proyeccion sucesos

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Nivel de Proyección

Probabilidad de

Sucesos

Probabilidad de sucesos

Nivel de proyección

e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l

2




3

1. Si sacamos una carta de un naipe español la probabilidad de que la

carta no sea un caballo es.

Sol.

Para resolver este problema de manera más simple usamos el

complemento de este suceso, es decir, que la carta obtenida sea caballo

entonces nuestra formula quedaría:

P(A) + P( ) = 1 P(A) = 1 - P( ) así:

Sea A = que la carta no sea caballo y = que la carta sea

caballo

P(A) = 1 - P( ) = 1 - = 1 - =

2. Al lanzar un dado tres veces y tuvieras la opción de apostar dinero a

que sale al menos una vez el 2 en los 3 lanzamientos lo harías o no.

Sol.

Sea nuestro suceso A = salga al menos una vez el 2, en este caos

ocuparemos el complemento que seria = que no salga ninguna vez el 2,

de esta manera tendríamos.

P( ) = (no sale el 2 en el primer lanzamiento)·(no sale en el segundo

lanzamiento)· (no sale en el tercer lanzamiento)

P( ) = · · , luego P(A) = 1 - P( ) = 1 - = 0.42 lo que nos da un

42% lo que nos indica que no debemos apostar el dinero .




4

3. Se ha decidido pasar de curso a todos aquellos alumnos que

aprueben matemáticas o castellano. Con esta fórmula aprobaron un 80% de los alumnos, si sabemos que aprobaron matemáticas el 60% y castellano un 50% ¿Qué porcentaje de alumnos hubiesen pasado

de curso si se hubiera exigido aprobar ambas asignaturas?

Sol.

Rescatando los datos expresados en este problema tenemos lo siguientes sucesos.

A = Aprobaron matemáticas, esto es P(A) = 0,6 B = Aprobaron castellano, esto es P(B) = 0,5 A U B = Aprobaron uno de los dos, esto es = 0,8

Como necesitamos encontrar A y B que corresponde a la P(A B) usamos

la expresión

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Despejamos P(A B) = P(A) + P(B) -

P(A B)

Reemplazando tenemos: P(A B) = 0,6 + 0,5 – 0,8 = 0,3 lo que equivale

al 30% Por lo que los alumnos que hubiesen pasado de curso corresponde a un

30%

4. Analicemos los siguientes sucesos.

Suceso A : Probabilidad que haya buen tiempo es de un 0,4 Suceso B : Probabilidad que haya un derrumbe es de un 0,1

La probabilidad de que haya buen tiempo y que exista un derrumbe es del

0,08. Determine si estos sucesos son independientes.

Sol. Para que estos suceso sean independientes debe cumplir al

menos una de estas condiciones :




5

P(B/A) =

P(A/B) =

P(A B) = P(A) · P(B) = 0,4 · 0,1 = 0,04 0,08 = P(A B)

Al no cumplirse al menos una de las 3 condiciones podemos afirmar que estos sucesos no son independientes.

5. Si se escriben al azar las los 5 primeros números. ¿Cuál es la

probabilidad que el primer número sea el 3 y el último el 2?

Sol.

Ocupando permutaciones ya que se trata de ordenar tenemos que la cantidad de casos posibles de ordenar 5 números esta dada por = 5! =

5 · 4 · 3 · 2 = 120. Como el 3 y el 2 ya tienes sus lugares asignados los

números que se deben ordenar son 3 por lo tanto los casos favorables estará dada por = 3! = 3 · 2 = 6.

Con estos datos obtenidos a través de la regla de La place obtenemos

P = = = = P( A B ) = =

6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 bolas rojas de una tómbola que

contiene 6 bolas rojas y 9 azules? Sin reintegrar las bola extraída.

Sol. Como lo que se pide va relacionado con combinaciones usamos combinatoria así podemos inferir, como las bolas rojas las podemos tomar

de 2 en 2 hacemos




6

= 15 lo que corresponde a nuestros casos favorables

mientras que para nuestros casos posibles como también las podemos

tomar de 2 en 2 las bolitas usamos

= 105 así teniendo estos datos podemos obtener la

probabilidad de obtener dos bolas rojas.

