10_precipitacion_escorrentia.pdf
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Capítulo 10RELACIONES PRECIPITACIÓN- ESCORRENTÍA
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10.1 INTRODUCCION
Hallar relaciones entre la precipitación y la escorrentía sobre el área de unacuenca, con el fin de calcular caudales en ríos y quebradas, es un problemafundamental para ingenieros e hidrólogos. En la mayoría de los países-Colombia - no es la excepción- los registros de caudales no siempre estándisponibles, siendo necesarios para el diseño de muchas obras civiles; estoha obligado a desarrollar relaciones entre la precipitación y la escorrentía,por medio de las cuales se obtienen estimativos de caudales de diseño.
La estimación de la escorrentía a través de medidas de precipitacióndepende mucho de la escala de tiempo considerada (Shaw,1994). Paraintervalos de tiempo del orden de horas, la relación precipitación-escorrentía no es fácil de hallar, pero para intervalos de tiempo largos, `sepueden hallar correlaciones estrechas entre estas dos fases del ciclohidrológico. El tamaño de la cuenca también afecta estas relaciones: paracuencas pequeñas, con áreas de características similares la derivación derelaciones precipitación escorrentía, puede ser un proceso simple; pero paragrandes cuencas, con áreas de condiciones muy disímiles , éste puede ser unproceso muy complicado, que no siempre tiene éxito.
Existen en la literatura muchos modelos que intentan describir las relacionesprecipitación escorrentía. Los más conocidos son los modelos de hidrógrafaunitaria y el método racional para caudales máximos y la utilización de lacurva de recesión combinada con precipitaciones para obtener caudalesmínimos.
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10.2 ANALISIS DE HIDROGRAMAS
El hidrograma puede ser mirado como la expresión integral de lascaracterísticas fisiográficas y climáticas que gobiernan las relaciones entreprecipitación y escorrentía para una cuenca particular. Los factores climáticosque afectan la forma y el volumen de la hidrógrafa son: la intensidad yduración de la lluvia y su distribución espacial y temporal sobre la cuenca.Como factores fisiográficos de más influencia en la hidrógrafa, se señalan: elárea y la forma de la cuenca, la naturaleza de la red de drenaje, la pendientede la cuenca y del canal principal.
Una hidrógrafa o hidrograma puede presentar picos múltiples debido aposibles aumentos en la intensidad de la lluvia, a una sucesión continua delluvias o a una no sincronización de las componentes del flujo.
Una forma típica del hidrograma se presenta en la figura 10.1.
FIGURA 10.1 Forma típica de un hidrograma.
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La forma de la rama ascendente del hidrograma (segmento BD, en la figura10.1) depende de la duración, de la intensidad y distribución espacial de lalluvia y de las condiciones antecedentes del suelo.
El pico o máximo valor del caudal (punto D, en la figura 10.1) de lahidrógrafa representa la máxima concentración de escorrentía proveniente dela cuenca y ocurre, por lo general, después que la lluvia ha terminado.
10.2.1 Curva de recesión.
El segmento de recesión o rama descendente (DF, en la figura 10.1)representa el flujo en la corriente debido a la liberación de todos losalmacenamientos que se han generado en la cuenca, a causa de la lluviapresente o de lluvias antecedentes. Se puede afirmar, entonces, que es más omenos independiente de los factores climáticos que afectan la escorrentía,pero fuertemente dependiente de los fisiográficos. La curva de recesión puedetener la siguiente expresión.
e Q = Q t Kot
− (10.1)
Donde Qo y Qt son caudales con t días de intervalo.K, constante de recesión < 1
Esta curva señala la disminución gradual del caudal de una corriente de agua,cuando ha cesado la escorrentía total. En muchas hoyas hidrográficas, estacurva representa una característica bien definida del aporte de aguassubterráneas al caudal total, pero existen algunos casos en los cuales no sepuede encontrar una ley general que permita expresar la curva de agotamientoen forma matemática y es necesario hacer una serie de aproximaciones quesimplifiquen el problema, sacrificando en gran parte la precisión de losresultados.
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Hay varios procedimientos para estimar la curva de recesión de una cuenca.Básicamente, se busca hallar el coeficiente k. Uno de esos procedimientos esla llamada curva maestra.. El procedimiento para hallarla es el siguiente:
a) En un papel semilog, se grafica para cada tormenta la hidrógrafacorrespondiente, siendo el caudal la variable logarítmica.b) Para cada tormenta se realiza el mismo procedimiento; luego todos los
segmentos de recesión se colocan en una hoja, tratando de que coincidanen una sola línea los caudales más bajos de todas las curvas de recesión.
c) Cuando se tengan todas las tormentas analizadas, se trata de ajustar unacurva que tenga la forma de la ecuación 10.1.Para poder aplicar esteprocedimiento se requiere un número grande de hidrógrafas y tormentassimultáneas
La figura 10.2, tomada de Mccuen 1989, muestra los resultados obtenidos coneste procedimiento.
FIGURA 10.2 Curva maestra (McCuen, 1989)
Otros métodos para obtener la curva de recesión, junto con sus ventajas ydesventajas pueden consultarse en Blandon y Saldarriaga 1997.
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La curva de recesión se usa para estimar caudales mínimos asociados a unperíodo de retorno determinado. Si se conoce el coeficiente de recesión k enfunción de parámetros del acuífero y parámetros morfométricos de la cuencay se conocen las duraciones máximas de períodos sin lluvia para un períodode retorno determinado, es posible estimar, con la ecuación 10.1, caudalesmínimos asociados a diferentes períodos de retorno. En Antioquia yRisaralda, se hicieron estudios para determinar caudales mínimos con la curvade recesión. (Vélez, Blandon, Saldarriaga, 1998; Vélez , Smith, 1998,Universidad Nacional, 1998). Se obtuvieron relaciones del tipo: k=f(A, d, e,L) para el coeficiente de recesión k., donde A es el área de la cuenca, d, es ladensidad de drenaje, e es el espesor del acuífero y L es la longitud de lacorriente principal.
La curva de recesión también se usa para estimar el potencial de aguassubterráneas en una cuenca y como herramienta para hacer en ella el balancede aguas (Universidad Nacional 1997)
El hidrograma de escorrentía total se divide en el hidrograma de escorrentíasuperficial directa, producto del agua que escurre directamente por lasuperficie del terreno hacia los cauces ríos y quebradas, y el hidrograma deescorrentía subsuperficial, que representa el agua que escurre debajo de lasuperficie del suelo hacia ríos y quebradas. El volumen de escorrentíasuperficial directa es igual al volumen de precipitación efectiva: precipitaciónasociada a esa escorrentía después de descontar las pérdidas porevapotranspiración, infiltración y otras. El llamado caudal base es el caudalmantenido en los afluentes por la escorrentía subsuperficial o escurrimientode aguas subterráneas. En épocas de sequía, éste es el único aporte a ríos yquebradas. Depende en gran parte de las condiciones litológicas yestructurales de los suelos de la cuenca .
