10) capitulo 4 -apuntes de fisica general - josé pedro agustin valera negrete

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CAPÍTULO 4

ESTADO LÍQUIDO DE LA MATERIA 4.1 Clasificación de los fluidos 4.1.1 Generalidades Desde los primeros intentos para llevar agua de un sitio a otro sin emplear recipientes, el hombre se intere-só en la mecánica de los fluidos. Sin embargo, por siglos sus conocimientos los obtuvo con base en obser-vaciones, tediosos tanteos y empirismo, con soluciones muy restringidas. A partir del siglo XVIII los matemáticos y físicos intentaron dar respuestas analíticas a muchos problemas del movimiento de los flui-dos, que lograron gracias a una serie de suposiciones simplificadoras; sin embargo, esto condujo al caso extremo de que los resultados tuvieran poca identidad con el fenómeno real. Los fluidos, que incluyen líquidos y gases, desempeñan un papel de gran importancia en nuestra vida dia-ria y particularmente en la actividad profesional del ingeniero. Los respiramos, bebemos, y un fluido vital (la sangre) circula en el sistema cardiovascular de los seres humanos. Existe el océano fluido y la atmósfe-ra fluida. En un automóvil hay fluidos en los neumáticos, en el tanque de combustible, en las cámaras de combustión del motor, en el sistema de lubricación, en los sistemas hidráulicos (frenos y dirección) etc., en los equipos y maquinaria pesada se tienen sistemas hidráulicos (que operan con un líquido incompren-sible) y los grandes aviones de reacción tienen decenas de ellos. La mecánica de los fluidos es una rama de la Física en la cual los principios fundamentales de la mecánica general se aplican en el estudio del comportamiento de los fluidos, tanto en reposo como en movimiento. Dichos principios son los de la conservación de la materia y de la energía, además las leyes del movimien-to de Newton. La hidráulica es a su vez la rama de la mecánica de los fluidos que tiene por objeto –mediante el análisis y la experimentación– estudiar el movimiento y el equilibrio de los fluidos, especialmente el del agua. La parte de la Física que estudia a los líquidos en reposo se denomina “hidrostática”, a diferencia de la que estudia a los líquidos en movimiento “hidrodinámica”. En este capítulo se pretende conocer la forma de medir el flujo de un fluido líquido (agua) también llama-do gasto hidráulico.

JOSÉ PEDRO AGUSTÍN VALERA NEGRETE 232

El concepto “flujo” implica el movimiento o traslado de una cantidad de masa, o de un volumen de mate-ria a través de un área a lo largo de una trayectoria. Flujo, gasto o caudal, son sinónimos en hidráulica, e indican el volumen o la cantidad de materia que se traslada durante un intervalo de tiempo determinado. Así, el gasto se expresa en unidades de masa o de volumen por unidad de tiempo, y se designa con la letra “Q” teniendo la siguiente ecuación:

tmQ = ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛s

lbs

kg mm ,

también se puede considerar el gasto volumétrico para un flujo incompresible y permanente:

tVQ = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

spie

sdm

sm 333

,,

El movimiento de fluidos reales es complicado y no fácil de estudiar, por lo que supondremos el movi-miento de un fluido ideal, que es más fácil de manejar en términos matemáticos, además produce resulta-dos útiles en la práctica, considerando que se trata de un fluido incompresible, es decir, que su densidad tiene un valor constante y uniforme. La clasificación más importante de los fluidos es la siguiente: flujo laminar o estacionario, flujo turbulento, flujo permanente y no permanente, así como flujo uniforme y no uniforme.

Régimen turbulento Régimen laminar o estacionario

Regímenes de desplazamiento de fluidos 4.1.1.1 Flujo laminar o estacionario Es el flujo en donde las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias uniformes en capas o láminas, deslizándose suavemente una capa sobre la adyacente. En el flujo uniforme, la velocidad del fluido en movimiento en cualquier punto no cambia con el tiempo. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad, que relaciona a la tensión de cortadura τ con la velocidad angular de defor-mación por medio de una propiedad física del fluido llamada viscosidad (ver tema 4.2). En el flujo laminar la acción de la viscosidad frena la tendencia a la turbulencia. El flujo laminar no es estable cuando es pe-queña la viscosidad, o grande la velocidad o el caudal y se rompe transformándose en turbulento.

ESTADO LÍQUIDO DE LA MATERIA 233

4.1.1.2 Flujo turbulento En el flujo turbulento las partículas del fluido se mueven en trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de movimiento de una porción del fluido a otra, de manera semejante al inter-cambio de cantidades de movimientos moleculares. Es el más frecuente en las aplicaciones prácticas de la ingeniería. Las partículas fluidas implicadas en el intercambio de cantidades de movimiento pueden tener desde un tamaño muy pequeño (unos pocos de miles de moléculas) hasta muy grande (miles de metros cúbicos en la turbulencia atmosférica). En los casos en que el flujo puede ser unas veces turbulento y otras laminar, el turbulento origina una mayor tensión de cortadura en el fluido y es la causa de que una mayor proporción de energía mecánica se convierta en térmica. Así en el flujo turbulento, la pérdida de energía mecánica varía aproximadamente con el cuadrado de la velocidad, mientras que en el laminar varía li-nealmente con la velocidad. El proceso turbulento de violento intercambio de cantidades de movimiento origina una continua conversión de energía mecánica en energía térmica. 4.1.1.3 Fluido ideal Un fluido ideal no tiene fricción, es incompresible y no debe confundirse con un gas ideal, la suposición de un fluido ideal es útil en el análisis de situaciones de flujo que comprenden grandes extensiones de fluidos. Un fluido sin rozamiento es el que se supone tiene viscosidad nula y que no es turbulento, por lo que no hay conversión de energía mecánica en térmica durante el movimiento. Si un fluido ideal está ini-cialmente en reposo, se demuestra que todas las partículas deben continuar teniendo la misma energía mecánica total. Este tipo de flujo se llama potencial o irrotacional. La capa de fluido en la inmediata vecindad de una pared sólida se llama capa límite y el fluido de su in-terior debe considerarse como un fluido real, es decir, poseyendo viscosidad. Existe una tensión de corta-dura en la capa límite y se origina una conversión de energía mecánica en energía térmica. Cuando un gas fluye sin cambio alguno de temperatura se dice que el flujo es isotermo. Cuando el flujo es tal que no entra ni sale calor a través de los límites del fluido, es adiabático. El flujo adiabático reversible (adiabático sin rozamiento) se llama flujo isoentrópico. Cualquiera que sea la naturaleza del flujo, han de cumplirse:

a) La ley de Newton del movimiento para cualquier partícula y en cualquier instante. b) La ecuación de continuidad, es decir, el hecho de que la masa que entra en un pequeño volumen

en la unidad de tiempo sea igual al incremento de masa en la unidad de tiempo. 4.1.1.4 Flujo permanente y no permanente El flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. La misma generalización se aplica a la densidad, presión, temperatura, etc. El flujo es no permanente cuando las condiciones en algún punto cambian con el tiempo. Por ejem-plo, cuando se bombea agua por una tubería con caudal constante se tiene un flujo permanente. Si el agua se bombea a través de una tubería y el caudal fuese creciente con el tiempo, el flujo sería no permanente. 4.1.1.5 Flujo uniforme y no uniforme Un flujo es uniforme cuando en cualquier punto del fluido el vector velocidad es idéntico (en magnitud, dirección y sentido) en un instante dado. En el flujo de un fluido real en un conducto abierto o cerrado, la


definición anterior puede extenderse con un pequeño error en algunos casos aun cuando el vector veloci-dad en las paredes es siempre cero. Cuando todas las secciones rectas paralelas del conducto son idénticas (conducto prismático) y la velocidad media en cada sección recta es la misma en un instante dado, el flujo se dice que es uniforme. Un flujo es no uniforme cuando el vector velocidad varía en un instante dado de un punto a otro. Un líquido que se bombea a través de una tubería recta de sección uniforme es un ejemplo de flujo uniforme. Un líquido que fluye a través de una tubería de sección variable o de una tubería curva-da es un ejemplo de flujo no uniforme.

4.2 Viscosidad absoluta o dinámica )( µ y viscosidad relativa o cinemática )(ν Definimos a un fluido como una sustancia que se deforma continuamente cuando se somete a una tensión de cortadura o esfuerzo tangencial (τ ) por muy pequeña que ésta sea. Una fuerza cortante es la com-ponente tangente a la superficie de la fuerza ( ) que dividida por el área de dicha superficie, es la tensión de cortadura media sobre el área considerada.

F

En la siguiente figura se representa una sustancia que se ha colocado entre dos láminas paralelas lo suficientemente largas para que pueda despreciarse el efecto de los bordes. La lámina inferior está quieta y sobre la superficie se aplica una fuerza que origina una tensión de cortadura ,F AF en la sustancia colocada entre las láminas (A es el área de la lámina superior). Cuando ésta fuerza por muy pequeña que sea, hace mover a la lámina superior con una velocidad constante (no nula) se pue-de concluir que la sustancia situada entre las láminas es un fluido.

,F

du

dy

U

u y

Deformación resultante de la aplicación de una fuerza cortante constante = velocidad en la lámina superior con una altura máxima “t” U El fluido en inmediato contacto con la pared sólida tiene la misma velocidad que la pared, es decir, no hay ningún deslizamiento del fluido sobre la pared. El fluido del área abcd se mueve hasta ocupar una nueva posición de manera que cada partícula fluida se mueve paralelamente a la lámina y la velocidad varía uniformemente desde cero en la lámina de reposo hasta U en la lámina superior. La experiencia demuestra que si las otras magnitudes se mantienen constantes, es directamente proporcional a

,'' dcab

F A y a e inversamente proporcional a de manera que: U ,t

tUAF µ=


siendo µ el factor de proporcionalidad que hace intervenir el efecto del fluido de que se trate. Como la tensión de cortadura es:

AF

=τ

resulta : t

Uµτ =

La relación tU es la velocidad angular de la línea o la velocidad angular de deformación del fluido, es decir, la disminución del ángulo en la unidad de tiempo. La velocidad angular puede también es-cribirse

,abbad

dydu y ambas, tU y dydu , expresan la variación de velocidad dividida entre la distancia en que esta variación se produce. El gradiente de velocidad dydu puede también indicar el cociente de la velocidad con que una capa del fluido se mueve con relación a la capa adyacente por la distancia entre las capas. En forma diferencial puede escribirse:

dyduµτ =

es decir, existe una proporcionalidad entre la tensión de cortadura y la velocidad de deformación angular de un movimiento unidimensional de un fluido. El factor de proporcionalidad se llama viscosidad del fluido, y la ecuación inmediata anterior es la ley de Newton de la viscosidad. 4.2.1 Viscosidad absoluta o dinámica ( µ ) La viscosidad absoluta µ es la propiedad del fluido en virtud de la cual éste ofrece resistencia a las tensio-nes de cortadura; las melazas y el alquitrán son líquidos muy viscosos, el agua y el aire poco viscosos ya que la ley de la viscosidad de Newton establece que para una velocidad angular de deformación del fluido, la tensión de cortadura es directamente proporcional a la viscosidad. La viscosidad de un gas aumenta con la temperatura mientras que la de un líquido disminuye, ya que la tensión de cortadura depende de la cohesión de la sustancia y del grado de transferencia de cantidad de movimiento de sus moléculas. Un líquido con moléculas más cercanas que un gas tiene fuerzas de cohe-sión mayores y como dicha cohesión disminuye con la temperatura a la viscosidad le sucede lo mismo, por otra parte un gas tiene fuerzas cohesivas muy pequeñas y la mayor parte de su resistencia a la tensión de corte es resultado de la transferencia de cantidades de movimientos moleculares, y como se incremen-tan con la temperatura la viscosidad aumenta. Las unidades de la viscosidad absoluta se determinan despejando µ de la ecuación de la ley de Newton, es decir:


dyduτµ =

Las unidades del esfuerzo de cortadura en el sistema absoluto cgs son: AF

=τ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2cmdina

y las de la velocidad angular son: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

cmdys

cmdusiendodydu :

entonces: ssxcm

cmcms

cm

dydu 1

===

sustituyendo en la ecuación:

dyduτµ =

tenemos: 23

2

cmsxdina

cmsxcmxdina

sxcmcmcmdina

===µ

la unidad de viscosidad anterior recibe el nombre de poise y es igual a:

211cm

sxdinapoise = y también: sxcm

gpoise m11 =

Ejemplo 4.1: Demostrar que es equivalente a poise1sxcm

gm1

Solución:

Recordemos las equivalencias: 211cm

sxdinapoise = y 211s

cmxgdina m=

Entonces: sxcm

cmxgcm

scmxg

cmdina

scmxg

xsxdinapoise m

mm

222

2

111

1

11 ===

sxcmgpoise m11 =∴


El agua a 20°C tiene una viscosidad de 1.0 centipoises (centésima parte del poise).

