1 standards 1,2,3 ¿quÉ es una conjetura? condicionantes: sÍ…entonces… recÍproco de un...

1

STANDARDS 1,2,3

¿QUÉ ES UNA CONJETURA?

CONDICIONANTES: SÍ…ENTONCES…

RECÍPROCO DE UN ENUNCIADO

END SHOW

NEGACIÓN DE UN ENUNCIADO

INVERSO DE UN ENUNCIADO

ANTÍTESIS DE UN ENUNCIADO

LEY DE INDIFERENCIA

LEY DE SILOGISMO

¿INDUCTIVO VS. DEDUCTIVO?

ELEMENTOS PARA CONSTRUIR PRUEBAS

GEOMETRIC PROOF 1 GEOMETRIC PROOF 2

GEOMETRIC PROOF 3 GEOMETRIC PROOF 4

GEOMETRIC PROOF 5

PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

http://www.mrperezonlinemathtutor.com/

2

Standard 1:

Students demonstrate understanding by identifying and giving examples of undefined terms, axioms, theorems, and inductive and deductive reasoning.

Standard 2:

Students write geometric proofs, including proofs by contradiction.

Standard 3:

Students construct and judge the validity of a logical argument and give counterexamples to disprove a statement.



3

Estándar 1:

Los estudiantes demuestran entendimiento en identificar ejemplos de términos indefinidos, axiomas, teoremas, y razonamientos inductivos y deductivos.

Standard 2:

Los estudiantes escriben pruebas geométricas, incluyendo pruebas por contradicción.

Standard 3:

Los estudiantes construyen y juzgan la validéz de argumentos lógicos y dan contra ejemplos para desaprobar un estatuto.



4

STANDARDS 1,2,3

¡Le daré al blanco desde este ángulo y jalando la cuerda

duro…je, je..!



5

STANDARDS 1,2,3

¡Ahí va…!



6

STANDARDS 1,2,3

¡Apurale flecha…!



7

STANDARDS 1,2,3

¡El viento no lo consideré!

VIENTO



8

STANDARDS 1,2,3

¡El viento no lo consideré!

VIENTO

UNA CONJECTURA es una adivinanza educada.



9

x

y

1

1

STANDARDS 1,2,3

¿Qué conjetura puedes hacer de la siguiente información?

Dado que: K(1,1), L(1,3), M(3,3), N(3,1)

K

L

N

M

Conjetura:

? ¡Forman un cuadrado!



10

STANDARDS 1,2,3

Dado que:

A B D

E

Conjetura:

El punto E, no es colinear con puntos A, B y D.




11

x

y

1

1

STANDARDS 1,2,3

Dado que: A(1,1), B(1,3), C(3,3), D(3,1), E(2,2)

A

B

D

C

Conjetura:

E

?!Or…




12

x

y

1

1

STANDARDS 1,2,3

Dado que: A(1,1), B(1,3), C(3,3), D(3,1), E(2,2)

A

B

D

C

Emhh!..or


Conjetura:



13

x

y

1

1

STANDARDS 1,2,3

Dado que: A(1,1), B(1,3), C(3,3), D(3,1), E(2,2)

A

B

D

C

E

Guah! ¿Esto trabaja…?


Conjetura:



14

STANDARDS 1,2,3

Dado que: A(1,1), B(1,3), C(3,3), D(3,1), E(2,2)

¡Algunas veces podemos hacer más de una conjetura!

x

y

A

B

D

C

E

?!?!

x

y

A

B

D

C

E?!x

y

A

B

D

C

E


Conjetura:



15

STANDARDS 1,2,3

Determina la validez de la conjetura y dá un contraejemplo en caso de que esta sea falsa.

Dado que: :

A

B

D

CPuntos A, B, C, D

Solo pueden formar un cuadrado.

¡Falso!

Contraejemplo:

A

B

D

C¡También pueden formar un trapezoide isósceles.

Conjetura:



16

STANDARDS 1,2,3

ENUNCIADOS CONDICIONALES:

SI…, ENTONCES …qp

Si p, entonces q

p = hipótesis

q = conclusión

Donde:

Los estudiantes estudian para tener buenas calificaciones.

Si los estudiantes estudian entonces ellos tienen buenas calificaciones. Si p, entonces q

Los atletas entrenan para ganar competencias.

Si los atletas entrenan, entonces ellos ganan competencias.

