Reconocimiento Del Curso Y Actores

ASTRID ELENA MUÑOZ BELTRAN

Código: 1061774916

Calculo Diferencial

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia

Ingeniería De Telecomunicaciones

Popayán 19 de agosto de 2015

ASTRID ELENA MUÑOZ BELTRAN

1061774916

Calculo Diferencial

Ingeniero:

Oscar Carrillo

Tutor y director

Universidad Abierta Y A Distancia – UNAD

Ingeniería De Telecomunicaciones

Popayán 19 de agosto del 2015

Introducción

Es este documento se darán a conocer los datos de los participantes pertenecientes al curso,

Calculo Diferencial, dando a conocer cada uno de sus datos tales como coreos, nueros de

teléfono…ETC.

También se dará a conocer un mapa conceptual donde se mostrara la estructura del Calculo

Diferencial, desprendiendo cada una de sus ramas y los temas que toca cada una de estas.

Además de la solución de tres ejercicios de Limites en el cálculo utilizando dos métodos de

solución.

Desarrollo

Mapa Conceptual Estructura Del Calculo Diferencial

Taller Desarrollado Límites

Problemas con límites

Límites problema #1

lim𝑥→4

𝑥2 − 5𝑥 + 4

𝑥2 − 2𝑥 − 8

Lo primero a realizar es evaluar la función (la ecuación) en el valor que nos dan (4), entonces el 4

entraría a ocupar el lugar de la x quedando de la siguiente manera:

lim𝑥→4

(4)2 − 5(4) + 4

(4)2 − 2(4) − 8

=16 − 120 + 4

16 − 8 − 8

=0

0

Siguiendo las operaciones llegamos a cero, cero sobre cero se denomina una indeterminación,

ya que esto no se puede aceptar como respuesta, hay que buscar la manera de que obtener un

número, una respuesta para lo cual se va a utilizar la Factorización.

Entonces vamos a factor izar tanto el nominador como el denominador de la expresión quedando

de la siguiente forma.

Donde vamos a aplicar el caso del trinomio de la forma 𝑥2+ bx+c

Abrimos los paréntesis,

la raíz cuadrada el primer término seria X, la cual repartimos en cada paréntesis

multiplicamos los signos de los números en parejas donde +x por -5 da como resultado

un – y menos -5 por +4 nos da –

buscamos dos números que multiplicados nos den 4 y cuya suma nos de -5

sabiendo que los dos son negativos los números serian -4 y -1

Abajo vamos a aplicar exactamente el mismo caso.

Paréntesis

Raíz cuadrada de 𝑥2 la repartimos en cada paréntesis

Multiplicación de signos

Buscamos dos números que multiplicados nos den -8 y sumados entre si nos de -2

Sabiendo por los signos que uno de ellos es negativo y el otro positivo pues entonces los

números serian -4 y +2

= lim𝑥→4

(𝑥 − 4)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 4)(𝑥 − 2)

En ese caso podemos encontrar que (x-4) es un factor que se repite arriba y abajo por lo tanto lo

podemos eliminar, y de esa manera vamos a tener el límite de una expresión, que muy

seguramente ya no se va a indeterminar (el resultado no va a ser cero)

¿Porque?, porque x-4 era el factor problema, ósea el causante de que nuestro resultado fuera cero

Como paso final lo que hacemos es volver a evaluar la expresión en 4

= lim𝑥→4

𝑥 − 1

𝑥 − 2

= lim𝑥→4

4 − 1

4 − 2=

3

6=

1

2

Limites problema #2

Vamos a solucionar este límite, para lo cual primero vamos a evaluar la expresión sabiendo que

x es 0.

Remplazamos la x con el 0

Realizamos las operaciones donde 4 + 0 nos daría 4 menos 2 sobre 0

lim𝑥→0

√4 + 0 − 2

0

lim𝑥→0

√4 − 2

0

Raíz de 4 nos da 2 menos 2 sobre 0

2 menos 2 nos da cero y esta es una forma indeterminada o una indeterminación , algo

que como ya vimos no se puede dejar como respuesta por lo que utilizaremos

lim𝑥→0

√2 − 2

0

= lim𝑥→0

√2 − 2

0

= lim𝑥→0

0

0

En este caso la operación que vamos a utilizar para dar solución a este caso va a ser la

racionalización del numerador, más exactamente se utilizara lo que se llama la conjugación.

Veamos cómo se hace:

lim𝑥→0

√4 + 𝑥 − 2

𝑥

Copiamos la expedición nuevamente y la vamos a multiplicar por el conjugado , del

numerador, que en este caso sería la raíz de 4 mas x más 2

(Para un ejemplo recordemos que el conjugado de (a+b) es (a-b) hay que recordar que el

objetivo de la conjugación es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia cuando

multiplicamos una suma por una diferencia (-) eso nos da una diferencia de cuadrados a al

cuadrado menos b al cuadrado,)

Escribiendo la expresión tanto arriba como debajo de la siguiente manera.

Porque no podemos alterar la expresión original, es como si a la larga, la expresión hubiera sido

multiplicada por 1, en otras palabras cuando lo de arriba es lo mismo de abajo es un 1 por lo tanto

nuestra expresión original no se está alterando.

lim𝑥→0

√4 + 𝑥 − 2

𝑥.√4 + 𝑥 − 2

√4 + 𝑥 − 2

A continuación vamos entonces a multiplicar en el numerador y aplicamos lo que

acabamos de mencionar.

Al multiplicar una suma por una diferencia nos va a quedar el primero al cuadrado, menos

el segundo al cuadrado

Abajo anotamos simplemente el producto de X por la ecuación de debajo colocándola en

un paréntesis, por ser un binomio , por tener dos términos

lim𝑥→0

(√4 + 𝑥 )2

𝑥.

(2)2

(√4 + 𝑥) − 2

Primero vamos a trabajar la parte de arriba

En el numerador el cuadrado elimina la raíz cuadrada, por lo tanto queda libre 4+x

lim𝑥→0

4 + 𝑥 − 4

𝑥. √4 + 𝑥 − 2

Siguiendo vemos que 4 menos 4 nos da 0 , por esto se cancelan y queda solamente la X

Seguido ya interactuamos con la ecuación de la parte de abajo y entonces x es igual a x

por lo cual se cancela.

lim𝑥→0

𝑥

𝑥. √4 + 𝑥 − 2

Y de esa manera estamos dándole solución al problema del cero sobre cero, que nos da al

comienzo, veamos porque.

Como x tiende a cero, si arriba X vale 0 y abajo X vale 0, esos son los causantes del 0 sobre 0

que nos estaba dando al comienzo pero que ya se nos van de manera licita por lo tanto nos queda

de la siguiente manera.

lim𝑥→0

1

√4 + 𝑥 − 2

Es decir que finalmente el límite pueda convertido en lo siguiente, y esa expresión la vamos a

evaluar nuevamente en base a 0

lim𝑥→0

1

√4 + 𝑥 − 2

Vamos a hacerlo: 4+0 nos da 4 +2

La raíz de cuatro es 2 + 2

Entonces nos queda 4

Quedando la respuesta de la siguiente forma

lim𝑥→0

1

√4 + 𝑥 − 2=

1

4

Limites problema # 3

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

√𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝟑

√𝒙 − 𝟐 − √𝟐

Vamos a resolver este límite algebraico donde necesitamos saber que le sucede en esta función

cuando X tiende o se aproxima a 4

Lo primero que debemos hacer es evaluar esta expresión ósea la función, justamente

cuando X toma el valor 4

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

√𝟏 + 𝟐(𝟒) − 𝟑

√(𝟒) − 𝟐 − √𝟐

Enseguida resolvemos las operaciones, veamos cómo nos queda

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

√𝟏 + 𝟐(𝟒) − 𝟑

√(𝟒) − 𝟐 − √𝟐=

𝟎

𝟎

Con esta resultado llegamos a lo que se lama , una indeterminación algo que debemos

solucionar, porque el resultado de un límite no puede quedar de esta manera, tenemos que

dar solución a este problema, llamado indeterminación

La estrategia que vamos a utilizar, para solucionar este problema de la indeterminación, es

racionalizar el numerador y el denominador de la expresión y esto lo vamos a conseguir

mediante un procedimiento que se llama conjugación, veamos en que consiste.

Si tenemos una expresión (a+b) entonces su conjugado es (a-b) y viceversa el conjugado de (a-b)

es (a+b), el objetivo de la multiplicación es que al conjugar estas dos cantidades, podamos contar

con 𝑎2 − 𝑏2 lo que se conoce como una diferencia de cuadrados efectos, esto es lo que en

algebra se conoce como un producto notable, llamado, suma por diferencia, y que da origen a una

diferencia de cuadrados.

Pues bien este es el procedimiento que vamos a utilizar para racionalizar el numerador y el

denominador de nuestra expresión, vamos a, multiplicar y dividir por el conjugado, de cada

expresión para de esa manera, conservar la función original.

Vamos entonces con el conjugado del numerador.

Observe que únicamente cambia en signo que conecta las dos cantidades, en este caso como

tenemos – el conjugado es con + pero las dos expresiones o las dos cantidades deben conservar

sus componentes, el primer signo no debe cambiar (+) únicamente el signo intermedio (-). Como

decíamos multiplicamos y dividimos por la misma expresión para garantizar que la función

original no se altere.

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 − 𝟑

√𝒙 − 𝟐 − √𝟐 .

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

Allí mismo vamos a multiplicar por el conjugado, del denominador de la parte de abajo, que será

la raíz cuadrada de x-2 +raíz de 2

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 − 𝟑

√𝒙 − 𝟐 − √𝟐.

