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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA

CALCULO INTEGRAL

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

100411A_224

100411_229 CALCULO INTEGRAL

FASE 1

TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR

INGRID JOHANNA PEÑALVER NIÑO – 39.049.654

TUTORNEMESIO CASTAÑEDA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

INGENIERIA INDUSTRIAL

Barranquilla, Colombia

2015


CALCULO INTEGRAL

INTRODUCCIÓN

La integración es una herramienta matemática fundamental del cálculo, esta permite resolver er muchas de las cuestiones en diferentes ciencias del saber humano como la física, la economía, las ciencias sociales entre otras, por eso es necesario conocer los métodos de integración, en el presente documentose presentan diferentes métodos de integración , como lo es el método de sustitución e integración por partes, entre otros como el método de fracciones parciales y sustitución trigonométrica; como lo es en todo la practica hace al maestro y para poder dar solución a situaciones problema de las ciencias mencionadas es necesario conocer el método de solución matemático que estas situaciones requieren


CALCULO INTEGRAL

Objetivo General

Reconocer y manipular de manera adecuada los diferentes métodos de integración que se ha visto en el módulo de cálculo integral.

Objetivos Específicos

Reconocer el uso de sustituciones trigonométricas, para dar solución a integrales. Reconocer el método de integración por partes Entender el método de integración usando fracciones parciales. Realizar sustituciones adecuadas para resolver Integrales Evaluar integrales definidas Reconocer una integral impropia con límites de integración finito


CALCULO INTEGRAL

La antiderivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En algunos textos la antiderivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La anti diferenciación es el proceso inverso a la diferenciación.

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

1. ∫ [ 5x−2

3√x2]dx∫ [ 5x−22 /3]dx=∫ 5dx

x−∫ 2x2 /3dx=5∫ dx

x−2∫ x2/3dx=5|n|x∨−2x5 /3

5 /3+c

¿5|n|x|−65

3√ x5+c=5|n|x|−65x

3√ x2+c

2. ∫ [ sec ( x ) tan (x )+sec2(x) ]dx

¿∫ sec ( x ) tan ( x )dx+∫ sec2 ( x )dx

¿ sec ( x )+ tan (x )+c

3. ∫ x3−1x−1

dx

∫ (x−1)(x2+x+1)(x−1)

dx=∫ (x2+ x+1 )dx=∫ (x2+x+1 )dx

¿∫ x2dx+∫ xdx+∫dx= x3

3+ x

2

2+x+c

4. ∫ [2 sech ( x ) tanh (x )−x ]dx

¿∫2 sech ( x ) tanh ( x )dx−∫ xdx

¿2∫ sech ( x ) tanh ( x )dx−∫ xdx¿2¿

¿−2 sech ( x )− x2

2+c


CALCULO INTEGRAL

El conjunto de todas las antiderivadas de f (x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota con el símbolo ∫ f ( x )dx=F ( x )+C Resolver las siguientes integrales indefinidas:

5. ∫ (5x−4x )dx=¿¿

∫5x dx−∫ 4x dx

1¿5∫¿5 .5x dx− 1

¿4∫ ¿4. 4x dx

1¿5

5x− 1¿ 4.4x+c= 5x

¿5− 4x

¿ 4+c

6. ∫ (xe+ex )dx

∫ xe dx+∫ exdx

xe+1

e+1+ex+c

7. ∫¿¿

∫ 17dx

√1−x2+∫ (x2+1 )dx=17∫ dx

√1−x2+∫ x2dx+∫dx

¿17 ArcSen ( x )+ x3

3+ x+c

8. ∫ [ tan(x )Sen2 (x )Sec ( x )+cos (x) ]dx

∫ [ Sen(x)cos (x)

Sen2 (x ) . 1cos (x )

+cos (x) ]dx


CALCULO INTEGRAL

∫ [ Sen(x )cos (x )

Sen2 ( x )+cos2( x)cos (x )

]dx=∫ Sen ( x ) cos ( x )dxcos (x) [Sen2 ( x )+cos2(x)]

¿∫ Senxdx=−Cosx+c

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis en conclusión.