El hidrograma de escorrentía superficial directa (obtenido por cualquiera delos métodos explicados en el capítulo 8), presenta la forma que se muestra enla figura 10.3, en donde se pueden definir los siguientes parámetros:
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FIGURA 10.3 Parametros de la hidrógrafa de escorrentía superficial
Donde:
tc1, tc5: :tiempo de concentraciónD: :tiempo de duración de la lluvia efectivaTp :tiempo al picoTr: tiempo de rezagoTrp :tiempo de rezago al pico.Tb :tiempo base
10.2.2 El tiempo de concentración.
El tiempo de concentración se puede definir como el tiempo que tarda unagota de agua en llegar de las partes más alejadas de la cuenca al sitio de
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interés. El tiempo de concentración (Tc) es uno de los parámetros másimportantes en los modelos precipitación - escorrentía, pues la duración dela tormenta de diseño se define con base en él. La duración crítica de lalluvia debe asumirse como igual al tiempo de concentración, pues paraduraciones menores que Tc, no toda el área de la cuenca contribuye; y paraduraciones más grandes que Tc, no hay incremento en el área contribuyente;en cambio la intensidad de la lluvia de una frecuencia dada disminuye. Seasume que para duraciones menores que el tiempo de concentración, elefecto de la reducción en el área contribuyente es mayor que el delincremento en la intensidad de la lluvia. (Smith, Vélez,1997). Es clara,entonces, la dependencia de este parámetro de variables morfométricas,tales como el área, pendiente de la cuenca, longitud del cauce principal, etc.
En la literatura, existen diferentes maneras de definir el tiempo deconcentración a partir de registros simultáneos de precipitación y caudal.
Ramser y Kirpich lo definen como el tiempo al pico TP. Viessman (1977),como el tiempo comprendido entre el final de la precipitación efectiva y elfinal de la escorrentía superficial directa. Siendo este último valor el puntode inflexión de la hidrógrafa, después del caudal pico. Taylor (1952) defineel tiempo de concentración como:
DTT bc −= (10.2)
Témez (1978) lo explica como la diferencia entre el tiempo de finalizacióndel hidrograma de escorrentía superficial directa y el tiempo de finalizaciónde la precipitación efectiva.
Otras definiciones parten del tiempo de rezago, TR. Este parámetro es elintervalo de tiempo entre el centro de gravedad del pluviograma de lluviaefectiva y el centro de gravedad de la hidrógrafa de escorrentía superficialdirecta. Otros autores reemplazan el centro de gravedad de la hidrógrafa porel tiempo al pico, TP.
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Se ha definido el tiempo de concentración, con base en el tiempo de rezagoTR , así:
rbc TTT −= (10.3)
Una última expresión para definirlo es
pbc TTT −= (10.4)
La figura 10.1 muestra varias de las maneras de definir el tiempo deconcentración.
Hay numerosas expresiones para determinar el tiempo de concentración, Tc,desarrolladas en países con clima y morfología totalmente diferentes a las deColombia. Algunas expresiones que se usan en el análisis son las siguientes:
• Témez (1978)
025
0.75
SoL
0.3 = Tc (10.5)
Tc : tiempo de concentración, en horas.L : longitud del cauce principal, en kilómetros.So : diferencia de cotas entre los puntos extremos de la corriente sobre
L, en %.
• Williams (1922) 0.2
0.4
DSoA L
= Tc (10.6)
Tc : tiempo de concentración, en horas.A : Área, en millas cuadradas.L : distancia en línea recta desde el sitio de interés al punto más alto de la
cuenca, en millas.So : diferencia de cotas entre los puntos extremos de la cuenca dividida
por L, en %.
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D : diámetro de una cuenca circular, con área A, en millas.
• Kirpich (1990) 77.0
So
L 0.066= Tc
(10.7)
L : longitud desde la estación de aforo hasta la divisoria, siguiendo elcauce principal en kilómetros.
So : diferencia de cotas entre los puntos extremos de la corriente sobre L, enm/m.
Johnstone y Cross (1949) 0.5
So
L5Tc
= (10.8)
Tc : tiempo de concentración, en horas.L : longitud del cauce principal, en millas.So : pendiente del canal, en pies/milla.
California Culverts Practice(1942)
HL 01.0 = Tc
3 0.385
(10.9)
Tc : tiempo de concentración, en horas.L : longitud del canal principal, en kilómetros.H : diferencia de cotas entre el punto de interés y la divisoria, en
metros.
Giandiotti (1990)
LSo25.3
1.5LA4cT
+= (10.10)
Tc : tiempo de concentración, en horas.
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A : área de la cuenca, en kilómetros cuadrados.L : longitud del cauce principal, en kilómetros.So : diferencia de cotas entre puntos extremos de la corriente sobre L,
en m/m.
• S.C.S - Ranser 385.0K947.0Tc = (10.11)
HLc
= K3
Lc : distancia desde el sitio de interés al punto en el cual la corrienteprincipal corta la divisoria, en kilómetros.
H : diferencia de cotas entre puntos extremos de la corriente, en pies.
• Linsley
0.5
0.35
t SoL L
C = Tc (10.12)
L : longitud de la cuenca, en millas.L : distancia desde el punto de interés al centro de gravedad de la cuenca,
en millas.S : diferencia de cotas entre puntos extremos de la corriente dividida por
L, en %.Ct : constante.Ct =1.2, en áreas montañosas.Ct =0.72, en zonas de pie de ladera.Ct =0.35, en valles.
• Snyder )L (LC = cT 0.3t
(10.13)
Ct, L y L tienen el mismo significado anterior.
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• Bransby - Williams 2.00.1 oSAFL
cT = (10.14)
Tc : tiempo de concentración, en horas.F : 58.5, si el área está en kilómetros cuadrados.
A : área de la cuenca, en kilómetros cuadrados.L : longitud del cauce principal, en kilómetros.So : pendiente del canal, en m/km.
• Pérez Monteagudo (1985)RV
LTc = (10.15)
L : longitud de la corriente principal.VR : velocidad por el cauce principal de la onda de creciente.
VR se expresa como:
6.0
R LAE
72V
= (10.16)
VR : Velocidad, en km/h.AE : diferencia de cotas, en kilómetros, en el cauce principal, desde el
punto más alto al más bajo.
La tabla 10.1 (Smith, Vélez, 1997) muestra para algunas cuencas deldepartamento de Antioquia. Los resultados tan diferentes que producenestas expresiones.
