TRABAJO COLABORATIVO 2

CARLOS ALBERTO BURBANO LUNAHERNAN DARIO SERRATO LOSADA

ROBINSON JAVIER DURANALBENIS ROBAYO

JAEL TRUJILLO

LUZ DARY AGALIMPIA

TUTORA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADCÁLCULO INTEGRAL

OCTUBRE DE 2015

Introducción

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajó con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

En el presente trabajo se analizan los distintos conceptos relacionados con el cálculo, las derivadas y sus propiedades, realizando ejercicios de integrales indefinidas, usando otros métodos para resolver integrales, afianzando nuestros conocimientos, relacionándolos a nuestra carrera, y a nuestras actividades.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Ejercicio 1

1. ∫1

∞

(1−x )e− xdx

Solución

Aplicamos integración por partes:

∫u v '=uv−∫u ' v

Sean: u=(1−x ) ,u'=−1, v '=e−x , v=−e−x

¿ (1−x ) (−e− x)−∫ (−1 ) (−e−x )dx

¿−e− x (1−x )−∫ e−x dx

∫ e−x dx=−e− x

¿−e− x (1−x )−(−e− x)

Simplificamos

¿e− x−e− x (1−x )

Agregamos una constante a la solución

¿e− x−e− x (1−x )+C

Calculamos los límites:

∫1

∞

(1−x )e− xdx :∫1

∞

(1−x ) e−x dx=0−1e

Aplicando:

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )= limx→b−¿ (F ( x ) )−¿ lim

x →a+¿ (F ( x )) ¿¿¿¿

¿

Desarrollamos

limx→1+¿ (e−x−e−x (1− x))=¿

1e¿ ¿

¿

limx→∞

(e−x−e− x (1−x))=¿0¿

¿0−1e

Simplificamos y obtenemos:

¿−1e

Respuesta=−1e

Ejercicio 2

2. ∫−∞

∞ex

1+ex dx

Por método de sustitución:

ex=u exdx=du

∫−∞

∞ex

1+ex dx=∫−∞

∞duu2+1

∫−∞

∞du

u2+1=arctan (u )| ∞

−∞

¿arctan (ex )| ∞−∞

=arctan (e∞ )−arctan (e−∞ )

¿ π2−0=π

2

Ejercicio 3

∫0

11

3√ xxⅆ

Calculamos la integralindefinida : ∫1

3√ xxⅆ =

3 x23

2+C

∫1

3√ xxⅆ

13√x

=x−13

¿ ∫ x−1

3 dx

Aplicar la reglade la potencia : ∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

x−13

+1

−13

+1

simplificar¿3x

23

2

Agregamosunaconstante a lasolución¿3x

23

2+C

calculamos los limites :∫0

11

3√ xxⅆ :∫

0

11

3√xxⅆ =3

2−0

∫a

b

f ( x ) xⅆ =F (b )−F (a )=lim ¿x→b−¿ (F ( x ))−lim ¿x→ a+¿(F (x ) )¿ ¿¿¿

lim ¿x→0+¿(3x

23

2 )=0¿

¿

lim ¿x→0+¿(3x

23

2 )¿¿

Sustituimos la variable¿3·0

23

2

simplificamos¿0

lim ¿x→1−¿(3x

23

2 )=32¿

¿

lim ¿x→1−¿(3x

23

2 )¿¿

sustituimos lavariable¿3·1

23

2

simplificamos¿32

¿ 32−0

simplificamos¿32

Ejercicio 4

∫0

π /2cos(x )

√1−sen (x)dx

Solución

Aplicamos integración por sustitución, la cual establece:

∫ f (g (x ) ) . g' ( x )dx=∫ f (u)¿¿¿

u=1−sin ( x ): du=−cos ( x )dx ,dx=( −1cos ( x )

)du

∫ cos ( x )√u ( −1

cos ( x ) )du

∫−1

√udu

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

−∫ 1

√udu

Usamos la propiedad de exponentes, la cual establece

1

an=a−n

Aplicamos

1

√u=u−0.5

−∫u−0.5du

Aplicamos la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

−u−0.5+1

−0.5+1

Sustituimos en la ecuación u=1−sen(x )