Convierte a enunciado condicional:

qp

HIPÓTESIS

HIPÓTESIS CONCLUSION

CONCLUSIÓN



17

STANDARDS 1,2,3

ENUNCIADOS CONDICIONALES:


Si p, entonces q

p = hipótesis

q = conclusión

Donde:

RECÍPROCO:

SI…, ENTONCES … pq

Si q, entonces p

p = conclusión

q = hipótesis

Donde:



18

STANDARDS 1,2,3

Escribe el RECÍPROCO del siguiente enunciado:

Los atletas entrenan duro, para ganar competencias.

Si los atletas entrenan duro, entonces ganan competencias.

qp

HIPÓTESIS CONCLUSION

SI…, ENTONCES …pq

RECÍPROCO:Si ganan competencias, entonces los atletas entrenan duro.

Primero convierte a un enunciado: Si…entonces…

Ahora encuentra el recíproco:



19

STANDARDS 1,2,3

Si tienen buenas calficaciones, entonces los estudiantes estudian.

Primero convierte a enunciado condicional:

Ahora obtén el recíproco:

Los estudiantes estudian para tener buenas calificaciones.

Si los estudiantes estudian, entonces tienen buenas calificaciones.

Si p, entonces q

HIPÓTESIS CONCLUSIÓN

Escribe el RECÍPROCO del siguiente enunciado:



20

STANDARDS 1,2,3

Escribe el recíproco de el siguiente enunciado condicional verdadero y determina si es falso o verdadero. Si resulta falso, da un contraejemplo.

Un par linear tiene ángulos adyacentes.

Explora:a) Obtén el RECÍPROCO.

b) ¿Verdadero o falso?

c) Si es falso da un CONTRAEJEMPLO.Plan:

Escribe lo dado como enunciado condicional:

Si es par linear, entonces tiene ángulos adyacentes.

a) Recíproco: Si los ángulos son adjacentes, entonces son un par linear.

b) Es falso

c) Contraejemplo:

35°

55°Ambos angulos en la figura a la derecha son adyacentes, pero no son un par linear.

Resuelve:

El recíproco de un condicional, no es necesariamente cierto.PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved


21

STANDARDS 1,2,3

NEGACIÓN:La negación es un enunciado en negativa.

Un ángulo es recto Un ángulo no es recto

p ~p

~p es “no p” o la negación de p.

Un ángulo es rectoUn ángulo no es recto

p ~p



22

STANDARDS 1,2,3

INVERSO:El inverso de un enunciado condicional es cuando ambos; la hipótesis y la conclusión son negadas.

~p ~q



23

STANDARDS 1,2,3Para el condicional verdadero: Un par lineal tiene ángulos suplementarios; escriba el inverso y determine si es verdadero o falso. Si es falso de un contraejemplo.

a) Esribiendo el condicional como sí…entonces…:

Si es par lineal, entonces tiene ángulos supplementarios.

b) Negando ambas, la hipótesis y la conclusión:

Si no es un par lineal, entonces no tiene ángulos suplementarios.

HYPOTHESIS

pCONCLUSION

q

Hipótesis NEGADA

~p Conclusión NEGADA

~q

INVERSO

c) ¿Es verdadero?

El inverso de este condicional es FALSO, como lo ilustra el contraejemplo de abajo:

A

CB

D

E40°

140°En la figura de la izquierda ambos ángulos ABC y EBD no son par lineal pero son suplementarios.

140° + 40° = 180°PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved


STANDARDS 1,2,3

ANTÍTESIS de un enunciado condicional:

La antítesis de un condicional es la negación de la hipótesis y la conclusión de su recíproco.


Si p, entonces q

SI…, ENTONCES …pq

Si q, Entonces p

RECÍPROCO:

SI…, ENTONCES …~p~q

Si no q, entonces no p

ANTÍTESIS:



25

STANDARDS 1,2,3

Encuentra la antítesis del condicional verdadero: Si dos puntos en una linea estan en un plano, entonces la línea entera conteniendo los dos puntos esta en ese plano. ¿Es la antítesis verdadera o falsa?

a) reciproco:

Si la línea entera conteniendo los dos puntos esta en ese plano, entonces los dos puntos estan en un plano.

b) antítesis:

Si la línea entera conteniendo los dos puntos no esta en ese plano, entonces los dos puntos no estan en un plano.

FALSO. Línea AB conteniendo puntos A y B no esta en el plano Q, pero A y B sí estan en el plano R.

