular el área de una figura plana compuesta descomponiéndola en figuras cuyas áreas sabes calcular.

} Calcula el área del siguiente polígono.

Solución

1cm

Descomponemos el polígono en triángulos.

Medimos la base y la altura de cada triángulo.

16

2

3

El área del polígono es la suma de las áreas de los tres triángulos:

⋅ ⋅ ⋅+ += + + = = + + =A T T T

6 1

2

6 3

2

3 2

23 9 3 15 cm1 2 3

2

El área del polígono es de 15 cm2.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOLos pentominós son figuras formadas por 5 cuadrados, unidos lado a lado de todas las formas posibles. En total se pueden construir estos 12 pentominós.Si los construimos uniendo cuadrados de 1 cm de lado, cada pentominó tendrá un área de 5 cm2. Utiliza los 12 pentominós para formar rectángulos cuya superficie mida 60 cm2.¿La solución es única?

63

21 m

32 m32 m

12 m 40 m

32 m8 m

⋅A

(8 32) 12

2240 m1

2=+

= A2 = 32 ⋅ 40 = 1 280 m2 ⋅

A32 21

2336 m3

2= =

A = A1 + A2 + A3 = 240 + 1 280 + 336 = 1 856 m2

El área de una figura plana compuesta se puede calcular descomponiendo la figura en otras cuyas áreas sean conocidas.

En algunos casos podemos descomponer un polígono en triángulos para calcular su área. Decimos que estamos calculando el área por triangulación.

Soluciones de las actividades59 Halla el área de las siguientes figuras planas.

a) b) c)

7 m

7 m

17 m

12 m

12 m

1 cm1 cm

6 cm

5 cm

3 cm

5 hm4 hm6 hm

3 hm 3 hm5 hm

a) A = Acuadrado + Atrapecio = 122 +

(19 + 7) ⋅5

2 = 144 + 65 = 209 m2

b) A = Atriángulo + Arectángulo =

7 ⋅3

2 + 6 ⋅ 1 = 10,5 + 6 = 16,5 cm2

c) A = Atrapecio + Arectángulo + Atrapecio =

(6 + 4) ⋅3

2 + 4 ⋅ 5 +

(5 + 4) ⋅3

2 = 15 + 20 + 13,5 = 48,5 hm2


La unidad acaba calculando el área de figuras planas com-puestas. Antes de empezar a trabajar con ellas conviene hacer un recopilatorio de todas las fórmulas que han apren-dido en la unidad.

Es útil empezar con alguna figura que se pueda descompo-ner de diferentes formas para que los alumnos vean que no afecta al cálculo de su área. Se trata de elegir la descompo-sición en figuras que nos permita calcular su área de forma más sencilla.



60 Calcula el área de estas figuras.

a) b)

5 da

m5 dam

5 dam

8 dam

6 mm

6 mm

a) A = Acuadrado + Atriángulo = 52 + (5 + 8) ⋅5

2 = 57,5 dm2 b) A = 2 ⋅ Acuadrado + Atriángulo = 2 ⋅ 62 +

6 ⋅6

2 = 90 mm2

61 Descompón las siguientes figuras para obtener su área.

a) b)

5 dam

5 dam

5 dam

5,2 dam•

3 m

5 m

1,5 m

2,06

m

•

a) A = Ahexágono + Aromboide = b) A = Apentágono + Atriángulo =

= 6 ⋅5 ⋅5,2

2 + 5 ⋅ 5 = 78 + 25 = 103 dam2 =

5 ⋅3 ⋅2,06

2+

5 ⋅1,5

2 = 15,45 + 3,75 =19,2 m2

62 Utiliza algún instrumento de medida para calcular el área de los siguientes polígonos por triangulación.

a) b)

T3

T2

T1

T3

T2

T1

Medimos una base y su altura de cada triángulo.

a) T1: b = 3 cm; h = 2 cm b) T1: b = 4,5 cm; h = 1,3 cm

T2: b = 4 cm; h = 2,6 cm T2: b = 4,5 cm; h = 2,6 cm

T3: b = 4 cm; h = 2,4 cm T3: b = 2,2 cm; h = 2 cm

A =

3 ⋅2

2+

4 ⋅2,6

2+

4 ⋅2,4

2= 13 cm2

A =

4,5 ⋅1,3

2+

4,5 ⋅2,6

2+

2,2 ⋅2

2= 10,975 cm2

Desafío63 Los pentominós son figuras formadas por 5 cuadrados, unidos lado a lado de todas las formas posibles. En total se pue-

den construir estos 12 pentominós. Si los construimos uniendo cuadrados de 1 cm de lado, cada pentominó tendrá un área de 5 cm2. Utiliza los 12 pentominós para formar rectángulos cuya superficie mida 60 cm2. ¿La solución es única?

Una solución posible es:

No es la única, si combinamos las piezas resultan:

❚❚ Rectángulos 3 × 20 → 2 soluciones ❚❚ Rectángulos 5 × 12 → 1 010 soluciones

❚❚ Rectángulos 4 × 15 → 368 soluciones ❚❚ Rectángulos 6 × 10 → 2 339 soluciones

351



Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades64 Estefanía quiere ir al centro de la ciudad en coche y allí buscar aparcamiento.

Las medidas son obsoletas puesto que los coches modernos son cada vez más anchos.La normativa de la ciudad, que no ha cambiado en los últimos 30 años, permite que las plazas midan 2,20 m de anchura, 30 cm menos que el estándar recomendado. Según se desprende de un estudio realizado recientemente por el Real Automóvil Club de Catalunya (RACC), las plazas de aparcamien-to de la ciudad son las más estrechas de toda Europa, por lo que recomiendan al consistorio modificar la ordenanza municipal que regula los aparcamientos y adaptarlos así al tamaño actual de los vehículos. La normativa urbanística de la ciudad exige que las plazas de parking tengan una medida de 2,20 m de anchura por 4,50 m de longitud, medidas que están muy por debajo de la media europea, donde la mayoría de aparcamientos miden entre 20 y 30 cm más de ancho y unos 30 cm más de largo. Fuente: lavanguardia.com

Después de leer esta información, Estefanía se acerca a su coche y comprueba que mide 420 cm de largo y 218 cm de ancho.a) ¿Podrá abrir sin problemas las puertas?b) ¿Qué superficie ocupa el coche de Estefanía? c) ¿Cuál es la superficie de una plaza de aparcamiento estándar?


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se les plantea alguna situación que pueden encontrarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia. Para llegar a la solución del problema pro-puesto deben seguir los estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo utilizar el cálculo de áreas para conseguir que sean capaces de aplicarlo a la hora de resolver problemas.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

11 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

232 233

11Actividades

¿Cómo se cuenta el número de asistentes a una manifestación?

Según la legislación, se considera manifestación cuando los asistentes son más de 20 personas. A partir de ese número mínimo, los criterios de medición pueden ser diversos. Los más comunes suelen tener en cuenta índices de densidad de manifestantes por metro cuadrado o de la velocidad de paso de estos. Puede calcularse a partir de una ampliación de fotos aéreas o panorámicas generales (por ejemplo, tomadas por helicópteros de la policía) ampliadas a una escala manejable para dicho cálculo.

El criterio de medición por metros cuadrados supone la delimitación sobre un plano de la superficie ocupada por los concentrados. En una manifestación, se mide la distancia de la cabecera hasta el final o cola del recorrido. Para calcular el «área útil» en donde cabe la masa de personas, hay que descontar los metros cuadrados ocupados por vehículos, árboles, distancias entre grupos de manifestantes, etc. Cuando la zona cuadriculada es muy densa, se estima un máximo de 4 personas por metro cuadrado (tapón de cabecera, concentraciones en espacios pequeños, paradas del cortejo). En otras zonas se cuentan de 1 a 2 personas por metro cuadrado […]

Fuente: muyinteresante.es

Lucas ha leído esta información y, utilizando esta noticia, quiere calcular cuánta gente había en el recinto ferial en las últimas fiestas de su pueblo.