P = = =

7. La probabilidad de que un perro viva más de 10 años es de 0,6 y la

de un gato es de 0,7. La probabilidad de que solo viva más de 10 años el perro es de.

Sol. Los sucesos dados por el problema son:

A = que solo el perro viva más de 10 años

B = que el perro viva más de 10 años y su probabilidad P(B) = 0,6 C = que el gato viva más de 10 años y su probabilidad P(C) = 0,7

Como solo necesitamos saber que los perros vivan más de 10 años y no los gatos usamos el complemento de C , es decir, los gatos no viven más

de 10 años y su probabilidad será P( ) = 0,3 con estos dato podemos

obtener

P(A) = P(B ) = P(B) · P( ) = 0,6 · 0.3 =0,18

8. Sean A y B dos sucesos con A B = . Encuentre una condición

necesaria y suficiente para que estos sucesos sean independientes

entre si.




7

Sol. Para que A y B sean independientes se debe cumplir con que

P(A B) = P(A) · P(B) lo que nos daría que P(A B) = P( ) y P( ) = 0

Por lo tanto una condición necesaria y suficiente para que sean

independientes estos dos sucesos es claramente que

P(A) = 0 ó P(B) = 0

9. La probabilidad de que un anciano viva más de 25 años es de 0,5 y

la de un anciana es de 0,8. La probabilidad de que viva más de 25 años al menos unos de los dos es de.

Sol.

Los sucesos dados por el problema son: A = que viva más de 25 años al menos unos de los dos

B = que el anciano viva más de 25 años y su probabilidad P(B) = 0,5 C = que el anciana viva más de 25 años y su probabilidad P(C) = 0,8

Como nos pide al menos uno de los dos sucesos usamos la siguiente definición

P(A) = P(B U C) = P(B) + P(C) – (B C), como los sucesos B y C son

independientes (B C) = P(B) · P(C) = 0,5 · 0,8 = 0,4 ahora

reemplazando en primera formula tenemos

P(A) = P(B U C) = 0,5 + 0,8 – 0,4 = 0,9 por lo tanto la probabilidad de que al

menos uno de los dos viva más de 25 años es de un 90%

10. Sean 3 caballos C1 , C2 , C3, compiten en una carrera donde los sucesos son 1.- El C1 le gana a C2 esta dado por AB 2.- el C1

le gana a C2, el cual vence a C3, esta dado por ABC y asi




8

sucesivamente con todas las permutaciones posibles y tenemos que

P(AB) = 2/3 P(AC) = 2/3 , P(BC) =1/2, también tenemos que P(ABC) = P(ACB) = P(BAC) = P(BC) = P(CAB) = P(CBA). Determine si los sucesos AB, AC y BC son independientes.

Sol.

Para que estos sucesos sean independientes basta con comprobar que P(AB AC)=P(AB) · P(AC) si no lo son ya estos sucesos no serán

independientes aunque los otros si lo sean.

P(AB AC)= P({ABC, ACB}) = P({ABC}) + P({ACB)} =

P(AB) · P(AC) = · = , con esto inferimos que

P(AB AC) P(AB) · P(AC) lo que implica que

AB, AC, BC NO SON INDEPENDIENTES

11. Demostrar que si dos sucesos son independientes entonces sus complementos también lo son.

Sol.

Sean nuestros sucesos A y B debemos comprobar lo siguiente para ver si son independientes.

P(A B) = P(A) · P(B) por ende sus complementos serían

P( ) = P( ) · P( ) para demostrar esto usaremos las

propiedades.

P( ) = P( ) = 1 – P(A B) = 1 – P(A) – P(B) + P(A B)

= 1 – P(A) – P(B) + P(A) · P(B) / ya que el enunciado nos dice que los sucesos A y B son independientes.

= (1 – P(A)) · (1 – P(B)) que si observamos bien es




9

P( ) · P( ) = P( ) si son independientes

12. Sean nuestros sucesos P y Q tales que P(P) = 0,25 , P(Q/P) = 0,5 y P(P/Q) = 0,25. Diga si estos sucesos son o no incompatibles

Sol. Para que dos sucesos sean incompatibles se debe verificar que P(A B) = 0 luego ocupando la siguiente formula tenemos

P(P Q) = P(Q/P) · P(P) = 0,5 · 0,25 = 0,125 0

Por lo que ambos sucesos no son incompatibles.