ABR

Q

Contraejemplo:



26

STANDARDS 1,2,3

LEY DE INDIFERENCIA

Si p q es un enunciado verdadero p es verdadero,

entonces q es verdadero.

Si dos números son pares, entonces su suma es un número real es un enunciado verdadero, y, 4 y 6 son números pares. Trata de llegar a una conclusión lógica usando la LEY DE INDIFERENCIA.

Si dos números son pares, entonces su suma es un número realp q

p q

4 y 6 son paresp

es verdadero

es verdadero

4 + 6 = 10, 10 es un número real.

q

¿Conclusión?

es verdadero

Por la LEY DE INDIFERENCIA.



27

STANDARDS 1,2,3Determina si el enuanciado (c) sigue de los enunciados (a) y (b) por LA LEY DE INDIFERENCIA. Si no sigue, escribe invalido. Supon (a) y (b) verdaderos.

(a) Si tú lees novelas entoces te gustan los libros de misterio.

(b) Juan leyó una novela.

(c) Le gustan los libros de misterio.

p qp q is true

p

q

es verdadero

Sí sigue, por la LEY DE INDIFERENCIA.



28

STANDARDS 1,2,3

(a) Si dos ángulos suman 90° entonces ellos son complementarios.

p q

p q verdadero

p

q

verdadero

Si sigue por la LEY DE INDIFERENCIA

(b) m A + m B = 90°

(c) A y B son complementarios

Determina si el enuanciado (c) sigue de los enunciados (a) y (b) por LA LEY DE INDIFERENCIA. Si no sigue, escribe invalido. Supon (a) y (b) verdaderos.



29

STANDARDS 1,2,3

(a) Si dos ángulos son verticales, entonces son congruentes

p qp q es verdadero

p

q

es verdadero

Invalido

(b) 1 y 2 son verticales.

(c) 1 y 2 estan opuestos por el vertice.

Determina si el enuanciado (c) sigue de los enunciados (a) y (b) por LA LEY DE INDIFERENCIA. Si no sigue, escribe invalido. Supon (a) y (b) verdaderos.

¿Cuál sería una conclusión válida?

(c) 1 y 2 son congruentes.



30

STANDARDS 1,2,3

LEY DE SILOGISMO:

Si p q y q r son condicionales verdaderos, entonces p r es también verdadero.

Si es verdadero, entonces

es verdadero.

p q

q rp r

Si un vehiculo tiene 4 ruedas,

entonces puede ser manejado.

p

q

q

r

p

r

Si un vehiculo tiene 4 ruedas entonces es un carro.

Si es un carro, entonces puede ser manejado.

Usando la LEY DE SILOGISMO ¿qué se puede concluir?



31

STANDARDS 1,2,3

(c) Si es mamífero entonces bebe leche.

p

q

q

r

(a) Si es mamífero, entonces tiene sangre caliente.

(b) Si tiene sangre caliente, entonces bebe leche.

Determine si el enunciado (c) sigue de los enunciados (a) y (b) por la LEY DE SILOGISMO. En caso de no ser verdadero, escriba INVÁLIDO.

p r

Si, por la LEY DE SILOGISMO.



32

STANDARDS 1,2,3

p

q

q

r

Sí, por la LEY DE SILOGISMO.

(b) ABC es un ángulo recto.

(c) A es un ángulo recto

(a) A ABC

p r

Si ABC, entonces es ángulo recto

Si A, entonces es ángulo recto.

Si A, entonces congruente con ABC p

q

q

r

p r

Se podrían leer como:

Determine si el enunciado (c) sigue de los enunciados (a) y (b) por la LEY DE SILOGISMO. En caso de no ser verdadero, escriba INVÁLIDO.



33

STANDARDS 1,2,3

p

q

q

r

¿Se puede hacer una conclusión mediante LEY DE INDIFERENCIA o LA LEY DE SILOGISMO con (a) y (b)?

(b) Un ángulo obtuso es más grande que un ángulo agudo.

(a) ABC es un ángulo obtuso.

p r ABC es más grande que un ángulo agudo

por LA LEY DE SILOGISMO.

CONCLUSIÓN:



Razonamiento Lógico

- Usa reglas para probar un enunciado.

- Encuentra una regla general basándose en observaciones, patrones, desempeño pasado.

Razonamiento Deductivo Razonamiento Inductivo

4x + 2 = 22Given:

Prove:

x = 5

4x + 2 = 22

-2 -2

4x = 20

Subtraction Property of Equality

Proof:

4

53

32

11

SquaresStep

7

Rule: We add 2 squares per step.