Para hacer el recuento, ha realizado un dibujo a escala y ha establecido con colores las zonas con las distintas densidades de personas. La zona central es la que tiene mayor densidad, y Lucas supone que las densidades, por zonas, son iguales que las que indica la noticia.

5 m

Analiza la pregunta

Para calcular cuánta gente había en el recinto hay que obtener la superficie, en metros cuadrados, de cada zona y multiplicarla por su densidad respectiva.

Busca los datos

❚ Zona rosa: triángulo de 20 m de base y 10 m de altura.

Cuando la zona cuadriculada es muy densa, se estima un máximo de 4 personas por metro cuadrado.

❚ Zona amarilla: rectángulo cuyos lados miden 30 m y 20 m, respectivamente, menos la zona rosa.

❚ Zona verde: trapecio rectángulo cuyas bases miden 25 m y 35 m y que tiene una altura de 45 m, menos la zona rosa y la zona amarilla.

En otras zonas se cuentan de 1 a 2 personas por metro cuadrado…

Utiliza las matemáticas

Calculamos el área de cada una de las zonas y el número de personas por metro cuadrado concentradas en ellas.

❚ Rosa: ⋅

⋅→= = =A20 10

2100 100 4 400

❚ Amarilla: A = 30 ⋅ 20 − 100 = 500 → 500 ⋅ 2 = 1 000

❚ Verde: ⋅− ⋅→A

(25 35) 45

2600 750 750 1 750=

+= =

En la plaza hay: 400 + 1 000 + 750 = 2 150 personas

Estefanía quiere ir al centro de la ciudad en coche y allí buscar aparcamiento.

64 Tras ver los resúmenes de los partidos de la última jornada de liga, Raúl cree que los campos de fútbol no tienen las mismas dimensiones.

65

Después de leer esta información, Estefanía se acerca a su coche y comprueba que mide 420 cm de largo y 218 cm de ancho.

a) ¿Podrá abrir sin problemas las puertas?

b) ¿Qué superficie ocupa el coche de Estefanía?

c) ¿Cuál es la superficie de una plaza de aparcamiento estándar?

d) Estefanía consulta por Internet un parking que oferta plazas de 12 m2. Al llegar, comprueba que tampoco ofrecen suficiente amplitud para aparcar cómodamente: solo le sobran 11 cm a cada lado. ¿Cuáles son las dimensiones de la plaza?

El campo donde juega Raúl tiene unas medidas de 105 m de largo por 60 m de ancho.

a) ¿Es posible jugar una competición internacional en ese campo?

b) Al campo le van a añadir una superficie de arena alrededor de 1,80 m de ancho para mejorar la seguridad. ¿Cuántos metros cuadrados de arena van a utilizar?

c) El ayuntamiento planea que el campo esté situado en el centro de un parque con forma de hexágono regular de 105 m de lado. ¿Cuántos metros cuadrados de parque se van a construir?

El campo de juego es un rectángulo de dimensiones entre los límites que se indican a continuación:

Dimensiones Longitud (m) Ancho (m)

Máximo 120 90

Mínimo 90 45

La longitud de las líneas de banda deberá ser superior a la longitud de las líneas de meta.

Para competiciones internacionales, el tamaño del campo deberá estar entre las siguientes dimensiones:


Máximo 110 75

Mínimo 100 64

En terrenos de juego donde se vayan a celebrar partidos de alto nivel deportivo se recomienda que las dimensiones del mismo sean 105 m × 68 m. Estas dimensiones son obligatorias en partidos de competiciones finales de la Copa Mundial de la FIFA y de competiciones finales de confederaciones que se celebren en cualquier parte del mundo.

Fuente: csd.gob.es

A veces nos interesa calcular el número de asistentes a conciertos o festivales al aire libre. La orquesta filarmónica de Nueva York logró reunir a 800 000 personas en Central Park.Investiga otros conciertos multitudinarios y analiza cómo se ha calculado el número de asistentes.

66

105 m

Las medidas son obsoletas puesto que los coches modernos son cada vez más anchos.

La normativa de la ciudad, que no ha cambiado en los últimos 30 años, permite que las plazas midan 2,20 m de anchura, 30 cm menos que el estándar recomendado.

Según se desprende de un estudio realizado recientemente por el Real Automóvil Club de Catalunya (RACC), las plazas de aparcamiento de la ciudad son las más estrechas de toda Europa, por lo que recomiendan al consistorio modificar la ordenanza municipal que regula los aparcamientos y adaptarlos así al tamaño actual de los vehículos. La normativa urbanística de la ciudad exige que las plazas de parking tengan una medida de 2,20 m de anchura por 4,50 m de longitud, medidas que están muy por debajo de la media europea, donde la mayoría de aparcamientos miden entre 20 y 30 cm más de ancho y unos 30 cm más de largo.

Fuente: lavanguardia.com



d) Estefanía consulta por Internet un parking que oferta plazas de 12 m2. Al llegar, comprueba que tampoco ofrecen sufi-ciente amplitud para aparcar cómodamente: solo le sobran 11 cm a cada lado. ¿Cuáles son las dimensiones de la plaza?

a) 2,20 m = 220 cm 220 − 218 = 2 No podrá abrir la puerta ya que solo le sobran 2 cm.

b) 420 ⋅ 218 = 91 560 cm2 Aproximadamente 9,16 m2.

c) 2,20 ⋅ 4,50 = 9,9 m2

d) La plaza mide de ancho la amplitud del coche más 2 ⋅ 11 cm, es decir: 218 + 22 = 240 cm = 2,4 m

12 = 2,4 ⋅ x → x =12

2,4= 5 m Las dimensiones de la plaza son 2,4 m de ancho por 5 m de largo.

65 Tras ver los resúmenes de los partidos de la última jornada de liga, Raúl cree que los campos de fútbol no tienen las mis-mas dimensiones.

El campo de juego es un rectángulo de dimensiones entre los límites que se indican a continuación:


Máximo 120 90

Mínimo 90 45

La longitud de las líneas de banda deberá ser superior a la longitud de las líneas de meta.Para competiciones internacionales, el tamaño del campo deberá estar entre las siguientes dimensiones:


Máximo 110 75

Mínimo 100 64

En terrenos de juego donde se vayan a celebrar partidos de alto nivel deportivo se recomienda que las dimensiones del mismo sean 105 m × 68 m. Estas dimensiones son obligatorias en partidos de competiciones finales de la Copa Mundial de la FIFA y de competiciones finales de confederaciones que se celebren en cualquier parte del mundo. Fuente: csd.gob.es

El campo donde juega Raúl tiene unas medidas de 105 m de largo por 60 m de ancho.

a) ¿Es posible jugar una competición internacional en ese campo?

b) Al campo le van a añadir una superficie de arena alrededor de 1,80 m de ancho para mejorar la seguridad. ¿Cuántos metros cuadrados de arena van a utilizar?

c) El ayuntamiento planea que el campo esté situado en el centro de un parque con forma de hexágono regular de 105 m de lado. ¿Cuántos metros cuadrados de parque se van a construir?

a) No es posible jugar una competición internacional ya que tiene una longitud adecuada, pues 100 < 105 < 120, pero no llega al ancho mínimo, pues 60 < 64.

b) La superficie de arena es: (105 + 1,80) ⋅ (60 + 1,80) − (105 ⋅ 60) = 6 600,24 − 6 300 = 300,24 m2

c) h2 + 52,52 = 1052 → h2 = 8 268,75 → h2 = 8 268,75 = 90,93 m

El área del hexágono es: A =6 ⋅105 ⋅90,93

2= 28 642,95 m2

Por tanto, la superficie será: 28 642,95 − 105 ⋅ 60 = 28 642,95 − 6 300 = 22 342,95 m2

Analiza66 A veces nos interesa calcular el número de asistentes a conciertos o festivales al aire libre. La orquesta filarmónica de Nue-

va York logró reunir a 800 000 personas en Central Park.