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑.

√𝒙 − 𝟐 − √𝟐

√√𝒙 − 𝟐 + √𝟐

Entonces allí estamos alistando todo para aprovechar, este producto notable, que nos va a generar

diferencia de cuadrados. Esto nos va a quedar entonces así:

En la parte superior vamos a efectuar el producto de las primeras dos expresiones

superiores (la primera y la del medio) donde en la segunda encontramos la suma y en la

primera la diferencia o resta y como están multiplicando, nos va a quedar :

La primera, la raíz cuadrada de 1 + 2x todo esto al cuadrado menos la segunda que seria 3

también al cuadrado.

Todo esto lo protegemos por un corchete y va a quedar multiplicado por la tercera

expresión, que vamos a proteger con paréntesis, y vamos a dividir.

vamos al denominador allí vamos a efectuar el producto entre la primera expresión

inferior la última, encontrando en la primera la diferencia

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 − 𝟑

√𝒙 − 𝟐 − √𝟐.

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑.

√𝒙 − 𝟐 + √𝟐

√√𝒙 − 𝟐 + √𝟐

entonces tendremos en la primera expresión inferior la raíz cuadrada de la primera

cantidad al cuadrado menos, la última cantidad que es raíz cuadrada de 2 también elevada

al cuadrado.

Protegemos con corchetes y esto va a quedar multiplicado por la expresión del medio (

recordemos guiándonos en la primera ecuación resuelta en la conjugación), que vamos a

proteger con paréntesis

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

[(√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 )𝟐(−𝟑)𝟐]. (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)

[(√𝒙 − 𝟐)𝟐 − (√𝟐)𝟐]. (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑)

Continuamos con las operaciones y vemos que en la primera ecuación superior vemos que

el cuadrado elimina la raíz quedando 1+2-3 al cuadrado que es 9

Y escribimos la expresión que tenemos enseguida

Nos vamos a la parte inferior donde el cuadrado elimina la raíz, quedando x-2 -2,

protegemos con paréntesis , y escribimos la siguiente ecuación

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

(𝟏 + 𝟐 − 𝟗). (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)

(𝒙 − 𝟐 − 𝟐). (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

Realizamos la primera operación en la primera expresión y la segunda se queda tal cual

Pasamos al denominador donde dejamos x y operamos los otros dos número y la segunda

se queda también intacta

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝟐𝒙 − 𝟖. (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)

(𝒙 − 𝟒). (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

Ahora tenemos la posibilidad de factor izar 2x-8,binomio al cual podemos extraerle factor común

2, entonces 2 es factor de x-4

De esta manera vemos que ya es posible eliminar el factor x-4, que se encuentra en la parte de

arriba y en la parte de abajo, este es justamente el factor problema, el que estaba ocasionando al

principio la indeterminación 0 sobre 0, entonces al cancelar ese factor logramos ya superar el

problema de la indeterminación.

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝟐(𝒙 − 𝟒). (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)

(𝒙 − 𝟒). (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝟐 (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)

√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑

Enseguida lo que debemos hacer es evaluar este límite, vamos a remplazar x cuando toma el

valor 4, en esta expresión, vamos como nos que:

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝟐 (√(𝟒) − 𝟐 + √𝟐)

√𝟏 + 𝟐(𝟒) + 𝟑

Procedemos a resolver las operaciones dentro de la ecuación:

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝟐 (√𝟐 + √𝟐)

𝟑 + 𝟑=

𝟐. 𝟐√𝟐

𝟔=

𝟒. √𝟐

𝟔

Como no podemos continuar con las operaciones podríamos simplificar los números

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝟒. √𝟐

𝟔=

𝟐√𝟐

𝟑

Conclusiones:

El tener conocimientos como los que te da el cálculo , son una gran herramienta ya que como se

puede ver en los tres ejemplos desarrollados, se puede encontrar una respuesta aunque la respuesta

sea 0

Para poder realizar un buen trabajo y la entrega de un gran producto es necesario conocer a las

personas con quienes trabajaras, conocer sus fortalezas como también sus falencias para poder

realizar una buena distribución de trabajo y apoyarse unos a otros

Si hay algo que quieres entender o conocer debes conocer primero su marco de presentación, sus

ideas generales, en este caso su estructura.

Referencias:

Extraído el día 19/08/2015

https://www.youtube.com/watch?v=PCdmkSiEP9A&feature=youtu.be

Extraído el día 19/08/2015

https://www.youtube.com/watch?v=zviGs6hbLvA&feature=youtu.be

Extraído el día 19/08/2015

https://www.youtube.com/watch?v=0X6YADNjNow&feature=youtu.be

Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_ (1Universidad Abierta Y A Distancia UNAD)

Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_2(1Universidad Abierta Y A Distancia UNAD)

Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_3_1 (1Universidad Abierta Y A Distancia UNAD)

Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_3_Parte_2 (1Universidad Abierta Y A Distancia

UNAD)