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TABLA 10.1 Tiempos de concentración (h), calculados por diferentesmétodos, en algunas cuencas de Antioquia (Smith, Vélez, 1997)
ESTACION CALIFORNIA KIRPICH S.C.S. TEMEZ GIANDOTTI PEREZRP-1 3.14 3.43 3.98RP-3 8.00 8.06 6.31RP-4 3.28 2.90 3.25 2.83 3.94 3.04RP-7 2.94 2.74 2.95 2.24 4.63 2.86RN-1 5.08 4.20 5.07 3.30 5.74 6.11RN-2 2.32 2.36 2.29 2.05 4.42 2.00RN-6 14.81 15.12 14.59 10.69 13.36 24.33RN-10 4.94 6.52 4.89 5.14 7.83 5.19RN-12 2.98 2.64 2.97 2.73 3.55 2.61RNS-21 3.54 2.99 3.55 2.56 4.25 3.64RNS-19 3.22 3.30 3.16 2.78 3.90 3.09PSN-3 3.59 2.51 3.57 3.02 2.81 3.26PSN-2 2.77 2.48 2.85 2.71 2.80 2.30PSN-4 9.31 6.02 9.14 6.67 4.48 11.92RN-16 2.65 3.08 2.61 2.91 3.56 2.19PSN-1 2.64 2.30 2.59 2.41 2.75 2.22RN-26 7.72 5.88 7.69 5.70 4.88 9.60RN-30 1.00 0.81 1.08 1.06 1.30 0.58RN-31 1.24 1.12 1.24 1.30 1.69 0.79RN-32 1.10 0.88 1.07 1.15 1.00 0.65PSB-1 6.77 5.59 6.72 4.75 6.61 8.51PSB-3 7.71 8.46 6.86 10.12 9.56BP-1 3.52 3.76 3.49 3.07 5.28 3.49PSJ-1 3.60 3.26PSJ-2 2.54 2.47 2.50 2.59 3.11 2.05RA-1 1.58 1.56 1.54 1.45 2.54 1.18PRN-6 2.22 1.54 2.19 1.92 1.68 1.72RG-6 5.65 5.50 5.70 4.10 8.99 6.89G-8 4.55 4.48 4.56 3.89 5.35 4.80RG-5 4.83 5.56 4.80 4.48 6.82 5.18RMS-17 2.23 1.69 2.22 1.93 2.20 1.77RMS-11 1.05 1.02 1.06 1.15 1.86 0.63RMS-14 10.04 6.43 9.87 6.43 5.11 13.88PP-1 3.60 2.12 3.56 2.35 2.48 3.58
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Campo y Múnera (1997) hicieron, también en Antioquia, un análisis deltiempo de concentración, a partir de más de 2100 registros simultáneos depluviógrafos y limnígrafos, y encontraron que las expresiones que más seajustaban a los tiempos de concentración reales (hallados con los registros)fueron las de Témez, Kirpich, Giandotti y Pérez. En el mismo trabajo, secalibraron para diferentes zonas, ecuaciones para el tiempo deconcentración, en función de parámetros morfométricos de las cuencas,como la siguiente, aplicable para la zona de los embalses del orienteantioqueño:
544.0334.0093.0C SLA88744.9T −−= (10.17)
donde:TC: tiempo de concentración, en horas.A: área de la cuenca, en Km2.L: longitud del cauce principal, en km.S: pendiente promedio de la cuenca, en %
10.3 EL HIDROGRAMA UNITARIO
El concepto de hidrograma unitario fue introducido por Sherman, en 1932. Elhidrograma unitario es un gráfico que muestra las variaciones que sufre con eltiempo la escorrentía producida por una lluvia de duración y profundidadunitarias, distribuida uniformemente sobre toda la cuenca. La profundidadunitaria puede ser un cm, una pulgada,.... La duración unitaria puede ser unahora, un día, intervalos de minutos, etc. Lo más importante es que la lluviasea constante y uniforme en un período unitario. Si la intensidad de laprecipitación efectiva es constante e igual a una unidad en un tiempo unitario,la lámina de escorrentía directa producida será también unitaria.La teoría del hidrograma unitario se empezó a desarrollar con estudiosintensivos, encaminados a producir caudales de crecientes a partir de registrosde lluvias.
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En 1932, Sherman desarrolló un gráfico unitario, asumiendo que para unaduración dada de lluvia efectiva, el tiempo base de la hidrógrafa deberíapermanecer constante. Las hipótesis en que está basada la teoría de lahidrógrafa unitaria son las siguientes:
1) La precipitación efectiva está uniformemente distribuida en un período detiempo especificado. Esta hipótesis implica que la tormenta seleccionadadebe ser de corta duración, de tal manera que pueda producirse unaprecipitación efectiva uniforme, dando lugar a una hidrógrafa simple detiempo base corto. Una duración de aproximadamente 1/4 tg se considerasatisfactoria.
2) La precipitación efectiva está uniformemente distribuida en toda el área dela cuenca. Esta hipótesis restringe el tamaño del área donde se puede aplicarla metodología. Según varios autores el área no debe exceder los 5000 Km2,sin embargo en climas tropicales como el colombiano, el área de aplicacióndebe ser mucho menor debido a las fuertes variaciones espaciales que tiene laprecipitación en trayectos muy cortos.
3) El tiempo base de hidrógrafas unitarias debidas a precipitaciones unitariasiguales es constante.
4) Las ordenadas de las hidrógrafas de escorrentía con un tiempo base comúnson directamente proporcionales. Esta hipótesis es conocida como elprincipio de linealidad, de superposición o de proporcionalidad. Si se tienendos precipitaciones efectivas de la misma duración, pero de distintaintensidad, cada una producirá una hidrógrafa unitaria proporcional a la otra,tal como lo muestra la figura 10.4. Por ejemplo si en la figura la lámina deprecipitación P2 es dos veces la lámina P1, entonces las ordenadas de lahidrógrafa unitaria 2 serán el doble de las de la 1.
5) Para una cuenca, la hidrógrafa de escorrentía para una precipitación deduración dada refleja todas las características físicas de la cuenca. Igualmente,la hidrógrafa de escorrentía de una duración específica es única para lacuenca.
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FIGURA 10.4 Hidrógrafas unitarias proporcionales
La teoría de la hidrógrafa unitaria puede resumirse así: es un sistema lineal einvariante en el tiempo, en el cual, si la longitud de la excitación permanececonstante pero su volumen crece, el tiempo base de la respuesta no se altera,pero las ordenadas de la respuesta suben en proporción al volumen de laexcitación.
Bajo condiciones naturales de precipitación y drenaje, las hipótesis asumidaspodrían no ser satisfechas perfectamente. Sin embargo, cuando los datoshidrológicos son seleccionados con cuidado, esta teoría es aceptable parapropósitos prácticos.
En el caso de que no se tengan lluvias aisladas, sino una lluvia larga conintensidades diferentes, se divide esa lluvia en duraciones iguales, con unaintensidad constante para cada duración. Se supone que la precipitación enintervalos iguales, produce hidrogramas proporcionales de escorrentíasuperficial directa. La suma de esos hidrogramas dará el hidrograma total,figura10.5
En la figura 10.5, si Yi son las ordenadas de la hidrógrafa unitaria, se tiene:
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1mn1mmnm1n
1322333
12212
111
YPYPQ
.
.
.
YPYPYPQ
YPYPQ
YPQ
+−−−− +=
++=
+==
(10.18)
En general, si hay m impulsos o períodos de lluvia, se tiene:
1mn
m
1mn YPQ +−∑= (10.19)
Donde Qn es la ordenada n de la hidrógrafa de escorrentía resultante. Laecuación 10.19 es la ecuación de convolución discreta para un sistema lineal.:
Matricialmente, podría expresarse como:
YPQ = (10.20)
en donde Q es una matriz Nx1; P es una matriz NxM, y P es una matriz Mx1.
Si L es el número de ordenadas de la precipitación efectiva y M es el númerode ordenadas de la hidrógrafa unitaria, se cumple que:
1MLN −+= (10.21)
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FIGURA 10.5 Superposición de HU
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10.3.1 Obtención de la hidrógrafa unitaria para lluvias simples.
El procedimiento es el siguiente:
1) De los registros de precipitaciones y caudales, se seleccionan tormentas ehidrogramas que cumplan las condiciones enumeradas anteriormente.
2) De un hidrograma escogido, se separa, por cualquiera de los métodosvistos, la escorrentía superficial directa.
