Tema: Probabilidad

1. SUCESOS ALEATORIOS

Experimentos aleatorios

Un fenómeno o experimento es aleatorio si no puede predecirse cuál será su resultado. En caso contrario se dice que el fenómeno es determinista.

• Los experimentos aleatorios se distinguen por los siguientes rasgos:

I. Todos los posibles resultados son conocidos con anterioridad a su realización.

II. No se puede predecir el resultado de cada experimento particular.III. El experimento puede repetirse en condiciones idénticas.

• Lanzar al aire una moneda y observar el resultado es un experimento aleatorio simple. Cuando se repite un experimento aleatorio simple da lugar a un experimento aleatorio compuesto.

Espacio muestral de un experimento aleatorio

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa con E.

• Para obtener el espacio muestral de los experimentos compuestos resulta conveniente en muchos casos utilizar un diagrama en árbol.

• Si se lanza tres veces una moneda, el espacio muestral es el siguiente:

El número de elementos del espacio muestral es: 23 = 8

Sucesos aleatorios

• Los elementos de un espacio muestral se llaman sucesos elementales o puntos muestrales.

• Los conjuntos formados por varios sucesos elementales se llaman sucesos.

• Suceso seguro: es el que se verifica siempre. Coincide con el espacio muestral.

• Suceso imposible: el que no se produce nunca. Es el conjunto vacío: .

• A B si todos los resultados del suceso A están en B. - apuntes -

Espacio muestral asociado al fenómeno aleatorio “lanzar un dado” : E = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}

• Sucesos elementales: {1}, {2},...

• Otros sucesos no elementales: A = {2, 4, 6} = "obtener puntuación par”. B = {2, 4} = "obtener puntuación par y menor que 6”.

• Se cumple que B A: siempre que ocurre B ocurre A, pero no al

revés.

• Observa, los sucesos se describen como conjuntos: entre llaves y

detallando sus elementos.

• 3

• 5• 1E

• 6

• 4• 2

Operaciones con sucesos: suceso contrario

El suceso «no ocurre A» está formado por los resultados que no pertenecen a A y recibe el nombre de suceso contrario de A; se representa por Ac.

E

Operaciones con sucesos: unión

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B.

El suceso A unión B se representa por A B o también por A ó B. El suceso A B está formado por los puntos muestrales de A y B.

Sean: • A = {2, 3 , 4} y • B = {4, 5, 6}

A B = {2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo: consideremos el fenómeno aleatorio tirar un dado.

A

B• 5• 6

• 1

• 2 • 4• 3

Operaciones con sucesos: intersección La intersección se dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, representada por A B, es el suceso que se produce cuando se realizan A y B simultáneamente.

El suceso A B está formado por los puntos muestrales comunes a A y B.

B

A

Sean: • A = {2, 3 , 4} y • B = {4, 5, 6} • 5

• 6

• 1

• 2• 3

• 4

Ejemplo: consideremos el fenómeno aleatorio tirar un dado.

A B = {4}

E

Propiedades de las operaciones con sucesos- apuntes -

Se dice que el Conjunto de los Sucesos S con esas operaciones y propiedadestiene estructura de Álgebra de Boole

Ejercicio: - apuntes -

De una baraja de 40 cartas extraemos una carta. Sean los sucesos: A = sacar copas B = sacar as C = sacar as de oros

Determina los sucesos siguientes:

a) A B

b) A U Cc) B C

d) A Ac

e) (A U B) Cc

f) B - C

Intersección de sucesos: incompatibilidad

Si dos sucesos pueden ocurrir a la vez se dice que son compatibles. Entonces:

A B .

Si dos sucesos no pueden ocurrir a la vez se dice que son incompatibles. A y B son incompatibles si el suceso «A y B» es el suceso imposible, es decir:

A B = .

Sucesos compatibles

Sucesos incompatibles

Operaciones con sucesos: diferencia de sucesos

Sean: A = {2, 3, 4} B = {4, 5, 6}

• 5• 6

• 1

• 2• 3

• 4

A - B = {2, 3}}

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso diferencia de A y B al suceso que se produce cuando se realiza A pero no se realiza B.

El suceso A diferencia B se representa por A-B. El suceso A-B = A∩BC.

Ejemplo: consideremos el fenómeno aleatorio tirar un dado.

- apuntes - Se cumple que: (A – B) U (A B) U (B – A) = A U B

Compruébalo con un diagrama de Venn

Sistema completo de sucesos

E

B1

B2

B3

...

Br

Sean B1, B2, ... , Br sucesos de espacio muestral E.

Se dice que son un sistema completo de sucesos si:

1. La unión de todos ellos es el suceso seguro E 2. B1, B2, ... , Br son incompatibles dos a dos.