?4 4

x = 5

Division Property of Equality

Substitution Property of Equality

STANDARDS 1,2,3



35

PROPERTIES OF REAL NUMBERS

COMMUTATIVE PROPERTY:

Addition: a + b = b + a 5 + 7 = 7 + 5

Multiplication: 9 6 = 6 9

For any real numbers a, b, and c:

a b = b a

ALGEBRAIC REVIEWSTANDARDS 1,2,3



36


ASSOCIATIVE PROPERTY:

Addition: (a + b) + c = a + (b + c)

(3 + 4) +1 = 3 + (4 + 1)

Multiplication:


34 45 6 = 34 45 6a b c= a b c

STANDARDS 1,2,3



37


IDENTITY PROPERTY:

Addition: a + 0 = 0 + a=a 5 + 0 = 0 + 5

Multiplication: 9 1 = 1 9


a 1 = 1 a = a

= 9

= 5

STANDARDS 1,2,3



38


INVERSE PROPERTY:

Addition: a + (-a) = (-a) + a=0 5 + (-5) = (-5) + 5

Multiplication:


= 1

= 1

= 0

a = a = 1 1a

1a

If a=0 then35

53

15

5

=53

35

15

= 5

STANDARDS 1,2,3



39


DISTRIBUTIVE PROPERTY:

Distributive:


a(b+c) = ab + ac (b+c)a = ba + caand

3(5+1) = 3(5) + 3(1) (5+1)3 = 5(3) + 1(3)and

STANDARDS 1,2,3



40

Name the property shown at each equation:

1 45 = 45a)

56 + 34 = 34 + 56b)

(-3) + 3 = 0c)

5(9 +2) = 45 + 10d)

(2 + 1) +b= 2 + (1 + b)e)

-34(23) = 23(-34)f)

Identity property (X)

Commutative property (+)

Inverse property (+)

Distributive property

Associative property (+)

Commutative property (X)

STANDARDS 1,2,3



41

ADDITION AND SUBTRACTION PROPERTIES OF EQUALITY:

PROPERTIES OF EQUALITY: ALGEBRAIC REVIEW

For any numbers a, b, and c, if a=b then a+c=b+c and a-c=b-c

10 = 10+ 6 +616 = 16

22 = 22-5 -5 17 = 17

STANDARDS 1,2,3

SUBSTITUTION PROPERTY OF EQUALITY:

If a=b, then a may be replaced by b. b=2 and 3b +1=7If

then 3( )+1=72



42

MULTIPLICATION AND DIVISION PROPERTIES OF EQUALITY:

PROPERTIES OF EQUALITY

For any real numbers a, b, and c, if a=b, then a c=b c and if c=0, =ac

bc

15 = 152 230 = 30

28 = 287 74 = 4

24 = 243 372 = 72

36 = 3612 123 = 3

STANDARDS 1,2,3



Razonamiento Deductivo: ÁLGEBRA

STANDARDS 1,2,3

Given: 4(x + 2) = 2x + 18

Prove: x = 5

(1) 4(x + 2) = 2x + 18 (1) given

(2) 4x + 8= 2x + 18 (2) Distributive prop.

(3) 4x = 2x + 10 (3) Subtraction prop. of equality

(4) 2x = 10 (4) Subtraction prop. of equality

(5) x = 5 (5) Division Prop. of equality.

Prueba de dos columnas:

Proof:

Statements Reasons

FORMAL INFORMAL

4(x + 2) = 2x + 18

4x + 8= 2x + 18

4x = 2x + 10

2x = 10

x = 5

-8 -8

-2x -2x

2 2


44

Razonamiento deductivo (GEOMETRÍA)

Conjetura - un enunciado o condicional que se requiere provar

Elementos para construir pruebas:

a) Terminos indefinidos - Terminos muy obvios que no requieren prueba.

Punto, linea, etc.

b) Definiciones- Enunciados usados para definir otros términos.

Triángulo es un polígono de 3 lados.

c) Axiomas (Postulados)- Enunciados o propiedades que no necesitan ser probados para usarse en pruebas.

Si dos planos intersecan, su intersección es en una línea.

d) Teoremas - Enunciados o propiedades que necesitan ser probados para usarse en pruebas.

Si dos ángulos forman un par linear, entonces son ángulos suplementarios.