13. La probabilidad de que un kilo de carne provenga de una

carnicería X es de un 0,7 y la probabilidad que provenga de una

carnicería Y es de un 0,3. Si sabemos que la carnicería X produce un 4 por mil kilos de carne en mal estado mientras que la carnicería Y lo hace en un 8 por mil kilos de carne en mal estado. Si tomamos

un kilo de carne en mal estado Si tomamos un individuo de esa población y sabemos que está enfermo ¿Cuál es la probabilidad que

este individuo sea hombre?

Sol. Sean los sucesos

A = El individuo este enfermo B = El individuo es hombre y su probabilidad es P(B) = 1/3

C = El individuo es mujer y su probabilidad es P(C) = 2/3 P(A/B) = 0,1 P(A/C) = 0,18

Lo que debemos hacer es utilizar el teorema de bayes así tendremos:

P(B/A) = = = = 0,218




10

14. Un curso esta compuesto por 40 alumnos y 10 estudiantes

repitentes de los cuales 8 son mujeres y 10 alumnas no son repitentes. Si al elegir un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer

y repitente? Si al elegir a dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que

ninguno sea repitente?

Sol. a) Esta probabilidad se puede sacar de manera muy simple analizando

simplemente los datos entregados y esta seria con nuestro suceso

A=alumna repitente su probabilidad sería P(A) =

b) Sea nuestro suceso B = dos estudiantes no sean repitentes

P(B) = = = 0,682

15. Juan olvida poner su reloj despertador 3 de cada 10 días y

uno de cada 10 días en que pone despertador no se levanta a tiempo para llegar a su trabajo, mientras que 2 de cada 10 días que olvida

poner el despertador llega a tiempo a su trabajo. Identificar todos los sucesos que en este problema están presentes.

Sol.

Lo primero que debemos analizar es el experimento que estamos realizando. Este consiste en tomar un día al azar de Juan y analizarlo.

Sean los sucesos:




11

A = Juan olvida poner su reloj despertador

B = Juan llega tarde a su trabajo Notemos que con estos sucesos podemos tener sus complementos lo que

nos dan sucesos completos. Ahora podemos sacar las probabilidades con los datos del enunciado, así.

P(A) = P( ) = = P( ) = P(B / ) =

16. Sean nuestros sucesos A, B y C tal que A B = demostrar

que P(A B/C) = P(A/C) + P(B/C)

Sol.

P(A B/C) = = =

= = +

= P(A/C) + P(B/C)

17. La mitad de los productos de un negocio provienen del

supermercado jumbo, mientras que la otra mitad provienen del supermercado unimarc y alvi en igual cantidad. El porcentaje de productos defectuosos son de 4%, 5% y 6% respectivamente de cada

uno de los 3 supermercados. Si al elegir un producto del negocio y este sale defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que ese producto

sea del supermercado Jumbo?

Sol. Sean nuestros sucesos:




12

A = El productos provenga del jumbo y su probabilidad es P(A) = 0,5

B = El producto provenga del unimarc y su probabilidad es P(B) = 0,25

C = El producto provenga del alvi y su probabilidad es P(C) = 0,25

D = Que el producto sea defectusos

P(D/A) = 0,04 ; P(D/B) = 0,05 ; P(D/C) = 0,06 Luego para encontrar nuestra probabilidad deseada utilizamos el teorema

de bayes así.

P(A/D) = = = 0,42

18. En una caja tenemos 4 bolas blancas y 5 negras. De las 4 bolas blancas 2 son con puntos y 2 rayadas. De las 5 bolas negras 4

son con puntos y 1 rayadas. Si sacamos un bolita al azar y se sabe que es blanca ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita sea rayada?

Sol. Identificando los sucesos :

A = que la bolita sea rayada y su probabilidad es P(A) = 3/9 B = que la bolita sea blanca y su probabilidad es P(B) = 4/9

Como sabemos que la bolita es blanca la probabilidad de que esta sea

rayada es claramente estamos en presencia de que la probabilidad A

está condicionada por la ocurrencia del sucesos B es.

