100411_289_trabajo_fase_1

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO - FASE 1

PRESENTADO POR:

ALBENIS ROBAYO SOLANO

CÓDICO: 1.080.262.949

HERNAN DARIO SERRATO

CÓDICO: 1.081.411.410

ROBINSON JAVIER DURAN CEDEÑO

CÓDIGO: 1.079.411.098

CARLOS ALBERTO BURBANO

CÓDICO: 1.080.262.383

PRESENTADO A:

WILSON IGNACIO CEPEDA

GRUPO: 100411_289

TUTOR DEL CURSO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

LA PLATA, HUILA

SEPTIEMBRE DEL 2015

Introducción

El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnología, Ingeniería

e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y Planificado, para poder cumplir el proceso

fundamental de, técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos. Por ello, la

integración es necesaria para otras áreas matemáticas más avanzadas y tiene muchas aplicaciones

prácticas en nuestra vida profesional.

Es por ello que como estudiantes desarrollamos la creatividad y pensamiento para poder involucrar

todos estos contenidos en el desarrollo del trabajo, impulsándonos a razonar dándole un papel

protagónico a nuestra formación.

El presente trabajo Colaborativo, se pretende resaltar la aplicación de los siguientes temas:

Integrales definidas, indefinidas, Anti derivadas y algunos teoremas en la solución de los ejercicios

propuestos; en el que se emplea materiales de información a través de videos, syllabus, gráficas y

demás elementos , en donde la labor es el trabajo en equipo o el trabajo colaborativo que implica

resolver o comprender la temática, de una manera concertada con los compañeros y tutor del grupo,

evidenciándolo en el correcto desarrollo de los ejercicios propuestos.

Objetivo General

o Comprender y aplicar los conocimientos relacionados con la temática de la unidad 1: La

Integración, del curso de cálculo integral.

Objetivos Específicos

o Identificar y comprender claramente la solución y definiciones de las integrales definidas,

integrales indefinidas y anti derivadas.

o Emplear las herramientas matemáticas del curso, para el desarrollo problemas en la vida diaria

y profesional.

Desarrollo de la actividad

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las

integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

Ejercicio 1

∫ [( 5x )−2

3√ x2]dxAplicamos la regla de la suma, la cual establece:

∫ f ( x )± g (x )dx=∫ f ( x )dx ±∫ g ( x )dx

∫( 5x )−2

3√x2dx

¿∫ 5xdx=5 ln(x )

∫ 5xdx

Sacamos la constante

∫ a∗f (x )dx=a∗∫ f (x )dx

5∫ 1xdx

Aplicamos la regla de integración o la integral común

∫ 1xdx=ln(x)

¿5 ln(x )

∫23√ x2

dx=6 x

53

5

∫23√ x2dx



¿2∫ 3√x2dx

3√ x2=x23 , asumiendo que x≥0 , Entonces

¿2∫ x23 dx

Aplicamos la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

¿2x

23+1

23+1

Simplificamos

¿6 x

53

5

¿5 ln ( x )−¿6 x

53

5¿

Agregamos una constante a la solución

Si dF (x)dx

=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C

Y así obtenemos, Finalmente

¿5 ln ( x )−¿6 x

53

5+C ¿

Ejercicio 2

∫ [ sec ( x ) tan (x )+sec2 ( x ) ]dx

Simplificamos

∫ sec2 (x )+ tan(x )cos (x)

dx

Aplicamos la regla de la suma, la cual establece:

∫ f ( x )± g (x )dx=∫ f ( x )dx ±∫ g ( x )dx

¿∫ sec2 ( x )dx+∫ tan(x )cos (x)

dx

∫ sec2 (x )dx=tan(x )

∫ sec2 (x )dx

Aplicamos la regla de integración o la integral común

∫ sec2 (x )dx=tan ( x )

¿ tan ( x )

∫ tan(x )cos (x)

dx= −2

tan2( x2 )−1

∫ tan(x )cos (x)

dx

Aplicamos la integración por sustitución

∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )

u=tan( x2 ) :dx= 21+u2 du , tan(x )= 2u

1−u2 ,cos ( x )=1−u2

1+u2

¿∫2u

1−u2

1−u2

1+u2

21+u2 du

¿∫ 4u

(u2−1)2du



¿4∫ u

(u2−1)2du

Aplicamos la integración por sustitución

∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )

∫ v=(u2−1 ) :dv=2udu ,du= 12u

dv

¿4∫ u

v2

12u

dv

¿4∫ 1

2v2dv



¿412∫

1

v2dv

Usaremos la siguiente propiedad de los exponentes

¿ 1

an=a−n

Aplicamos así

1

v2=v−2

¿412∫ v−2dv

Aplicamos la regla de la potencia

∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

¿412

v−2+1

−2+1

Sustituimos en la ecuación

v=(u2−1 ) , u=tan( x2 )

¿412

( tan 2( x2 )−1)−2+1

−2+1

Simplificamos

¿− 2

tan2( x2 )−1

¿ tan ( x )−¿ 2

tan2( x2 )−1¿


Si dF (x)dx



¿ tan ( x )−¿ 2

tan2( x2 )−1+C ¿

Ejercicio 3

∫ x3−1x−1

dx

Necesitamos simplificar esta integral, aprovechemos el factor de diferencia de cubos y elevemos −1

del numerador a 3. Tenemos entonces:

∫ x3−1x−1

dx

Ahora podemos simplificar cancelando (x-1) así:

∫ (x−1)(x2+x+12)x−1

Y tenemos:

∫ x2+x+1

Podemos reescribir la integral usando la propiedad aplicada:

∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx

∫ x2+∫ x+∫ 1

Las primeras dos integrales se resuelven teniendo en cuenta la propiedad aplicada:

∫ xn= xn+1

n+1

Aplicamos

x3

3+ x2

2+∫ 1

La integral de una constante es inmediata, tenemos:

Propiedad aplicada ∫ k dx=kx+c

x3

3+ x2

2+ x

Realizando la suma

2x3+3 x2+6 x6

Extrayendo el factor común:

16x (2x2+2 x+6 )


Si dF (x)dx



16x (2x2+2 x+6 )+C

Ejercicio 4

∫ [2 sech ( x ) tanh (x )−x ]dx

Tenemos una constante que esta multiplicado, podemos sacarla fuera de la integral

Propiedad aplicada∫ kf (x )=k∫ f (x )

2∫ sech (x ) tanh ( x )−x

Y aplicando:

∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx

2∫ sech (x) tanh ( x )−∫ x

La integral de sech(x) tanh(x) la obtenemos de forma inmediata

Propiedad aplicada ∫ sech ( x ) tanh ( x )=−sech (x)

−2 sech (x )−∫ x

La última parte se resuelve de forma inmediata

Propiedad aplicada ∫ xn= xn+1

n+1

−2 sech (x )− x2

2


Si dF (x)dx



−2 sech (x )− x2

2+C

El conjunto de todas las anti derivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota

por el símbolo ∫ f ( x )dx=f ( x )+CResolver las siguientes integrales indefinidas:

Ejercicio 5

∫(5¿¿ x−4x)dx¿

Podemos separar esta integral en 2, dado que se están restando, tenemos entonces:

Propiedad aplicada ∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx

∫5x−∫ 4x

Ambas integrales se resuelven de manera inmediata, con la misma propiedad

Propiedad aplicada ∫ ax dx= ax

ln (a)

Tenemos entonces:

5x

ln(5)− 4 x

ln (4)


Si dF (x)dx



5x

ln(5)− 4x

ln (4 )+C

Ejercicio 6

∫ (xe+ex )dx

Podemos separar esta integral en 2, dado que se están sumando, tenemos entonces:

Propiedad aplicada ∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx

∫ xe+∫ ex

Tenemos una función elevada a un número (número e), podemos aplicar:

Propiedad aplicada ∫ xndx= xn+1

n+1

Desarrollamos:

x1+e

1+e+∫ex

La integral faltante es igual a la función:

Propiedad aplicada ∫ exdx=ex

x1+e

1+e+ex


Si dF (x)dx



x1+e

1+e+ex+C

Ejercicio 7

∫17

√1−x2dx+√ (x2+1 )2

dx

Aplicamosla reglade la suma: ∫ f ( x )±g ( x )dx=∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx

¿ ∫ 17

√1−x2dx+ ∫ √ (x2+1 )2dx

∫17

√1−x2dx=17 arcsin ( x)

Sacamosla constante aplicando laformula : ∫ a· f ( x )dx=a· ∫ f (x )dx

¿17 ∫1

√1+x2dx

Aplicamosla reglade integracion : ∫1

√1−x2dx=arcsin (x )

¿17 arcsin (x )

∫ √(x2+1 )2dx= x3

3+x

∫ √(x2+1 )2dx

√ (x2+1 )2=((x2+1 )) , asumiendo que (x2+1 )≥0

¿ ∫ (x2+1 )dx

Aplicamosla reglade la suma: ∫ f ( x )±g ( x )dx=∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx

¿ ∫ x2dx+ ∫ 1dx

∫ x2dx= x3

3

∫ x2dx

aplicamos laregla de la potencia : ∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1

¿ x2+12+1

simplificado= x3

3

∫ 1dx=x

∫ 1dx

integral deunaconstante : ∫ f (a )dx=x · f (a )

¿1 x

Simplificado:=x

¿ x3

3+x

¿17 arcsin (x )+ x3

3+x

agregamos unaconstante ala solucion :

¿17 arcsin (x )+ x3

3+x+C

Ejercicio 8

∫tan ( x )

Se n2 (x ) sec ( x )+cos ( x )dx

Aplicamoslaintegracion por partes : ∫ uv '=uv− ∫ u ' v

u=tan ( x )

Sen2 ( x ) sec (x )+cos ( x ),u '=cos ( x ) , v '=1 , v=x

¿tan (x )

Se n2 ( x ) sec ( x )+cos ( x )x−cos ∫ ( x ) xdx

¿x tan (x)

cos ( x ) s nⅇ ( x ) tan ( x )−cos ∫ ( x ) xdx

∫ cos ( x ) xdx=xsen (x )+cos (x )

cos ∫ ( x ) xdx

aplicamos laintegracion por partes : ∫ uv '=uv− ∫ u ' v

u=x ,u'=1 , v '=cos (x ) , v=sen (x)

¿ xsen ( x )− ∫ 1 sen ( x )dx

¿ xsen ( x )− ∫ sen ( x )dx

∫ sen ( x )dx=−cos (x )

∫ sen ( x )dx

aplicamos laregla de integracion: ∫ sin(x )dx=(−cos(x ))

¿−cos (x)

xsen ( x )−(−cos ( x ))

Simplificado:=xsin ( x )+cos (x)

¿x tan (x)

cos ( x ) s nⅇ ( x ) tan ( x )−(xsen ( x )+cos (x ))

Simplificado:−xsen (x )−cos ( x )+ x tan(x )cos ( x ) s nⅇ ( x ) tan ( x )

Agregamosunaconstante a lasolucion−xsen ( x )−cos ( x )+ x tan ( x )cos (x ) s nⅇ ( x ) tan (x )

+C

Ejercicio 9. Encuentre el valor promedio de la función g ( x )=|x|−1 en el intervalo [-1,1].

Para solucionar este ejercicio usaremos el teorema del valor medio

gprom=1

b−a∫a

b

g (x )dx

gprom=1

1−(−1)∫−1

1

(|x|−1)dx

gprom=12∫−1

1

|x|dx−12∫−1

1

dx

gprom=12 (∫

−1

0

(−x)dx+∫0

1

xdx)−12∫−1

1

dx

gprom=12 (−x2

2 ]−1

0

+ x2

2 ]0

1

)− x2 ]

−1

1

gprom=12 ((−(0)2

2−

(−1)2

2 )+((1)2

2−

(0)2

2 ))−( (1 )2

−(−1 )