STANDARDS 1,2,3


45

PROPERTIES OF EQUALITY: ALGEBRAIC REVIEW

REFLEXIVE PROPERTY OF EQUALITY:For any real number a, a=a 5=5

-10=-10

SYMMETRIC PROPERTY OF EQUALITY:For all real numbers a and b, if a=b, then b=a

X=5 5=X

6X-12=8 8=6X-12

9Y -2Y +1= 3X2 3X= 9Y -2Y+12

STANDARDS 1,2,3

TRANSITIVE PROPERTY OF EQUALITY:For all real numbers a, b, and c, if a=b, and b=c then a=c

If X=6 and Y= 6 then X=Y

If Y=2X+2 and Y=6-3X then 2X+2=6-3XPRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

46

STANDARDS 1,2,3

of segments is transitive. of s is transitive

of segments is symmetric. of s is symmetric

of segments is reflexive. of s is reflexive

KL LM

LM AB

KL AB

KL LM LM KL

LMLM

BCE FGH

FGH ECA

BCE ECA

BCE FGH BCEFGH

ECA ECA

Congruence in segments and angles is Reflexive, Symmetric and Transitive:

For all segments and angles, their measures comply with these same properties.PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved

47

STANDARDS 1,2,3DEDUCTIVE REASONING: GEOMETRY (formal)

Two Column Proof:

Statements Reasons

(1) (1) Given

(2) (2)

(3) (3)

(4) (4)

L is midpoint of KM

KL LM Definition of Midpoint

LM AB Given

KL AB of segments is transitive.

Given:

Prove:

MLK

BA

L is midpoint of KM

LM AB

KL AB


48

B

CF

D

A

E

STANDARDS 1,2,3

Given:

EFD is right

Prove:

AFB CFBand are complementary.

DEDUCTIVE REASONING: GEOMETRY (formal)

Two Column Proof:

Statements Reasons

(1) (1)EFD is right Given

(2) (2)EC AD Definition of lines

(3) (3)AFC is right lines for 4 right s

(4) (4)AFC=m 90° Definition of right s

(5) (5)AFB +m AFCmCFB =m

(6) (6)

addition postulate

AFB +m CFB = 90°m Substitution prop. of (=)

AFB CFBand are complementary.

(7) (7) Definition of complementary s

B

CF

D

A

E


49

STANDARDS 1,2,3

Given:

Prove:


Two Column Proof:

Statements Reasons

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

(4) (4)

(5) (5)

(6) (6)

(7) (7)

(8) (8)

(9) (9)

B

ACE

D

F

GH

CE bisects BCA

FGH ECA

FGH +m BCD = 180°m2( )

CE bisects BCA Given

BCE ECA Definition of bisector

BCE=m ECAm Definition of s

FGH ECA Given

FGH=m ECAm

BCE=m FGHm

Definition of s

of s is transitive

BCE +m BCD = 180°mECA +m addition postulate

FGH +m BCD = 180°mFGH +m

FGH +m BCD = 180°m2( )

Substitution prop. of (=)

Adding like terms

B

ACE

D


50

STANDARDS 1,2,3

Given:

FBD is right

Prove:

ABF CBDand are complementary.


Two Column Proof:

Statements Reasons

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

(4) (4)

(5) (5)

(6) (6)

F

EB

C

A

D

F

EB

C

A

D

FBD is right Given

FBD=m 90° Definition of right s

FBD +m CBD = 180°mABF +m addition postulate

CBD = 180°mABF +m 90° +

ABF +m CBD = 90°m

Substitution prop. of (=)

Subtraction prop. of (=)

ABF CBDand are complementary. Definition of complementary s


51

STANDARDS 1,2,3

Given:

Prove:


Two Column Proof:

Statements Reasons

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

(4) (4)

(5) (5)

(6) (6)

(7) (7)

CAB

H

G

D E F

CAB

H

G

D E FGE is a transversalAC and DF are

GBC FEHand are supplementary.

GE is a transversal

AC and DF are Given

GBC CBEand are a linear pair Definition of linear pair

GBC +m CBE = 180°m s in a linear pair are supplementary

CBE FEH In lines cut by a transversal CORRESPONDING s are

Definition of sCBE=m FEHm

GBC +m FEH = 180°m Substitution prop. of (=)

GBC FEHand are supplementary.

Definition of supplementary s


1 standards 1,2,3 ¿quÉ es una conjetura? condicionantes: sÍ…entonces… recÍproco de un...

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