P(A/B) = = =

19. En una caja que contiene 4 bolitas azules y 6 verdes y se extraen dos bolitas al azar sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de




13

que la segunda bolita sea verde, sabiendo que la primera bolita es

azul? Si nuestros sucesos son A = la segunda bolita es verde y B = la primera bolita es azul donde la P(A/B) = 2/3

Sol. Como los sucesos están ya designados solo nos queda en encontrar

la probabilidad del suceso A así.

P(A) = P(A/B) · P(B) + P(A/ ) · P( ) =

20. En una universidad el 55% de los estudiantes es vegetariano,

el 30% es carnívoro y el 20% come vegetales y carne. Si al sacar un alumno al azar y sabiendo que este es vegetariano ¿Cuál es la probabilidad de que coma carne?

Sol. Sean nuestros sucesos los siguientes :

A = que coma carne

B = que coma vegetales Como esta es una probabilidad condicionada debemos utilizar:

P(A/B) =

21. Si los sucesos A y B son disjuntos, demostrar que P(A/B) = 0

Sol.

Como los sucesos son disjuntos tenemos que A B = esto implica que

P(A B) = 0 y como P(A/B) = = 0 ya que su denominador es 0




14

Por lo tanto P(A/B) = 0

22. Si lanzamos un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3 o un 5? Calcular P(A B)

Sol.

Sean los sucesos siguientes: A = que salga un 3

B = que salga un 5

P(A B) = P(A) + P(B) =

Luego como claramente es imposible que salga un 3 y un 5 al mismo

tiempo podemos afirmar que estos sucesos son mutuamente excluyentes por lo que P(A B) = 0.

23. Si la probabilidad de que un hombre compre un automóvil nuevo , elija el color rojo, verde, gris o blanco, son respectivamente

0.09, 0.15, 0.21 y 0.23 ¿Cuál es la probabilidad que un comprador compre un automóvil nuevo que tenga uno de esos colores?

Sol.

Identificando los sucesos tenemos los siguientes A = el hombre elija un automóvil rojo

B = el hombre elija un automóvil verde C = el hombre elija un automóvil gris

D = el hombre elija un automóvil blanco Como sabemos que todos estos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad es.




15

P(A B C D) = P(A) P(B) P(C) P(D) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 =

0.68

24. Una caja contiene 4 lápices rojos y 3 azules y la segunda caja contiene 3 lápices rojos y 5 lápices azules. Si se saca un lápiz de la caja uno y se coloca sin verlo en la caja 2 ¿Cuál es la probabilidad

de sacar un lápiz de color azul de la segunda caja?

Sol. Definamos los sucesos necesarios para encontrar la probabilidad

deseada

A = sacar un lápiz azul de la bolsa 1 B = sacar un lápiz azul de la bolsa 2 C = sacar un lápiz rojo de la bolsa 1

Necesitamos encontrar la unión de los sucesos (A B) y (C B) que son

claramente mutuamente excluyentes así tenemos

P(A B) P(C B) = P(A B) + P(C B) =

25. En una caja hay 20 ampolletas de las cuales cinco están

defectuosas. Si se sacan al azar dos ampolletas y se separan de la caja una después de la otra sin reemplazar la primera ¿Cuál es la probabilidad de que ambas ampolletas estén malas?

Sol. Identifiquemos los sucesos.

A = la primera ampolleta este defectuosa B = la segunda ampolleta este defectuosa D = ambas ampolletas estén defectuosas




16

Claramente necesitamos la intersección de las probabilidades A y B para

encontrar P(D), luego como encontrar P(A) es simplemente 5/20 = 1/4 Y para obtener P(B) es independiente de A y en la caja hay una ampolleta mala menos P(B) = 4/19

P(A B) =

26. En una casa viven 12 personas de las cuales cinco son mujeres y siete son hombres. Si se sacan 2 personas al azar ¿Cuál

es la probabilidad de que salgan dos hombres?.

Sol. Determinemos nuestros sucesos

H1 = que la primera persona sacada sea hombre H2 = que la segunda persona sea hombre

H = que ambas personas sacadas sean hombres

Para obtener la probabilidad de H usaremos P(H1 H2) pero como estos

sucesos son dependientes P(H1 H2) = P(H1) · P(H1/H2) y P(H1/H2) como esta

condicionada a que H1 sea hombre su probabilidad es 6/12 = 1/2 Por lo que nos quedaría

P(H1 H2) =P(H1) · P(H1/H2) =

27. En un baño hay 8 cepillos , 5 de color verde y 3 de color

amarillo. Si al entrar al baño y sacamos dos cepillos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo cepillo sea amarillo?.