Dimensionalmente µ se expresa como: [ ]TLF 2− También se utilizan para indicar a la viscosidad absoluta, otras unidades que se muestran en tablas y en gráficas, de tal manera que en el sistema absoluto MKS se tiene para µ :

Viscosidades absolutas µ de algunos gases y líq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22 ,

msxkg

msxN

uidos


Tabla de viscosidades absolutas o dinámicas de algunos fluidos

Fluido

Temperatura °C

Viscosidad dinámica

2msxN

=µ

Aceite para motor (SAE 20) 20 (230 a 300) x 10-3



Agua 0 1.8 x 10-3

Agua 20 1.0 x 10-3

Agua 100 0.3 x 10-3

Aire 0 0.0171 x 10-3

Aire 20 0.0182 x 10-3

Aire 40 0.0193 x 10-3

Alcohol etílico 20 1.2 x 10-3

Bióxido de Carbono CO2 20 0.015 x 10-3

Gasolina 20 0.29 x 10-3

Glicerina 20 1500 x 10-3

Hidrógeno 0 0.009 x 10-3

Sangre (entera) 37 4.0 x 10-3

Sangre (plasma) 37 1.5 x 10-3

Vapor de agua 100 0.013 x 10-3

Recordemos que: poisessxPam

sxN 1012 ==1

4.2.2 Viscosidad relativa o cinemática ( v ) Por otra parte tenemos a la viscosidad relativa o cinemática ν que se define como el cociente de la vis-cosidad µ entre la densidad ρ :

ρµν =

entonces las unidades de la viscosidad relativa son: s

cmsxcmxg

cmxg

cmg

sxcmg

m

m

m

m23

3

111

1===ν


y en el sistema absoluto cgs se le llama stoke a: s

cmstoke2

11 =

Dimensionalmente ν se expresa como: [ ]TL2 La viscosidad es prácticamente independiente de la presión y depende únicamente de la temperatura para ambos casos (cinemática y dinámica). De aquí que en el estudio de la estática de los fluidos no hay que considerar fuerzas cortantes porque no existen en un fluido en reposo y las únicas tensiones que quedan son las normales o presiones debidas al peso y a las fuerzas normales a las superficies de las porciones consideradas.

Viscosidades cinemáticas ν de algunos gases y líquidos Los gases están a presión atmosférica normal


Tabla de la viscosidad relativa ν (cinemática) de diferentes líquidos

Líquido

Temperatura

[ °C ]

ν

[ stoke = cm2/ s ]

Aceite lubricante 20 1.7200

Agua dulce 20 0.0101

Alcohol 18 0.0133

Gasolina 18 0.0065

Mercurio 20 0.0157

Petróleo ligero 18 0.2500

Petróleo pesado o crudo 18 1.4000

Tabla de viscosidades absolutas y relativas para diferentes temperaturas del agua

Temperatura

[ °C ]

µ

[ centipoise ]

ν

[ centistoke ]

0 1.792 1.792

10 1.308 1.308

20 1.005 1.007

30 0.801 0.804

40 0.656 0.661

50 0.549 0.556

60 0.469 0.477

70 0.406 0.415

80 0.357 0.367

90 0.317 0.328

100 0.284 0.296


Ejemplo 4.2: Efectuar la conversión de unidades de s

m 2

1 a , y de stokes 21m

sxkg a . poises

1) Primera conversión:

stokesxs

cmm

cmxs

ms

m 42

2

222

101000,101000,1011 ===

2) Segunda conversión:

poisescm

sxdinacm

mxkg

dinasxm

sxkgm

sxkg 1.981.98000,101

1000,98111 22

2

22 ===

Ejemplo 4.3: Un líquido tiene una viscosidad de , y una densidad relativa de 0.87, calcular: poises055.0 1) La viscosidad dinámica µ en unidades del sistema internacional SI. 2) La viscosidad cinemática ν en y en el SI. stokes Datos: Fórmulas y equivalencias:

poises055.0=µ AF

=τ OH

matrel

2ρρ

ρ =

87.0=relρ dyduµτ = 211

cmsxdinapoise =

tUAF µ=

sxcmg

poise m11 =

ρµν =

scmstoke

2

11 =

Solución: 1) Convertir las unidades de µ al sistema internacional: poises055.0=µ

2

2

2 1000,10

000,9811055.0055.0

mcmx

dinaskgx

cmsxdinapoises ==µ

24

2 106.500056.0m

sxkgxm

sxkg −==


2) Hallar la viscosidad cinemática en stokes y en unidades del SI: ρµν =

OHrelmat x2

ρρ=ρ

33 87.0187.0cmg

cmg

x mmmat ==ρ

22

4

3

2

2

3

2

387.0055.0

87.0

055.0

87.0

055.0

87.0

055.0sxcmxg

sxcmxg

cmgcm

sxscmxg

cmgcm

sxdina

cmg

poises

m

m

m

m

mm====ν

stokes.s

cm. 063006302

==

s

mxs

mcm

mxs

cm 26

2

2

22

1032.600000632.0000,101063.0 −===ν

4.3 Líquidos en reposo, tensión superficial y capilaridad 4.3.1 Líquidos en reposo La estática de los fluidos comprende dos partes: el estudio de la presión y de sus variaciones a través del fluido, y el estudio de las fuerzas debidas a la presión sobre superficies finitas. Al no haber movimiento de una capa del fluido con relación a la adyacente, no habrá tensiones de cortadura en el fluido. Por eso en la estática de los fluidos sobre un cuerpo libre únicamente actúan fuerzas normales debidas a la presión. F

Los fluidos ejercen presión en todas las direcciones y sentidos


Es muy significativa la manera diferente en que actúa una fuerza sobre un fluido y sobre un sólido. Puesto que un sólido es un cuerpo rígido, puede soportar que se le aplique una fuerza sin que se origine un cam-bio significativo en su forma. Un líquido, por otro lado, puede sostener una fuerza sólo en una superficie cerrada o frontera. Si un fluido no está confinado, se desplazará bajo la acción de un esfuerzo cortante en lugar de deformarse elásticamente. La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene, siempre actúa per-pendicularmente a dichas paredes. Esta propiedad característica de los fluidos es la que hace tan útil el concepto de presión. Además es im-portante saber que los fluidos ejercen presión en todas las direcciones. El estudio de los líquidos en reposo o estática de los fluidos, es casi una ciencia exacta, ya que el peso específico es la única magnitud que debe determinarse experimentalmente. 4.3.2 Tensión superficial ( σ ) La superficie de un líquido en reposo se comporta como una membrana alargada bajo tensión. Por ejem-plo, una gota de agua en el extremo de una llave que gotea, o colgando de una rama delgada en el rocío de la mañana, adquiere una forma casi esférica como si fuera un pequeño globo lleno de agua. En la superficie de contacto entre líquido y gas parece formarse en el líquido una película o capa especial, debida en apariencia a la atracción de las moléculas del líquido situadas por debajo de la superficie. Es un sencillo experimento colocar una aguja pequeña en la superficie del agua en reposo y observar cómo es soportada en este lugar por la película. Esta propiedad de la película superficial de ejercer una tensión se llama tensión superficial y es la fuerza necesaria para mantener la unidad de longitud de la película en equilibrio. Se representa con la letra T y se define como la fuerza F por unidad de longitud L que actúa a través de cualquier línea en una superficie, tendiendo a cerrar la superficie:

LFT = [ ]1−LF

La tensión superficial del agua varía desde mkg00745.0 a hasta C°20 mkg00599.0 a . Las tensiones superficiales de otros líquidos se dan en la siguiente tabla:

C°100


Tensión superficial de los líquidos más comunes en contacto con el aire a 20°C

Líquido ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛mkgT

Aceite: crudo 0.0024 a 0.0039 de lubricación 0.0036 a 0.0039 Agua 0.00740 Alcohol etílico 0.00228 Benceno 0.00294 Keroseno 0.0024 a 0.0033 Mercurio rodeado de: agua 0.0400 aire 0.0524 vacío 0.0495 Tetracloruro de carbono 0.00272

Por la acción de la tensión superficial aumenta la presión dentro de una gotita de un líquido o dentro de un pequeño chorro de líquido. Para una pequeña gotita esférica de aproximadamente radio r , la presión necesaria para equilibrar la fuerza debida a la tensión superficial T se calcula considerando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre semiesférico.

P

Demostración: 1) Si: y PAF = 2rA nciacircunfere π=

entonces: ecuación (1) 2rPF π=

2) De la ecuación para tensión superficial: LFT = ⇒ TLF =

siendo L el perímetro de la circunferencia: rDL ππ 2== entonces: TrF π2= ecuación (2)


3) Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: TrrP ππ 22 =

rTP 2

= ecuación (3) [ 2−LF ] para un chorro cilíndrico de radio r, considerando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre semicilín-drico, resulta:

rTP = ecuación (4)

Ambas ecuaciones (3) y (4) prueban que la presión es tanto mayor cuanto menor es el radio de la gotita o del cilindro. 4.3.3 Capilaridad La tensión superficial juega un importante papel en el fenómeno llamado capilaridad. Es una observación común que el agua en un recipiente de vidrio se eleva ligeramente donde toca a éste, y decimos que el agua moja al vidrio. Por otra parte, el mercurio sufre una depresión donde toca al vidrio, el mercurio no moja al vidrio. Si un líquido moja o no a una superficie sólida es determinado por la resistencia relativa de las fuerzas cohesivas entre las moléculas del líquido comparada con las fuerzas adhesivas entre las molé-culas del líquido y aquellas del recipiente. La cohesión se refiere a la fuerza entre moléculas del mismo tipo y la adhesión a la fuerza entre moléculas de tipos diferentes. El agua moja al vidrio porque las molé-culas de agua son más fuertemente atraídas a las moléculas de vidrio que por otras moléculas de agua, es decir, tiene mayor adhesión que cohesión. Lo opuesto es cierto para el mercurio; las fuerzas cohesivas son más fuertes que las fuerzas adhesivas. En tubos con diámetros muy pequeños se observa que los líquidos suben o bajan con respecto al nivel del líquido que los rodea. Este fenómeno de capilaridad hace que se llame a dichos tubos delgados: capilares. Que el líquido suba o baje depende de las resistencias relativas de las fuerzas adhesivas y cohesivas seña-ladas anteriormente. El agua se eleva en un tubo de vidrio mientras que el mercurio desciende. La cantidad real de elevación (o descenso) depende de la tensión superficial, que es lo que impide que la superficie del líquido se rompa.