Investiga otros conciertos multitudinarios y analiza cómo se ha calculado el número de asistentes.

Esta es una lista con otros grandes conciertos en los que se estimó el número de asistentes.

❚❚ En 1994 Rod Stewart en la playa de Copacabana [3 500 000].

❚❚ En 1986 la Filarmónica de Nueva York en el Central Park [800 000].

❚❚ En 1983 Steve Wozniak en el Festival de Estados Unidos [670 000].

❚❚ En 1981 Simon & Garfunkel en el Parque Central en [500 000].

105 m

52,5 m

105 mh

353




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Aplicar el teorema de Pitágoras.

❚❚ Identificar las posiciones relativas de un punto, una recta y una circunferencia respecto de una circunferencia.

❚❚ Calcular áreas de figuras planas conocidas.

❚❚ Determinar áreas de figuras planas compuestas.

Actividades finalesSoluciones de las actividades67 Expresa las siguientes longitudes en la unidad indicada.

a) 3,45 km en dm c) 45 607 mm en dam

b) 345,67 m en hm d) 0,036 hm en cm

a) 3,45 km = 3,45 ⋅ 10 000 = 34 500 dm c) 45 607 mm = 450 607 : 10 000 = 45,0607 dam

b) 345,67 m = 345,67 : 100 = 3,4567 hm d) 0,036 hm = 0,036 ⋅ 10 000 = 360 cm68 Realiza las siguientes operaciones con longitudes.

a) 0,23 km + 330 m + 35 009 cm c) 8,03 dam + 0,928 km + 547 cm

b) 25,27 m + 40,52 hm + 34 km d) 0,003 km + 21 m + 35 dm

a) 230 m + 330 m + 350,09 m = 910,09 m c) 80,3 m + 928 m + 5,47 m = 1 013,77 m

b) 25,27 m + 4 052 m + 34 000 m = 38 077,27 m d) 3 m + 21 m + 3,5 m = 27,5 m

¿Qué tienes que saber?

234 235

¿QUÉ11 tienes que saber? Actividades Finales 11

Halla el lado desconocido en los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

32 cm

24 cma

37 cm

35 cm

b

a) a2 = 242 + 322 → a2 = 576 + 1 024 → a2 = 1 600 → a = 1600 = 40 cm

b) 372 = 352 + b2 → 1 369 = 1 225 + b2 → b2 = 144 → b = 144 = 12 cm

Teorema de PitágorasTen en cuenta

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

a2 = b2 + c2

Calcula el área de estas fi guras planas.

a) b) c)

5 cm

12 cm

3 cm

9 cm

6 cm

a) Área de un romboide: A = 12 ⋅ 5 = 60 cm2

b) Área de un rombo: ⋅

= =A9 3

213,5 cm2

c) Área de un cuadrado: A = 62 = 36 cm2

Área de figuras planas conocidasTen en cuenta

❚ Rectángulo: A = b ⋅ h

❚ Cuadrado: A = l2

❚ Rombo: ⋅

AD d

2=

❚ Romboide: A = b ⋅ h

❚ Trapecio: AB b h( )

2

⋅=

+

❚ Triángulo: ⋅

Ab h

2=

❚ Polígono regular: ⋅

AP a

2=

Calcula el área de la siguiente fi gura plana.

2,06 cm 3 cm

4 cm

3 cm 5 cm•

Descomponemos la figura inicial en figuras cuyas áreas sabemos calcular.

= ++

+ = + + =A(5 3) 2,06

2

(5 3) 3

2

5 4

215,45 12 10 38,95 cm2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Área de figuras planas compuestasTen en cuenta

El área de una figura plana compuesta se puede calcular descomponiendo la figura en otras cuyas áreas sean conocidas.

Unidades de longitud y superficie

Expresa las siguientes longitudes en la unidad indicada.

a) 3,45 km en dm

b) 345,67 m en hm

c) 45 607 mm en dam

d) 0,036 hm en cm

Realiza las siguientes operaciones con longitudes.

a) 0,23 km + 330 m + 35 009 cm

b) 25,27 m + 40,52 hm + 34 km

c) 8,03 dam + 0,928 km + 547 cm

d) 0,003 km + 21 m + 35 dm

Calcula.

a) 32,57 hm − 975 dm

b) 7 809 dm − 4,301 dam

c) 0,1 km − 2 378 cm

Expresa estas medidas de superficie en la unidad indicada.

a) 62 hm2 en km2

b) 2 034 cm2 en dam2

c) 43,035 dam2 en cm2

d) 43 500 629 mm2 en m2

Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en la unidad indicada.

a) 0,467 hm2 + 357,1 dam2 en m2

b) 675 dam2 − 0,43 hm2 en dam2

c) 43 057 cm2 − 3,57 m2 en cm2

d) 8,0045 m2 + 34 056 mm2 en m2

Enrique ha hecho una fila con monedas de 10, 20 y 50 céntimos. Los diámetros de las monedas son los que figuran en la tabla.

10 CENT 20 CENT 50 CENT

1,975 cm 22,25 mm 0,238 dm

¿Cuántos metros tiene una fila con 12 monedas de 10 céntimos, 5 de 20 céntimos y 32 de 50 céntimos?

Un agricultor tiene una finca de 45 hm2 y decide dejar sin sembrar este año 32 500 m2. ¿Cuántos decámetros cuadrados ha plantado?

Elena tiene que pintar un muro con una superficie de 4,2 dam2. Si ha comprado 35 L y en las especificaciones de la pintura dice que con 1 L puede pintar 12 m2, ¿tiene suficiente con la pintura comprada?

67

68

69

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71

72

73

74

Teorema de Pitágoras

Las siguientes medidas corresponden a los lados de los catetos de un triángulo rectángulo. Calcula la medida de la hipotenusa.

a) 6 cm y 8 cm

b) 36 cm y 48 cm

c) 14 cm y 48 cm

d) 0,6 cm y 0,8 cm

e) 3,6 cm y 4,8 cm

f) 1,4 cm y 4,8 cm

Calcula la medida del lado que falta en los siguientes triángulos.

a) c)

a25 cm

24 cm

c

39 cm

89 cm

b) d)

b

16 m

34 m

d

85 dam

84 dam

Fernando se encuentra en un punto determinado de un bosque y empieza a caminar 1,5 km en línea recta. En ese momento se para, gira 90º y vuelve a emprender la marcha en línea recta otros 2 km. ¿Cuántos kilómetros se habría ahorrado si hubiera ido directamente en línea recta desde el punto en el que inició el recorrido hasta el punto final?

¿A qué altura se encuentra la cometa?

Carolina tiene tres listones de madera que miden, respectivamente, 0,9 m, 1,2 m y 1,6 m y asegura que va a formar un triángulo rectángulo con ellos. ¿Crees que va a poder construirlo o tendrá que cortar algún listón? Si no es posible, indica qué listón tiene que cortar y cuánto tiene que cortarlo.

75

76

77

78

79

2,06 cm 3 cm

4 cm

3 cm

3 cm 5 cm•

2,06 cm 3 cm

4 cm

3 cm

3 cm 5 cm•

2,06 cm 3 cm

4 cm

3 cm

3 cm 5 cm•



69 Calcula.

a) 32,57 hm − 975 dm b) 7 809 dm − 4,301 dam c) 0,1 km − 2 378 cm

a) 32 570 dm − 975 dm = 31 595 dm c) 10 000 cm − 2 378 cm = 7 622 cm

b) 7 809 dm − 430,1 dm = 7 378,9 dm70 Expresa estas medidas de superficie en la unidad indicada.

a) 62 hm2 en km2 c) 43,035 dam2 en cm2

b) 2 034 cm2 en dam2 d) 43 500 629 mm2 en m2

a) 62 hm2 = 62 : 100 = 0,62 km2

b) 2 034 cm2 = 2 034 : 1 000 000 = 0,002034 dam2

c) 43,035 dam2 = 43,035 ⋅ 1 000 000 = 43 035 000 cm2

d) 43 500 629 mm2 = 43 500 629 : 1 000 000 = 43,500629 m2

71 Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en la unidad indicada.

a) 0,467 hm2 + 357,1 dam2 en m2 c) 43 057 cm2 − 3,57 m2 en cm2

b) 675 dam2 − 0,43 hm2 en dam2 d) 8,0045 m2 + 34 056 mm2 en m2

a) 4 670 m2 + 35 710 m2 = 40 380 m2 c) 43 057 cm2 − 35 700 cm2 = 7 357 cm2

b) 675 dam2 − 43 dam2 = 632 dam2 d) 8,0045 m2 + 0,034056 m2 = 8,038556 m2

72 Enrique ha hecho una fila con monedas de 10, 20 y 50 céntimos. Los diámetros de las monedas son los que figuran en la tabla.

10 cent 20 cent 50 cent

1,975 cm 22,25 mm 0,238 dm

¿Cuántos metros tiene un fila con 12 monedas de 10 céntimos, 5 de 20 céntimos y 32 de 50 céntimos?

22,5 mm = 2,225 cm; 0,238 dm = 2,38 cm

12 ⋅ 1,975 + 5 ⋅ 2,225 + 32 ⋅ 2,38 = 23,7 + 11,125 + 76,16 = 110,985 cm = 1,10985 m

La fila mide 1,10985 m.73 Un agricultor tiene una finca de 45 hm2 y decide dejar sin sembrar este año 32 500 m2.

¿Cuántos decámetros cuadrados ha plantado?

45 hm2 = 4 500 dam2 32 500 m2 = 325 dam2

4 500 − 325 = 4 175 dam2

Ha plantado 4 175 dam2.74 Elena tiene que pintar un muro con una superficie de 4,2 dam2. Si ha comprado 35 L y en las especificaciones de la pintura

dice que con 1 L puede pintar 12 m2, ¿tiene suficiente con la pintura comprada?

Con la pintura que tiene puede pintar: 35 ⋅ 12 = 420 m2

El muro tiene una superficie de: 4,2 dam2 = 420 m2

Tiene la pintura justa para pintarlo.75 Las siguientes medidas corresponden a los lados de los catetos de un triángulo rectángulo. Calcula la medida de la hipo-

tenusa.

a) 6 cm y 8 cm c) 14 cm y 48 cm e) 3,6 cm y 4,8 cm

b) 36 cm y 48 cm d) 0,6 cm y 0,8 cm f) 1,4 cm y 4,8 cm

a) h2 = 62 + 82 → h2 = 36 + 64 → h2 = 100 → h = 100 → h = 10 cm

b) h2 = 362 + 482 → h2 = 1 296 + 2 304 → h2 = 3 600 → h = 3 600 → h = 60 cm

c) h2 = 142 + 482 → h2 = 196 + 2 304 → h2 = 2 500 → h = 2 500 → h = 50 cm

d) h2 = 0,62 + 0,82 → h2 = 0,36 + 0,64 → h2 = 1 → h = 1 → h = 1 cm

e) h2 = 3,62 + 4,82 → h2 = 12,96 + 23,04 → h2 = 36 → h = 36 → h = 6 cm

f) h2 = 1,42 + 4,82 → h2 = 1,96 + 23,04 = 25 → h2 = 25 → h = 25 → h = 5 cm

355



76 Calcula la medida del lado que falta en los siguientes triángulos.

a) b) c) d)

a25 cm

24 cm

b

16 m

34 m

c

39 cm

89 cm

d

85 dam

84 dam

a) a2 + 242 = 252 → a2 + 576 = 625 → a2 = 625 − 576 → a2 = 49 → a = 49 → a = 7 cm

b) b2 + 162 = 342 → b2 + 256 = 1 156 → b2 = 1 156 − 256 → b2 = 900 → b = 900 → b = 30 m

c) c2 + 392 = 892 → c2 + 1 521 = 7 921 → c2 = 7 921 − 1 521 → c2 = 6 400 → c = 6 400 → c = 80 cm

d) d2 + 842 = 852 → d2 + 7 056 = 7 225 → d2 = 7 225 − 7 056 → d2 = 169 → d = 169 → d = 13 cm77 Fernando se encuentra en un punto determinado de un bosque y empieza a caminar 1,5 km en línea recta. En ese mo-

mento se para, gira 90º y vuelve a emprender la marcha en línea recta otros 2 km. ¿Cuántos kilómetros se habría ahorrado si hubiera ido directamente en línea recta desde el punto en el que inició el recorrido hasta el punto final?

2 km

1,5 km

x

Los tres caminos forman un triángulo rectángulo.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

x2 = 22 + 1,52 = 4 + 2,25 = 6,25 → x = 6,25 = 2,5 km

Como recorre 1,5 + 2 = 3 km, se habría ahorrado 3 − 2,5 = 0,5 km.

78 ¿A qué altura se encuentra la cometa?

17 m

15 m

h

h2 + 152 = 172 → h2 + 225 = 289 → h2 = 289 − 225 → h2 = 64 → h = 64 → h = 8 m

165 cm = 1,65 m

La cometa se encuentra a una altura de: 8 + 1,65 = 9,65 m

79 Carolina tiene tres listones de madera que miden, respectivamente, 0,9 m, 1,2 m y 1,6 m y asegura que va a formar un triángulo rectángulo con ellos. ¿Crees que va a poder construirlo o tendrá que cortar algún listón? Si no es posible, indica qué listón tiene que cortar y cuánto tiene que cortarlo.

Expresamos las medidas en decímetros para eliminar las cifras decimales.

0,9 m = 9 dm; 1,2 m = 12 dm; 1,6 m = 16 dm

Comprobamos si las tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras.

Por un lado, 162 = 256, y por otro, 122 + 92 = 144 + 25 = 169.

Como 256 ≠ 169 no forman un triángulo rectángulo.

Para que lo formen el lado mayor debería medir 13 dm, y de este modo 132 = 169 y los tres lados cumplirían el teorema de Pitágoras.



80 Halla el perímetro y el área de las figuras.

a) b) c) d)

1m2

1m2

1m2

1m2

a) P = 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 3 = 18 m A = 11 m2

b) P = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 24 m A = 13 m2

c) P = 1 + 6 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 + 2 = 20 m A = 17 m2

d) P = 3 + 3 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 2 = 22 m A = 17 m2

81 Estima el área de estas figuras.

a) b) c) d)

1cm2

1cm2

1cm2

1cm2

a) A = 10 +3

2+

2

2= 12,5 cm2 c) A = 9 +

1

2+

1

2+

2

2+

3

4+

4

2= 13,75 cm2

b) A = 10 +4

2+

1

2+

1

2+

2

2= 14 cm2 d) A = 14 +

3

2+

1

2+

1

2+

3

2= 18 cm2

237

Actividades Finales 11

236


¿Cuánto costará vallar un terreno cuadrado de 3,2 hm de lado a razón de 2,50 € el metro de valla?