2 )gprom=

12 ( 1

2+ 1

2 )− (1 )

gprom=12−1

gprom=−12

=0,5

Ejercicio 10. La velocidad de un objeto lanzado verticalmente al aire está dado por V ( t )=64−32t m/seg., donde t es el tiempo en segundos, calcule la velocidad promedio, según sea el caso:

a) Durante el primer segundo

V prom= 1b−a

∫a

b

g (x)dx V prom= 11−0

∫0

1

(64−32 t)dx

V prom=1∫0

1

(64−32 t)dx V prom=∫0

1

(64 t−32t 2

2)|10

V prom=[(64 (1 )−32 (1 )2

2 )−(64 (0)−32(0)2

2 )] V prom=48m /seg

b) Entre t = 1 y t = 3 segundos

V prom= 1b−a

∫a

b

g (x)dx V prom= 13−1

∫1

3

(64−32 t)dx

V prom=12∫1

3

(64−32t)dx V prom=12∫1

3

(64 t−32 t 2

2)|31

V prom=12 [(64 (3 )−32 (3 )2

2 )−(64 (1)−32(1)2

2 )] V prom=1

2[ 0 ] V prom=0m / seg

Ejercicio 11. Dado P ( x )=∫1

x2

sen ( t )dt . Utilice el teorema fundamental del calculo para encontrar la derivada

de P ' ( x ) .

P ( x )=∫1

x2

sen (t )dt

Utilizamos la formula del teorema fundamental del calculo

ddx

∫a

u ( x )

f (t )dt=f (u ( x ) )∗u ' ( x )

ddx

∫1

x2

sen (t )dt=sen (x2 )∗2 x

¿2 x∗sen (x2)

Ejercicio 12.

∫−π

π

¿¿

calculamos laintegral indefinida : ∫ ¿

∫ ¿

usamos la siguiente identidad :¿

¿∫1+sen (2x )dx

aplicamos laregla de la suma: ∫ f (x )±g(x )dx= ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx

¿ ∫ 1dx+ ∫ sin (2x )dx

∫ 1dx=x

∫ 1dx

integral deunaconstante : ∫ f (a)dx=x · f (a)

¿1 x

Simplificado:=x

∫ sen (2 x )dx=−cos (2x )2

∫ sen (2 x )dx

aplicamos integracion por sustitucion : ∫ f (g(x )) · g '( x)dx= ∫ f (u)du ,u=g(x )

u=2x :du=2dx ,dx=12du

¿ ∫ sen(u) 12du

∫sin (u )

2du

Sacar la constante : ∫ a · f (x )dx=a · ∫ f ( x)dx

¿ 12∫ sen (u )du

aplicamos laregla de integracion : ∫ sin(u)du=(−cos (u))

¿ 12(−cos (u ))

Sustituimos enla ecuacionu=2 x

¿ 12(−cos (2x ))

Simplificando:=−cos (2 x )

2

¿ x−cos (2 x )

2

agregar unaconstante ala solucion¿ x−cos (2 x )

2+C

calculamos los limites :∫−π

π

¿¿

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )=lim ¿x→b−¿ (F ( x ) )−lim ¿x→a+¿( F ( x ))¿ ¿¿¿

lim ¿x→−π+¿( x− cos ( 2x )

2 )=−12

−π¿¿

lim ¿x→−π+¿( x− cos ( 2x )

2 )¿¿

sustituir lavariable :¿−π−cos¿¿¿

Simplificado:=−12

−π

lim ¿x→π−¿( x− cos (2x )

2 )=π−12¿¿

lim ¿x→π−¿( x− cos (2x )

2 )¿¿

Sustituir la variable :¿ π−cos (2 π )

2

Simplifificar¿ π−12

¿ π−12−(−1

2−π )

Simplificar :¿2π

CONCLUSIONES

REFRENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Instituto ISIV. (1 de diciembre de 2010). Integrales Indefinidas: Definición - Matemáticas II.

[video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=tB0NQate3wE

Ríos, J. (20 de agosto de 2011). Ejercicio de integral indefinida. [video]. Disponible en

http://www.youtube.com/watch?v=6Yer--EF1EY

Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/

Videos_en_texto_Unidad_1.pdf

Ríos, J. (29 de julio de 2012). Teorema Fundamental del Cálculo. [video]. Disponible en

http://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss

Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/

Videos_en_texto_Unidad_1.pdf

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_1.pdf


http://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss



http://www.youtube.com/watch?v=6Yer--EF1EY

http://www.youtube.com/watch?v=tB0NQate3wE

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