Sol. Identificamos los sucesos:

A = el primer cepillo sea verde




17

B = el segundo cepillo sea amarillo

A B = el primer cepillo sea verde y el segundo sea amarillo

B = que ambos cepillos sean amarillos

P(A) = 5/8

Para determinar la probabilidad pedida usamos el teorema de probabilidad total así

P(B) = P( B) + P(A B) = P( ) · P(B/ ) + P(A) · P(B/A)

= ( · ) + ( · ) =

28. En un estante hay 15 libros, 12 son de matemáticas y 3 son de literatura. Si se quiere sacar dos libros al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo libro sacado sea de literatura?.

Sol. Determinemos los sucesos necesarios para encontrar la probabilidad pedida

M = que el primer libro sea de matematica L1 = que el primer libro sea de literatura

L2 = que el segundo libro sea de literatura M L2 =que el primer libro sea de matematica y el segundo sea de

literatura

L1 L2 = que los dos libros sean de literatura

Usando el teorema de la regla de eliminación tenemos que

P(L2) = P (M L2) + P (L1 L2)

P (M L2) + P (L1 L2) = P(M) · P(L2/M) + P(L1) · P(L2/L1) = +




18

29. Si sacamos una carta de un naipe español la probabilidad de

que la carta no sea una zota es.

Sol.

Para resolver este problema de manera más simple usamos el

complemento de este suceso, es decir, que la carta obtenida sea caballo

entonces nuestra formula quedaría:

P(A) + P( ) = 1 P(A) = 1 - P( ) así:

Sea A = que la carta no sea caballo y = que la carta sea

caballo

P(A) = 1 - P( ) = 1 - = 1 - =

30. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de un naipe

español (40 cartas) y que esta no sea un mono?

Sol.

Determinemos los sucesos ocupando las propiedades pertinentes

A = que la carta no sea un mono

Como esta probabilidad es muy complicada obtenerla debido a su gran

número, usaremos la siguiente formula del complemento que está dada

por

P(A) + P( ) = 1 P(A) = 1 - P( )




19

Necesitamos para ocupar esta propiedad nos falta determinar el otro

suceso que es = que la carta sea un mono y la probabilidad de esta es

más simple de sacar como son 3 monos y de 4 pintas distintas, en un total

de 40 cartas obtenemos

P( ) = ahora reemplazando

P(A) = 1 - P( ) = 1 - =

31. Si se quiere sacar al azar una carta de un naipe español , la

probabilidad que esta carta no sea un número menor que 3 es.

Sol.

Los sucesos son

A = que la carta no sea menor que 3

= que la carta sea menor que 3

Luego podemos obtener P(A) con la siguiente igualdad P(A) + P( ) = 1

P(A) = 1 - P( )

P(A) = 1 -

32. Al sacar una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no

salga un múltiplo de 2 menor que 5? Siendo un naipe ingles de 52

cartas.

Sol.




20

Como nuestro suceso que lo denotaremos con la letra M, es muy

difícil de obtener debido a su gran cantidad de posibilidades usaremos una

propiedad que nos ayudara a resolverlo de manera más simple.

P(M) + P( ) = 1 P(M) = 1 - P( ) con

M = que la carta no sea múltiplo de 2 menor que 5

= que la carta sea un múltiplo de 2 menor que 5

Y este ultimo suceso es mucho mas simple de obtener ya que los múltiplos

menores que 5 son solamente el 2 y el 4 y como ahí solo 4 pintas la

P()=

luego reemplazando tenemos

P(M) = 1 - =

33. Al lanzar un dado tres veces y tuvieras la opción de apostar

dinero a que sale al menos una vez el 1 en los 3 lanzamientos lo

harías o no.

Sol.

Sea nuestro suceso

A = salga al menos una vez el 1, en este caos ocuparemos el complemento

que seria

= que no salga ninguna vez el 1, de esta manera tendríamos.