3) Se determina la duración de la lluvia efectiva
De la ecuación 10.20, se puede obtener la matriz Y de las ordenadas de lahidrógrafa unitaria. Sin embargo, la matriz P no es simétrica , por lo que hayque multiplicarla, para lograrlo, por su transpuesta P,, y poder hallar suinversa, obteniendo entonces una expresión para Y, así:
Q)PP(Y 1, −= (10.22)
La matriz Y se puede hallar en la ecuación 10.22, por diferentes metodologíasutilizando el método de mínimos cuadrados, programación lineal, métodos debúsqueda, entre otras. Una muy completa descripción de la aplicación deestas metodologías puede encontrarse en Smith (1998).
Otra forma muy popular para calcular el hidrograma unitario, H.U,. es elllamado método de los volúmenes., que permite obtener las ordenadas Yi conuna ecuación muy simple, cuya deducción es la siguiente:
Si se denomina:L: lámina total precipitada.LESD: lámina de escorrentía superficial directa.A. área de la cuenca.VE: volumen de escorrentía superficial directa.
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Vu: volumen correspondiente a un HU, producido por una lluvia efectiva de 1mmVT: volumen total precipitadoQ: ordenadas del hidrograma de escorrentía superficial directa.Y. ordenadas del HU.t: tiempoSe puede plantear la siguiente ecuación:
A)tL
)(VV
(QT
E=
pero:ALVT = , lo que implica que:
tV
t)LA(LAV
Q EE == (10.23)
Análogamente, por la misma definición de hidrograma unitario, se puedeobtener la siguiente ecuación:
tmmA1
AtL
)LA()mmA1(
AtL
VV
YT
u
=
==(10.24)
Dividiendo la ecuación 10.24 por la 10.23 y despejando Y, se tiene:
mm1)A/V(Q
YE ×
= (10.25)
que permite obtener las ordenadas del hidrograma unitario, si se conoce elhidrograma de escorrentía superficial directa y la precipitación efectiva. El
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hidrograma unitario de T horas de duración, obtenido usando solo unatormenta, puede dar resultados poco confiables por lo que se aconsejapromediar los hidrogramas unitarios de varias tormentas de la mismaduración, para obtener el hidrograma unitario único para esa duración y esacuenca. Este promedio no debe hacerse tomando la media aritmética de lascoordenadas concurrentes, puesto que si los máximos no ocurren al mismotiempo, el máximo medio puede ser inferior a algunos de los máximosindividuales. El procedimiento adecuado es calcular el promedio de loscaudales máximos y el de sus tiempos. A continuación se traza el hidrogramaunitario medio, adecuandolo a la forma de los hidrogramas unitariosobtenidos, de tal manera, que pase por el caudal medio máximo calculado yque tenga un volumen (en lámina de agua) igual a la unidad.
El método de los volúmenes ha sido duramente criticado en varias reunioneshidrológicas internacionales, debido a la gran dispersión que se obtiene en elcálculo del hidrograma de escorrentía directa.
10.3.2 El hidrograma unitario instantáneo.
Si la duración de la lluvia se vuelve infinitesimal, el Hidrograma Unitarioresultante recibe el nombre de Hidrograma Unitario Instantáneo (HUI). Deacuerdo con la definición de Hidrograma Unitario, cada elementoinfinitesimal de precipitación efectiva produce un hidrograma de escorrentíadirecta igual al producto de ese elemento y el HUI. Usando el principio desuperposición, el hidrograma de escorrentía directa está dado por la integralde convolución como:
w)dw-U(w)P(t=Q(t)t
0∫ (10.26)
o escrita de otra forma:
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w)P(w)dw-U(t=Q(t)t
0∫ (10.27)
en donde P(t) y Q(t) son respectivamente, las funciones de entrada(precipitación neta) y respuesta (escorrentía directa), y U(t) es el HUI. El HUIpuede ser visto como una respuesta a la excitación impulsiva, o como unafunción Kernel, de un sistema agregado, invariante y lineal. Cuando el HUI esconocido, el Hidrograma Unitario de duración específica puede obtenersecomo:
U(w)dwT1
=t)U(T,t
T-t∫ (10.28)
en donde U(T,t) es el Hidrograma Unitario de T de horas de duración, y U(t)es el HUI. En la ecuación (10.28), se asume que t-T = 0, cuando t<T. Laforma discreta de la ecuación (10.28) puede ser escrita como:
1)Dt+i-i)P(tU(T,=Q(t)N
1=i∑ (10.29)
en donde N representa lo memoria del sistema.
10.4 LA CURVA EN S
En ocasiones, se puede obtener el hidrograma unitario de duración T con lainformación disponible, pero frecuentemente es necesario obtener elhidrograma unitario de una duración distinta. Para este propósito, se puedeusar la curva S, la cual se obtiene si se asume una precipitación efectiva paraun período indefinido de tiempo. La hidrógrafa resultante (la curva S) sepuede obtener como la suma de hidrogramas unitarios de T horas de duracióndesplazados intervalos constantes de T horas, tal como muestra la figura 10.6.
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Solamente existe un hidrograma en S para cada cuenca y depende de suscaracterísticas fisiográficas y geomorfológicas. A partir del hidrograma ocurva en S, se puede obtener el hidrograma unitario correspondiente a unaduración cualquiera, �t. Para esto, se desplaza la curva en S en el tiempo unacantidad �t, se restan las ordenadas de las dos curvas y se obtiene unhidrograma cuyas ordenadas se multiplican por la relación t/�, para obtenerlas ordenadas del hidrograma unitario de duración �t.
Las ordenadas de la curva en S serán (a partir de un hidrograma unitariocualquiera):
∑=
===
n
1in
3
2
11
YS
.
.
.
3YS
2YS
YS
(10.30)
FIGURA 10.6 Curva en S
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Ejemplo 10.1
Dada una lluvia de duración unitaria con una profundidad efectiva de 1.5pulgadas, que produce el hidrograma mostrado en la tabla 10.2 en una cuencade 1.98 millas2 , se desea:a)Determinar la hidrógrafa unitaria.
Tabla 10.2 Hidrograma, ejemplo 10.1
t(h) 1 2 3 4 5 6 7
Q(p3/s)
110 98 220 512 585 460 330
t (h) 8 9 10 11 12 13
Q(p3/s) 210 150 105 75 60 54
b)Hallar la hidrógrafa para la tormenta de diseño siguiente:
t(h) 1 2 3 4
Pe (pul) 0.4 1.1 2.0 1.5
Solución:
El primer paso sería separar el flujo base del hidrograma. La figura 10.7muestra el hidrograma total. El método más sencillo para separar el flujobase, tal como se vió en capítulos anteriores, es trazar una línea recta desde elpunto donde empieza la rama descendente hasta donde termina el hidrogramade escorrentía superficial directa. Si se escoge como punto inicial el decoordenadas (2,98) y como punto final (11, 75), la recta punteada en la figuraserá la separación entre el flujo base y la escorrentía superficial directa.