(1−sen ( x ))−0.5+1

−0.5+1

Seguidamente, Simplificamos

−2√1−sen (x )

Agregamos una constante a la solución

−2√1−sen ( x )+C

Calculamos los límites, aplicando

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )=lim ¿x→b−¿ (F ( x ) )−lim ¿x→a+¿ (F (x ) )¿¿¿¿

lim ¿x→ 0+¿(−2√1−sen ( x )¿)=−2¿¿

¿

lim ¿x→ π

2−¿(−2√1−sen ( x )¿)=0¿¿

¿

0−(−2 )=2

Hallamos la solución

∫0

π /2cos(x )

√1−sen (x)dx=2

Respuesta=∫0

π /2cos (x)

√1−sen(x )dx=2

Evaluar las siguientes integrales

Ejercicio 5

∫ x3(x4+3)2dx

Solución

Primero expresemos la integral en su forma extensa, resolviendo las potencias y multiplicando:

∫ x11+6 x7+9 x3dx

Podemos resolver toda la integral de forma directa con la propiedad:

∫ xndx= xn+1

n+1+c

x12

12+ 6 x8

8+ 9 x4

4

Finalmente obtenemos:

x12

12+ 3 x8

4+ 9 x4

4+C

Respuesta= x12

12+3 x8

4+ 9 x4

4+C

Ejercicio 6

6. ∫0

13

( 4+√ x )dx

Solución

Calculamos la integral indefinida

∫0

13

( 4+√ x )dx=3 (2√ x−8 ln (√ x+4 ) )+c

∫ 3

4+√ xdx

Sacamos la constante, aplicando:

∫ f (g (x ) ) . g' ( x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )

u=√x :du= 1

2√ xdx du= 1

2udx ,dx=2udu

¿3∫ 14+u

2udu

¿3∫ 2− 8u+4

2du

Aplicamos la regla de la suma, la cual establece

∫ f ( x )± g (x )dx=f ( x )dx ±∫ g ( x )dx

¿3(∫2du− 8u+4

du)

¿∫2du=2u

¿∫ 8u+4

du=8 ln(u+4)

¿3¿

Sustituir en la ecuación u=√x

¿3¿

Agregamos una constante a la solución

¿3¿

Calculamos los límites

∫0

13

( 4+√ x )dx :∫

0

13

( 4+√x )dx=¿6−24 ln (5 )−(−24 ln (4 ) )¿

Aplicando:

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )= limx→b−¿ (F ( x ) )−¿ lim

x →a+¿ (F ( x )) ¿¿¿¿

¿

limx→ 0+¿ ¿¿¿

¿

limx→1−¿¿¿ ¿

¿

¿6−24 ln (5 )−(−24 ln (4 ))

Simplificamos y obtenemos:¿6(1−4 ln (5 )+ln (256 ))

Respuesta=6 (1−4 ln (5 )+ ln (256 ))

Ejercicio 7

7. ∫ dx

x2√4+x2

Solución

Aplicamos la integración por sustitución

x=2 tan (u ):dx=2 sec2 (u )du

¿∫ 1

(2 tan (u ) )2 √4+( 2 tan (u ) )22 sec2(u)du

¿∫ csc2(u)

2√4 tan2 (u )+4du

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

¿ 12∫ csc2(u)

2√4 tan2 (u )+4d u

4 tan2 (u )+4=4¿¿

¿ 12∫ csc2(u)

√4( 4 tan2 (u )+14 )

du

Simplificamos

¿ 12∫ csc2(u)

2√ tan 2 (u )+1du

Usamos la siguiente identidad 1+ tan2 ( x )=sec2 (x )

¿ 12∫ csc2(u)

2√sec 2 (u )du

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

¿ 12

12∫ csc2(u)

√ sec2(u)du

√sec2 (u )= (sec (u ) ) Asumiendo que ( sec (u )≥0 )

¿ 12

12∫ csc 2 (u )

sec (u )du

¿ 12

12∫

1sin (u)

cot (u )du

Usamos la siguiente identidad1

sin ( x )=csc ( x )

Expresar con seno, coseno

¿−12

12∫ cos (u)

sin2(u)d u

Aplicar integración por sustitución:

∫ f (g (x ) ) . g' ( x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )

u=g ( x ) v=sin (u )dv=cos (u )du ,du= 1cos (u)

d v

¿ 12

12∫

cos (u )v2

1cos (u )

d v

¿ 12

12∫

1

v2d v

1

v2=v−2

¿ 12

12∫ v−2d v

Aplicamos la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1a+1

, a≠−1

¿ 12

12

v−2+1

−2+1

Sustituimos en la ecuación v=sin (u ) , u=arctan ( 12x)

¿ 12

12

sin−2+1(arctan ( 12x ))

−2+1

Simplificamos

¿−√ x2

4+1

2x

Finalmente agregamos una constante a la solución

¿−√ x2

4+1

2x+C

Respuesta=−√ x2

4+1

2x+C

Ejercicio 8

8. ∫ x2

√ x2−4

Solución

x2−4=(−1)¿+4)

¿∫ x2

√(−1 )(−x2+4)d x

√ (−1 )(−x2+4)=√(−1)√(−x2+4)d x

¿∫ x2

√−1√−x2+4d x

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

¿ 1√−1

∫ x2

√−x2+4d x

Para √a−b x2 sustituir x=√a√a

sin (u)

Aplicamos la integración por sustitución

∫ f (g (x ) ) . g' ( x )dx=∫ f (u)¿¿¿

x=2 sin (u ) :dx=2cos (u )d u

¿ 1√−1

∫ (2sin (u ) )2

√−(2sin (u ) )2+42cos (u )d u

¿ 1√−1

∫ 8 sin2 (u ) cos (u)

√4−4 sin2(u)du

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

¿ 1√−1

8∫ sin2 (u ) cos(u)

√4−4sin2(u)du

¿4−4sin2 (u )=4 (1−4sin2 (u )4 )

¿ 1√−1

8∫ sin2 (u )cos (u)

√4 (1− 4sin2 (u )4 )

d u

Simplificamos

¿ 1√−1

8∫ sin2 (u ) cos (u)

2√1−sin2 (u )du

Usamos la siguiente identidad

1−sin2 ( x )=cos2(x )

¿ 1√−1

8∫ cos (u )sin2 (u )2√cos2 (u )

du

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

¿ 1√−1

812∫ cos (u )sin2 (u )

√cos2 (u )du

√cos2 (u )=(cos (u ) ) , asumiendo quecos (u)≥0

¿ 1√−1

812∫ cos (u )sin2 (u )

cos (u )du

Simplificamos

¿ 1

√−18

12∫ sin2(u)d u

Usamos la siguiente identidad

sin2 ( x )=1−cos (2 x)2

¿ 1

√−18

12∫

1−cos (2u )2

d u

Sacamos la constante

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f ( x )dx

¿ 1

√−18

12

12∫1−cos (2u )du

Aplicamos la regla de la suma, la cual establece:

∫ f ( x )± g (x )dx= f ( x )dx ±∫ g ( x )dx

¿ 1

√−18

12

12

(∫ 1du−∫cos (2u )du )

∫1du=u

∫cos (2u )du=12

sin(2u)

¿ 1

√−18

12

12 (u−1

2sin (2u))

Sustituimos en la ecuación u=arcsin (12x)

¿ 1√−1

812

12 (arcsin ( 1

2x)−1

2sin(2arcsin ( 1

2x)))

Simplificamos

¿−2i(arcsin( x2 )−12

sin(2arcsin ( x2 )))Por ultimo agregamos una constante a la solución

¿−2i(arcsin( x2 )−12

sin(2arcsin ( x2 )))+CRespuesta=−2 i(arcsin ( x2 )−1

2sin (2 arcsin( x2 )))+C

Ejercicio 9

∫ x2 sen ( x )dx

Aplicamoslaintegración por partes : ∫ u v '=uv− ∫ u ' v

u=x2 , u'=2 x , v '=sen ( x ) , v=−cos (x )

¿ x2 (−cos ( x ) )− ∫ 2 x (−cos ( x ) )d x

¿ x2 (−cos ( x ) )−∫−2 xcos ( x )dx

∫−2 xcos (x )dx=2( xsen ( x )+cos ( x ))