P( ) = (no sale el 1 en el primer lanzamiento)·(no sale en el segundo

lanzamiento)· (no sale en el tercer lanzamiento)

P( ) = · · , luego P(A) = 1 - P( ) = 1 - = 0.42 lo que nos da un

42% lo que nos indica que no debemos apostar el dinero




21

34. Para obtener licencia de conducir, es necesario aprobar tanto

el examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad. que

un alumno apruebe la parte teórica es 0,50, la de que apruebe la

parte práctica es 0,75 y la de que haya aprobado alguna de las dos

partes es 0,80. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la

probabilidad. de que apruebe el examen para obtener licencia?

Sol.

Determinemos los sucesos que están en dentro de este problemas

Sea:

A = Aprobar examen teórico = P(A) = 0,50

B = Aprobar examen práctico = P(B) = 0,75

Para poder responder a nuestra interrogante de obtener licencia debemos

encontrar la probabilidad de aprobar el examen teórico y el examen

práctico P(A y B) = P(A B), para hacerlo y así ocupar todos los datos

existentes usaremos la formula

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) , Despejando obtenemos P(A B) =

P(A) + P(B) - P(A B)

P(A B) = 0,50 + 0,75 – 0,80 = 0,45 , podemos afirmar que

tiene un 45% de probabilidad de obtener la licencia

35. Analicemos los siguientes sucesos. Suceso A : Probabilidad que haya buen tiempo es de un 0,7

Suceso B : Probabilidad que haya un derrumbe es de un 0,5 La probabilidad de que haya buen tiempo y que exista un derrumbe es del

0,12. Determine si estos sucesos son independientes.

Sol. Para que estos sucesos sean independientes debe cumplir al menos una de

estas condiciones:




22

P(B/A) =

P(A/B) =

P(A B) = P(A) · P(B) = 0,7 · 0,5 = 0,35 0,12 = P(A B)

Al no cumplirse al menos una de las 3 condiciones podemos afirmar que estos sucesos no son independientes.

36. La probabilidad de que un perro viva más de 15 años es de 0,6

y la de una golondrina es de 0,8. La probabilidad de que solo viva más de 15 años el perro es de.

Sol.

Los sucesos dados por el problema son: A = que solo el perro viva más de 15 años

B = que el perro viva más de 15 años y su probabilidad P(B) = 0,6 C = que la golondrina viva más de 15 años y su probabilidad P(C) =

0,8 Como solo necesitamos saber que los perros vivan más de 15 años y no las

golondrinas usamos el complemento de C , es decir, las golondrinas

no viven más de 15 años y su probabilidad será P( ) = 0,2 con estos dato

podemos obtener

P(A) = P(B ) = P(B) · P( ) = 0,6 · 0.2 =0,12

37. Sean A, B y C tres sucesos pertenecientes a un determinado espacio muestral, y sean los sucesos M =




23

Calcular las probabilidades de M sabiendo que P(A) = 0,6 , P(B) =0,6, P(C) = 0,5 , P(A B) = 0,35 , P(A C) = 0,20

P(B C) = 0,25 y P(A B C) = 0,8.

Sol. Usando propiedades de sucesos calculamos

P(M) = P( ) = P( ) = P( )

= P(A) - P( ) = P(A) - P( )

= P(A) – P( ) – P( ) + P( )

= P(A) – P( ) – P( ) + P( )

P(M) = 0,6 – 0,35 – 0,20 + 0,8 = 0,85

38. Sean nuestros sucesos A y B tales que P(A) = 0,45 , P(Q/P) = 0,7 y

P(P/Q) = 0 ,25. Diga si estos sucesos son o no incompatibles

Sol. Para que dos sucesos sean incompatibles se debe verificar que P(A B) = 0 luego ocupando la siguiente formula tenemos

P(A B) = P(B/A) · P(A) = 0,7 · 0,45 = 0,315 0

Por lo que ambos sucesos no son incompatibles

39. Marta olvida poner su reloj despertador 7 de cada 10 días y 3

de cada 10 días en que pone despertador no se levanta a tiempo para llegar a su trabajo, mientras que 6 de cada 10 días que olvida




24

poner el despertador llega a tiempo a su trabajo. Identificar todos los

sucesos que en este problema están presentes.

Sol. Lo primero que debemos analizar es el experimento que estamos

realizando. Este consiste en tomar un día al azar de Juan y analizarlo. Sean los sucesos:

A = Marta olvida poner su reloj despertador B = Marta llega tarde a su trabajo

Notemos que con estos sucesos podemos tener sus complementos lo que nos dan sucesos completos. Ahora podemos sacar las probabilidades con los datos del enunciado, así.