271
0
100
200
300
400
500
600
700
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
t (h)
Q (
p3 /s
)
Por figuras geométricas conocidas (triángulos y trapecios), se calcula elvolumen de escorrentía superficial directa VESD, bajo la hidrógrafa así:
VESD = { (124.6 * 1)/2 +(124.6 +419.1)*1/2 +(419.1 +528.4)*1/2 + (528.4+494.7)*1/2 + (494.7 +372.2)*1/2 + (372.2 + 244.8)*1/2 + (244.8 +127.4)*1/2 +(127.4 +69.9)*1/2 + (69.9 +27.5)*1/2 + (27.5*1)/2}* 3600 s/h
VESD = 6.987.420 pies3
La lámina de escorrentía superficial directa, LESD, es:
5.1528098.1
126897420 =×
×=ESDL pulgadas
Para calcular las ordenadas de la hidrógrafa unitaria, se dividen las ordenadasdel hidrograma de escorrentía superficial directa por la lámina de escorrentíasuperficial directa, LESD. Se obtiene la tabla siguiente:
272
ORDENADAS DE LA HIDRÓGRAFA UNITARIA
t(h) Q(p3 /s) Qbase(p3 /s)
ESD(p3 /s)
Yi(p3 /s/pul)
1 110 110 0
2 98 98 0
3 220 95.4 124.6 83.1
4 512 92.9 419.1 279.4
5 585 90.3 494.7 329.8
6 460 87.8 372.2 248.1
7 330 85.2 244.8 163.2
8 210 82.6 127.4 84.9
9 150 80.1 69.9 46.6
10 105 77.5 27.5 18.3
11 75 75 0
12 60 60 0
13 54 54 0
De la misma manera que se hizo el cálculo del volumen de escorrentíasuperficial directa, se hace el del volumen bajo la hidrógrafa unitaria; debe seraproximadamente 1 pulgada.
Para calcular la escorrentía superficial directa producida por la tormenta dediseño, se aplica la ecuación de convolución:
1mn
m
1mn YPQ +−∑=
y se tiene:
273
Q1 = Y1 P1 = 83.1 x 0.4 = 33.24 m3/sQ2 = Y2 P1 + Y1 P2 = 279.4 x 0.4 + 83.1 x 1.1 = 203.2 m3/s
Q3 = Y3 P1 + Y2 P2 + Y1 P3 = 329.8 x 0.4 + 279.4 x 1.1 + 83.1 x 2 = 605.5 m3/s
Q4 = Y4P1 + Y3 p2 + Y2 P3 + Y1 P4 = 248.1 x 0.4 + 329.8 x 1.1 + 279.4 x 2 + 83.1 x 1.5 = 1145.5 m3/s
Q5 = Y5 P1 + Y4 P2 + Y3 P3 + Y2 P4 = 163.2 x 0.4 + 248.1 x 1.1 + 329.8 x 2 + 279.4 x 1.5 = 1416.9 m3/s
Q6 = Y6 P1 + Y5 P2 + Y4 P3 + Y3 P4 = 84.9 x 0.4 + 163.2 x 1.1 + 248.1 x 2 + 329.8 x 1.5 = 1204.4 m3/s
Q7 = Y7 P1 + Y6 P2 + Y5 P3 + Y4 P4 = 46.6 x 0.4 + 84.9 x 1.1 + 163.2 x 2 + 248.1 x 1.5 = 810.6 m3/s
Q8 = Y8 P1 + Y7 P2 + Y6 P3 + Y5 P4 18.3 x 0.4 + 46.6 x 1.1 + 84.9 x 2 + 163.2 x 1.5 = 473.2 m3/s
Q9 = Y8 P2 + Y7 P3 + Y6 P4 = 18.3 x 1.1 + 46.6 x 2 + 84.9 x 1.5 = 240.7 m3/s
Q10 = Y8 P3 + Y7 P4 = 18.3 x 2 +46.6 x 1.5 = 106.5 m3/s
274
Q11 = Y8 P4 = 18.3 x 1.5 = 22.5 m3/s
Ejemplo 10.2
Una cuenca tiene un hidrograma unitario triangular, para una duración de 10minutos, con las siguientes características: caudal pico, 2.8 m3/s-mm;tiempo al pico, 40 minutos; y tiempo base, 100 minutos. Calcule el caudalpico resultante para una tormenta en la cual caen 50 mm en los primeros 10minutos, y 25 mm en los siguientes 10 minutos. Suponga que el índice > esde 15 mm/h y el flujo base es constante e igual a 1 m3/s. Hallar también lahidrógrafa unitaria de 20 minutos de duración.
Solución:
Si se grafica el hidrograma triangular, se puede obtener la figura siguiente
Por triangulos semejantes, se puede plantear la siguiente relación para hallarlas ordenadas Yi, para cualquier tiempo ti:
100 min
Qp=2.8 m/s
40 min
275
ii t40
Y8.2 =
Empleando la anterior relación, se hallan las ordenadas del hidrograma, así:
Yi m3/s-mm 0 0.7 1.4 2.1 2.8 2.3 1.9 1.4 0.9 0.47 0
T (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Como el índice > es constante, igual a 15 mm/h, se tiene entonces que:
P1=47.5 mm y P2=22.5 mm
Aplicando la ecuación de convolución
1mn
m
1mn YPQ +−∑=
se tiene:
Q1 = Y1P1 = 33.25 m3/sQ2 = Y2P1 +Y1P2 = 82.25 m3/sQ3 = Y3P3 + Y2P2 = 131.25 m3/sQ4 = Y4P1 + Y3P2 = 180.25 m3/sQ5 = Y5P1 + Y4P2 = 172.25 m3/s
El caudal pico de escorrentía será, entonces:
Qp =180.25 + 1 = 181.25 m3/s
Para hallar el HU de 20 minutos de duración, es necesario hallar la curva enS, a partir de los datos del hidrograma unitario de 10 minutos. Se hallaprimero la curva en S y luego se desplaza 10 minutos y se hace la diferencia
276
entre las dos , multiplicando el resultado por 10/20. Se halla la siguientetabla:
T(h) Yi (m3/s-mm) S (m3/s-mm)
(3)S desplazada (4)
(3) –(4) x ½HU de 20’
0 0 0 010 0.7 0.7 0.3520 1.4 2.1 0 1.0530 2.1 4.2 0.7 1.7540 2.8 7 2.1 2.4550 2.3 9.3 4.2 2.5560 1.87 11.2 7 2.170 1.4 12.6 9.3 1.6580 0.93 13.5 11.2 1.1590 0.47 14 12.6 0.7100 0 14 13.5 0.25
14 14 0
10.5 HIDROGRAFAS UNITARIAS SINTETICAS
La determinación de HU para una duración dada, en una cuenca particular,depende de la existencia simultánea de registros de precipitación y caudal,que no siempre están disponibles. Se han desarrollado técnicas querelacionan características morfométricas de la cuenca (área, perímetro,pendiente, etc) con características del hidrograma unitario (tiempo al pico,caudal pico, tiempo base, etc). Estas relaciones se conocen con el nombre dehidrogramas unitarios sintéticos. La mayoría de ellas son empíricas,obtenidas con base en datos de varias cuencas.
Las hidrógrafas unitarias sintéticas pueden ser de tres tipos (Chow, 1994):
1) Las que relacionan las características de la hidrógrafa (caudales, tiempos alpico, tiempo base, etc.) con las características de la cuenca. De este tipo sonla de Snyder (1938) y la de Gray (1961).
277
2) Aquéllas basadas en hidrógrafas unitarias adimensionales: la del SoilConservation Service y la de William y Hann.
