1.1 concepto y clasificacion
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8/6/2019 1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACION
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MATRICES1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIN
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen sernmeros ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz d e or d en "m n" a un conjunto rectangular d e elementos a ij d ispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz tambin se d enomina d imensin o tamao, sien d om y n nmeros naturales.
Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letrasminsculas y subndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genrico que ocupe
la fila i y la columna j se escribe a ij . Si el elemento genrico aparece entre parntesis tambinrepresenta a toda la matriz: A = ( aij )
Por comodidad se escribir A = =
ORDEN DE UNA MATRIZ
Indica el nmero de filas y el nmero de columnas que tiene.
m x n
nmero de filas
numero de columnas
Amxn A Mmxn
Ejemplos:
D =
.. .. ..
: : : : ..
4 3 10 2 5
Fila
Colum na
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ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: a ij
A= (a ij)mxn a i j
posicin columna
posicin fila
Ejemplo:
A=
DIAGONAL DE UNA MATRIZ En lgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situadosdesde a 1x1 hasta a nxn .
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina
inferior derecha: a 1x1, a2x2 , a 3x3.... a nxn .
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a 1x1, a 2x2 , a 3x3
-2 3 10 2 10 4 -3
.. .. ..
: : : : ..
.. .. ..
: : : : ..
a 11 = -2
a 23 =1
=
j =
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Ejercicios:
Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:
y
y
CLASES DE MATRICES
T ipo d e matriz Definicin Ejemplo
FILA Aquella matriz que tiene una sola fila,siend o su or d en 1n
COLUMNA Aquella matriz que tiene una solacolumna, siend o su or d en m1
REC T ANGULAR Aquella matriz que tiened istinto
nmero d e filas que d e columnas,siend o su or d en mn ,
T RASPUEST A
Dad a una matriz A, se llama
traspuesta d e A a la matriz que seobtiene cambian d o or d ena d amentelas filas por las columnas.Se representa por A t A T
A=
A=
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OPUEST A
La matriz opuesta d e una d ad a es laque resulta d e sustituir cad aelemento por su opuesto. La opuestad e A es -A.
NULA Si tod os sus elementos son cero.T ambin se d enomina matriz cero y se d enota por
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual nmero d e filas que d e columnas, m =
n, d icind ose que la matriz esd e or d en n.
Diagonal principal : son loselementos a 11 , a22 , ..., ann
Diagonal secund aria : son loselementos a ij con i+j = n+1
T raza d e una matriz cua d rad a : es lasuma d e los elementos d e la d iagonal
principal, notad a por
Diagonal principal
Diagonal secund aria
SIM T RICA Es una matriz cuad rad a que es igual asu traspuesta. A = At , a ij = a ji
ANT I SIM T RICA
Es una matriz cuad rad a que es igual ala opuesta d e su traspuesta. A = -At , a ij = -a ji Necesariamente a ii = 0
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DIAGONAL
Es una matriz cuad rad a que tienetod os sus elementos nulos excepto losd e la d iagonal principal , es d ecir:
Sea la Matriz A= (aij )mxnssi:
ESCALAR
Es una matriz cuad rad a que tienetod os sus elementos nulos excepto losd e la d iagonal principal que soniguales
IDENT IDAD
T ambin se d enomina matriz uni d ad .Es una matriz cuad rad a que tiene
tod os sus elementos nulos excepto losd e la d iagonal principal que soniguales a 1. Esd ecir:Sea la Matriz I= (aij )mxnI es matriz i d enti d ad ssi:
T RIANGULAR
M atriz triangular Superior
Sea la Matriz A= (aij )mxnssi:
M atriz triangular Inferior Sea la Matriz A= (aij )mxnssi:
T . superior
T . inferior IDEMPOT ENT E
Una matriz A es i d empotente si: Nota: La i d enti d ad no es la nicai d empotente
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ORT
OGONAL
Una matriz ortogonal esnecesariamente cua d rad a einvertible: A-1 = AT La inversad e una matriz ortogonal es
una matriz ortogonal.El prod ucto d e d os matricesortogonales es una matriz ortogonal.El d eterminante d e una matrizortogonal vale +1 -1.
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta consu traspuesta. Las matricessimtricas, anti simtricas uortogonales son necesariamente
normales.
INVOLUT IVA
Es una matriz cuad rad a ( tiene igual nmero d e filas que d e columnas) tal que su cuad rad o es igual a la matriz uni d ad , es d ecir:
A es involutiva si A x A = I
A2 = I
NILPOT ENT E
Decimos que una matriz cuad rad a Aes Nilpotente de orden r si y slo si se verifica que , ( r es el menor entero positivo )
A es nilpotent e d eor d en 3,