Pilar tiene que pintar un muro del que le han dicho que tiene una superficie de 42,5 m2. Si acaba de medir la longitud y es de 12,5 m, ¿cuál es la altura del muro?

Una cuadrilla de pintores ha cobrado 68,25 € por pintar una pared de 4,2 m de largo y 3,25 m de alto. ¿Cuánto ha costado el metro cuadrado?

Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras inscritas en una circunferencia de 6 cm de radio.

a) b)

6 cm•

6 cm•

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene una base mayor de 24 cm y una base menor de 12 cm y cuyos lados iguales miden 10 cm.

Una empresa quiere encargar pegatinas con su logo para publicitarse. El precio de la pegatina es proporcional a su superficie. La empresa tiene la opción de encargar una pegatina con forma de triángulo equilátero de 5 cm de lado o de hexágono regular de 2 cm de lado. ¿Cuál es la opción más barata?

Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras planas.

a) c)

15 cm

13 cm

3 cm

50 cm

30 cm

b) d)

32 cm

20 cm

4 cm

20 cm

17 c

m

El área de un cuadrado es de 3 600 cm2. Calcula el área del hexágono que tiene el mismo perímetro que este cuadrado.

88

89

90

91

92

93

94

95

Perímetro y superficie de figuras planas

Halla el perímetro y el área de las figuras.

a) c)

1m2

1m2

b) d)

d) 1m2

1m2

Estima el área de estas figuras.

a) c)

1cm2

1cm2

b) d)

d) 1cm2

1cm2

Área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

Halla el área de los siguientes cuadriláteros.

a) c)

5 dm

0,12 hm

10 m

b) d)

32 hm

750 dam7 km

12 cm

5,3

dm

80

81

82

Área de figuras planas compuestas

Halla una descomposición de estas figuras planas y calcula su área.

a) c)

7 cm

2 cm

2 cm

12 cm

3 cm

1 cm

8 cm

b) d)

6 cm

5 cm

3 cm 2 cm

2 cm

4 cm

5 cm

4 cm 4 cm5 cm

Calcula el área de estas figuras.

a) c)

5 cm

1 cm

3 cm 3 cm

3 cm

3 cm

2 cm

3 cm 4 cm

b) d)

2 cm

4 cm

1 cm1 cm

2 cm2 cm3 cm

2 cm3 cm

3 cm

2 cm3 cm

6 cm

3 cm

Averigua el área de la parte coloreada.

a) c)

6 cm

6 cm

4 cm

3 cm

3 cm

2 cm

2 cm

1 cm

7 cm

4 cm

1 cm

1 cm

b) d)

1 cm

1 cm 2 cm

6 cm

6 cm

3 cm

1 cm

7 cm

1 cm

1 cm

1 cm

96

97

98

Obtén el área de estos triángulos.

a) c)

3,2 dm

0,28 m

12 m

1,5 dam

b) d)

2 hm

0,15 km

0,2 dm

52 mm

Calcula el área de los polígonos regulares propuestos.

a) Octógono de 4 cm de lado y 4,83 cm de apotema.

b) Pentágono de 2,5 m de lado y 172 cm de apotema.

c) Heptágono de 3 dm de lado y 31,1 cm de apotema.

d) Decágono de 6 cm de lado y 92 mm de apotema.

Halla el área de estos polígonos, que están representados sobre una cuadrícula de 1 cm de lado.

a) c)

b) d)

Una empresa que se dedica a fabricar cometas ha diseñado un último modelo que tiene forma de rombo con una diagonal mayor de 92 cm y una diagonal menor de 48,5 cm. ¿Cuánto mide su superficie?

La finca de José mide 20 m de ancho por 12,5 m de largo. Si puede plantar 2 árboles por cada 5 m2 de superficie, ¿cuántos árboles podrá plantar José en su finca?

83

84

85

86

87

357



82 Halla el área de los siguientes cuadriláteros.

a) b) c) d)

5 dm

32 hm

750 dam7 km

0,12 hm

10 m

12 cm

5,3

dm

a) A = 52 = 25 dm2 c) 0,12 hm = 12 m

b) 7 km = 70 hm; 750 dam = 75 hm A = 10 ⋅ 12 = 120 m2

A =(32 + 75) ⋅70

2= 3 745 dam2 d) 5,3 dm = 53 cm

A =53 ⋅12

2= 318 cm2

83 Obtén el área de estos triángulos.

a) b) c) d)

3,2 dm

0,28 m

2 hm

0,15 km

12 m

1,5 dam

0,2 dm

52 mm

a) 0,28 m = 2,8 dm Área =3,2 ⋅2,8

2= 4,48 dm2 c) 1,5 dam = 15 m Área =

15 ⋅12

2= 90 m2

b) 0,15 km = 1,5 hm Área =2 ⋅1,5

2= 1,5 hm2 d) 0,2 dm = 20 mm Área =

20 ⋅52

2= 520 mm2

84 Calcula el área de los polígonos regulares propuestos.

a) Octógono de 4 cm de lado y 4,83 cm de apotema. c) Heptágono de 3 dm de lado y 31,1 cm de apotema.

b) Pentágono de 2,5 m de lado y 172 cm de apotema. d) Decágono de 6 cm de lado y 92 mm de apotema.

a) A =8 ⋅ 4 ⋅ 4,83

2= 77,28 cm2

b) 2,5 m = 250 cm

A =5 ⋅250 ⋅172

2= 107 500 cm2

85 Halla el área de estos polígonos, que están representados sobre una cuadrícula de 1 cm de lado.

a) b) c) d)

a) A = 4 ⋅ 3 = 12 cm2 b) A =6 ⋅ 4

2= 12 cm2 c) A =

4 ⋅3

2= 6 cm2 d) A =

(6 + 1) ⋅34

2= 14 cm2

c) 3 dm = 30 cm

A =7 ⋅30 ⋅31,1

2= 3 265,5 cm2

d) 6 cm = 60 mm

A =10 ⋅60 ⋅92

2= 27 600 mm2



86 Una empresa que se dedica a fabricar cometas ha diseñado un último modelo que tiene forma de rombo con una diago-nal mayor de 92 cm y una diagonal menor de 48,5 cm. ¿Cuánto mide su superficie?

A =92 ⋅ 48,5

2= 2 231 cm2

Las cometas tienen una superficie de 2 231 cm2.87 La finca de José mide 20 m de ancho por 12,5 m de largo. Si puede plantar 2 árboles por cada 5 m2 de superficie, ¿cuán-

tos árboles podrá plantar José en su finca?

A = 20 ⋅ 12,5 = 250 m2 250 : 5 = 50 50 ⋅ 2 = 100

En la parcela podrá plantar 100 árboles.88 ¿Cuánto costará vallar un terreno cuadrado de 3,2 hm de lado a razón de 2,50 € el metro de valla?

P = 4 ⋅ 3,2 = 12,8 hm = 1 280 m 1 280 ⋅ 2,50 = 3 200 €

El precio del vallado es 3 200 €.89 Pilar tiene que pintar un muro del que le han dicho que tiene una superficie de 42,5 m2. Si acaba de medir la longitud y

es de 12,5 m, ¿cuál es la altura del muro?

12,5 ⋅ h = 42,5 → h = 42,5

12,5 = 3,4 m

El muro tiene una altura de 3,4 m.90 Una cuadrilla de pintores ha cobrado 68,25 € por pintar una pared de 4,2 m de largo y 3,25 m de alto. ¿Cuánto ha cos-

tado el metro cuadrado?