3) Las basadas en modelos de almacenamiento de la cuenca: Clark (1943)
Muchos son los métodos o modelos de hidrograma unitarios sintéticosreportados en la literatura; ninguno de ellos ha sido desarrollado para lascondiciones hidrológicas propias de un país tropical como Colombia. Sinembargo, esta metodología (los hidrogramas unitarios sintéticos) esextensivamente usada en Colombia. Los modelos del hidrograma unitariosintético más utilizados en Colombia son:
• Snyder• Servicio de Conservación de Suelos (SCS)• Williams y Hann
En aplicaciones de estos y otros modelos, en investigaciones realizadas en laFacultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín(Ochoa, Toro, 1992), se han obtenido con ellos resultados muy distintospara una misma cuenca, con variaciones en los resultados de hasta 1000%.En esas investigaciones se concluyó que tal vez el modelo del hidrogramaunitario sintético más apropiado para usar en nuestro medio es el deWilliams y Hann. Para ese modelo, inclusive, se desarrollaron unasecuaciones para aplicarlo en Antioquia (Cardona, Londoño, 1991), a lascuales falta hacerle pruebas extensivas sobre su confiabilidad.
10.5.1 Hidrógrafa unitaria sintética de Snyder
El modelo de Snyder fue desarrollado a partir de una serie de estudios sobrecuencas cuyas áreas oscilan en un rango de entre 10 y 10000 millascuadradas en los Montes Apalaches de Estados Unidos, para una duraciónde lluvia efectiva igual a TL/5.5, donde TL es el tiempo de rezago.
278
El modelo pretende derivar un Hidrograma Unitario, a partir de algunascaracterísticas físicas de la cuenca, para ser aplicado en las cuencas dondeno se posea registro de caudal.
Tiempo de rezago. El modelo emplea como definición de tiempo derezago, (TL), el tiempo comprendido entre el centroide del hietograma deprecipitación efectiva y el pico del Hidrograma de escorrentía directacorrespondiente.
Snyder asume que el rezago es constante para una cuenca, ya que dependede algunas de sus características físicas y no está determinado por el tipo delluvia o sus variaciones.
El tiempo de rezago se calcula usando la siguiente expresión:
5.0c
7.08.0c
L S*1900)1S(L
T+= (10.31)
En donde:TL : tiempo de rezago en horas.Lc: longitud del canal principal en pies.S : factor de retención o almacenamiento calculado en términos del númerode curva, CNSc: pendiente de la cuenca en porcentaje.
Para las cuencas en donde se obtienen tiempos de rezago mayores que eltiempo de concentración, se recomienda utilizar la siguiente expresión
CL T6.0T = (10.32)
Siendo TC el tiempo de concentración en horas.
279
Duración de la lluvia seleccionada por Snyder. Snyder consideró lluviasque estuvieran de acuerdo con el tamaño de la cuenca, definiendo para ellasuna duración de 1/5.5 veces el tiempo al pico de la cuenca, es decir:
5.5T
t Ls = (10.33)
Donde ts es la duración de la lluvia efectiva en horas.
Caudal pico. El modelo propone calcular el caudal pico por milla cuadrada,up, como:
Lpp T
640Cu = (10.34)
Donde:up: caudal pico del Hidrograma Unitario por unidad de área, en pie3/ s.mi2 ,Cp : coeficiente.TL :l tiempo de rezago.
El coeficiente CP depende de la topografía de la cuenca y se recomienda,por ejemplo, para cuencas pendientes utilizar Cp = 0.8
Cuando el Hidrograma Unitario Sintético corresponda a una precipitaciónefectiva cuya duración coincide con la dada por la ecuación (10.33), esdecir, ts , el caudal pico del Hidrograma Unitario por unidad de área puedecalcularse con la ecuación (10.34). Sin embargo, esta situación es difícilque se presente en la práctica, y si la duración es diferente a ts, el caudalpico por unidad de área puede calcularse como:
( ) ]4/tTT[640
CusL
pp −+= (10.35)
280
En donde T es la duración (en horas) de la precipitación efectiva a la cual sele va a calcular el Hidrograma Unitario Sintético.
Una vez obtenido el caudal pico por unidad de área de la cuenca, el caudalpico total se obtiene como:
AuU pp = (10.36)
En donde:A: es el área de la cuenca en mi2
.UP: es el caudal pico del Hidrograma Unitario Sintético, en pie3/s/pul.
Tiempo al pico. El tiempo en que se presenta la máxima concentración deescorrentía directa puede calcularse como:
Lp T2T
T += (10.37)
En donde:
Tp: es el tiempo al pico, en horas.T: es la duración de la lluvia, en horas.TL: es el tiempo de rezago, en horas.
Estos tiempos se grafican en la Figura 10.8, que representa el HidrogramaUnitario Sintético de Snyder.
Duración de la escorrentía superficial. Para el cálculo del tiempo base delHidrograma Unitario, se propone la siguiente ecuación:
24T
33t Lb += (10.38)
281
Donde: tb: es el tiempo base en días, con TL, en horas.
Esta ecuación da una estimación razonable del tiempo base para cuencasgrandes, pero produce valores excesivamente altos para cuencas pequeñas.En éstas, el tiempo base puede calcularse, en forma aproximada, como 3 a 5veces el tiempo al pico.
Esquematización de la hidrógrafa. El Cuerpo de Ingenieros de losEE.UU. introdujo después de los estudios de Snyder dos ecuacionesadicionales a este modelo, con el objeto de obtener otros cuatro puntos delHidrograma Unitario Sintético de Snyder, que facilitan su definición. Estasecuaciones son:
08.1p
7508.1p
50 u440
W u770
W == (10.39)
En donde:up :es el caudal pico por unidad de área en pie3/s mi2.W50 :es el intervalo de tiempo en horas, correspondiente al 50% del caudalpico.W75: es el intervalo de tiempo en horas, correspondiente al 75% del caudalpico.
Como se puede ver en la Figura 10.8, cada intervalo de tiempo se ubica enla curva de tal forma que su tercera parte quede a la izquierda de la verticalque pasa por el pico del Hidrograma Unitario, y las otras dos terceras partes,a la derecha de dicha línea
El punto C en la Figura 10.8 se obtiene con las ecuaciones (10.36) y (10.37).El punto F se obtiene con la ecuación (10.38). Los puntos A, B, D y E seobtienen con las ecuaciones (10.39).
282
FIGURA 10.7 Hidrograma Unitario Sintético de Snyder..El autor es muy claro al advertir que “el modelo tal como se dedujo, solo esválido para las cuencas que fueron objeto de su estudio y que la aplicacióndel mismo a cuencas de otros sitios debe ser precedida por la deducción delos coeficientes Ct y Cp, y quizás hasta de las mismas ecuaciones” (Snyder,1938).
10.5.2 Hidrógrafa Unitaria del S.C.S
El Servicio de Conservación de Suelos de los Estados Unidos (SoilConservation Service, SCS) desarrolló un Hidrograma UnitarioAdimensional a partir de una serie de hidrógrafas reales, correspondientes acuencas de muy diversos tamaños y ubicadas en distintos sitios de losEstados Unidos. Las expresiones matemáticas con las que se puedeconstruir el Hidrograma Unitario de T-horas de duración, a partir delHidrograma Unitario adimensional del SCS, fueron deducidas definiendo
283
sus tiempos característicos y representándolas como un HidrogramaUnitario Triangular.
Relación entre tiempos característicos. En el Hidrograma Unitarioadimensional del SCS, se considera que el volumen de escorrentía debajo dela rama creciente del Hidrograma, comprende el 37.5% del volumen total(que es unitario). Dicho volumen esta representado por una unidad detiempo, en las abscisas, y por una unidad de volumen, en las ordenadas.