9. Encuentre el valor promedio de la función g(x)=|x|-1 en el intervalo [-1, 1].

g ( x )=|x|−1 , x∈[−1,1]

-1 1

-x -1 x -1

g ( x )=−x−1 , x∈[−1,0]x−1 , x∈(0,1)

∫−1

1

g ( x )dx=∫−1

1

[|x|−1 ]dx=∫−1

0

(−x−1 )dx+∫0

1

(x−1 )dx

¿− x2

2−x¿ 0

−1+ x

2

2−x ¿1

0=(0−0)−[

−(−1 )2

2−(−1)]+(12

2−1)

¿−(−12

+1)+(12−1)=1

2−1=−1→∫

−1

1

g ( x )dx=−1

Dado que∫a

b

g ( x )dx= (b−a )g ( c )→−1=(1+1 )g (c )→−1=2 g (c )→ 12=g ( c ) . Luego|c|−1=−1

2si c<0 ,−c−1=−1

2→−1+ 1

2=c→c=−1

2si c>0 , c−1=1

2→c=1

2+1=3

2y

32ϵ

Luegoexiste un punto inter c=−12delintervalo [−1,1 ] tal quese cumple que


CALCULO INTEGRAL

∫−1

1

g ( x )dx=2g(−12 )

10. La velocidad de un objeto lanzado verticalmente al aire está dado por V(t)=64-32t m/seg. Donde t es el tiempo en segundos, calcule la velocidad promedio, según sea el caso:

a) Durante el primer segundo b) Entre t=1 y t=3 segundos

V ( t )=64−32t

a) Durante el primer segundo o sea [0,1]

∫0

1

V ( t )dx=(1−0 ) v ( c ) , hay queencontrar unC∈ [ 0,1 ]

¿∫0

1

(64−32 t )dt=64 t−32 t2

2¿1

0=64 t−16 t 2¿ 1

0¿

¿

¿48 ,luego∫0

1

V ( t )=48=1V (c)

V (c )=48osea 64−32c=48

¿−32c=488−64=−32c=−16→c=−16−32

=12

Luego∫0

1

V (t )dt=(1−0 )V (12 ) y 1

2∈[0,1]

b) Entre t=1 y t=3

∫1

3

V ( t )dt=(3−1 )V (c ) , debemosencontrar C∈[1,3]

¿ (64 (3 )−16 (3)2 )−(64 (1 )−64 (1)2 )¿ (192−144 )−(64−64 )=48−0=48

Luego∫1

3

V (t )dt=48=(3−1 )V (c )→48=2V (c)

¿V (c )=482

=24→64−32c=24→32c=24−64

32c=−40c=−40−32

c=54=1

14y efectivamente1

14∈ [1,3 ]

11. Dado P ( x )=∫1

x2

sen (t )dt . Utilice el primer teorema fundamental del cálculo para encontrar la

derivada de P '(x )


CALCULO INTEGRAL

P ( x )=∫1

x2

sen ( t )dt=−cos (t )¿ x2

1=−cos (x2)+cos (1)¿

P ( x )=−cos (x2 )+cos (1)

Observese que P ( x )es derivable paratodo x

12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver: ∫−π

π

( sen ( x )+cos (x))2dx

∫−π

π

( se ( x )+cos (x))2dx

¿∫−π

π

(sen2 ( x )+2 sen ( x ) cos ( x )+cos2( x))dx

¿∫−π

π

(1+2 sen ( x )cos (x ))dx , puesto quesen2 ( x )+cos2 ( x )=1

¿∫−π

π

dx+2∫−π

π

sen ( x ) cos ( x )dx

Seasenx=u→cosx dx=du

∫ sen ( x ) cos ( x )dx=∫ udu=u2

2=sen2(x)

2

∫−π

π

dx+2∫−π

π

sen ( x )cos ( x )dx=x ¿ π−π

+2 sen2(x )

2¿ π−π

¿¿

¿ (π−(−π ))+sen2 (π )−sen2(−π )

¿ π+π+0−0=2 π ,luego∫−π

π

( sen ( x )+cos (x))2dx=2 π

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