1.1 concepto y clasificacion

8/6/2019 1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACION

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MATRICES1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIN

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen sernmeros ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz d e or d en "m n" a un conjunto rectangular d e elementos a ij d ispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz tambin se d enomina d imensin o tamao, sien d om y n nmeros naturales.

Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letrasminsculas y subndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genrico que ocupe

la fila i y la columna j se escribe a ij . Si el elemento genrico aparece entre parntesis tambinrepresenta a toda la matriz: A = ( aij )

Por comodidad se escribir A = =

ORDEN DE UNA MATRIZ

Indica el nmero de filas y el nmero de columnas que tiene.

m x n

nmero de filas

numero de columnas

Amxn A Mmxn

Ejemplos:

D =

.. .. ..

: : : : ..

4 3 10 2 5

Fila

Colum na


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ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: a ij

A= (a ij)mxn a i j

posicin columna

posicin fila

Ejemplo:

A=

DIAGONAL DE UNA MATRIZ En lgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situadosdesde a 1x1 hasta a nxn .

Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina

inferior derecha: a 1x1, a2x2 , a 3x3.... a nxn .

Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a 1x1, a 2x2 , a 3x3

-2 3 10 2 10 4 -3

.. .. ..

: : : : ..

.. .. ..

: : : : ..

a 11 = -2

a 23 =1

=

j =


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Ejercicios:

Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:

y

y

CLASES DE MATRICES

T ipo d e matriz Definicin Ejemplo

FILA Aquella matriz que tiene una sola fila,siend o su or d en 1n

COLUMNA Aquella matriz que tiene una solacolumna, siend o su or d en m1

REC T ANGULAR Aquella matriz que tiened istinto

nmero d e filas que d e columnas,siend o su or d en mn ,

T RASPUEST A

Dad a una matriz A, se llama

traspuesta d e A a la matriz que seobtiene cambian d o or d ena d amentelas filas por las columnas.Se representa por A t A T

A=

A=


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OPUEST A

La matriz opuesta d e una d ad a es laque resulta d e sustituir cad aelemento por su opuesto. La opuestad e A es -A.

NULA Si tod os sus elementos son cero.T ambin se d enomina matriz cero y se d enota por

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual nmero d e filas que d e columnas, m =

n, d icind ose que la matriz esd e or d en n.

Diagonal principal : son loselementos a 11 , a22 , ..., ann

Diagonal secund aria : son loselementos a ij con i+j = n+1

T raza d e una matriz cua d rad a : es lasuma d e los elementos d e la d iagonal

principal, notad a por

Diagonal principal

Diagonal secund aria

SIM T RICA Es una matriz cuad rad a que es igual asu traspuesta. A = At , a ij = a ji

ANT I SIM T RICA

Es una matriz cuad rad a que es igual ala opuesta d e su traspuesta. A = -At , a ij = -a ji Necesariamente a ii = 0


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DIAGONAL

Es una matriz cuad rad a que tienetod os sus elementos nulos excepto losd e la d iagonal principal , es d ecir:

Sea la Matriz A= (aij )mxnssi:

ESCALAR

Es una matriz cuad rad a que tienetod os sus elementos nulos excepto losd e la d iagonal principal que soniguales

IDENT IDAD

T ambin se d enomina matriz uni d ad .Es una matriz cuad rad a que tiene

tod os sus elementos nulos excepto losd e la d iagonal principal que soniguales a 1. Esd ecir:Sea la Matriz I= (aij )mxnI es matriz i d enti d ad ssi:

T RIANGULAR

M atriz triangular Superior

Sea la Matriz A= (aij )mxnssi:

M atriz triangular Inferior Sea la Matriz A= (aij )mxnssi:

T . superior

T . inferior IDEMPOT ENT E

Una matriz A es i d empotente si: Nota: La i d enti d ad no es la nicai d empotente


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ORT

OGONAL

Una matriz ortogonal esnecesariamente cua d rad a einvertible: A-1 = AT La inversad e una matriz ortogonal es

una matriz ortogonal.El prod ucto d e d os matricesortogonales es una matriz ortogonal.El d eterminante d e una matrizortogonal vale +1 -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta consu traspuesta. Las matricessimtricas, anti simtricas uortogonales son necesariamente

normales.

INVOLUT IVA

Es una matriz cuad rad a ( tiene igual nmero d e filas que d e columnas) tal que su cuad rad o es igual a la matriz uni d ad , es d ecir:

A es involutiva si A x A = I

A2 = I

NILPOT ENT E

Decimos que una matriz cuad rad a Aes Nilpotente de orden r si y slo si se verifica que , ( r es el menor entero positivo )

A es nilpotent e d eor d en 3,

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