El Hidrograma Unitario adimensional curvilíneo del S.C.S puede serrepresentado por un Hidrograma Unitario Triangular equivalente, con lasmismas unidades de tiempo y caudal, teniendo por consiguiente el mismoporcentaje del volumen en el lado creciente del Hidrograma (ver Figura10.9). Por simple geometría de triángulos, se puede llegar a las siguientesrelaciones:
3867.2
375.01
Tb === (10.40)
En la Figura 10.9, se observa que:
pr T67.1T = (10.41)
En donde Tp es el tiempo al pico y Tr es el tiempo de recesión delHidrograma Unitario triangular.
284
FIGURA 10.8. Hidrograma Unitario Adimensional del S.C.S.
Caudal pico. El caudal pico en pies cúbicos por segundo por pulgada sepuede calcular como:
pp T
A484U
∗= (10.42)
En donde Up es el caudal pico correspondiente a un Hidrograma Unitario, Aes el área de la cuenca en millas cuadradas y Tp es el tiempo al pico enhoras.
285
Cualquier modificación en el Hidrograma Unitario Adimensional queconlleve cambios en el porcentaje del volumen de escorrentía bajo su ramacreciente produce variaciones en el factor de forma asociado al HidrogramaUnitario Triangular, y por tanto la constante también cambia.
Para las cuencas consideradas por el SCS, el factor del caudal pico variódesde 300, en terrenos llanos, hasta 600, en zonas de pendiente empinadas.De lo anterior, se deduce que si se utiliza un Hidrograma UnitarioAdimensional diferente al derivado por el SCS, el factor de caudal picocambia de valor, y, por consiguiente, dicho caudal será distinto del que seobtiene con la ecuación (10.42).
Obtención del tiempo de concentración según el SCS. El método del SCSutiliza el tiempo de concentración, que se define como el necesario para quela escorrentía en el punto más lejano de la cuenca salga de ella; o, también,como el tiempo que transcurre desde el final de la lluvia efectiva hasta elpunto de inflexión de la rama decreciente del Hidrograma Unitario. Conbase en esto, el SCS propone una relación promedio entre el tiempo derezago, TL, y el tiempo de concentración, Tc, como:
LC T35T = (10.43)
Relación que es aplicable a cuencas naturales con una distribución de laescorrentía aproximadamente uniforme.
El tiempo de rezago, TL, definido como el tiempo en horas desde elcentroide del hietograma de la precipitación efectiva hasta el caudal pico delhidrograma unitario, se puede calcular como:
( )5.0
c
7.08.0c
L S19001SL
T∗+∗= (10.44)
286
En donde LC es la longitud del canal principal en pies, SC es la pendientepromedio de la cuenca en porcentaje y S es el factor de retención oalmacenamiento en pulgadas, definido por la ecuación 8.9
Duración del Hidrograma Unitario, T. En la Figura 10.9, se observa queel tiempo al pico, Tp, está dado como:
Lp T2T
T += (10.45)
En donde T es la duración de la lluvia efectiva en horas y TL es el tiempode rezago en horas.
La relación promedio entre el rezago y el tiempo de concentración puedeescribirse de la siguiente manera:
CL T6.0T = (10.46)
Los valores del tiempo de rezago según esta expresión son los mismosobtenidos para el Hidrograma Unitario de Snyder.
Se puede demostrar que la relación entre la duración T de la precipitaciónefectiva a la que se le va a construir el hidrograma unitario y el tiempo deconcentración está dada como:
CT133.0T = (10.47)
Obtención del Hidrograma Unitario a partir del Hidrograma UnitarioAdimensional del SCS. El Hidrograma Unitario de T-horas de duración, apartir del modelo del SCS se obtiene de la siguiente manera:
• Se calcula el tiempo de rezago, TL , con la ecuación (10.44) y luego eltiempo de concentración, TC, con la ecuación (10.43).
287
• Se calcula la duración, T, con la ecuación (10.47).
• Se obtiene el tiempo al pico, Tp , con la ecuación (10.45). • Se multiplica este tiempo al pico por cada una de las abscisas del
Hidrograma Unitario Adimensional del SCS (columna 1 de la Tabla10.3), consiguiendo así las abscisas del Hidrograma Unitario en horas.
• TABLA 10.3. Hidrograma Unitario adimensional curvilíneo delSCS.
RELACIÓNDE
TIEMPOS(t/tp)
RELACIÓNDE
CAUDALES(u/up)
RELACIÓNDE
TIEMPOS(t/tp)
RELACIÓNDE
CAUDALES(u/up)
RELACIÓNDE TIEMPOS
(t/tp)
RELACIÓNDE
CAUDALES(u/up)
0.0 0.0 1.1 0.99 2.4 0.147
0.1 0.03 1.2 0.93 2.6 0.107
0.2 0.10 1.3 0.86 2.8 0.077
0.3 0.19 1.4 0.78 3.0 0.055
0.4 0.31 1.5 0.68 3.2 0.040
0.5 0.47 1.6 0.56 3.4 0.029
0.6 0.66 1.7 0.46 3.6 0.021
0.7 0.82 1.8 0.39 3.8 0.015
0.8 0.93 1.9 0.33 4.0 0.011
0.9 0.99 2.0 0.28 4.5 0.005
1.0 1.00 2.2 0.207 5.0 0.000
• Con la ecuación (10.42) se calcula el caudal pico, Up , y por este valor semultiplican las ordenadas del Hidrograma Unitario Adimensional delSCS (columna 2 de la Tabla 10.3), para obtener las ordenadas delHidrograma Unitario en pie3/s.
288
Nótese que el Hidrograma Unitario así derivado corresponde a una duraciónde T-horas, la cual es función de TC.
10.5.3Hidrógrafa Unitaria de Williams y Hann
A principios de la década del setenta, Jimmy R. Williams y Roy W. Hannpropusieron un modelo para calcular el Hidrograma Unitario Sintéticoproducido por una lluvia instantánea en una cuenca, a partir de susprincipales características geomorfológicas, como son el área, la pendientedel canal principal y la relación largo-ancho
Las características geomorfológicas de la cuenca están representadas en elmodelo mediante dos coeficientes, que son la constante de recesión, K, ,y eltiempo al pico, Tp.
El Hidrograma Unitario Sintético desarrollado por Williams y Hann puedeexpresarse en forma adimensional, dividiendo las abscisas y las ordenadaspor el tiempo al pico, tp., y el caudal pico, Up, respectivamente, aunque
también pueden aplicarse con unidades de caudal, U, y tiempo, t.
Las ecuaciones propuestas por Williams y Hann para la determinación de laforma de su Hidrograma Unitario Sintético son las siguientes:
( ) 0p
1n
pp tt para 1
Tt
n1expTt
UU ≤
−−
=
−
(10.48)
100
0 ttt para K
ttexpUU ≤<
−= (10.49)
11
1 t>t para K3
ttexpUU
−= (10.50)
289
Según las tres ecuaciones anteriores, el Hidrograma Unitario Sintético deWilliams y Hann queda bien determinado de la siguiente manera:
La ecuación (10.47) es aplicable a la curva de concentración, es decir, hastael punto de inflexión, t0, de la rama decreciente (ver Figura 10.10).
Las ecuaciones (10.49) y (10.50) conforman la curva de recesión. Laecuación (10.49) solo es válida entre los puntos t0 y t1, los cuales estánseparados una distancia igual a dos veces la constante de recesión ,2K, (verFigura 10.10).