φ

φ

Tubo de vidrio en agua Tubo de vidrio en mercurio


La atracción capilar se origina por la tensión superficial y por el valor de la relación de la adhesión entre líquido y sólido a la cohesión del líquido. Cuando un líquido moja al sólido, la acción de la ten-sión superficial es causa de que el líquido se eleve dentro de un pequeño tubo vertical que se sumerja parcialmente en él. Para líquidos que no mojen al sólido, la tensión superficial tiende a hacer descen-der el menisco en un pequeño tubo. Para evitar los efectos de la capilaridad en manómetros hay que usar un tubo de 1 cm de diámetro o mayor. Cuando el ángulo de contacto entre líquido y sólido se conoce, la altura capilar puede conocerse si se supone una cierta forma al menisco. Ejemplo 4.4: El tubo de un barómetro de mercurio tiene 3 mm de diámetro, la tensión superficial a 20°C tiene un valor de cmdinas466 ; el peso específico del mercurio (a nivel del mar) es de .6.13 3cmg=γ ¿Cuál será la depresión (descenso de la columna barométrica) experimentada por el mercurio? Datos: Ecuaciones:

mmD 3= ⇒ mmr 5.1=LFT =

cmdinasT 466= TrF π= 2

36.13 cmg=γ Vw

=γ

Solución: 1) Efectuemos la demostración analítica a partir de la expresión para tensión superficial:

LFT = ⇒ TLF =

Recordemos que la capilaridad es un fenómeno de adherencia que consiste en la ascensión de un líquido en un tubo capilar (delgado como un cabello) la altura alcanzada por el líquido será mayor cuanto menor sea el diámetro del tubo y mayor la adherencia entre el líquido y el material del tubo capilar; sabemos que un tubo capilar es un cilíndrico cuya sección transversal es una circunferencia de perímetro L.

rDL ππ 2== en donde r es el radio del tubo capilar entonces sustituyendo en la ecuación: TLF = tenemos: TrF π2= ecuación (1) el líquido asciende hasta que el peso de su columna se equilibre con la propia fuerza F, y de acuerdo con

la expresión de peso específico Vw

=γ tenemos: Vw γ=

para la columna de mercurio del barómetro:

321Volumen

hrw 2πγ=


considerando según el principio de la hidrostática que la fuerza F que actúa hacia abajo sobre un punto del fluido a una altura h o depresión es igual a su peso w , tendremos:

wF = por lo tanto: ecuación (2) hrF 2πγ= igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: hrTr 22 πγπ = hrT γ=2

rTh

γ2

= ecuación (3)

en la ecuación anterior las literales empleadas significan: h, la altura alcanzada en la depresión por el mer-curio; F, la fuerza aplicada a cada unidad de longitud, T, la tensión superficial.

2) Hallemos el valor de la altura deprimida alcanzada por el mercurio con la expresión: rTh

γ2

=

cm

cmg

cmg

cmg

dinasgx

cmdinas

cmxcm

gcm

dinasxh 4657.0

04.2

95.0

04.2

9811932

15.06.13

4662

223

====

3) Efectuemos el mismo análisis que en el punto (2) considerando que el diámetro del tubo capilar es de

, es decir, : mm1 cmr 05.0=

cm

cmg

cmg

cmg

dinasgx

cmdinas

cmxcm

gcm

dinasxh 397.1

68.0

95.0

68.0

9811932

05.06.13

4662

223

====

En el caso de una sustancia como el mercurio que no moja las paredes del tubo capilar, se observa que la superficie es convexa y que a menor diámetro el nivel del mercurio (con referencia al nivel original del mercurio para un tubo no capilar) es menor, este fenómeno se denomina depresión. Por la razón anterior, el resultado obtenido para dos diámetros diferentes, implica una mayor depresión cuando el diámetro del tubo capilar es menor. Si la sustancia es agua, en lugar de depresión tendremos para un tubo capilar, un


aumento en la altura o elevación (comparándola con la del nivel original para un tubo no capilar) la super-ficie es cóncava y se mojarían las paredes. 4.3.3.1 Ley de Jurín De los fenómenos observados en los tubos capilares y en observaciones de láminas paralelas cuya distan-cia de separación, es de la magnitud de los capilares, se obtiene que: para un mismo líquido las magni-tudes de las ascensiones o depresiones en los tubos capilares, están en razón inversa de los diámetros interiores de los capilares. Entre las láminas paralelas el fenómeno tiene la misma intensidad, cuando la distancia de separación sea igual al radio del capilar correspondiente. Los fenómenos de capilaridad se observan en las mechas de las lámparas de alcohol, de aceite y de petró-leo; la humedad que se ve en algunos muros se debe a los fenómenos de capilaridad del material de cons-trucción empleado. 4.4 Líquidos en movimiento. Ecuación de continuidad, gasto hidráulico o me-

dición de flujo 4.4.1 Líquidos en movimiento Para el estudio de los líquidos en movimiento debemos analizar los fundamentos analíticos y las ecuacio-nes de continuidad, energía y cantidad de movimiento y las principales aplicaciones en el campo de la ingeniería. El efecto de la viscosidad y la conversión de energía mecánica en térmica, el trabajo de flujo y la entalpía son conceptos que será necesario aplicar en nuestros cálculos. Sabemos que al movimiento de un fluido se le llama flujo y se clasifica de muchas maneras, tales como laminar, turbulento, real, ideal, isotermo, isoentrópico (adiabático reversible) permanente, no permanente, uniforme y no uniforme. En nuestro estudio del movimiento (dinámica) de los fluidos, supondremos que todos ellos presentan un flujo laminar, o un flujo turbulento. 4.4.2 Ecuación de continuidad Una observación que frecuentemente realizamos desde niños, corresponde a cerrar parcialmente con el dedo pulgar la abertura de la manguera con la que regamos un jardín, incrementando con ello la velocidad de salida del agua y disminuyendo la presión. La deducción de una expresión algebraica que relacione a la velocidad del flujo uniforme a régimen per-manente de un fluido ideal y el área de la sección transversal de una tubería, en general considera el gasto:

AtAl

tVQ v===


En donde A es el área de la sección transversal del ducto, es la distancia recorrida por el flujo y v su velocidad. Por lo tanto la ecuación que representa la continuidad de flujo es:

l

AQ v=

La mayoría de las ecuaciones que cuantifican el gasto de fluidos líquidos se aplican a sustancias cuyo movimiento es de régimen estacionario, currentilíneo o laminar. Cuando se cumplen condiciones adecuadas, el movimiento de un fluido (líquido o gas) es de un tipo rela-tivamente sencillo, llamado estacionario o laminar. Si el movimiento es de este tipo, cada partícula que pasa por un punto “ ”, sigue exactamente la misma trayectoria que las partículas precedentes que pasaron por dicho punto. Estas trayectorias se denominan “líneas de flujo” o “líneas de corriente” y se muestran en la siguiente figura.

a

c • •a •b

flujodelínea

ducto

Líneas de flujo o líneas de corriente Si la sección transversal del tubo varía de un punto a otro, la velocidad de cada partícula variará a lo largo de su línea de corriente; pero, en cualquier punto fijo del tubo, la velocidad de la partícula que pasa por dicho punto es siempre la misma. Cualquier fluido real, a causa de su viscosidad, tendrá una velocidad mayor en el centro del tubo que en las partes más alejadas de él como muestra la figura (a) pero, para los fines de nuestro estudio se considerará que la velocidad del fluido es la misma en toda la sección del tubo, tal como se indica en la figura (b) don-de las flechas indican la magnitud del vector velocidad en cada punto.

a) Fluido Real b) Fluido Ideal

máxv cte=v

Velocidades dentro de una tubería

El movimiento de un fluido es de tipo estacionario siempre que la velocidad no sea demasiado grande y los obstáculos, estrechamientos o curvas del ducto no sean tales que obliguen a las líneas de corriente a


cambiar su dirección bruscamente. Si no se cumplen estas condiciones, el movimiento es de tipo más complicado y se denomina “flujo turbulento”. Debido a que el fluido es incompresible y dadas las áreas y , las velocidades y y el tiempo

se tiene que la “ecuación de continuidad” para el movimiento estacionario de un fluido incompresible es: 1A 2A 1v 2v

t

2211 vv AA = )1(

1A 2A

t1v t2v

)2(

Variación de la velocidad en una tubería con reducción de diámetros La ecuación de continuidad es consecuencia del principio de conservación de la masa, el cual establece que la masa dentro de un sistema permanece constante con respecto al tiempo. Para n secciones: nn AAAQ vvv 2211 ==== K ( )anteconstA ii =v Una consecuencia obvia de esta ecuación es que la velocidad aumenta cuando el área de la sección trans-versal del ducto disminuye, e inversamente, cuando el área de la sección aumenta, la velocidad del fluido disminuye.

De la expresión de velocidad tl

=v y para las secciones (1) y (2) de la tubería:

2122

11

vv

lltltl

≠⎭⎬⎫

==

como el volumen es constante: 2211 AlAlV == Sustituyendo: 21 lyl tAtAV 2211 vv ==

de la ecuación: At

tAtVQ vv

===

AQ v=


Ejemplo 4.5: Por una manguera de de diámetro fluye gasolina con una velocidad promedio

de

gadapul1

spie5 : 1) ¿Cuál es el gasto en s

pie3?, 2) ¿Cuántos minutos son necesarios para llenar un recipiente de

20 galones?

)1(cciónse )2(cciónse

spies5v1 = gpuld 1=

Datos: Ecuaciones:

?5v1

=

=

=

Q

gpuld

spie )(?

20nutosmit

galonesV==

2211 vv

v

AA

tVQ

AQ

=

=

=

Solución: 1) Hallar el área de la sección transversal de la manguera: 2rA π=

( ) 2422

222 10067.50005067.0

000,101067.527.11416.3 mxm

cmmxcmcmxA −====

( )

22

2224 005447.0

5.301067.510067.5 pie

cmpiexcmmxA === −

2) Hallar el gasto a partir de la ecuación de continuidad: AQ v=

s

piepiexs

pieQ3

2 02727.0005447.05 ==

3) Obtener las siguientes equivalencias:

( )

( )3

3

33

3

33 0353146.0

31684659.2811

048.3111 pie

dmpiexdm

dmpiexdmlitro ===

litrosgalón 785412.31 =


33

13368.01

0353146.0785412.31 pielitro

piexlitrosgalón ==

galonesgalonespie 4805.713368.0

11 3 ==

4) Hallar el valor del tiempo requerido para llenar un recipiente cuyo volumen es (obte-

ner el equivalente en ) aplicando la expresión de gasto hidráulico: galonesV 20=

3pie

tVQ = ⇒

QVt =

33

6736.24805.7120 pie

galpiexgalV ==

min634.160min10418.98

02727.0

6736.23

3

===s

xs

spiepiet

Ejemplo 4.6: Por un tubo de de diámetro fluye agua a razón de cm6 s

m6 ; al conectarlo a otro tubo de de diámetro ¿Cuál es la velocidad en el tubo pequeño? ¿Es el gasto mayor en dicho tubo? cm3

cmd 32 = cmd 61 =

?=2v sm6v1 =

12 vv: >dcontinuidadeecuaciónlade Datos: Ecuaciones:

cmdcmdsm

366v

2

1

1

===

2

21

v

rAQQAQ

π===


Solución: 1) De la expresión de continuidad hallar al gasto: 111 v AQ =

( )24

22

222

1

102744.28

00282744.0000,1012744.2831416.3

mx

mcm

mxcmcmxA

−=

===

smmx

smQ

32

1 01696.0002827.06 ==

2) De la expresión de continuidad para el tubo de diámetro menor sabemos que Q2 = v2 A2, por lo que la

velocidad queda definida por la ecuación 2

22v

AQ

= recordando que: 21 QQ =

( )

24

22

222

2

1006867

000706860000101

068675114163

mx.

m.cm,

mxcm.cm.x.A

−=

===

sm

ms

m

9934.2300070686.0

01696.0v 2

3

2 ==

3) Por la ecuación de continuidad sabemos que el gasto en ambos tubos es igual ( ) y las variacio-nes se presentan en la velocidad y en la presión, recordando que a mayor velocidad menor presión y vice-versa.