A = 4,2 ⋅ 3,25 = 13,65 m2 68,25 : 13,65 = 5

Luego el precio por metro cuadrado es 5 €.91 Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras inscritas en una circunferencia de 6 cm de radio.

a) b)

6 cm•

6 cm•

a) P = 6 ⋅ 6 = 36 cm

Calculamos la apotema del hexágono:

h2 + 32 = 62 → h 2 + 9 = 36 → h 2 = 27 → h = 27 = 5,20 cm


2= 93,6 cm2

b) Calculamos el lado del cuadrado:

l2 = 62 + 62 → l2 = 36 + 36 → l2 = 72 → l = 72 = 8,49 cm

P = 4 ⋅ 8,49 = 33,96 cm A = 8,492 = 72 cm2

92 Halla el área de un trapecio isósceles que tiene una base mayor de 24 cm y una base menor de 12 cm y cuyos lados iguales miden 10 cm.

Necesitamos calcular la altura del trapecio.

h2 + 62 = 102 → h2 + 36 = 102 → h2 = 100 − 36

→ h2 = 64 → h = 64 → h = 8 cm

El área del trapecio es: A =(24+12) ⋅8

2= 144 cm26 cm 6 cm 6 cm12 cm

10 cmh

359



93 Una empresa quiere encargar pegatinas con su logo para publicitarse. El precio de la pegatina es proporcional a su su-perficie. La empresa tiene la opción de encargar una pegatina con forma de triángulo equilátero de 5 cm de lado o de hexágono regular de 2 cm de lado. ¿Cuál es la opción más barata?

Como el precio es proporcional a la superficie, es más barata la que tenga menor superficie.

Para calcular el área del triángulo necesitamos su altura.

h2 + 2,52 = 52 → h2 = 25 − 6,25 → h2 = 18,75

→ h = 18,75 → h = 4,33 cm

El área del triángulo es: A =5 ⋅ 4,33

2= 10,825 cm2

Para calcular el área del hexágono regular necesitamos su apotema.

h2 + 12 = 22 → h 2 + 1 = 4 → h 2 = 5 → h = 5 = 2,24 cm


2= 14,44 cm2

Es más barata la pegatina del triángulo.94 Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras planas.

a) b) c) d)

15 cm

13 cm

3 cm

32 cm

20 cm

50 cm

30 cm

4 cm

20 cm

17 c

m

a) Necesitamos calcular la altura del trapecio.

h2 + 122 = 132 → h2 + 144 = 169 → h2 = 169 − 144 → h2 = 25 → h = 25 → h = 5 cm

El área es: A =(15 + 3) ⋅5

2= 45 cm2

El perímetro es: 3 + 13 + 15 + 5 = 36 cm

b) Necesitamos calcular la otra diagonal del rombo.

h2 + 162 = 202 → h2 + 256 = 400 → h2 = 400 − 256 →

→ h2 = 144 → h = 144 → h = 12 cm

La otra diagonal mide 2 ⋅ 12 = 24 cm y el área es: A =32 ⋅24

2= 384 cm2

El perímetro es: 4 ⋅ 20 = 80 cm

c) Necesitamos calcular la otra diagonal del rombo.

h2 + 302 = 502 → h2 + 900 = 2 500 → h2 = 2 500 − 900 → h2 = 1 600 → h = 1600 → h = 40 cm

Las diagonales miden 2 ⋅ 30 = 60 cm y 2 ⋅ 40 = 80 cm.

El área es: A =60 ⋅80

2= 2 400 cm2

El perímetro es: 50 ⋅ 4 = 200 cm

d) Necesitamos calcular la altura del trapecio.

h2 + 82 = 172 → h2 + 64 = 289 → h2 = 289 − 64 → h2 = 225 → h = 225 → h = 15 cm

El área del trapecio es: A =(20 + 4) ⋅15

2= 180 cm2

El perímetro es: 17 + 4 + 17 + 20 = 58 cm

1 cm

2 cm

2,5 cm

5 cmh

h



95 El área de un cuadrado es de 3 600 cm2. Calcula el área del hexágono regular que tiene el mismo perímetro que este cuadrado.

El cuadrado tiene de lado 3 600 = 60 cm, luego su perímetro es: 60 ⋅ 4 = 240 cm

Como el hexágono tiene el mismo perímetro, el lado del hexágono es 240 : 6 = 40 cm

Calculamos la apotema del hexágono:

h2 + 202 = 402 → h 2 + 400 = 1 600 → h 2 = 1 600 − 400

→ h 2 = 1 200 → h = 1200 → h = 34,64 cm

El área del hexágono es: A =6 ⋅ 40 ⋅34,64

2= 4 156,8 cm2

96 Halla una descomposición de estas figuras planas y calcula su área.

a) b) c) d)

7 cm

2 cm

2 cm

12 cm

6 cm

5 cm

3 cm 2 cm

3 cm

1 cm

8 cm

2 cm

4 cm

5 cm

4 cm 4 cm5 cm

a) A = Atrapecio + Arectángulo = c) A = Aromboide + Atriángulo =

=

(12 + 2) ⋅2

2+ 7 + 12 =

= 8 ⋅3 +

8 ⋅1

2=

= 14 + 84 = 98 cm2 = 24 + 4 = 28 cm2

b) A = Atriángulo + Atriángulo = d) A = Acuadrado + Arectángulo + Atriángulo =

=

3 ⋅6

2+

3 ⋅5

2=

= 42 + 11⋅5 +

11⋅ 4

2=

= 9 + 7,5 = 16,5 cm2 = 16 + 55 + 22 = 93 cm2

97 Calcula el área de estas figuras.

a) b) c) d)

5 cm

1 cm

3 cm 3 cm

3 cm

3 cm

2 cm

4 cm

1 cm1 cm

2 cm2 cm3 cm

2 cm3 cm

3 cm

2 cm

3 cm 4 cm

2 cm3 cm

6 cm

3 cm

a) Calculamos el área del cuadrado y restamos los cuatro triángulos de las esquinas:

A = 62 −

1⋅1

2−

5 ⋅3

2−

3 ⋅3

2−

3 ⋅5

2= 36− 0,5−7,5− 4,5−7,5 = 16 cm2

b) Calculamos el área del rectángulo mayor y restamos los cuatro rectángulos de las esquinas:

A = 7 ⋅ 6 − 2 ⋅ 1 − 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 = 42 − 2 − 12 − 4 − 2 = 22 cm2

c) Calculamos el área del rectángulo y le restamos el área del triángulo:

A = 7 ⋅2−

2 ⋅ 4

2= 14− 4 = 10 cm2

d) Calculamos el área del rectángulo y le restamos los tres triángulos de las esquinas:

A = 6 ⋅3−

3 ⋅1

2−

6 ⋅2

2−

3 ⋅3

2= 18−1,5− 6− 4,5 = 6 cm2

20 cm

40 cmh

361



98 Averigua el área de la parte coloreada.

a) b) c) d)

6 cm

6 cm

4 cm

3 cm

3 cm

2 cm

1 cm

1 cm 2 cm

6 cm

6 cm

2 cm

1 cm

7 cm

4 cm

1 cm

1 cm

3 cm

1 cm

7 cm

1 cm

1 cm

1 cm

a) Calculamos el área del trapecio grande y le restamos el área del trapecio pequeño.

A =

(4 + 6) ⋅6

2−

(2 + 3) ⋅3

2= 30−7,5 = 22,5 cm2

b) Calculamos el área del cuadrado grande y le restamos el área del triangulo pequeño.

A = 62 −

2 ⋅ 4

2= 36− 4 = 32 cm2

c) Calculamos el área del rectángulo grande y le restamos el área del rombo pequeño.

A = 7 ⋅ 4−

2 ⋅ 4

2= 28− 4 = 24 cm2

d) Calculamos el área del rectángulo grande y le restamos el área del romboide pequeño.

A = 7⋅ 3 − 3 ⋅ 1 = 21 − 3 = 18 cm2



Matemáticas vivas

Las matemáticas de las abejasSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, la forma de los panales de las abejas, en la que aprecia el uso de polígonos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Resuelve, Argumenta, Utiliza el lenguaje matemático, Representa o Argumenta.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Situación problema, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos utilizarán herramientas informáticas que les permita medir la superficie de un parque de la zona donde viven. Después, calcularán el área del parque tomando medidas reales y compararán los resultados.

Soluciones de las actividades

Comprende1 El dibujo muestra el esquema de una celda de un panal de abejas.

Responde a las preguntas teniendo en cuenta que cada celda tiene las dimensiones indicadas.

a) ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita en la celda?

b) ¿Cuánto mide el lado de esta celda?

c) Calcula su perímetro.

a) 5 : 2 = 2,5 mm

b) El lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita: 2,5 mm

c) 6 ⋅ 2,5 = 15 mm

11 MATEMÁTICAS VIVAS

238 239

11Las matemáticas de las abejas

Si has visto un panal de abejas, habrás observado que las celdas que fabrican para depositar la miel tienen forma similar a un hexágono regular.

REFLEXIONA

Hace mucho tiempo, en el siglo III d. C. Pappus de Alejandría se preguntó por qué las abejas habrían utilizado este polígono y no otro para crear sus celdas. También Charles Darwin lo cita en su famoso libro El origen de la especies.

Si fijamos un perímetro, por ejemplo de 12 cm, podemos construir un hexágono regular con la siguiente superficie:

Por ser un hexágono regular, la medida del lado es 12 : 6 = 2 cm.

Para calcular su superficie, necesitamos calcular la medida de la apotema.

2 cm 2 cm 1 cm2 cm

a a

a a a

a a

1 2 1 4 4 1

3 3 1,73cm

2 2 2 2 2

2 2

+ = → + = → =

→ = → = =

−

Luego, el área del hexágono es: A12 1,73

210,38 cm2⋅

= =

a. Dibuja un triángulo isósceles con un perímetro de 12 cm y cuyo lado desigual mida 2 cm, y calcula su área.

b. Dibuja un cuadrado de 12 cm de perímetro y calcula su área.

PIENSA Y RAZONA

c. ¿Por qué crees que las abejas han elegido los hexágonos como base para formar sus celdas?

Las dimensiones de las celdas de las abejas no son exactamente iguales; para medir el tamaño de una celda, se toma la distancia entre los centros de 10 celdas y después se divide por 10.

Los panales que construyen las abejas europeas comunes suelen tener una distancia de entre 5,2 cm y 5,6 cm por cada 10 celdas.

a. ¿Entre qué dos valores se encuentra el área de las celdas de las abejas europeas comunes?

b. ¿Cuántas celdas de un tamaño de 5,6 mm caben en un cuadrado de 1 m2 de superficie?

RESUELVE

4

5

RELACIONA

Las tres únicas formas de llenar un plano con polígonos regulares sin que quede espacio es con triángulos, cuadrados y hexágonos.

ARGUMENTA

a. ¿Por qué solo existen estas tres posibilidades?

b. Calcula el perímetro de un polígono regular de 3, 4 y 6 lados, cada uno de los cuales mide 2 cm.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Calcula el área de los siguientes polígonos regulares indicando la fórmula del área de un polígono regular.

•

••

2 cm2 cm2 cm

0,58 cm1 cm

1,73 cm

3

COMPRENDE

El dibujo muestra el esquema de una celda de un panal de abejas. Responde a las preguntas teniendo en cuenta que cada celda tiene las dimensiones indicadas.

a. ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita en la celda?

b. ¿Cuánto mide el lado de esta celda?

c. Calcula su perímetro.

PIENSA Y RAZONA

Para calcular la superficie de la celda, necesitamos conocer la apotema del h e x á g o n o regular que la forma. ¿Cuánto mide la apotema de este hexágono?

RESUELVE

1

2

5 mm

4 mm

4 mm

4 m

m

a

ARGUMENTA

TRABAJO

COOPERATIVO

REPRESENTA

5 mm

363



2 Para calcular la superficie de la celda, necesitamos conocer la apotema del hexágono regular que la forma.

¿Cuánto mide la apotema de este hexágono?

a2 + 22 = 42 → a2 + 4 = 16 → a2 = 16 − 4 = 12 → a = 12 = 3,46 mm

Relaciona3 Las tres únicas formas de llenar un plano con polígonos

regulares sin que quede espacio es con triángulos, cua-drados y hexágonos.

a) ¿Por qué solo existen estas tres posibilidades?

b) Calcula el perímetro de un polígono regular de 3, 4 y 6 lados, cada uno de los cuales mide 2 cm.

c) Calcula el área de los siguientes polígonos regulares indicando la fórmula del área de un polígono regular.

•

••

2 cm2 cm2 cm

0,58 cm1 cm

1,73 cm

a) Los ángulos interiores de los polígonos regulares son los siguientes.

Triángulo: 60º; Cuadrado: 90º; Pentágono: 108º; Hexágono: 120º, Heptágono: 128,6º;…

Para formar un ángulo de 360º solo es posible con 3 triángulos, 4 cuadrados o 3 hexágonos.b) n.º de lados 3 4 6

Perímetro 3 ⋅ 2 = 6 cm 4 ⋅ 2 = 8 cm 6 ⋅ 2 = 12 cm

c) Apolígono regular =n ⋅ l ⋅ a

2

Atriángulo =3 ⋅2 ⋅0,58

2= 1,74 cm2 Acuadrado =

4 ⋅2 ⋅1

2= 4 cm2 Apentágono =

6 ⋅2 ⋅1,73

2= 10,38 cm2

Reflexiona4 Hace mucho tiempo, en el siglo iii d. C. Pappus de Alejandría se preguntó por qué las abejas habrían utilizado este polígo-

no y no otro para crear sus celdas. También Charles Darwin lo cita en su famoso libro El origen de la especies.

Si fijamos un perímetro, por ejemplo de 12 cm, podemos construir un hexágono regular con la siguiente superficie:

Por ser un hexágono regular, la medida del lado es 12

6= 2 cm .

Para calcular su superficie, necesitamos calcular la medida de la apotema.

2 cm 2 cm 1 cm

2 cm

a a

+ = → + = → =

→ = → = =

a a a

a a

1 2 1 4 4 1

3 3 1,73cm

2 2 2 2 2

2 2

−

Luego, el área del hexágono es A =12 ⋅1,73

2= 10,38 cm2 .

4 mm

4 mm

4 m

m

a



a) Dibuja un triángulo isósceles con un perímetro de 12 cm y cuyo lado desigual mida 2 cm y calcula su área.

b) Dibuja un cuadrado de 12 cm de perímetro y calcula su área.

c) ¿Cuál crees que es el motivo por el que las abejas han elegido los hexágonos como base para formar sus celdas?

a) h2 + 12 = 52 → h2 + 1 = 25 → h2 = 24 → h = 24 = 4,90 cm

El área del triángulo es:

A =

2 ⋅ 4,90

2= 4,9 cm2

b) 12 : 4 = 3

El área del cuadrado es: 32 = 9 cm2

c) Es el polígono regular, que con el mismo perímetro, tiene mayor área.5 Las dimensiones de las celdas de las abejas no son exactamente iguales; para medir el tamaño de una celda, se toma la

distancia entre los centros de 10 celdas y después se divide por 10.

Los panales que construyen las abejas europeas comunes suelen tener una distancia de entre 5,2 cm y 5,6 cm por cada 10 celdas.

a) ¿Entre qué dos valores se encuentra el área de las celdas de las abejas europeas comunes?

b) ¿Cuántas celdas de un tamaño de 5,6 mm caben en un cuadrado de 1 m2 de superficie?

a) El diámetro de cada celda está entre 52 : 20 = 2,6 mm y 56 : 20 = 2,8 mm.