∫−2 xcos (x )dx

sacamos laconstante : ∫ a·f ( x )dx=a· ∫ f ( x )dx

¿−2 ∫ xcos ( x )d x

Aplicamoslaintegración por partes : ∫ u v '=uv− ∫ u ' v

u=x ,u'=1 , v '=cos (x ) , v=sen (x)

¿−2 ( xsen ( x )−∫ 1 sen (x )dx )

¿−2 ( xsen ( x )−∫ sen ( x )dx )

Aplicar la reglade integración : ∫ sen (x )dx=(−cos ( x ) )

¿−2 ( xsen ( x )−(−cos ( x ) ))

simplificar¿−2 ( xsen ( x )+cos ( x ) )

¿ x2 (−cos ( x ) )−(−2 (xsen ( x )+cos ( x ) ) )

simplificamos yagregamos unaconstante a lasolucion

¿2 (xsen ( x )+cos ( x ) )−x2 cos ( x )+C

Ejercicio 10.

Existen otros métodos para resolver integrales como la integración por partes, integración por fracciones parciales e integración de funciones trascendentales.

Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad utilizada:

10. ∫ (3 x+5)x3−x2−x+1

dx

Integración por fracciones parciales

Tomar la fracción parcial de (3x+5)

x3−x2−x+1

∫ 12(x+1)

− 12 ( x−1 )

+ 4

( x−1)2dx

Aplicando la regla de la suma ∫ f ( x )∓ g ( x )dx=∫ f ( x )dx∓∫ g ( x )dx

∫ 12(x+1)

dx−∫ 12 ( x−1 )

dx+∫ 4

(x−1)2dx

Aplicando integración por fracciones parciales

Fracción ∫ 12(x+1)

dx

Sacamos la constante ∫ 12(x+1)

dx=12∫

1x+1

dx

Se aplica integración por sustitución u=x+1 d u=1dx dx=1du

12∫

1u

1du = 12∫

1udu

Aplicando la regla de integración ∫ 1udu=ln (u) =

12

ln (u)

Sustituyendo el valor de u=x+1 =

12

ln (x+1)

Fracción ∫ 12(x−1)

dx

Sacamos la constante ∫ 12(x−1)

d x=12∫

1x−1

dx

Se aplica integración por sustitución u=x−1 d u=1dx dx=1du

12∫

1u

1du = 12∫

1udu

Aplicando la regla de integración ∫ 1udu=ln (u) =

12

ln (u)

Sustituyendo el valor de u=x−1 =

12

ln (x−1)

Fracción ∫ 4

(x−1)2dx

Sacamos la constante ∫ 4

(x−1)2dx=4∫ 1

(x−1)2dx

Se aplica integración por sustitución u=x−1 d u=1dx dx=1du

4∫ 1

u21du = 4∫ 1

u2du

1

u2=u−2

4∫ u−2du

Aplicando la regla de la potencia 4u−2+1

−2+1

Sustituyendo el valor de u=x−1 =

4(x−1)−2+1

−2+1 =

−4x−1

Agrupamos las fracciones

12

ln ( x+1 )−12

ln ( x−1 )− 4x−1

12 ( ln ( x+1 )−ln ( x−1 )− 8

x−1 ) Se le agrega la constante

12 ( ln ( x+1 )−ln ( x−1 )− 8

x−1 )+C

Ejercicio 11.

∫0

π4

sin3(2x )cos4 (2 x )dx

Integración de funciones trascendentales.

Se aplica integración por sustitución u=2x d u=2dx dx=12du

∫sin3(u)cos4 (u ) 12du

Sacamos la constante12∫ sin3(u)cos4 (u )du

Integración de potencias de funciones trigonométricas.

sin3 (u )=sin2 (u )sin (u)

12∫ sin2 (u ) sin(u)cos4 (u )du

Usando la identidad sin2 ( x )=1−cos2(x )

12∫(1−cos2 ( x ))sin(u)cos4 (u )du

Aplicando integración por sustitución v=cos (u) d v=−sin (u )du

du=( −1sin (u))dv

12∫(1−v2)sin (u)v4( −1

sin (u) )dv12∫−v 4 ( 1−v2 )dv

Sacando la constante 12

(−∫ v4 (1−v2 )dv )