21 QQ =

4.4.3 Gasto hidráulico, flujo a través de tubos circulares El flujo viscoso se presenta en una gran diversidad de situaciones, como en el aceite que se desplaza por una tubería, un líquido forzado a pasar por la aguja de una jeringa hipodérmica, o la sangre que se despla-za en el sistema circulatorio humano. Por lo que es importante conocer los factores que influyen en el gasto hidráulico. Primero es necesario mantener una diferencia de presión entre dos sitios a lo largo del tubo para que fluya el líquido. Segundo, un tubo largo ofrece mayor resistencia al flujo que uno corto, y Q es inversamente proporcional a la longitud de la tubería; las tuberías largas tienen estaciones de bombeo en diferentes sitios a lo largo de la línea para compensar la caída de presión. Tercero, los fluidos de alta viscosidad fluyen con más dificultad que los de baja viscosidad, y Q es inversamente proporcional a la viscosidad µ . Por últi-mo, el gasto volumétrico es mayor en un tubo de mayor radio, si son iguales los demás factores.


La distribución de velocidades, el caudal y la caída de presión pueden determinarse analíticamente en el caso de un tubo circular recto y un flujo laminar permanente. Si un fluido no tuviese viscosidad, podría fluir a través de un tubo a nivel sin tener que aplicar una fuerza. Debido a la viscosidad, una diferencia de presión entre los extremos de un tubo es necesaria para el flujo estacionario de cualquier fluido real, sea éste agua o aceite en un tubo, o la sangre en el sistema circulatorio de un ser humano, aun cuando el tubo esté a nivel horizontal. Resumiendo, el gasto de un fluido en un tubo redondo depende de su viscosidad, de la diferencia de pre-sión, y de las dimensiones del tubo. El científico francés Jean L. Poiseuille (1799-1869) quien estaba inte-resado en la física de la circulación de la sangre (y en honor de quien el poise recibió su nombre) determinó cómo las variables afectan el gasto de un fluido incompresible que experimenta flujo laminar en un tubo cilíndrico. Su resultado, conocido como ecuación de Poiseuille, es:

LPPRQ

µπ

8)( 21

4 −= dado el radio R de un tubo cilíndrico

LPPDQ

µπ

128)( 21

4 −= dado el diámetro de un tubo cilíndrico D

donde R es el radio interior del tubo (D es el diámetro interior del tubo) L es su longitud, 21 PP − es la diferencia de presión entre sus extremos, µ es el coeficiente de viscosidad, y Q es el gasto que en el SI

tiene unidades de sm3 . La ecuación anterior sólo se aplica a flujo laminar. La ecuación de Poiseuille nos indica que el gasto Q es directamente proporcional al “gradiente (aumento o disminución) de presión”, LPP )( 21 − , y es inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. Por otra parte es muy importante el tamaño del diámetro del tubo, ya que para el mismo gradiente de presión, si el radio del tubo se reduce por ejemplo a la mitad, el gasto decrece por un factor de 16. Entonces, el gasto, o alternativamente la presión requerida para mantener un gasto dado, es fuertemente afectado por sólo un cambio pequeño en el radio del tubo. Aplicando el criterio anterior al flujo sanguíneo, aunque sólo aproximadamente por la presencia de corpúsculos y turbulencia, podemos ver cómo la reducción del radio de una arteria por la formación de colesterol y arteriosclerosis requiere que el corazón trabaje mucho más para mantener el gasto apropiado. Ejemplo 4.7: Por un tubo de sección transversal circular se bombea aceite que tiene una densidad de

331096.0 mkgx m a la temperatura ambiente, por medio de una bomba que mantiene una presión de medición de . El tubo tiene un diámetro de y una longitud de . El aceite que sale por el extremo libre del tubo a la presión atmosférica se deposita en un recipiente. Después de 90 segundos se ha depositado un total de . ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad

Pa950 cm6.2 cm65

mkg23.1 µ del aceite a esta temperatura?


Datos: Ecuaciones:

?23.1

9065

6.2950

1096.0 33

======

=

µ

ρ

m

mkg

kgmstcmLcmdPaP

x m

LPPRQ

mVoVm

tVQo

tmQ

µπ

ρρ

8)( 21

4 −=

==

==

Solución:

1) El gasto o flujo de masa es: tmQ =

s

kgs

kgQ mm 01366.09023.1

==

2) De las ecuaciones de densidad y de Poiseuille, obtenemos el coeficiente de viscosidad µ :

si: ρmV =

como: t

mtVQ

ρ==

entonces: L

PPRt

mQµ

πρ 8

)( 214 −

==

es decir: L

PPRt

mQµ

πρ8

)( 214 −

==

despejando µ :

LQ

PPR8

)( 214 −

=πρµ


( )

2

24

33

152.165.001366.08

950013.01416.31096.0

msxN

mxs

kgx

mNxmxx

mkg

x

m

m

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=µ

si: 211cm

sxdinapoise =

poises.cm

sxdina.cm,

mxN

dinas,xm

sxN. 52115211000101

100010015261 22

2

2 ===µ

Ejemplo 4.8: El agua que fluye por un tubo de 2 pulg. de diámetro, emerge horizontalmente con un gasto de .min

galones8 ¿Cuál es el alcance horizontal de la corriente de agua si el tubo se encuentra a del suelo?

pies4

?v =elocidad

gpulD 2= pies4

Datos:

piesyQ

gpulDgalones

48

2

min

=

=

=

Solución:

La ecuación x 2=

horizonalcancex =

corladealturay =

Ecuación:

gyx

2v2=

gy 2v

se obtuvo en forma experimental para tubería

aguadecorrienteladetal tuberíaladenivelelsobreriente

s, en donde:


1) Hallemos el valor de la velocidad en la salida del tubo con la ecuación: AQ v= ⇒ AQ

=v

( ) 22 14163114163 gpul.gpulx.A ==

( )

inmpie

gpulpie

xinm

gpul.

gpul.dm.gpulx

galóndm.x

inmgalones

v 4912

117588

1416325401

178538

2

3

33

===

spie

inmpie 816.049v ==

2) Hallemos el alcance horizontal con la expresión: gyx

2v2=

piepie

spie

spiexpiex

x 406.0165584.017.32

816.0422

2

2

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

4.5 Trabajo de flujo, entalpía 4.5.1 Trabajo de flujo El trabajo neto efectuado sobre el sistema por el movimiento del flujo que circula de la sección (1) a la sección (2) de la tubería que se muestra en la figura siguiente, sin tener en cuenta el trabajo externo, es:

2211 VPVPWneto −=

tmm =

•

)1(cciónse )2(cciónse •

m

s∆

Trabajo de flujo


En donde el término es el trabajo realizado sobre el fluido para hacerlo entrar a la tubería y 11VP 22 VP− es el trabajo para hacer salir el fluido de la tubería. La diferencia entre estos dos términos es el trabajo neto agregado. El trabajo expresado por se denomina trabajo de flujo y generalmente se le considera en forma inde-pendiente del trabajo W suministrado por elementos externos al sistema. Entonces la ecuación de energía para el proceso que pasa por los estados (1) y (2) es:

PV

222111 EWQEWQ ++=++

que cuando se considera el trabajo de flujo para una tubería puede expresarse como:

{ { 2222211111

21

EVPWQEVPWQff WW

+++=+++

Recordemos que la convención de signos para calor y trabajo es la siguiente:

generadooretiradotrabajoelesWinistradosumtrabajoelesW

retiradocalorelesQinistradosumcalorelesQ

+

−

−

+

4.5.2 Entalpía (en, dentro; thálpein, calentar) Es una propiedad termodinámica que sólo se define con relación a funciones puntuales o diferenciales exactas (no dependen de la trayectoria). La entalpía total del sistema H se define por:

UVPH += Este concepto se refiere a una propiedad extensiva, es decir, que depende de la masa del sistema, y nos relaciona al trabajo efectuado por el movimiento del flujo y a la energía interna U . PV La unidad de entalpía corresponde a una unidad de energía, y en el sistema internacional de unidades es el Joule. En la entalpía, lo mismo que en la energía interna, sólo se pueden establecer diferencias y no valo-res absolutos. Esta propiedad no tiene sentido (vectorial) o interpretación física, y constituye meramente una agrupación de propiedades que se presentan frecuentemente en los análisis termodinámicos. Mediante la aplicación del equivalente mecánico del calor tenemos: J

UJVPH += ( )Btukcal ,


Se puede también definir la entalpía específica o por unidad de masa por las ecuaciones:

mHh = o u

JPh +=

v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

mm lbBtu

kgkcal ,

La entalpía es una propiedad que se define en términos de otras propiedades termodinámicas. Notemos que la entalpía tiene importancia y significado físico cuando se relaciona con sistemas abiertos; pero deja de tenerlo cuando se trata de sistemas cerrados puesto que en tal caso el producto no representa el trabajo de flujo, ya que éste no existe.

PV

Es importante observar que cuando interviene el flujo que atraviesa una frontera, la entalpía representa energía, considerando dos clases diferentes: a) la energía interna y b) el trabajo de flujo o corriente de flujo. Un flujo o corriente ideal no deberá tener ninguna pérdida debida a las cortaduras o deslizamientos del fluido. Con la introducción de la entalpía, la ecuación general de balance energético para sistemas abiertos puede escribirse de la siguiente forma: como: UEcEpE ++=

22222221111111 UEcEpVPWQUEcEpVPWQ +++++=+++++

2222211111 EcEpHWQEcEpHWQ ++++=++++ Si hubiera más de una corriente de entrada y de salida, se hace una simple sumatoria de todas las corrien-tes que introducen o extraen energía del volumen de control (ver capítulo 1, temas: 1.1.9.1 y 1.1.9.2). Sabemos que para los procesos termodinámicos estudiados en el capítulo 3, el incremento de energía in-terna está dado por la ecuación: )( 12v TTCmU −=∆ y de manera similar el incremento de la entalpía está dado por:

UJ

VPVPH ∆+

−=∆ 1122 o U

JTTRm

H ∆+−

=∆)( 12

)()( 12v12 TTCmTTJRmH −+−=∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=∆ v12 )( C

JRTTmH


si: ( )vCCJR p −= ⇒ vCJRC p +=

)( 12 TTCmH p −=∆∴ Por lo tanto podemos decir que: la entalpía de un gas es una función de su temperatura 4.6 Primera ley de la termodinámica en sistemas abiertos (ecuación de la ener-

gía de flujo para sistemas abiertos) 4.6.1 Sistemas cerrados Como ya se definió un sistema cerrado es el que no intercambia materia con su medio circundante y la energía almacenada o contenida dentro de este sistema consiste en energía interna molecular formada por la energía potencial interna y la energía cinética interna

,U,P∆ .C∆ En ausencia de movimiento dentro

del sistema no fluente, la energía almacenada de una sustancia pura es totalmente energía interna. Cuando analizamos en ingeniería un problema de un sistema cerrado comúnmente lo consideramos como un esta-do estacionario, lo cual significa que en cualquier sección el gasto en masa y las propiedades termodiná-micas permanecen constantes y la energía total almacenada toma la forma (ver tema: 3.5.1):

CPU ∆+∆=∆ Las únicas clases de energía que pueden atravesar la frontera de un sistema cerrado, son aquéllas que se trasmiten independientemente del flujo de masa, siendo éstas el calor y el trabajo, en donde ambas son de tipo transitorio y se expresan en la ecuación de energía no fluente o la ecuación simple de energía:

( ) UWUUWQ ∆+=−+= 12

o+Q −Q

−

Sistema cerrad

U∆

+W
W


4.6.2 Sistemas abiertos Un sistema abierto es aquel a través de cuyas fronteras fluye la masa, pero la energía de transición, trabajo y calor puede o no pasar, por ejemplo, en una turbina el vapor se acelera al pasar por las toberas y aumenta su energía cinética, la cual se convierte en trabajo a medida que el vapor pasa por los álabes o paletas de la turbina. En ingeniería el sistema abierto más frecuente de estudiar es el de flujo estacionario, el cual tiene las siguientes características: 1) el gasto de cada corriente de masa que entra en el sistema y sale de él es constante y, además, no hay acumulación ni disminución de masa dentro del sistema. 2) No hay ni acumu-lación ni disminución de energía dentro del sistema (el gasto, o intensidad del flujo de calor Q y el trabajo W, son constantes). 3) El estado de la sustancia de trabajo en cualquier punto del sistema, permanece constante. Llamamos volumen de control al espacio en el cual tenemos interés para nuestro estudio, y a la superficie cerrada que rodea al volumen de control se le denomina superficie de control. El tamaño y forma del volumen de control son completamente arbitrarios y están delimitados como mejor convenga para realizar el análisis que vaya a efectuarse. Un proceso de estado estable y flujo estable, es aquel que considera a la primera ley para un volumen de control con las suposiciones siguientes:

1. El volumen de control no se mueve con respecto al marco coordenado. 2. La intensidad de flujo de masa y el estado de esta masa en cada elemento de área, en la superficie

de control, no varían con el tiempo. 3. El estado de la masa en cada punto, dentro del volumen de control, no varía con el tiempo, y como

consecuencia del supuesto 2, la masa total dentro del volumen de control permanece constante. 4. La rapidez con la cual el calor atraviesa la superficie de control permanece constante, y lo mismo

sucede con la rapidez de trabajo. 4.6.3 Conservación de la energía La ley de la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se transforma de una forma a otra. Es una ley basada en observaciones físicas y no está sujeta a demos-tración matemática. La primera ley de la termodinámica es simplemente repostular el principio de la conservación de la energía: en cualquier proceso termodinámico, el calor neto absorbido por un sistema es igual a la suma del equivalente térmico del trabajo realizado por él y el cambio en su energía interna. Para un proceso cíclico, que se realiza entre los estados (1) y (2) sabemos que la energía que entra es igual a la energía que sale, es decir, 012 =−=∆ EEE . Puesto que la masa es constante por definición, las únicas clases de energía que atraviesan la frontera son calor y trabajo, así que:

salesaleentraentra WQWQ +=+

para dos estados: 2211 WQWQ +=+


∑=− QQQ 21

∑=− WWW 12

evaluando los calores y los trabajos W para todos los procesos del ciclo y tomando en cuenta la con-vención de signos, podemos considerar las sumatorias:

Q

∑∑ = WQ es decir, si las sumatorias son iguales a las integrales cíclicas:

∑ ∫= dQQ y ∑ ∫= dWW

y la ecuación se convierte en: salesaleentraentra WQWQ +=+ o ∫ ∫ =− 0dWdQ ∫ ∫= dWdQ lo cual expresa la forma de la primera ley de la termodinámica; o sea, que el trabajo y el calor son mutua-mente convertibles. Sin embargo, hay una ventaja en ampliar el principio para incluir todas las formas de energía: una forma de energía puede convertirse en otra. 4.6.4 Ecuación de la energía para sistemas cerrados Recordemos que el calor entra al sistema cerrado, lo cual hace que el fluido (masa) se expansione, y to-mando como ejemplo un émbolo móvil cuando se empuja contra cualquier resistencia, que puede ser la presión atmosférica, un peso, un resorte, o una fuerza ; el trabajo realizado W lo hace el fluido al ven-cer estas resistencias. En estas circunstancias la energía almacenada de una sustancia pura es totalmente energía interna por lo que podemos escribir la ecuación simple de la energía:

F

,U

UWQ ∆+= 4.6.5 Ecuación de la energía de flujo para sistemas abiertos En los sistemas de flujo constante o estacionarios, no hay variación de la energía, ni de la masa almacena-da ( ) de ahí que la ley de conservación de la energía se reduce a: ctem =

energía que entra al sistema = energía que sale del sistema


Las formas de energía que atraviesan el sistema son:

1. Calor generado Q2. Trabajo efectuado W3. Trabajo del flujo PVWf =

4. Energía potencial pE5. Energía cinética cE6. Energía interna U

controldesistema

Q

2

22

2

2

UVP

EcEp

2Estado1Estado

1

11

1

1

UVP

EcEp

y

En la figura anterioenergía almacenadabido al trabajo hechforma similar, el traa salir con la presió(o se produce) el Qes positivo cuando sobre el sistema. Pque sale. Entonces

y

1

Diagrama de energía de un sistema abierto (o de flujo est

r observamos que para el estado inicial (1) entran en el en el fluido, es el trabajo del flujo o corrieo en la frontera (1) con una presión para obligar al flbajo del flujo o corriente en la salida

111VPW f =

1P222

VPW f = es el nn al exterior del sistema. Como Q indica el calor qu neto será positivo cuando se añade calor y negativo cuanel sistema efectúa el trabajo (energía que sale) y negativor tanto, la ecuación de la energía se expresa por energla ecuación de la energía del flujo estacionario es:

2P

222111 21EWWQEWWQ ff +++=+++

oVolumen

2
referenciadenivel
WmecánicaFlecha

acionario)

sistema como nte que entra en el sistema de-uido a entrar en el sistema. En

111, UyEcEp

ecesario para obligar al fluido e entra y W el trabajo que sale do se rechace calor; el W neto

o cuando se efectúa un trabajo ía que entra igual a la energía


2fW

Diagrama simplificado de energía de un sistema abierto 2222211111 21

UEcEpWWQUEcEpWWQ ff +++++=+++++ si hacemos: el calor neto generado en el proceso2121 QQQQ −== y: el trabajo neto desarrollado en el pro1221 WWWW −== entonces: 212121 21

EWWWEWQQ f

W

f

Q

++−=++−4342143421

222111 21

UEcEpWWUEcEpWQ ff ++++=++++ del concepto de entalpía: UPVH += 222111 EcEpHWEcEpHQ +++=+++ )()()( 121212 EcEcEpEpHHWQ −+−+−+= EcEpHWQ ∆+∆+∆+= donde todos los términos deberán estar en las mismas unidades, y cada uno queda dmanera:

21 QQQ −= BokcalennetoCalor

JWW

JW 12 −= okcalennetoTrabajo

UPVH += BtuokcalenEntalpía

1f

UEcEpE ∆+∆∆=∆

anteconstm = +1Q

+W

−1W

2

+

−Q

W

ceso

efinido de la siguiente

tu

Btu

2


cgJygmygmywEp === BtuokcalenpotencialEnergía

cgJmvmEc

2v

2

22

== BtuokcalencinéticaEnergía

sustituyendo las expresiones anteriores tenemos la ecuación de la energía dimensionalmente correcta:

cc gJm

gJyygm

HJWQ

2)vv()( 2

12212 −

+−

+∆+=

La expresión anterior es la ecuación de energía que satisface a la primera ley de la termodinámica para sistemas abiertos. 4.6.6 Formas alternativas de la ecuación de flujo estacionario Puesto que la ecuación de flujo estacionario comprende al total de la masa quitar para generar energía, podemos sustituir las equivalencias consideradas en los temas anteriores, cuando se refiere la ecuación a la unidad de masa y también cuando se establece la rapidez o velocidad con que la energía se transfor-ma en trabajo, esto significa, desarrollar trabajo por unidad de tiempo, es decir, estamos en términos de la potencia que el sistema genera.

""m

4.6.6.1 Por unidad de masa

mQq = ⇒ )( masadeunidadporcalor qmQ =

mW

=w ⇒ )( masadeunidadportrabajo wmW =

mHh = ⇒ )( masadeunidadporentalpía hmH =

dividiendo entre la ecuación de flujo: "m"

cc gJm

mgJm

yygmmH

JmW

mQ

2)vv()( 2

12212 −

+−

+∆

+=

cc gJgJ

yygh

Jq

2)vv()(w 2

12212 −

+−

+∆+=


4.6.6.2 Por unidad de tiempo ( potencia )

tQQ =

• )( tiempodeunidadporcalor ⇒ tQQ

•=

t

WW =•

)( tiempodeunidadportrabajopotencia = ⇒ tWW•

=

tHH =

• )( tiempodeunidadporentalpía ⇒ tHH

•=

dividiendo entre la ecuación de flujo: "t"

cc gJt

mgJt

yygmtH

JtW

tQ

2)vv()( 2

12212 −

+−

+∆

+=

•••••

∆+∆+∆+= EpEcHWQ

)()()( 121212

••••••••−+−+−+= EpEpEcEcHHWQ

cc gJ

mgJ

yygmH

JWQ

2)vv()( 2

12212 −

+−

+∆+=

•••

••

Ejemplo 4.9: Calcular el trabajo (en Joules y en mxkg ) y la potencia (en y en watts) realizados por una bomba que descarga 4,000 litros de agua a un tanque situado a 26 m arriba de la toma, sabiendo que esta operación la hace en un tiempo de 36 minutos, en un lugar situado en el nivel del mar.

hp

l000,4

bomba

m26


Datos: Ecuaciones:

mh

gkgm

sm

m

26

81.9000,4

2

=

=

=

hgmEphwEpdFW

===

Solución: 1) Calculemos la energía potencial para caída libre: hgmEp =

mxkg

JoulemxNmxsmxkgEp m

000,104

240,020,1240,020,12681.9000,4 2

=

===

2) El trabajo realizado por la bomba es igual a la energía potencial: WEp =

3) Obtengamos la potencia de la bomba: t

WW =•

wattsx

JouleW 33.472

min160min36

240,020,1==

•

hpwatthpxwattW 633.0

746133.472 ==

•

4.7 Principio de Bernoulli para flujo laminar en régimen permanente Daniel Bernoulli, físico y matemático holandés (1700-1782) es uno de los fundadores de la hidrodinámica. Enunció el teorema que lleva su nombre sobre la conservación de la energía mecánica en una vena de un fluido perfecto. La ecuación fundamental de la hidrodinámica es la correspondiente al teorema de Bernoulli, que relacio-na a la presión, a la velocidad y a la altura en los puntos situados a lo largo de una línea de corriente y que a continuación analizaremos. En los siguientes diagramas se representa el movimiento de un fluido incompresible desde la posición indicada en (a) a la indicada en (b):


1v

11 AP

v a)

11 AP b)

En todos los puntos de la pade la parte estrecha la presió Cuando la parte izquierda doblicuas) avanza una distanque el trabajo realizado sob o tamb111 lFW = es decir: 1111 lAPW = La parte de la derecha avanopuesto, por tanto, el trabajo 2222 lAPW = Para mover el sistema de lacomo puede ser una bomba para el trabajo exterior rea

11121 lAPWW =−

1v

2

22 AP

2v

2l

1l

22 AP

rn

c

z

−

Diagramas del movimiento de u

te ancha del tubo la presión es y es y la velocidad es .

1P

2P 2v

el sistema (porción del fluido repreia paralela a la fuerza exterior

re el sistema es: 1l F

ién: 111 VPW =

a una distancia mientras actúa u realizado por el sistema es:

2l

posición (a) a la (b) se tiene que racoplada a un motor eléctrico o de clizado sobre el sistema:

222 lAP

n fluido

la velocid

sentada po dada po1

na fuerza

ealizar unombustió

ad es 1v

r el área r el prod

exterior

trabajo pn interna,

ecua

, y en todos los puntos

sombreada con líneas ucto , se deduce 11 AP

en sentido 222 APF =

or un agente exterior teniendo la expresión

ción (1)


Donde los volúmenes son constantes, es decir, 111 lAV = y 222 lAV = son iguales por tratarse de un fluido incompresible. Si es la masa de cada porción de fluido y “m ρ ” su densidad, entonces de la ecuación:

Vm

=ρ

Obtenemos el volumen de cada partícula de masa e igual densidad por tratarse del mismo fluido: m

ρm

V = ecuación (2)

Sustituyendo la expresión de volumen (2) en la ecuación de trabajo exterior realizado sobre el sistema tenemos:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρρmPPmPmPW 2121 ecuación ( 3)

Puesto que la energía cinética de la porción sombreada con líneas horizontales no experimenta cambio alguno en el paso del sistema (a) al (b) se deduce que la variación de energía cinética de dicho sistema es sólo la variación de la energía cinética de las partes sombreadas con líneas oblicuas. Recordemos que la variación de las energías mecánicas (cinética y potencial) están dadas por: Variación de la energía cinética:

( )21

22

21

2212 vv

21v

21v

21

−=−=− mmmEcEc ecuación ( 4 )

Variación de la energía potencial gravitatoria:

( )121212 yygmygmygmEpEp −=−=− ecuación ( 5 ) En donde y son las alturas de las porciones sombreadas con líneas oblicuas por encima de un plano de referencia arbitrario.

1y 2y

Existe siempre alguna resistencia al movimiento de un fluido por un tubo. Si el tubo es de gran diá-metro, de corta longitud, y el fluido tiene poca viscosidad fluyendo lentamente, la resistencia de ro-zamiento puede ser lo suficientemente pequeña para considerarla despreciable. Si consideramos que se cumplen tales condiciones e igualamos el trabajo neto realizado sobre el sistema a la suma de los incrementos de energía cinética y potencial gravitatoria, se obtiene de las ecuaciones (3), (4) y (5):


( ) ( ) ( )1221

2221 vv

21 yymgmmPP −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ

dividiendo entre : gm

( ) ( ) ( )mg

yymgmg

mmg

mPP 11vv211

1221

2221 −+−=−

ρ

( ) ( ) ( )12

21

2221

2vv

yygg

PP−+

−=

−ρ

sustituyendo la ecuación de peso específico gργ = tenemos:

( ) ( ) ( )12

21

2221

2vv

yyg

PP−+

−=

−γ

por último, agrupando y trasponiendo términos:

2

222

1

211

2v

2v

yg

Py

gP

++=++γγ

ecuación ( 6 )

y puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera situados a lo largo del tubo, se pue-de escribir la ecuación (6) en forma general:

cteyg

P=++

2v 2

γ ecuación ( 7 )

Cualquiera de las ecuaciones (6) o (7) pueden considerarse como la manera de representar algebraicamente el Teorema de Bernoulli, aplicable a un flujo de régimen estacionario sin pérdidas por rozamiento, en donde:

γP

se denomina “carga de presión”

g2

v2

se denomina “carga de velocidad”

se denomina “carga de altura o de posición” y


Cada uno de los términos de la ecuación anterior tiene unidades de trabajo o energía entre unidades de fuerza, es decir, en el SI, kilográmetros por kilogramo fuerza, o también simplemente unidades de longi-tud (metros). Cada término tiene las dimensiones [L] y en el sistema absoluto las cargas de presión y de velocidad se determinan de la siguiente forma:

mkg

mxkg

mkgmkg

P===

3

2

γ

msmsm

smsm

g=== 2

22

2

2

2

2

2v

Observación: Algunos autores de textos de mecánica de los fluidos, presentan a la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera:

anteconstzgP=++

2v2

ρ ( )alturaz =

La constante toma, en general, diferentes valores para cada línea de corriente. Ésta es la ecuación de Ber-noulli para flujo permanente de un fluido sin rozamiento e incompresible a lo largo de una línea de co-rriente. Cada término tiene las dimensiones y las unidades en el SI nos indican energía mecánica por unidad de masa:

),( 22 −TL

mmmm kgJ

kgmxN

mxkgmxN

mkgmN

P==== 2

3

3

2

ρ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

sm

kgmxN

m

Ejemplo 4.10: Un tanque elevado de altura y con un diámetro de , abastece de agua a instala-ciones industriales y en particular a un edificio de oficinas. La tubería horizontal en la base del tanque tiene un diámetro de . Para satisfacer las necesidades del lugar la tubería debe ser capaz de

abastecer agua a razón de

m20 m2

gadapul1sm30025.0 .

1) Si el agua estuviera fluyendo con la máxima cantidad. ¿Cuál será la presión dada en pascales en la tubería horizontal?


2) Una tubería de diámetro gadapul21 , abastece al departamento del segundo piso a una distancia de

sobre el nivel del suelo. ¿Cuál es la velocidad del fluido y la presión del agua en la tubería?, si se consideran despreciables las pérdidas y la viscosidad del agua.

m9.6

•A

D

Ay

"21

2 =d

"11 =d myC 9.6=

educciónr válvula

•B

•C

Datos: Ecuaciones:

( )

( )

myyd

Q

notaciónlautilizasetambiéndmD

my

C

B

sm

A

9.60

"

0025.0

"1220

221

2

113

==

=

=

===

φ

φ

BBB

AAA y

gP

yg

P++=++

2v

2v 22

γγ

BBBAAA ygPygP ρρρρ ++=++ 2212

21 vv

( ) ( )BABAAB yygPP −+−+= ρρ 2221 vv

??v

)2?)1

:

==

=

C

C

B

P

pisosegundoelEnPsolicitaSe

Solución: 1) Seleccionemos tres puntos diferentes en el recorrido del flujo dentro del sistema mostrado en la figura:

CyBA ,2) De la expresión de Bernoulli para los puntos seleccionados A y B :


( ) ( )BABAAB yygPP −+−=− ρρ 2221 vv

( ) ( )BABAAB yygPP −+−+= ρρ 22

21 vv

si y atmA PP = 0=By

3) Sabemos de la ecuación de continuidad que: AQ v= ⇒ AQ

=v

( ) s

mxm

sm

AQ

AA

42

3

10957.71

0025.0v −===

π ⇒ 2

272 10332.6v

sm

xA−=

( ) s

mms

m

AQ

BB 933.4

0127.0

0025.0v 2

3

===π

⇒ 2

22 334.24v

sm

B =

4) Como ya lo indicamos , por lo tanto debemos hallar la presión mediante la ecuación mos-trada en el punto (2) aplicando la constante gravitacional g

atmA PP = BPc:

( )msm

mkg

smx

mkg

cmkgP m

ledespreciab

mB 2081.9000,1334.2410332.6000,1

21033.1 232

27

32 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+= −

4434421

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+= 2

2

2

2

3

2

2 200,19681.9

1334.24000,181.92

1033.1sxm

kg

sxkgmxkgs

mmkg

sxkgmxkg

xcmkgP m

m

m

mB

25

2222108537.274.089,29000,2026.240,1330,10

mNx

mkg

mkg

mkg

mkgPB ==+−=

5) Para la última sección de tubería, en donde se encuentra localizado el punto C :

mcmgpuld 0127.027.121

===

myC 9.6=


de la ecuación de continuidad: AQ v= ⇒s

mQ3

0025.0=

también: C

C AQ

=v

( ) s

mms

m

C 42.190064.0

0025.0v 2

3

==π

⇒ 2

22 14.377v

sm

C =

6) Para los puntos localizados en y C apliquemos la ecuación de Bernoulli: A CCCAAA ygPygP ρρρρ ++=++ 2

212

21 vv

( ) ( )CACAAC yygPP −+−+= ρρ 22

21 vv

( )msm

mkg

smx

mkg

mkgP m

ledespreciab

mC 9.62081.9000,114.37710332.6000,1

21330,10 232

27

32 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+= −

4434421

aplicando la constante gravitacional : cg

2

2

2

2

281.9

511,128

81.9

570,188033.1

sxkgmxkgsxm

kg

sxkgmxkgsxm

kg

cmkgP

m

m

m

m

C ++=

24

2222101278.478.207,4100,1322.222,19330,10

mNx

mkg

mkg

mkg

mkgPC ==+−=

4.8 Aplicación de la ecuación de Bernoulli

4.8.1 Aplicación en la hidrostática Las ecuaciones de la hidrostática son casos especiales del teorema de Bernoulli, cuando la velocidad es nula en todos los puntos. Por ejemplo, la variación de la presión con la profundidad de un fluido incompresible puede encontrarse aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) del líquido en equilibrio, es decir, no existe mo-vimiento vertical ni horizontal de sus partículas, y por lo tanto su velocidad en cualquier punto es nula, en la siguiente figura observamos que:


0vv 21 == aatmosféricPP =2

•

1y

•)2(

12 yyh −=

)1(

y

Aplicación de la ecuación de Bern La ecuación de Bernoulli puede escribirse como:

22

11 y

Py

P+=+

γγ

γγ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 121 yy

PP atm

( )

hgPhP

yyPPh

atm

ργ

γ

+=+=

−+=

2

2

121 43421

hgPP ρ+=∴ 21 4.8.2 Aplicación en la hidrodinámica Para que un flujo sea estacionario requiere que no haya cdel sistema, por lo que se establece que la energía que endemos utilizar la siguiente expresión para representar a lalar que cruza una frontera: EpEcHEpEcUPVE

H

++=+++= 43421

2

oulli a un fluido en reposo

ambio ni en la masa ni en la energía total dentro tra es igual a la energía que sale. En general po- energía total asociada con una corriente particu-


la ecuación de la energía para un flujo estacionario es entonces: EpEcHWQ ∆+∆+∆+=

EpEcUPVWQH

∆+∆+∆+∆+=∆

4434421)(

cuando se aplica a un sistema abierto de un fluido que circula por una tubería entre las fronteras o estados (1) y (2) se tiene que: 0=W Un fluido incompresible en flujo sin fricción con 0=Q y 0=W no sufrirá cambio en su energía interna, y por lo tanto: 0=∆U ( ) 0=∆+∆+∆ EpEcPV

recordemos que volumen total ρ1v esp.ol mmV == entonces: mPmPPV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ1

sustituyendo: 0=∆+∆+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆ EpEcmP

ρ

de la ecuación de Bernoulli para los estados inicial y final (1) y (2) respectivamente se tiene:

2

222

1

211

2v

2v

ygmmPm

ygmmPm

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

dividiendo entre : mg

mg

ygmmg

mmg

Pmmg

ygmmg

mgm

Pm 22221

211

2v1

2v1

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

2

222

1

211

2v

2v

ygg

Py

ggP

++=++ρρ

sabemos que el peso específico se define como: gργ =

2

222

1

211

2v

2v

yg

Py

gP

++=++γγ

02v

2v

12

21

2212 =−+−+− yy

ggPPγγ


Ejemplo 4.11: Una turbina se abastece con 10,200 hkgm de vapor, a absolutos

cmkg

27.11 y 249°C, con una

velocidad inicial de minm830,1 , a una altura de 1.52 m sobre el escape de salida. Las pérdidas por radiación

y rozamiento son de hkcal300,35 , en la entrada

mkgcalh 7011 = , en la salida la presión es de

, su velocidad es de absolutosHgdecm.276 minm320,7 y

mkgcalh 5562 = ; calcular la potencia en . hp

Datos:

)1(Estado )2(Estado

kg•••

mkgcal

m

cm

kg

hmy

CT

absP

70152.1830,1v

249

7.11

1

1

min1

1

1 2

===

°=

=

W

Solución: 1) Debemos utilizar la ecuaci

•••+++ 111 HWQ

221

•••=− WQQ

( 2

•••+= HWQ

despejando la incógnita de pot

( 1

•••+= HQW

2) De los datos del problema

el signo negativo indica pérdid

3) Calculemos el incremento

hkg

HH 200,1021 =−••

hmmmm 200,1021 ===

mkgcal

m

hy

absHgcmP

5560

320,7v2.76

2

2

min2

2

====

− +W

−Q

TURBINA

hkcalQ 300,35−=

•

ón de flujo considerando a la unidad de tiempo:

•••••••++++=+ 2222211 EpEcHWQEpEc

)()()( 1212121

•••••••−+−+−+− EpEpEcEcHHW

(ecuación de flujo) )()() 12121

•••••−+−+− EpEpEcEcH

encia tenemos: •

W

)()() 21212

•••••−+−+− EpEpEcEcH

identificamos al calor por unidad de tiempo: h

kcalQ 300,35−=•

, en donde

as de calor.

de entalpía por unidad de tiempo: )( 2121 hhmHH −=−•••

hkcal

calkcal

xkgcal

m

m 479,1000,11

)556701( =−


4) Calculemos el incremento de energía cinética por unidad de tiempo: ( )

cgJm

EcEc2

vv 22

21

21−

=−

•••

sm.

inmm, 5308301v1 ==

sm

inmm, 1223207v2 ==

( ) ( )[ ]

hkcal

hkcal

xxsxkgmxkg

xkcal

mxkgx

sm

hkg

EcEcm

m

64.991,16

81.993.4262)884,1425.930(200,10

81.993.4262

1225.30200,10

2

2

222

21

−=

−=

−=−

••

5) Calculemos el incremento de energía potencial por unidad de tiempo: ( )

cgJyygm

EpEp 2121

−=−

•••

hkcal

sxkgmxkg

xkcal

mxkg

msmx

hkg

EpEpm

m

31.3681.993.426

)052.1(81.9200,10

2

2

21 =−

=−••

6) Calculemos la potencia con la ecuación de flujo:

)()()( 212121

••••••••−+−+−+= EpEpEcEcHHQW

hkcal.,

hkcal.

hkcal.,

hkcal,

hkcal,W 337765031366499116479130035 −=+−+−=

•

como: kcalhhp 2.6411 =−

hp.

hkcal.

hpx

hkcal.,W 18979

2641

13377650 −=−=

•

El signo negativo significa trabajo añadido.


Ejemplo 4.12: En una turbina entra un fluido con una velocidad de spie4 y una entalpía de

mlbBtu700 y a la

salida con una velocidad de spie250 y una entalpía de

mlbBtu500 y las pérdidas de calor son de min20 Btu , la razón

de flujo es de slbm1 . ¿Cuál es la potencia desarrollada por la turbina en hp si el incremento de energía po-

tencial se considera despreciable? Datos:

slbmmmm 121 ===

••• Estado )2(Estado )1(

S 1

2

3

4

mlbBtuh

spie

700

4v

1

1

=

=

−Q

+W −W TURBINA

min20 BtuQ −=•

olución:

) La ecuación de flujo considerando la unidad de tiempo es:

•••••

∆+∆+∆+= EpEcHWQ

)()()( 212121

••••••••−+−+−+= EpEpEcEcHHQW

•••••

∆−∆−∆−= EpEcHQW

) Si en el problema se nos indica que , entonces: 0=∆•

Ep••••

∆−∆−= EcHQW

) El calor por unidad de tiempo es un dato del problema: mBQ 20−=

•

hBtu

hinm

xinm

BtuQ 200,11

6020 −=−=

•

) Calcular el incremento de entalpía por unidad de tiempo: .

HH =∆••

hs

xs

BtulbBtu

lbBtu

slb

Hmm

m

1600,3

2007005001 =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∆

•

mlbBtuh

spie

500

250v

2

2

=

=

intu (pérdidas de calor)

)( 1212 hhmH −=−••

hBtu000,720−


5) Calcular el incremento de energía cinética por unidad de tiempo:

( )cgJ

mEcEcEc

2vv 2

122

12−

=−=∆

••••

( )

hBtu

hsx

sBtu

sxlbpiexlb

Btupiexlb

spie

slb

Ecm

m

84.492,41600,3248.1

17.3216.7782

16500,621

2

2

2

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=∆

•

6) Calcular la potencia utilizando la ecuación de flujo: ••••

∆−∆−= EcHQW

hBtu.,

hBtu.,

hBtu,

hBtu,W 163077140849240007202001 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−−=

•

si Btu.,hhp 43454421 =−

hp.

hBtu.,

hpxh

Btu.,W 7332804345442

116307714 ==•

Ejemplo 4.13: La turbina mostrada en la figura es alimentada con vapor de agua sobrecalentado. Se re-quiere conocer la capacidad en hp del motor generador conectado al eje de la turbina, suponiendo una eficiencia ideal del 100% en la conversión energética:

mlbBtuh 6001 =

hlbmm 000,10=

•

%30calidadconvaporaguaMezcla −

pies40

mlbBtuh 2002 =

Datos: Fórmulas:

piesyy

hm

m

m

lbBtu

hlb

40

600000,10

21 =−

=

=•

( ) ( ) ( )epepecechhq −+−+−+= w 121212

epechq ∆+∆+∆+= w


Solución: 1) De la ecuación de flujo:

2222211111 EpEcHWQEpEcHWQ ++++=++++ ( ) ( ) ( )121212 EpEpEcEcHHWQ −+−+−+= para la unidad de masa: ( ) ( ) ( )121212w epepecechhq −+−+−+= epechq ∆+∆+∆+= w 2) Si se considera que la energía calorífica se encuentra contenida en la entalpía y que la energía de velo-cidad o cinética , entonces: 0=∆ec

eph ∆+∆+= w0 ( ) ( )2121w epephheph −+−=∆−∆−= 3) Calcular el incremento de entalpía por unidad de masa:

( )mm lb

BtulbBtuhh 40020060021 =−=−

4) Calcular el incremento de energía potencial por unidad de masa: ( )2121 yygJgepep

c−=−

mm lbBtupiex

sxlbpielb

xBtu

piexlbspie

epep 0514.04017.3216.778

17.32

2

2

21 ==−

5) Calcular el valor del trabajo desarrollado por unidad de masa: ( ) ( )2121w epephh −+−=

mmm lbBtu.

lbBtu.

lbBtuw 051440005140400 =+=

6) Para hallar la potencia por unidad de masa en hp aplicamos la siguiente ecuación:

tww =

•

y t

WW =•

para la masa total: wmW =


por lo tanto: w••

= mW

h

Btu,,lbBtu.x

hlb

,Wm

m 5140004051440000010 ==•

si Btu.,hhp 43454421 =−

hp

hBtu

hpx

hBtuW 26.572,1

434.544,2

1514,000,4 ==

•

Ejemplo 4.14: Calcular la potencia en de un turbogenerador, sabiendo que a la entrada de la turbina se alimenta con

kw

hkgm500,1 de vapor de agua sobrecalentado, con energía interna de

mkgkcal700 , presión abso-

luta 260cmkgP = , volumen específico

mkgm36v = y a una velocidad de s

m320 . A la salida de la turbina, la

entalpía es de mkg

kcal800 con velocidad de sm14 . Considere que h

kcal.kw 8458591 =

En una turbina se considera que no existe calor de suministro Q = 0 y que la energía potencial es despre-ciable Ep = 0. Datos: Ecuaciones:

sm

kgm

cmkg

kgkcal

hkg

el

P

um

W

m

m

m

320v

6v

60

700500,1

?

1

1

1

3

2

=

=

=

=

=

=•

•

sm

kgkcal

el

hm

14v

800

2

2

=

=

umPmH

UVPH

EpEcHQW

EpEpEcEcHHQW

EpEcHWQ

•••

•••

•••••

••••••••

•••••

+=

+=

∆−∆−∆−=

−+−+−+=

∆+∆+∆+=

v)(

)()()(.

212121

Solución: 1) A la entrada de la turbina se tiene una entalpía por unidad de tiempo:

1111 )v( umPmH•••

+=


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=•

m

m

m

m

kgkcal

hkg

kgmx

mcmx

cmkg

hkg

H 700500,161000,1060500,1

3

2

2

21

h

kcalmxkg

kcalxh

mxkgxH 000,050,193.42611054 8

1 +=•

h

kcalh

kcalh

kcalH 54.443,698,13000,050,154.443,648,121 =+=•

2) A la salida de la turbina la entalpía por unidad de tiempo es: 22 hmH••

=

h

kcalkgkcalx

hkg

Hm

m 000,200,1800500,12 ==•

3) El incremento de entalpía por unidad de tiempo es: •••

−=∆ 12 HHH

h

kcalh

kcalH 54.443,498,12)54.443,698,13000,200,1( −=−=∆•

4) El incremento de energía cinética por unidad de tiempo es: ( )

cgJm

EcEcEc2

vv 21

22

12−

=−=∆

••••

( )

hkcal

sxkgmxkg

kcalmxkg

sm

hkg

Ecm

m

2.302,18

81.993.4262

400,102196500,1

2

2

2

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=∆

•

5) La ecuación de potencia se expresa como: •••

∆−∆−= EcHW

hkcal

hkcal

hkcalW 74.745,516,122.302,1854.443,498,12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

•

si: kcalhkw 845.8591 =−

kwkcalhkw

xh

kcalW 979.556,14845.859

174.745,516,12 =

−=

•


4.9 Aplicación del teorema de Torricelli 4.9.1 Teorema de Evangelista Torricelli En la siguiente figura se representa un fluido que sale por un orificio practicado en un depósito a una pro-fundidad por debajo del espejo del líquido. Tomando un punto (1) en el orificio y un punto (2) en la superficie, la presión en ambos es la atmosférica ya que los dos están en contacto con la atmósfera.

Si el orificio es pequeño, el nivel del líquido en el depósito descenderá lentamente y por lo tanto se considera nula. Observando la figura siguiente tenemos:

hatmP

2v

1y

•

2y

)1(

)2(

•

12 yyh −=

Aplicación del teorema de Torricelli

entonces: 21

21 0

2v

yP

yg

P atmatm ++=++γγ

despejando a : 1v

( ) gyyPP atmatm 2v 12

21 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

γγ

( ) ( )hgyyg 22v 12

21 =−=

hg2v1 = La expresión anterior define al teorema de Torricelli y puede observarse que la velocidad de salida es la misma que adquiriría un cuerpo que cayese libremente partiendo del reposo desde una altura . Esta ve-locidad teórica es independiente del peso específico del fluido. El volumen de fluido que sale por el orifi-cio entonces es:

h

111 vAQ =

hgAQ 211 =


4.9.1.1 Verificación de la expresión de Torricelli mediante las ecuaciones de caída libre 1) De las ecuaciones de caída libre:

221 tgh =

y tg=v elevando al cuadrado 222v tg= 2) Dividiendo entre 2g la ecuación: 222v tg=

gtg

g 22v 222

=

22

v 22 tgg= el segundo miembro es igual a: htg

=2

2

3) Entonces obtenemos:

hg

=2v2

⇒ hg2v2 = hg2v = Ejemplo 4.15: En la figura se observa un sistema de flujo estable y estado estable, adiabático reversible, de una sola entrada y una salida, y se requiere determinar la velocidad a la salida de la llave de agua apli-cando el teorema de Torricelli:

3 pies

agua

40 pies

Tanque grande

pie=v Datos: Ecuaciones:

piesypiesy

403

2

1

==

12

2vyyhhg

−=

=

s


Solución: Consideremos dos puntos de referencia: (1) en la salida del flujo y (2) en la superficie del líquido en el tanque. En el problema consideramos que el orificio de salida es pequeño en comparación con las dimen-siones del tanque (para aplicar la ecuación de Torricelli) por lo tanto, el nivel del líquido en el depósito descenderá lentamente y se considera nula. 2v atmPPP == 21

( )s

piess

piespiesxs

piesx 7911.4858.380,234017.322v 2

2

2 ==−=

4.9.2 Venturímetro o tubo de vénturi El medidor de vénturi (venturímetro o tubo de vénturi) es usado para medir flujos o caudales que cir-culan por una tubería. Por lo general es una pieza fundida y consta principalmente de una parte cilín-drica del mismo diámetro de la tubería a la cual se acopla, esta parte tiene 2 o más orificios sobre un anillo de bronce, estos pequeños orificios se denominan orificios piezométricos y se utilizan para medir la presión estática del fluido en movimiento (presión en un fluido cuando no está perturbado). Después sigue una sección cónica convergente que termina en una garganta cilíndrica con anillo de bronce y orificios piezométricos, y finalmente, una sección cónica gradualmente divergente que ter-mina con el mismo diámetro que la tubería, esta forma evita la producción de remolinos internos y asegura que se mantenga un régimen estacionario. Un manómetro diferencial está conectado a los dos anillos piezométricos. El tamaño del medidor vénturi se da con el diámetro de la tubería y la garganta. Para obtener resultados adecuados el medidor vénturi debe ser precedido al menos por una longitud de 10 diámetros de tubería recta. En el flujo de la tubería a la garganta la velocidad aumenta mucho y la presión disminuye en forma correspondiente. Se demuestra que la magnitud de la descarga para flujo incompresible es función de la lectura del manómetro. Las presiones en la sección corriente arriba y en la garganta son presiones reales, y las velocidades de la ecuación de Bernoulli son velocidades teóricas. Si se consideran pérdidas en la ecuación de energía enton-ces las velocidades serán reales.

h Hg

2P

1v

1P

2v

hPPPP

Hgγ=−><

21

21

21 vv

Tubo de vénturi


A partir de la ecuación de Bernoulli (sin el término de carga de altura, por estar en posición horizontal el venturímetro) es posible obtener la velocidad teórica en la garganta. Al multiplicar ésta por el coeficiente de velocidad Cv se tendrá la velocidad real, que multiplicada por el área de la garganta determina la des-carga real.

De la ecuación de continuidad: 2211 vv AA = ⇒1

221

vv

AA

=

siendo: 4

21

1D

Aπ

= y 4

22

2D

Aπ

= en donde D = diámetro de la sección

de la ecuación de Bernoulli:

2

222

1

211

2v

2v

yg

Py

gP

++=++γγ

como el venturímetro se encuentra en posición horizontal: 21 yy =

g

PP2

vv 21

2221 −

=−γ

o gg

PP2v

2v 2

12221 −=

−γ

1v y son las velocidades promedio en las secciones (1) y (2) respectivamente, y de la ecuación de continuidad observamos que si elevamos al cuadrado

2v

1v :

2211 vv AA =

4

1

2224

1

422

241

2

42

2

222

1

222

221 vv

16

16vvv ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛====

DD

DD

D

D

A

A

π

π

sustituyendo en la ecuación de Bernoulli:

4

1

222

2221

2v

2v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−DD

ggPP

γ

factorizando:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−4

1

22221 1

2v

DD

gPP

γ


de esta ecuación se conocen los diámetros y la diferencia de presiones 21 PP − , despejando a : 2v

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

4

1

2

2122

1

2v

DD

gPP

γ

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

4

1

2

212

1

2v

DD

PPg

γ

En algunas ocasiones se desprecian las pérdidas por fricción y en otras se considera que la velocidad teóri-ca se multiplica por un coeficiente de velocidad “ ”, según sea el material y las características de rugosidad del venturímetro.

2v vC

El factor oscila entre 0.95 a poco más de la unidad, pudiendo tomar como valor indicativo 0.955 para los vénturis nuevos y 0.98 para los que han estado en servicio.

vC

Así multiplicando por y por , se obtendrá la fórmula definitiva que permite calcular el gasto que circula por una tubería.

2v 2A vC

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

4

1

2

212v

1

2

DD

PPgACQ

γ

Aplicando el teorema de Bernoulli a la parte ancha (1) y al estrechamiento del tubo (2) se tiene en función de la densidad ρ :

2

222

1

211

2v

2v

yg

Py

gP

++=++γγ

2

222

1

211

2v

2v

ygg

Py

ggP

++=++ρρ

como el tubo de vénturi se encuentra en posición horizontal 21 yy = , los términos y se eliminan; y multiplicando por

1y 2ygρ toda la expresión:


g

gg

gPg

gg

gP2

v2

v 222

211 ρ

ρρρ

ρρ

+=+

2

v2

v 22

2

21

1ρρ

+=+ PP

222

12

212

11 vv ρρ +=+ PP

puesto que es mayor que , se infiere que es menor que , esto es, la presión en el estrecha-miento es menor que en el resto del tubo.

2v 1v 2P 1P

La diferencia de presiones puede medirse disponiendo lateralmente tubos verticales (piezométricos) como se indica en la siguiente figura.

Si es la diferencia de alturas entre las columnas del líquido de los tubos:

h

hPP γ=− 21

v

h 1P

2P

Diferencia de presiones O bien como se indica en la figura del venturímetro por medio de un manómetro diferencial con mercurio (ver tema 1.5.6.1).

hPP Hgγ=− 21 La disminución de la presión en un estrechamiento encuentra muchas aplicaciones técnicas. Por ejemplo podemos considerar el vapor de gasolina que penetra a la tubería de aspiración de un motor de combustión interna por la baja presión producida en el tubo de vénturi al cual está conectado el carburador. 4.9.3 Piezómetro El valor de la presión estática en un fluido en movimiento, es la presión en éste cuando el fluido no está perturbado (no fluye de manera turbulenta) y para medirla se usa un dispositivo llamado “piezómetro abierto”, que se coloca en la tubería en forma perpendicular y libre de todo tipo de bordes, pudiendo haber dos clases que se muestran a continuación. El piezómetro de la figura (b) puede medir con más facilidad presiones mayores que el mostrado en la figura (a), pues la altura del fluido en el primero es muy grande para presiones mayores que la atmosférica.


fluido v

hP γ= h

Piezómetros

fluido v

Hg h (a)

(b) Ejemplo 4.16: Descripción del empleo de un venturímetro para medición de flujo 1) Para calcular el gasto práctico (en forma directa) se tiene: Los guiones ( ___ ) son indicativos para que el alumno llene los espacios con los valores obtenidos al efectuar el experimento en el laboratorio. 3dm______V =medido

s______t =medido

s

dm_______s______

dm______tV

Q33

===medido

medidoreal

Tabla de resultados obtenidos directamente del experimento para calcular el gasto práctico

Experimento V

[ dm3 ]

t [ s ]

Qreal

[ dm3/ s ]

1

2

3


2) Para calcular el gasto teórico mediante el uso del venturímetro y de la expresión

se siguen los pasos que se indican a continuación: 22v vACQ =

a) Obtener los diámetros de las secciones transversales de la boquilla y de la garganta del venturí-metro:

cm______D1 = ; cm______D2 = Con objeto de tener mayor claridad en el desarrollo del experimento para calcular el flujo hidráulico Q , se pueden obtener adicionalmente las áreas de las secciones transversales de la boquilla y de la garganta del venturímetro, aunque en la expresión de gasto sólo se requiere el área de la garganta . 2A

( ) 22

221

1 m______cm______4

cm______3.14264DA ====

π

( ) 22

222

2 m______cm______4

cm______3.14264DA ====

π

b) Obtener la diferencia de presiones que señala el mercurio del manómetro diferencial acoplado al venturímetro (tomar lectura a partir del reposo y hasta estabilizar el flujo o fluido en movimiento):

221 mkg_______Hgmm_______PP ==−

Tabla 1: análisis de presiones obtenidas directamente en el manómetro diferencial del venturímetro

Experimento P1

[ mm Hg ]

P2

[ mm Hg ]

P1 – P2

[ mm Hg ]

P1 – P2

[ kg / m2 ]

1

2

3

c) A partir del valor de la diferencia de presiones 21 PP − medida en el manómetro acoplado al ven-turímetro y con los diámetros de las dos secciones transversales obtenemos:

La velocidad en la garganta del venturímetro: 2v( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

4

1

2

212

1

2v

DD

PPg

γ


para el nivel del mar: 2sm819.g = y

3mkg000,1=γ

para la Ciudad de México: 2sm9.78g = y

3mkg

997=γ

sustituyendo en la ecuación de velocidad los valores del experimento obtenidos en la Ciudad de México:

( )

sm_______

sm_______

smkg

mkg______

mkg______1997

smkg______

cm______cm______1

mkg997

mkg______

sm9.782

v

2

2

2

3

3

2

4

3

22

2

===

−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

xx

x

x

d) Hallar el gasto hidráulico teórico mediante la expresión: 22v vACQ =

En donde como ya indicamos (ver tema 4.9.2) el coeficiente de velocidad (adimensional) tomará el valor

de 1.0 para los venturímetros existentes en el laboratorio; oscila entre 0.955 y poco más de 1.0 ; es el

área de la garganta del venturímetro en donde la velocidad es mayor.

vC

vC 2A

2v El valor teórico del gasto hidráulico será entonces:

( ) ( )s

dm______s

m______sm______m______1vACQ

332

22vT ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Tabla 2: variables que intervienen en el cálculo del gasto teórico tQ

Experimento Cv

[adimensional]

A2

[ m2 ]

v2

[ m/s ]

Qteórico

[ m3/s ]

Qteórico

[ dm3/s ]

1

2

3


Nota: El alumno deberá comprobar que los valores de los volúmenes práctico y teórico sean semejantes, en caso de no serlo, mencionar las posibles razones de la diferencia en los resultados. 4.9.4 Aplicaciones en la Física e Ingeniería En las obras de ingeniería requerimos mover fluidos tales como el agua, petróleo, gas natural, etc., bien sea para el suministro y consumo de agua potable en las grandes ciudades y posteriormente su desalojo una vez que han sido utilizadas (aguas servidas); para su uso como combustible en los hogares y para ge-neración de energía (plantas hidroeléctricas y termoeléctricas). En la práctica debemos mover grandes volúmenes de líquidos e impulsarlos mediante bombas, midiendo el tiempo en que circulan para obtener el gasto hidráulico; el método utilizado en el laboratorio consiste en hacer pasar el caudal por un dispositivo llamado venturímetro, al que se le coloca un manómetro diferen-cial para obtener la diferencia de presiones entre la parte ancha y la estrecha. Al obtener con estos datos el gasto hidráulico real deberá compararse con el gasto o flujo teórico calculado que considera datos como la diferencia de presiones, las áreas de las secciones del venturímetro y el coeficiente de velocidad (por rugo-sidad en las paredes del venturímetro). En las instalaciones de ingeniería se usan actualmente dispositivos de alta precisión que relacionan los valores teóricos calculados con las mediciones prácticas.

10) capitulo 4 -apuntes de fisica general - josé pedro agustin valera negrete

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