Calculamos la apotema del hexágono de lado 2,6 mm:

h2 + 1,32 = 2,62 → h2 + 1,69 = 6,76 → h2 = 5,07 → h = 5,07 = 2,25 mm

El área del hexágono es: A =6 ⋅2,6 ⋅2,25

2= 17,55 mm2

Calculamos la apotema del hexágono de lado 2,8 mm:

h2 + 1,42 = 2,82 → h2 + 1,96 = 7,84 → h2 = 5,88 → h = 5,88 = 2,42 mm

El área del hexágono es: A =6 ⋅2,8 ⋅2,42

2= 20,33 mm2

Luego el área está entre 17,55 mm2 y 20,33 mm2.

b) 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 000 000 : 17,55 = 56 980 1 000 000 : 20,33 = 49 603

Caben entre 49 603 y 56 980 celdas.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

1 cm1 cm

5 cmh

3 cm

3 cm

2,6 cm

1,3 cm

h

2,8 mm

1,4 mm

h

365



240


Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos. Si cortamos un poliedro por una de sus aristas y lo extendemos sobre un plano, obtenemos su desarrollo plano.

¿Cuál es el área del desarrollo plano de un cubo de 5 cm de arista?

25 cm2

Área de una cara:

Ac = 52 = 25 cm2

Área del desarrollo plano:

Ad = 6 ⋅25 = 150 cm2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

AVANZA Área del desarrollo plano de un poliedro

A1. Calcula el área del desarrollo plano de este cuerpo geométrico.

10 cm

2 cm7 cm

A2. Calcula la superfi cie necesaria para construir estos poliedros.

a) b)

b) b)

12 cm

3 cm4 cm

15 cm

6 cm6 cm

PERCEPCIÓN VISUAL Superficies casi iguales

Observa estos dos cuadrados representados sobre distinto fondo. ¿Cuál tiene mayor superficie?

Al medirlos, comprobamos que ambos tienen la misma superficie. Y es que una figura de color claro dibujada sobre un fondo oscuro parece más grande que la misma figura de color oscuro dibujada sobre un fondo claro, a pesar de tener ambas la misma superficie.

PV1. A veces, la perspectiva nos induce a error a la hora de cuantificar superficies. El psicólogo Roger Shepard ideó esta ilusión óptica basada en el empleo de distintas perspectivas.

Comprueba si las dos mesas de la figura tienen la misma superficie.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el cálculo del área del desarrollo plano de un poliedro para completar lo aprendido en esta unidad sobre áreas de polígonos y su aplicación al estudiar cuerpos geométricos.

Este concepto será ampliado en cursos superiores.


A1. Calcula el área del desarrollo plano de este cuerpo geométrico.

10 cm

2 cm7 cm

El área es:

A = (2 + 7 + 2 + 7) ⋅ 10 + 2 ⋅ (2 ⋅ 7) = 180 + 28 = 208 cm2

A2. Calcula la superficie necesaria para construir estos poliedros.

a) b)

12 cm

3 cm4 cm

15 cm

6 cm6 cm

a) A = (3 + 4 + 3 + 4) ⋅ 12 + 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 168 + 24 = 192 cm2

b) A = (4 ⋅ 6) ⋅ 15 + 2 ⋅ 62 = 360 + 72 = 432 cm2

Percepción visual. Superficies casi igualesSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja la percepción visual al comparar dos figuras.


PV1. A veces, la perspectiva nos induce a error a la hora de cuantificar super-ficies. El psicólogo Roger Shepard ideó esta ilusión óptica basada en el empleo de distintas perspectivas.

Comprueba si estas dos mesas tienen la misma superficie.

Si lo medimos con una regla, podemos comprobar que el largo y el an-cho de las mesas coinciden.

El largo es de 2,1 cm y el ancho es de 1,1 cm.

Avanza. Área del desarrollo plano de un poliedro



1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rectángulo?

x2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169

x = 169 = 13 cm

La hipotenusa mide 13 cm.

2. Halla la longitud de la diagonal de un rectángulo de 8 cm de largo y 6 cm de ancho.

Los dos lados del rectángulo y la diagonal forman un triángulo rectángulo, donde los catetos se corresponden con los lados del rectángulo y la diagonal se corresponde con la hipotenusa.

d2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

d = 100 = 10 cm

3. Calcula el área de los siguientes polígonos.

a) b)

3 cm

5 cm

9 cm

12 cm

a) D = 2⋅ 5 = 10 cm b) A =b ⋅h

2=

12 ⋅9

2= 54 cm2

d = 2 ⋅ 3 = 6 cm

A =

D ⋅d

2=

10 ⋅6

2= 30 cm2

4. Mario tiene dos listones de madera cuya longitud es de 15 cm cada uno, y otros dos listones de 10 cm. Si los une forman-do un marco rectangular, ¿qué superficie ocupa el rectángulo formado?

Los lados paralelos deben ser de la misma longitud. Entonces la base mide 15 cm y la altura, 10 cm.

A = b ⋅ h = 15 ⋅ 10 = 150 cm2

El área del marco es de 150 cm2.

5. Calcula el área de la siguiente figura plana.

La figura se descompone en un triángulo y un rectángulo.

Arectángulo = 7 ⋅ 14 = 98 m2

Hallamos la altura del triángulo:

h = 12 − 7 = 5 m

Atriángulo =

b ⋅h

2=

14 ⋅5

2= 35 m2

El área de la figura es: A = 98 + 35 = 133 m2

12 cm

5 cmx

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

14 m

7 m

12 m

367



1. Halla la medida que falta en el siguiente triángulo rectángulo.

El lado cuya medida es desconocida es un cateto.

x2 + 92 = 412 → x2 + 81 = 1 681

x2 = 1 681 − 81 = 1 600

x = 1600 = 40 cm

El cateto mide 40 cm.

2. Una cometa está volando a una altura de 20 m del suelo. Si la cuerda con la que se sujeta mide 29 m, ¿a qué distancia se encuentra la sujeción de la perpendicular de la cometa con el suelo?

La cuerda, el suelo y la perpendicular al suelo forman un triángulo rectángulo con un cateto desconocido.

x2 + 202 = 292

x2 + 400 = 841

x2 = 841 − 400 = 441

x = 441 = 21 m

La sujeción se encuentra a 21 m de la perpendicular de la cometa.

3. Calcula el perímetro de un trapecio rectángulo cuya altura mide 15 cm, y cuyas bases miden 20 cm y 28 cm respectiva-mente.

x2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289

x = 289 = 17 cm

P = 28 + 20 + 15 + 17 = 80 cm

4. Rita tiene que vallar un terreno cuadrado de 121 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de valla necesita?

Primero calculamos la longitud del lado del terreno.

l = 121 = 11 m

P = 4 ⋅ 11 = 44 m

Necesitará 44 m de valla.

5. Calcula el área de la siguiente letra.

Calculamos el área del triángulo grande y le restamos las áreas del trapecio y del triángulo peque-ño: h = 4 + 1 + 4 + 3 = 12 m

Atriángulo grande =7 ⋅12

2= 42 m2

Atriángulo pequeño =2 ⋅ 4

2= 4 m2

Atrapecio =(5 + 3) ⋅ 4

2= 16 m2

El área de la letra es: A = 42 − 4 − 16 = 22 m2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

9 cm 41 cm

x

8 cm

15 cm x

7 m5 m

3 m

2 m

4 m

4 m

3 m

1 m

11 emets áeas de ns 11 perÍmetros y Áreas de polÍgonos · 2020-05-27 · de problemas de áreas...

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