ACTIVIDAD N°6 TRABAJO COLABORATIVO N°1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Programa de Ingeniería Industrial

Curso de Cálculo Diferencial

ACTIVIDAD DE TRANSFERENCIA UNIDAD 1

DIANA CATALINA USUGA PATIÑO

FRANCIA ESMERALDA VEGA CC. 52331568

LUISA FERNANDA CADAVID TORRES

SANDRA YINETH SERRATO MERCHAN CC. 1.129.535.751

Marzo 30 de 2011 Barranquilla, Colombia

INTRODUCCION

Las sucesiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando trabajamos

con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el aumento del

consumo de electricidad, o el incremento de un capital en función del tiempo. En

Ingeniería, Administración y otras áreas también se nos presentan aplicaciones, que

podemos manejar mediante el concepto de sucesión, con el entendimiento de de los

básicos conceptos de sucesiones y progresiones podemos generalizar, formular y

delimitar las series de datos generadas, es decir, para cada formulación matemática se

establece la cota o límite establecido del comportamiento de la función. En

matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una

función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a

determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este

concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia,

continuidad, derivación, integración, entre otros.

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación

moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las

bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él

estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber

expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera

presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los

1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar

con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a

Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

FASE 1:

1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a.

n Un Un Un

1

2

3

4

5

b.

n Vn Vn Vn

1

2

3

4

5

c.

n Wn Wn Wn Wn

2

1

3

4

5

6

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.

a.

b.

3. Demostrar que

es absolutamente creciente.

Una sucesión es creciente a partir de si y solo si, para todo natural mayor que

se cumple: es decir,

Usando el común denominador

Si evaluamos para n = 3 ya que y observamos el signo:

Como se cumple que para cualquier

Podemos concluir que la sucesión es estrictamente creciente.

4. Demostrar que es estrictamente decreciente.

Una sucesión es decreciente a partir de si y solo si, para todo natural mayor que

se cumple: es decir,

Sabemos que

O bien sea:

Sabemos que el denominador común para esta diferencia de quebrados es

entonces,

Sacando factor común se tiene:

Simplificando

Se observa que siempre es mayor que cero, por tanto

siempre es

negativo, se concluye que la serie es estrictamente decreciente.

5. Hallar la mínima cota superior de

Una sucesión es acotada superiormente, si y sólo si, existe un número real M tal que para todo natural n del conjunto I se cumple que se dice que M es una cota superior de la sucesión. Empezaremos por hallar el sentido de la sucesión evaluando el signo de

Se cumple que por tanto

es siempre negativa, por

tanto

es decreciente. Esto quiere decir que su máximo valor se encuentra

en el inicio de la serie, esto es cuando n = 1.

Evaluando

para n = 1, se tiene.

Ahora si decimos que M=3 es una cota superior de la serie

para todo

numero natural se debe verificar que .

⇒

⇔

⇔

Esto demuestra que M = 3 es la mínima cota superior de

FASE 2:

6. Hallar la cota superior e inferior, determinar si es acotada:

Se empieza realizando la siguiente transformación:

Y se analizan los valores extremos de la sucesión, cuando , cuando n

crece indefinidamente tiende a cero, por tanto .

Por tanto iniciaremos con los valores M = 2 y m = 1.

Una sucesión es acotada cuando lo es superiormente e inferiormente; es decir, cuando

admite una cota superior M y una cota inferior m, se cumplirá entonces para todo

natural que .

Se empieza por demostrar que M = 2 es una cota superior.

Puesto que

⇔

⇔

Ahora decimos que m =1 es una cota inferior.

Puesto que se tiene: y ⇒

⇔

⇔

Por tanto se cumple que , por tanto la sucesión es acotada.

7. Para la sucesión determinar si es una progresión aritmética, y si

lo es, hallar la diferencia común y el primer término.

La forma general de una progresión aritmética es , si se

compara el ejercicio propuesto con la forma general, se nota que son

idénticamente iguales, por tanto la sucesión es una progresión

aritmética, en donde el primer término , y la diferencia común .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

8. Dada la progresión aritmética donde el primer término es 3 y la relación de

recurrencia es , hallar la suma de los 7 primeros términos.

= 3 = = = = = Se observa que -4 se repite veces para cada valor de en la progresión aritmética, Por tanto la forma general es:

Donde: La suma de los 7 primeros términos de la progresión aritmética se define como:

Evaluando para n = 7, se tiene.

La suma de los 7 primeros términos de la progresión es -63

9. Una progresión aritmética tiene como primer término 1, el n-enésimo término

es 15, la sumatoria de los n-primeros términos es 200. Hallar el número de

términos n incluidos en la suma y la diferencia común d.

Para la solución de este ejercicio se tienen las siguientes ecuaciones:

Sabemos que:

Incógnitas:

De la ecuación 2 despejamos y obtenemos:

Reemplazamos este valor en la ecuación 1 y se tiene:

Despejamos n de la ecuación:

Reemplazando los valores conocidos, calculamos el valor de n:

Ahora calculamos el valor de r, de la ecuación 2:

Por tanto la forma completa de la progresión aritmética será:

10. Calcular la suma de:

a. Los 60 primeros números naturales.

Esta es una progresión aritmética de la forma en donde:

b. Los múltiplos de .

Se sabe que los múltiplos de son el conjunto de todos los números

naturales que terminen en 5 o en 0, que sean menores o iguales a 180, entonces

definimos la progresión aritmética de la forma

Resolviendo el valor de para se tiene:

Ahora evaluamos la suma de los primeros 36 múltiplos de 5 con r =5 y se

tiene:

c. Los 10 primeros múltiplos de 9.

Análogamente al ejercicio anterior planteamos la siguiente ecuación:

ahora resolvemos la sumatoria de esta progresión

aritmética de la forma:

Donde:

FASE 3:

11. Hallar los seis primeros términos de la progresión geométrica dada por la

sucesión

n 1 2 3 4 5 6

12. Demostrar que la sucesión

converge a cero.

Sabemos que: = , por tanto

Simplificando el término obtenemos:

Este resultado demuestra que la sucesión

no converge a cero, ya que es

una sucesión constante, cuyo único valor para todo valor de es 1/4.

13. Mostrar que la sucesión

tiene como límite -1/3

Para poder asegurar que la sucesión converge a

, es necesario que para todo

escojamos un natural N tal que, si n > N, entonces L

En nuestro caso:

L ⇔

Efectuando la operación indicada:

L ⇔

L ⇔

L ⇔

Debemos por lo tanto hallar un natural N tal que, si n > N, se cumpla que:

Si ⇔

Por tanto

Ahora despejamos n de:

Si tomamos para N el mayor entero contenido en

se cumplirá la condición

requerida.

, si entonces L

Y podemos asegurar que la sucesión

converge a -1/3.

14. Demostrar que la sucesión

no es convergente, justifique.

Recordando que

, por tanto:

Para demostrar que esta sucesión es creciente y tiende a mas infinito, es necesario

que para todo real B, por grande que sea, determinemos el natural N tal que, si

n>N, entonces

Ya que Si y ⇒ .

Por esta razón demostraremos que la sucesión diverge a más infinito + .

De acuerdo con la definición, necesitamos que para todo real , por grande que

sea, hallar un numero natural tal que, si n>N, entonces

Examinemos la desigualdad:

⇔

Aplicando logaritmos en ambos lados de la ecuación y recordando que

ln ln

⇔ ln ln

ln

ln

Por consiguiente, si le asignamos a N el mayor entero contenido en

se cumple

la condición requerida:

, si ⇒

Y podemos concluir que la sucesión diverge hacia mas infinito . Recordando que Si y ⇒ . con esta ley

demostramos que

es divergente hacia más infinito ., es decir, no

es convergente.

15. Demuestre que la sucesión converge a -1.

Para poder asegurar que la sucesión converge a es necesario que para todo escojamos un natural N tal que, si n > N, entonces L

En nuestro caso:

L ⇔

Efectuando la operación indicada:

L ⇔

Sabemos que:

Por tanto sabemos que:

Además:

Por tanto:

Entonces:

Ahora evaluamos L

L ⇔

L ⇔

L ⇔

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad para eliminar el radical del lado izquierdo de la desigualdad, se tiene:

Destruyendo el radical y efectuando la operación indicada obtenemos:

Dejando las n en el lado izquierdo, se tiene:

Si tomamos para N el mayor entero contenido en

se cumplirá la condición

requerida.

, si entonces L

Y podemos asegurar que la sucesión converge a -1.

CONCLUSION

El trabajo que hemos desarrollado nos permite llegar a las siguientes conclusiones:

Durante el desarrollo del trabajo podemos identificar clases de sucesiones.

Demostrar analíticamente cuando una sucesión es acotada superiormente e

inferiormente.

Pudimos desarrollar diferentes enlaces de conocimientos en los diversos

actividades o ejercicios para el desarrollo del trabajo.

Manejamos la capacidad analítica del pensamiento humano en los factores de los

temas.

Profundización de los diferentes temas aptos para el desarrollo de los próximos

trabajos.

REFERENCIAS

PROTOCOLO ACADÉMICO, CALCULO DIFERENCIAL UNAD. Primer Semestre 2011. Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería.

MODULO CÁLCULO DIFERENCIAL. Jorge Eliecer Rondón Duran. Universidad Nacional Abierta a Distancia. Bogotá D.C. 2010.

http://www.math.com.mx/docs/pro/pro_0005_Funciones_2_Limites.pdf

Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970#613#182#5