UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

Curso: Ecuaciones Diferenciales Código: 100412

Fase 1 Unidad1 Ecuaciones Diferenciales

Tutor: Francisco Fernández

Grupo: 100412_52

Integrantes:

Claudia Yamile Palacios

Código: 1026275241

Pedro Ignacio Melo

Código: 79536965

Bogotá- 14-09-2015

Introducción

La Matemática es una Ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de teorías y definiciones cuyas

demostraciones se soportan en el principio de la lógica, las Ecuaciones Diferenciales permiten el desarrollo de

habilidades pero a su vez presenta dificultades para poder despegar dichas habilidades ya que requiere trabajar en el

sentido de análisis.

Las Ecuaciones Diferenciales es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias ,Tecnología e Ingeniería e

Investigación que requiere un trabajo sistemático y planificado, para cumplir el propósito fundamental que es saber

integrar técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos. Por eso las Ecuaciones Diferenciales, los

Métodos Numéricos, la geometría Diferencial, la probabilidad, la Estadística y otras áreas del conocimiento han sido

una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas donde se utilizan principios de Algebra, Geometría, Trigonometría se

debe destacar que para desarrollar el Curso de Ecuaciones Diferenciales es pertinente tener claro los principios de las

áreas nombradas.

En esta primera Unidad se desarrolla Ecuaciones Lineales o no Lineales, Ecuaciones Diferenciales de primer orden,

factor Integrante etc.

Desarrollo de la Actividad

ECUACIONES DIFERENCIALES

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si

la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta

1) a. 𝑥² 𝑠𝑒𝑛(𝑥) – (𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Rta /Ordinaria, primer orden, lineal

Justifique su respuesta

Debido a que el termino y no se encuentra elevado a ninguna potencia

𝐴. 𝑥2 Sen (x) − (cos) y=(senx) 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Solución: Justificación de la respuesta

𝑥2 Sen(x)−(cosx) = 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥

Sen x

𝑥2 Cos (x) − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑦 + 4 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

(Sen x)

Cot (x) �́� (𝑥) + 𝑦 ∙ csc 2 (x)+2𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Ordinaria de primer orden no lineal

Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes

fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un

operador lineal.

c. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

• c. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0

Comentado [pm1]:

Comentado [pm2R1]:

𝜕(6𝑥𝑦)

𝜕𝑦= 6𝑥

𝜕(4𝑦+9𝑥2)

𝜕𝑥= 18𝑥

𝜇(𝑦) = 𝐸𝑋𝑃 [∫ (18𝑥 − 6𝑥

6𝑥𝑦)] = 𝐸𝑋𝑃 [∫ (

2

𝑦)]

𝜇(𝑦) = 𝐸𝑋𝑃 [∫ (2

𝑦)] = 𝐸𝑋𝑃[2𝑙𝑛𝑦]

𝜇(𝑦) = 𝑦2

Multiplicando la ecuación por el factor integrante, tenemos:

6𝑥𝑦3𝑑𝑥 + (4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 0

𝜕(6𝑥𝑦3)

𝜕𝑦= 18𝑥

𝜕(4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2)

𝜕𝑥= 18𝑥𝑦2

B. y 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑦3 = 𝑒𝑥̇ + 1

y 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 1 − ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑦3

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 1 − (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑦3

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑦3 (𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) − 5𝑦2 Sen (x) �̇� (x)+ 𝑒𝑥 + 2 𝑦3 sen(x) �̇� (x) - 𝑒𝑥y

𝒚𝟐

D. 𝑑𝑟2

𝑑𝑢 =√1 + (

𝑑𝑟

𝑑𝑢)

2 2

𝑑𝑟

𝑑𝑢 = 1 ∙ 2 (

𝑑𝑟

𝑑𝑢 ) (dr 0+0 𝑑𝑢) + (

𝑑𝑟

𝑑𝑢) ∙

𝑑𝑟

𝑑𝑢 ∙ 2

𝑑𝑟

𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑑𝑦 +(

𝑑𝑟

𝑑𝑢)2

𝑑𝑢2 𝑑𝑢2

E. ( 𝑦2 − 1 ) dx + 6𝑥𝑑𝑦 = 0

dx + 6𝑥 = 1

𝑦2−1)

6x + 𝑑𝑥 = 1

𝑦2−1

dx = 1

𝑦2−1−6𝑥

dx = − 𝑑𝑥

𝑦2−6𝑥

dx = 𝑑𝑥 − 2𝑥 − 6 − 𝑦2 6x

𝑦2 − 6𝑥

dx= − 𝑑𝑥 ∙ 2𝑥 − 6

Temática 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden.