Parámetros K y tp del modelo. En el modelo de Williams y Hann, los
parámetros K y TP fueron determinados mediante análisis de regresión,realizados sobre una muestra de 34 cuencas localizadas en diversos lugaresde los EE.UU, cuyas áreas oscilan entre 0.5 y 25 millas cuadradas. Dichosanálisis arrojaron como resultado las siguientes ecuaciones:
124.0
c
c777.0cp
231.0c W
LSA0.27K
∗∗∗= − (10.51)
133.0
c
c46.0cp
422.0cp W
LSA63.4T
∗∗∗= − (10.52)
en donde: Ac es el área de la cuenca en mi2, Scp es la pendiente media delcanal principal en pies/milla, Lc/Wc es la relación largo ancho de la cuenca,K es la constante de recesión en horas y T
P es el tiempo al pico en horas.
290
FIGURA 10.9. Hidrograma Unitario Instantáneo de Williams y Hann
Tiempos y Parámetros. La determinación de los tiempos t0 y t1 y de losparámetros n y B es necesaria para la obtención del Hidrograma UnitarioSintético. Estos tiempos y parámetros fueron deducidos por Williams yHann; las expresiones obtenidas son las siguientes:
( )
−+=
21p0
1n
11Tt (10.53)
El punto t1 estáto localizado a una distancia igual a dos veces la constante derecesión de la cuenca, (2K), contada a partir de t0, es decir:
291
K2tt 01 += (10.54)
En la literatura, n es conocido como el parámetro de forma del HidrogramaUnitario Sintético de Williams y Hann, y se puede encontrar con lasiguiente expresión:
( ) ( ) ( )
22
1
p2
pp TK1
TK4
1TK2
11n
+++= (10.55)
El coeficiente B actúa más como un parámetro de conversión de unidadesque como un parámetro de significado físico. Se puede hallar resolviendonuméricamente una ecuación integral derivada por Williams y Hann. Sinembargo, el valor de B también se puede encontrar gráficamente en funciónde K y Tp usando una gráfica desarrollada por los mismos autores (VerFigura 10.11). Existe igualmente una gráfica para determinar el valor de n,en función también de K y Tp, pero en este caso se recomienda mejor usarla ecuación 10.55.
El caudal pico se calcula como:
p
cp T
ABU
∗= (10.56)
Construcción del Hidrograma Unitario Sintético de Williams y Hann.Para construir el Hidrograma Unitario Sintético de Williams y Hann, sesiguen los siguientes pasos:
• Se calculan las constantes de recesión, K, y el tiempo al pico, TP, con lasecuaciones (10.51) y (10.52), respectivamente.
292
RELACION ENTRE B Y n
10
100
1000
0 2 4 6 8 10 12
n
B
FIGURA 10.10. Valores de los parámetros B y n.
• Se calcula el parámetro n utilizando la ecuación (10.55); y el parámetroB usando la figura 10.10.
• Se calculan el tiempo t0 con la ecuación (10.53); y el tiempo t1, con laecuación (10.54).
• Se calcula el caudal pico, Up, en pie3/s, con la ecuación (10.56).
• Se discretizan las abscisas en intervalos ∆T. El intervalo debe ser tal quela duración, T, de la lluvia a la que se le va a aplicar el HidrogramaUnitario Sintético sea múltiplo entero de ∆T. T= n∆T.
• Se obtienen las ordenadas del Hidrograma Unitario Sintético, Ut,
reemplazando cada abscisa, t, en las ecuaciones (10.48), (10.49) y (10.50.
El Hidrograma Unitario Instantáneo, tiene dimensiones de pie3/s /pulpara los caudales y de horas para los tiempos.
293
Ejemplo 10.3 (Tomado de Smith, Vélez, 1997)
Se desea calcular los hidrogramas unitarios de Snyder, SCS y William yHann para la cuenca del río San Carlos, hasta la estación limnigráfica dePuente Arkansas (Antioquia), donde la cuenca está definida por losparámetros dados en la tabla10.4.
Solución:
a) HU de Snyder.
La firma de ingenieros AEI, de Medellín, ha recomendado los siguientesvalores para los coeficientes del método de Snyder: Ct = 0.42 y Cp = 0.493.En este ejemplo de aplicación, se utilizaron dichos valores.
Usando las ecuaciones del modelo de Snyder se obtienen los siguientesvalores:
• TL = 1.8730 h• Tr = 0.3405 h• TLC = 1.8704 h• Up = 9.7511 m3/s /mm• Tp = 2.0407 h ≈ 120 min• Tb = 600 min• W50 = 3.0285 h ≈ 180 min• W75 = 1.7306 h ≈ 100 min
Con base en tales resultados, se puede dibujar el hidrograma unitario deSnyder, el cual se muestra en la figura 10.11
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TABLA 10.4 Parámetros morfométricos de la cuenca del Río SanCarlos, hasta la estación Puente Arkansas
Parámetros Valor
Area de la cuenca, Ac (km2) 134.3
Longitud del río principal, Lcp (Km) 27
Longitud de la cuenca, Lc (Km) 16.5
Longitud al centroide, Lca (Km) 14
Altura promedia, ∆h (m.s.n.m) 1449
Pendiente del canal, Scp (%) 3.14
Pendiente del canal, Scp (pie/milla) 256.1
Relación Longitud-ancho de la cuenca, Lc/Wc 2.03
Número de curva, CN 77.95
Tiempo de concentración, TC (min) 180
b) HU del S.C.S
Con base en las ecuaciones presentadas, los valores de la tabla 10.3, ysiguiendo el procedimiento de cálculo presentado, se obtiene un hidrogramaunitario de 0.33 horas de duración. Los resultados obtenidos son lossiguientes:
• S = 2.83• TL = 1.8 h• Tp = 1.965 h• Tb = 9.825 h• Up = 14.2378 m3/s /mm
El hidrograma unitario de 20 minutos de duración finalmente obtenido semuestra en la figura 10.12
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HIDROGRAMA UNITARIO DE SNYDER (AEI)
-3
2
7
12
0 200 400 600 800
Tiempo (min)
Cau
dal (
m3/
s)
FIGURA 10.11. Hidrograma Unitario de Snyder, ejemplo 10.3.
c) HU de Williams y HannCon base en las ecuaciones presentadas en la sección 10.4.3 y siguiendo elprocedimiento de cálculo presentado al final de esa sección, se obtienen lossiguientes resultados:
• K = 0.987• Tp = 2.1 h ≈ 120 min• K / Tp = 0.47• n = 9.23• B = 650• Up = 17.9054 m3/s /mm• t0 = 2.83 h ≈ 160 min• t1 = 4.804 h ≈ 280 min• U0 = 11.9266 m3/s /mm• U1 = 1.6141 m3/s /mm
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HIDROGRAMA UNITARIO DEL S.C.S
02468
10121416
0 200 400 600 800
Tiempo (min)
Cau
dal (
m3/
s)
FIGURA 10.12. Hidrograma Unitario del S.C.S, ejemplo 10.3
Con esos resultados se puede dibujar el hidrograma unitario de Williams yHann, que se muestra en la figura 10.13.
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HIDROGRAMA UNITARIO DE WILLIAMS Y HANN
02468
1012141618
0 100 200 300 400 500
Tiempo (min)
Cau
dal (
m3/
s)
FIGURA 10.13 Hidrograma Unitario de Williams y Hann, ejemplo 10.3