Simplificando 12

(−∫ v4−v6dv )

Aplicando la regla de la suma ∫ f ( x )∓ g ( x )dx=∫ f ( x )dx∓∫ g ( x )dx

12 (−(∫ v4dv−∫ v6dv ))

Tomamos ∫ v4dv

Aplicamos la regla de la potencia v4+1

4+1 = v

5

5

Tomamos ∫ v6dv

Aplicamos la regla de la potencia v6+1

6+1 = v

7

7

Agrupando 12 (−( v5

5− v7

7 ))

Sustituyendo en la ecuación v=cos (u) y u=2x

12 (−( cos5(2x )

5−

cos7(2 x)7 ))

12 ( 1

7cos7 (2 x )−1

5cos5(2x ))

Se le agrega la constante a la solución

12 ( 1

7cos7 (2 x )−1

5cos5(2x ))+C

Ahora calculamos los límites ∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )=limx→b

−(F ( x ) )−limx→a

+(F ( x ) )

limx→0

+¿( 12 (1

7cos7 (2 x )−1

5cos5(2x )))¿

Se sustituye la variable 12 ( 1

7cos7 ( (2 ) (0 ) )−1

5cos5 ( (2 ) (0 ) ))−135

limx→

π4

+¿( 12 ( 1

7cos7 (2 x )−1

5cos5(2 x)))¿

Se sustituye la variable 12 ( 1

7cos7( (2 )( π4 ))−1

5cos5( (2 )( π4 )))0

0−(−135 )

135

Ejercicio 12.

∫(ex cosh ( x )+ ln ( x ))dx

Integración por partes.

Aplicando integración por sustitución u=ex d u=exdx d u=udx dx=1udu

∫ (ucosh ( x )+ ln (x )) 1udu

∫ ucosh ( x )+ln ( x )u

du

u=ex x=ln (u)

∫ ucosh ( ln (u ) )+ ln (ln (u ) )u

du

∫12

(u2+1 )+ ln (ln (u))

udu

Aplicando la regla de la suma

∫12

(u2+1 )

udu+∫ ln ( ln (u))

udu

Fracción ∫12

(u2+1 )

udu

Sacamos la constante 12∫ (u2+1 )

udu

Aplicando la regla de la suma 12 (∫ (u2 )

udu+∫ 1

udu)

∫ (u2 )u

du = ∫udu

Aplicando la regla de la potencia u1+1

1+1 = u

2

2

∫ 1udu = ln (u)

Agrupando 12 ( u2

2+ln (u))

Fracción ∫ ln (ln (u))u

du

Aplicando integración por partes ∫uv '=uv−∫u ' v

u=ln ( ln (u)) u'= 1u ln (u) v '=1

uv=ln (u)

ln ( ln (u ) ) ln (u )−∫ 1u ln (u)

ln (u )du

ln ( ln (u ) ) ln (u )−∫ 1udu

∫ 1udu = ln (u)

ln ( ln (u ) ) ln (u )−ln (u )

12 ( (u2)

2+ ln (u))+ ln (ln (u ) ) ln (u )−ln (u )

Sustituyendo el valor de u=ex

12 ( (ex)2

2+ln (ex))+ln ( ln (ex )) ln (e x)−ln (ex )

Simplificamos

ln ( ln (ex )) ln (ex)−ln (ex)+ 12 ( e2 x

2+ ln (ex))

Se le agrega la constante

ln ( ln (ex )) ln (ex)−ln (ex)+ 12 ( e2 x

2+ ln (ex))+C

CONCLUSIONES

Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar la teoría de las integrales. Interpretamos las diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral para

poder comprender en diversos escenarios su mejor manera de utilizarlos. Manejamos de manera apropiada las integrales indefinidas, las integrales definidas y los

teoremas en los cuales se basaban. A través de dicha actividad también se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezas y

conocimientos que fortalecen el proceso de aprendizaje.

BIBLIOGRAFÍA

Introducción, Un poco de historia y el nacimiento del Cálculo, tomado de: http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm