PRIMER PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. 3/12/2020. DOBLE GRADO ADE-DERECHO

Cada respuesta correcta del test puntúa 0,3 puntos. Cada respuesta incorrecta resta 0,1 puntos. Haga

una circunferencia alrededor de la letra de su respuesta. Pueden dejarse preguntas sin responder.

1. En un fenómeno se han observado 2700 individuos, en el intervalo [�̅�-3S, �̅�+3S] se encuentra

siempre:

A) Al menos 2400 observaciones.

B) Menos de 2025 observaciones.

C) Menos de 1800 observaciones.

D) Menos de 1550 observaciones.

2. El cambio de escala no afecta al valor de:

A) Momentos centrados

B) Momentos no centrados

C) CV

D) Covarianza

3. Para conocer el consumo medio de nuestro nuevo coche lo hemos puesto a prueba en tres

ocasiones (en cada una hemos recorrido 100 kms pero en distintas condiciones de conducción:

ciudad, carretera comarcal y autopista). En la primera ocasión recorrimos 8 kms por cada litro, la

segunda vez 13 kms/litro y la última 11 kms/litro. ¿Cuál ha sido el consumo medio en los 300 kms

recorridos?

A) 10,67 kms/litro

B) 10,46 kms/litro

C) 10,24 kms/litro

D) 10,35 kms/litro

4. Para conocer el consumo medio de nuestro nuevo coche lo hemos puesto a prueba en tres

ocasiones (en cada una hemos recorrido 150 kms pero en distintas condiciones de conducción:

ciudad, carretera comarcal y autopista). En la primera ocasión consumió 13 litros cada 100 kms, la

segunda vez 8 litros/100kms y la última 11 litros/100kms. ¿Cuál ha sido el consumo medio en los

450 kms recorridos?

A) 10,67 litros/100kms

B) 10,46 litros/100kms

C) 10,24 litros/100kms

D) 10,35 litros/100kms

5. Cuál de las siguientes expresiones es siempre falsa:

A) 𝑆𝑥𝑦 < 𝑆𝑥𝑆𝑦

B) −𝑆𝑥𝑆𝑦 < 𝑆𝑥𝑦

C) 𝑆𝑥2𝑆𝑦

2 < 𝑆𝑥𝑦2

D) 𝑆𝑥𝑦2 < 𝑆𝑥

2𝑆𝑦2

6. Si Y=a+bX (b>0):

A) 𝑟𝑦𝑧 = 𝑟𝑥𝑧

B) 𝑟𝑦𝑧 = 𝑏𝑟𝑥𝑧

C) 𝑟𝑦𝑧 = 𝑏2𝑟𝑥𝑧

D) 𝑟𝑦𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑟𝑥𝑧

7. Conocemos que la tasa de variación del precio de la gasolina en los primeros cinco meses de un

año ha sido T5 = 5%. Si se mantiene la misma tendencia el resto del año, la tasa anual equivalente

es:

A) 12%

B) 12,25%

C) 112,4%

D) 12,42%

8. Un empleado de una cooperativa tenía un salario de 1350€ en 2019 ¿Cuántos euros debería cobrar

en 2020 para no perder poder adquisitivo? Sabiendo que los índices de precios al consumo en

porcentajes han sido: I2019/2010=115 y I2020/2010=119,6.

A) 1298,1€

B) 1410€

C) 1412,1€

D) 1404€

9. Para una serie cronológica de llegada de emigrantes, de la que se tienen datos trimestrales, su recta

de tendencia es ( ) 12 21252t t . Según la tendencia, el número total de llegada de emigrantes en

el año 2021 será:

A) 3000

B) 12000

C) 9000

D) 12036

10. La variación estacional, según el método de la razón a la tendencia, para los tres primeros

trimestres es: IVE(1º T)=20%, IVE (2º T)=80% y IVE (3º T)=100%. Entonces, el índice de

variación estacional del cuarto trimestre es:

A) IVE(4º T)=100%

B) IVE(4º T)=200%

C) IVE(4º T)=-200%

D) IVE(4º T)=66,67%

PRIMER PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. EXAMEN ESCRITO.

DOBLE GRADO ADE-DERECHO. 3/12/2020.

EJEMPLO DE RESOLUCIÓN Se entregarán los ejercicios resueltos a mano con la ayuda de una calculadora. Si alguna pregunta respondida no tiene resueltos todos sus pasos a mano (se han copiado de Excel o de otra procedencia…) la calificación de este primer parcial será suspenso.

Envíe en un único fichero pdf todos los folios donde se ha resuelto el examen a jhermoso@ugr.es. Se aconseja usar una aplicación para móvil como CamScanner o similar. El nombre del anterior fichero pdf debe ser “DNI ALUMNO” y en el asunto del correo escriba “prueba escrita TC1”.

Envíe también las soluciones con 4 decimales a través del siguiente formulario online:

https://forms.gle/JwmmhtxBLBSHxh8q7

En sus respuestas online señale los decimales solamente con una coma abajo (para la coma de los decimales utilice la tecla a la derecha de la letra M) y añada el signo menos cuando el número sea negativo (por ejemplo: -25,8). Si la respuesta es un número positivo se escribirá sin signo (por ejemplo: 25,8). No utilice puntos ni comas para marcar miles, millones,… (escriba 3520100 en lugar de 3.520.100). No incluya las unidades de medida, tantos por ciento,… (escriba 1500 en lugar de 1500€, escriba 78,25 en lugar de 78,25%,…). Cada uno de los 10 apartados vale 0,5 puntos.

Preg. Solución (4 decimales) 1 95000,0000 2 18,0000 3 -2,0933 4 -11,9206 5 1089,7228 6 96,5699 7 6,3902 8 3,7808 9 621,8795

10 251,1339

ip

iqEjercicio 1. Calcule según el beneficio obtenido por las empresas de un sector económico:

BENEFICIO % DE EMPRESAS

Li-1 Li

0 50000 ** ** ** 50000 66000 ** ** ** 66000 70000 ** 51 33 70000 85000 ** 62 44 85000 92000 ** 73 61 92000 101000 ** 94 82

101000 150000 ** 100 100 1. Al 20% de las empresas con más beneficios se les consideran empresas líderes del sector.

¿Cuál es el beneficio a partir del cual se ingresa en el grupo de empresas líderes? 2. ¿Qué porcentaje de empresas con más altos beneficios acaparan el 30% de los beneficios de

dicho sector económico?

Ejercicio 2. Calcule según las variaciones que han experimentado mis acciones en los últimos seis meses:

Junio -1,2% Julio -2,5%

Agosto 0% Septiembre -3,4%

Octubre -4,1% Noviembre -1,3%

3. La variación relativa media mensual (en %). 4. La variación relativa total en los seis meses (en %).

Ejercicio 3. Se han estudiado los gastos e ingresos mensuales en euros de 5 familias:

Gastos Ingresos Gastos x Ingresos Gastos2 Ingresos2

**** **** ******* ****** ******* **** **** ******* ****** ******* **** **** ******* ****** ******* **** **** ******* ****** ******* **** **** ******* ****** *******

Sumas: 5870 16000 23040000 8748500 61300000 5. Estime los gastos de una familia con unos ingresos de 3000€. 6. ¿En qué porcentaje están explicados los gastos en función de los ingresos?

Ejercicio 4. Calcule teniendo en cuenta la siguiente información sobre las ventas de una zapatería y el IPC.

Año 2014 2015 2016 2017 2018 2019 IPC(base 2014)% 100 105 102 IPC(base 2016)% 100 103 114 111

Ventas en euros de 2014 10300 11200 11100 11400 12000 12400

7. La tasa de crecimiento medio anual de las ventas a precios corrientes (en %). 8. La tasa de crecimiento medio anual de las ventas a precios constantes (en %).

ip

ip

iq

Ejercicio 5. La siguiente tabla recoge el número de visitas a un museo y la variación estacional (V.E.) según el método de la diferencia a las medias móviles:

1º trimestre 2º trimestre 3º trimestre 4º trimestre 2013 *** ** *** ** 2014 *** ** *** ** 2015 *** ** *** ** 2016 *** ** *** ** 2017 *** ** *** ** 2018 *** ** *** ** 2019 *** ** *** ** 2020 740 63 710 72 V.E. 212,8661 -197,3839 163,6518 -179,1339

Sabiendo que la recta de tendencia es: a= -90831,8274 b=45,1547619

9. Utilizando la tendencia secular y la variación estacional estime el número de visitas al museo para el 1º trimestre de 2021.

10. Obtenga el valor desestacionalizado del 4º trimestre de 2020.

SOLUCIONES 1. El beneficio superado por el 20% de las empresas es el mismo beneficio que no supera el 80%

restante de empresas: Li

92000 73 x 80

101000 94

101000 92000 92000 9500094 73 80 73

x x− −= ⇒ =

− −

2. Calculamos el porcentaje de empresas con beneficios más bajos que acaparan el 70% de los beneficios del sector:

73 61 x 70

94 80

94 73 73 8282 61 70 61

x x− −= ⇒ =

− −

Si el 82% de empresas con menores beneficios acaparan el 70% de los beneficios del sector, el 18%=(100-82)% restante de empresas con mayores beneficios acaparan el 30% restante de los beneficios del sector.

3. 661 (1 0,012) (1 0,025) 1 (1 0,034) (1 0,041) (1 0,013) 0,880794 0,979067TM+ = − × − × × − × − × − = =

0,979067 1 0,020933 % 2,0933%TM TM= − = − = −

4. 6T = tasa de variación de los 6 meses. 1T = tasa de variación de un mes.

6 1 1 1 1 1 11 (1 ( )) (1 ( )) (1 ( )) (1 ( )) (1 ( )) (1 ( ))T T jun T jul T ago T sep T oct T nov+ = + × + × + × + × + × + = (1 0,012) (1 0,025) 1 (1 0,034) (1 0,041) (1 0,013) 0,880794= − × − × × − × − × − =

6 60,880794 1 0,119206 % 11,9206%T T= − = − = −

5. x=ingresos y=gastos 16000 58703200 11745 5

x y= = = =

2 2 2 261300000 87485003200 2020000 1174 3714245 5x yS S= − = = − =

it

( )t a b tτ = +

( )23040000 3200 1174 8512005xyS = − × =

( ) ( )2

8512001174 3200 0,421386 174,43562020000

xy

x

Sy y x x y x y x

S− = − ⇔ − = − ⇔ = −

( )3000 0, 421386 3000 174,4356 1089,7224xy = = × − =

6. 2 2

2 22 2

851200 0,965699 % 96,5699%2020000 371424

xy

x x

Sr r

S S= = = =

×

7. Multiplicando por 1,02 los IPC(base 2016) se obtienen los IPC(base 2014), /2014tIPC . En negrita. Solo necesitamos calcularlo para 2019 (113,22).

Año 2014 2015 2016 2017 2018 2019 IPC(base 2014)% 100 105 102 105,06 116,28 113,22 IPC(base 2016)% 100 103 114 111

Ventas en euros de 2014 10300 11200 11100 11400 12000 12400 Ventas en euros de 2014: 2014( )eurosventas t . Ventas en euros corrientes de cada año: ( )euros tventas t

2014 2014 /2014/2014

( )( ) ( ) ( )euros t

euros euros t euros tt

ventas tventas t ventas t ventas t IPC

IPC= ⇒ = ×

Año 2014 2015 2016 2017 2018 2019 IPC(base 2014)% 100 105 102 105,06 116,28 113,22

Ventas en euros de 2014 10300 11200 11100 11400 12000 12400 Ventas en euros corrientes 10300 11760 11322 11976,84 13953,6 14039,28

Sólo necesitamos calcularlo para 2019 (14039,28). 12400 1,1322 14039,28× =

514039,28 1 0,063902 6,3902%

10300− = ⇒

8. Para calcular la tasa de crecimiento medio anual de las ventas a precios constantes usamos los datos del enunciado que están en euros constantes de 2014

512400 1 0,037808 3,7808%10300

− = ⇒

9. 90831,8274 (45,1547619 2021(20 ) 425,946) 421τ − + × ==

411,2887 5,6463 (1º 2021 425,9464 5,6443)4

11,2887 409,0132

48

bb b Tτ= = = = − − =

(1º 2021) (1º 2021) (1º ) 409,0134 212,8661 621,8795Y T T VE Tτ = + == +

10. (4º 2020) (4º ) 72 ( 179,1339) 251,1339Y T VE T− = − − =

SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 8/1/2021

APELLIDOS: NOMBRE:

DNI: GRUPO: A Cada pregunta tipo test vale 0,3 puntos. Cada pregunta tipo test incorrecta resta 0,1 puntos. Pueden dejarse preguntas sin responder (0 puntos). Haga una circunferencia alrededor de la letra de la respuesta elegida. Cada apartado de los problemas vale 1 punto.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta?

A) A B A B− =

B) A B A B− =

C) A B A B− =

D) A B A B− =

2. Si A B⊂ son dos sucesos con diferentes

probabilidades no nulas, entonces:

A) ( ) ( )P A P B≥

B) ( ) ( )P A B P A=

C) ( / ) 0P A B =

D) ( / ) 1P A B =

3. La probabilidad de A B C es:

A) ( ) ( / ) ( / )P A P B A P C B

B) ( ) ( / ) ( / )P A P A B P A B C

C) ( ) ( / ) ( / )P C P B C P A C B

D) ( ) ( / ) ( / )P A P B A P C A B

4. P(X)=0,5 P(Y)=p P(X Y )=0,9 . Si X e Y

son incompatibles:

A) p=0,4

B) p=0,6667

C) p=0,8

D) p=0,3333

5. Señale la igualdad correcta:

A) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

B) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

C) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

D) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

6. Si X e Y son variables aleatorias independientes

es falso que:

A) Cov[X,Y]=0

B) Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]

C) E[XY]=E[X]E[Y]

D) Var[X-Y]=Var[X]-Var[Y]

7. El momento μ 4 es igual a:

Α) 𝛼𝛼4 − 4𝛼𝛼3𝛼𝛼2 + 6𝛼𝛼2𝛼𝛼12 − 3𝛼𝛼14

B) 𝛼𝛼4 − 4𝛼𝛼3𝛼𝛼1 + 6𝛼𝛼2𝛼𝛼12 − 3𝛼𝛼14

C) 𝛼𝛼4 − 4𝛼𝛼3𝛼𝛼1 + 6𝛼𝛼2𝛼𝛼12 − 3𝛼𝛼24

D) 𝛼𝛼4 − 4𝛼𝛼3𝛼𝛼1 + 6𝛼𝛼3𝛼𝛼12 − 3𝛼𝛼14

8. ¿Cuál de las siguientes propiedades de la

esperanza matemática no es siempre cierta?

A) [ ]2 2 0E X E X − ≥

B) [ ] [ ]E aX b aE X b− = −

C) [ ] [ ] [ ]E XY E X E Y=

D) [ ] [ ] [ ]E X Y E X E Y− = −

9. Si X es una variable B(4; 0,1):

A) [ ] [ ]0,4 0,6E X Xσ= =

B) [ ] [ ]0,1 0,3E X Xσ= =

C) [ ] [ ]0,4 0,36E X Xσ= =

D) [ ] [ ]0,1 0,09E X Xσ= =

10. Si X es una variable P(9):

A) [ ] [ ]9 81E X Var X= =

B) [ ] [ ]9 3E X Var X= =

C) [ ] [ ]3 9E X Var X= =

D) [ ] [ ]9 9E X Var X= =

11. Sean X, Y y Z tres sucesos tales que: P(X)=0,53 P(Y)=0,55 P(Z)=0,50 P(X∩Y)=0,27 P(X∩Z)=0,25 P(Y∩Z)=0,22 P(X∩Y∩Z)=0,10

a) Probabilidad de que no ocurra ninguno. b) Probabilidad de que no ocurra X ni Y pero si Z.

12. Dada la siguiente función de densidad:

0 01 0 2

18( ) 2 6

180 6

x

xf x

x x

x

≤ < ≤= < ≤ <

Calcule: a) Media. b) Función de distribución. c) Mediana.

13. Una empresa recibe cada día un promedio de 4 llamadas de clientes insatisfechos.

a) Probabilidad de que en un día se reciban exactamente 4 llamadas de clientes insatisfechos.

b) Probabilidad de que en 2 o más días de una semana se reciban exactamente 4 llamadas de clientes insatisfechos cada día. Considerando que una semana son sólo 5 días laborables.

SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 8/1/2021

APELLIDOS: NOMBRE:

DNI: GRUPO: B Cada pregunta tipo test vale 0,3 puntos. Cada pregunta tipo test incorrecta resta 0,1 puntos. Pueden dejarse preguntas sin responder (0 puntos). Haga una circunferencia alrededor de la letra de la respuesta elegida. Cada apartado de los problemas vale 1 punto.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta?

A) A B B A⊆ ⇒ ⊆

B) A B A B⊆ ⇒ ⊆

C) A B B A⊆ ⇒ ⊆

D) A B B A⊆ ⇒ ⊆

2. Si A B⊂ son dos sucesos con diferentes

probabilidades no nulas, entonces es falso:

A) ( ) ( )P A P B≤

B) ( ) ( )P A B P A=

C) ( / ) 1P B A =

D) ( / ) 1P A B =

3. P(X)=0,5 P(Y)=p P(X Y )=0,9 . Si X e Y

son independientes:

A) p=0,8

B) p=0,4

C) p=0,6667

D) p=0,3333

4. Señale la igualdad correcta:

A) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

B) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

C) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

D) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=

5. Si X e Y son variables aleatorias dependientes

con Cov[X,Y]≠0 es falso que:

A) E[X+Y]= E[X]+ E[Y]

B) Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]

C) E[X-Y]=E[X]-E[Y]

D) Var[aX]=a2 Var[X]

6. El momento μ3 es igual a:

A) 𝛼𝛼3 + 3𝛼𝛼2𝛼𝛼1 − 2𝛼𝛼13

B) 𝛼𝛼3 − 3𝛼𝛼2𝛼𝛼1 + 2𝛼𝛼13

C) 𝛼𝛼3 − 2𝛼𝛼2𝛼𝛼1 + 3𝛼𝛼13

D) 𝛼𝛼3 + 2𝛼𝛼2𝛼𝛼1 − 3𝛼𝛼13

7. Sean X e Y variables aleatorias independientes

con varianzas no nulas. Es falso:

A) [ ] [ ]Var X c Var X+ =

B) [ ] [ ]2Var cX c Var X=

C) [ ] [ ] [ ]Var X Y Var X Var Y+ = +

D) [ ] [ ] [ ]Var X Y Var X Var Y− = −

8. Si X es una variable B(4; 0,8):

A) [ ] [ ]0,8 0,4E X Xσ= =

B) [ ] [ ]3,2 0,64E X Xσ= =

C) [ ] [ ]3,2 0,8E X Xσ= =

D) [ ] [ ]0,8 0,16E X Xσ= =

9. Si X es una variable P(3):

A) [ ] [ ]3 9E X Var X= =

B) [ ] [ ]3 3E X Var X= =

C) [ ] [ ]3 3E X Var X= =

D) [ ] [ ]3 3E X Var X= =

10. La probabilidad de A B C es:

A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A B P B C P A C P A B C+ + + + + −

B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A B P B C P A C P A B C+ + − − − −

C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A B P B C P A C P A B C+ + − − − +

D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A B P B C P A C P A B C+ + − − − +

11. Las piezas de una factoría se realizan en cuatro máquinas: M1, M2, M3 y M4. La primera máquina

produce el 10% de todas las piezas, la segunda produce el 20%, la tercera produce el 30% y la cuarta produce el 40%. Las piezas se almacenan juntas. Sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada una de las máquinas son: 1% para M1, 2% para M2, 3% para M3 y 4% para M4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una pieza al azar ésta no sea defectuosa y no haya sido producida por la máquina M1?

b) Se ha seleccionado una pieza no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido producida por la máquina M1?

12. La demanda de un producto tiene la siguiente función de distribución:

2

0 0

0 520( )

5 10100

1 10

xx x

F xx x

x

≤ < ≤= < ≤ <

Obtenga:

a) Mediana. b) Función de densidad. c) Media.

13. En las máquinas de un taller se producen 3 averías por término medio a la semana.

a) Probabilidad de que en una semana se produzcan exactamente 3 averías. b) Probabilidad de que en 2 o más semanas de un mes se produzcan exactamente 3 averías

cada semana. Considerando que un mes son 4 semanas.

SOLUCIONES. GRUPO A.

11.-

a) ( ) ( ) 1 ( ) 1 0,94 0,06P X Y Z P X Y Z P X Y Z= = − = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,53 0,55 0,50 0,27 0,25 0,22 0,10 0,94

P X Y Z P X P Y P Z P X Y P X Z P Y Z P X Y Z= + + − − − + == + + − − − + =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,50 0,25 0, 22 0,10 0,13P X Y Z P Z P X Z P Y Z P X Y Z= − − + = − − + =

O de esta segunda forma:

( ) ( ) ( ) 0,94 0,81 0,13P X Y Z P X Y Z P X Y= − = − =

( ) ( ) ( ) ( ) 0,53 0,55 0,27 0,81P X Y P X P Y P X Y= + − = + − =

La justificación gráfica es la siguiente, donde debemos calcular la probabilidad del suceso marcado con líneas horizontales-negras y verticales-azules:

12.-

a) [ ]2 6 2 6 2

0 2 0 2

1 1 1( )18 18 18 18

xE X x f x dx x dx x dx x dx x dx∞

−∞= = + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 62 3

0 2

1 1 2 208 214 3,9629618 2 18 3 18 54 54

x x = + = + = =

b)

Si x<0 ( ) ( ) 0x

F x f t dt−∞

= =∫

Si 0 2x< ≤ 0

0

1( ) ( )18 18 18

xx x t xF x f t dt dt−∞

= = = = ∫ ∫

Si 2 6x< ≤ 2 2 2 2 22

0 20 2

1 2 2( ) ( )18 18 18 36 18 36 36 36

xx x t t t x xF x f t dt dt dt−∞

= = + = + = + − = ∫ ∫ ∫

Si 6 x< 62 22 6

0 20 2

1( ) ( ) 118 18 18 36

x t t tF x f t dt dt dt−∞

= = + = + = ∫ ∫ ∫

2

0 0

0 218( )

2 6361 6

xx x

F xx x

x

≤ < ≤= < ≤ <

c)

( ) ( )22 0,5 6 1 0,5 2 618

F F Me= < = > ⇒ < <

( )2

20,5 18 4,2426436

MeF Me Me Me= = ⇔ = ⇔ =

13.-

a) X = número de llamadas de clientes insatisfechos/día (Poisson: λ=4)

[ ]4 444 0,195374!

eP X−

= = =

b) Y= número de días con cuatro llamadas de clientes insatisfechos en los 5 días laborables de la semana (Binomial: n=5, p=0,19537)

[ ] [ ] [ ] 0 5 1 45 52 1 0 1 1 0,19537 0,80463 0,19537 0,80463

0 11 0,33727 0,40946 0,25327

P Y P Y P Y ≥ = − = − = = − × − × =

= − − =

SOLUCIONES. GRUPO B.

11.-

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( 1) 0,10 ( 2) 0,20 ( 3) 0,30 ( 4) 0,40

0,01 0,02 0,03 0,041 2 3 4:

0,99 0,98 0,97 0,961 2 3 4

P M P M P M P MD D D DP P P PM M M M

por el complementario

D D D DP P P PM M M M

= = = =

= = = =

= = = =

a)

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( 1) 2 3 4 2 3 4

2 3 4 0,196 0,291 0,384 0,871

P D M P D M M M P D M D M D M

P D M P D M P D M

= = =

= + + = + + =

( )( )( )

( 2) ( 2) 0,20 0,98 0,1962

( 3) ( 3) 0,30 0,97 0,2913

( 4) ( 4) 0,40 0,96 0,3844

DP D M P M P M

DP D M P M P M

DP D M P M P M

= = × =

= = × =

= = × =

O de esta segunda forma, usando resultados del apartado b:

( )1( 1) ( ) 0,97 0,89794 0,871MP D M P D PD

= = × =

b)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)1 2 3 40,10 0,01 0,20 0,02 0,30 0,03 0,40 0,04 0,001 0,004 0,009 0,016 0,03

D D D DP D P M P P M P P M P P M PM M M M= + + + =

= × + × + × + × = + + + =

( ) 1 ( ) 0,97P D P D= − =

( ) ( ) ( ) ( 1) 0,99 0,1011 11 1 1 1 0,10206 0,897940,97( )

DP P MMM MP PD D P D

×= − = − = − = − =

12.-

a) ( ) ( )55 0,5 10 1 0,5 5 1020

F F Me= < = > ⇒ < <

( )2

20,5 50 7,0711100MeF Me Me Me= = ⇔ = ⇔ =

b) 0 01 0 520( ) '( )

2 5 10100 50

0 10

x

xf x F x

x x x

x

≤ < ≤= = = < ≤ <

c)

[ ]5 10 5 10 2

0 5 0 5

1 1 1( )20 50 20 50

xE X x f x dx x dx x dx x dx x dx∞

−∞= = + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5 102 3

0 5

1 1 25 875 155 6,45833320 2 50 3 40 150 24

x x = + = + = =

13.-

a) X = número de averías/semana (Poisson: λ=3)

[ ]3 333 0,224043!

eP X−

= = =

b) Y= número de semanas con tres averías en las 4 semanas del mes (Binomial: n=4, p=0,22404)

[ ] [ ] [ ] 0 4 1 34 42 1 0 1 1 0,22404 0,77596 0,22404 0,77596

0 11 0,36254 0,41870 0,21876

P Y P Y P Y ≥ = − = − = = − × − × =

= − − =

EXAMEN FINAL ORDINARIO DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 19/1/2021

APELLIDOS: NOMBRE:

DNI: GRUPO:

Cada pregunta tipo test vale 0,3 puntos. Cada pregunta tipo test incorrecta resta 0,1 puntos. Pueden dejarse preguntas sin responder (0 puntos). Haga una circunferencia alrededor de la letra de la respuesta elegida. Cada problema vale 1 punto.

1. En los últimos 5 años el precio de la gasolina ha experimentado las siguientes variaciones: 4%, 10%, ˗2%, ˗10% y ˗2%. Calcule el porcentaje de variación media anual:

A) 0 % B) ˗0,2244 % C) 0,9978 % D) ˗0,152 %

2. En una variable estadística que no toma un único valor:

A) G < H < �̅�𝑥 B) �̅�𝑥 < G < H C) H < G < �̅�𝑥 D) �̅�𝑥 < H < G

3. Sea una distribución de frecuencias con media=300, varianza=36 y n=5000. El conjunto ( ) ( ), 288 312 , −∞ ∞ contiene un número de observaciones:

A) Mayor o igual que 1250 B) Menor o igual que 1250 C) Mayor o igual que 3750 D) Mayor que 1250 y menor que 3750.

4. Cuál de las siguientes expresiones nunca se cumple:

A) 𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 < 𝑆𝑆𝑥𝑥𝑆𝑆𝑥𝑥 B) −𝑆𝑆𝑥𝑥𝑆𝑆𝑥𝑥 < 𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥 C) 𝑆𝑆𝑥𝑥2𝑆𝑆𝑥𝑥2 < 𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥2 D) 𝑆𝑆𝑥𝑥𝑥𝑥2 < 𝑆𝑆𝑥𝑥2𝑆𝑆𝑥𝑥2

5. La desigualdad de Tchebycheff afirma:

A) [ ] 2

11P X E X kk

σ − < ≥ −

B) [ ] 2

11P X E X kk

σ − > ≥ −

C) [ ] 2

11P X E X kk

σ − < ≤ −

D) [ ] 2

11P X E X kk

σ − > ≤ −

6. El cambio de origen no afecta al valor de: A) Mo B) CV C) �̅�𝑥 D) 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥2

7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es cierta?

A) ( )/ ( ) ( / ) ( )P A B P B P B A P A=

B) ( )/ 1 ( / )P A B P A B= −

C) ( ) ( ) ( / )P A B P A P A B=

D) ( ) ( ) ( / )P A B P A P B A= +

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es cierta? A) ( ) ( / ) ( / ) ( )P A B C P B A C P A C P C=

B) ( )( / )( )

P A BP B AP B

=

C) 1

( ) ( / ) ( )n

i ii

P A P A B P B=

=∑

D) ( / ) ( )( / )( )

i ii

P B A P AP A BP B

=

9. ¿Cuál de las siguientes expresiones es cierta?

A) [ ] [ ]Var aX b a Var X b+ = +

B) [ ] [ ]2 2Var aX b a Var X b+ = +

C) [ ] [ ]2Var aX b a Var X+ =

D) [ ] [ ]Var aX b a Var X+ = 10. Si X es una variable G(0,8):

A) [ ] 0,16E X =

B) [ ] 4E X =

C) [ ] 0,8E X =

D) [ ] 0,25E X =

11. Durante el mes pasado hemos repostado gasolina en 4 ocasiones. En cada una de ellas pusimos combustible por la misma cantidad de euros. La primera vez a 1,55€/litro, la segunda a 1,35€/litro, la tercera a 1,15€/litro y la cuarta a 1,05€/litro. ¿Cuál fue el precio medio pagado por litro?

12. Se ha observado en 10 ocasiones los miles de litros vendidos y el precio/litro en una gasolinera: litros precio litros x precio litros2 precio2

90 1,12 100,80 8100 1,2544

… … … … … 50 1,55 77,50 2500 2,4025

Sumas: 600 14 772,45 42500 20,3130

Estime los litros que se venderán cuando el precio sea 1,37 €/litro.

13. En los cuatro primeros meses de un año el precio de la gasolina ha subido un 2,5%. ¿Cuál será la subida estimada para ese año si en los restantes meses del año se mantiene la misma tendencia observada en los cuatro primeros?

14. La tendencia de la serie cronológica de venta de miles de litros de gasolina en una estación de servicio es ( ) 145 24( 2013)t tt = + − . Estime, según la tendencia, las ventas para cada trimestre del año 2021.

15. Se ha observado el precio del barril de petróleo en tres compañías petroleras X, Y y Z . Las probabilidades de que suba el precio en cada una son: P(X)=0,5 P(Y)=0,6 P(Z)=0,4 . Las probabilidades de que suba en dos de ellas son: P(X∩Y)=0,3 P(Y∩Z)=0,2 P(X∩Z)=0,2 . Y la probabilidad de que suba en las tres: P(X∩Y∩Z)=0,1.

a) (0,5 puntos) ¿Es independiente la subida del precio en una compañía de otra? b) (0,5 puntos) Probabilidad de que sólo suba el precio en X.

16. El consumo de un vehículo depende de múltiples factores: temperatura, calidad del combustible, modo

de conducción, … Dicho consumo puede representarse mediante una variable aleatoria continua con la siguiente función de distribución:

3

0 11( ) 1 10

9991 10

xxF x x

x

≤ −= < ≤

<

Calcule el consumo medio.

17. Una empresa de compraventa de automóviles usados recibe camiones con automóviles procedentes de una empresa de alquiler. Cada camión transporta 15 coches, es sometido a un control de calidad que consiste en examinar 4 coches y si se encuentran 2 o más con defectos notables se devuelve el camión al proveedor. Calcule la probabilidad de rechazar un camión que tiene 5 coches con defectos notables.

SOLUCIONES

11. 4 1,2469 € /1 1 1 11,55 1,35 1,15 1,05

H litro= =+ + +

12. X=precio, Y=miles de litros 14 60010 1,4 6010 10

n x y= = = = =

22 2 2

1 1

1 20,3130 1 772,451,4 0,0713 (1,4 60) 6,75510 10

n n

x i xy i ii i

S x x S x y x yn n= =

= − = − = = − = − × = − ∑ ∑� �

( ) ( )2

6,75560 1,4 94,74 192,63670,0713

xy

x

Sy y x x y x y x

S−

− = − ⇔ − = − ⇔ = − +

( )1,37 94,74 1,37 192,6367 62,8429xy = = − × + = miles de litros

13. 3(1 0,025) 1 0,07689 7,689%+ − = ⇒

14. ( )2021 145 24(2021 2013) 337t = + − = 24 64= aumenta la tendencia cada trimestres 6 3

2= aumenta la tendencia en medio trimestre

337+3=340 tendencia en el 3º trimestre de 2021. 340+6=346 tendencia en el 4º trimestre de 2021. 340-6=334 tendencia en el 2º trimestre de 2021. 334-6=328 tendencia en el 1º trimestre de 2021.

15. a) P(X∩Y)=0,3= P(X) P(Y)=0,5x0,6 X e Y son independientes P(X∩Z)=0,2= P(X) P(Z)=0,5x0,4 X y Z son independientes P(Y∩Z)=0,2≠ P(Y) P(Z)=0,6x0,4 Y y Z no son independientes

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,3 0,2 0,1 0,1P X Y Z P X P X Y P X Z P X Y Z= − − + = − − + =

Otra forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,5 0,6 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0,9

P X Y Z P X P Y P Z P X Y P X Z P Y Z P X Y Z= + + − − − + == + + − − − + =

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 0,2 0,8P Y Z P Y P Z P Y Z= + − = + − =

16. ( ) ( )2

1 10' 3330

x xF x f xen el resto

< ≤= =

[ ]102 410 10 3

1 11

1 1 1 10000 1 9999 1111( ) 7,5068333 333 333 4 333 4 1332 148x xE X x f x dx x dx x dx

∞

−∞

−= = = = = = = =

∫ ∫ ∫

17. 5º 4 15,4,

15X n de coches con defectos en los coches examinados =

=

( ) ( ) ( ) 0,9 0,8 0,1P X Y Z P X Y Z P Y Z= − = − =

N=15 Np=5 Nq=10 n=4

[ ] [ ] [ ]

5 10 5 100 4 1 3

2 1 0 1 1 1 0,15385 0,43956 0,4065915 154 4

X X X

≥ = − = − = = − − = − − =

P P P

EXAMEN FINAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I. Doble Grado ADE-Derecho. 21/6/2021

APELLIDOS: NOMBRE:

DNI: GRUPO:

Cada pregunta tipo test vale 0,3 puntos. Cada pregunta tipo test incorrecta resta 0,1 puntos. Pueden dejarse preguntas sin responder (0 puntos). Haga una circunferencia alrededor de la letra de la respuesta elegida. Cada problema vale 1 punto.

1. A lo largo del último año hemos cambiado euros por libras esterlinas en tres ocasiones. Siempre hemos comprado la misma cantidad de libras. En la primera ocasión a 1,10€/£, la segunda vez a 1,16€/£ y la última a 1,25€/£. ¿Cuál ha sido el cambio medio pagado por libra?

A) 1,17€/£. B) 1,1668€/£. C) 1,1684€/£. D) 1,1675€/£.

2. Cuál de las siguientes medidas no es de posición

central: A) Mediana. B) Decil quinto. C) Moda D) Mediala.

3. Si 𝑆𝑆𝑦𝑦=5 y 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑦𝑦=0,4 , entonces la varianza

residual de la recta de regresión de Y/X es igual a: A) 3 B) 4,2 C) 21 D) 4

4.El factor de variación unitaria para un año, 121 T+ , se puede escribir en función de los factores de variación unitaria de cada uno de sus meses,

11 ( )T i+ , como:

A) ( )12

12 11

1 1 ( )i

T T i=

+ = +∑

B) ( )12

12 11

1 1 ( )i

T T i=

+ = +∏

C) ( )1212 11 1 (1)T T+ = +

D) ( )12

1212 11

1 1 ( )i

T T i=

+ = +∏

5. Señale la igualdad correcta:

A) A B C A B C= B) A B C A B C= C) A B C A B C= D) A B C A B C=

6. Toda función de densidad cumple: A) '( ) ( )f x F x=

B) 0

( ) 0,5f x dx−∞

=∫

C) 0 ( ) 1a

f x dx−∞

≤ ≤∫ D) Todo es cierto

7. X es una variable H(21, 9, 1/3):

A) [ ] 3E X =

B) [ ] 63E X =

C) [ ] 7E X =

D) [ ] 2E X = 8. ¿Cuál de las siguientes propiedades de la esperanza matemática no es siempre cierta?

A) [ ] 0E X E X − =

B) [ ] [ ]E aX b aE X b− = −

C) [ ] [ ] [ ]E XY E X E Y=

D) [ ] [ ] [ ]E X Y E X E Y− = −

9. Sea F(x) una función de distribución continua, entonces:

A) ( ) 0 ( ) 1F F+∞ = −∞ = B) ( ) '( )f x F x= C) ( ) ( )i j i jP x X x F x F x < < = −

D) [ ] ( ) 1P X x F x> = −

10. Según el método de la diferencia a las medias móviles, la variación estacional para los tres primeros trimestres es: E(1ºT) = 21, E(2ºT) 46= − y E(3ºT) = 50. Entonces la variación estacional del cuarto trimestre es:

A) E(4ºT) = 25 B) E(4ºT) 25= − C) E(4ºT) = 75 D) E(4ºT) 75= −

11. En 2013 se invirtió en acciones de la sociedad UNO 315000 euros y en 2020 su valor era ya de 455000. En 2014 se invirtió 300000 euros en acciones de la sociedad DOS que alcanzaron en 2019 el valor de 400000 euros. ¿Qué acciones considera más rentables basándose en la rentabilidad media observada para cada tipo de acciones?

12. El beneficio obtenido por un grupo de empresas hosteleras ha sido: beneficio 5000-10000 10000-20000 20000-30000 30000-40000 40000-50000

nº de empresas 30 100 200 120 50 Calcule el porcentaje de empresas con unos beneficios comprendidos entre 20000 y 36000.

13. De un sistema de índices de precios de consumo se tiene la siguiente información estadística sobre los grupos de artículos que componen la cesta de la compra:

Grupo 0iu de 2013 en % IPC2020/2013 I. Alimentación

II. Vestido III. Vivienda IV. Transporte V. Otros

40 25 10 20 5

130 140 125 150 120

Si el alquiler de un piso se pactó en 2013 en 380 euros/mes, ¿cuál será su valor actualizado en 2020 de acuerdo con la evolución del IPC general?

14. Dadas las siguientes series de números índices de precios al consumo y de salarios Año IPC (base 2005) IPC (base 2017) IPC (base 2019) Salarios (€) 2015 118 800 2016 132 850 2017 135 100 900 2018 103 950 2019 107 100 1000 2020 112 1050

¿En qué años los salarios tuvieron el mayor y el menor poder adquisitivo?

15. Se ha observado el precio del barril de petróleo en tres compañías petroleras X, Y y Z . Las probabilidades de que suba el precio en cada una son: P(X)=0,5 P(Y)=0,6 P(Z)=0,4 . Las probabilidades de que suba en dos de ellas son: P(X∩Y)=0,3 P(Y∩Z)=0,2 P(X∩Z)=0,2 . Y la probabilidad de que suba en las tres: P(X∩Y∩Z)=0,1.

a) Probabilidad de que sólo suba el precio en X e Y. b) Probabilidad de que sabiendo que Z ha subido el precio, también suba en Y.

16. El consumo de un vehículo depende de múltiples factores: temperatura, calidad del combustible, modo

de conducción, … Dicho consumo puede representarse mediante una variable aleatoria continua con la siguiente función de distribución:

3

0 11( ) 1 10

9991 10

xxF x x

x

≤ −= < ≤

<

a) P[0<X<5] b) Consumo superado en el 10% de las ocasiones.

17. Una empresa de compraventa de automóviles usados recibe camiones con automóviles procedentes de una empresa de alquiler. Cada camión transporta 15 coches, es sometido a un control de calidad que consiste en examinar 4 coches y si se encuentran 2 o más con defectos notables se devuelve el camión al proveedor. Si en término medio se reciben 2 camiones cada semana, calcule la probabilidad de que en las 4 semanas laborables de un mes se reciban más de 3 camiones.

SOLUCIONES

11. 7455000 1 0,0539 5,39%315000

− = 5400000 1 0,0592 5,92%300000

− =

12. beneficios in iN ip 5000-10000 30 30 6

10000-20000 100 130 26 20000-30000 200 330 66 30000-40000 120 450 90 40000-50000 50 500 100

30000 36000 40000

66 x 90

40000 30000 90 66 24 6000 66 80,436000 30000 66 10000

xx

− − ×= = + =

− −

80,4% 26% 54,4%− = de las empresas tienen unos beneficios comprendidos entre 20000 y 36000

13. 2020/2013( ) (0, 40 130) (0,25 140) ... (0,05 120) 135,5IPC general = × + × + + × = 380€ 1,355 514,9€× = 14.

Año IPC (base 2005) IPC (base 2017) IPC (base 2019) Salarios (€ corrientes)

Salarios (€ de 2017)

2015 118 118/1,35=87,41 800 915,23 2016 132 132/1,35=97,78 850 869,30 2017 135 100 900 900 2018 103 950 922,33 2019 107 100 1000 934,58 2020 112x1,07=119,84 112 1050 876,17

Dividiendo los salarios en euros corrientes por los índices de precios en base al 2017 (expresados en tantos por uno) obtenemos los salarios en euros constantes del 2017, donde observamos que en el año 2016 (869,30€ del 2017) tuvieron su menor poder adquisitivo y en el año 2019 (934,58€ del 2017) el mayor.

15. a) ( ) ( ) ( ) 0,3 0,1 0,2P X Y Z P X Y P X Y Z= − = − =

b) ( ) ( ) 0,2 0,5( ) 0,4

P Y ZYP Z P Z= = =

16. a) [ ]35 1 1240 5 (5) (0) 0 0,124124999 999

P X F F −< < = − = − = =

b) [ ] [ ]3

9090 90 90 90

10,10 ( ) 0,90 ( ) 0,90999

PP X P F P P X P F P −> = ⇔ = ≤ = ⇔ = =

3 390 90900,1 900,1 9,65525P P= = =

17. Y=número de camiones/semana ( )2

Z=número de camiones/4 semanas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 8+ + + =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]8 0 8 1 8 2 8 38 8 8 83 1 0 1 2 3 10! 1! 2! 3!

1 0,00034 0,00268 0,01073 0,02863 1 0,04238 0,95762

e e e eP Z P Z P Z P Z P Z− − − −

> = − = − = − = − = = − − − − =

= − − − − = − =

iL ip