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0 Sea 𝑀 = 6𝑥𝑦 y 𝑁 = 4𝑦 + 9𝑥2

Luego 𝑀𝑦 = 6𝑥 y 𝑁𝑥 = 18𝑥

Hallamos el factor integrante:

𝜇𝑦 = 𝑒∫𝑁𝑥−𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦 → 𝜇𝑦 = 𝑒

∫18𝑥−6𝑥

6𝑥𝑦𝑑𝑦

→ 𝜇𝑦 = 𝑒∫

2

𝑦𝑑𝑦

→ 𝜇𝑦 = 𝑒2𝑙𝑛𝑦 → 𝜇𝑦 = 𝑦2

Ahora multiplicamos el factor integrante a la Ecuación diferencial dada:

(𝑦2)[6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0] → 6𝑥𝑦3𝑑𝑥 + (4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 0

Por tanto la ecuación diferencial 6𝑥𝑦3𝑑𝑥 + (4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 0 es Exacta. Porque:

Sea 𝑀 = 6𝑥𝑦3 y 𝑁 = 4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2 , entonces:

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 18𝑥𝑦2 =

𝜕𝑁

𝜕𝑥 Como sus derivadas parciales son iguales, se asegura que la ecuación diferencial obtenida es

exacta.

Hallamos el factor integrante:

𝜇𝑦 = 𝑒∫𝑁𝑥−𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦 → 𝜇𝑦 = 𝑒

∫18𝑥−6𝑥

6𝑥𝑦𝑑𝑦

→ 𝜇𝑦 = 𝑒∫

2

𝑦𝑑𝑦

→ 𝜇𝑦 = 𝑒2𝑙𝑛𝑦 → 𝜇𝑦 = 𝑦2

Ahora multiplicamos el factor integrante a la Ecuación diferencial dada:

(𝑦2)[6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0] → 6𝑥𝑦3𝑑𝑥 + (4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 0

Por tanto la ecuación diferencial 6𝑥𝑦3𝑑𝑥 + (4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2)𝑑𝑦 = 0 es Exacta. Porque:

Sea 𝑀 = 6𝑥𝑦3 y 𝑁 = 4𝑦3 + 9𝑥2𝑦2 , entonces:

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 18𝑥𝑦2 =

𝜕𝑁

𝜕𝑥 Como sus derivadas parciales son iguales, se asegura que la ecuación diferencial obtenida es

exacta.

EJERCICIO

Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada

de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del

tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de

6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L,

determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.

Tanque Mezcla

Solución Salina

Solución de Salida

1kg sal/Litro

Cent=6L/min

Csal=6L/min

A(t)

1000 L

A(0)=0 kg de sal

SOLUCION

Sea A el número de kg/L de sal en el tanque, t minutos después de iniciar el proceso,

tenemos:

R1 es la velocidad de entrada de cantidad de salmuera

R1=6 l/min·1kg/l=6 kg/min

R2 es la velocidad de salida de salmuera

R2= 6 l/min ·C (t)

𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑅₁ − 𝑅₂

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 6 − 6

𝑄(𝑡)

1000

𝑑𝑄

𝑑𝑡= +6

𝑄(𝑡)

1000= 6

ED lineal tipo

𝛾¹ + 𝑝(𝑥)𝛾 = 𝑓(𝑥)

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑓 = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑋) = 𝑒 ∫ 𝑒6

1000 𝑑𝑡 =

6

1000𝜏

Multiplicando la ED Por el F

𝑑𝑄

𝑑𝑡+ 6

𝑄(𝑡)

1000= 6

𝑒6

1000

𝑡∗

𝑑𝑄

𝑑𝑡 +𝑒

6

1000

𝑡∗ 6𝑒

𝑄(𝑡)

1000= 6𝑒

6

1000𝑡

Integrando

𝑒6

1000

𝑡

∗ 𝑄(𝑡) =𝑒

61000

𝑡

61000

= 1000 ∗ 𝑒6

1000

𝑡

+ 𝐶

Luego

𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)= 1000 − 1000 𝑒

6

1000

𝑡

La concentración en el instante t

𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)=

1000 − 1000 𝑒6

1000

𝑡

1000= 1 − 𝑒

6

1000

𝑡

Queremos encontrar t , tal que la concentración sea ½

1 𝑒−6

1000

𝑡=

1

2

1

2= 𝑒

−6

1000

𝑡

𝐼𝑛 (0.5) =−6𝑡

1000→ 𝑡 =

−1000∗𝑖𝑛 0.5

6= 115.5245 min = 4 ℎ 48 min 48𝑠

Ejercicio

De forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea,

si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben

realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando

en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o

respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error

o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la

solución

Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela

a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire.

Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada

instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m

con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el

foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha

planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones

diferenciales de primer orden:

el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese

instante? (Considere la gravedad como 𝑔 = 10 𝑚

𝑠𝑒𝑔2 )

Reagrupando

𝑥(𝑡) =𝑚𝑔

𝑘𝑡 +

𝑚

𝑘(𝑣0 −

𝑚𝑔

𝑘) (1 − 𝑒−

𝑘𝑚

𝑡) + 𝑥0

Considerando la gravedad como 𝑔 = 10 𝑚

𝑠𝑒𝑔2 y la tapa inicial en la que el paracaídas está

cerrado, donde 𝑥0 = 0 , 𝑣0 = 0 𝑦 𝑘 = 30 𝑁𝑠/𝑚 ,

𝑣(𝑡) =100

3−

100

3𝑒−

310

𝑡 𝑦

𝑥(𝑡) =100

3𝑡 +

1000

9𝑒−

310

𝑡

Luego a los diez segundos, 𝑡 = 10

𝑣(10) ≈ 31.6737 𝑚

𝑠

Y la distancia recorrida por el paracaidista durante los primeros diez segundos será

aproximadamente

𝑥(𝑡) = 227,7541 𝑚

Para la segunda etapa, es decir, cuando el paracaídas está abierto, se toma como instante

𝑡 = 0 aquel en el que el paracaídas se abre y 𝑘 = 90𝑁.𝑠

𝑚 , con lo que se tiene

𝑥(0) = 227,7541 𝑚 𝑦 𝑣(0) = 31.6737 𝑚

𝑠

Entonces, 𝑣(𝑡) =100

9+ 20,5626𝑒−

9

10𝑡 𝑦

𝑥(𝑡) =100

9𝑡 − 22,8473𝑒−

910

𝑡 + 250,6014

Entonces, como 𝑥(𝑡) = 2000 tenemos,

100

9𝑡 − 22,8473𝑒−

910

𝑡 + 250,6014 = 2000

Es decir, que 𝑡 = 2,0563𝑒−9

10𝑡 + 157,4459

En la anterior ecuación el término 2,0563𝑒−9

10𝑡 se desprecia para valores de tiempo

relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor tiende a cero, entonces, 𝑡 =

No es la

solución

perfecta

que nos

muestra la

Guía

157,4459 𝑠𝑒𝑔. De aquí se deduce que el paracaidista tarda aproximadamente, 10 𝑠𝑒𝑔 + 157,4459 𝑠𝑒𝑔 = 167,4459 𝑠𝑒𝑔 en llegar al suelo desde que se arrojó del avión.

La velocidad de éste al llegar al suelo es de aproximadamente 100

9

𝐾𝑚

𝑠𝑒𝑔= 11,11

𝐾𝑚

𝑠𝑒𝑔

Nota: Tutor compañeros me puse a verificar el proceso de la solución del problema y no es

ajustable a los procesos que allí nos muestran.

Lo verifique y esta es la Solución que se pudo sacar del problema

Solución: Solo nos interesa el momento en que el Paracaidista toca el piso no el lugar.

Así solo consideramos el componente de su descenso. Para eso necesitamos usar dos

Ecuaciones una para describir el movimiento antes de abrir el paracaídas y la otra

para aplicarse después de abrirlo.

Antes de abrir el paracaídas.

𝑣° = 0

𝑚 = 100𝑘𝑔

𝑏 = 𝑏1 = 30𝑁 𝑠𝑚⁄

Si × (𝑡)𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑉1 =𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

V1 (t) =(100)(9.81)

30 (1 − 𝑒 − (

30

100)) = (32.7)(1 − 𝑒 − 0.3)

Xt (1) =(100)(9.81)

30 𝑡 − (100)2 (9.81)/302 = (𝑡 − 𝑒 − (

30

100) = 32.7 − 98100 (1 − 𝑒 −

225)

Por lo tanto después de un minute cuando t=

60 𝐸𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑖𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑎𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑉1 (60) = (32.7)(1 − 𝑒 225) =32.7𝑚

𝑠

Y ha caído X1 (60) = (32.7)(60) − 1962𝑚

En Conclusión se

verifico el problema

y se pudo verificar

que estos son los

pasos para la

solución del

problema

Conclusiones

De acuerdo con la metodología señalada de la Unidad 1 se concluye que para resolver una Ecuación

Diferencial de primer grado en esencia se trabaja con el método de separación de variables.

La Ecuación Lineal para las ecuaciones de 2 grado se trabaja con el de coeficiente constante para el caso

homogéneo y el coeficiente determinado para el caso no homogéneo.

En la solución del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos básicos y terminologías de las Ecuaciones

Diferenciales de segundo orden y orden superior aplicando diferentes casos en resolución de problemas.

Las ecuaciones Diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en todos los estudios de Ingenierías

y otras áreas

Reconocer los diferentes casos de solución de las Ecuaciones Diferenciales de acuerdo a su orden

Referencias

Dennis G. Zill (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México. Editorial

Thompson Learning. Séptima Edición.

Joaquín (2003). Introducción a las Ecuaciones en Diferencia. Tesis de grado. Universidad Nacional de

Colombia. Bogotá.