P(A) = P( ) = =

P( ) = P(B / ) =

40. La mitad de los productos de un negocio provienen de la

bodega X , mientras que la otra mitad provienen de la bodega Y y Z en igual cantidad. El porcentaje de productos defectuosos son de

3%, 5% y 9% respectivamente de cada una de las 3 bodegas. Si al elegir un producto del negocio y este sale defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que ese producto sea de la bodega X?

Sol.

Sean nuestros sucesos: A = El productos provenga de la bodega X y su probabilidad es P(A) = 0,5

B = El producto provenga de la bodega Y y su probabilidad es P(B) = 0,25

C = El producto provenga de la bodega Z y su probabilidad es P(C) = 0,25

D = Que el producto sea defectuosos P(D/A) = 0,03 ; P(D/B) = 0,05 ; P(D/C) = 0,09




25

Luego para encontrar nuestra probabilidad deseada utilizamos el teorema

de bayes así.

P(A/D) = = = 0,3

41. De un banco el 10% de quienes tienen tarjeta han pasado ha ser morosos. El banco ha comprobado que la probabilidad de que un

cliente normal se atrase en un paso es de 0,3 y la probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es de 0,8.

Si al elegir un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente se

atrase en un pago mensual?

Sol. Determinemos los sucesos

A = que el cliente sea moroso B = que el cliente se haya atrasado en un pago mensual

Como lo que nos piden es P(B), ocupamos la formula de probabilidad total lo que nos daría.

P(B) = P(B/ ) · P( ) + P(B/A) · P(A) para poder reemplazar en esta

formula debemos encontrar el valor de P( ) el que encontramos con la

siguiente formula.

P( ) = 1 – P(A) = 1 – 0,1 = 0,9 por lo que

P(A) = 0,3 · 0,9 + 0,8 · 0,1 = 0,35

42. Sean A y B dos estaciones meteorológicas, si la probabilidad

que llueva en cualquier en cualquier momento del día en A y B está

dada por P(A) = P(B) = 0,35 y que P(A B) = 0.25. Determinar si las

probabilidades condicionadas de A en B y B en A son iguales




26

Sol.

Para determinar esta probabilidad debemos recordar que

y despejando tenemos

y reemplazando

Ahora debemos encontrar la P(A/B) como ya se despejo nuestra

incógnita solo debemos cambiar el orden de los datos y reemplazar

Si comparamos ambas probabilidades podemos afirmar que las

probabilidades condicionadas y son iguales.

43. Sean X e Y dos estaciones sísmicas de distintas partes del

mundo, la probabilidad que tiemble en X e Y al mismo tiempo es de

0,20 y se sabe también que P(X) = 0,38 que es la misma que P(Y).

determinar la probabilidad condicionada P(X/Y) y decir si estos

sucesos son independientes

Sol.

Para determinar la probabilidad condicionada P(X/Y) solo debemos

ocupar la formula siguiente




27

44. Si se permutan 4 términos y definimos que A₁ = a al espacio

muestral y que en a aparece el termino i en el lugar i-esimo.

Calcular entonces P(A₁ A₄)

Sol.

Lo primero que debemos saber es que

P(A₁ A₄) = P(A₁) + P(A₄) –P(A₁ A₄)

Luego debemos encontrar las probabilidades necesarias para desarrollar la

probabilidad pedida

P(A₁) = P(A₄) ya que como nos dice el enunciado en “a” aparece el termino i

por lo que debemos encontrar P( ) y como sabemos que son

permutaciones su resultado estará dada por

P( ) = = por consiguiente P(A₁ A₄) = = ahora

reemplazando tenemos que

P(A₁ A₄) = + - =

45. Tomando en cuenta el enunciado del ejercicio anterior en el

que se permutan 4 términos y que A₁ = a al espacio muestral y que

en a aparece el termino i en el lugar i-esimo. Calcular entonces P(A₁

(A₂ A₄))

Sol.




28

P(A₁ (A₂ A₄)) = P(A₁) + P(A₂ A₄) - P(A₂ A₄ A₃) = + - =

proyeccion sucesos

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