10.4 ERRORES DE SOLUCIN Una parte importante de un eigenvalor y solucin de vector debe estimar la exactitud con la cual el eigensistema requerido ha sido calculado. Ya que una solucin eigensistem es necesariamente iterativa, la solucin debera ser terminada una vez que la convergencia dentro las tolerancias que dan la exactitud actual han sido obtenidas. Cuando uno aproxima tcnicas de solucin perfiladas en el Artculo 10.3 es usado, una estimacin de la exactitud de solucin actual obtenida es por supuesto tambin importante.10.4.1 Lmites de error A fin de identificar la exactitud que ha sido obtenida en un eigensolucin, recordamos que la ecuacin para ser solucionada es:

Debemos primero suponer que usando cualquier procedimiento de solucin obtuviramos una aproximacin y a un eigenpair. Entonces sin hacer caso de como los valores han sido obtenidos, podemos evaluar un vector residual que da la informacin importante sobre la exactitud con la cual y se acercan el eigenpair. Dan los resultados en (10.101) a (10.104). Entonces tambin presentamos los clculos ligados del error til en soluciones basadas en iteraciones inversas y una medida de error simple. Eigenproblema estndar Considere primero aquel M = l. En este caso podemos escribir:

Y usando las relaciones en (10.12) y (10.13), tenemos:

O porque no es igual, pero slo cerca de un eigenvalor, tenemos:

De ah, porque, tomando normas obtenemos:

Pero desdeTenemos Por lo tanto, una declaracin concluyente puede ser hecha sobre la exactitud con la cual se aproxima un eigenvalor un evaluando como expresado en (10.101). Esto es completamente diferente de la informacin que podra ser obtenida de la evaluacin del vector residual r en la solucin de las ecuaciones de equilibrio estticas.Aunque la relacin en (10.101) establezca que est cerca de un eigenvalor a condicin de que es pequeo, debiera ser reconocido que la relacin no cuenta que eigenvalores es acercado. De hecho, para identificarse qu un eigenvalor especfico ha sido acercado, es necesario usar la propiedad de secuencia de Sturm (ver el Artculo 10.2.2 y los ejemplos).EJEMPLO 10.19: Considere el eigenproblema donde:

La eigensolucin es y:

Suponga que calculamos

Como aproximaciones a Presntese el error de la relacin en (10.101). Tenemos en este caso

Por lo tanto

La relacin en (10.10 1) ahora da:

Que en efecto es verdad porqueAsuma ahora que slo hemos calculado y sin saber que eigenvalores y vectores se acercan. En este caso podemos usar la relacin en (10.101) lmites establecidos a la orden del eigenvalor exacta desconocida al aplicar controles de secuencia de Sturm (ver el Artculo 10.2.2).